Kako odrediti da li su vektori linearno zavisni ili nezavisni. Linearna zavisnost vektora

Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U gledalištu se nalaze kolica sa čokoladama, a svaki posjetitelj danas će dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će se dotaknuti dva dijela više matematike odjednom, a mi ćemo vidjeti kako oni koegzistiraju u jednom omotu. Odmorite se, pojedite Twix! ...dovraga, kakva gomila gluposti. Mada, dobro, neću bodovati, na kraju treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna vektorska nezavisnost, osnovu vektora a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao u Gismeteo: temperatura i atmosferski pritisak, respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi pojmovi (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) se odnose na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će biti dati geometrijski primeri. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i jasno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipične probleme algebre. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Razmotrimo ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno da će za konstruiranje osnove biti potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite lijevi kažiprst na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto desni mali prst na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta možemo reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je neki broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u razredu. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad poprijeko sam smjer, a ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama i izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da postoji bilo koji ugao između njih osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno Ne zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je dobijena. Nema potrebe da se sramite što se osnova pokazalo da je "iskrivljena" neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način proširuje se prema osnovi:
, gdje su realni brojevi. Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Takođe se kaže da vektorpredstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijapo osnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, možemo reći da je vektor dekomponovan duž ortonormalne baze ravni, ili možemo reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: Osnova aviona naziva se par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna tačka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. Baze – ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke umjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto to nije dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim mjestima na stolu zaostalim od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takav orijentir je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Hajde da razumemo koordinatni sistem:

Počeću sa “školskim” sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada pričaju o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne ose i razmjer duž osa. Pokušajte da upišete "pravougaoni koordinatni sistem" u pretraživač i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, čini se da se pravougaoni koordinatni sistem može u potpunosti definirati u terminima ortonormalne baze. I to je skoro tačno. Formulacija je sljedeća:

porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne ose.

Mislim da svi razumiju da se koristi tačka (poreklo) i ortonormalna osnova BILO KOJA TAČKA na ravni i BILO KOJI VEKTOR na ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, „sve u avionu može biti numerisano“.

Da li je potrebno da koordinatni vektori budu jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrimo tačku i dva ortogonalna vektora proizvoljne dužine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definirano je koordinatnom mrežom, a svaka tačka na ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedinici, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravni i prostora, razmatraju se jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž x-ose sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinatne ose sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna da, ako je potrebno, pretvorimo „nestandardne“ koordinate u „naše uobičajene centimetre“.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno, je da li ugao između baznih vektora mora biti jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afine ravni koordinatni sistem :

Ponekad se takav koordinatni sistem naziva koso sistem. Kao primjeri, crtež prikazuje tačke i vektore:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan; formule za dužine vektora i segmenata, o kojima smo razgovarali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u ovoj relaciji, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sistema kartezijanski pravougaoni sistem. Zato je najčešće moraš viđati, draga moja. ...Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima kosi ugao (ili neki drugi, npr. polar) koordinatni sistem. I humanoidima bi se takvi sistemi mogli svidjeti =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora bile kolinearne, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne U suštini, ovo je koordinata po koordinata detalji očiglednog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Hajde da saznamo da li postoji za vektore koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti zadovoljene:

Definitivno ću vam reći o "foppish" verziji primjene ovog pravila, koja prilično dobro funkcionira u praksi. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skratimo:
, tako da su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos bi se mogao napraviti i obrnuto; ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju dolazi do jednakosti . Njihova valjanost se može lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednačine slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Napravimo proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, što znači da su ovi vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično ovu opciju recenzenti ne odbijaju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporciju? (zaista, ne možete dijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao “foppish”.

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za vaše vlastito rješenje:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti parametra su vektori hoće li biti kolinearni?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i dodamo ga kao petu tačku:

Za dva ravan vektora sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka je nuli.

Stvarno se nadam da ste do sada već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste se susreli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste primijenili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Hajde da odlučimo Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinantu koju čine koordinate vektora :
, što znači da su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate :
, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata i pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe praviti crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Prisjetimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ – jednaki vektori). Kolinearnost je prilično očigledna, ali je bolje formalizirati odluku jasno, sa dogovorom. Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:
, što znači da su ovi vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četvorougla su paralelne u parovima, što znači da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak koji treba da rešite sami. Potpuno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se polako krećemo iz aviona u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

A) ;
b)
V)

Rješenje:
a) Provjerimo postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

“Pojednostavljeno” se formalizira provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora putem determinante trećeg reda; ova metoda je obrađena u članku Vektorski proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i pravih linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u trodimenzionalnom prostoru.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnogi uzorci koje smo ispitivali u avionu važiće za svemir. Pokušao sam da minimiziram teorijske bilješke, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, istražujemo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada unutra, neko napolju, ali u svakom slučaju ne možemo pobeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će za konstruiranje osnove biti potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se grijemo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, nema potrebe to demonstrirati nastavnicima, ma koliko jako uvijali prste, ali od definicija nema bijega =)

