Tabela svih integrala. Osnovne metode integracije

Tabela antiderivata („integrala“). Tabela integrala. Tablični neodređeni integrali. (Najjednostavniji integrali i integrali sa parametrom). Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula.

Formule za integraciju po dijelovima. Pravila integracije.

Tabela derivata. Tablični derivati. Derivat proizvoda. Derivat količnika. Derivat kompleksne funkcije.

Ako je x nezavisna varijabla, tada:

Svojstva logaritama. Osnovne formule za logaritme. Decimalni (lg) i prirodni logaritmi (ln).

Prirodni logaritam ln (logaritam prema bazi e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor serija. Proširenje funkcije u Taylorov red.

Ispostavilo se da je većina praktično susreli matematičke funkcije mogu biti predstavljene sa bilo kojom tačnošću u blizini određene tačke u obliku nizova stepena koji sadrže stepene varijable u rastućem redosledu. Na primjer, u blizini tačke x=1:

Kada se koristi serija tzv Taylorovi redovi mješovite funkcije koje sadrže, recimo, algebarske, trigonometrijske i eksponencijalne funkcije mogu se izraziti kao čisto algebarske funkcije. Koristeći serije, često možete brzo izvršiti diferencijaciju i integraciju.

Tejlorov red u blizini tačke a ima oblik:

1) , gdje je f(x) funkcija koja ima derivate svih redova na x = a. R n - preostali član u Taylorovom redu je određen izrazom

2)

K-ti koeficijent (pri x k) serije je određen formulom

3) Poseban slučaj serije Taylor je Maclaurin (=McLaren) serija (širenje se dešava oko tačke a=0)

na a=0

članovi serije određuju se formulom

Uvjeti za korištenje Taylor serije.

1. Da bi se funkcija f(x) proširila u Taylorov red na intervalu (-R;R), potrebno je i dovoljno da preostali član u Taylorovoj (Maclaurin (=McLaren)) formuli za ovu funkcija teži nuli kao k →∞ na specificiranom intervalu (-R;R).

2. Neophodno je da postoje derivacije za datu funkciju u tački u čijoj blizini ćemo konstruisati Tejlorov red.

Svojstva Taylor serije.

Ako je f analitička funkcija, tada njen Taylorov red u bilo kojoj tački a u domeni definicije f konvergira u f u nekom susjedstvu a.

Postoje beskonačno diferencibilne funkcije čiji Taylorov red konvergira, ali se u isto vrijeme razlikuje od funkcije u bilo kojoj okolini a. Na primjer:

Taylorovi redovi se koriste u aproksimaciji (aproksimacija je naučna metoda koja se sastoji od zamjene nekih objekata drugim, u jednom ili onom smislu bliskim originalnim, ali jednostavnijim) funkcije polinomima. Konkretno, linearizacija ((od linearis - linearan), jedna od metoda aproksimativnog predstavljanja zatvorenih nelinearnih sistema, u kojoj je proučavanje nelinearnog sistema zamijenjeno analizom linearnog sistema, u nekom smislu ekvivalentnom izvornom .) jednadžbe se dešavaju proširenjem u Taylorov red i odsijecanjem svih članova iznad prvog reda.

Dakle, gotovo svaka funkcija može biti predstavljena kao polinom sa datom tačnošću.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija stepena u Maclaurinovim redovima (=McLaren, Taylor u blizini tačke 0) i Taylor u blizini tačke 1. Prvi članovi proširenja glavnih funkcija u Taylor i McLaren red.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija snaga u Maclaurinov red (=McLaren, Taylor u blizini tačke 0)

Primjeri nekih uobičajenih proširenja Taylorovog reda u blizini tačke 1

Antiderivativna funkcija i neodređeni integral

Činjenica 1. Integracija je inverzno djelovanje diferencijacije, odnosno vraćanje funkcije iz poznatog izvoda ove funkcije. Funkcija je tako vraćena F(x) se zove antiderivativ za funkciju f(x).

Definicija 1. Funkcija F(x f(x) na nekom intervalu X, ako za sve vrijednosti x iz ovog intervala vrijedi jednakost F "(x)=f(x), odnosno ovu funkciju f(x) je derivacija antiderivativne funkcije F(x). .

