Teoreme o promjeni impulsa mehaničkog sistema. Princip mogućih pokreta

Sistem koji se razmatra u teoremi može biti bilo koji mehanički sistem koji se sastoji od bilo kojeg tijela.

Izjava teoreme

Količina kretanja (impulsa) mehaničkog sistema je veličina jednaka zbiru količina kretanja (impulsa) svih tijela uključenih u sistem. Impuls vanjskih sila koje djeluju na tijela sistema je zbir impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na tijela sistema.

( kg m/s)

Teorema o promjeni impulsa stanja sistema

Promjena količine kretanja sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.

Zakon održanja impulsa sistema

Ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada je količina kretanja (moment) sistema konstantna veličina.

, dobijamo izraz teoreme o promeni momenta kretanja sistema u diferencijalnom obliku:

Integrirajući obje strane rezultirajuće jednakosti tokom proizvoljno uzetog vremenskog perioda između nekih i , dobijamo izraz teoreme o promjeni impulsa sistema u integralnom obliku:

Zakon održanja impulsa (Zakon održanja impulsa) kaže da je vektorski zbir impulsa svih tijela sistema konstantna vrijednost ako je vektorski zbir vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli.

(moment impulsa m 2 kg s −1)

Teorema o promjeni ugaonog momenta u odnosu na centar

vremenska derivacija momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isti centar.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorema o promjeni ugaonog momenta u odnosu na osu

vremenski izvod momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak je momentu sile koja deluje na ovu tačku u odnosu na istu osu.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Uzmite u obzir materijalnu tačku M masa m , koji se kreće pod uticajem sile F (Slika 3.1). Zapišimo i konstruirajmo vektor ugaonog momenta (kinetički moment) M 0 materijalne tačke u odnosu na centar O :

Hajde da razlikujemo izraz za ugaoni moment (kinetički moment k 0) po vremenu:

Jer dr /dt = V , zatim vektorski proizvod V ⊗ m ⋅ V (kolinearni vektori V I m ⋅ V ) je jednako nuli. U isto vrijeme d(m ⋅ V) /dt = F prema teoremi o impulsu materijalne tačke. Stoga to dobijamo

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Gdje r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-moment sile F u odnosu na fiksni centar O . Vector k 0 ⊥ ravan ( r , m ⊗V ), i vektor M 0 (F ) ⊥ avion ( r ,F ), konačno imamo

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Jednačina (3.4) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta (kutnog momenta) materijalne tačke u odnosu na centar: vremenska derivacija momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isti centar.

Projektovanjem jednakosti (3.4) na ose kartezijanskih koordinata dobijamo

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Jednačine (3.5) izražavaju teoremu o promjeni ugaonog momenta (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na osu: vremenski izvod momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak je momentu sile koja deluje na ovu tačku u odnosu na istu osu.

Razmotrimo posljedice koje proizlaze iz teorema (3.4) i (3.5).

Zaključak 1. Razmotrimo slučaj kada je sila F tokom čitavog kretanja tačka prolazi kroz stacionarni centar O (slučaj centralne sile), tj. Kada M 0 (F ) = 0. Tada iz teoreme (3.4) slijedi da k 0 = konst ,

one. u slučaju centralne sile, ugaoni moment (kinetički moment) materijalne tačke u odnosu na centar ove sile ostaje konstantan po veličini i pravcu (slika 3.2).

Slika 3.2

Od uslova k 0 = konst sledi da je putanja pokretne tačke ravna kriva, čija ravan prolazi kroz centar ove sile.

Zaključak 2. Neka M z (F ) = 0, tj. sila prelazi osu z ili paralelno sa njim. U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz treće jednačine (3.5), k z = konst ,

one. ako je moment sile koja djeluje na tačku u odnosu na bilo koju fiksnu osu uvijek nula, tada ugaoni moment (kinetički moment) tačke u odnosu na ovu os ostaje konstantan.

