Heterogenost sistema. Uvod

1. pitanje Ispit

1. Metodologija analize sistema. Koncept sistema. Statička svojstva sistema. Otvorenost. Poteškoće u konstruisanju modela crne kutije. Heterogenost sastava. Poteškoće u konstruisanju modela kompozicije. Struktura. Poteškoće u konstruisanju modela strukture.

Statička svojstva Nazovimo karakteristike određenog stanja sistema. To je ono što sistem ima u bilo kojem fiksnom trenutku.

Otvorenost - drugo svojstvo sistema. Izolovani sistem, koji se razlikuje od svega ostalog, nije izolovan od okoline. Naprotiv, oni su povezani i međusobno razmjenjuju sve vrste resursa (materija, energija, informacija itd.). Setimo se da su veze između sistema i okoline usmerene; po nekima, okruženje utiče na sistem (oni se nazivaju sistemski ulazi), po drugima sistem utiče na okruženje, radi nešto u okruženju, proizvodi nešto u okolinu (takve veze se nazivaju sistemski izlazi). Poziva se lista sistemskih ulaza i izlaza model crne kutije . Ovom modelu nedostaju informacije o internim karakteristikama sistema. Uprkos (prividnoj) jednostavnosti i siromaštvu sadržaja modela crne kutije, ovaj model je često sasvim dovoljan za rad sa sistemom.

Poteškoće u izgradnji modela crne kutije . Svi oni proizilaze iz činjenice da model uvijek sadrži konačnu listu veza, dok je njihov broj u realnom sistemu neograničen. Postavlja se pitanje: koje od njih treba uključiti u model, a koje ne? Već znamo odgovor: model mora odražavati sve veze koje su prirodne

postizanje cilja.

Četiri vrste grešaka prilikom izrade modela crne kutije:

Greška prvog tipa nastaje kada subjekt ocijeni vezu kao značajnu i odluči je uključiti u model, a zapravo je beznačajna u odnosu na cilj i ne može se uzeti u obzir. To dovodi do pojave “dodatnih” elemenata u modelu, u suštini nepotrebnih.

Grešku drugog tipa, naprotiv, čini subjekt kada odluči da je data veza beznačajna i da ne zaslužuje da bude uključena u model, a zapravo bez nje naš cilj ne može biti postignut u potpunosti ili čak i uopšte.

Greška treće vrste smatra se posljedicom neznanja. Da biste procijenili značaj određene veze, morate znati da ona uopće postoji. Ako je to nepoznato, pitanje uključivanja ili ne uključivanja u model se uopće ne postavlja: modeli sadrže samo ono što znamo. Ali pošto ne sumnjamo u postojanje određene veze, ona ne prestaje da postoji i manifestuje se u stvarnosti. A onda sve zavisi od toga koliko je to značajno za postizanje našeg cilja. Ako je beznačajan, onda u praksi nećemo primijetiti njegovo prisustvo u stvarnosti i odsustvo u modelu. Ako je značajna, imaćemo iste poteškoće kao kod greške drugog tipa. Razlika je u tome što je grešku trećeg tipa teže ispraviti: nova znanja se moraju steći.

Greška četvrtog tipa može nastati kada je poznata i prepoznata značajna veza pogrešno dodijeljena broju ulaza ili izlaza.

Unutrašnja heterogenost: razlikovnost delova (treće svojstvo sistema). Ako pogledate unutar „crne kutije“, ispostaviće se da sistem nije homogen, da nije monolitan; može se otkriti da se različiti kvaliteti razlikuju od mjesta do mjesta. Opis unutrašnje heterogenosti sistema svodi se na izolovanje relativno homogenih područja i povlačenje granica između njih. Tako se pojavljuje koncept dijelova sistema. Pažljivijim ispitivanjem ispostavlja se da odabrani veliki dijelovi također nisu homogeni, što zahtijeva identifikaciju još manjih dijelova. Rezultat je hijerarhijska lista dijelova sistema, koju ćemo nazvati modelom kompozicije sistema.

Poteškoće u izgradnji modela kompozicije koje svako mora da savlada može biti predstavljen u tri pozicije:

Prvo. Cela se može podeliti na delove na različite načine (kao rezanje vekne hleba na kriške različitih veličina i oblika). I kako je to tačno potrebno? Odgovor: način na koji treba da postignete svoj cilj.

Sekunda. Broj delova u kompozicionom modelu takođe zavisi od nivoa na kome je zaustavljena fragmentacija sistema. Pozivaju se dijelovi na terminalnim granama rezultirajućeg hijerarhijskog stabla elementi .

Treće. Svaki sistem je dio nekog većeg sistema (i često dio nekoliko sistema odjednom). I ovaj metasistem se također može podijeliti na podsisteme na različite načine. To znači da je vanjska granica sistema relativna, uslovna. Čak se i „očigledna“ granica sistema (ljudska koža, ograda preduzeća, itd.) pod određenim uslovima pokazuje kao nedovoljna za određivanje granice u ovim uslovima.

Strukturalnost Četvrto statičko svojstvo je da dijelovi sistema nisu neovisni ili izolirani jedan od drugog; oni su međusobno povezani i međusobno djeluju. Štaviše, svojstva sistema kao celine značajno zavise od toga kako tačno njegovi delovi međusobno deluju. Zbog toga su informacije o vezama između dijelova tako često važne. Lista bitnih veza između elemenata sistema naziva se model strukture sistema. Nedjeljivost bilo kojeg sistema određenom strukturom nazvat ćemo četvrto statičko svojstvo sistema - strukturiranost.

Poteškoće u izgradnji modela strukture . Naglašavamo da se za dati sistem može predložiti mnogo različitih modela strukture. Jasno je da je za postizanje određenog cilja potreban jedan njihov konkretan, najpogodniji model. Teškoća izbora između postojećih ili konstruisanja modela specifično za naš slučaj proizilazi iz činjenice da je, po definiciji, model strukture lista bitnih veza.

