Primjeri kako pronaći vjerovatnoću događaja. Klasična i statistička definicija vjerovatnoće

U ekonomiji, kao iu drugim područjima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno se suočavamo s događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obim prodaje proizvoda ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, te o nizu drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga, kada organizirate proizvodnju i obavljate prodaju, ishod takvih aktivnosti morate predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.

Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično, ako se kao rezultat iskustva može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat datog iskustva, i nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerovatnoće je zadatak određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.

Iznos događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

Posao događaji je događaj koji se sastoji od istovremene pojave svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji od pojavljivanja dvije robe u trgovini u isto vrijeme je proizvod događaja: - pojavljivanja jednog proizvoda, - pojavljivanja drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih sigurno dogodi u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo brodova na vezovima, - prisustvo jednog broda na jednom od veza, - prisustvo dva broda na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest elementarnih ishoda na osnovu broja bodova na stranama.

Od elementarnih ishoda možete kreirati složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka dotičnog događaja je vjerovatnoća.

Najčešće korištene definicije vjerovatnoće događaja su: klasična I statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom povoljnog ishoda.

Ishod se zove povoljno na dati događaj ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U gornjem primjeru, događaj o kojem je riječ – paran broj bodova na prebačenoj strani – ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja, broj ishoda povoljnih za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizuje (zapostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, vjerovatnoća događaja se uzima kao relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), često se koriste kombinatoričke formule koje se koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.

Kada je novčić bačen, možemo reći da će pasti glavom gore, ili vjerovatnoća ovo je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, on će nužno pasti na glavu 5 puta. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, onda će glave pasti vrlo blizu pola vremena. Dakle, postoje dvije vrste vjerovatnoća: eksperimentalni I teorijski .

Eksperimentalna i teorijska vjerovatnoća

Ako bacimo novčić veliki broj puta - recimo 1000 - i izbrojimo koliko puta padne na glavu, možemo odrediti vjerovatnoću da će pasti na glavu. Ako se glava baci 503 puta, možemo izračunati vjerovatnoću da ona padne:
503/1000 ili 0,503.

Ovo eksperimentalni određivanje vjerovatnoće. Ova definicija vjerovatnoće dolazi iz posmatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Evo, na primjer, neke vjerovatnoće koje su određene eksperimentalno:

1. Vjerovatnoća da će žena razviti rak dojke je 1/11.

2. Ako poljubite nekoga ko je prehlađen, onda je vjerovatnoća da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.

3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.

Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzmemo u obzir da je isto tako vjerovatno da će on ispasti glavama ili repom, možemo izračunati vjerovatnoću dobijanja grla: 1/2 Ovo je teorijska definicija vjerovatnoće. Evo još nekih vjerovatnoća koje su teoretski određene pomoću matematike:

1. Ako je u prostoriji 30 ljudi, vjerovatnoća da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.

2. Tokom putovanja upoznate nekoga, a tokom razgovora otkrijete da imate zajedničkog prijatelja. Tipična reakcija: "Ovo ne može biti!" Zapravo, ova fraza nije prikladna, jer je vjerovatnoća takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.

Tako se eksperimentalne vjerovatnoće određuju posmatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske vjerovatnoće se određuju putem matematičkog zaključivanja. Primjeri eksperimentalnih i teoretskih vjerovatnoća, poput onih o kojima je bilo riječi gore, a posebno onih koje ne očekujemo, dovode nas do važnosti proučavanja vjerovatnoće. Možete pitati: "Šta je prava vjerovatnoća?" U stvari, toga nema. Vjerovatnoće u određenim granicama mogu se odrediti eksperimentalno. One se mogu ili ne moraju podudarati sa vjerovatnoćama koje dobijamo teoretski. Postoje situacije u kojima je mnogo lakše odrediti jednu vrstu vjerovatnoće nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerovatnoću prehlade koristeći teorijsku vjerovatnoću.

Proračun eksperimentalnih vjerovatnoća

Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerovatnoće. Osnovni princip koji koristimo za izračunavanje takvih vjerovatnoća je sljedeći.

Princip P (eksperimentalno)

Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n zapažanja, situacija ili događaj E dogodi m puta u n opservacija, tada se kaže da je eksperimentalna vjerovatnoća događaja P (E) = m/n.

Primjer 1 Sociološko istraživanje. Provedeno je eksperimentalno istraživanje kako bi se utvrdio broj ljevorukih, dešnjaka i osoba čije su obje ruke podjednako razvijene, a rezultati su prikazani na grafikonu.

a) Odredite vjerovatnoću da je osoba dešnjak.

b) Odrediti vjerovatnoću da je osoba ljevak.

c) Odredite vjerovatnoću da osoba podjednako tečno rukuje objema rukama.

d) Većina turnira profesionalnih kuglačkih saveza ograničeni su na 120 igrača. Na osnovu podataka iz ovog eksperimenta, koliko bi igrača moglo biti ljevoruko?

