Formulirajte zakon održanja ugaonog momenta. §2

Zakoni održanja kinetičke energije i impulsa dugo su se nadmetali, preuzimajući vodeću ulogu, jer ni jedan ni drugi zakon nemaju strogo opravdanje. Međutim, naučnici su dugo sumnjali u postojanje veze između njih, o čemu je govorio H. Huygens (1629-1695). Prema Hajgensu, ova veza znači da očuvanje mehaničke energije u bilo kom sistemu koji se ravnomerno kreće podrazumeva očuvanje momenta. Stoga su, nakon duge debate, naučnici došli do zaključka da su ovi zakoni ekvivalentni. Tako je, na primjer, d’Alembert dao sljedeću izjavu o ovom pitanju: „Svakome se mora dati sloboda da riješi ovo pitanje prema vlastitom nahođenju. Štaviše, postavljeno pitanje nije ništa drugo do potpuno jalov metafizički spor o riječima, nedostojan pažnje filozofa.”
Vezu između zakona održanja kinetičke energije i impulsa uspostavio je W. Pauli (1900-1958). Da bi dokazao ovu vezu on koristi Hajgensovu ideju. Citiramo: „U sistemu koji se sastoji od sudarajućih čestica sa masama, brzine čestica se nakon udara mijenjaju u brzine. Očuvanje energije izražava se jednadžbom:

Neka sistem dobije dodatnu brzinu V. Brzine čestica prije udara sada će biti jednake , a nakon udara, a očuvanje energije sada je izraženo relacijom:
,

dakle:

Brzina V- je proizvoljna, stoga će pismena jednakost vrijediti samo ako:

Drugim riječima, impuls sistema prije sudara čestica, jednak izrazu na lijevoj strani, je očuvan nakon sudara.”
Ovo pitanje ćemo također razmotriti s obzirom na njegovu posebnu važnost na primjeru sudara loptica, ali u nešto drugačijem tumačenju (slika 1).
Neka se kuglice kreću u proizvoljnom inercijskom referentnom okviru x-y u istom pravcu (slika 1,a) sa brzinama i . Nakon udara, brzine loptica će poprimiti vrijednosti i . U skladu sa zakonom održanja energije važiće sledeći izraz:
, (1)

Sada razmotrite relativno kretanje, uzimajući jednu od loptica kao referentni okvir. Da bismo to učinili, koristimo princip preokreta kretanja, odnosno dajemo objema lopticama istu brzinu, na primjer, što će dovesti do zaustavljanja prve lopte, jer će njena ukupna brzina biti nula. Brzina druge lopte bit će jednaka relativnoj brzini:
(2)
Zakon održanja kinetičke energije u ovom slučaju će imati oblik:
(3)

(4)
Zajedno rješavajući jednačine (1) i (4) dobijamo izraz:
, (5)

(7)
Tako se dobija zanimljiv rezultat: zakon održanja količine gibanja slijedi iz zakona održanja energije. Takođe treba napomenuti da dobijeni rezultat ne zavisi od izbora referentnog sistema.
Ako uzmemo u obzir suprotno kretanje kuglica (slika 1, b), onda da bi se dobio tačan rezultat, brzinu treba oduzeti od brzine, odnosno pronaći relativnu brzinu u skladu sa izrazom (2) , iako, kao što se vidi iz slike, ove brzine treba dodati. Ova okolnost je zbog činjenice da su brzine kretanja svih tijela vektori, što znači da se čak i kada se oduzmu njihove vrijednosti mogu sabrati.
Dakle, izraze (2), (5) i (7) treba smatrati vektorskim.
Rešavajući zajedno izraze (1) i (5), kao i (3) i (7), nalazimo brzine loptica nakon udara, smatrajući ih vektorima:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Koristeći ove izraze, nalazimo relativne brzine loptica nakon udara:
; (12)
(13)
Dakle, tokom elastičnog udara, relativne brzine kuglica će samo promijeniti svoj smjer.
Izraz (1), koji karakteriše zakon održanja energije, može se predstaviti u drugom obliku:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• odakle slijedi da je energija koju je stekla prva lopta jednaka energiji koju daje druga lopta.

Zamjenom vrijednosti brzina i u izraze (7) i (8) dobijamo:
; (19)
(20)
Pogledajmo sada kako će se veza između zakona održanja energije i količine kretanja ispuniti za složeniji slučaj udara - kosi udar, kada su brzine loptica koje se kreću pod uglom jedna prema drugoj (slika 2) . Na slici su kuglice razdvojene kako bi se bolje prikazale njihove brzine. Pretpostavljamo da se brzina poklapa sa smjerom ose x.
Za rješavanje problema koristimo metodu preokreta kretanja, dajući objema kuglicama brzinu, odnosno kao referentni okvir u relativnom kretanju biramo prvu loptu čija će ukupna brzina biti jednaka nuli. Pretpostavimo, da bismo pojednostavili problem, da će rezultujuća brzina biti usmjerena duž linije koja spaja središta kuglica. Zatim, koristeći poznate vrijednosti brzina za drugu loptu, konstruiše se paralelogram uz pomoć kojeg se uspostavlja veza između ovih brzina i brzine u relativnom kretanju, a može se naći i ugao, jer dat je ugao.
Koristeći paralelogram, koristeći kosinus teoremu dobijamo izraz:
(21)

• koje pretvaramo u oblik:

(22)
Iz ove jednadžbe nalazimo brzinu relativnog kretanja prije početka udara:
(23)
Ugao koji karakterizira smjer vektora nalazi se iz izraza dobivenog korištenjem kosinus teoreme:
, (24)

• odakle dobijamo:

