Dokazati da su vektori linearno nezavisni. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost sistema vektora

Neka L – linearni prostor iznad terena R . Neka A1, a2, …, an (*) konačni sistem vektora iz L . Vector IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× An (16) se zove Linearna kombinacija vektora ( *), ili kažu da je vektor IN linearno izraženo kroz sistem vektora (*).

Definicija 14. Sistem vektora (*) se zove Linearno zavisna , ako i samo ako postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se poziva sistem (*). Linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

10. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Zaista, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, To je 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora sadrži dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Konačan sistem vektora (*) za n ³ 2 je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija preostalih vektora ovog sistema.

Þ Neka je (*) linearno zavisna. Tada postoji skup koeficijenata a1, a2, …, an koji nije nula, za koji je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + bn A N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn A N= 0 , tj. (*) je linearno zavisna.

Komentar. Koristeći posljednju osobinu, možemo definirati linearnu zavisnost i nezavisnost beskonačnog sistema vektora.

Definicija 15. Vektorski sistem A1, a2, …, an , … (**) se poziva Linearno zavisna, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. U suprotnom, sistem (**) se poziva Linearno nezavisna.

40. Konačan sistem vektora je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od njegovih vektora ne može biti linearno izražen u terminima njegovih preostalih vektora.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, tada je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

60. Ako je neki podsistem datog sistema vektora linearno zavisan, onda je i cijeli sistem linearno zavisan.

Neka su data dva sistema vektora A1, a2, …, an , … (16) i V1, V2, …, Vs, … (17). Ako se svaki vektor sistema (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sistema (17), onda se kaže da je sistem (17) linearno izražen kroz sistem (16).

Definicija 16. Dva vektorska sistema se nazivaju Ekvivalentno , ako je svaki od njih linearno izražen kroz drugi.

Teorema 9 (osnovni teorem linearne zavisnosti).

Neka bude – dva konačna sistema vektora iz L . Ako je prvi sistem linearno nezavisan i linearno izražen kroz drugi, onda N£s.

Dokaz. Pretvarajmo se to N> S. Prema uslovima teoreme

joint Pošto je broj jednačina veći od broja nepoznatih, sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Prema tome, ima različitu od nule X10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti vrijedit će jednakost (18), što je u suprotnosti sa činjenicom da je sistem vektora linearno nezavisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. dakle, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sistema vektora konačna i linearno nezavisna, onda sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Vektorski sistem se zove Maksimalni linearno nezavisni sistem vektora Linearni prostor L , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se dodaje bilo koji vektor iz L , nije uključen u ovaj sistem, postaje linearno zavisan.

Teorema 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno nezavisna sistema vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz proizilazi iz činjenice da su bilo koja dva maksimalna linearno nezavisna sistema vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da je bilo koji linearno nezavisan sistem vektora prostora L može se proširiti na maksimalni linearno nezavisan sistem vektora u ovom prostoru.

primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora, svaki sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno nezavisan.

2. U skupu svih komplanarnih geometrijskih vektora, bilo koja dva nekolinearna vektora čine maksimalni linearno nezavisan sistem.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora, svaki sistem od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno nezavisan.

4. U skupu svih polinoma stepeni nisu veći od N Sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, sistem polinoma 1, x, x2, … , xn Maksimalno je linearno nezavisan.

5. U skupu svih polinoma sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, primjeri maksimalnog linearno nezavisnog sistema su

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Skup matrica dimenzija M´ N je linearni prostor (provjerite ovo). Primer maksimalnog linearno nezavisnog sistema u ovom prostoru je matrični sistem E11= , E12 =, …, EMn = .

Neka je zadan sistem vektora C1, c2, …, up (*). Poziva se podsistem vektora iz (*). Maksimalno linearno nezavisno Podsistem sistemi ( *) , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sistema, postaje linearno zavisan. Ako je sistem (*) konačan, onda bilo koji od njegovih maksimalnih linearno nezavisnih podsistema sadrži isti broj vektora. (Dokažite sami). Poziva se broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom podsistemu sistema (*). Rang Ovaj sistem. Očigledno, ekvivalentni sistemi vektora imaju iste rangove.

Definicija. Linearna kombinacija vektora a 1 , ..., a n sa koeficijentima x 1 , ..., x n naziva se vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivijalan, ako su svi koeficijenti x 1 , ..., x n jednaki nuli.

Definicija. Poziva se linearna kombinacija x 1 a 1 + ... + x n a n netrivijalan, ako barem jedan od koeficijenata x 1, ..., x n nije jednak nuli.

linearno nezavisna, ako ne postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru.