Rješenje

a) Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevaka je 17, a broj onih koji podjednako tečno govore obje ruke je 1. Ukupan broj zapažanja je 100. Dakle, vjerovatnoća da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.

b) Vjerovatnoća da je osoba ljevak je P, gdje je
P = 17/100, ili 0,17, ili 17%.

c) Vjerovatnoća da osoba podjednako tečno drži obje ruke je P, gdje
P = 1/100, ili 0,01, ili 1%.

d) 120 kuglača, a iz (b) možemo očekivati ​​da je 17% ljevorukih. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati ​​oko 20 igrača koji će biti ljevoruki.

Primjer 2 Kontrola kvaliteta . Za proizvođača je veoma važno da kvalitet svojih proizvoda održava na visokom nivou. U stvari, kompanije angažuju inspektore za kontrolu kvaliteta kako bi osigurali ovaj proces. Cilj je proizvesti najmanji mogući broj neispravnih proizvoda. Ali pošto kompanija proizvodi hiljade proizvoda svaki dan, ne može sebi priuštiti da testira svaki proizvod kako bi utvrdila da li je neispravan ili ne. Kako bi saznali koji je postotak proizvoda neispravan, kompanija testira mnogo manje proizvoda.
USDA zahtijeva da 80% sjemena koje prodaju uzgajivači mora proklijati. Za utvrđivanje kvaliteta sjemena koje poljoprivredno preduzeće proizvodi, sadi se 500 sjemenki od proizvedenih. Nakon toga je izračunato da je niknulo 417 sjemenki.

a) Kolika je vjerovatnoća da će sjeme proklijati?

b) Da li sjeme ispunjava vladine standarde?

Rješenje a) Znamo da je od 500 zasađenih sjemenki niknulo 417. Vjerovatnoća klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, odnosno 83,4%.

b) Budući da je postotak klijavog sjemena premašio 80% koliko je potrebno, sjeme zadovoljava državne standarde.

Primjer 3 Televizijske ocjene. Prema statistikama, u Sjedinjenim Državama ima 105.500.000 domaćinstava sa televizorima. Svake sedmice se prikupljaju i obrađuju informacije o gledanju programa. U jednoj sedmici, 7.815.000 domaćinstava gledalo je hit humorističnu seriju "Svi vole Rejmonda" na CBS-u, a 8.302.000 domaćinstava gledalo je hit seriju "Zakon i red" na NBC-u (Izvor: Nielsen Media Research). Kolika je vjerovatnoća da je TV jednog domaćinstva podešen na "Svi vole Rejmonda" tokom date sedmice? na "Zakon i red"?

Rješenje Verovatnoća da je TV u jednom domaćinstvu podešen na "Svi vole Rejmonda" je P, i
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Šansa da je TV domaćinstva podešen na Zakon i red je P, i
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ovi procenti se nazivaju rejtingi.

Teorijska vjerovatnoća

Pretpostavimo da provodimo eksperiment, kao što je bacanje novčića ili pikado, izvlačenje karte iz špila ili testiranje kvaliteta proizvoda na montažnoj traci. Svaki mogući rezultat takvog eksperimenta naziva se Exodus . Skup svih mogućih ishoda se zove prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.

Primjer 4 Bacanje pikado. Pretpostavimo da u eksperimentu bacanja strelice, strelica pogodi metu. Pronađite svako od sljedećeg:

b) Prostor ishoda

Rješenje
a) Ishodi su: udaranje crnog (B), udaranje crvenog (R) i udaranje bijelog (B).

b) Prostor ishoda je (udaranje crnog, udaranje crvenog, udaranje bijelog), koji se može jednostavno napisati kao (H, K, B).

Primjer 5 Bacanje kocke. Kocka je kocka sa šest strana, od kojih svaka ima jednu do šest tačaka.


Pretpostavimo da bacamo kocku. Nađi
a) Ishodi
b) Prostor ishoda

Rješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Prostor ishoda (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Označavamo vjerovatnoću da se događaj E desi kao P(E). Na primjer, „novčić će pasti na glavu“ može se označiti sa H. Tada P(H) predstavlja vjerovatnoću da će novčić pasti na glavu. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerovatnoću da će se dogoditi, za njih se kaže da su jednako vjerovatni. Da biste vidjeli razlike između događaja koji su podjednako vjerovatni i događaja koji nisu, razmotrite cilj prikazan ispod.

Za metu A, događaji pogađanja crnog, crvenog i bijelog su jednako vjerovatni, jer su crni, crveni i bijeli sektori isti. Međutim, za metu B zone sa ovim bojama nisu iste, odnosno pogoditi ih nije jednako vjerovatno.

Princip P (teorijski)

Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerovatnoća događaja, P(E) je
P(E) = m/n.

Primjer 6 Kolika je vjerovatnoća da bacite kockicu da dobijete 3?