(25)
Tako, kao rezultat izvedenih operacija, dobijamo uobičajeni sudar pokretne i nepokretne lopte u pravcu linije njihovih centara sa početnom relativnom brzinom .
Prije nego što odredimo brzine loptica nakon njihovog sudara, uspostavimo vezu između kinetičke energije loptica u apsolutnom i relativnom kretanju:
; (26)
(27)
Jer
(28)

• Shodno tome, određivat će se i druge brzine u relativnom kretanju:

; (29)
(30)
Zamjenom ovih vrijednosti relativnih brzina u izraz (27) dobijamo:
(31)
Smanjenjem za dva i kvadriranjem razlike u brzinama transformišemo izraz (31) u oblik:
, (32)

Dodavanjem prvog člana na desnoj strani izraza možete isključiti pojmove koji odgovaraju izrazu (26), zbog čega će izraz (32) poprimiti oblik:
(33)
Reduciramo ovaj izraz i grupišemo pojmove, dobijamo:
(34)
Odredivši brzine , a u skladu sa izrazima (28) – (32):
(35)

• i zamjenom ih u izraz (34), pretvaramo ga u oblik:

(36)
Tako smo uspostavili vezu između zakona održanja energije i količine gibanja u apsolutnom i relativnom kretanju loptica pri kosom udaru.
Zajedno rješavajući jednačine (27) i (36), nalazimo brzine loptica u njihovom relativnom kretanju:
; (37)
, (38)

Prilikom rješavanja jednadžbi za dobivanje rješenja u vektorskom obliku, kvadrate brzina treba prikazati kao skalarni proizvod dva identična vektora.
Brzine loptica u apsolutnom kretanju mogu se naći pomoću kosinusne teoreme iz paralelograma prikazanih na slici 2.
Za prvu loptu, modul brzine je određen izrazom:
, (39)

• odakle dobijamo:

(40)
Za drugu loptu, modul brzine će biti jednak:
, (41)

• gdje to možemo naći:

(42)
Uglovi i , koji karakteriziraju smjerove vektora iu odnosu na vektore i , također se nalaze pomoću kosinusne teoreme:
; (43)
(44)
Zamjenom vrijednosti brzina i iz formula (39) i (41) u ove izraze dobijamo:
; (45)
(46)
Da biste provjerili dobivena rješenja, možete pronaći vrijednosti kinetičke energije loptica nakon udara, jer je prije udara njihova energija bila jednaka:
, (47)

• a nakon pogotka bit će:

(48)
Zamjenom vrijednosti kvadrata brzina u izraz (48) i iz izraza (39) i (41) dobijamo:
(49)
Sada koristimo vrijednosti modula brzine i iz izraza (37) i (38):
(50)
Zamjenom vrijednosti modula brzine u ovaj izraz u skladu sa formulom (23) i vršeći transformacije, na kraju dobijamo da će se ispuniti zakon održanja energije.
Razmotrimo sada neelastični sudar dviju kuglica. U tom slučaju dio energije će se potrošiti na strukturne promjene (neelastične deformacije u kuglicama) i na njihovo zagrijavanje, odnosno promjenu unutrašnje energije. Stoga će izrazi zakona održanja energije u dva referentna sistema imati oblik:
; (51)
(52)

Zajedničkim rješavanjem ovog sistema jednadžbi, dobijamo zakon održanja količine kretanja u njegovom uobičajenom obliku:
, (53)

• odnosno gubici energije pri interakciji tela ne utiču na formu ovog zakona.

Pomoću jednadžbi (51) i (53) nalazimo brzine kuglica nakon njihovog neelastičnog sudara:
; (54)
(55)
Očigledno je da će izrazi (54) i (55) imati fizičko značenje samo ako radikalni izraz ima pozitivnu vrijednost. Iz ovog uvjeta možete pronaći vrijednost pri kojoj će zakon održanja impulsa i dalje biti zadovoljen izjednačavanjem radikalnog izraza sa nulom:
(56)

, (57)

(58)
Izrazi (54) i (56), uzimajući u obzir formulu (57), mogu se predstaviti kao:
; (59)
, (60)

(61)
U relativnom kretanju, izrazi za brzine će imati oblik:
; (62)
(63)
Iz gornjih izraza proizilazi da će brzine kuglica biti jednake i da će se kretati zajedno kao jedna.
Ako je koeficijent veći od jedan, tada će radikalni izraz biti negativan i izrazi za brzine će izgubiti svoje fizičko značenje. Budući da će se na , kuglice kretati kao jedna jedinica, jedna jednadžba je dovoljna da odredi brzinu njihovog kretanja. Kada još možete koristiti zakon održanja impulsa, kada biste trebali koristiti samo zakon održanja energije, iako će u matematičkom smislu zakon održanja količine kretanja u ovom slučaju biti zadovoljen. Dakle, zakon održanja impulsa ima ograničenja u svojoj upotrebi. Ovo još jednom potvrđuje prioritetnu ulogu zakona održanja energije u odnosu na zakon održanja količine kretanja. Međutim, u principu je moguće da vrijednosti koeficijenta ne mogu biti veće od jedan, tada će oba zakona uvijek vrijediti, ali ova izjava zahtijeva eksperimentalnu provjeru.
Kako će se kuglice kretati kao jedna cjelina istom brzinom, zakon održanja energije će imati oblik:
, (64)

• gdje je, u skladu s izrazom (61),

(65)
Rješavajući jednačinu (64) dobijamo:
(66)

• ili u relativnom kretanju:

(67)
Ako se sva energija udara potroši na gubitke, odnosno kada je relacija zadovoljena:
, (68)

