Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Элементарная теория

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис. 30). Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара

являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения.

Можно показать, что вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом - неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (рис. 30).

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закрепленный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое вращение, то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис.31). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом положении палочки максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей (аккуратно снять верхний конец нити с крючка шпинделя), то положение оси вращения в пространстве в течение некоторого времени сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы - массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов - гироскоп на кардановом подвесе (рис.32). Дискообразное тело - гироскоп - закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для свободного вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его оси вращения, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.3), L =

Const, т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направление в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в пространстве и ось гироскопа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F , приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (рис. 33) поворачивается вокруг прямой О 3 О 3 , а не вокруг прямой О 2 О 2 , как это казалось бы естественным на первый взгляд (O 1 O 1 и О 2 О 2 лежат в плоскости чертежа, а О 3 О 3 и силы F перпендикулярны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой О 2 О 2 . За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение dL = M dt (направление dL совпадает с направлением М ) и станет равным L" =L +dL . Направление вектора L " совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О 3 О 3 . Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчета и являются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. §27).

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов - поддержание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко (1819-1868) для доказательства вращения Земли.

Опыт показывает, что прецессионное движение гироскопа под действием внешних сил в общем случае сложнее, чем то, которое было описано выше в рамках элементарной теории. Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол (см. рис. 4.6), то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими вращениями и дрожаниями вершины гироскопа - нутациями . Для их описания необходимо учесть несовпадение вектора полного момента импульса L , мгновенной угловой скорости вращения и оси симметрии гироскопа.

Точная теория гироскопа выходит за рамки курса общей физики. Из соотношения следует, что конец вектора L движется в направлении M , то есть перпендикулярно к вертикали и к оси гироскопа. Это значит, что проекции вектора L на вертикаль и на ось гироскопа остаются постоянными. Еще одной постоянной является энергия

(4.14)

где - кинетическая энергия гироскопа. Выражая и через углы Эйлера и их производные, можно, с помощью уравнений Эйлера , описать движение тела аналитически.

Результат такого описания оказывается следующим: вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гироскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутаций. Вершина конуса нутаций, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутаций совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутаций определяется выражением

(4.15)

где и - моменты инерции тела гироскопа относительно оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии, - угловая скорость вращения вокруг оси симметрии (сравн. с (3.64)).

Таким образом, ось гироскопа участвует в двух движениях: нутационном и прецессионном. Траектории абсолютного движения вершины гироскопа представляют собой замысловатые линии, примеры которых представлены на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае рис. 4.7а гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае рис. 4.7б ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае рис. 4.7в - толчок назад по ходу прецессии. Кривые на рис. 4.7 вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону. И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза.

Может показаться странным: почему гироскоп, будучи раскручен, установлен под углом к вертикали и отпущен, не падает под действием силы тяжести, а движется вбок? Откуда берется кинетическая энергия прецессионного движения?

Ответы на эти вопросы можно получить только в рамках точной теории гироскопам. На самом деле гироскоп действительно начинает падать, а прецессионное движение появляется как следствие закона сохранения момента импульса. В самом деле, отклонение оси гироскопа вниз приводит к уменьшению проекции момента импульса на вертикальное направление. Это уменьшение должно быть скомпенсировано моментом импульса, связанным с прецессионным движением оси гироскопа. С энергетическое точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопам

Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после "запуска" гироскопа нутации исчезают и остается чистая прецессия (рис. 4.8). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали оказывается больше, чем он был вначале то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси.

Рис. 4.8.

Гироскопические силы.

Обратимся к простому опыту: возьмем в руки вал АВ с насаженным на него колесом С (рис. 4.9). Пока колесо не раскручено, не представляет никакого труда поворачивать вал в пространстве произвольным образом. Но если колесо раскручено, то попытки повернуть вал, например, в горизонтальной плоскости с небольшой угловой скоростью приводят к интересному эффекту: вал стремится вырваться из рук и повернуться в вертикальной плоскости; он действует на кисти рук с определенными силами и (рис. 4.9). Требуется приложить ощутимое физическое усилие, чтобы удержать вал с вращающимся колесом в горизонтальной плоскости.

Раскрутим гироскоп вокруг его вокруг его оси симметрии до большой угловой скорости (момент импульса L ) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней гироскопом вокруг вертикальной оси OO" с некоторой угловой скоростью как показано на рис. 4.10. Момент импульса L , получит при этом приращение которое должно быть обеспечено моментом сил M , приложенным к оси гироскопа. Момент M , в свою очередь, создан парой сил возникающих при вынужденном повороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны рамы. По третьему закону Ньютона ось действует на раму с силами (рис. 4.10). Эти силы называются гироскопическими; они создают гироскопический момент Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом . Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть ось вращающегося колеса (рис. 4.9).