To jest, vektori a 1, ..., a n su linearno nezavisni ako je x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ako i samo ako je x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definicija. Vektori a 1, ..., a n se nazivaju linearno zavisna, ako postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru.

Svojstva linearno zavisnih vektora:

Za 2 i 3 dimenzionalne vektore.

Dva linearno zavisna vektora su kolinearna. (Kolinearni vektori su linearno zavisni.)

Za 3-dimenzionalne vektore.

Tri linearno zavisna vektora su koplanarna. (Tri koplanarna vektora su linearno zavisna.)

• Za n-dimenzionalne vektore.

  n + 1 vektora su uvijek linearno zavisni.

Primjeri problema o linearnoj zavisnosti i linearnoj nezavisnosti vektora:

Primjer 1. Provjerite jesu li vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) linearno nezavisni .

Rješenje:

Vektori će biti linearno zavisni, jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 2. Provjerite jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) linearno nezavisni.

Rješenje:

oduzmite drugi od prvog reda; dodajte drugi red u treći red:

Ovo rješenje pokazuje da sistem ima mnogo rješenja, odnosno da postoji kombinacija vrijednosti brojeva x 1, x 2, x 3 različita od nule tako da je linearna kombinacija vektora a, b, c jednaka nulti vektor, na primjer:

A + b + c = 0

što znači da su vektori a, b, c linearno zavisni.

odgovor: vektori a, b, c su linearno zavisni.

Primjer 3. Provjerite jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) linearno nezavisni.

Rješenje: Nađimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija ovih vektora biti jednaka nultom vektoru.

Ova vektorska jednačina se može napisati kao sistem linearnih jednačina

Rešimo ovaj sistem Gaussovom metodom

oduzmi prvi od drugog reda; oduzmi prvo od trećeg reda:

oduzmite drugi od prvog reda; dodajte drugi u treći red.

Drugim riječima, linearna ovisnost grupe vektora znači da među njima postoji vektor koji se može predstaviti linearnom kombinacijom drugih vektora u ovoj grupi.

Recimo. Onda

Stoga vektor x linearno zavisna od vektora ove grupe.

Vektori x, y, ..., z nazivaju se linearnim nezavisni vektori, ako iz jednakosti (0) slijedi da

α=β= ...= γ=0.

To jest, grupe vektora su linearno nezavisne ako nijedan vektor ne može biti predstavljen linearnom kombinacijom drugih vektora u ovoj grupi.

Određivanje linearne zavisnosti vektora

Neka je dat m vektora niza reda n:

Nakon što smo napravili Gaussov izuzetak, matricu (2) svodimo na gornji trouglasti oblik. Elementi posljednje kolone se mijenjaju samo kada se redovi preurede. Nakon m eliminacionih koraka dobijamo:

Gdje i 1 , i 2 , ..., i m - indeksi reda dobiveni mogućom permutacijom redova. Uzimajući u obzir rezultujuće redove iz indeksa reda, isključujemo one koji odgovaraju nultom vektoru reda. Preostale linije formiraju linearno nezavisne vektore. Imajte na umu da pri sastavljanju matrice (2), promjenom niza vektora reda, možete dobiti drugu grupu linearno nezavisnih vektora. Ali podprostor koji formiraju obje ove grupe vektora se poklapa.

Predstavili smo mi linearne operacije na vektorima omogućavaju stvaranje različitih izraza za vektorske veličine i transformirajte ih koristeći svojstva postavljena za ove operacije.

Na osnovu datog skupa vektora a 1, ..., a n, možete kreirati izraz forme

gdje su a 1, ... i n proizvoljni realni brojevi. Ovaj izraz se zove linearna kombinacija vektora a 1, ..., a n. Brojevi α i, i = 1, n predstavljaju koeficijenti linearne kombinacije. Skup vektora se također naziva sistem vektora.

U vezi sa uvedenim konceptom linearne kombinacije vektora, javlja se problem opisivanja skupa vektora koji se može napisati kao linearna kombinacija datog sistema vektora a 1, ..., a n. Osim toga, postavljaju se prirodna pitanja o uslovima pod kojima postoji predstava vektora u obliku linearne kombinacije i o jedinstvenosti takve reprezentacije.

Definicija 2.1. Vektori a 1, ... i n se nazivaju linearno zavisna, ako postoji skup koeficijenata α 1 , ... , α n takvih da

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

i barem jedan od ovih koeficijenata nije nula. Ako navedeni skup koeficijenata ne postoji, vektori se pozivaju linearno nezavisna.