Na primjer, funkcija F(x) = grijeh x je antiderivat funkcije f(x) = cos x na cijeloj brojevnoj pravoj, jer za bilo koju vrijednost x (grijeh x)" = (cos x) .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih njegovih antiderivata. U ovom slučaju se koristi notacija

∫

f(x)dx

gdje je znak ∫ zove se integralni znak, funkcija f(x) – funkcija integranda, i f(x)dx – integrand izraz.

Dakle, ako F(x) – neki antideritiv za f(x) , To

∫

f(x)dx = F(x) +C

Gdje C - proizvoljna konstanta (konstanta).

Da bismo razumjeli značenje skupa antiderivata funkcije kao neodređenog integrala, prikladna je sljedeća analogija. Neka budu vrata (tradicionalna drvena vrata). Njegova funkcija je da "bude vrata". Od čega su vrata napravljena? Od drveta. To znači da je skup antiderivata integranda funkcije “biti vrata”, odnosno njenog neodređenog integrala, funkcija “biti stablo + C”, gdje je C konstanta, koja u ovom kontekstu može označavaju, na primjer, vrstu drveta. Baš kao što su vrata napravljena od drveta pomoću nekih alata, derivat funkcije se „izrađuje“ od antiderivativne funkcije pomoću formule koje smo naučili dok smo proučavali derivaciju .

Tada je tabela funkcija uobičajenih objekata i njihovih odgovarajućih antiderivata ("biti vrata" - "biti drvo", "biti kašika" - "biti metal" itd.) slična tablici osnovnih neodređeni integrali, koji će biti dati u nastavku. Tabela neodređenih integrala navodi uobičajene funkcije sa naznakom antideriva od kojih su ove funkcije „napravljene“. U dijelu zadataka nalaženja neodređenog integrala dati su integrandi koji se mogu direktno integrirati bez većeg napora, odnosno korištenjem tablice neodređenih integrala. U složenijim problemima, integrand se prvo mora transformirati tako da se mogu koristiti tablični integrali.

Činjenica 2. Kada vraćamo funkciju kao antiderivativ, moramo uzeti u obzir proizvoljnu konstantu (konstantu) C, a da ne biste pisali listu antiderivata sa raznim konstantama od 1 do beskonačnosti, potrebno je da napišete skup antiderivata sa proizvoljnom konstantom C, na primjer, ovako: 5 x³+C. Dakle, proizvoljna konstanta (konstanta) je uključena u izraz antiderivata, budući da antiderivat može biti funkcija, na primjer, 5 x³+4 ili 5 x³+3 i kada se diferencira, 4 ili 3, ili bilo koja druga konstanta ide na nulu.

Postavimo problem integracije: za ovu funkciju f(x) pronaći takvu funkciju F(x), čiji derivat jednak f(x).

Primjer 1. Pronađite skup antiderivata funkcije

Rješenje. Za ovu funkciju, antiderivat je funkcija

Funkcija F(x) se naziva antiderivatom za funkciju f(x), ako je derivat F(x) je jednako f(x), ili, što je ista stvar, diferencijal F(x) je jednako f(x) dx, tj.

(2)

Dakle, funkcija je antiderivat funkcije. Međutim, to nije jedini antiderivat za . Oni također služe kao funkcije

Gdje WITH– proizvoljna konstanta. Ovo se može potvrditi diferencijacijom.

Dakle, ako postoji jedan antiderivat za funkciju, onda za nju postoji beskonačan broj antiderivata koji se razlikuju po konstantnom članu. Svi antiderivati ​​za funkciju su napisani u gornjem obliku. Ovo slijedi iz sljedeće teoreme.

Teorema (formalna izjava o činjenici 2). Ako F(x) – antiderivat za funkciju f(x) na nekom intervalu X, zatim bilo koji drugi antiderivat za f(x) na istom intervalu može se predstaviti u obliku F(x) + C, Gdje WITH– proizvoljna konstanta.

U sljedećem primjeru prelazimo na tablicu integrala, koja će biti data u paragrafu 3, nakon svojstava neodređenog integrala. To radimo prije nego što pročitamo cijelu tabelu kako bi suština gore navedenog bila jasna. A nakon tabele i svojstava, mi ćemo ih koristiti u cijelosti tokom integracije.