(69)
Istina, ostaju sumnje da li je takav slučaj zaista moguć.
U §5 prvog poglavlja pokazano je da količina kretanja karakterizira inerciju tijela i određena je omjerom, odnosno odnosom promjene kinetičke energije tijela i promjene njegove brzine . U vezi sa ovom definicijom inercije tijela, može se dati još jedan zaključak o zakonu održanja impulsa. Da bismo to učinili, koristimo izraze (15), (17) i (18), dijeleći ih promjenom brzine prvog tijela:
(70)
Transformirajmo rezultirajući izraz u oblik:
(71)
Koristeći omjer brzine (12) u obliku:
, (72)

• Pretvorimo izraz (71) u oblik:

(73)

• odakle slijedi zakon održanja impulsa:

Zakoni održanja energije i impulsa se široko koriste u rješavanju različitih problema mehanike. Međutim, s obzirom na činjenicu da su ovi zakoni integralni, budući da uzimaju u obzir stanja tijela samo prije i nakon njihove interakcije, ali ne i u trenutku same interakcije, postoji opasnost od gubitka fizičkog značenja tijela. samu interakciju, izbjegavajući objašnjenje ovog fizičkog značenja zbog nerazumijevanja, iako će krajnji rezultat biti ispravan.
Dokažimo ovu tvrdnju na primjeru kretanja čamca kada osoba u njemu baci kamen u vodu (slika 3). Nema sumnje da će se čamac kretati u smjeru suprotnom od bacanja. Za rješavanje problema koristi se zakon održanja impulsa koji će, uzimajući u obzir smjer brzina, imati oblik:
, (74)

, (75)

• odnosno što je veća masa kamena i njegova brzina, veća je i brzina čamca.

Ako pitate nastavnike mehanike koji razlog pokreće čamac, većina njih će odgovoriti da će se čamac kretati jer mora biti zadovoljen zakon održanja količine kretanja. Oni daju takav odgovor jer ne mogu da objasne stvarni uzrok kretanja, iako dobro znaju da kretanje može nastati samo pod dejstvom sile. Koja će sila natjerati čamac da se kreće?
Očigledno, ovdje moramo razumjeti interakciju između ljudskih ruku i kamena u trenutku bacanja. Jedini razlog za pojavu sile koja djeluje na osobu, a preko nje i na čamac, je udar od kamena. Ova sila će se pojaviti ako se kamen krene ubrzano u trenutku bacanja. Tada će se deformirati i u njemu će nastati elastične sile koje će djelovati na ruke osobe. Ove sile, kao što već znamo, su sile inercije i njihova veličina će biti jednaka proizvodu mase kamena i njegovog ubrzanja. Takođe možete reći da se osoba odguruje od kamena. Međutim, rješavanje ovog problema korištenjem Newtonovog drugog zakona je gotovo nemoguće, jer nećemo moći pronaći ubrzanje kamena u trenutku bacanja. Brzinu njegovog kretanja u prvim trenucima kretanja je mnogo lakše pronaći. Dakle, upotreba integralnih zakona kretanja značajno pojednostavljuje rješavanje mnogih problema u mehanici. Istina, ne treba zaboraviti na fizičku suštinu fenomena koji se razmatraju. U ovom slučaju, matematička moć integralnih zakona održanja će biti otkrivena još jasnije.
Razmotrimo sada složeniji problem o kretanju kolica na kojima se nalaze dva tereta koji se rotiraju u različitim smjerovima istom kutnom brzinom (slika 4). Ovaj problem se također rješava korištenjem zakona održanja impulsa:
, (76)

Iz izraza (76) slijedi:
, (77)

• odnosno kolica će vršiti harmonijske oscilacije. Ali šta je razlog za ove fluktuacije? Ne može se reći da se kolica povinuju zakonu održanja impulsa. Sila mora natjerati kolica da osciliraju, ali kakva sila? Jedini kandidat za ovu ulogu može biti samo centrifugalna sila inercije koja djeluje na rotirajuća opterećenja:

(78)
Pod uticajem dve sile inercije, kolica će se kretati duž ose y. Priroda kretanja kolica može se pronaći pomoću Newtonovog drugog zakona:
(79)
Brzina kolica je određena integracijom ovog izraza:
, (80)

• Gdje WITH– integraciona konstanta.

Za određivanje brzine kolica potrebno je koristiti početne uslove. Međutim, ovdje nastaje problem: kojoj će biti jednaka brzina kolica? Pretpostavimo da su u početnom trenutku neosigurana kolica i teret bili nepokretni, a zatim su tereti odmah stavljeni u rotaciju konstantnom ugaonom brzinom, odnosno neće biti prelaznog načina kretanja. Tako će veličina inercijskih sila odmah poprimiti konačnu vrijednost određenu izrazom (78). Pod uticajem inercijskih sila, kolica bi se morala odmah kretati u pozitivnom pravcu. Međutim, mora se imati na umu da će se s trenutnim pojavom brzine kretanja tereta pojaviti teoretski beskonačno, ali praktično vrlo veliko ubrzanje u smjeru osi. y, ako su tereti locirani duž ose x, i odgovarajuću inercijsku silu u suprotnom smjeru, zbog čega će se kolica kretati u smjeru svog djelovanja u negativnom smjeru ose y, odnosno, zapravo će doći do uticaja na kolica.
Pretpostavimo da će početna brzina kolica biti jednaka , tada iz jednačine (80) dobijamo:
,

• odakle nalazimo konstantu integracije WITH:

(81)
U skladu s tim, brzina kolica će biti:
(82)
Integracijom ovog izraza nalazimo pomak kolica duž ose y:
(83)
Pod datim uslovima, kretanje kolica će biti harmonično, tako da izraz u zagradi mora biti jednak nuli. Tada će zakon kretanja kolica poprimiti oblik:
, (84)

(85)
Tada će se brzina kolica kao funkcija ugla rotacije odrediti iz izraza (80):
,

• što odgovara izrazu (77).