Prva poteškoća se odnosi na činjenicu da se model strukture određuje nakon odabira modela kompozicije, a zavisi od toga kakav je tačno sastav sistema. Ali čak i sa fiksnim sastavom, model strukture je promjenjiv - zbog mogućnosti drugačijeg definiranja značaja veza.

Druga poteškoća proizilazi iz činjenice da je svaki element sistema „mala crna kutija“. Dakle, sve četiri vrste grešaka su MOGUĆE pri određivanju ulaza i izlaza svakog elementa uključenog u model strukture.

2. Metodologija analize sistema. Koncept sistema. Dinamička svojstva sistema: funkcionalnost, stimulacija, varijabilnost sistema tokom vremena, postojanje u promenljivom okruženju. Sintetička svojstva sistema: nastanak, nerazdvojivost na dijelove, inherentnost, svrsishodnost.

Dinamička svojstva sistema:

Funkcionalnost - peto svojstvo sistema. Procesi Y(t) koji se javljaju na izlazima sistema (Y(1)^(ui(t), Ur(1), -, Un(0)) smatraju se njegovim funkcijama. Sistemske funkcije - ovo je njegovo ponašanje u vanjskom okruženju; promjene koje sistem vrši u okruženju; rezultate svojih aktivnosti; proizvodi proizvedeni u sistemu. Iz mnoštva izlaza slijedi mnoštvo funkcija, od kojih svaku može koristiti neko i za nešto. Dakle, isti sistem može služiti u različite svrhe.

Stimulabilnost - šesto svojstvo sistema. Na ulazima sistema se javljaju i određeni procesi X(t) = (x^(t), X2 (t), x^(t)), koji utiču na sistem, okrećući se (nakon niza transformacija u sistemu) u Y(t). Nazovimo uticaje X(t) stimulusima, a podložnost bilo kog sistema spoljašnjim uticajima i promena njegovog ponašanja pod tim uticajima nazvaćemo stimulativnošću.

Promjenjivost sistema tokom vremena - sedmo svojstvo sistema. U svakom sistemu se dešavaju promene koje se moraju uzeti u obzir; obezbijediti i uključiti u dizajn budućeg sistema; promovirati ih ili ih suprotstaviti, ubrzavajući ih ili usporavajući pri radu sa postojećim sistemom. Sve se može promijeniti u sistemu, ali u smislu naših modela možemo dati vizualnu klasifikaciju promjena: vrijednosti internih varijabli (parametara) Z(t), sastav i struktura sistema i bilo koje njihove kombinacije mogu promijeniti.

Postojanje u promjenjivom okruženju - osmo svojstvo sistema. Ne mijenja se samo ovaj sistem, već i svi ostali. Za dati sistem, ovo izgleda kao stalna promjena u okruženju. Neminovnost postojanja u okruženju koje se stalno mijenja ima mnoge posljedice na sam sistem, od potrebe da se prilagođava vanjskim promjenama kako ne bi propao, do raznih drugih reakcija sistema. Kada se razmatra konkretan sistem za određenu svrhu, pažnja se usmjerava na neke specifične karakteristike njegovog odgovora.

Sintetička svojstva sistema:

Sintetički . Ovaj termin označava generalizirajuća, kolektivna, integralna svojstva koja uzimaju u obzir ono što je ranije rečeno, ali stavlja naglasak na interakciju sistema sa okruženjem, na integritet u najopštijem smislu.

Pojava - deveto svojstvo sistema. Možda ovo svojstvo govori više o prirodi sistema nego bilo koje drugo. Kombinacija delova u sistem dovodi do kvalitativno novih svojstava u sistemu, koja se ne svode na svojstva delova, nisu izvedena iz svojstava delova, inherentna su samo samom sistemu i postoje samo dok se sistem je jedna celina. Sistem je više od jednostavne zbirke dijelova. Kvalitete sistema koje su jedinstvene za njega nazivaju se emergentima (od engleskog "nastati").

Nerazdvojivost na dijelove - deseto svojstvo sistema. Iako je ovo svojstvo jednostavna posljedica nastanka, njegova praktična važnost je toliko velika, a potcjenjivanje toliko uobičajeno, da ga je preporučljivo posebno naglasiti. Ako nam je potreban sam sistem, a ne nešto drugo, onda se ne može dijeliti na dijelove. Kada se dio UKLONI iz sistema, dešavaju se dva važna događaja.

Prvo, to mijenja sastav sistema, a time i njegovu strukturu. Ovo će biti drugačiji sistem, sa drugačijim svojstvima. Pošto prethodni sistem ima mnoga svojstva, neka svojstva povezana sa ovim određenim dijelom će potpuno nestati (možda će se pojaviti, a možda i ne. Neka svojstva će se promijeniti, ali će biti djelimično očuvana. A neka svojstva sistema su generalno nevažna povezana su sa Povučeni dio Još jednom da naglasimo da li će uklanjanje dijela iz sistema imati značajan uticaj ili ne, stvar je procjene posljedica.

Druga važna posljedica uklanjanja dijela iz sistema je da dio u sistemu i izvan njega nisu ista stvar. Njegova svojstva se mijenjaju zbog činjenice da se svojstva objekta manifestiraju u interakciji s objektima koji ga okružuju, a kada se ukloni iz sistema, okruženje elementa postaje potpuno drugačije.