Zatim, postavimo sebi važno pitanje: da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na vrh računarskog stola. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od dimenzija - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim je očigledno da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, mogu biti u paralelnim ravnima (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali to uradio =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne. Logično je ovdje dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, zamislimo opet da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, oni mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala u prethodnom odeljku).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redosledom, i bilo koji vektor prostora jedini način se dekomponuje na datu bazu, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi

Da vas podsjetim da možemo reći i da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao i za ravan; dovoljna je jedna tačka i bilo koja tri linearno nezavisna vektora:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redosledom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je „kosa“ i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sistemu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi nagađaju, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

Tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni prostorni koordinatni sistem . Poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematizujmo informacije:

Za tri vektora prostora sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Mislim da su suprotne izjave razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap i rukujete bejzbol palicom linearne algebre:

Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrenuo bih vašu pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se zbog toga neće promijeniti - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolji u kolonama, jer je korisniji za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitaoce koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili ih možda uopće slabo razumiju, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate (determinanta je otkrivena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka nuli:

U suštini, trebate riješiti jednačinu s determinantom. Spuštamo se na nule kao zmajevi na jerboe - najbolje je otvoriti odrednicu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednačinu:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti; da biste to učinili, trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da , otvarajući ga ponovo.

U zaključku ćemo razmotriti još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje svoju temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u ovoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu u trodimenzionalnom prostoru i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Prvo da se pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je to osnova nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prva faza se potpuno poklapa sa rješenjem primjera 6; potrebno je provjeriti da li su vektori zaista linearno nezavisni:

Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:

, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate Neophodno zapiši u kolone determinanta, ne u nizovima. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Vektorski sistem se zove linearno zavisna, ako postoje brojevi među kojima je barem jedan različit od nule, tako da je jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ako je ova jednakost zadovoljena samo u slučaju kada su sve , tada se zove sistem vektora linearno nezavisna.

Teorema. Vektorski sistem će linearno zavisna ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih.

Primjer 1. Polinom je linearna kombinacija polinoma https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi čine linearno nezavisan sistem, jer polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primjer 2. Matrični sistem, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno nezavisan, jer je linearna kombinacija jednaka nulta matrica samo u slučaju kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno zavisan.

Rješenje.

Napravimo linearnu kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" visina=" 22">.

Izjednačavajući iste koordinate jednakih vektora, dobijamo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Konačno dobijamo

I

Sistem ima jedinstveno trivijalno rješenje, pa je linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli samo u slučaju kada su svi koeficijenti jednaki nuli. Dakle, ovaj sistem vektora je linearno nezavisan.

Primjer 4. Vektori su linearno nezavisni. Kakvi će biti vektorski sistemi?

a).;

b).?

Rješenje.

a). Napravimo linearnu kombinaciju i izjednačimo je sa nulom

Koristeći svojstva operacija s vektorima u linearnom prostoru, prepisujemo posljednju jednakost u obliku

Pošto su vektori linearno nezavisni, koeficijenti at moraju biti jednaki nuli, tj.gif" width="12" height="23 src=">

Rezultirajući sistem jednačina ima jedinstveno trivijalno rješenje .

Od jednakosti (*) izvršava se samo kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno nezavisno;

b). Napravimo jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Primjenjujući slično razmišljanje, dobijamo

Rešavanjem sistema jednačina Gaussovom metodom dobijamo

ili

Potonji sistem ima beskonačan broj rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dakle, postoji ne- nulti skup koeficijenata za koji vrijedi jednakost (**) . Dakle, sistem vektora – linearno zavisna.

Primjer 5 Sistem vektora je linearno nezavisan, a sistem vektora je linearno zavisan..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

U jednakosti (***) . Zaista, na , sistem bi bio linearno zavisan.

Iz odnosa (***) dobijamo ili Označimo .

Dobijamo

Zadaci za samostalno rješavanje (u učionici)

1. Sistem koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

2. Sistem koji se sastoji od jednog vektora A, je linearno zavisna ako i samo ako, a=0.

3. Sistem koji se sastoji od dva vektora je linearno zavisan ako i samo ako su vektori proporcionalni (to jest, jedan od njih se dobija od drugog množenjem brojem).

4. Ako linearno zavisnom sistemu dodate vektor, dobićete linearno zavisan sistem.

5. Ako se vektor ukloni iz linearno nezavisnog sistema, onda je rezultujući sistem vektora linearno nezavisan.

6. Ako sistem S je linearno nezavisan, ali postaje linearno zavisan kada se dodaje vektor b, zatim vektor b linearno izražena kroz sistemske vektore S.

c). Sistem matrica , , u prostoru matrica drugog reda.