Dokaz teoreme o promjeni impulsa

Neka se sistem sastoji od materijalnih tačaka sa masama i ubrzanjima. Sve sile koje djeluju na tijela sistema dijelimo na dvije vrste:

Spoljašnje sile su sile koje djeluju iz tijela koja nisu uključena u sistem koji se razmatra. Rezultanta vanjskih sila koje djeluju na materijalnu tačku s brojem i označimo

Unutrašnje sile su sile sa kojima tijela samog sistema međusobno djeluju. Sila s kojom je na tački s brojem i tačka sa brojem je važeća k, označit ćemo , i sila utjecaja i th point on k ta tačka - . Očigledno, kada, onda

Koristeći uvedenu notaciju, pišemo drugi Newtonov zakon za svaku materijalnu tačku koja se razmatra u obliku

S obzirom na to i sumirajući sve jednačine drugog Newtonovog zakona, dobijamo:

Izraz predstavlja zbir svih unutrašnjih sila koje djeluju u sistemu. Prema trećem Newtonovom zakonu, u ovom zbiru, svakoj sili odgovara sila takva da, prema tome, vrijedi Pošto se cijeli zbir sastoji od takvih parova, sam zbir je nula. Dakle, možemo pisati

Koristeći notaciju za impuls sistema, dobijamo

Uvođenjem u razmatranje promjene u momentu kretanja vanjskih sila , dobijamo izraz teoreme o promjeni impulsa sistema u diferencijalnom obliku:

Dakle, svaka od posljednjih dobijenih jednačina nam omogućava da konstatujemo: promjena momenta gibanja sistema nastaje samo kao rezultat djelovanja vanjskih sila, a unutrašnje sile ne mogu imati nikakav utjecaj na ovu vrijednost.

Integracijom obje strane rezultirajuće jednakosti u proizvoljno uzetom vremenskom intervalu između nekih i , dobijamo izraz teoreme o promjeni impulsa sistema u integralnom obliku:

gdje i su vrijednosti količine kretanja sistema u trenucima vremena i, respektivno, i impuls vanjskih sila u određenom vremenskom periodu. U skladu sa onim što je ranije rečeno i uvedenim oznakama,

Na isti način kao i za jednu materijalnu tačku, izvešćemo teoremu o promeni impulsa za sistem u različitim oblicima.

Hajde da transformišemo jednačinu (teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema)

na sljedeći način:

;

;

Rezultirajuća jednačina izražava teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku: derivacija impulsa mehaničkog sistema u odnosu na vrijeme jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila koje djeluju na sistem .

U projekcijama na kartezijanske koordinatne ose:

; ; .

Uzimajući integrale obje strane posljednje jednačine tokom vremena, dobijamo teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u integralnom obliku: promjena količine gibanja mehaničkog sistema jednaka je impulsu glavnog vektora spoljne sile koje deluju na sistem .

.

Ili u projekcijama na kartezijanske koordinatne osi:

; ; .

Posljedice iz teoreme (zakoni održanja impulsa)

Zakon održanja količine gibanja dobijen je kao posebni slučajevi teoreme o promjeni impulsa za sistem u zavisnosti od karakteristika sistema vanjskih sila. Unutrašnje sile mogu biti bilo koje, jer ne utječu na promjene momenta.

Postoje dva moguća slučaja:

1. Ako je vektorski zbir svih vanjskih sila primijenjenih na sistem jednak nuli, tada je količina kretanja sistema konstantna po veličini i smjeru

2. Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju koordinatnu osu i/ili i/ili jednaka nuli, tada je projekcija količine kretanja na te iste ose konstantna vrijednost, tj. i/ili i/ili respektivno.

Slični unosi se mogu napraviti za materijalnu tačku i za materijalnu tačku.

Zadatak. Iz pištolja čija masa M, projektil mase izleti u horizontalnom smjeru m sa brzinom v. Pronađite brzinu V puške nakon pucanja.

Rješenje. Sve vanjske sile koje djeluju na sistem mehaničko oružje-projektil su vertikalne. To znači, na osnovu posledica teoreme o promeni impulsa sistema, imamo: .

Količina kretanja mehaničkog sistema prije pucanja:

Količina kretanja mehaničkog sistema nakon metka:

.

Izjednačavajući desnu stranu izraza, dobijamo to

.

Znak "-" u rezultirajućoj formuli označava da će se nakon ispaljivanja pištolj otkotrljati u smjeru suprotnom od osi Ox.