Rješenje Postoji 6 jednako vjerovatnih ishoda na kocki i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerovatnoća P biti P(3) = 1/6.

Primjer 7 Kolika je vjerovatnoća bacanja parnog broja na kockicu?

Rješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednako vjerovatnih ishoda je 6. Tada je vjerovatnoća P(parna) = 3/6, odnosno 1/2.

Koristit ćemo nekoliko primjera koji uključuju standardni špil od 52 karte. Ovaj špil se sastoji od karata prikazanih na slici ispod.

Primjer 8 Kolika je vjerovatnoća da izvučete asa iz dobro promiješanog špila karata?

Rješenje Postoje 52 ishoda (broj karata u špilu), jednako su vjerovatni (ako je špil dobro promiješan), a postoje 4 načina da se izvuče as, pa je prema P principu vjerovatnoća
P(izvlačenje asa) = 4/52, ili 1/13.

Primjer 9 Pretpostavimo da izaberemo, bez gledanja, jednu loptu iz vrećice sa 3 crvene i 4 zelene kuglice. Kolika je vjerovatnoća da odaberete crvenu loptu?

Rješenje Postoji 7 jednako vjerojatnih ishoda izvlačenja bilo koje lopte, a pošto je broj načina da se izvuče crvena kuglica 3, dobijamo
P(izbor crvene lopte) = 3/7.

Sljedeće izjave su rezultati principa P.

Svojstva vjerovatnoće

a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako je sigurno da će se dogoditi događaj E onda je P(E) = 1.
c) Vjerovatnoća da će se dogoditi događaj E je broj od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na primjer, u bacanju novčića, slučaj da novčić sleti na ivicu ima nultu vjerovatnoću. Vjerovatnoća da je novčić ili glava ili rep ima vjerovatnoću 1.

Primjer 10 Pretpostavimo da su 2 karte izvučene iz špila od 52 karte. Kolika je vjerovatnoća da su oba vrha?

Rješenje Broj n načina za izvlačenje 2 karte iz dobro izmiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Pošto su 13 od 52 karte pikovi, broj načina na koji m izvuče 2 pika je 13 C 2 . onda,
P(povlačenje 2 vrha) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz grupe od 6 muškaraca i 4 žene. Kolika je vjerovatnoća da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani?

Rješenje Broj načina da odaberete tri osobe iz grupe od 10 ljudi je 10 C 3. Jedan muškarac može biti izabran na 6 C 1 načina, a 2 žene na 4 C 2 načina. Prema osnovnom principu brojanja, broj načina da odaberete 1 muškarca i 2 žene je 6 C 1. 4 C 2 . Tada je vjerovatnoća da će biti odabrani 1 muškarac i 2 žene
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerovatnoća bacanja ukupno 8 na dvije kockice?

Rješenje Svaka kocka ima 6 mogućih ishoda. Rezultati se udvostručuju, što znači da postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje se brojevi na dvije kockice mogu pojaviti. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će vam pomoći da vizualizirate rezultat.)

Parovi brojeva koji imaju zbir do 8 prikazani su na donjoj slici. Postoji 5 mogućih načina da se dobije zbir jednak 8, stoga je vjerovatnoća 5/36.

U zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike postoje i složeniji problemi vjerovatnoće (nego što smo razmatrali u prvom dijelu), gdje moramo primijeniti pravilo sabiranja, množenja vjerovatnoća i razlikovati kompatibilne i nekompatibilne događaje.

Dakle, teorija.

Zajednički i ne-zajednički događaji

Događaji se nazivaju nespojivim ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih. To jest, može se dogoditi samo jedan ili drugi određeni događaj.

Na primjer, kada bacate kockicu, možete razlikovati događaje kao što je dobivanje parnog broja bodova i dobivanje neparnog broja bodova. Ovi događaji su nekompatibilni.

Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Na primjer, kada bacate kockicu, možete razlikovati takve događaje kao što su bacanje neparnog broja bodova i bacanje broja bodova koji su višestruki od tri. Kada se baca trojka, dešavaju se oba događaja.

Zbir događaja

Zbir (ili kombinacija) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja.

Gde zbir dva nespojiva događaja je zbir vjerovatnoća ovih događaja:

Na primjer, vjerovatnoća da dobijete 5 ili 6 poena na kockici s jednim bacanjem bit će , jer su oba događaja (kotanje 5, bacanje 6) nedosljedna i vjerovatnoća da se jedan ili drugi događaj dogodi se izračunava na sljedeći način:

Verovatnoća zbir dva zajednička događaja jednak zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez uzimanja u obzir njihovog zajedničkog nastupa:

Na primjer, u trgovačkom centru dvije identične mašine prodaju kafu. Vjerovatnoća da će aparat ostati bez kafe do kraja dana je 0,3. Vjerovatnoća da će obje mašine ostati bez kafe je 0,12. Nađimo vjerovatnoću da će do kraja dana kafa nestati u barem jednoj od mašina (odnosno ili jednoj, ili drugoj, ili obje odjednom).