Međutim, moguće je i drugo rješenje ovog problema, ako pretpostavimo da su kolica u početku fiksirana i da se tereti rotiraju konstantnom brzinom. Zatim, kada tereti zauzmu položaj duž ose x, kolica su puštena. U takvim uslovima, inercijalne sile u pravcu ose yće biti odsutan, jer se vrijednost brzine rotacije tereta neće promijeniti, stoga neće biti utjecaja na kolica u negativnom smjeru ose y i njegova početna brzina će biti nula. Tada iz jednačine (80) slijedi da je integracijska konstanta WITHće biti jednako:
, (86)

• stoga će brzina kolica kao funkcija vremena imati oblik:

(87)
Integrirajući ovaj izraz tokom vremena, nalazimo kretanje kolica duž y-ose:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Dakle, periodično promjenjiva projekcija inercijskih sila opterećenja na os yčini da kolica vrše harmonijske oscilacije i čak se kreću duž ose y u zavisnosti od početnih uslova vožnje. Neosigurana kolica će vršiti samo harmonijske oscilacije, dok će kolica koja su fiksirana i potom puštena izvoditi pravolinijsko kretanje, na koje će se nadmetati harmonijske oscilacije.
Analiza koju smo izvršili bila bi nemoguća bez uzimanja u obzir sila koje djeluju na kolica, a to su u ovom slučaju inercijske sile. Ako se kretanje kolica objašnjava potrebom da se ispuni zakon održanja momenta, onda to znači da se ništa ne govori o suštini stvari. Stoga je preporučljivo kombinirati korištenje zakona očuvanja s detaljnom analizom sila problema koji se razmatra.

Iz teoreme o promjeni impulsa sistema mogu se dobiti sljedeće važne posljedice.

1. Neka je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli:

Tada iz jednačine (20) slijedi da u ovom slučaju Dakle, ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada će vektor momenta sistema biti konstantan po veličini i smjeru.

2. Neka vanjske sile koje djeluju na sistem budu takve da je zbir njihovih projekcija na neku osu (na primjer, ) jednak nuli:

Tada iz jednačina (20) slijedi da u ovom slučaju Dakle, ako je zbir projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju osu jednak nuli, onda je projekcija količine kretanja sistema na ovu osu konstantna vrijednost.

Ovi rezultati izražavaju zakon održanja impulsa sistema. Iz njih slijedi da unutrašnje sile ne mogu promijeniti količinu kretanja sistema. Pogledajmo neke primjere.

Fenomen trzanja ili trzanja. Ako pušku i metak posmatramo kao jedan sistem, tada će pritisak barutnih gasova tokom metka biti unutrašnja sila. Ova sila ne može promijeniti količinu kretanja sistema, jednaku udarcu puža. Ali budući da barutni plinovi, djelujući na metak, daju mu određenu količinu kretanja usmjerenog naprijed, moraju istovremeno pušci dati istu količinu kretanja u suprotnom smjeru. To će uzrokovati pomicanje puške unazad, poznato kao trzaj. Slična pojava se javlja i pri pucanju iz pištolja (povratak).

Rad propelera (propelera). Propeler daje kretanje određenoj masi zraka (ili vode) duž ose propelera, odbacujući ovu masu natrag. Ako bačenu masu i avion (ili brod) posmatramo kao jedan sistem, onda sile interakcije između propelera i okoline, kao unutrašnje, ne mogu promijeniti ukupnu količinu kretanja ovog sistema. Stoga, kada se masa vazduha (vode) odbaci nazad, avion (ili brod) dobija odgovarajuću brzinu napred tako da ukupna količina kretanja sistema koji se razmatra ostaje jednaka nuli, pošto je bila nula pre nego što je kretanje počelo .

Sličan učinak postiže se djelovanjem vesala ili lopatica.

Mlazni pogon. U raketi (raketi), plinoviti produkti sagorijevanja goriva se velikom brzinom izbacuju iz otvora na repu rakete (iz mlaznice raketnog motora). Sile pritiska koje djeluju u ovom slučaju bit će unutrašnje sile i ne mogu promijeniti zamah raketnog sistema - produkti sagorijevanja goriva. Ali pošto gasovi koji izlaze imaju određenu količinu kretanja usmerenu unazad, raketa dobija odgovarajuću brzinu usmerenu napred. Veličina ove brzine biće određena u § 114.

Imajte na umu da propeler (prethodni primjer) daje kretanje objektu, kao što je avion, odbacujući natrag čestice medija u kojem se kreće. U prostoru bez vazduha takvo kretanje je nemoguće. Mlazni motor daje kretanje tako što odbacuje mase nastale u samom motoru (proizvodi izgaranja). Ovo kretanje je podjednako moguće i u vazduhu i u prostoru bez vazduha.

Prilikom rješavanja problema, primjena teoreme nam omogućava da isključimo sve unutrašnje sile iz razmatranja. Stoga, treba pokušati odabrati sistem koji se razmatra na način da sve (ili dio) ranije nepoznatih sila budu interne.

Zakon održanja impulsa pogodan je za primjenu u slučajevima kada je promjenom translacijske brzine jednog dijela sistema potrebno odrediti brzinu drugog dijela. Konkretno, ovaj zakon se široko koristi u teoriji udara.

Zadatak 126. Metak mase , koji leti horizontalno brzinom i, pogađa kutiju s pijeskom postavljenu na kolica (Sl. 289). Kojom brzinom će se kolica početi kretati nakon udarca, ako je masa kolica zajedno sa kutijom jednaka

Rješenje. Metak i kolica ćemo posmatrati kao jedan sistem, što će nam omogućiti da eliminišemo sile koje nastaju kada metak udari u kutiju prilikom rešavanja problema. Zbir projekcija vanjskih sila primijenjenih na sistem na horizontalnu osu Ox jednak je nuli. Dakle, ili gdje je količina kretanja sistema prije udara; - posle udarca.