где - угловая скорость вынужденного поворота (иногда говорят: вынужденной прецессии). Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент

(4.)

Таким образом, вал гироскопа, изображенного на рис. 4.10, будет прижиматься кверху в подшипнике В и оказывать давление на нижнюю часть подшипника А.

Направление гироскопических сил можно легко найти с помощью правила, сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с помощью устройства, представленного на рис. 4.11.

ГИРОСКОП
навигационный прибор, основным элементом которого является быстро вращающийся ротор, закрепленный так, что ось его вращения может поворачиваться. Три степени свободы (оси возможного вращения) ротора гироскопа обеспечиваются двумя рамками карданова подвеса. Если на такое устройство не действуют внешние возмущения, то ось собственного вращения ротора сохраняет постоянное направление в пространстве. Если же на него действует момент внешней силы, стремящийся повернуть ось собственного вращения, то она начинает вращаться не вокруг направления момента, а вокруг оси, перпендикулярной ему (прецессия).

В хорошо сбалансированном (астатическом) и достаточно быстро вращающемся гироскопе, установленном на высокосовершенных подшипниках с незначительным трением, момент внешних сил практически отсутствует, так что гироскоп долго сохраняет почти неизменной свою ориентацию в пространстве. Поэтому он может указывать угол поворота основания, на котором закреплен. Именно так французский физик Ж. Фуко (1819-1868) впервые наглядно продемонстрировал вращение Земли. Если же поворот оси гироскопа ограничить пружиной, то при соответствующей установке его, скажем, на летательном аппарате, выполняющем разворот, гироскоп будет деформировать пружину, пока не уравновесится момент внешней силы. В этом случае сила сжатия или растяжения пружины пропорциональна угловой скорости движения летательного аппарата. Таков принцип действия авиационного указателя поворота и многих других гироскопических приборов. Поскольку трение в подшипниках очень мало, для поддержания вращения ротора гироскопа не требуется много энергии. Для приведения его во вращение и для поддержания вращения обычно бывает достаточно маломощного электродвигателя или струи сжатого воздуха.
Применение. Гироскоп чаще всего применяется как чувствительный элемент указывающих гироскопических приборов и как датчик угла поворота или угловой скорости для устройств автоматического управления. В некоторых случаях, например в гиростабилизаторах, гироскопы используются как генераторы момента силы или энергии.
См. также МАХОВИК . Основные области применения гироскопов - судоходство, авиация и космонавтика (см. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ). Почти каждое морское судно дальнего плавания снабжено гирокомпасом для ручного или автоматического управления судном, некоторые оборудованы гиростабилизаторами. В системах управления огнем корабельной артиллерии много дополнительных гироскопов, обеспечивающих стабильную систему отсчета или измеряющих угловые скорости. Без гироскопов невозможно автоматическое управление торпедами. Самолеты и вертолеты оборудуются гироскопическими приборами, которые дают надежную информацию для систем стабилизации и навигации. К таким приборам относятся авиагоризонт, гировертикаль, гироскопический указатель крена и поворота. Гироскопы могут быть как указывающими приборами, так и датчиками автопилота. На многих самолетах предусматриваются гиростабилизированные магнитные компасы и другое оборудование - навигационные визиры, фотоаппараты с гироскопом, гиросекстанты. В военной авиации гироскопы применяются также в прицелах воздушной стрельбы и бомбометания. Гироскопы разного назначения (навигационные, силовые) выпускаются разных типоразмеров в зависимости от условий работы и требуемой точности. В гироскопических приборах диаметр ротора составляет 4-20 см, причем меньшее значение относится к авиационно-космическим приборам. Диаметры же роторов судовых гиростабилизаторов измеряются метрами.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Гироскопический эффект создается той же самой центробежной силой, которая действует на юлу, вращающуюся, например, на столе. В точке опоры юлы о стол возникают сила и момент, под действием которых ось вращения юлы отклоняется от вертикали, а центробежная сила вращающейся массы, препятствуя изменению ориентации плоскости вращения, вынуждает юлу вращаться и вокруг вертикали, сохраняя тем самым заданную ориентацию в пространстве. Таким вращением, называемым прецессией, ротор гироскопа отвечает на приложенный момент силы относительно оси, перпендикулярной оси его собственного вращения. Вклад масс ротора в этот эффект пропорционален квадрату расстояния до оси вращения, поскольку чем больше радиус, тем больше, во-первых, линейное ускорение и, во-вторых, плечо центробежной силы. Влияние массы и ее распределения в роторе характеризуется его "моментом инерции", т.