Verovatnoća prvog događaja „nestaće kafe u prvoj mašini“ kao i verovatnoća drugog događaja „nestaće kafe u drugoj mašini“ prema uslovu jednaka je 0,3. Događaji su kolaborativni.

Vjerovatnoća zajedničkog nastupa prva dva događaja prema uslovu je 0,12.

To znači da je vjerovatnoća da će do kraja dana kafa nestati u barem jednoj od mašina

Zavisni i nezavisni događaji

Dva slučajna događaja A i B nazivaju se nezavisnim ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Inače, događaji A i B se nazivaju zavisni.

Na primjer, kada se dvije kockice bacaju istovremeno, jedna od njih, recimo 1, a druga, 5, su nezavisni događaji.

Proizvod vjerovatnoća

Proizvod (ili presek) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničkog nastupa svih ovih događaja.

Ako se pojave dvije nezavisnih događaja A i B sa verovatnoćama P(A) i P(B), respektivno, tada je verovatnoća da će se događaji A i B istovremeno dogoditi jednaka proizvodu verovatnoća:

Na primjer, zanima nas da se šestica pojavljuje na kockici dva puta zaredom. Oba događaja su nezavisna i vjerovatnoća da se svaki od njih dogodi zasebno je . Vjerovatnoća da će se oba ova događaja dogoditi će se izračunati korištenjem gornje formule: .

Pogledajte izbor zadataka za vježbanje teme.

  • Vjerovatnoća je stepen (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim. Prevlast pozitivnih razloga nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitom stepenu, zbog čega vjerovatnoća (i nevjerovatnost) može biti veća ili manja. Stoga se vjerovatnoća često procjenjuje na kvalitativnom nivou, posebno u slučajevima kada je manje ili više tačna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije „nivoa“ vjerovatnoće.

    Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta čini posebnu disciplinu - teoriju vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, koncept vjerovatnoće je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerovatnoće (ili njegova vrijednost) - mjera skupa događaja (podskupova skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti ​od

    (\displaystyle 0)

    (\displaystyle 1)

    Značenje

    (\displaystyle 1)

    Odgovara pouzdanom događaju. Nemogući događaj ima vjerovatnoću 0 (obrnuto općenito nije uvijek tačno). Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi

    (\displaystyle p)

    Tada je vjerovatnoća da se ne pojavi jednaka

    (\displaystyle 1-p)

    Konkretno, vjerovatnoća

    (\displaystyle 1/2)

    Označava jednaku vjerovatnoću nastanka i nenastupanja događaja.

    Klasična definicija vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednake vjerovatnoće ishoda. Vjerovatnoća je omjer broja ishoda koji su povoljni za dati događaj i ukupnog broja jednako mogućih ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja glave ili repa u nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da se javljaju samo ove dvije mogućnosti i da su jednako moguće. Ova klasična „definicija“ vjerovatnoće može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti – na primjer, ako se neki događaj može dogoditi s jednakom vjerovatnoćom u bilo kojoj tački (broj tačaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostor (ravan), onda je vjerovatnoća da će se to dogoditi u nekom dijelu ovog izvodljivog područja jednaka odnosu volumena (površine) ovog dijela prema zapremini (površini) područja svih mogućih tačaka.

    Empirijska “definicija” vjerovatnoće povezana je sa učestalošću događaja, na osnovu činjenice da kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost treba težiti objektivnom stepenu mogućnosti ovog događaja. U savremenom prikazu teorije verovatnoće, verovatnoća se definiše aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mere skupova. Međutim, povezujuća karika između apstraktne mjere i vjerovatnoće, koja izražava stepen mogućnosti nastanka nekog događaja, jeste upravo učestalost njegovog posmatranja.

    Probabilistički opis određenih pojava postao je široko rasprostranjen u savremenoj nauci, posebno u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sistema, gde je čak iu slučaju klasičnog determinističkog opisa kretanja čestica, deterministički opis čitavog sistema čestica ne izgleda praktično moguće ili prikladno. U kvantnoj fizici, opisani procesi su sami po sebi vjerovatnostne prirode.

Šta je vjerovatnoća?

Prvi put kada sam se susreo sa ovim terminom, ne bih razumeo šta je to. Stoga ću pokušati da objasnim jasno.

Vjerovatnoća je šansa da se dogodi događaj koji želimo.

Na primjer, odlučili ste otići kod prijatelja, sjećate se ulaza, pa čak i sprata na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. A sada stojite na stepeništu, a ispred vas su vrata za izbor.

Koja je šansa (vjerovatnoća) da ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj otvori vrata umjesto vas? Postoje samo stanovi, a samo iza jednog od njih živi prijatelj. Uz jednake šanse možemo izabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je ovo šansa?

Vrata, desna vrata. Vjerovatnoća pogađanja zvonjavom na prva vrata: . Odnosno, jednom od tri tačno ćete pogoditi.