Primjer 2. Pronađite skupove antiderivativnih funkcija:

Rješenje. Pronalazimo skupove antiderivativnih funkcija od kojih su ove funkcije „napravljene“. Kada spominjemo formule iz tablice integrala, za sada samo prihvatite da takve formule postoje, a samu tablicu neodređenih integrala ćemo proučiti malo dalje.

1) Primjenom formule (7) iz tabele integrala za n= 3, dobijamo

2) Koristeći formulu (10) iz tabele integrala za n= 1/3, imamo

3) Od

onda prema formuli (7) sa n= -1/4 nalazimo

Pod znakom integrala nije zapisana sama funkcija. f, i njegov proizvod diferencijalom dx. Ovo se radi prvenstveno kako bi se naznačilo kojom se varijablom traži antiderivat. Na primjer,

, ;

ovdje je u oba slučaja integrand jednak , ali njegovi neodređeni integrali u razmatranim slučajevima ispadaju različiti. U prvom slučaju, ova funkcija se smatra funkcijom varijable x, au drugom - u funkciji od z .

Proces pronalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integracija te funkcije.

Geometrijsko značenje neodređenog integrala

Pretpostavimo da trebamo pronaći krivu y=F(x) a već znamo da je tangenta kuta tangente u svakoj od njegovih tačaka data funkcija f(x) apscisa ove tačke.

Prema geometrijskom značenju derivacije, tangenta ugla nagiba tangente u datoj tački krive y=F(x) jednak vrijednosti derivata F"(x). Dakle, moramo pronaći takvu funkciju F(x), za koji F"(x)=f(x). Funkcija potrebna u zadatku F(x) je antiderivat od f(x). Uslove problema ne zadovoljava jedna kriva, već porodica krivih. y=F(x)- jedna od ovih krivulja, kao i bilo koja druga kriva se može dobiti iz nje paralelnim prevođenjem duž ose Oy.

Nazovimo graf antiderivatne funkcije od f(x) integralna kriva. Ako F"(x)=f(x), zatim graf funkcije y=F(x) postoji integralna kriva.

Činjenica 3. Neodređeni integral je geometrijski predstavljen porodicom svih integralnih krivulja , kao na slici ispod. Udaljenost svake krive od početka koordinata određena je proizvoljnom integracijskom konstantom C.

Svojstva neodređenog integrala

Činjenica 4. Teorema 1. Izvod neodređenog integrala jednak je integrandu, a njegov diferencijal je jednak integrandu.

Činjenica 5. Teorema 2. Neodređeni integral diferencijala funkcije f(x) je jednako funkciji f(x) do konstantnog člana , tj.

(3)

Teoreme 1 i 2 pokazuju da su diferencijacija i integracija međusobno inverzne operacije.

Činjenica 6. Teorema 3. Konstantni faktor u integrandu može se izvaditi iz predznaka neodređenog integrala , tj.

Integracija je jedna od glavnih operacija u matematičkoj analizi. Tabele poznatih antiderivata mogu biti korisne, ali sada, nakon pojave sistema kompjuterske algebre, gube svoj značaj. Ispod je lista najčešćih primitiva.

Tabela osnovnih integrala

Druga, kompaktna opcija

Tablica integrala trigonometrijskih funkcija

Od racionalnih funkcija

Od iracionalnih funkcija

Integrali transcendentalnih funkcija

"C" je proizvoljna integraciona konstanta, koja se određuje ako je poznata vrijednost integrala u bilo kojoj tački. Svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivata.

Većina školaraca i studenata ima problema s izračunavanjem integrala. Ova stranica sadrži integralne tabele od trigonometrijskih, racionalnih, iracionalnih i transcendentalnih funkcija koje će pomoći u rješavanju. Pomoći će vam i tabela izvedenica.

Video - kako pronaći integrale

>>Metode integracije

Osnovne metode integracije

Definicija integrala, određenog i neodređenog integrala, tabela integrala, Newton-Leibniz formula, integracija po dijelovima, primjeri izračunavanja integrala.

Neodređeni integral

Poziva se funkcija F(x) koja se može diferencirati u datom intervalu X antiderivat funkcije f(x), ili integral od f(x), ako za svaki x ∈X vrijedi sljedeća jednakost:

F " (x) = f(x). (8.1)

Pronalaženje svih antiderivata za datu funkciju naziva se njena integracija. Neodređena integralna funkcija f(x) na datom intervalu X je skup svih antiderivativnih funkcija za funkciju f(x); oznaka -

Ako je F(x) neki antiderivat funkcije f(x), onda je ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

gdje je C proizvoljna konstanta.