Pošto su kolica nepomična prije udara, onda .

Nakon udarca, kolica i metak kreću se zajedničkom brzinom, koju označavamo sa v. Onda .

Izjednačavajući desnu stranu izraza, nalazimo

Zadatak 127. Odrediti brzinu slobodnog trzaja pištolja ako je težina trzajnih dijelova jednaka P, težina projektila , a brzina projektila u odnosu na cijev jednaka u trenutku polaska.

Rješenje. Da biste eliminisali nepoznate sile pritiska barutnih gasova, posmatrajte projektil i delove trzanja kao jedan sistem.

Razmotrimo jedno na drugo djelovanje dva izolirana tijela koja ne stupaju u interakciju s drugim tijelima. Pretpostavićemo da su sile konstantne tokom interakcije. U skladu sa drugim zakonom dinamike, promjena količine kretanja prvog tijela je:

gdje je vremenski interval interakcije.

Promjena impulsa drugog tijela:

gdje je sila koja djeluje iz prvog tijela na drugo.

Prema trećem Newtonovom zakonu

a osim toga, očigledno

dakle,

Bez obzira na prirodu interakcijskih sila i trajanje njihovog djelovanja, ukupni impuls dva izolirana tijela ostaje konstantan.

Dobiveni rezultat može se proširiti na bilo koji broj tijela u interakciji i na sile koje se mijenjaju tokom vremena. Da bismo to uradili, delimo vremenski interval tokom kojeg dolazi do interakcije tela na tako male intervale tokom kojih se sila može smatrati konstantnom sa datim stepenom tačnosti. Tokom svakog vremenskog perioda, relacija (1.8) će biti zadovoljena. Stoga će važiti za cijeli vremenski interval

Da bismo generalizirali zaključak na tijela u interakciji, uvodimo koncept zatvorenog sistema.

Zatvoreno je sistem tijela za koje su rezultantne vanjske sile jednake nuli.

Neka mase materijalnih tačaka formiraju zatvoreni sistem. Promjena momenta svake od ovih tačaka kao rezultat njene interakcije sa svim ostalim tačkama sistema, odnosno:

Označimo unutrašnje sile koje djeluju na tačku po masi iz drugih tačaka, sa tačkom po masi, itd. (Prvi indeks označava tačku na koju sila djeluje, drugi indeks označava tačku na čijoj osi sila djeluje djeluje.)

Zapišimo u prihvaćenoj notaciji drugi zakon dinamike za svaku tačku posebno:

Broj jednačina jednak je broju tijela u sistemu. Da biste pronašli ukupnu promjenu količine gibanja sistema, potrebno je izračunati geometrijski zbir promjena u momentu kretanja svih tačaka sistema. Sabravši jednakosti (1.9), na lijevoj strani dobijamo potpuni vektor promjene količine kretanja sistema tokom vremena, a na desnoj - elementarni impuls rezultante svih sila koje djeluju u sistemu. Ali pošto je sistem zatvoren, rezultujuće sile su nula. U stvari, prema trećem zakonu dinamike, svaka sila u jednakosti (1.9) odgovara sili i

tj. itd.,

a rezultanta ovih sila je nula. Prema tome, u cijelom zatvorenom sistemu promjena momenta je nula:

ukupni impuls zatvorenog sistema je konstantna veličina tokom čitavog kretanja (zakon održanja količine kretanja).

Zakon održanja impulsa je jedan od osnovnih zakona fizike, koji važi kako za sisteme makroskopskih tela, tako i za sisteme formirane od mikroskopskih tela: molekula, atoma itd.

Ako vanjske sile djeluju na tačke sistema, tada se mijenja količina kretanja koju posjeduje sistem.

Napišimo jednadžbe (1.9), uključujući u njih rezultantne vanjske sile koje djeluju redom na prvu, drugu, itd. Do te točke:

Sabiranjem leve i desne strane jednačine dobijamo: sa leve strane - kompletan vektor promena momenta kretanja sistema; desno - impuls rezultirajućih vanjskih sila:

ili, označavajući rezultujuće vanjske sile:

promjena ukupnog impulsa sistema tijela jednaka je impulsu rezultirajućih vanjskih sila.

Jednakost (1.13) se može zapisati u drugom obliku:

vremenski izvod ukupne količine kretanja sistema tačaka jednak je rezultantnim spoljnim silama koje deluju na tačke sistema.

Projektovanjem vektora impulsa sistema i spoljnih sila na tri međusobno okomite ose, umesto vektorske jednakosti (6.14), dobijamo tri skalarne jednačine oblika:

Ako je duž bilo koje ose, recimo, komponenta rezultirajućih vanjskih sila jednaka nuli, tada se količina kretanja duž ove ose ne mijenja, odnosno, budući da je općenito otvorena, u smjeru u kojem se sistem može smatrati zatvorenim.

Ispitivali smo prijenos mehaničkog kretanja s jednog tijela na drugo bez njegovog prelaska u druge oblike kretanja materije.

Količina „mv se ispostavlja kao mjera jednostavno prenesenog, odnosno stalnog kretanja...“.

Primena zakona promene količine kretanja na problem kretanja sistema tela omogućava nam da isključimo sve unutrašnje sile iz razmatranja, što pojednostavljuje teorijsko istraživanje i rešavanje praktičnih problema.

1. Neka osoba stoji nepomično na nepokretnim kolicima (slika 2.a). Zamah sistema čovjek-kolica je nula. Da li je ovaj sistem zatvoren? Na njega djeluju vanjske sile - gravitacija i trenje između kotača kolica i poda. Uopšteno govoreći, sistem nije zatvoren. Međutim, postavljanjem kolica na šine i odgovarajućim tretmanom površine šina i točkova, odnosno značajno smanjenjem trenja između njih, sila trenja se može zanemariti.