PRIMJER 2. Struja tekućine gustine teče brzinom V iz cijevi poprečnog presjeka F i udara u vertikalni zid pod uglom. Odredite pritisak tečnosti na zidu.

RJEŠENJE. Primijenimo teoremu o promjeni količine gibanja u integralnom obliku na zapreminu tekućine s masom m udara u zid tokom određenog vremenskog perioda t.

JEDNAČINA MEŠČERSKOG

(osnovna jednadžba dinamike tijela promjenljive mase)

U savremenoj tehnologiji nastaju slučajevi kada masa tačke i sistema ne ostaje konstantna tokom kretanja, već se menja. Tako, na primjer, tokom leta svemirskih raketa, zbog izbacivanja produkata izgaranja i pojedinih nepotrebnih dijelova raketa, promjena mase dostiže 90-95% ukupne početne vrijednosti. Ali ne samo svemirska tehnologija može biti primjer dinamike promjenjivog kretanja mase. U tekstilnoj industriji dolazi do značajnih promjena u masi raznih vretena, bobina i valjaka pri savremenim radnim brzinama mašina i mašina.

Razmotrimo glavne karakteristike povezane s promjenama mase, koristeći primjer translacijskog kretanja tijela promjenljive mase. Osnovni zakon dinamike ne može se direktno primijeniti na tijelo promjenljive mase. Dakle, dobijamo diferencijalne jednačine kretanja tačke promenljive mase, primenjujući teoremu o promeni količine kretanja sistema.

Neka tačka ima masu m+dm kreće se brzinom. Tada se određena čestica mase odvaja od tačke dm krećući se brzinom.

Količina kretanja tijela prije nego što čestica odleti:

Količina kretanja sistema koji se sastoji od tijela i odvojene čestice nakon njegovog odvajanja:

Zatim promjena momenta:

Na osnovu teoreme o promjeni impulsa sistema:

Označimo količinu - relativnu brzinu čestice:

Označimo

Veličina R nazvana reaktivna sila. Reaktivna sila je potisak motora uzrokovan izbacivanjem plina iz mlaznice.

Konačno dobijamo

-

Ova formula izražava osnovnu jednačinu dinamike tijela promjenjive mase (formula Meščerskog). Iz posljednje formule proizlazi da diferencijalne jednadžbe kretanja tačke promjenljive mase imaju isti oblik kao i za tačku konstantne mase, osim dodatne reaktivne sile koja se primjenjuje na tačku zbog promjene mase.

Osnovna jednadžba za dinamiku tijela promjenljive mase ukazuje da se ubrzanje ovog tijela ne formira samo zbog vanjskih sila, već i zbog reaktivne sile.

Reaktivna sila je sila slična onoj koju osjeća osoba koja puca – kada puca iz pištolja, osjeća se rukom; Kada se puca iz puške, to se percipira po ramenu.

Prva formula Ciolkovskog (za jednostepenu raketu)

Neka se tačka promenljive mase ili raketa kreće pravolinijski pod uticajem samo jedne reaktivne sile. Budući da je za mnoge moderne mlazne motore, gdje je maksimalna reaktivna sila (potisak motora) dozvoljena konstrukcijom motora; - sila gravitacije koja djeluje na motor koji se nalazi na površini zemlje. One. gore navedeno nam omogućava da zanemarimo komponentu u jednadžbi Meščerskog i prihvatimo ovu jednačinu u obliku za dalju analizu: ,

Označimo:

Rezerva goriva (za tečne mlazne motore - suva masa rakete (njena preostala masa nakon sagorevanja svega goriva);

Masa čestica odvojenih od rakete; se smatra promenljivom vrednošću, koja varira od do .

Zapišimo jednačinu pravolinijskog gibanja tačke promjenljive mase u sljedećem obliku:

Budući da je formula za određivanje promjenljive mase rakete

Dakle, jednačine kretanja tačke Uzimajući integrale obe strane dobijamo

Gdje - karakteristična brzina- ovo je brzina koju raketa postiže pod uticajem potiska nakon što su sve čestice izbile iz rakete (za tečne mlazne motore - nakon što je sve gorivo izgorelo).

Izvan predznaka integrala (što se može uraditi na osnovu teoreme srednje vrednosti poznate iz više matematike) je prosečna brzina čestica izbačenih iz rakete.