Želimo znati, nakon što smo jednom pozvali, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

  1. Zvao si 1st vrata
  2. Zvao si 2nd vrata
  3. Zvao si 3rd vrata

Sada pogledajmo sve opcije gdje bi prijatelj mogao biti:

A. Iza 1st vrata
b. Iza 2nd vrata
V. Iza 3rd vrata

Uporedimo sve opcije u obliku tabele. Kvačica označava opcije kada se vaš izbor poklapa sa lokacijom prijatelja, križić - kada se ne poklapa.

Kako vidite sve Možda opcije lokacija vašeg prijatelja i vaš izbor na koja vrata ćete zvoniti.

A povoljni ishodi svih . Odnosno, jednom ćete pogoditi tako što ćete jednom pozvoniti na vrata, tj. .

Ovo je vjerovatnoća - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor poklopi sa lokacijom vašeg prijatelja) i broja mogućih događaja.

Definicija je formula. Verovatnoća se obično označava sa p, pa:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa ćemo za - broj povoljnih ishoda uzeti, a za - ukupan broj ishoda.

Vjerovatnoća se može napisati kao postotak; da biste to učinili, trebate pomnožiti rezultirajući rezultat sa:

Vjerovatno vam je zapela za oko riječ „ishodi“. Budući da matematičari razne radnje (u našem slučaju je takva radnja zvono na vratima) nazivaju eksperimentima, rezultat takvih eksperimenata se obično naziva ishod.

Pa, ima povoljnih i nepovoljnih ishoda.

Vratimo se na naš primjer. Recimo da smo pozvonili na jedna od vrata, ali nam je otvorio stranac. Nismo pogodili. Kolika je vjerovatnoća da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste tako mislili, onda je ovo greška. Hajde da to shvatimo.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Pozovite 1st vrata
2) Pozovite 2nd vrata

Prijatelj, i pored svega ovoga, definitivno stoji iza jednog od njih (uostalom, nije stajao iza onoga koga smo zvali):

a) Prijatelj za 1st vrata
b) Prijatelj za 2nd vrata

Ponovo nacrtajmo tabelu:

Kao što vidite, postoje samo opcije, od kojih su povoljne. Odnosno, vjerovatnoća je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmatrali jeste primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

A nazivaju se zavisnim jer utiču na sledeće radnje. Na kraju krajeva, ako bi se nakon prvog zvona na vrata javio prijatelj, kolika bi bila vjerovatnoća da je on bio iza jednog od druga dva? U redu, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih također moraju postojati nezavisni? Tako je, dešavaju se.

Primjer iz udžbenika je bacanje novčića.

  1. Baci novčić jednom. Kolika je vjerovatnoća da dobijete glave, na primjer? Tako je – jer postoje sve opcije (bilo glave ili repa, zanemarićemo vjerovatnoću da novčić sleti na njegovu ivicu), ali samo nama to odgovara.
  2. Ali to je palo na pamet. Ok, bacimo ga ponovo. Kolika je vjerovatnoća da ćete sada dobiti glave? Ništa se nije promenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. Sa koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka se pojavi barem hiljadu puta zaredom. Vjerovatnoća da dobijete glave odjednom će biti ista. Uvek postoje opcije, i to povoljne.

Lako je razlikovati zavisne događaje od nezavisnih:

  1. Ako se eksperiment izvede jednom (jednom baci novčić, jednom pozvoni na vrata itd.), događaji su uvijek nezavisni.
  2. Ako se eksperiment izvodi nekoliko puta (jednom se baci novčić, nekoliko puta se zvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek nezavisan. I onda, ako se promijeni broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji zavisni, a ako ne, nezavisni.

Vježbajmo malo određivanje vjerovatnoće.

Primjer 1.

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da dobijete glave dva puta zaredom?

Rješenje:

Razmotrimo sve moguće opcije:

  1. Eagle-eagle
  2. Glava-rep
  3. Tails-Heads
  4. Repovi-repovi

Kao što vidite, postoje samo opcije. Od ovih smo samo zadovoljni. Odnosno, vjerovatnoća:

Ako uslov jednostavno traži od vas da pronađete vjerovatnoću, onda se odgovor mora dati u obliku decimalnog razlomka. Kada bi se preciziralo da odgovor treba dati u procentima, onda bismo pomnožili sa.

odgovor:

Primjer 2.

U kutiji čokolade, sve čokolade su upakovane u isti omot. Međutim, od slatkiša - sa orasima, sa konjakom, sa višnjama, sa karamelom i sa nugatom.

Kolika je vjerovatnoća da uzmete jedan slatkiš i dobijete bombon sa orasima? Odgovor dajte u procentima.

Rješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, ako uzmete jedan slatkiš, to će biti jedan od dostupnih u kutiji.

Koliko je povoljnih ishoda?

Jer kutija sadrži samo čokolade sa orasima.

odgovor:

Primjer 3.