Ako je α 1 = ... = α n = 0, onda je, očigledno, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Imajući to na umu, možemo reći ovo: vektori a 1, ..., i n su linearno nezavisne ako iz jednakosti (2.2) slijedi da su svi koeficijenti α 1 , ... , α n jednaki nuli.

Sljedeća teorema objašnjava zašto se novi koncept naziva terminom "zavisnost" (ili "nezavisnost") i pruža jednostavan kriterij za linearnu ovisnost.

Teorema 2.1. Da bi vektori a 1, ..., i n, n > 1, bili linearno zavisni, potrebno je i dovoljno da jedan od njih bude linearna kombinacija ostalih.

◄ Nužnost. Pretpostavimo da su vektori a 1, ... i n linearno zavisni. Prema definiciji 2.1 linearne zavisnosti, u jednakosti (2.2) na lijevoj strani postoji najmanje jedan koeficijent različit od nule, na primjer α 1. Ostavljajući prvi član na lijevoj strani jednakosti, ostale pomjeramo na desnu stranu, mijenjajući njihove predznake, kao i obično. Podijelimo rezultujuću jednakost sa α 1, dobijamo

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

one. reprezentacija vektora a 1 kao linearne kombinacije preostalih vektora a 2, ..., a n.

Adekvatnost. Neka se, na primjer, prvi vektor a 1 može predstaviti kao linearna kombinacija preostalih vektora: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Prenoseći sve članove s desne strane na lijevu, dobijamo a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tj. linearna kombinacija vektora a 1, ..., a n sa koeficijentima α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, jednakim nulti vektor. U ovoj linearnoj kombinaciji, nisu svi koeficijenti jednaki nuli. Prema definiciji 2.1, vektori a 1, ..., i n su linearno zavisni.

Definicija i kriterijum za linearnu zavisnost su formulisani tako da impliciraju prisustvo dva ili više vektora. Međutim, možemo govoriti i o linearnoj zavisnosti jednog vektora. Da biste ostvarili ovu mogućnost, umjesto „vektori su linearno zavisni“, trebate reći „sistem vektora je linearno zavisan“. Lako je vidjeti da izraz „sistem jednog vektora je linearno zavisan“ znači da je ovaj pojedinačni vektor nula (u linearnoj kombinaciji postoji samo jedan koeficijent, i ne bi trebao biti jednak nuli).

Koncept linearne zavisnosti ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Sljedeće tri izjave pojašnjavaju ovo tumačenje.

Teorema 2.2. Dva vektora su linearno zavisna ako i samo ako su kolinearno.

◄ Ako su vektori a i b linearno zavisni, onda se jedan od njih, na primjer a, izražava kroz drugi, tj. a = λb za neki realni broj λ. Prema definiciji 1.7 radi vektori po broju, vektori a i b su kolinearni.

Neka su sada vektori a i b kolinearni. Ako su oba nula, onda je očito da su linearno zavisni, jer je svaka njihova linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Neka jedan od ovih vektora nije jednak 0, na primjer vektor b. Označimo sa λ omjer dužina vektora: λ = |a|/|b|. Kolinearni vektori mogu biti jednosmjerno ili suprotno usmerena. U potonjem slučaju mijenjamo predznak λ. Zatim, provjeravajući definiciju 1.7, uvjeravamo se da je a = λb. Prema teoremi 2.1, vektori a i b su linearno zavisni.

Napomena 2.1. U slučaju dva vektora, uzimajući u obzir kriterijum linearne zavisnosti, dokazana teorema se može preformulisati na sledeći način: dva vektora su kolinearna ako i samo ako je jedan od njih predstavljen kao proizvod drugog brojem. Ovo je zgodan kriterijum za kolinearnost dva vektora.

Teorema 2.3. Tri vektora su linearno zavisna ako i samo ako su komplanarno.

◄ Ako su tri vektora a, b, c linearno zavisna, onda je, prema teoremi 2.1, jedan od njih, na primjer a, linearna kombinacija ostalih: a = βb + γc. Kombinirajmo početak vektora b i c u tački A. Tada će vektori βb, γs imati zajedničko ishodište u tački A i duž prema pravilu paralelograma njihov zbir je one. vektor a će biti vektor sa poreklom A i kraj, koji je vrh paralelograma izgrađenog na komponentnim vektorima. Dakle, svi vektori leže u istoj ravni, odnosno komplanarni.