Pogledaj: ovaj članak je pročitan 14066 puta

Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratka recenzija

Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika

Količina pokreta

Zamah materijalne tačke - vektorska veličina jednaka proizvodu mase tačke i njenog vektora brzine.

Mjerna jedinica za impuls je (kg m/s).

Zamah mehaničkog sistema - vektorska veličina jednaka geometrijskom zbiru (glavnom vektoru) impulsa mehaničkog sistema jednaka je proizvodu mase cijelog sistema i brzine njegovog centra mase.

Kada se tijelo (ili sistem) kreće tako da mu je centar mase nepomičan, tada je količina kretanja tijela jednaka nuli (na primjer, rotacija tijela oko fiksne ose koja prolazi kroz centar mase tijela ).

U slučaju složenog kretanja, količina kretanja sistema neće karakterizirati rotacijski dio kretanja pri rotaciji oko centra mase. Odnosno, količina kretanja karakteriše samo translatorno kretanje sistema (zajedno sa centrom mase).

Impulsna sila

Impuls sile karakterizira djelovanje sile u određenom vremenskom periodu.

Impuls sile tokom konačnog vremenskog perioda definira se kao integralni zbir odgovarajućih elementarnih impulsa.

Teorema o promjeni impulsa materijalne tačke

(u diferencijalnim oblicima e ):

Vremenski izvod impulsa materijalne tačke jednak je geometrijskom zbiru sila koje djeluju na tačke.

(V integralni oblik ):

Promjena količine gibanja materijalne tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je geometrijskom zbiru impulsa sila primijenjenih na tačku tokom tog vremenskog perioda.

Teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema

(u diferencijalnom obliku ):

Vremenski izvod impulsa sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

(u integralnom obliku ):

Promjena impulsa sistema tokom određenog vremenskog perioda jednaka je geometrijskom zbiru impulsa vanjskih sila koje djeluju na sistem u tom vremenskom periodu.

Teorema omogućava da se iz razmatranja isključe očigledno nepoznate unutrašnje sile.

Teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema i teorema o kretanju centra mase su dva različita oblika iste teoreme.

Zakon održanja impulsa sistema

1. Ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada će vektor impulsa sistema biti konstantan po smjeru i veličini.
2. Ako je zbroj projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju proizvoljnu osu jednak nuli, tada je projekcija količine gibanja na ovu os konstantna vrijednost.

zaključci:

1. Zakoni očuvanja pokazuju da unutrašnje sile ne mogu promijeniti ukupnu količinu kretanja sistema.
2. Teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema ne karakteriše rotacijsko kretanje mehaničkog sistema, već samo translacijsko.

Naveden je primjer: Odredite moment gibanja diska određene mase ako su poznati njegova kutna brzina i veličina.

Primjer proračuna cilindričnog zupčanika
Primjer izračunavanja cilindričnog zupčanika. Izvršen je izbor materijala, proračun dopuštenih napona, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su konstruirani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U problemu je analizirana konstrukcija dijagrama korištenjem diferencijalnih ovisnosti i izvršena je komparativna analiza različitih poprečnih presjeka grede.

Primjer rješavanja problema torzije osovine
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine na datom promjeru, materijalu i dopuštenom naprezanju. U toku rješavanja konstruiraju se dijagrami momenta, posmičnih napona i uglova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir

Primjer rješavanja problema zatezanja-kompresije štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri određenim dopuštenim naprezanjima. Prilikom rješavanja konstruiraju se dijagrami uzdužnih sila, normalnih napona i pomaka. Vlastita težina štapa se ne uzima u obzir

Primjena teoreme o održanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema pomoću teoreme o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sistema

Određivanje brzine i ubrzanja tačke pomoću datih jednačina kretanja
Primjer rješavanja zadatka za određivanje brzine i ubrzanja tačke pomoću zadanih jednačina kretanja

Određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja
Primjer rješavanja zadatka za određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja

Određivanje sila u šipkama ravne rešetke
Primjer rješavanja problema određivanja sila u šipkama ravne rešetke Ritterovom metodom i metodom rezanja čvorova

Primjena teoreme o promjeni ugaonog momenta
Primjer rješavanja problema pomoću teoreme o promjeni kinetičkog momenta za određivanje ugaone brzine tijela koje rotira oko fiksne ose.

