Записать теорему об изменении количества движения. Динамика относительного движения
Просмотр: эта статья прочитана 14066 раз
Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский
Краткий обзор
Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык
Количество движения
Количество движения материальной точки - векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.
Единицей измерения количества движения является (кг м/с).
Количество движения механической системы - векторная величина, равная геометрической сумме (главному вектору) количества движения механической системы равняется произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.
Когда тело (или система) движется так, что ее центр масс неподвижен, то количество движения тела равняется нулю (например, вращение тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела).
В случае сложного движения, количество движения системы не будет характеризовать вращательную часть движения при вращении вокруг центра масс. Т.е., количество движения характеризует только поступательное движение системы (вместе с центром масс).
Импульс силы
Импульс силы характеризует действие силы за некоторый промежуток времени.
Импульс силы за конечный промежуток времени определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов.
Теорема об изменении количества движения материальной точки
(в дифференциальной форм е ):
Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме действующих на точки сил.
(в интегральной форме ):
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за этот промежуток времени.
Теорема об изменении количества движения механической системы
(в дифференциальной форме ):
Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.
(в интегральной форме ):
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за этот промежуток времени.
Теорема позволяет исключить из рассмотрения заведомо неизвестные внутренние силы.
Теорема об изменении количества движения механической системы и теорема о движении центра масс являются двумя разными формами одной теоремы.
Закон сохранения количества движения системы
- Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным по направлению и по модулю.
- Если сумма проекций всех действующих внешних сил на любую произвольную ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось является величиной постоянной.
Выводы :
- Законы сохранения свидетельствуют, что внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.
- Теорема об изменении количества движения механической системы не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное.
Приведен пример: Определить количество движения диска определенной массы, если известна его угловая скорость и размер.
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.
Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.
Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается
Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается
Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Определение усилий в стержнях плоской фермы
Пример решения задачи на определение усилий в стержнях плоской фермы методом Риттера и методом вырезания узлов
Применение теоремы об изменении кинетического момента
Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетического момента для определения угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы F можно представить в следующей векторной форме:
Так как масса точки m принята постоянной, то её можно внести под знак производной. Тогда
Формула (1) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе .
В проекциях на координатные оси (1) можно представить в виде
Если обе части (1) умножить на dt , то получим другую форму этой же теоремы – теорему импульсов в дифференциальной форме:
т.е. дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.
Проецируя обе части (2) на координатные оси, получаем
Интегрируя обе части (2) в пределах от нуля до t (рис. 1), имеем
где - скорость точки в момент t ; - скорость при t = 0;
S - импульс силы за время t .
Выражение в форме (3) часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени.
В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:
Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.
Теорема об изменении количества движения системы
Количеством движения системы будем называть векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы.
Рассмотрим систему, состоящую изn материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:
Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,
Окончательно находим:
Уравнение (4) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
Найдём другое выражение теоремы. Пусть в момент t = 0 количество движения системы равно Q 0 , а в момент времени t 1 становится равным Q 1 . Тогда, умножая обе части равенства (4) на dt и интегрируя, получим:
Или , где:
(S- импульс силы)
так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил,
уравнение (5) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.
В проекциях на оси координат будем иметь:
Закон сохранения количества движения
Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия:
1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:
Тогда из уравнения (4) следует, что при этом Q =const.
Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по 10модулю и направлению.
2. 01Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Ох) равна нулю:
Тогда из уравнений (4`) следует, что при этом Q = const.
Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.
Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.
Рассмотрим некоторые примеры:
· Я в л е н и е о т д а ч и и л и о т к а т а. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщит винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).
· Р а б о т а г р е б н о г о в и н т а (п р о п е л л е р а). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получают соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.
Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.
· Р е а к т и в н о е д в и ж е н и е. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и они не могут изменить суммарное количество движения системы ракета- пороховые газы. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения,направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.
Теорема моментов относительно оси.
Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся под действием силы F . Найдем для неё зависимость между моментом векторов mV и F относительно какой-нибудь неподвижной оси Z.
m z (F) = xF - уF (7)
Аналогично для величины m (mV) , если вынести m за скобку будет
m z (mV) = m(хV - уV) (7`)
Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, находим
В правой части полученного выражения первая скобка равна 0, так как dx/dt=V и dу /dt = V , вторая же скобка согласно формуле (7) равна
m z (F) , так как по основному закону динамики:
Окончательно будем иметь (8)
Полученное уравнение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равна моменту действующей силы относительно той же оси. Аналогичная теорема имеет место и для моментов относительно любого центра О.