е. результатом суммирования произведений всех составляющих его масс на квадрат расстояния до оси вращения. Полный же гироскопический эффект вращающегося ротора определяется его "кинетическим моментом", т.е. произведением угловой скорости (в радианах в секунду) на момент инерции относительно оси собственного вращения ротора. Кинетический момент - векторная величина, имеющая не только численное значение, но и направление. На рис. 1 кинетический момент представлен стрелкой (длина которой пропорциональна величине момента), направленной вдоль оси вращения в соответствии с "правилом буравчика": туда, куда подается буравчик, если его поворачивать в направлении вращения ротора. Прецессия и момент силы тоже характеризуются векторными величинами. Направление вектора угловой скорости прецессии и вектора момента силы связано правилом буравчика с соответствующим направлением вращения.
См. также ВЕКТОР .
ГИРОСКОП С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
На рис. 1 дана упрощенная кинематическая схема гироскопа с тремя степенями свободы (тремя осями вращения), причем направления вращения на ней показаны изогнутыми стрелками. Кинетический момент представлен жирной прямой стрелкой, направленной вдоль оси собственного вращения ротора. Момент силы прикладывается нажатием пальца так, что он имеет составляющую, перпендикулярную оси собственного вращения ротора (вторую силу пары создают вертикальные полуоси, закрепленные в оправе, которая связана с основанием). Согласно законам Ньютона, такой момент силы должен создавать кинетический момент, совпадающий с ним по направлению и пропорциональный его величине. Поскольку же кинетический момент (связанный с собственным вращением ротора) фиксирован по величине (заданием постоянной угловой скорости посредством, скажем, электродвигателя), это требование законов Ньютона может быть выполнено только за счет поворота оси вращения (в сторону вектора внешнего момента силы), приводящего к увеличению проекции кинетического момента на эту ось. Этот поворот и есть прецессия, о которой говорилось ранее. Скорость прецессии возрастает с увеличением внешнего момента силы и убывает с увеличением кинетического момента ротора.
Гироскопический указатель курса. На рис. 2 показан пример применения трехстепенного гироскопа в авиационном указателе курса (гирополукомпасе). Вращение ротора в шарикоподшипниках создается и поддерживается струей сжатого воздуха, направленной на рифленую поверхность обода. Внутренняя и наружная рамки карданова подвеса обеспечивают полную свободу вращения оси собственного вращения ротора. По шкале азимута, прикрепленной к наружной рамке, можно ввести любое значение азимута, выровняв ось собственного вращения ротора с основанием прибора. Трение в подшипниках столь незначительно, что после того как это значение азимута введено, ось вращения ротора сохраняет заданное положение в пространстве, и, пользуясь стрелкой, скрепленной с основанием, по шкале азимута можно контролировать поворот самолета. Показания поворота не обнаруживают никаких отклонений, если не считать эффектов дрейфа, связанных с несовершенствами механизма, и не требуют связи с внешними (например, наземными) средствами навигации.

Вязкостное демпфирование. Для гашения выходного момента силы относительно оси двухстепенного гироузла можно использовать вязкостное демпфирование. Кинематическая схема такого устройства представлена на рис. 5; она отличается от схемы на рис. 4 тем, что здесь нет противодействующей пружины, а вязкостный демпфер увеличен. Когда такое устройство поворачивается с постоянной угловой скоростью вокруг входной оси, выходной момент гироузла заставляет рамку прецессировать вокруг выходной оси. За вычетом эффектов инерционной реакции (с инерцией рамки связано в основном лишь некоторое запаздывание отклика) этот момент уравновешивается моментом сил вязкостного сопротивления, создаваемым демпфером. Момент демпфера пропорционален угловой скорости вращения рамки относительно корпуса, так что выходной момент гироузла тоже пропорционален этой угловой скорости. Поскольку этот выходной момент пропорционален входной угловой скорости (при малых выходных углах рамки), выходной угол рамки увеличивается по мере того, как корпус поворачивается вокруг входной оси. Стрелка, движущаяся по шкале (рис. 5), указывает угол поворота рамки. Показания пропорциональны интегралу угловой скорости вращения относительно входной оси в инерциальном пространстве, и поэтому устройство, схема которого представлена на рис. 5, называется интегрирующим двухстепенным гиродатчиком.