Sila gravitacije, usmjerena okomito prema dolje, uravnotežena je reakcijom deformiranih tračnica, a rezultanta tih sila ne može dati horizontalno ubrzanje sistemu, odnosno ne može promijeniti brzinu, a time i zamah sistema. Dakle, ovaj sistem možemo, uz određeni stepen aproksimacije, smatrati zatvorenim.

Pretpostavimo sada da osoba napušta kolica lijevo (slika 2.b), imajući brzinu. Da bi stekao ovu brzinu, osoba mora stezanjem mišića djelovati nogama na platformu kolica i deformirati je. Sila koja djeluje sa strane deformirane platforme na stopala osobe daje ubrzanje ljudskom tijelu ulijevo, a sila koja djeluje sa strane deformiranih stopala osobe (u skladu s trećim zakonom dinamike) daje ubrzanje do kolica desno. Kao rezultat toga, kada interakcija prestane (osoba siđe iz kolica), kolica dobivaju određenu brzinu.

Da bismo pronašli brzine koristeći osnovne zakone dinamike, bilo bi potrebno znati kako se sile interakcije između osobe i kolica mijenjaju tokom vremena i gdje se te sile primjenjuju. Zakon održanja impulsa omogućava vam da odmah pronađete omjer brzina osobe i kolica, kao i naznačite njihov međusobni smjer, ako su poznate vrijednosti masa osobe i kolica.

Dok osoba nepomično stoji na kolicima, ukupna količina kretanja sistema ostaje jednaka nuli:

Brzine koje postižu osoba i kolica su obrnuto proporcionalne njihovoj masi. Znak minus označava njihov suprotan smjer.

2. Ako osoba, krećući se velikom brzinom, naleti na kolica koja miruju i stane na njima, tada se kolica počnu kretati, tako da se ukupna količina kretanja njih i osobe ispostavi da je jednaka količini kretanja koju osoba sama ranije je imala:

3. Osoba koja se kreće velikom brzinom trči na kolica koja se kreću brzinom prema njemu i zaustavlja se na njima. Zatim, sistem čovjek-kolica kreće se zajedničkom brzinom.Ukupna količina kretanja osobe i kolica jednaka je zbiru količina kretanja koje su posjedovali svaki zasebno:

4. Koristeći činjenicu da se kolica mogu kretati samo duž šina, možemo demonstrirati vektorsku prirodu promjene momenta. Ako osoba uđe i stane na prethodno stajala kolica jednom duž pravca njenog mogućeg kretanja, drugi put - pod uglom od 45°, a treći put - pod uglom od 90° prema ovom pravcu, onda u drugom u slučaju da je brzina koju kolica postiže otprilike jedan i po puta manja nego u prvom, au trećem slučaju kolica su nepomična.

Razmotrimo najopštije zakone održanja, koji vladaju cijelim materijalnim svijetom i koji uvode niz fundamentalnih pojmova u fiziku: energija, impuls (moment), ugaoni moment, naboj.

Zakon održanja impulsa

Kao što je poznato, količina kretanja ili impulsa je proizvod brzine i mase tijela koje se kreće: p = mv Ova fizička veličina vam omogućava da pronađete promjenu kretanja tijela u određenom vremenskom periodu. Da bi se riješio ovaj problem, morao bi se primijeniti drugi Newtonov zakon bezbroj puta, u svim međutrenucima vremena. Zakon održanja količine gibanja (momenta) može se dobiti korištenjem Newtonovog drugog i trećeg zakona. Ako uzmemo u obzir dvije (ili više) materijalnih tačaka (tijela) koje međusobno djeluju i formiraju sistem izolovan od djelovanja vanjskih sila, tada se tokom kretanja impulsi svake tačke (tijela) mogu promijeniti, ali ukupni impuls sistem mora ostati nepromijenjen:

m 1 v+m 1 v 2 = konst.

Interakciona tijela razmjenjuju impulse dok održavaju ukupni impuls.

U opštem slučaju dobijamo:

gdje je P Σ ukupan, ukupni impuls sistema, m i v i– impulsi pojedinih delova sistema u interakciji. Formulirajmo zakon održanja impulsa:

Ako je zbir vanjskih sila nula, impuls sistema tijela ostaje konstantan tokom bilo kojeg procesa koji se u njemu odvija.

Primjer djelovanja zakona održanja količine kretanja može se razmotriti u procesu interakcije čamca s osobom, koja je zarila nos u obalu, a osoba u čamcu brzo hoda od krme do pramca na brzina v 1 . U tom slučaju, čamac će se udaljiti od obale velikom brzinom v 2 :

Sličan primjer može se dati sa projektilom koji je eksplodirao u zraku na nekoliko dijelova. Vektorski zbir impulsa svih fragmenata jednak je impulsu projektila prije eksplozije.

Zakon održanja ugaonog momenta

Pogodno je karakterizirati rotaciju krutih tijela fizičkom veličinom koja se naziva ugaoni moment.

Kada se kruto tijelo okreće oko fiksne ose, svaka pojedinačna čestica tijela kreće se u krug poluprečnika r i pri nekoj linearnoj brzini v i. Brzina v i i zamah p = m i v i okomito na poluprečnik r i. Proizvod impulsa p = m i v i po radijusu r i naziva se ugaoni moment čestice:

L i= m i v i r i= P i r i·

Ugaoni moment cijelog tijela:

Ako linearnu brzinu zamijenimo kutnom brzinom (v i = ωr i), onda

gdje je J = mr 2 – moment inercije.

Ugaoni moment zatvorenog sistema se ne menja tokom vremena, tj L= const i Jω = const.