В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.
Формулировка теоремы
Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.
( кг·м/с)
Теорема об изменении количества движения системы утверждает
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.
Закон сохранения количества движения системы
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме
:
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )
Теорема об изменении момента количества движения относительно центра
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
Теорема об изменении момента количества движения относительно оси
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :
Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:
Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).
Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,
т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2
Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.
Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,
т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.
Доказательство теоремы обь ихменении количества движения
Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:
Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .
Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то
Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде
Учитывая,
что 
и
суммируя все уравнения второго закона
Ньютона, получаем:
Выражение представляет
собой сумму всех внутренних сил,
действующих в системе. По третьему
закону Ньютона в этой сумме каждой
силе соответствует
сила такая,
что и,
значит, выполняется 
Поскольку
вся сумма состоит из таких пар, то и сама
сумма равна нулю. Таким образом, можно
записать
Используя для количества движения системы обозначение , получим
Введя в
рассмотрение изменение импульса внешних
сил 
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме:
Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется
Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде
Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.
Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m , движущаяся под действием силы (рис.15), имеет в момент t =0 скорость , а в момент t 1 -скорость .
Рис.15
Умножим тогда обе части равенства на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t 1 , а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости и . Так как интеграл от равен , то в результате получим:
.
Стоящие справа интегралы представляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:
.
Уравнение выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. 15).
При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.
В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте основные законы механики.
Какое уравнение называется основным уравнением динамики?
Какова мера инертности твердых тел при поступательном движении?
Зависит ли вес тела от местонахождения тела на Земле?
Какую систему отсчета называют инерциальной?
К какому телу приложена сила инерции материальной точки и каковы ее модуль и направление?
Объясните разницу между понятиями «инертность» и «сила инерции»?
К каким телам приложена сила инерции, как направлена и по какой формуле может быть рассчитана?
В чем заключается принцип кинетостатики?
Каковы модули и направления касательной и нормальной сил инерции материальной точки?
Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы в системе СИ?
Что является мерой инертности тела?
Запишите основной закон динамики в векторной и дифференциальной форме?
На материальную точку действует постоянная сила. Как движется точка?
Какое ускорение получит точка, если на нее действует сила, равная удвоенной силе тяжести?
После столкновения двух материальных точек с массами m 1 =6 кг и m 2 =24 кг первая точка получила ускорение 1,6 м/с. Чему равно ускорение, полученное второй точкой?
При каком движении материальной точки равна нулю ее касательная сила инерции и при каком – нормальная?
По каким формулам вычисляются модули вращательной и центробежной сил инерции точки, принадлежащей твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?
Как формулируется основной закон динамики точки?
Приведите формулировку закона независимости действия сил.
Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в векторной и координатной форме.
Сформулируйте сущность первой и второй основных задач динамики точки.
Приведите условия, из которых определяются постоянные интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки.
Какие уравнения динамики называются естественными уравнениями движения материальной точки?
Каковы две основные задачи динамики точки, которые решаются с помощью дифференциальных движений материальной точки?
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.
Как определяются постоянные при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки?
Определение значений произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки.
Каковы законы свободного падения тела?
По каким законам происходят горизонтальное и вертикальное перемещения тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте? Какова траектория его движения и при каком угле тело имеет наибольшую дальность полета?
Как вычислить импульс переменной силы за конечный промежуток времени?
Что называется количеством движения материальной точки?
Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?
На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?
Как вычислить мощность силы, приложенной к материальной точке, вращающейся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ?
Сформулируйте теорему об изменении количества движения материальной точки.
При каких условиях количество движения материальной точки не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?
Приведите формулировку теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной форме.
Что называется моментом количества движения материальной точки относительно: а) центра, б) оси?
Как формулируется теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра и относительно оси?
При каких условиях момент количества движения точки относительно оси остается неизменным?
Как определяются моменты количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси? Какова зависимость между ними?
При каком расположении вектора количества движения материальной точки его момент относительно оси равен нулю?