Neka su vektori a, b, c komplanarni. Ako je jedan od ovih vektora nula, onda će to očito biti linearna kombinacija ostalih. Dovoljno je uzeti sve koeficijente linearne kombinacije jednakima nuli. Stoga možemo pretpostaviti da sva tri vektora nisu nula. Kompatibilan počeo ovih vektora u zajedničkoj tački O. Neka su njihovi krajevi tačke A, B, C, redom (slika 2.1). Kroz tačku C povlačimo prave paralelne sa linijama koje prolaze kroz parove tačaka O, A i O, B. Označavajući tačke preseka kao A" i B", dobijamo paralelogram OA"CB", dakle, OC" = OA" + OB". Vektor OA" i vektor različit od nule a = OA su kolinearni, pa se prvi od njih može dobiti množenjem drugog sa realnim brojem α:OA" = αOA. Slično, OB" = βOB, β ∈ R. Kao rezultat dobijamo da je OC" = α OA + βOB, tj. vektor c je linearna kombinacija vektora a i b. Prema teoremi 2.1, vektori a, b, c su linearno zavisni.

Teorema 2.4. Svaka četiri vektora su linearno zavisna.

◄ Dokaz izvodimo prema istoj shemi kao u teoremi 2.3. Razmotrimo proizvoljna četiri vektora a, b, c i d. Ako je jedan od četiri vektora nula, ili među njima postoje dva kolinearna vektora, ili su tri od četiri vektora koplanarna, onda su ova četiri vektora linearno zavisna. Na primjer, ako su vektori a i b kolinearni, onda možemo napraviti njihovu linearnu kombinaciju αa + βb = 0 sa koeficijentima koji nisu nula, a zatim dodati preostala dva vektora ovoj kombinaciji, uzimajući nule kao koeficijente. Dobijamo linearnu kombinaciju četiri vektora jednaka 0, u kojoj postoje koeficijenti različiti od nule.

Dakle, možemo pretpostaviti da među odabrana četiri vektora nijedan vektor nije nula, nijedna dva nisu kolinearna i nijedna tri nisu komplanarna. Za njihov zajednički početak izaberimo tačku O. Tada će krajevi vektora a, b, c, d biti neke tačke A, B, C, D (slika 2.2). Kroz tačku D povučemo tri ravni paralelne sa ravnima OBC, OCA, OAB, i neka su A", B", C" tačke preseka ovih ravni sa pravim OA, OB, OS, redom. Dobijamo paralelepiped OA" C "B" C" B"DA", a vektori a, b, c leže na njegovim ivicama koje izlaze iz vrha O. Pošto je četvorougao OC"DC" paralelogram, onda je OD = OC" + OC". Zauzvrat, segment OC" je dijagonalni paralelogram OA"C"B", tako da OC" = OA" + OB" i OD = OA" + OB" + OC" .

Ostaje napomenuti da su parovi vektora OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" kolinearni, te je stoga moguće odabrati koeficijente α, β, γ tako da OA" = αOA , OB" = βOB i OC" = γOC. Konačno dobijamo OD = αOA + βOB + γOC. Posljedično, OD vektor je izražen kroz ostala tri vektora, a sva četiri vektora, prema teoremi 2.1, su linearno zavisna.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rješenje. Tražimo opšte rešenje za sistem jednačina

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussova metoda. Da bismo to učinili, pišemo ovaj homogeni sistem u koordinatama:

System Matrix

Dozvoljeni sistem ima oblik: (r A = 2, n= 3). Sistem je kooperativan i neizvjestan. Njegovo generalno rješenje ( x 2 – slobodna varijabla): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Prisustvo određenog rješenja različitog od nule, na primjer, ukazuje da su vektori a 1 , a 2 , a 3 linearno zavisna.

Primjer 2.

Saznajte da li je dati sistem vektora linearno zavisan ili linearno nezavisan:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Rješenje. Razmotrimo homogeni sistem jednačina a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

ili u proširenom obliku (po koordinatama)

Sistem je homogen. Ako je nedegenerisan, onda ima jedinstveno rješenje. U slučaju homogenog sistema, postoji nulto (trivijalno) rešenje. To znači da je u ovom slučaju sistem vektora nezavisan. Ako je sistem degenerisan, onda ima rješenja različita od nule i stoga je zavisan.

Provjeravamo sistem na degeneraciju:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem je nedegenerisan, a samim tim i vektori a 1 , a 2 , a 3 linearno nezavisna.

Zadaci. Saznajte da li je dati sistem vektora linearno zavisan ili linearno nezavisan:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokazati da će sistem vektora biti linearno zavisan ako sadrži:

a) dva jednaka vektora;

b) dva proporcionalna vektora.