U ovom slučaju, ugaoni moment pojedinačnih čestica rotirajućeg tijela može se mijenjati po želji, ali ukupni ugaoni moment (zbir ugaonog momenta pojedinih dijelova tijela) ostaje konstantan. Zakon održanja ugaonog momenta može se demonstrirati posmatranjem klizača kako se vrti na klizaljkama sa rukama ispruženim u stranu i rukama podignutim iznad glave. Pošto je Jω = const, onda je u drugom slučaju moment inercije J opada, što znači da se kutna brzina u mora povećati, budući da je Jω = const.

Zakon o očuvanju energije

Energija je univerzalna mjera raznih oblika kretanja i interakcije. Energija koju jedno tijelo daje drugom uvijek je jednaka energiji koju primi drugo tijelo. Da bi kvantificirala proces razmjene energije između tijela u interakciji, mehanika uvodi koncept rada sile koja uzrokuje kretanje.

Kinetička energija mehaničkog sistema je energija mehaničkog kretanja ovog sistema. Sila koja uzrokuje kretanje tijela radi, a energija tijela koje se kreće povećava se za količinu utrošenog rada. Kao što je poznato, tijelo mase m, krećući se brzinom v, ima kinetičku energiju E=mv 2 /2.

Potencijalna energija je mehanička energija sistema tijela koja međusobno djeluju putem polja sila, na primjer kroz gravitacijske sile. Rad ovih sila pri premeštanju tela iz jednog položaja u drugi ne zavisi od putanje kretanja, već zavisi samo od početnog i konačnog položaja tela u polju sila.

Takva polja sila nazivaju se potencijalnim, a sile koje u njima djeluju konzervativan. Gravitacijske sile su konzervativne sile i potencijalna energija tijela mase m, podignuta na visinu h iznad površine Zemlje jednaka je

E znoj = mgh,

Gdje g- ubrzanje gravitacije.

Ukupna mehanička energija jednaka je zbroju kinetičke i potencijalne energije:

E= E kin + E znoj

Zakon održanja mehaničke energije(1686, Leibniz) navodi da u sistemu tijela između kojih djeluju samo konzervativne sile, ukupna mehanička energija ostaje nepromijenjena u vremenu. U ovom slučaju, transformacije kinetičke energije u potencijalnu energiju i obrnuto mogu se dogoditi u ekvivalentnim količinama.

Postoji još jedan tip sistema u kojem se mehanička energija može smanjiti pretvaranjem u druge oblike energije. Na primjer, kada se sistem kreće uz trenje, dio mehaničke energije se smanjuje zbog trenja. Takvi sistemi se nazivaju disipativno, odnosno sistemi koji rasipaju mehaničku energiju. U takvim sistemima ne važi zakon održanja ukupne mehaničke energije. Međutim, kada se mehanička energija smanji, količina energije drugačijeg tipa uvijek se čini ekvivalentnom ovom smanjenju. dakle, energija nikada ne nestaje niti se ponovo pojavljuje, samo se mijenja iz jedne vrste u drugu. Ovdje se ispoljava svojstvo neuništivosti materije i njenog kretanja.

U klasičnoj mehanici postoje dva zakona održanja: zakon održanja impulsa i zakon održanja energije.

Tjelesni impuls

Koncept impulsa prvi je uveo francuski matematičar, fizičar i mehaničar. i filozof Descartes, koji je nazvao impuls količina kretanja .

Sa latinskog, "impuls" se prevodi kao "guraj, pomeraj".

Svako tijelo koje se kreće ima zamah.

Zamislimo kolica koja stoje na mjestu. Njegov zamah je nula. Ali čim se kolica počnu kretati, njihov zamah više neće biti nula. Počeće da se menja kako se brzina menja.

Zamah materijalne tačke, ili količina kretanja – vektorska veličina jednaka proizvodu mase tačke i njene brzine. Smjer vektora momenta tačke poklapa se sa smjerom vektora brzine.

Ako govorimo o čvrstom fizičkom tijelu, tada se impuls takvog tijela naziva proizvod mase ovog tijela i brzine centra mase.

Kako izračunati impuls tijela? Možemo zamisliti da se tijelo sastoji od mnogo materijalnih tačaka, ili sistema materijalnih tačaka.

Ako - impuls jedne materijalne tačke, zatim impuls sistema materijalnih tačaka

To je, zamah sistema materijalnih tačaka je vektorski zbir impulsa svih materijalnih tačaka uključenih u sistem. Jednaka je proizvodu masa ovih tačaka i njihove brzine.

Jedinica impulsa u Međunarodnom sistemu jedinica (SI) je kilogram-metar u sekundi (kg m/sec).

Impulsna sila

U mehanici postoji bliska veza između impulsa tijela i sile. Ove dvije veličine su povezane veličinom tzv impuls sile .

Ako na tijelo djeluje stalna silaF tokom određenog vremenskog perioda t , tada prema drugom Newtonovom zakonu

Ova formula pokazuje odnos između sile koja djeluje na tijelo, vremena djelovanja te sile i promjene brzine tijela.

Količina jednaka proizvodu sile koja djeluje na tijelo i vremena za koje ono djeluje naziva se impuls sile .

Kao što vidimo iz jednačine, impuls sile jednak je razlici impulsa tijela u početnom i završnom trenutku vremena, odnosno promjeni impulsa tokom nekog vremena.

Njutnov drugi zakon u formi momenta je formulisan na sledeći način: promjena količine gibanja tijela jednaka je impulsu sile koja na njega djeluje. Mora se reći da je sam Njutn prvobitno formulisao svoj zakon upravo na ovaj način.

Impuls sile je takođe vektorska veličina.

Zakon održanja količine kretanja slijedi iz trećeg Newtonovog zakona.