U kutiji balona. od kojih su bijele i crne.

  1. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?
  2. Dodali smo još crnih loptica u kutiju. Kolika je sada vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?

Rješenje:

a) U kutiji su samo loptice. Od njih su bijeli.

Vjerovatnoća je:

b) Sada ima više loptica u kutiji. A belaca je ostalo isto toliko - .

odgovor:

Potpuna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja jednaka je ().

Recimo da se u kutiji nalaze crvene i zelene kuglice. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče crvena kugla? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Verovatnoća izvlačenja crvene lopte

zelena lopta:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbir svih mogućih događaja je jednak (). Razumijevanje ove tačke pomoći će vam da riješite mnoge probleme.

Primjer 4.

U kutiji se nalaze markeri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerovatnoća da NE nacrtate crveni marker?

Rješenje:

Hajde da izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleno, plavo, žuto ili crno.

Vjerovatnoća svih događaja. A vjerovatnoća događaja koje smatramo nepovoljnim (kada izvadimo crveni marker) je .

Dakle, vjerovatnoća da ćete izvući NE crveni flomaster je .

odgovor:

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerovatnoći da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Već znate šta su nezavisni događaji.

Šta ako trebate pronaći vjerovatnoću da će se dva (ili više) nezavisnih događaja dogoditi zaredom?

Recimo da želimo da znamo kolika je verovatnoća da ćemo, ako jednom bacimo novčić, dvaput videti glave?

Već smo razmotrili - .

Šta ako jednom bacimo novčić? Kolika je vjerovatnoća da ćete vidjeti orla dvaput zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

  1. Eagle-eagle-eagle
  2. Glava-glava-rep
  3. Glava-repa-glava
  4. Glava-repa-repa
  5. Repovi-glave-glave
  6. Repovi-glavi-repovi
  7. Repovi-repovi-glave
  8. Repovi-repovi-repovi

Ne znam za vas, ali ja sam nekoliko puta pogriješio prilikom sastavljanja ove liste. Vau! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 bacanja možete sami napraviti listu mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako vredni kao vi.

Stoga su prvo uočili, a zatim i dokazali da se vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja svaki put smanjuje za vjerovatnoću jednog događaja.

Drugim riječima,

Pogledajmo primjer istog nesretnog novčića.

Vjerovatnoća da dobijete glave u izazovu? . Sada bacamo novčić jednom.

Kolika je vjerovatnoća da dobijete glave u nizu?

Ovo pravilo ne funkcioniše samo ako se od nas traži da pronađemo verovatnoću da će se isti događaj desiti nekoliko puta zaredom.

Kada bismo hteli da pronađemo sekvencu REPOVI-GLAVE-REPOVI za uzastopna bacanja, uradili bismo isto.

Verovatnoća dobijanja repova je , glava - .

Verovatnoća dobijanja sekvence REP-GLAVE-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti tako što ćete napraviti tabelu.

Pravilo za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja.

Zato prestani! Nova definicija.

Hajde da to shvatimo. Uzmimo naš istrošeni novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

  1. Eagle-eagle-eagle
  2. Glava-glava-rep
  3. Glava-repa-glava
  4. Glava-repa-repa
  5. Repovi-glave-glave
  6. Repovi-glavi-repovi
  7. Repovi-repovi-glave
  8. Repovi-repovi-repovi

Dakle, nespojivi događaji su određeni, dati niz događaja. - ovo su nespojivi događaji.

Ako želimo da utvrdimo kolika je verovatnoća dva (ili više) nekompatibilnih događaja, onda sabiramo verovatnoće tih događaja.

Morate shvatiti da su glava ili rep dva nezavisna događaja.

Ako želimo da odredimo verovatnoću da će se niz (ili bilo koji drugi) pojaviti, onda koristimo pravilo množenja verovatnoća.
Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu pri prvom bacanju, a repove pri drugom i trećem bacanju?

Ali ako želimo da znamo kolika je verovatnoća da dobijemo jednu od nekoliko sekvenci, na primer, kada se glave pojave tačno jednom, tj. opcije i tada moramo sabrati vjerovatnoće ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti ako zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svakog niza:

Stoga, dodajemo vjerovatnoće kada želimo da odredimo vjerovatnoću određenih, nekonzistentnih slijeda događaja.

Postoji odlično pravilo koje će vam pomoći da izbjegnete zabunu kada množiti, a kada sabirati:

Vratimo se na primjer gdje smo jednom bacili novčić i htjeli znati vjerovatnoću da ćemo jednom vidjeti glave.
Šta će se dogoditi?

Trebalo bi ispasti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) OR (repovi I repovi I glave).
Ovako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5.

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narandžasta i žuta i crna. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvene ili zelene olovke?

Rješenje:

Šta će se dogoditi? Moramo povući (crveno ILI zeleno).

Sada je jasno, hajde da zbrojimo vjerovatnoće ovih događaja:

odgovor:

Primjer 6.