Почему траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, лежит в одной плоскости?
Какое движение точки называется прямолинейным? Запишите дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки.
Запишите дифференциальные уравнения плоского движения материальной точки.
Какое движение материальной точки описывают дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода?
В каких случаях материальную точку называют несвободной и каковы дифференциальные уравнения движения этой точки?
Дайте определения стационарных и нестационарных, голономных и неголономных связей.
Какие связи называют двусторонними? Односторонними?
В чем сущность принципа освобождаемости от связей?
Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в форме Лагранжа? Что называют множителем Лагранжа?
Приведите формулировку динамической теоремы Кориолиса.
В чем сущность принципа относительности Галилея-Ньютона?
Назовите движения, при которых кориолисова сила инерции равна нулю.
Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисова силы инерции?
В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений материальной точки?
Как определяются переносная и кориолисова силы инерции в различных случаях переносного движения?
В чем состоит сущность принципа относительности классической механики?
Какие системы отсчета называются инерциальными?
Каково условие относительного покоя материальной точки?
В каких точках земной поверхности сила тяжести имеет наибольшее и наименьшее значения?
Чем объясняется отклонение падающих тел к востоку?
В каком направлении отклоняется тело, брошенное вертикально вверх?
В шахту опускается бадья с ускорением а =4 м/с 2 . Сила тяжести бадьи G =2 кН. Определите силу натяжения каната, поддерживающего бадью?
Две материальные точки движутся по прямой с постоянными скоростями 10 и 100 м/с. Можно ли утверждать, что к этим точкам приложены эквивалентные системы сил?
1) нельзя;
К двум материальным точкам массой 5 и 15 кг приложены одинаковые силы. Сравните численные значения ускорения этих точек?
1) ускорения одинаковы;
2) ускорение точки массой 15 кг в три раза меньше, чем ускорение точки массой 5 кг.
Можно ли задачи динамики решать с помощью уравнений равновесия?
Пусть материальная точка движется под действием силы F . Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1 .
Основное уравнение динамики в неподвижной системе
Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса
где a абс – абсолютное ускорение;
a отн – относительное ускорение;
a пер – переносное ускорение;
a кор – кориолисово ускорение.
Перепишем (25) с учетом (26)
Введем
обозначения
-
переносная сила инерции,
- кориолисова сила инерции. Тогда
уравнение (27)
приобретает вид
Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.
Общие теоремы динамики материальной точки
При решении многих задач можно пользоваться выполненными заранее заготовками, полученными на основе второго закона Ньютона. Такие методы решения задач объединены в этом разделе.
Теорема об изменении количества движения материальной точки
Введем следующие динамические характеристики:
1. Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости
.
(29)
2. Импульс силы
Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени
(30).
Тогда полный импульс
.
(31)
При F =const получим S =Ft .
Полный импульс за конечный промежуток времени можно вычислить только в двух случаях, когда действующая на точку сила постоянная или зависит то времени. В других случаях необходимо выразить силу как функцию времени.
Равенство размерностей импульса (29) и количества движения (30) позволяет установить между ними количественную взаимосвязь.
Рассмотрим движение материальной точки M под действием произвольной силы F по произвольной траектории.
О
УД:
.
(32)
Разделяем в (32) переменные и интегрируем
.
(33)
В итоге, принимая во внимание (31), получаем
.
(34)
Уравнение (34) выражает следующую теорему.
Теорема : Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за тот же интервал времени.
При решении задач уравнение (34) необходимо спроектировать на оси координат
Данной теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и неизвестных величин присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и время движения.
Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
М
омент
количества движения материальной точки
относительно центра равен произведению
модуля количества движения точки на
плечо, т.е. кратчайшее расстояние
(перпендикуляр) от центра до линии,
совпадающей с вектором скорости
,
(36)
.
(37)
Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.
Пусть точка M заданной массы m движется под действием силы F .
,
,
,
(38)
.
(39)
Вычислим производную от (39)
.
(40)
Объединяя (40) и (38), окончательно получим
.
(41)
Уравнение (41) выражает следующую теорему.
Теорема : Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
При решении задач уравнение (41) необходимо спроектировать на оси координат
В уравнениях (42) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.
Из (41) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).
Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.
Если
,
то
.
Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.