Mora se imati na umu da ovaj zakon djeluje samo u zatvorenom, ili izolovanom, fizičkom sistemu. Zatvoreni sistem je sistem u kojem tijela međusobno djeluju samo jedno na drugo, a ne sa vanjskim tijelima.

Zamislimo zatvoreni sistem dva fizička tijela. Sile međusobnog djelovanja tijela nazivaju se unutrašnjim silama.

Impuls sile za prvo telo je jednak

Prema trećem Newtonovom zakonu, sile koje djeluju na tijela tokom njihove interakcije su jednake po veličini i suprotne po smjeru.

Dakle, za drugo tijelo je impuls sile jednak

Jednostavnim proračunima dobijamo matematički izraz za zakon održanja impulsa:

Gdje m 1 I m 2 – telesne mase,

v 1 I v 2 – brzine prvog i drugog tijela prije interakcije,

v 1" I v 2" – brzine prvog i drugog tijela nakon interakcije .

str 1 = m 1 · v 1 - impuls prvog tijela prije interakcije;

p 2 = m 2 · v 2 - impuls drugog tijela prije interakcije;

p 1 "= m 1 · v 1" - impuls prvog tijela nakon interakcije;

p 2 "= m 2 · v 2" - impuls drugog tijela nakon interakcije;

To je

str 1 + str 2 = p 1" + p 2"

U zatvorenom sistemu tijela samo razmjenjuju impulse. A vektorski zbir impulsa ovih tijela prije njihove interakcije jednak je vektorskom zbroju njihovih impulsa nakon interakcije.

Dakle, kao rezultat ispaljivanja iz pištolja promijenit će se zamah samog pištolja i zamah metka. Ali zbir impulsa pištolja i metka u njemu prije metka ostat će jednak zbiru impulsa pištolja i letećeg metka nakon metka.

Prilikom pucanja iz topa dolazi do trzanja. Projektil leti naprijed, a sam pištolj se otkotrlja. Projektil i puška su zatvoreni sistem u kojem djeluje zakon održanja impulsa.

Zamah svakog tijela u zatvorenom sistemu mogu se mijenjati kao rezultat njihove međusobne interakcije. Ali vektorski zbir impulsa tijela uključenih u zatvoreni sistem se ne mijenja kada ta tijela međusobno djeluju tokom vremena, odnosno ostaje konstantan. To je ono što je zakon održanja impulsa.

Preciznije, zakon održanja impulsa je formulisan na sledeći način: vektorski zbir impulsa svih tijela zatvorenog sistema je konstantna vrijednost ako na njega ne djeluju vanjske sile ili je njihov vektorski zbir jednak nuli.

Zamah sistema tijela može se promijeniti samo kao rezultat djelovanja vanjskih sila na sistem. I tada zakon održanja impulsa neće važiti.

Mora se reći da zatvoreni sistemi ne postoje u prirodi. Ali, ako je vrijeme djelovanja vanjskih sila vrlo kratko, na primjer, prilikom eksplozije, pucnja i sl., tada se u ovom slučaju zanemaruje utjecaj vanjskih sila na sistem, a sam sistem se smatra zatvorenim.

Osim toga, ako vanjske sile djeluju na sistem, ali je zbroj njihovih projekcija na jednu od koordinatnih osa nula (tj. sile su uravnotežene u smjeru ove ose), tada je zakon održanja količine gibanja zadovoljen u ovom pravcu.

Naziva se i zakon održanja impulsa zakon održanja impulsa .

Najupečatljiviji primjer primjene zakona održanja količine kretanja je mlazno kretanje.

Mlazni pogon

Reaktivno kretanje je kretanje tijela koje nastaje kada se neki njegov dio odvoji od njega određenom brzinom. Samo tijelo prima suprotno usmjeren impuls.

Najjednostavniji primjer mlaznog pogona je let balona iz kojeg izlazi zrak. Ako naduvamo balon i pustimo ga, on će početi letjeti u smjeru suprotnom kretanju zraka koji izlazi iz njega.

Primjer mlaznog pogona u prirodi je ispuštanje tekućine iz ploda ludog krastavca kada on pukne. U isto vrijeme, sam krastavac leti u suprotnom smjeru.

Meduze, sipe i drugi stanovnici morskih dubina kreću se tako što upijaju vodu, a zatim je izbacuju.

Mlazni potisak je zasnovan na zakonu održanja impulsa. Znamo da kada se raketa sa mlaznim motorom kreće, kao rezultat sagorevanja goriva, mlaz tečnosti ili gasa se izbacuje iz mlaznice ( mlazni tok ). Kao rezultat interakcije motora sa supstancom koja izlazi, Reaktivna sila . Pošto je raketa, zajedno sa emitovanom materijom, zatvoreni sistem, impuls takvog sistema se ne menja tokom vremena.

Reaktivna sila nastaje interakcijom samo dijelova sistema. Vanjske sile nemaju utjecaja na njegov izgled.

Prije nego što je raketa počela da se kreće, zbir impulsa rakete i goriva bio je nula. Prema tome, prema zakonu održanja količine gibanja, nakon uključivanja motora, zbir ovih impulsa je također nula.

gdje je masa rakete

Brzina protoka gasa

Promjena brzine rakete

∆m f - potrošnja goriva

Pretpostavimo da je raketa radila neko vreme t .

Deljenje obe strane jednačine sa ∆ t, dobijamo izraz

Prema drugom Newtonovom zakonu, reaktivna sila je jednaka

Reakciona sila, ili mlazni potisak, osigurava kretanje mlaznog motora i predmeta koji je s njim povezan u smjeru suprotnom od smjera mlazne struje.

Mlazni motori se koriste u savremenim avionima i raznim projektilima, vojnim, svemirskim itd.