Elementi teorije determinanti i matrica. Sažetak: Teorija matrica i determinanti

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Elementi teorije determinanti

Odrednica je broj zapisan u obliku kvadratne tablice brojeva, izračunat prema određenim pravilima.

Na primjer, svaka od tabela (1.1) se sastoji od jednakog broja redova i kolona i predstavlja broj, o pravilima izračunavanja za koji će biti riječi u nastavku.

Broj redova i kolona određuje redoslijed determinante. Dakle, determinanta 1.1a) je trećeg reda, determinanta 1.1b) je drugog reda, 1.1c) je prvog reda. Kao što vidite, determinanta prvog reda je sam broj.

Prave okomite zagrade na ivicama tabele su znak i simbol determinante. Da li je odrednica označena velikim slovom grčkog alfabeta? (delta).

U opštem obliku, determinanta n-tog reda se piše na sledeći način:

Svaki element A ij determinanta ima dva indeksa: prvi indeks i označava broj reda, drugi j- broj kolone na čijem se presjeku element nalazi. Dakle, za determinantu 1.1a) elementi A 11 , A 22 , A 23 , A 32 su redom jednake 2, 5, 4, 3.

Determinanta 2. reda se izračunava pomoću formule

Determinanta 2. reda jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali minus proizvod elemenata na sekundarnoj dijagonali.

Za izračunavanje determinante trećeg reda koriste se “metoda trougla” i Sarrusova metoda. Ali obično se u praksi, za izračunavanje determinante trećeg reda, koristi takozvana metoda efektivne redukcije reda, o kojoj će biti riječi u nastavku.

Metoda trougla

Prilikom izračunavanja determinante ovom metodom, zgodno je koristiti njen grafički prikaz. Na sl. 1.1 i 1.2, elementi determinante 3. reda šematski su predstavljeni tačkama.

Rice. 1.1 Sl. 1.2

Prilikom izračunavanja determinante, proizvod elemenata povezanih pravim linijama slijedi dijagram na sl. 1.1, uzeti sa znakom plus, i proizvodom elemenata povezanih prema dijagramu na sl. 1.2, uzeti sa znakom minus. Kao rezultat ovih radnji, formula koja se koristi za izračun poprima oblik:

Izračunajte determinantu 3. reda.

Sarus metoda

Da biste ga implementirali, trebate dodijeliti prva dva stupca desno od determinante, sastaviti proizvode elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali i na linijama paralelnim s njom i uzeti ih sa znakom plus. Zatim sastavite proizvode elemenata koji se nalaze na bočnoj dijagonali i paralelno s njom sa znakom minus.

Šema za izračunavanje determinante pomoću Sarrusove metode.

Izračunajte determinantu datu u primjeru 1.2 koristeći Sarrusovu metodu.

Minor i algebarski komplement determinantnog elementa

Minor M ij element A ij naziva se determinanta ( n-1) -ti red dobijen iz determinante n-ti red precrtavanjem i-ti red i j kolonu (tj. precrtavanjem reda i stupca na čijem se presjeku element nalazi A ij).

Nađi minor elemenata A 23 I A 34 odrednica 4. reda.

Element A 23 nalazi se u 2. redu i 3. koloni. U ovom primjeru A 23 =4. Precrtavanjem 2. reda i 3. stupca na sjecištu ovog elementa (prikazano u metodološke svrhe vertikalnim i horizontalnim isprekidanim linijama), dobijamo minor M 23 ovog elementa. Ovo će već biti odrednica trećeg reda.

Prilikom izračunavanja maloljetnika, operacija precrtavanja reda i stupca se izvodi mentalno. Pošto smo ovo uradili, dobijamo

Algebarski komplement A ij element A ij odrednica n Ti red je minor ovog elementa, uzet sa predznakom (-1) i + j, Gdje i+ j- zbir brojeva reda i kolone kojima element pripada A ij. One. a-priorat A ij=(-1) i + jM ij

Jasno je da ako iznos i+ j- Onda je broj paran A ij=M ij, Ako i+ j- broj je onda neparan A ij= - M ij.