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

1. Свободные оси вращения . Рассмотрим два случая вращения твердого стержня относительно оси, проходящей через центр масс.

Если раскрутить стержень относительно оси OO и предоставить его самому себе, то есть освободить ось вращения из подшипников, то в случае рис.71-а ориентация оси свободного вращения относительно стержня будет изменяться, поскольку стержень под действием пары центробежных сил инерции будет разворачиваться в горизонтальную плоскость. В случае рис.71-б момент пары центробежных сил равен нулю, поэтому раскрученный стержень будет продолжать вращаться вокруг оси ОО и после ее освобождения.

Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия каких-либо сил извне, называется свободной осью вращающегося тела. Следовательно, ось, перпендикулярная стержню и проходящая через его центр масс, есть свободная ось вращения стержня.

У любого твердого тела есть три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения, пересекающиеся в центре масс. Положение свободных осей для однородных тел совпадает с положением их геометрических осей симметрии (рис.72).

Свободные оси вращения называются также главными осями инерции . При свободном вращении тел вокруг главных осей инерции устойчивы лишь вращения вокруг тех осей, которым соответствуют максимальное и минимальное значения момента инерции. Если же на тело действуют внешние силы, то устойчивым оказывается вращение лишь вокруг той главной оси, которой соответствует максимальный момент инерции.

2. Гироскоп (от греческого gyreuo – вращаюсь и skopeo – вижу) – быстро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело вращения, ось которого может изменять положение в пространстве.

При изучении движения гироскопа считаем, что:

а. Центр масс гироскопа совпадает с его неподвижной точкой O . Такой гироскоп называется уравновешенным .

б. Угловая скорость w вращения гироскопа вокруг оси много больше угловой скорости Wперемещения оси в пространстве, то есть w >> W.

В. Вектор момента импульса гироскопа L совпадает с вектором угловой скорости w , поскольку гироскоп вращается вокруг главной оси инерции.

Пусть на ось гироскопа действует сила F в течение времени Dt . По второму закону динамики для вращательного движения , так что изменение момента импульса гироскопа за это время , (26.1)

где r – радиус-вектор, проведенный из неподвижной точки O в точку действия силы (рис.73).

Изменение момента импульса гироскопа можно рассматривать как поворот оси гироскопа на угол с угловой скоростью . (26.2)

Здесь – нормальная к оси гироскопа составляющая действующей на него силы.

Под действием силы F , приложенной к оси гироскопа, ось поворачивается не в направлении действия силы, а в направлении момента силы M относительно неподвижной точки O . В любой момент времени скорость поворота оси гироскопа пропорциональна по величине моменту силы, а при постоянном плече силы – пропорциональна самой силе. Таким образом, движение оси гироскопа безинерционно . Это единственный случай безинерционного движения в механике.

Движение оси гироскопа под действием внешней силы называют вынужденной прецессией гироскопа (от латинского praecessio – движение впереди).

3. Ударное действие на ось гироскопа . Определим угловое смещение оси гироскопа в результате кратковременного действия силы на ось, то есть удара. Пусть в течение малого времени dt на ось гироскопа на расстоянии r от центра О действует сила F . Под действием импульса этой силы F dt ось поворачивается (рис.74) в направлении создаваемого ею импульса момента силы M dt на некоторый угол

dq = Wdt= (rF/Iw )dt . (26.3)

Если точка приложения силы не изменяется, то r = const и при интегрировании получаем. q = . (26.4)

Интеграл в каждом случае зависит от вида функции (t ). В обычных условиях угловая скорость вращения гироскопа очень велика, поэтому числитель чаще всего много меньше знаменателя, и потому угол q – малая величина. Быстро вращающийся гироскоп обладает устойчивостью по отношению к удару – тем большей, чем больше его момент импульса.

4. Интересно, что сила, под действием которой ось гироскопа прецессирует, не совершает работы. Это происходит потому, что точка гироскопа, к которой приложена сила, в любой момент смещается в направлении, перпендикулярном направлению действия силы. Поэтому скалярное произведение силы на вектор малого перемещения всегда равно нулю.

Силы в таком проявлении называются гироскопическими . Так, всегда гироскопической является сила Лоренца, действующая на электрически заряженную частицу со стороны магнитного поля, в котором она движется.

5. Условие равновесия ТТ. Чтобы ТТ находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил были равны нулю:

. (26.5)

Различают 4 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, седлообразное и безразличное.