(Fragmenti matematičke simfonije)

Veza između impulsa sile i osnovne jednadžbe Njutnove dinamike izražena je teoremom o promjeni impulsa materijalne tačke.

Teorema. Promjena količine gibanja materijalne tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu sile () koja djeluje na materijalnu tačku u istom vremenskom periodu. Matematički dokaz ove teoreme može se nazvati fragmentom matematičke simfonije. Evo ga.

Diferencijalni impuls materijalne tačke jednak je elementarnom impulsu sile koja djeluje na materijalnu tačku. Integrirajući izraz (128) za diferencijalni impuls materijalne tačke imamo

(129)

Teorema je dokazana i matematičari smatraju svoju misiju završenom, ali inženjeri, čija je sudbina sveto veruju u matematičare, imaju pitanja kada koriste dokazanu jednačinu (129). Ali oni su čvrsto blokirani redoslijedom i ljepotom matematičkih operacija (128 i 129), koje nas fasciniraju i ohrabruju da ih nazovemo fragmentom matematičke simfonije. Koliko se generacija inženjera slagalo s matematičarima i divilo se misteriji njihovih matematičkih simbola! Ali onda se pojavio inženjer koji se nije složio sa matematičarima i postavljao im pitanja.

Dragi matematičari! Zašto nijedan vaš udžbenik iz teorijske mehanike ne govori o procesu primjene vašeg simfonijskog rezultata (129) u praksi, na primjer, kada opisujete proces ubrzanja automobila? Lijeva strana jednačine (129) je vrlo jasna. Automobil počinje ubrzanje od brzine i završava ga, na primjer, pri brzini. Sasvim je prirodno da jednačina (129) postaje

I odmah se nameće prvo pitanje: kako možemo iz jednačine (130) odrediti silu pod čijim se uticajem automobil ubrzava do brzine od 10 m/s? Odgovor na ovo pitanje ne nalazi se ni u jednom od bezbrojnih udžbenika teorijske mehanike. Idemo dalje. Nakon ubrzanja, automobil se počinje ravnomjerno kretati brzinom od 10 m/s. Koja sila pokreće auto?????????? Nemam izbora nego da pocrvenim zajedno sa matematičarima. Prvi zakon Newtonove dinamike kaže da kada se automobil kreće ravnomjerno, na njega ne djeluju sile, a automobil, figurativno rečeno, kihne na ovaj zakon, troši benzin i radi, krećući se, na primjer, na udaljenosti od 100 km. Gdje je sila koja je izvršila rad da pomjeri automobil 100 km? Simfonijska matematička jednačina (130) šuti, ali život ide dalje i traži odgovor. Počinjemo da ga tražimo.

Pošto se automobil kreće pravolinijski i jednoliko, sila koja ga kreće je konstantna po veličini i smjeru i jednačina (130) postaje

(131)

Dakle, jednačina (131) u ovom slučaju opisuje ubrzano kretanje tijela. Čemu je jednaka sila? Kako izraziti njegovu promjenu tokom vremena? Matematičari radije zaobilaze ovo pitanje i prepuštaju ga inženjerima, smatrajući da moraju tražiti odgovor na ovo pitanje. Inženjerima preostaje samo jedna opcija - da uzmu u obzir da ako nakon završetka ubrzanog kretanja tijela počne faza ravnomjernog kretanja, koja je praćena djelovanjem konstantne sile, prisutna je jednačina (131) za trenutak prijelaza iz ubrzanog u ravnomjerno kretanje u ovom obliku

(132)

Strelica u ovoj jednačini ne znači rezultat integracije ove jednačine, već proces prelaska iz njenog integralnog oblika u pojednostavljeni oblik. Sila u ovoj jednačini je ekvivalentna prosječnoj sili koja je promijenila impuls tijela od nule do konačne vrijednosti. Dakle, dragi matematičari i teoretičari fizičari, nepostojanje vaše metode za određivanje veličine vašeg impulsa tjera nas da pojednostavimo postupak određivanja sile, a odsustvo metode za određivanje vremena djelovanja ove sile nas generalno stavlja u beznadežan položaj i primorani smo da koristimo izraz za analizu procesa promjene impulsa tijela. Rezultat je da što duže sila djeluje, to je veći njen impuls. Ovo je jasno u suprotnosti s dugo uspostavljenom idejom da što je kraće trajanje njenog djelovanja, to je veći impuls sile.