Inserency - jedanaesto svojstvo sistema. Reći ćemo da je sistem što je inherentniji (od engleskog inherent - biti sastavni dio nečega), što je bolje usklađen, prilagođen okruženju, kompatibilan s njim. Stepen inherentnosti varira i može se mijenjati (učenje, zaborav, evolucija, reforma, razvoj, degradacija, itd.). Činjenica da su svi sistemi otvoreni ne znači da su svi podjednako dobro kompatibilni sa okruženjem.

izvodljivost - dvanaesto svojstvo sistema. U sistemima koje je stvorio čovjek, podređenost svega (i sastava i strukture) postavljenom cilju je toliko očigledna da je treba prepoznati kao temeljno svojstvo svakog vještačkog sistema. Cilj za koji je sistem kreiran određuje koje će emergentno svojstvo osigurati realizaciju cilja, a to zauzvrat diktira izbor sastava i strukture sistema. Jedna od definicija sistema je kaže: sistem je sredstvo za postizanje cilja. Podrazumijeva se da ako se postavljeni cilj ne može postići korištenjem postojećih sposobnosti, onda subjekt sastavlja novi sistem od objekata oko sebe, posebno kreiran da pomogne u postizanju ovog cilja. Vrijedi napomenuti da cilj rijetko nedvosmisleno određuje sastav i strukturu sistema koji se stvara: važno je da se željena funkcija implementira, a to se često može postići na različite načine.

3. Metodologija analize sistema. Modeli i simulacije. Koncept modela kao sistema. Analiza i sinteza kao metode za konstruisanje modela. Umjetna i prirodna klasifikacija modela. Usklađenost modela sa kulturom subjekta.

U zavisnosti od toga šta treba da znamo, objasnimo – kako je sistem strukturiran ili kako je u interakciji sa okolinom, razlikuju se dve metode spoznaje: 1) analitički; 2) sintetički.

Postupak analize sastoji se od uzastopnog izvođenja sljedeće tri operacije; 1) podijeliti složenu cjelinu na manje dijelove, vjerovatno jednostavnije; 2) dati jasno objašnjenje primljenih fragmenata; 3) spojiti objašnjenje dijelova u objašnjenje cjeline. Ako neki dio sistema ostane nejasan, operacija dekompozicije se ponavlja i ponovo pokušavamo objasniti nove, još manje fragmente.

Prvi proizvod analize je, kao što se vidi iz dijagrama, lista elemenata sistema, tj. . model sastava sistema . Drugi proizvod analize je model strukture sistema . Treći proizvod analize je model crne kutije za svaki element sistema.

Sintetička metoda sastoji se od uzastopnog izvođenja tri operacije: 1) identifikacije većeg sistema (metasistema), čiji je deo uključen i sistem koji nas zanima; 2) razmatranje sastava i strukture metasistema (njegova analiza): 3) objašnjenje uloge koju naš sistem zauzima u metasistemu kroz svoje veze sa drugim podsistemima metasistema. Konačni proizvod sinteze je poznavanje veza našeg sistema sa drugim delovima metasistema, tj. model crne kutije. Ali da bismo ga izgradili, morali smo istovremeno da kreiramo modele sastava i strukture metasistema kao nusproizvoda.

Analiza i sinteza nisu suprotne, već se nadopunjuju. Štaviše, u analizi postoji sintetička komponenta, au sintezi postoji analiza metasistema.

Postoje dvije vrste klasifikacija: veštačke i prirodne . Sa umjetnom klasifikacijom podjela na klase se vrši „kako treba“, tj. na osnovu postavljenog cilja - za onoliko razreda i sa takvim granicama koje diktira cilj. Klasifikacija se vrši nešto drugačije kada je skup koji se razmatra jasno heterogen. Prirodne grupe (u statistici se zovu klasteri) izgleda da traže da budu definisane kao klase , (otuda naziv klasifikacije natural) . Međutim, to treba imati na umu prirodna klasifikacija je samo pojednostavljeni, grubi model stvarnosti .

Usklađenost modela sa kulturom subjekta . Da bi model ostvario svoju funkciju modela nije dovoljno prisustvo samog modela. To je neophodno model je bio kompatibilan, konzistentan sa okruženjem, što je za model kultura (svet modela) korisnika. Ovaj uslov, kada se razmatraju svojstva sistema, naziva se inherentnost: inherentnost modela kulturi je neophodan uslov za modeliranje. Stepen inherentnosti modela može se mijenjati: povećati (obuka korisnika, izgled adaptera kao što je Rosetta kamen, itd.) ili smanjiti (zaborav, uništavanje kulture) zbog promjena u okruženju ili samom modelu. Dakle, u modelirajući metasistem mora biti uključen još jedan element – ​​kultura.

4. Metodologija analize sistema. Kontrola. Pet kontrolnih komponenti. Sedam tipova kontrole.

Kontrola - ciljani uticaj na sistem.

Pet kontrolnih komponenti:

Prva kontrolna komponenta je sam kontrolni objekat, upravljani sistem.

Druga obavezna komponenta sistema upravljanja je cilj upravljanja.

Upravljačko djelovanje U(t) je treća upravljačka komponenta . Činjenica da su ulazi i izlazi sistema međusobno povezani određenom relacijom Y(t)=S omogućava nam da se nadamo da postoji kontrolna akcija u kojoj se cilj V*(t) ostvaruje na izlazu.

Sistemski model postaje četvrta komponenta procesa upravljanja.

Sve radnje potrebne za kontrolu moraju biti dovršene. Ova funkcija se obično dodjeljuje sistemu posebno kreiranom za ovu svrhu. (peta komponenta procesa upravljanja). Zove se upravljačka jedinica ili upravljački sistem (podsistem), upravljački uređaj i tako dalje. U stvarnosti Kontrolni blok može biti podsistem kontrolisanog sistema (kao avodouiravle1gae - deo postrojenja, autopilot - deo aviona), ali može biti i eksterni sistem (poput ministarstva za podređeno preduzeće, kao što je dispečer aerodroma za sletanje aviona).

Sedam tipova kontrole:

Prvi tip kontrole je jednostavna kontrola sistema, ili programska kontrola.

Drugi tip kontrole je upravljanje složenim sistemom.

Treći tip kontrole je kontrola po parametrima, odnosno regulacija.