Ako je kocka bačena dvaput, kolika je vjerovatnoća da ćete dobiti ukupno 8?

Rješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerovatnoća da dobijete jedno (bilo koje) lice je .

Izračunavamo vjerovatnoću:

odgovor:

Trening.

Mislim da sada razumete kada treba da izračunate verovatnoće, kada da ih dodate, a kada da ih pomnožite. Nije li? Vježbajmo malo.

Zadaci:

Uzmimo špil karata koji sadrži karte uključujući pikove, srca, 13 trefa i 13 karata. Od do Asa svake boje.

  1. Kolika je vjerovatnoća da izvučemo štafete u nizu (prvu izvučenu kartu vratimo u špil i promiješamo je)?
  2. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja crne karte (pik ili trefa)?
  3. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče slika (valet, dama, kralj ili as)?
  4. Kolika je vjerovatnoća da se izvuku dvije slike za redom (uklanjamo prvu izvučenu kartu iz špila)?
  5. Kolika je vjerovatnoća da se, uzimajući dvije karte, sakupi kombinacija - (jack, dama ili kralj) i as? Redoslijed u kojem se karte izvlače nije bitan.

odgovori:

  1. U špilu karata svake vrijednosti to znači:
  2. Događaji su zavisni, jer se nakon izvlačenja prve karte smanjio broj karata u špilu (kao i broj „slika“). Na početku u špilu ima ukupnih džakova, dama, kraljeva i asova, što znači vjerovatnoću izvlačenja "slike" s prvom kartom:

    S obzirom da uklanjamo prvu kartu iz špila, to znači da su u špilu već ostale karte, uključujući slike. Verovatnoća crtanja slike sa drugom karticom:

    Budući da nas zanima situacija kada iz špila izvadimo „sliku“ I „sliku“, trebamo pomnožiti vjerovatnoće:

    odgovor:

  3. Nakon što se izvuče prva karta, broj karata u špilu će se smanjiti, tako da nam odgovaraju dvije opcije:
    1) Prva karta je as, druga je Jack, Queen ili King
    2) Prvom kartom vadimo džanca, damu ili kralja, a drugom asa. (kec i (valet ili dama ili kralj)) ili ((valet ili dama ili kralj) i as). Ne zaboravite na smanjenje broja karata u špilu!

Ako ste uspjeli sami riješiti sve probleme, onda ste odlični! Sada ćete kao ludi razbijati probleme teorije vjerovatnoće na Jedinstvenom državnom ispitu!

TEORIJA VEROVATNOSTI. PROSJEČAN NIVO

Pogledajmo primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znate li? To je ono što zovu kocka sa brojevima na licu. Koliko lica, toliko brojeva: od do koliko? Prije.

Dakle, bacamo kockice i želimo da ispadne ili. I shvatili smo.

U teoriji vjerovatnoće kažu šta se dogodilo povoljan događaj(ne brkati sa prosperitetnim).

Da se to dogodi, događaj bi takođe bio povoljan. Ukupno se mogu desiti samo dva povoljna događaja.

Koliko je nepovoljnih? Pošto ima ukupno mogućih događaja, to znači da su oni nepovoljni događaji (ovo je ako ili ispadne).

definicija:

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja. Odnosno, vjerovatnoća pokazuje koliki je udio svih mogućih događaja povoljan.

Označavaju vjerovatnoću latiničnim slovom (očigledno od engleske riječi vjerovatnoća - vjerovatnoća).

Uobičajeno je da se vjerovatnoća mjeri u procentima (pogledajte teme i). Da biste to učinili, vrijednost vjerovatnoće se mora pomnožiti sa. U primjeru s kockicama, vjerovatnoća.

I u procentima: .

Primjeri (odlučite sami):

  1. Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu prilikom bacanja novčića? Kolika je vjerovatnoća sletanja glava?
  2. Kolika je vjerovatnoća da dobijete paran broj pri bacanju kocke? Koji je čudan?
  3. U kutiji jednostavnih, plavih i crvenih olovaka. Nasumce crtamo jednu olovku. Kolika je vjerovatnoća da dobijete jednostavnu?

rješenja:

  1. Koliko opcija postoji? Glava i rep - samo dva. Koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerovatnoća

    Isto je i sa repovima: .

  2. Ukupno opcija: (koliko strana ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi:).
    Vjerovatnoća. Naravno, isto je i sa neparnim brojevima.
  3. Ukupno: . Povoljno: . Verovatnoća: .

Potpuna vjerovatnoća

Sve olovke u kutiji su zelene. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvenu olovku? Nema šanse: vjerovatnoća (na kraju krajeva, povoljni događaji -).

Takav događaj se naziva nemogućim.

Kolika je vjerovatnoća da nacrtate zelenu olovku? Postoji potpuno isti broj povoljnih događaja koliko i ukupnih događaja (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerovatnoća je jednaka ili.

Takav se događaj naziva pouzdanim.

