Linearna zavisnost i nezavisnost. Linearna zavisnost i nezavisnost, svojstva, proučavanje sistema vektora za linearnu zavisnost, primeri i rešenja Teorema linearne nezavisnosti

Lema 1 : Ako je u matrici veličine n n barem jedan red (kolona) jednak nuli, tada su redovi (kolone) matrice linearno zavisni.

dokaz: Neka je tada prvi red nula

Gdje a 1 0. To je ono što se tražilo.

definicija: Poziva se matrica čiji su elementi koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli trouglasti:

i ij = 0, i>j.

Lema 2: Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu elemenata glavne dijagonale.

Dokaz je lako izvesti indukcijom na dimenziju matrice.

Teorema o linearnoj nezavisnosti vektora.

A)Nužnost: linearno zavisna D=0 .

dokaz: Neka budu linearno zavisni, j=,

to jest, postoji j , nisu svi jednaki nuli, j= ,Šta a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – matrične kolone A. Neka, na primjer, a n¹0.

Imamo a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Zamijenimo zadnji stupac matrice A on

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Prema gore dokazanom svojstvu determinante (neće se promijeniti ako se u bilo koji stupac u matrici doda još jedan stupac pomnožen brojem), determinanta nove matrice jednaka je determinanti originalne. Ali u novoj matrici jedan stupac je nula, što znači da, širenjem determinante preko ovog stupca, dobijamo D=0, Q.E.D.

b)Adekvatnost: Matrica veličine n nsa linearno nezavisnim redovima Uvijek se može svesti na trokutni oblik korištenjem transformacija koje ne mijenjaju apsolutnu vrijednost determinante. Štaviše, iz nezavisnosti redova originalne matrice sledi da je njena determinanta jednaka nuli.

1. Ako je u matrici veličine n n sa linearno nezavisnim elementom redova a 11 je jednak nuli, zatim stupac čiji element a 1 j ¹ 0. Prema lemi 1, takav element postoji. Determinanta transformisane matrice može se razlikovati od determinante originalne matrice samo u znaku.

2. Iz redova sa brojevima i>1 oduzmi prvi red pomnozen razlomkom a i 1 /a 11. Štaviše, u prvoj koloni redova sa brojevima i>1 rezultiraće nula elemenata.

3. Počnimo računati determinantu rezultirajuće matrice dekomponiranjem preko prve kolone. Pošto su svi elementi u njemu osim prvog jednaki nuli,

D novo = a 11 novih (-1) 1+1 D 11 novih,

Gdje d 11 novo je determinanta matrice manje veličine.

Dalje, za izračunavanje determinante D 11 ponavljajte korake 1, 2, 3 dok se posljednja determinanta ne pokaže kao determinanta matrice veličine 1 1. Pošto korak 1 samo mijenja predznak determinante matrice koja se transformira, a korak 2 uopće ne mijenja vrijednost determinante, onda ćemo do predznaka na kraju dobiti determinantu originalne matrice. U ovom slučaju, budući da je zbog linearne nezavisnosti redova originalne matrice, korak 1 uvijek zadovoljen, svi elementi glavne dijagonale će se pokazati nejednakim nuli. Dakle, konačna determinanta, prema opisanom algoritmu, jednaka je proizvodu različitih elemenata na glavnoj dijagonali. Dakle, determinanta originalne matrice nije jednaka nuli. Q.E.D.

Dodatak 2

U nastavku je dato nekoliko kriterijuma za linearnu zavisnost i, shodno tome, linearnu nezavisnost vektorskih sistema.

Teorema. (Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora.)

Sistem vektora je zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen kroz ostale u ovom sistemu.

Dokaz. Nužnost. Neka je sistem linearno zavisan. Tada, po definiciji, predstavlja nulti vektor netrivijalno, tj. postoji netrivijalna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka , .

Podijelimo obje strane prethodne jednakosti ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožimo sa:

Označimo: , gdje .

one. jedan od vektora sistema se linearno izražava kroz ostale ovog sistema itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema:

Pomaknimo vektor desno od ove jednakosti:

Pošto je koeficijent vektora jednak , onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora, što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sistem linearno nezavisan. Pretpostavimo suprotno i postoji vektor sistema koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema. Tada je, prema teoremi, sistem linearno zavisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka nijedan od vektora sistema ne bude izražen u terminima ostalih. Pretpostavimo suprotno. Neka je sistem linearno zavisan, ali onda iz teoreme proizilazi da postoji vektor sistema koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema i opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sistem sadrži nulti vektor. Pretpostavimo radi određenosti da je vektor :. Tada je jednakost očigledna

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen kroz ostale vektore ovog sistema. Iz teoreme slijedi da je takav sistem vektora linearno zavisan, itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati direktno iz linearno zavisnog sistema vektora.