Četvrti tip upravljanja je upravljanje po strukturi.

Peti tip upravljanja je upravljanje prema ciljevima.

Šesti tip upravljanja je upravljanje velikim sistemima.

Sedma vrsta kontrole. Pored prvog tipa kontrole, kada je sve što je potrebno za postizanje cilja dostupno, ostale vrste kontrole koje se razmatraju povezane su sa prevazilaženjem faktora koji onemogućavaju postizanje cilja: nedostatak informacija o objektu kontrole (drugi tip), vanjske manje smetnje koje neznatno odstupaju sistem od ciljne putanje (treći tip), nesklad između emergentnih svojstava sistema i postavljenog cilja (četvrti tip), nedostatak materijalnih resursa, čineći cilj nedostižnim i zahtijevaju njegovu zamjenu (peti tip ), nedostatak vremena za pronalaženje najboljeg rješenja (šesti tip).

5. Tehnologija analize sistema. Uslovi za uspješnost istraživanja sistema. Faze sistemskog istraživanja: otklanjanje problema, dijagnosticiranje problema, sastavljanje liste zainteresovanih strana, identifikovanje mešavine problema.

Uslovi za uspješnost istraživanja sistema :

garancija pristupa svim potrebnim informacijama (istovremeno, analitičar, sa svoje strane, garantuje povjerljivost);

garancija ličnog učešća najviših zvaničnika organizacija - obaveznih učesnika u problemskoj situaciji (menadžeri sistema za sadržavanje i rješavanje problema);

odbijanje zahteva da se unapred formuliše neophodan rezultat („tehničke specifikacije“), budući da ima mnogo poboljšanja zahvata i one su unapred nepoznate, posebno koja će biti izabrana za implementaciju.

Rješavanje problema – zadatak je formulisati problem i dokumentovati ga. Formulaciju problema razvija sam klijent; Posao analitičara je da otkrije na šta se klijent žali, čime je nezadovoljan. To je problem klijenta kako on to vidi. Istovremeno, pokušajte da ne utičete na njegovo mišljenje ili da ga ne iskrivite.

Dijagnoza problema . Koju od metoda rješavanja problema koristiti za rješavanje datog problema ovisi o tome hoćemo li utjecati na najnezadovoljnijeg subjekta ili ćemo intervenirati u stvarnost kojom je nezadovoljan (mogu biti slučajeva kada je kombinacija oba utjecaja preporučljiva). Zadatak ove faze je da se postavi dijagnoza – da se utvrdi o kakvoj se vrsti problema radi.

Sastavljanje liste zainteresovanih strana .Naš krajnji cilj je implementacija intervencija poboljšanja. Svaka faza treba da nas približi korak bliže, ali moramo posebno voditi računa da ovaj korak bude u pravom, a ne u drugom smjeru. Da bi se naknadno uzeli u obzir interesi svih učesnika u problemskoj situaciji (a upravo na tome se zasniva koncept poboljšanja intervencije), potrebno je prvo saznati ko je uključen u problemsku situaciju i napraviti listu Od njih. Istovremeno, važno je ne propustiti nikoga; na kraju krajeva, nemoguće je voditi računa o interesima nekoga ko je nama nepoznat, a neuvažavanje nikoga prijeti da naša intervencija neće biti bolja. Dakle, lista učesnika u problemskoj situaciji mora biti potpuna.

Identifikacija problematičnog nereda . Zainteresovane strane imaju interese koje moramo uzeti u obzir. Ali za ovo ih morate poznavati. Za sada imamo samo spisak vlasnika interesa. Prva informacija koju treba dobiti o interesnoj strani je njegova vlastita procjena situacije koja je problematična za našeg klijenta. Može biti različito: neki od aktera mogu imati svoje probleme (negativna ocjena), neki su potpuno zadovoljni (pozitivna ocjena), drugi mogu biti neutralni prema stvarnosti. Tako će biti jasnije<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. Tehnologija analize sistema. Operacije analize sistema. Faze istraživanja sistema: određivanje konfiguratora, identifikacija cilja, određivanje kriterijuma, eksperimentalno istraživanje.

Operacije analize sistema . Ukoliko se klijent slaže sa uslovima ugovora, analitičar prelazi na prvu fazu, nakon što je završila, počinje drugu i tako sve do poslednje faze, na čijem kraju treba da se dobije sprovedena unapređujuća intervencija.

Definicija konfiguratora . Neophodan uslov za uspješno rješenje problema je postojanje adekvatnog modela problemske situacije, uz njegovu pomoć će biti moguće testirati i uporediti opcije za predložene akcije. Ovaj model (ili skup modela) se neizbježno mora konstruirati korištenjem sredstava nekog jezika (ili jezika). Postavlja se pitanje koliko i kojih jezika je potrebno za rad na ovom problemu i kako ih odabrati. Zove se konfigurator. minimalni skup profesionalnih jezika koji vam omogućava da date potpun (adekvatan) opis problemske situacije i njenih transformacija. Sav rad tokom rješavanja problema odvijat će se na jezicima konfiguratora. I to samo na njima. Definiranje konfiguratora je zadatak ove faze. Naglašavamo da konfigurator nije vještački izum sistemskih analitičara, izmišljen da im olakša rad. S jedne strane, konfigurator je određen prirodom problema. S druge strane, konfigurator se može posmatrati kao još jedno SVOJSTVO sistema, kao sredstvo kojim sistem rješava svoj problem.

Detekcija mete . Kada želimo da implementiramo intervenciju poboljšanja, moramo osigurati da niko od dionika na to ne gleda negativno. Ljudi pozitivno ocjenjuju promjenu ako ih približava cilju, a negativno ako ih udaljava od njega. Stoga je za osmišljavanje intervencije potrebno poznavati ciljeve svih dionika. Naravno, glavni izvor informacija je sam stejkholder.