10. Neka sistem vektora a,b,c vektorski prostor je linearno nezavisan. Dokažite linearnu nezavisnost sledećih vektorskih sistema:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– proizvoljan broj

c).a+b, a+c, b+c.

11. Neka a,b,c– tri vektora na ravni iz kojih se može formirati trougao. Hoće li ovi vektori biti linearno zavisni?

12. Data su dva vektora a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pronađite još dva četverodimenzionalna vektora a3 ia4 tako da sistem a1,a2,a3,a4 bio linearno nezavisan .

U ovom članku ćemo pokriti:

• šta su kolinearni vektori;
• koji su uslovi kolinearnosti vektora;
• koja svojstva kolinearnih vektora postoje;
• kolika je linearna zavisnost kolinearnih vektora.

Kolinearni vektori su vektori koji su paralelni jednoj pravoj ili leže na jednoj pravoj.

Primjer 1

Uvjeti kolinearnosti vektora

Dva vektora su kolinearna ako je tačan bilo koji od sljedećih uslova:

• stanje 1 . Vektori a i b su kolinearni ako postoji broj λ takav da je a = λ b;
• stanje 2 . Vektori a i b su kolinearni sa jednakim koordinatnim omjerima:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• stanje 3 . Vektori a i b su kolinearni pod uslovom da su unakrsni proizvod i nulti vektor jednaki:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Napomena 1

Stanje 2 nije primjenjivo ako je jedna od vektorskih koordinata nula.

Napomena 2

Stanje 3 odnosi se samo na one vektore koji su specificirani u prostoru.

Primjeri problema za proučavanje kolinearnosti vektora

Ispitujemo kolinearnost vektora a = (1; 3) i b = (2; 1).

Kako riješiti?

U ovom slučaju potrebno je koristiti 2. uslov kolinearnosti. Za date vektore to izgleda ovako:

Jednakost je lažna. Iz ovoga možemo zaključiti da su vektori a i b nekolinearni.

Odgovori : a | | b

Primjer 2

Koja je vrijednost m vektora a = (1; 2) i b = (- 1; m) neophodna da bi vektori bili kolinearni?

Kako riješiti?

Koristeći drugi uslov kolinearnosti, vektori će biti kolinearni ako su njihove koordinate proporcionalne:

Ovo pokazuje da je m = - 2.

odgovor: m = - 2 .

Kriterijumi za linearnu zavisnost i linearnu nezavisnost vektorskih sistema

Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno zavisan samo ako se jedan od vektora sistema može izraziti u terminima preostalih vektora ovog sistema.

Dokaz

Neka je sistem e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno zavisan. Napišimo linearnu kombinaciju ovog sistema jednaku nultom vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

u kojoj barem jedan od koeficijenata kombinacije nije jednak nuli.

Neka je a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Obje strane jednakosti dijelimo nenultim koeficijentom:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označimo:

A k - 1 a m , gdje je m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

U ovom slučaju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ili e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iz toga slijedi da je jedan od vektora sistema izražen kroz sve ostale vektore sistema. Što je trebalo dokazati (itd.).

Adekvatnost

Neka je jedan od vektora linearno izražen kroz sve ostale vektore sistema:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektor e k pomjerimo na desnu stranu ove jednakosti:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Pošto je koeficijent vektora e k jednak - 1 ≠ 0, dobijamo netrivijalnu predstavu nule sistemom vektora e 1, e 2, . . . , e n , a to zauzvrat znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan. Što je trebalo dokazati (itd.).

Posljedica:

• Sistem vektora je linearno nezavisan kada se nijedan od njegovih vektora ne može izraziti u terminima svih drugih vektora sistema.
• Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Svojstva linearno zavisnih vektora

1. Za 2- i 3-dimenzionalne vektore ispunjen je sljedeći uvjet: dva linearno zavisna vektora su kolinearna. Dva kolinearna vektora su linearno zavisna.
2. Za 3-dimenzionalne vektore, ispunjen je sljedeći uvjet: tri linearno zavisna vektora su komplanarna. (3 koplanarna vektora su linearno zavisna).
3. Za n-dimenzionalne vektore, ispunjen je sljedeći uvjet: n + 1 vektora je uvijek linearno zavisno.

Primjeri rješavanja problema koji uključuju linearnu ovisnost ili linearnu neovisnost vektora

Provjerimo linearnu nezavisnost vektora a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

Rješenje. Vektori su linearno zavisni jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 4

Provjerimo linearnu nezavisnost vektora a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Rješenje. Pronalazimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija biti jednaka nultom vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Zapisujemo vektorsku jednačinu u linearnom obliku:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ovaj sistem rješavamo Gaussovom metodom:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. reda oduzimamo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. reda oduzimamo 2., u 3. dodajemo 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rješenja proizilazi da sistem ima mnogo rješenja. To znači da postoji različita od nule kombinacija vrijednosti takvih brojeva x 1, x 2, x 3 za koje je linearna kombinacija a, b, c jednaka nultom vektoru. Dakle, vektori a, b, c su linearno zavisna. ​​​​​​​

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka L je proizvoljan linearni prostor, a i Î L,- njegovi elementi (vektori).