Budući da , sljedeća jednakost je očigledna

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sistem linearno zavisan.

2b) Neka sistem ima dva jednaka vektora. Neka za . Tada je jednakost očigledna

One. prvi vektor je linearno izražen kroz preostale vektore istog sistema. Iz teoreme slijedi da je ovaj sistem linearno zavisan, itd.

Slično kao i prethodni, ova tvrdnja se može dokazati direktno definicijom linearno zavisnog sistema.Tada ovaj sistem netrivijalno predstavlja nulti vektor

odakle sledi linearna zavisnost sistema.

Teorema je dokazana.

Posljedica. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

Neka L – linearni prostor iznad terena R . Neka A1, a2, …, an (*) konačni sistem vektora iz L . Vector IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× An (16) se zove Linearna kombinacija vektora ( *), ili kažu da je vektor IN linearno izraženo kroz sistem vektora (*).

Definicija 14. Sistem vektora (*) se zove Linearno zavisna , ako i samo ako postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se poziva sistem (*). Linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

10. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Zaista, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, To je 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora sadrži dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Konačan sistem vektora (*) za n ³ 2 je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija preostalih vektora ovog sistema.

Þ Neka je (*) linearno zavisna. Tada postoji skup koeficijenata a1, a2, …, an koji nije nula, za koji je a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + bn A N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn A N= 0 , tj. (*) je linearno zavisna.

Komentar. Koristeći posljednju osobinu, možemo definirati linearnu zavisnost i nezavisnost beskonačnog sistema vektora.

Definicija 15. Vektorski sistem A1, a2, …, an , … (**) se poziva Linearno zavisna, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. U suprotnom, sistem (**) se poziva Linearno nezavisna.

40. Konačan sistem vektora je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od njegovih vektora ne može biti linearno izražen u smislu njegovih preostalih vektora.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

60. Ako je neki podsistem datog sistema vektora linearno zavisan, onda je i cijeli sistem linearno zavisan.

Neka su data dva sistema vektora A1, a2, …, an , … (16) i V1, V2, …, Vs, … (17). Ako se svaki vektor sistema (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sistema (17), onda se kaže da je sistem (17) linearno izražen kroz sistem (16).

Definicija 16. Dva vektorska sistema se nazivaju Ekvivalentno , ako je svaki od njih linearno izražen kroz drugi.

Teorema 9 (osnovni teorem linearne zavisnosti).

Neka bude – dva konačna sistema vektora iz L . Ako je prvi sistem linearno nezavisan i linearno izražen kroz drugi, onda N£s.

Dokaz. Pretvarajmo se to N> S. Prema uslovima teoreme

joint Pošto je broj jednačina veći od broja nepoznatih, sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Prema tome, ima različitu od nule X10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti vrijedit će jednakost (18), što je u suprotnosti sa činjenicom da je sistem vektora linearno nezavisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. dakle, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sistema vektora konačna i linearno nezavisna, onda sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Vektorski sistem se zove Maksimalni linearno nezavisni sistem vektora Linearni prostor L , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se dodaje bilo koji vektor iz L , nije uključen u ovaj sistem, postaje linearno zavisan.

Teorema 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno nezavisna sistema vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz proizilazi iz činjenice da su svaka dva maksimalna linearno nezavisna sistema vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da je bilo koji linearno nezavisan sistem vektora prostora L može se proširiti na maksimalni linearno nezavisan sistem vektora u ovom prostoru.

primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora, svaki sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno nezavisan.

2. U skupu svih komplanarnih geometrijskih vektora, bilo koja dva nekolinearna vektora čine maksimalni linearno nezavisan sistem.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora, svaki sistem od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno nezavisan.

4. U skupu svih polinoma stepeni nisu veći od N Sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, sistem polinoma 1, x, x2, … , xn Maksimalno je linearno nezavisan.

5. U skupu svih polinoma sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, primjeri maksimalnog linearno nezavisnog sistema su

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Skup matrica dimenzija M´ N je linearni prostor (provjerite ovo). Primer maksimalnog linearno nezavisnog sistema u ovom prostoru je matrični sistem E11= , E12 =, …, EMn = .