Definicija kriterijuma . U toku rješavanja problema bit će potrebno uporediti predložene opcije, procijeniti stepen ostvarenosti cilja ili odstupanja od njega i pratiti razvoj događaja. To se postiže isticanjem nekih karakteristika predmeta i procesa koji se razmatraju. Ovi znakovi moraju biti povezani sa karakteristikama predmeta ili procesa koji nas zanimaju i moraju biti dostupni posmatranju i mjerenju. Tada ćemo, na osnovu dobijenih rezultata merenja, moći da izvršimo potrebnu kontrolu. Takve karakteristike se nazivaju kriterijumi. Svaka studija (uključujući i našu) zahtijevat će kriterije. Koliko, po čemu i kako odabrati kriterijume? Prvo, o broju kriterijuma. Očigledno, što vam je potrebno manje kriterijuma, lakše ćete praviti poređenja. Odnosno, poželjno je da se broj kriterijuma svede na minimum; Izbor kriterijuma . Kriterijumi su kvantitativni modeli kvalitativnih ciljeva. Zapravo, formirani kriterijumi u budućnosti u izvesnom smislu predstavljaju i zamenjuju ciljeve: optimizacija prema kriterijumima treba da obezbedi maksimalnu aproksimaciju cilju. Naravno, kriterijumi nisu identični cilju, oni su privid cilja, njegov model. Određivanje vrijednosti kriterija za datu alternativu je u suštini mjerenje stepena njene podobnosti kao sredstva za postizanje cilja.

Eksperimentalno proučavanje sistema. Eksperiment i model. Često se informacije koje nedostaju o sistemu mogu dobiti samo iz samog sistema provođenjem eksperimenta posebno dizajniranog za ovu svrhu. Informacije sadržane u eksperimentalnom protokolu se ekstrahuju, podvrgavajući dobijene podatke obradi i transformaciji u oblik pogodan za uključivanje u model sistema. Posljednji korak je ispravljanje modela, ugrađivanje primljenih informacija u model. Lako je uočiti da je za poboljšanje modela potrebno eksperimentiranje. Također je važno shvatiti da je eksperimentiranje nemoguće bez modela. Oni su u istom ciklusu. Međutim, rotacija kroz ovaj ciklus ne liči na točak koji se vrti, već na kotrljajuću snježnu kuglu - sa svakim okretom postaje sve veća i teži.

7. Tehnologija analize sistema. Faze istraživanja sistema: izgradnja i unapređenje modela, generisanje alternativa, donošenje odluka, +.

Konstrukcija i unapređenje modela. U analizi sistema potrebni su model problema i situacija "izgubiti" moguće opcije za intervencije kako bi se odsjekle ne samo one koje se neće poboljšati, već i da se odaberu one koje najviše poboljšavaju (prema našim kriterijima) one koje se poboljšavaju. Treba naglasiti da se u svakoj prethodnoj i u svim narednim fazama doprinosi izgradnji situacionog modela (kako vlastitim doprinosom, tako i odlukom da se vrati u neku ranu fazu kako bi se model dopunio informacijama). Stoga, zapravo, ne postoji posebna, posebna „faza izgradnje modela“, a ipak je vrijedno usredotočiti se na karakteristike izgradnje modela, odnosno na njihove "završetak izgradnje" (tj. dodavanje novih elemenata ili uklanjanje nepotrebnih).

Generisanje alternativa . U opisanoj tehnologiji, ova radnja se izvodi u dvije faze:

utvrđivanje neslaganja između problema i ciljnih mješavina. Moraju se jasno formulisati razlike između trenutnog (i nezadovoljavajućeg) stanja organizacije i budućeg, najpoželjnijeg, idealnog stanja kojem treba da teži. Ove razlike su praznine čije otklanjanje treba planirati;

predlaganje mogućih opcija za otklanjanje ili smanjenje uočenih neslaganja. Akcije, procedure, pravila, projekti, programi i politike – sve komponente upravljanja – moraju biti dizajnirane za implementaciju.

Unutrašnja heterogenost sistema: razlikovnost delova. Ako pogledate unutar „crne kutije“, ispostaviće se da sistem nije homogen, da nije monolitan: možete otkriti da se različiti kvaliteti razlikuju na različitim mjestima. Opis unutrašnje heterogenosti sistema svodi se na izolovanje relativno homogenih područja i povlačenje granica između njih. Tako se pojavljuje koncept dijelova sistema. Pažljivijim ispitivanjem ispostavlja se da odabrani veliki dijelovi također nisu homogeni, što zahtijeva identifikaciju još manjih dijelova. Rezultat je hijerarhijska lista dijelova sistema, koju ćemo nazvati modelom kompozicije sistema.

Informacije o sastavu sistema mogu se koristiti za rad sa sistemom. Ciljevi interakcije sa sistemima mogu biti različiti, pa se stoga i modeli kompozicije istog sistema mogu razlikovati. Stvaranje korisnog, izvodljivog modela nije lako.

Poteškoće u izgradnji modela kompozicije

Na prvi pogled, delove sistema nije teško razlikovati, oni „upadaju u oči“. Neki sistemi se spontano diferenciraju na dijelove u procesu prirodnog rasta i razvoja (organizmi, društva, planetarni sistemi, molekuli, nalazišta minerala, itd.). Veštački sistemi su očigledno sastavljeni od prethodno odvojenih delova (mehanizama, zgrada, tekstova, melodija, itd.). Postoje i mješoviti tipovi sistema (rezervati, poljoprivredni sistemi, organizacije za istraživanje prirode, tečni transport).

S druge strane, pitajte rektora, studenta, računovođu ili poslovnog menadžera iz kojih dijelova se sastoji univerzitet i svaki će vam dati svoj model sastava, drugačiji od ostalih. Pilot, stjuardesa i putnik će također drugačije odrediti sastav aviona. Možemo reći da se tijelo sastoji od desne i lijeve polovine, ili se može reći da se sastoji od gornje i donje polovine. Dakle, od čega se „stvarno“ sastoji?