Definicija 3.3.1. Izraz , gdje , - proizvoljni realni brojevi, koji se nazivaju linearna kombinacija vektori a 1 , a 2 ,…, a n.

Ako je vektor R = , onda to kažu R dekomponovati na vektore a 1 , a 2 ,…, a n.

Definicija 3.3.2. Linearna kombinacija vektora se naziva netrivijalan, ako među brojevima postoji barem jedan različit od nule. U suprotnom, linearna kombinacija se poziva trivijalan.

Definicija 3.3.3 . Vektori a 1 , a 2 ,…, a n nazivaju se linearno zavisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija takva da

= 0 .

Definicija 3.3.4. Vektori a 1 ,a 2 ,…, a n nazivaju se linearno nezavisnim ako je jednakost = 0 moguće je samo u slučaju kada su svi brojevi l 1, l 2,…, l n su istovremeno jednaki nuli.

Imajte na umu da se svaki element različit od nule a 1 može smatrati linearno nezavisnim sistemom, budući da je jednakost l a 1 = 0 moguće samo ako l= 0.

Teorema 3.3.1. Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost a 1 , a 2 ,…, a n je mogućnost razlaganja barem jednog od ovih elemenata na ostatak.

Dokaz. Nužnost. Neka su elementi a 1 , a 2 ,…, a n linearno zavisna. To znači da = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, l n različito od nule. Neka za sigurnost l 1 ¹ 0. Onda

tj. element a 1 se razlaže na elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adekvatnost. Neka se element a 1 razloži na elemente a 2 , a 3 , …, a n, tj. a 1 = . Tada = 0 , dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija vektora a 1 , a 2 ,…, a n, jednako 0 , pa su linearno zavisne .

Teorema 3.3.2. Ako je barem jedan od elemenata a 1 , a 2 ,…, a n nula, onda su ovi vektori linearno zavisni.

Dokaz . Neka a n= 0 , zatim = 0 , što znači linearnu zavisnost ovih elemenata.

Teorema 3.3.3. Ako među n vektora bilo koji p (str< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dokaz. Neka su, radi određenosti, elementi a 1 , a 2 ,…, a str linearno zavisna. To znači da postoji netrivijalna linearna kombinacija takva da = 0 . Navedena jednakost će biti sačuvana ako dodamo element u oba njegova dijela. Onda + = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, lp različito od nule. Dakle, vektori a 1 , a 2 ,…, a n su linearno zavisne.

Posljedica 3.3.1. Ako je n elemenata linearno neovisno, tada je bilo koji k od njih linearno neovisno (k< n).

Teorema 3.3.4. Ako vektori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 su linearno nezavisni, a elementi a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n su linearno zavisne, a zatim vektor a n se može proširiti u vektore a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Dokaz. Pošto je po uslovu a 1 , a 2 ,…,a n- 1, a n su linearno zavisne, onda postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija = 0 , i (inače će se pokazati da su vektori a 1 , a 2 ,…, a linearno zavisni n- 1). Ali onda vektor

Q.E.D.

Drugim riječima, linearna ovisnost grupe vektora znači da među njima postoji vektor koji se može predstaviti linearnom kombinacijom drugih vektora u ovoj grupi.

Recimo. Onda

Stoga vektor x linearno zavisna od vektora ove grupe.

Vektori x, y, ..., z nazivaju se linearnim nezavisni vektori, ako iz jednakosti (0) slijedi da

α=β= ...= γ=0.

To jest, grupe vektora su linearno nezavisne ako nijedan vektor ne može biti predstavljen linearnom kombinacijom drugih vektora u ovoj grupi.

Određivanje linearne zavisnosti vektora

Neka je dat m vektora niza reda n:

Nakon što smo napravili Gaussov izuzetak, matricu (2) svodimo na gornji trouglasti oblik. Elementi posljednje kolone se mijenjaju samo kada se redovi preurede. Nakon m eliminacionih koraka dobijamo:

Gdje i 1 , i 2 , ..., i m - indeksi reda dobiveni mogućom permutacijom redova. Uzimajući u obzir rezultujuće redove iz indeksa reda, isključujemo one koji odgovaraju nultom vektoru reda. Preostale linije formiraju linearno nezavisne vektore. Imajte na umu da pri sastavljanju matrice (2), promjenom niza vektora reda, možete dobiti drugu grupu linearno nezavisnih vektora. Ali podprostor koji formiraju obje ove grupe vektora se poklapa.