Neka je zadan sistem vektora C1, c2, …, up (*). Poziva se podsistem vektora iz (*). Maksimalno linearno nezavisno Podsistem sistemi ( *) , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sistema, postaje linearno zavisan. Ako je sistem (*) konačan, onda bilo koji od njegovih maksimalnih linearno nezavisnih podsistema sadrži isti broj vektora. (Dokažite sami). Poziva se broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom podsistemu sistema (*). Rang Ovaj sistem. Očigledno, ekvivalentni sistemi vektora imaju iste rangove.

Teorema 1. (O linearnoj nezavisnosti ortogonalnih vektora). Neka je tada sistem vektora linearno nezavisan.

Napravimo linearnu kombinaciju ∑λ i x i =0 i razmotrimo skalarni proizvod (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, ali ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Definicija 1. Vektorski sistemili (e i ,e j)=δ ij - Kroneckerov simbol, naziva se ortonormalnim (ONS).

Definicija 2. Za proizvoljni element x proizvoljnog beskonačno-dimenzionalnog euklidskog prostora i proizvoljni ortonormalni sistem elemenata, Fourierov red elementa x nad sistemom naziva se formalno sastavljeni beskonačni zbir (serija) oblika , u kojem se realni brojevi λ i nazivaju Fourierovi koeficijenti elementa x u sistemu, gdje je λ i =(x,e i).

Komentar. (Naravno, postavlja se pitanje konvergencije ovog niza. Da bismo proučili ovo pitanje, fiksiramo proizvoljan broj n i saznajemo po čemu se n-ti parcijalni zbir Fourierovog reda razlikuje od bilo koje druge linearne kombinacije prvih n elemenata ortonormalnog sistema.)

Teorema 2. Za bilo koji fiksni broj n, među svim zbirovima oblika, n-ti parcijalni zbir Fourierovog niza elementa ima najmanje odstupanje od elementa x prema normi datog euklidskog prostora

Uzimajući u obzir ortonormalnost sistema i definiciju Furijeovog koeficijenta, možemo napisati

Minimum ovog izraza postiže se pri c i =λ i, jer u ovom slučaju nenegativni prvi zbir na desnoj strani uvijek nestaje, a preostali članovi ne zavise od c i.

Primjer. Razmotrimo trigonometrijski sistem

u prostoru svih Riemannovih integrabilnih funkcija f(x) na segmentu [-π,π]. Lako je provjeriti da je ovo ONS, a onda Fourierov niz funkcije f(x) ima oblik gdje .

Komentar. (Trigonometrijski Fourierov red se obično piše u obliku Onda )

Proizvoljna ONS u beskonačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru bez dodatnih pretpostavki, uopšteno govoreći, nije osnova ovog prostora. Na intuitivnom nivou, bez davanja strogih definicija, opisati ćemo suštinu stvari. U proizvoljnom beskonačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru E, razmotrite ONS, gdje je (e i ,e j)=δ ij Kroneckerov simbol. Neka je M podprostor euklidskog prostora, a k=M ⊥ podprostor ortogonan na M takav da je euklidski prostor E=M+M ⊥ . Projekcija vektora x∈E na podprostor M je vektor ∈M, gdje je

Tražićemo one vrednosti koeficijenata proširenja α k za koje je rezidual (kvadrat reziduala) h 2 =||x-|| 2 će biti minimum:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Jasno je da će ovaj izraz poprimiti minimalnu vrijednost pri α k =0, što je trivijalno, i pri α k =(x,e k). Tada je ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Odavde dobijamo Beselovu nejednakost ∑α k 2 ||x|| 2. Na ρ=0 ortonormirani sistem vektora (ONS) naziva se kompletan ortonormalni sistem u Steklovskom smislu (PONS). Odavde možemo dobiti Steklov-Parsevalovu jednakost ∑α k 2 =||x|| 2 - “Pitagorina teorema” za beskonačno-dimenzionalne euklidske prostore koji su potpuni u smislu Steklova. Sada bi bilo potrebno dokazati da je, da bi bilo koji vektor u prostoru bio jedinstveno predstavljen u obliku Fourierovog niza koji konvergira prema njemu, potrebno i dovoljno da vrijedi Steklov-Parseval jednakost. Sistem vektora pic=""> ONB formira? sistem vektora Razmotrimo parcijalni zbir niza Onda kao rep konvergentnog niza. Dakle, sistem vektora je PONS i formira ONB.