Za determinantu, pronađite algebarske komplemente elemenata A 23 I A 31 .

Za element A 23 i=2, j=3 i i+ j=5 je neparan broj, dakle

Za element A 31 i=3, j=1 i i+ j=4 je paran broj, što znači

Svojstva determinanti

1. Ako se bilo koja dva paralelna reda (dva reda ili dvije kolone) zamijene u determinanti, predznak determinante se mijenja u suprotan

Zamijenite 2 paralelne kolone (1. i 2.).

Zamijenite 2 paralelne linije (1. i 3.).

2. Zajednički faktor elemenata bilo kog reda (reda ili kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante.

Svojstva determinante jednaka nuli

3. Ako su svi elementi određenog niza u determinanti jednaki nuli, takva determinanta je jednaka nuli.

4. Ako su u determinanti elementi bilo kojeg niza proporcionalni elementima paralelnog niza, determinanta je jednaka nuli.

Svojstva invarijantnosti (nepromjenjivosti) determinante.

5. Ako se redovi i stupci u determinanti zamijene, determinanta se neće promijeniti.

6. Determinanta se neće promijeniti ako se elementi bilo kojeg paralelnog niza dodaju elementima bilo kojeg niza, prvo se pomnože određenim brojem.

Svojstvo 6 se široko koristi u izračunavanju determinanti koristeći takozvanu metodu efektivne redukcije reda. Prilikom primjene ove metode potrebno je sve elemente osim jedan dovesti na nulu u jednom redu (jednom redu ili koloni). Element determinante različit od nule bit će jednak nuli ako se doda broju jednake veličine, ali suprotnog predznaka.

Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Koristeći svojstva 2 i 6, svedite determinantu na determinantu koja ima dvije nule u bilo kojem redu.

Koristeći svojstvo 2, pojednostavljujemo determinantu uklanjanjem 2 iz 1. reda, 4 iz 2. reda i 2 iz 3. reda kao zajedničkih faktora.

Jer element A 22 je jednak nuli, tada je za rješavanje problema dovoljno bilo koji element u 2. redu ili 2. koloni svesti na nulu. Postoji nekoliko načina da to učinite.

Na primjer, uzmimo element A 21 =2 do nule. Da biste to učinili, na osnovu svojstva 6, pomnožite cijeli treći stupac sa (-2) i dodajte ga prvom. Nakon što smo izvršili ovu operaciju, dobijamo

Moguće je poništiti element A 12 =2, tada ćemo u drugom stupcu dobiti dva elementa jednaka nuli. Da biste to učinili, trebate pomnožiti 3. red sa (-2) i dodati rezultirajuće vrijednosti u prvi red

Izračunavanje determinante bilo kojeg reda

Pravilo za izračunavanje determinante bilo kojeg reda zasniva se na Laplaceovoj teoremi.

Laplaceov teorem

Determinanta je jednaka zbroju parnih proizvoda elemenata bilo kojeg reda (reda ili stupca) njihovim algebarskim komplementama.

Prema ovoj teoremi, determinanta se može izračunati razlaganjem na elemente bilo kojeg reda ili stupca.

Općenito, determinanta n-tog reda može se proširiti i izračunati na sljedeće načine:

Izračunajte determinantu koristeći Laplaceov teorem tako što ćete je razložiti na elemente 3. reda i elemente 1. stupca.

Izračunavamo determinantu tako što je proširujemo duž 3. reda

Izračunajmo determinantu tako što ćemo je proširiti preko prve kolone

Efikasna metoda smanjenja narudžbi

Složenost izračunavanja determinante korištenjem Laplaceove teoreme bit će znatno manja ako postoji samo jedan član u njenom proširenju bilo u redu ili u stupcu. Takvo proširenje će se dobiti ako su u redu (ili stupcu) duž kojeg se proširuje determinanta svi elementi osim jednog jednaki nuli. Ranije je razmatrana metoda „nuliranja“ elemenata determinante.

Izračunajte determinantu koristeći metodu efektivne redukcije naloga.