Obratimo pažnju na činjenicu da se promjena momenta gibanja materijalne tačke (impulsa sile) tokom njenog ubrzanog kretanja događa pod djelovanjem Newtonove sile i sila otpora kretanju, u obliku sila koje stvaraju mehanički otpori i sila inercije. Ali Njutnova dinamika u velikoj većini problema zanemaruje silu inercije, a mehanodinamika navodi da se promena momenta kretanja tela tokom njegovog ubrzanog kretanja dešava zbog viška Njutnove sile nad silama otpora kretanju, uključujući sila inercije.

Kada se tijelo kreće usporeno, na primjer, automobil s isključenim zupčanikom, nema Newtonove sile, a promjena količine kretanja automobila nastaje zbog viška sila otpora kretanju nad silom inercija, koja pokreće automobil kada se kreće polako.

Kako sada možemo vratiti rezultate zapaženih „simfonijskih” matematičkih radnji (128) u glavni tok uzročno-posledičnih veza? Postoji samo jedan izlaz - pronaći novu definiciju pojmova "impuls sile" i "udarna sila". Da biste to učinili, podijelite obje strane jednačine (132) s vremenom t. Kao rezultat ćemo imati

. (133)

Zapazimo da je izraz mV/t brzina promjene momenta (mV/t) materijalne tačke ili tijela. Ako uzmemo u obzir da je V/t ubrzanje, onda je mV/t sila koja mijenja impuls tijela. Ista dimenzija lijevo i desno od znaka jednakosti daje nam za pravo da silu F nazovemo udarnom silom i označimo je simbolom, a impuls S udarnim impulsom i označimo je simbolom. Ovo dovodi do nove definicije udarne sile. Udarna sila koja djeluje na materijalnu tačku ili tijelo jednaka je omjeru promjene količine gibanja materijalne tačke ili tijela i vremena ove promjene.

Obratimo posebnu pažnju na činjenicu da u formiranju udarnog impulsa (134) sudjeluje samo Njutnova sila, koja je promijenila brzinu automobila od nule do maksimalne - , pa jednačina (134) u potpunosti pripada Njutnovskoj dinamici. Budući da je mnogo lakše eksperimentalno odrediti veličinu brzine nego odrediti ubrzanje, formula (134) je vrlo zgodna za proračune.

Ovaj neobičan rezultat slijedi iz jednačine (134).

Obratimo pažnju na činjenicu da je prema novim zakonima mehanodinamike generator impulsa sile pri ubrzanom kretanju materijalne tačke ili tijela Newtonova sila. Formira ubrzanje kretanja tačke ili tijela, pri čemu automatski nastaje inercijalna sila, usmjerena suprotno od Newtonove sile i udarna Newtonova sila mora nadvladati djelovanje inercijalne sile, stoga inercijska sila mora biti predstavljena u ravnoteža sila na lijevoj strani jednačine (134). Pošto je inercijska sila jednaka masi tačke ili tijela pomnoženoj sa usporavanjem koje ono formira, tada jednačina (134) postaje

(136)

Dragi matematičari! Vidite kakav je oblik poprimio matematički model, koji opisuje udarni impuls, koji ubrzava kretanje pogođenog tijela od nulte brzine do maksimalne V (11). Sada provjerimo njegov rad u određivanju udarnog impulsa, koji je jednak udarnoj sili koja je ispalila 2. pogonski agregat SShG-a (Sl. 120), a mi ćemo vam ostaviti vašu beskorisnu jednačinu (132). Kako ne bismo komplicirali prezentaciju, za sada ćemo ostaviti formulu (134) na miru i koristiti formule koje daju prosječne vrijednosti sila. Vidite u koju poziciju stavljate inženjera koji pokušava riješiti određeni problem.