Primjer. Trigonometrijski sistem

u prostoru svih Riemann-integrabilnih funkcija f(x) na segmentu [-π,π] je PONS i formira ONB.

Funkcije se pozivaju linearno nezavisna, Ako

(dozvoljena je samo trivijalna linearna kombinacija funkcija koja je identično jednaka nuli). Za razliku od linearne nezavisnosti vektora, ovdje je linearna kombinacija identična nuli, a ne jednakosti. Ovo je razumljivo, jer jednakost linearne kombinacije sa nulom mora biti zadovoljena za bilo koju vrijednost argumenta.

Funkcije se pozivaju linearno zavisna, ako postoji skup konstanti različit od nule (nisu sve konstante jednake nuli) tako da (postoji netrivijalna linearna kombinacija funkcija identično jednaka nuli).

Teorema.Da bi funkcije bile linearno zavisne, potrebno je i dovoljno da bilo koja od njih bude linearno izražena kroz druge (predstavljena kao njihova linearna kombinacija).

Dokažite ovu teoremu sami; ona se dokazuje na isti način kao i slična teorema o linearnoj zavisnosti vektora.

Odrednica Vronskog.

Determinanta Wronskog za funkcije je uvedena kao determinanta čiji su stupci derivati ​​ovih funkcija od nule (samih funkcija) do n-1. reda.

.

Teorema. Ako funkcije su, dakle, linearno zavisne

Dokaz. Pošto funkcije su linearno zavisne, onda se bilo koji od njih linearno izražava kroz ostale, npr.

Identitet se može razlikovati, dakle

Tada se prvi stupac determinante Wronskog linearno izražava kroz preostale kolone, pa je determinanta Wronskog identično jednaka nuli.

Teorema.Da bi rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da.

Dokaz. Neophodnost sledi iz prethodne teoreme.

Adekvatnost. Hajde da popravimo neku tačku. Budući da su stupci determinante izračunati u ovoj tački linearno zavisni vektori.

, da su odnosi zadovoljni

Kako je linearna kombinacija rješenja linearne homogene jednadžbe njeno rješenje, možemo uvesti rješenje oblika

Linearna kombinacija rješenja sa istim koeficijentima.

Imajte na umu da ovo rješenje zadovoljava nulte početne uslove, što proizilazi iz gore napisanog sistema jednačina. Ali trivijalno rješenje linearne homogene jednačine također zadovoljava iste nulte početne uslove. Dakle, iz Cauchyjeve teoreme slijedi da je uvedeno rješenje identično jednako trivijalnom, dakle,

stoga su rješenja linearno zavisna.

Posljedica.Ako determinanta Wronskog, izgrađena na rješenjima linearne homogene jednadžbe, nestane barem u jednoj tački, onda je identično jednaka nuli.

Dokaz. Ako , tada su rješenja linearno zavisna, dakle, .

Teorema.1. Za linearnu zavisnost rješenja potrebno je i dovoljno(ili ).

2. Za linearnu nezavisnost rješenja potrebno je i dovoljno.

Dokaz. Prva tvrdnja proizilazi iz teoreme i prethodno dokazane posljedice. Druga tvrdnja se može lako dokazati kontradikcijom.

Neka su rješenja linearno nezavisna. Ako je , tada su rješenja linearno zavisna. Kontradikcija. dakle, .

Neka . Ako su rješenja linearno zavisna, onda , dakle, kontradikcija. Dakle, rješenja su linearno nezavisna.

Posljedica.Nestanak determinante Wronskog barem u jednoj tački je kriterij za linearnu ovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Razlika između determinante Wronskog i nule je kriterij za linearnu neovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Teorema.Dimenzija prostora rješenja linearne homogene jednadžbe n-tog reda jednaka je n.

Dokaz.

a) Pokažimo da postoji n linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda. Hajde da razmotrimo rešenja , zadovoljava sljedeće početne uslove:

...........................................................

Takva rješenja postoje. Zaista, prema Cauchyjevoj teoremi, kroz tačku prolazi kroz jednu integralnu krivu – rješenje. Kroz tačku rješenje prolazi kroz tačku

- rješenje, kroz tačku - rešenje.

Ova rješenja su linearno nezavisna, jer .

b) Pokažimo da je svako rješenje linearne homogene jednadžbe linearno izraženo kroz ova rješenja (njihova je linearna kombinacija).

Razmotrimo dva rješenja. Jedan - proizvoljno rješenje sa početnim uslovima . Fer omjer