Ako kutija sadrži zelene i crvene olovke, kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zelenu ili crvenu? Još jednom. Zapazimo ovo: vjerovatnoća izvlačenja zelene je jednaka, a crvene je jednaka.

Sve u svemu, ove vjerovatnoće su potpuno jednake. To je, zbir vjerovatnoća svih mogućih događaja jednak je ili.

primjer:

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, obične, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ne nacrtate zeleno?

Rješenje:

Sjećamo se da se sve vjerovatnoće sabiraju. I vjerovatnoća da dobijete zelenu boju je jednaka. To znači da je vjerovatnoća da se ne izvuče zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerovatnoći da će se događaj dogoditi.

Nezavisni događaji i pravilo množenja

Bacate novčić jednom i želite da oba puta padne na glavu. Koja je vjerovatnoća za ovo?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Glave-glave, repove-glave, glave-repe, repove-repove. Šta još?

Total options. Od njih nam samo jedan odgovara: Orao-Orao. Ukupno, vjerovatnoća je jednaka.

U redu. Sada bacimo novčić jednom. Izračunaj sam. Desilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se sa dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerovatnoća smanjuje za polovicu. Opšte pravilo se zove pravilo množenja:

Vjerovatnoće nezavisnih događaja se mijenjaju.

Šta su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne zavise jedni od drugih. Na primjer, kada bacimo novčić nekoliko puta, svaki put se izvrši novo bacanje, čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. Isto tako lako možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Više primjera:

  1. Kockice se bacaju dva puta. Kolika je vjerovatnoća da dobijete oba puta?
  2. Novčić se baca jednom. Kolika je vjerovatnoća da će prvi put iskrsnuti, a zatim dva puta ispasti?
  3. Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerovatnoća da će zbir brojeva na njima biti jednak?

odgovori:

  1. Događaji su nezavisni, što znači da pravilo množenja radi: .
  2. Vjerovatnoća glava je jednaka. Vjerovatnoća repova je ista. pomnožiti:
  3. 12 se može dobiti samo ako se bacaju dva -ki: .

Nekompatibilni događaji i pravilo zbrajanja

Događaji koji se međusobno nadopunjuju do pune vjerovatnoće nazivaju se nekompatibilnim. Kao što ime govori, ne mogu se desiti istovremeno. Na primjer, ako bacimo novčić, može se pojaviti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, obične, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zeleno ili crveno?

Rješenje .

Vjerovatnoća da se nacrta zelena olovka je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji u svemu: zeleno + crveno. To znači da je vjerovatnoća izvlačenja zelene ili crvene boje jednaka.

Ista vjerovatnoća se može predstaviti u ovom obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Problemi mješovitog tipa

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će rezultati probijanja biti drugačiji?

Rješenje .

To znači da ako je prvi rezultat glava, drugi mora biti rep, i obrnuto. Ispostavilo se da postoje dva para nezavisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje pomnožiti, a gdje dodati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte opisati šta će se dogoditi koristeći veznike “I” ili “ILI”. Na primjer, u ovom slučaju:

Trebalo bi doći gore (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Tamo gdje postoji veznik "i" bit će množenje, a gdje je "ili" bit će zbrajanje:

Probajte sami:

  1. Kolika je vjerovatnoća da će, ako se novčić baci dva puta, novčić oba puta pasti na istu stranu?
  2. Kockice se bacaju dva puta. Kolika je vjerovatnoća da dobijete ukupan broj bodova?

rješenja:

  1. (Glave su pale i repovi su padali) ili (repovi su pali i repovi su padali): .
  2. Koje su opcije? I. onda:
    Ispušteno (i) ili (i) ili (i): .

Drugi primjer:

Baci novčić jednom. Kolika je vjerovatnoća da će se glave pojaviti barem jednom?

Rješenje:

O, kako ne želim da prolazim kroz opcije... Glava-rep-rep, Orao-glav-rep,... Ali nema potrebe! Prisjetimo se ukupne vjerovatnoće. Sjećaš li se? Kolika je vjerovatnoća da je orao nikada neće ispasti? Jednostavno: glave stalno lete, eto zašto.

TEORIJA VEROVATNOSTI. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.

Nezavisni događaji

Dva događaja su nezavisna ako pojava jednog ne mijenja vjerovatnoću da se drugi dogodi.

Potpuna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja jednaka je ().

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerovatnoći da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća svakog događaja

Nekompatibilni događaji

Nekompatibilni događaji su oni koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Brojni nekompatibilni događaji čine kompletnu grupu događaja.

Vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Nakon što smo opisali šta bi se trebalo dogoditi, koristeći veznike “AND” ili “OR”, umjesto “AND” stavljamo znak množenja, a umjesto “OR” stavljamo znak za sabiranje.

Postanite YouClever student,

Pripremite se za Jedinstveni državni ispit ili Jedinstveni državni ispit iz matematike,

I također dobijte pristup YouClever udžbeniku bez ograničenja...