Tabela integrala

Direktno iz definicije dobijamo glavna svojstva neodređenog integrala i listu tabelarnih integrala:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Spisak tabelarnih integrala

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arktan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Varijabilna zamjena

Za integraciju mnogih funkcija koristite metodu zamjene varijabli ili zamjene,što vam omogućava da svedete integrale u tabelarni oblik.

Ako je funkcija f(z) kontinuirana na [α,β], funkcija z =g(x) ima kontinuirani izvod i α ≤ g(x) ≤ β, tada

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Štaviše, nakon integracije na desnoj strani, treba izvršiti zamjenu z=g(x).

Da bismo to dokazali, dovoljno je originalni integral napisati u obliku:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Na primjer:

1)

2) .

Metoda integracije po dijelovima

Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije koje imaju kontinuirani . Zatim, prema radu,

d(uv))= udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu.

Za izraz d(uv), antiderivat će očigledno biti uv, tako da formula vrijedi:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima. On vodi integraciju izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.

Neka, na primjer, želite pronaći ∫xcosx dx. Stavimo u = x, dv = cosxdx, dakle du=dx, v=sinx. Onda

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijabli. Ali postoje čitave klase integrala, npr.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji su precizno izračunati pomoću integracije po dijelovima.

Definitivni integral

Koncept određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu. Podijelimo segment [a,b] na n dijelove po tačkama a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Zove se zbir oblika f(ξ i)Δ x i integralni zbir, a njegova granica pri λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se definitivni integral funkcije f(x) od a prije b i označava se:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) u ovom slučaju se poziva integrabilan na intervalu, brojevi a i b se zovu donja i gornja granica integrala.

Sljedeća svojstva su tačna za određeni integral:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Posljednje svojstvo se zove teorema srednje vrijednosti.

Neka je f(x) kontinuirano na . Tada na ovom segmentu postoji neodređeni integral

∫f(x)dx = F(x) + C

i odvija se Newton-Leibnizova formula, povezujući određeni integral sa neodređenim integralom:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrijska interpretacija: definitivni integral je površina krivolinijskog trapeza ograničenog odozgo krivom y=f(x), pravim linijama x = a i x = b i segmentom ose Ox.

Nepravilni integrali

Pozivaju se integrali s beskonačnim granicama i integrali diskontinuiranih (neograničenih) funkcija ne svoju. Nepravilni integrali prve vrste - To su integrali u beskonačnom intervalu, definirani na sljedeći način:

(8.7)

Ako ova granica postoji i konačna je, onda se zove konvergentni nepravilan integral od f(x) na intervalu [a,+ ∞), a funkcija f(x) se poziva integrabilan u beskonačnom intervalu[a,+ ∞). Inače se kaže da je integral ne postoji ili se razlikuje.

Nepravilni integrali na intervalima (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiraju se slično:

Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f(x) kontinuirano za sve vrijednosti x segment , osim tačke c, u kojoj f(x) ima beskonačan diskontinuitet, tada nepravilan integral druge vrste f(x) u rasponu od a do b iznos se zove:

ako ove granice postoje i konačne su. Oznaka:

Primjeri integralnih proračuna

Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).

Rješenje. Označimo t = x+2, tada je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Primjer 3.31. Pronađite ∫ tgxdx.

Rješenje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Neka je t=cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Rješenje.

Primjer3.33. Pronađite .

Rješenje. =

.

Primjer3.34 . Pronađite ∫arctgxdx.

Rješenje. Integrirajmo po dijelovima. Označimo u=arctgx, dv=dx. Tada je du = dx/(x 2 +1), v=x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jer
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Primjer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

Rješenje. Primjenom formule integracije po dijelovima dobijamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Primjer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

Rješenje. Označimo u = e x, dv = sinxdx, zatim du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integriramo i integral ∫e x cosxdx po dijelovima: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, iz koje je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rješenje. Pošto je dx/x = dlnx, onda je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zamjenom lnx kroz t dolazimo do tabličnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Primjer 3.38 . Izračunajte J = .

Rješenje. Uzimajući u obzir da je = d(lnx), zamjenjujemo lnx = t. Tada je J = .