Jer determinanta 3. reda, onda "nuliramo" bilo koja 2 elementa determinante. U tu svrhu je prikladno uzeti 2. stupac, čiji element A 22 = - 1. Po redu za element A 21 bila jednaka nuli, 1. stupac treba dodati drugoj. Da bi element A 23 bila jednaka nuli, trebate pomnožiti 2. stupac sa 2 i dodati ga trećem. Nakon izvođenja ovih operacija, data determinanta se pretvara u determinantu

Sada širimo ovu determinantu duž 2. reda

Izračunavanje determinanterezanje u trouglasti oblik

Determinanta za koju su svi elementi iznad ili ispod glavne dijagonale jednaki nuli naziva se trokutasta determinanta. U ovom slučaju, determinanta je jednaka proizvodu njenih elemenata glavne dijagonale.

Svođenje determinante na trouglasti oblik je uvijek moguće na osnovu njenih svojstava.

Zadana je determinanta. Smanjite ga na trouglasti oblik i izračunajte.

Na primjer, "iznulimo" sve elemente koji se nalaze iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, morate izvršiti tri operacije: 1. operacija - dodajte prvi red s posljednjim, dobivamo A 13 = 0. 2. operacija - množenjem zadnjeg reda sa (-2) i dodavanjem sa 2. dobijamo A 23 = 0. U nastavku je prikazano sekvencijalno izvršavanje ovih operacija.

Za resetovanje elementa A 12 dodajte 1. i 2. red

Elementi teorije matrica

Matrica je tablica brojeva ili bilo kojeg drugog elementa koji sadrži m linije i n kolone.

Opšti pogled na matricu

Matrica, kao i determinanta, ima elemente opremljene dvostrukim indeksom. Značenje indeksa je isto kao i za determinante.

Ako je determinanta jednaka broju, tada matrica nije izjednačena ni sa jednim drugim jednostavnijim objektom.

Zagrade na stranama matrice su njen znak ili simbol (ali ne i ravne zagrade koje označavaju determinantu). Radi kratkoće, matrica je označena velikim slovima A, B, C itd.

Matrica ima veličinu koja je određena brojem redaka i stupaca, a koja se piše kao - A m n.

Na primjer, numerička matrica veličine 23 ima oblik, veličina 31 ima oblik, veličina 14 ima oblik, itd.

Matrica u kojoj je broj redova jednak broju stupaca naziva se kvadrat. U ovom slučaju, što se tiče determinanti, govorimo o redu matrice.

Na primjer, numerička matrica trećeg reda ima oblik

Vrste matrica

Matrica koja se sastoji od jednog reda naziva se matrica reda

Matrica koja se sastoji od jednog stupca naziva se matrica stupaca

Matrica se zove kvadrat n-ti red ako je broj njegovih redova jednak broju kolona i jednak je n.

Na primjer, kvadratna matrica 3. reda.

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi nula osim onih na glavnoj dijagonali. Glavna dijagonala je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog ugla.

Na primjer, dijagonalna matrica trećeg reda.

Dijagonalna matrica, čiji su svi elementi jednaki jedan, naziva se identitet i označava se slovom E ili broj 1

Null matrica je matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli.

Gornja trokutasta matrica je matrica u kojoj su svi elementi koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli.

Donja trokutasta matrica je matrica u kojoj su svi elementi koji se nalaze iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Na primjer

Gornja trokutasta matrica

Donja trokutasta matrica

Ako je u matrici A zamenite redove sa kolonama, dobijamo transponovanu matricu, koja je označena simbolom A*.

Na primjer, datoj matrici,

matrica transponovana u odnosu na nju A*

Kvadratna matrica A ima determinantu, koja se označava sa det A(det je skraćena francuska riječ za "determinator").

Na primjer, za matricu A

zapisujemo njegovu odrednicu

Sve operacije sa determinantom matrice su iste kao što smo ranije raspravljali.

Matrica čija je determinanta jednaka nuli naziva se posebna, ili degenerirana, ili singularna. Matrica za koju njena determinanta nije jednaka nuli naziva se nesingularna ili nesingularna.