Poteškoće konstruisanja kompozicionog modela koje svako mora savladati mogu se predstaviti u tri pozicije.

1. Cjelina se može podijeliti na dijelove na različite načine

Cela se može podeliti na delove na različite načine (kao rezanje vekne hleba na kriške različitih veličina i oblika). I kako je to tačno potrebno? Odgovor: način na koji treba da postignete svoj cilj. Na primjer, sastav automobila se različito predstavlja početnicima auto-entuzijastima, budućim profesionalnim vozačima, mehaničarima koji se pripremaju za rad u automehaničarskim radionicama i prodavačima u auto trgovinama.

Onda je prirodno da se vratimo na pitanje: da li delovi „stvarno“ postoje? Obratite pažnju na pažljivu formulaciju dotičnog svojstva: razlikovnost dijelova, a ne razdvajanje na dijelove. Zauzeli smo drugi pristup problemu integriteta sistema: možete razlikovati dijelove sistema koji su vam potrebni za vašu svrhu i koristiti informacije koje su vam dostupne o njima, ali ih ne biste trebali razdvajati. Kasnije ćemo ovu poziciju produbiti i razviti.

2. Broj dijelova u modelu kompozicije

Broj delova u kompozicionom modelu takođe zavisi od nivoa na kome je zaustavljena fragmentacija sistema. Dijelovi na terminalnim granama rezultirajućeg hijerarhijskog stabla nazivaju se elementi. U različitim okolnostima, razgradnja se završava na različitim nivoima. Na primjer, kada se opisuje predstojeći posao, potrebno je iskusnom radniku i početniku dati upute različitog stepena detalja. Dakle, model kompozicije zavisi od toga šta se smatra elementarnim, a pošto je ova reč evaluativna, ona nije apsolutan, već relativan pojam. Međutim, postoje slučajevi kada je element prirodne, apsolutne prirode (ćelija je najjednostavniji element živog organizma; pojedinac je posljednji element društva; fonemi su najmanji dijelovi usmenog govora) ili je određen našim sposobnosti (na primjer, možemo pretpostaviti da se elektron također sastoji od nečega, ali do sada fizičari nisu bili u mogućnosti da otkriju njegove dijelove s frakcijskim nabojem).

3. Vanjska granica sistema

Svaki sistem je dio nekog većeg sistema (i često dio nekoliko sistema odjednom). I ovaj metasistem se također može podijeliti na podsisteme na različite načine. To znači da je vanjska granica sistema relativna, uslovna. Čak se i „očigledna“ granica sistema (ljudska koža, ograda preduzeća, itd.) pod određenim uslovima pokazuje kao nedovoljna za određivanje granice u ovim uslovima. Na primjer, tokom obroka viljuškom uzmem kotlet sa tanjira, odgrizem ga, sažvačem, progutam i probavim. Gdje je granica preko koje kotlet postaje dio mene? Drugi primjer je sa granicom preduzeća. Radnik je pao na stepenice i slomio nogu. Nakon tretmana, prilikom plaćanja računa, postavlja se pitanje o kakvoj se povredi radilo - kućnoj ili industrijskoj (plaćaju se različito)? Nema sumnje da je ovo bilo stepenište preduzeća. Ali ako su to bile stepenice kuće u kojoj radnik živi, ​​onda sve zavisi kako je hodao kući. Ako ste direktno s posla i još niste stigli do vrata stana, povreda se smatra radnom. Ali ako je usput ušao u prodavnicu ili bioskop, radi se o kućnoj povredi. Kao što vidimo, zakon definiše granice preduzeća uslovno.

Konvencionalnost granica sistema ponovo nas vraća na problem integriteta, sada integriteta celog sveta. Granica sistema se utvrđuje uzimajući u obzir ciljeve subjekta koji će koristiti modele sistema.

Tarasenko F.P. Primijenjena sistemska analiza (nauka i umjetnost rješavanja problema): Udžbenik. - Tomsk; Izdavačka kuća Tomskog univerziteta, 2004. ISBN 5-7511-1838-3

2.4.1. Definicija. Neka nam bude dat nehomogen sistem linearnih jednačina

Razmislite o homogenom sistemu

čija se matrica koeficijenata poklapa sa matricom koeficijenata sistema (2.4.1). Tada se poziva sistem (2.4.2). smanjeni homogeni sistem (2.4.1).

2.4.2. Teorema. Opće rješenje nehomogenog sistema jednako je zbiru nekog posebnog rješenja nehomogenog sistema i opšteg rješenja redukovanog homogenog sistema.

Dakle, za pronalaženje opšteg rešenja za nehomogeni sistem (2.4.1) dovoljno je:

1) Istražite kompatibilnost. U slučaju kompatibilnosti:

2) Naći opšte rešenje redukovanog homogenog sistema.

3) Pronađite bilo koje posebno rješenje za originalno (nehomogeno).

4) Sabiranjem pronađenog partikularnog rješenja i opšteg rješenja zadatog naći opšte rješenje originalnog sistema.

2.4.3. Vježbajte. Istražite sistem za kompatibilnost i, u slučaju kompatibilnosti, pronađite njegovo opšte rješenje u obliku zbira pojedinačnog i opšteg datog.

Rješenje. a) Da bismo riješili problem, koristimo gornju shemu:

1) Ispitujemo kompatibilnost sistema (metodom obrubljivanja minora): Rang glavne matrice je 3 (vidi rješenje vježbe 2.2.5, a), a nenulti minor maksimalnog reda je sastavljen od elemenata 1., 2., 4. red i 1., 3., 4. stupac. Da bismo pronašli rang proširene matrice, graničimo je sa 3. redom i 6. kolonom proširene matrice: =0. znači, rg A =rg=3, a sistem je konzistentan. Konkretno, on je ekvivalentan sistemu

2) Nađimo opšte rješenje X 0 smanjeni homogeni sistem

X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(vidi rješenje vježbe 2.2.5, a)).