а. Положение равновесия ТТ является устойчивым, если при небольших отклонениях от равновесия на тело начинают действовать силы, стремящиеся вернуть его в положения равновесия.

На рисунке 75 показаны ситуации устойчивого равновесия тел в поле силы тяжести. Силы тяжести – массовые силы, поэтому равнодействующая сил тяжести, действующих на точечные элементы ТТ, приложена к центру масс. В таких ситуациях центр масс называют центром тяжести.

Устойчивому положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии тела.

б . Если при небольших отклонениях от положения равновесия на тело начинают действовать силы в направлении от равновесия, то положение равновесия является неустойчивым. Неустойчивому положению равновесия соответствует относительный максимум потенциальной энергии тела (рис.76).

в . Седлообразным является такое равновесие, когда при движении по одной степени свободы равновесие тела устойчивое, а при движении по другой степени свободы – неустойчивое. В ситуации, показанной на рисунке 77, положение тела по отношению к координате x является устойчивым, а по отношению к координате y – неустойчивым.

г. Если при отклонении тела от положения равновесия не возникает никаких сил, стремящихся сместить тело в том или ином направлении, то положение равновесия называется безразличным. Например, шар в поле силы тяжести на эквипотенциальной поверхности, твердое тело, подвешенное в точке центра масс (в точке центра тяжести) (рис.78).

§ 89. Свободный гироскоп и его основные свойства

Гироскопом называется быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии тело, причем ось, вокруг которой происходит вращение, может изменять свое положение в пространстве. Гироскоп представляет собой массивный диск, который практически во всех современных навигационных приборах приводится во вращение электрическим путем, являясь ротором электродвигателя.

Рис. 120.

Гироскоп, у которого возможны вращения вокруг трех указанных осей, называется гироскопом с тремя степенями свободы. Точка пересечения этих осей называется точкой подвеса гироскопа. Гироскоп с тремя степенями свободы, у которого центр тяжести всей системы, состоящей из ротора и карданных колец, совпадает с точкой подвеса, называется уравновешенным, или астатическим, гироскопом.

Уравновешенный гироскоп, к которому не прикладываются внешние вращающие моменты, называется свободным гироскопом.

Свободный гироскоп благодаря быстрому вращению приобретает свойства, широко используемые во всех гироскопических приборах. Основными свойствами свободного гироскопа являются свойства устойчивости и прецессии.

Первое состоит в том, что главная ось свободного гироскопа стремится сохранить первоначально заданное ей направление относительно мирового пространства. Устойчивость главной оси тем больше, чем точнее центр тяжести системы совпадает с точкой подвеса, чем меньше силы трения в осях карданова подвеса и чем больше вес гироскопа, его диаметр и скорость вращения. Величина, которая характеризует гироскоп с этой качественной стороны, называется кинетическим моментом гироскопа и определяется произведением момента инерции гироскопа на его угловую скорость вращения, т. е.

Q - угловая скорость вращения.

При конструировании гироскопических приборов стремятся достигнуть значительной величины кинетического момента Н путем придания ротору гироскопа особого профиля, а также путем увеличения угловой скорости его вращения. Так, в современных гирокомпасах роторы гиромоторов имеют скорость вращения от 6000 до 30 000 об/мин.

Рис. 121.

Впервые это свойство гироскопа демонстрировалось известным французским физиком Леоном Фуко в 1852 г. Ему же принадлежит идея использования гироскопа в качестве прибора для определения направления движения и для определения широты судна в море.

Свойство прецессии состоит в том, что под действием силы, приложенной к кардановым кольцам, главная ось гироскопа перемещается в плоскости, перпендикулярной к направлению действия силы (рис. 121).

Такое движение гироскопа называется прецессионным. Прецессионное движение будет происходить в течение всего времени действия внешней силы и прекращается с прекращением ее действия. Направление прецессионного движения определяется с помощью правила полюсов, которое формулируется следующим образом: при приложении к гироскопу момента внешней силы полюс гироскопа кратчайшим путем стремится к полюсу силы. Полюсом гироскопа называется тот конец его главной оси, со стороны которого вращение гироскопа наблюдается происходящим против часовой стрелки. Полюсом силы называется тот конец оси гироскопа, относительно которой приложенная внешняя сила стремится повернуть гироскоп против часовой стрелки.

На рис. 121 прецессионное движение гироскопа указано стрелкой.

Угловая скорость прецессии может быть подсчитана по формуле