Unija ili aneksirana matrica.

Ako za datu kvadratnu matricu A odrediti algebarske komplemente svih njegovih elemenata i zatim ih transponirati, tada će se tako dobivena matrica zvati srodna ili adjunkirana matrici A i označen je simbolom A

Za pronalaženje matrice A.

Sastavljanje determinante matrice A

Određujemo algebarske komplemente svih elemenata determinante pomoću formule

Transponiranjem rezultirajućih algebarskih komplemenata, dobijamo srodnu ili pridruženu matricu A u odnosu na datu matricu A.

Akcije na matrice

Matrična jednakost

Dvije matrice A I IN smatraju se jednakima ako:

a) oba imaju istu veličinu;

b) odgovarajući elementi ovih matrica su međusobno jednaki. Odgovarajući elementi su elementi sa istim indeksima.

Sabiranje i oduzimanje matrica

Možete samo sabirati i oduzimati matrice iste dimenzije. Zbir (razlika) dvije matrice A I IN postojaće treća matrica WITH, čiji elementi WITH ij jednak zbiru (razlici) odgovarajućih elemenata matrice A I IN. Prema definiciji, matrični elementi WITH su po pravilu.

Na primjer, ako

Koncept sume (razlike) matrica proteže se na bilo koji konačan broj matrica. U ovom slučaju, zbir matrica ispunjava sljedeće zakone:

a) komutativno A + B = B + A;

b) asocijativni WITH + (A + B) = (B + C)+ A.

Množenje matrice brojem.

Da biste pomnožili matricu brojem, morate svaki element matrice pomnožiti tim brojem.

Posljedica. Zajednički faktor svih matričnih elemenata može se izvaditi iz predznaka matrice.

Na primjer, .

Kao što vidite, radnje sabiranja, oduzimanja matrice i množenja matrice brojem su slične akcijama na brojevima. Množenje matrice je specifična operacija.

Proizvod dvije matrice.

Ne mogu se sve matrice pomnožiti. Proizvod dvije matrice A I IN navedenim redoslijedom A IN moguće samo kada je broj kolona prvog faktora A jednak broju redova drugog faktora IN.

Na primjer, .

Veličina matrice A 33, veličina matrice IN 23. Rad A IN nemoguće, rad IN A Možda.

Umnožak dviju matrica A i B je treća matrica C, čiji je element C ij jednak zbroju parnih proizvoda elemenata i-tog reda prvog faktora i j-tog stupca drugog faktor.

Pokazalo se da je u ovom slučaju moguć proizvod matrica IN A

Iz pravila postojanja proizvoda dvije matrice proizlazi da proizvod dvije matrice u opštem slučaju ne podliježe komutativnom zakonu, tj. A IN? IN A. Ako se u konkretnom slučaju ispostavi da A B = B A, tada se takve matrice nazivaju permutabilne ili komutativne.

U matričnoj algebri, proizvod dvije matrice može biti nulta matrica čak i kada nijedna od faktorskih matrica nije nula, suprotno običnoj algebri.

Na primjer, pronađimo proizvod matrica A IN, Ako

Možete pomnožiti više matrica. Ako možete množiti matrice A, IN a proizvod ovih matrica može se pomnožiti sa matricom WITH, tada je moguće sastaviti proizvod ( A IN) WITH I A(IN WITH). U ovom slučaju se dešava kombinacijski zakon koji se odnosi na množenje ( A IN) WITH = A(IN WITH).

inverzna matrica

Ako su dvije matrice A I IN iste veličine i njihov proizvod A IN je matrica identiteta E, tada se matrica B naziva inverzna od A i označava se A -1 , tj. A A -1 = E.

inverzna matrica A -1 jednak omjeru matrice unije A na determinantu matrice A

Iz ovoga je jasno da bi inverzna matrica postojala A -1 potrebno je i dovoljno da matrica det A? 0, tj. tako da je matrica A bio nedegenerisan.

Za pronalaženje matrice A -1 .