3) Nađimo bilo koje posebno rješenje x h originalnog sistema . Da biste to učinili, u sistemu (2.4.3), ekvivalentnom originalnom, slobodne nepoznate x 2 i x Pretpostavljamo da je 5 jednako, na primjer, nuli (ovo je najpogodniji podatak):

i riješite rezultirajući sistem: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Dakle, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ je posebno rješenje sistema.

4) Naći opće rješenje X n originalnog sistema :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

Komentar. Uporedite odgovor koji ste dobili sa drugim odgovorom u primeru 1.2.1 c). Za dobijanje odgovora u prvom obliku za 1.2.1 c) uzimaju se osnovne nepoznanice x 1 , x 3 , x 5 (minor za koji takođe nije jednak nuli), a kao slobodan ¾ x 2 i x 4 .

§3. Neke aplikacije.

3.1. O pitanju matričnih jednačina. Podsjećamo vas na to matrična jednačina preko terena F je jednadžba u kojoj je nepoznata matrica nad poljem F .

Najjednostavnije matrične jednačine su jednačine oblika

SJEKIRA=B , XA =B (2.5.1)

Gdje A , B ¾ data (poznata) matrica nad poljem F , A X ¾ takve matrice, čijom se zamjenom jednačine (2.5.1) pretvaraju u prave matrične jednakosti. Konkretno, matrična metoda određenih sistema se svodi na rješavanje matrične jednadžbe.

U slučaju kada su matrice A u jednačinama (2.5.1) su nedegenerisani, imaju rješenja, respektivno X =A B I X =B.A. .

U slučaju kada je barem jedna od matrica na lijevoj strani jednadžbe (2.5.1) singularna, ova metoda više nije prikladna, jer odgovarajuća inverzna matrica A ne postoji. U ovom slučaju, pronalaženje rješenja jednačina (2.5.1) svodi se na rješavanje sistema.

Ali prvo, hajde da predstavimo neke koncepte.

Nazovimo skup svih rješenja sistema opšta odluka . Nazovimo zasebno uzeto rješenje neodređenog sistema privatno rešenje .

3.1.1. Primjer. Riješiti matričnu jednačinu nad poljem R.

A) X = ; b) X = ; V) X = .

Rješenje. a) Kako je =0, onda formula X =A B nije pogodno za rješavanje ove jednačine. Ako u radu XA =B matrica A ima 2 reda, zatim matricu X ima 2 kolone. Broj linija X mora odgovarati broju redova B . Zbog toga X ima 2 linije. dakle, X ¾ neka kvadratna matrica drugog reda: X = . Zamenimo X u originalnu jednačinu:

Množenjem matrica na lijevoj strani (2.5.2) dolazimo do jednakosti

Dvije matrice su jednake ako i samo ako imaju iste dimenzije i ako su im odgovarajući elementi jednaki. Stoga je (2.5.3) ekvivalentno sistemu

Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu

Rješavajući ga, na primjer, Gaussovom metodom, dolazimo do skupa rješenja (5-2 b , b , -2d , d ), Gdje b , d trče nezavisno jedno od drugog R. dakle, X = .

b) Slično kao a) imamo X = i.

Ovaj sistem je nedosljedan (provjerite!). Stoga ova matrična jednačina nema rješenja.

c) Označimo ovu jednačinu sa SJEKIRA =B . Jer A ima 3 kolone i B tada ima 2 kolone X ¾ neka matrica dimenzije 3´2: X = . Stoga imamo sljedeći lanac ekvivalencija:

Posljednji sistem rješavamo Gaussovom metodom (izostavljamo komentare)

Tako dolazimo do sistema

čije je rješenje (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Gdje z , w trče nezavisno jedno od drugog R.

Odgovor: a) X = , b , d Î R.

b) Ne postoje rješenja.

V) X = z , w Î R.

3.2. O pitanju permutabilnosti matrica. Općenito, proizvod matrica je nepromjenjiv, odnosno ako A I B takav da AB I B.A. definisani su, dakle, uopšteno govoreći, AB ¹ B.A. . Ali primjer matrice identiteta E pokazuje da je moguća i komutabilnost A.E. =E.A. za bilo koju matricu A , kad bi samo A.E. I E.A. bili odlučni.

U ovom dijelu ćemo razmotriti probleme pronalaženja skupa svih matrica koje komutiraju sa datom. dakle,

Nepoznato x 1 , y 2 i z 3 može imati bilo koju vrijednost: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Onda

dakle, X = .

Odgovori. A) X d ¾ bilo koji broj.

b) X ¾ skup matrica oblika , gdje je a , b I g ¾ bilo koji broj.

§6. Nehomogeni sistem linearnih jednačina

Ako je u sistemu linearnih jednačina (7.1) barem jedan od slobodnih članova V i je različit od nule, onda se takav sistem naziva heterogena.

Neka je dat nehomogen sistem linearnih jednačina, koji se može predstaviti u vektorskom obliku kao

, i = 1,2,.. .,To, (7.13)

Razmotrimo odgovarajući homogeni sistem

i = 1,2,... ,To. (7.14)

Neka vektor
je rješenje nehomogenog sistema (7.13), a vektor
je rješenje homogenog sistema (7.14). Tada je lako vidjeti da je vektor
je također rješenje za nehomogeni sistem (7.13). Zaista

Sada, koristeći formulu (7.12) za opšte rješenje homogene jednačine, imamo

Gdje
bilo koji broj od R, A
– osnovna rješenja homogenog sistema.

Dakle, rješenje nehomogenog sistema je kombinacija njegovog posebnog rješenja i općeg rješenja odgovarajućeg homogenog sistema.