Počnimo s Newtonovom dinamikom. Stručnjaci su utvrdili da se 2. agregat popeo na visinu od 14 m. Pošto se uzdigao u polju gravitacije, na visini od h = 14 m ispostavilo se da je njegova potencijalna energija jednaka

a prosječna kinetička energija bila je jednaka

Rice. 120. Fotografija turbinske prostorije prije katastrofe

Iz jednakosti kinetičke (138) i potencijalne (137) energije slijedi prosječna brzina porasta agregata (sl. 121, 122)

Rice. 121. Foton turbinske sobe nakon katastrofe

Prema novim zakonima mehanodinamike, uspon agregata se sastojao od dvije faze (slika 123): prva faza OA - ubrzani uspon i druga faza AB - spori porast , , .

Vrijeme i udaljenost njihovog djelovanja su približno jednaki (). Tada će se kinematička jednačina ubrzane faze podizanja agregata napisati na sljedeći način:

. (140)

Rice. 122. Pogled na bunar agregata i sam agregat nakon havarije

Zakon promjene brzine porasta agregata u prvoj fazi ima oblik

. (141)

Rice. 123. Pravilnost promjena brzine leta V pogonske jedinice

Zamjenom vremena iz jednačine (140) u jednačinu (141), imamo

. (142)

Vrijeme podizanja bloka u prvoj fazi određuje se iz formule (140)

. (143)

Tada će ukupno vrijeme podizanja pogonske jedinice na visinu od 14 m biti jednako . Masa agregata i poklopca je 2580 tona. Prema Njutnovoj dinamici, sila koja je podigla agregat jednaka je

Dragi matematičari! Pratimo vaše simfonijske matematičke rezultate i zapisujemo vašu formulu (129), slijedeći Newtonovu dinamiku, da odredimo udarni impuls koji je pokrenuo 2. pogonsku jedinicu

i postaviti osnovno pitanje: kako odrediti trajanje udarnog impulsa koji je ispalio 2. agregat????????????

Dragi!!! Sjetite se koliko su kredom ispisivale generacije vaših kolega na tablama, mukotrpno učeći studente kako da odrede udarni impuls, a niko nije objasnio kako odrediti trajanje udarnog impulsa u svakom konkretnom slučaju. Reći ćete da je trajanje udarnog impulsa jednako vremenskom intervalu promjene brzine pogonske jedinice od nule do, pretpostavićemo, maksimalne vrijednosti od 16,75 m/s (139). Nalazi se u formuli (143) i jednak je 0,84 s. Za sada se slažemo s vama i određujemo prosječnu vrijednost udarnog impulsa

Odmah se postavlja pitanje: zašto je veličina udarnog impulsa (146) manja od Njutnove sile od 50600 tona? Vi, dragi matematičari, nemate odgovor. Idemo dalje.

Prema Njutnovoj dinamici, glavna sila koja se odupirala usponu agregata bila je gravitacija. Budući da je ova sila usmjerena protiv kretanja pogonske jedinice, ona stvara usporenje koje je jednako ubrzanju slobodnog pada. Tada je gravitaciona sila koja djeluje na agregat koji leti prema gore jednaka

Njutnova dinamika ne uzima u obzir druge sile koje su onemogućavale dejstvo Njutnove sile od 50.600 tona (144), a mehanodinamika navodi da se podizanju agregata odupirala i inercijalna sila jednaka

Odmah se postavlja pitanje: kako pronaći količinu usporavanja u kretanju agregata? Njutnova dinamika šuti, ali mehanodinamika odgovara: u trenutku dejstva Njutnove sile, koja je podigla agregat, odupirali su joj se: sila gravitacije i sila inercije, dakle jednačina sila koje deluju na snagu jedinica u tom trenutku piše se na sljedeći način.

Količina kretanja je mjera mehaničkog kretanja, ako mehaničko kretanje prelazi u mehaničko. Na primjer, mehaničko kretanje loptice za bilijar (slika 22) prije udara pretvara se u mehaničko kretanje lopti nakon udara. Za tačku, impuls je jednak proizvodu .

Mjera sile u ovom slučaju je impuls sile

. (9.1)

Zamah određuje djelovanje sile tokom određenog vremenskog perioda . Za materijalnu tačku, teorema o promjeni impulsa može se koristiti u diferencijalnom obliku
(9.2) ili integralni (konačan) oblik
. (9.3)

Promjena količine gibanja materijalne tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu svih sila koje se primjenjuju na tačku u istom vremenu.