Određivanje vrijednosti determinante matrice A

Jer det A? 0, inverzna matrica postoji. U primjeru 2.1. za datu determinantu pronađena je srodna matrica

A-prioritet

Matrični rang

Za rješavanje i proučavanje niza matematičkih i primijenjenih problema važan je koncept ranga matrice.

Razmotrite matricu A veličina m n

Odaberite nasumično u matrici Ak linije i k kolone. Elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih redova i stupaca formiraju kvadratnu matricu k- tog reda. Determinanta ove matrice naziva se minor k-red matrice A. Odaberite k linije i k stupci se mogu koristiti na različite načine, što rezultira različitim minorima k- tog reda. Minori 1. reda su sami elementi. Očigledno je da je najveći mogući red maloljetnika jednak najmanjem od brojeva m I n. Među formiranim minorima različitog reda naći će se oni koji su jednaki nuli, a nisu jednaki nuli.

Najviši red minora matrice koji nije nula A naziva se rang matrice.

Matrični rang A označeno rangom A ili r( A).

Ako je rang matrice A jednaki r, onda to znači da matrica ima minor reda različit od nule r, ali svaki maloljetnik je većeg reda od r jednak nuli.

Iz definicije ranga matrice slijedi:

a) rang matrice A m n ne prelazi njegovu manju veličinu, tj. r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0 ako i samo ako su svi elementi matrice jednaki nuli, tj. A = 0;

c) za kvadratnu matricu n-th red r(A) = n, ako je matrica nesingularna.

Pogledajmo primjer određivanja ranga matrice metodom graničnih minora. Njegova suština leži u sekvencijalnom nabrajanju minora matrice i pronalaženju minora najvišeg reda različitog od nule.

Izračunajte rang matrice.

Za matricu A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Provjerimo da li je rang matrice jednak 3; da bismo to učinili, izračunamo sve minore trećeg reda (ima ih samo 4, dobiju se brisanjem jednog kolona matrice).

Pošto su svi minori trećeg reda nula, r(A) ? 2. Pošto postoji nulti minor drugog reda, na primjer

To r(A) = 2.

Svaki nenulti minor matrice čiji je red jednak njenom rangu naziva se bazni minor ove matrice.

Matrica može imati više od jednog baznog mola, ali nekoliko. Međutim, redovi svih baznih minora su isti i jednaki rangu matrice.

Redovi i stupci koji čine bazni minor nazivaju se baznim.

Svaki red (kolona) matrice je linearna kombinacija osnovnih redova (kolona).

Slični dokumenti

Pojam i suština determinanti drugog reda. Razmatranje osnova sistema dvije linearne jednačine u dvije nepoznanice. Proučavanje determinanti n-tog reda i metoda njihovog izračunavanja. Karakteristike sistema od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

prezentacija, dodano 14.11.2014


Determinante drugog i trećeg reda. Permutacije i supstitucije. Minori i algebarski komplementi. Primena metoda za svođenje determinante u trouglasti oblik, predstavljanje determinante kao sume determinanti i izolovanje linearnih faktora.

kurs, dodato 19.07.2013


Koncept matrice i linearne akcije na njih. Svojstva operacije sabiranja matrice. Odrednice drugog i trećeg reda. Primjena Sarusovog pravila. Osnovne metode rješavanja determinanti. Elementarne matrične transformacije. Svojstva inverzne matrice.

tutorial, dodano 04.03.2010


Problemi i metode linearne algebre. Svojstva determinanti i redosled njihovog izračunavanja. Pronalaženje inverzne matrice Gaussovom metodom. Razvoj računskog algoritma u Pascal ABC programu za izračunavanje determinanti i pronalaženje inverzne matrice.

kurs, dodan 01.02.2013


Pojam i svrha determinanti, njihove opšte karakteristike, metode i svojstva proračuna. Matrična algebra. Sistemi linearnih jednačina i njihovo rješavanje. Vektorska algebra, njeni zakoni i principi. Svojstva i primjena unakrsnog proizvoda.