Rješenje (7.15) se poziva opšte rešenje nehomogenog sistema linearnih jednačina. Iz (7.15) slijedi da simultani nehomogeni sistem linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje ako je rang r(A) glavna matrica A odgovara broju n nepoznati sistemi (Cramerov sistem), ako r(A)  n, tada sistem ima beskonačan broj rješenja i ovaj skup rješenja je ekvivalentan podprostoru rješenja odgovarajućeg homogenog sistema jednačina dimenzija n– r.

Primjeri.

1. Neka je dat nehomogen sistem jednačina u kojem je broj jednačina To= 3, i broj nepoznatih n = 4.

X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,

X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,

5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.

Odredimo rangove glavne matrice A i proširena A * ovog sistema. Zbog A I A * ne-nulte matrice i k = 3  n, dakle 1  r (A), r * (A * )  3. Razmotrimo minore drugog reda matrica A I A * :

Dakle, među minorima drugog reda matrica A I A * postoji minor osim nule, pa 2 r(A),r * (A * )  3. Pogledajmo sada maloljetnike trećeg reda

, budući da su prvi i drugi stupac proporcionalni. Isto tako i za maloljetne
.

I tako svi minori trećeg reda glavne matrice A dakle jednaki su nuli r(A) = 2. Za proširenu matricu A * postoje i maloljetnici trećeg reda

Dakle, među minorima trećeg reda proširene matrice A * postoji minor osim nule, dakle r * (A * ) = 3. To znači da r(A)  r * (A * ) a zatim, na osnovu Korneker–Capelli teoreme, zaključujemo da je ovaj sistem nekonzistentan.

2. Riješiti sistem jednačina

3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,

3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.

Za ovaj sistem
i stoga 1 r(A),r * (A * )  2. Razmotrite matrice A I A * maloljetnici drugog reda

dakle, r(A)= r * (A * ) = 2, pa je sistem konzistentan. Kao bazne varijable biramo bilo koje dvije varijable za koje minor drugog reda, sastavljen od koeficijenata ovih varijabli, nije jednak nuli. Takve varijable mogu biti npr.

X 3 i X 4 jer
Onda imamo

X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,

– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .

Hajde da definišemo određeno rešenje heterogeni sistem. Da biste to uradili, stavimo X 1 = X 2 = 0.

X 3 + X 4 = 1,

– X 3 – 2X 4 = 2.

Rešenje za ovaj sistem: X 3 = 4, X 4 = – 3, dakle, = (0,0,4, –3).

Sada određujemo opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine

X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,

–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .

stavimo: X 1 = 1, X 2 = 0

X 3 + X 4 = –3,

–X 3 – 2X 4 = –3.

Rešenje za ovaj sistem X 3 = –9, X 4 = 6.

Dakle

Sada stavimo X 1 = 0, X 2 = 1

X 3 + X 4 = –2,

–X 3 – 2X 4 = –2.

Rješenje: X 3 = – 6, X 4 = 4, a zatim

Nakon što je određeno rješenje , nehomogene jednadžbe i osnovna rješenja
I odgovarajuće homogene jednačine, zapisujemo opšte rešenje nehomogene jednačine.

Gdje
bilo koji broj od R.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema u kursu linearne algebre. Ogroman broj problema iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučavati teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sistem linearnih jednačina razmatrajući detaljna rješenja tipičnih primjera i problema.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.

Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Hajde da formulišemo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažemo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.

IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje - glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.

Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobićemo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također postaje identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema, sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Počeli smo proučavati takve SLAE u srednjoj školi. Kada smo ih rješavali, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine, itd. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i - determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolona odnosno kolona slobodnih članova:

Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao . Ovako se rešenje za sistem linearnih algebarskih jednačina pronalazi korišćenjem Cramerove metode.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante (determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih pojmova, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) :

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Pošto je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Ovako smo matričnim metodom dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu od algebarskih sabiranja elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem pri pronalaženju rješenja za sisteme linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od uzastopnog eliminisanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim x 2 se isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok ne ostane samo nepoznata varijabla x n u poslednjoj jednačini. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka naprednog poteza Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednačine, izračunava se x n-1, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa posljednje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići zamjenom jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , i .

Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , i . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada eliminiramo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednadžbe lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa:

Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode;

Iz posljednje jednadžbe rezultujućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Općenito, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.

Kronecker–Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje od Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).

Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo metodu graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda

različito od nule.

dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, različit od nule osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora;

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.

Šta nam govori teorema o rangu matrice?

Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe još uvijek suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Rang proširene matrice je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula

a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Uzimamo kao base minor . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:


Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Hajde da to riješimo Cramerovom metodom:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada na lijevoj strani jednadžbe ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desnu stranu jednačine sistema sa suprotnim predznakom.

Pozivaju se nepoznate varijable (r njih) koje su ostale na lijevoj strani jednadžbe main.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene kroz slobodne nepoznate varijable na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.

Pogledajmo to na primjeru.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina .

Rješenje.

Nađimo rang glavne matrice sistema metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom:


Ovako smo pronašli minor koji nije nula drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:


Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani sistemskih jednačina, a ostatak prenosimo sa suprotnim predznacima na desnu stranu:


Dajemo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik


Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu:


Dakle, .

U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Rezimiraj.

Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerovu metodu, matričnu metodu ili Gaussovu metodu.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga i pronalaženje.

Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.

Njen detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema općih linearnih algebarskih jednačina.

Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo govoriti o istovremenim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) su stupasti matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima C 1, C 2, ..., C (n-r), tj. je, .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula specificira sva moguća rješenja originalnog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), koristeći formulu koju ćemo dobiti jedno od rješenja originalne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable prenosimo na desnu stranu jednadžbi sistema suprotnih predznaka. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,...,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,...,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na ovaj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo generalno rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti ​​0,0,…,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ove SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina
.