Slika 22

Prilikom rješavanja zadataka teorema (9.3) se češće koristi u projekcijama na koordinatne ose
;

; (9.4)

.

Koristeći teoremu o promjeni količine gibanja tačke moguće je riješiti probleme u kojima na tačku ili tijelo koje se translatorno kreće djeluju konstantne ili promjenjive sile koje zavise od vremena, a date i tražene veličine uključuju vrijeme kretanje i brzine na početku i na kraju kretanja. Zadaci korištenjem teoreme rješavaju se sljedećim redoslijedom:

1. izabrati koordinatni sistem;

2. prikazati sve date (aktivne) sile i reakcije koje djeluju na tačku;

3. zapisati teoremu o promjeni količine gibanja tačke u projekcijama na odabrane koordinatne ose;

4. odrediti potrebne količine.

PRIMJER 12.

Čekić težine G=2t pada sa visine h=1m na radni predmet za vrijeme t=0.01s i štanca dio (sl. 23). Odredite prosječnu silu pritiska čekića na radni predmet.

Promjena količine gibanja mehaničkog sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa vanjskih sila koje djeluju za isto vrijeme. Ponekad je zgodnije koristiti teoremu o promjeni impulsa u projekciji na koordinatne ose
; (9.8)
. (9.9)

Zakon održanja količine kretanja kaže da u odsustvu vanjskih sila, impuls mehaničkog sistema ostaje konstantan. Djelovanje unutrašnjih sila ne može promijeniti zamah sistema. Iz jednačine (9.6) jasno je da kada
,
.

Ako
, To
ili
.

D

propeler ili propeler, mlazni pogon. Lignje se kreću u trzajima, izbacujući vodu iz mišićne vreće poput vodenog topa (Sl. 25). Odbijena voda ima određenu količinu kretanja usmjerenu unazad. Lignja dobija odgovarajuću brzinu kretanje naprijed zbog reaktivne vučne sile , jer prije nego lignja iskoči sila izbalansiran gravitacijom .

Primjena teoreme o promjeni impulsa omogućava nam da isključimo sve unutrašnje sile iz razmatranja.

PRIMJER 13.

Vitlo A sa bubnjem poluprečnika r postavlja se na železničku platformu koja slobodno stoji na tračnicama (sl. 26). Vitlo je dizajnirano za pomicanje tereta B mase m 1 duž platforme. Težina platforme sa vitlom m 2. Bubanj vitla se okreće u skladu sa zakonom
. U početnom trenutku sistem je bio mobilan. Zanemarujući trenje, pronađite zakon promjene brzine platforme nakon uključivanja vitla.

R RJEŠENJE.

1. Razmotrite platformu, vitlo i teret kao jedan mehanički sistem na koji djeluju vanjske sile: gravitacija tereta i platforme i reakcije I
.

2. Kako su sve vanjske sile okomite na osu x, tj.
, primjenjujemo zakon održanja impulsa mehaničkog sistema u projekciji na x-osu:
. U početnom trenutku sistem je bio nepomičan, dakle,

Izrazimo količinu kretanja sistema u proizvoljnom trenutku. Platforma se kreće naprijed velikom brzinom , teret prolazi kroz složeno kretanje koje se sastoji od relativnog kretanja duž platforme brzinom i prijenosno kretanje zajedno s platformom pri brzini ., gdje
. Platforma će se kretati u smjeru suprotnom od relativnog kretanja tereta.

PRIMJER 14.

Gdje ,
-- količina kretanja ploče i opterećenja, respektivno.

;
, Gdje --apsolutna brzina tereta D. Iz jednakosti (1) slijedi da je K 1x + K 2x =C 1 ili m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Da biste odredili V Dx, smatrajte kretanje tereta D kompleksnim, uzimajući u obzir njegovo kretanje u odnosu na ploču relativno, a kretanje same ploče prenosivim, tada
, (3)
;ili u projekciji na x osu: . (4) Zamijenimo (4) u (2):
. (5) Integracionu konstantu C 1 određujemo iz početnih uslova: pri t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1. (6) Zamjenom vrijednosti konstante C 1 u jednačinu (5) dobijamo

gospođa.