test, dodano 04.01.2012


Elementi linearne algebre. Vrste matrica i operacije nad njima. Svojstva matričnih determinanti i njihov proračun. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi u matričnom obliku korištenjem Cramerovih formula i Gaussove metode. Elementi diferencijalnog i integralnog računa.

tutorial, dodano 11.06.2011


Broj koji karakterizira kvadratnu matricu. Izračunavanje determinante prvog i drugog reda matrice. Koristeći pravilo trougla. Algebarska dopuna nekog elementa determinante. Preuređivanje dva reda ili stupca determinante.

prezentacija, dodano 21.09.2013


Koncept ranga matrice. Leontijevski model diversifikovane ekonomije. Svojstva skalarnog proizvoda. Dekompozicija vektora duž koordinatnih osa. Minor i algebarski komplement. Determinante drugog i trećeg reda. Ravan i prava linija u prostoru.

kurs predavanja, dodato 30.10.2013


Teorija determinanti u djelima P. Laplacea, O. Cauchyja i C. Jacobija. Determinante drugog reda i sistemi dvije linearne jednadžbe u dvije nepoznate. Odrednice trećeg reda i svojstva determinanti. Rješavanje sistema jednačina korištenjem Cramerovog pravila.

prezentacija, dodano 31.10.2016


Determinante drugog i trećeg reda, svojstva determinanti. Dva načina za izračunavanje determinante trećeg reda. Teorema dekompozicije. Cramerov teorem, koji daje praktičan način rješavanja sistema linearnih jednačina korištenjem determinanti.

Determinante drugog i trećeg reda.

Zovu se brojevi m i n dimenzije matrice.

Matrica se zove kvadrat, ako je m = n. Broj n u ovom slučaju se zove u redu kvadratna matrica.

Svaka kvadratna matrica može biti povezana s brojem koji je jedinstveno određen korištenjem svih elemenata matrice. Ovaj broj se zove determinanta.

Odrednica drugog reda je broj dobiven korištenjem elemenata kvadratne matrice 2. reda kako slijedi: .

U ovom slučaju, od umnožaka elemenata koji se nalaze na takozvanoj glavnoj dijagonali matrice (od gornjeg lijevog do donjeg desnog ugla) oduzima se umnožak elemenata koji se nalaze na drugoj, odnosno sekundarnoj, dijagonali. .

Odrednica trećeg reda je broj određen korištenjem elemenata kvadratne matrice trećeg reda kako slijedi:

Komentar. Da biste lakše zapamtili ovu formulu, možete koristiti takozvano Cramerovo pravilo (trokuta). To je kako slijedi: elementi čiji su proizvodi uključeni u determinantu sa znakom “+” raspoređeni su na sljedeći način:

Formiranje dva trougla, simetrična oko glavne dijagonale. Elementi čiji su proizvodi uključeni u determinantu sa znakom "-" nalaze se na sličan način u odnosu na sekundarnu dijagonalu:

14. Odrednice . reda. (odrednice višeg reda)

Odrednica n th red koji odgovara matrici n´n, broj se zove:

Osnovne metode za izračunavanje determinanti:

1) Metoda smanjenja narudžbe Odrednica se zasniva na odnosu: (1)

Gdje naziva se algebarski komplement th elementa. Minor th element se zove determinanta n-1 poredak, dobijen iz originalne determinante brisanjem i-ta linija i j th column.

Relacija (1) se naziva proširenjem determinante u i- ta linija. Slično, možemo napisati proširenje determinante duž stupca:

Teorema: Za bilo koju kvadratnu matricu vrijedi jednakost ,

gdje je i Kroneckerov simbol

2) Metoda redukcije na trokutasti oblik na osnovu sedmog svojstva determinanti.

Primjer: Izračunajte determinantu: Oduzmite prvi red od svih ostalih.

3) Metoda relacije recidiva omogućava da se data determinanta izrazi kroz determinantu istog tipa, ali nižeg reda.

Permutacije, inverzije.

Bilo koji raspored brojeva 1, 2, ..., n nekim specifičnim redoslijedom, tzv preuređenje od n znakovi (brojevi).

Opšti pogled na permutaciju: .

Nijedan od njih se ne pojavljuje dvaput u permutaciji.

Permutacija se zove čak , ako njegovi elementi čine paran broj inverzija, i odd inače.

Brojevi k i p u permutaciji su inverzija (poremećaj), ako je k > p, ali k dolazi ispred p u ovoj permutaciji.

Tri svojstva permutacija.

Nekretnina 1: Broj različitih permutacija je jednak ( , glasi: “ n faktorije").

Dokaz. Broj permutacija poklapa se s brojem načina na koje se mogu sastaviti različite permutacije. Prilikom sastavljanja permutacija kao j 1 možete uzeti bilo koji od brojeva 1, 2, ..., n, šta daje n mogućnosti. Ako j 1 je već odabran, a zatim kao j 2 možete uzeti jedan od preostalih n– 1 broj i broj načina koje možete izabrati j 1 i j 2 će biti jednako, itd. Posljednji broj u permutaciji može se odabrati samo na jedan način, što daje načine, a samim tim i permutacije.

Nekretnina 2: Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

Dokaz.Slučaj 1. Transponovani brojevi su u permutaciji jedan pored drugog, tj. izgleda (..., k,str, ...), ovdje elipsa (...) označava brojeve koji ostaju na svojim mjestima tokom transpozicije. Transpozicija ga pretvara u permutaciju oblika (..., str, k,...). U ovim permutacijama, svaki od brojeva k,R pravi iste inverzije s brojevima koji ostaju na mjestu. Ako su brojevi k I str nisu prethodno kompajlirali inverzije (tj. k < R), tada će se u novoj permutaciji pojaviti još jedna inverzija i broj inverzija će se povećati za jedan; ako k I R predstavlja inverziju, tada će se nakon transpozicije broj inverzija smanjiti za jedan. U svakom slučaju, paritet permutacije se mijenja.

Svojstvo 3: Kada se preuredi, determinanta mijenja predznak.

17. Svojstva determinanti: determinanta transponovane matrice, zamena redova u determinanti, determinanta matrice sa identičnim redovima.

Nekretnina 1. Odrednica se ne mijenja tokom transpozicije, tj.

Dokaz.

Komentar. Sljedeća svojstva determinanti će biti formulirana samo za nizove. Štaviše, iz svojstva 1 slijedi da će kolone imati ista svojstva.

Nekretnina 6. Kada preuređujete dva reda determinante, ona se množi sa –1.

Dokaz.

Nekretnina 4. Odrednica koja ima dva jednaka niza je 0:

dokaz:

18. Svojstva determinanti: dekompozicija determinante u niz.

Minor element determinante je determinanta dobijena od datog elementa precrtavanjem reda i stupca u kojima se izabrani element pojavljuje.

Oznaka: odabrani element determinante, njegov minor.

Primjer. Za

Algebarski komplement element determinante naziva se njegov minor ako je zbir indeksa ovog elementa i+j paran broj, odnosno broj suprotan minoru ako je i+j neparan, tj.

Razmotrimo još jedan način izračunavanja determinanti trećeg reda - takozvano proširenje reda ili stupca. Da bismo to učinili, dokazujemo sljedeću teoremu:

Teorema: Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg njegovog reda ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata, tj.: gdje je i=1,2,3.

Dokaz.

Dokažimo teoremu za prvi red determinante, jer se za bilo koji drugi red ili stupac može izvesti slično razmišljanje i dobiti isti rezultat.

Nađimo algebarske komplemente elementima prvog reda:

Ovo svojstvo možete sami dokazati upoređujući vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti pronađene pomoću definicije 1.5.

Srednja škola br.45.

Moskva grad.

Učenik 10. razreda „B“ Gorokhov Evgenij

Nastavni rad (nacrt).

Uvod u teoriju matrica i determinanti .

1996

1. Matrice.

1.1 Koncept matrice.

Matrix je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određenu količinu m linije i određeni broj n kolone. Brojevi m I n su pozvani naređenja matrice. Ako m = n , matrica se zove kvadrat, a broj m = n - ona u redu .

1.2 Osnovne operacije na matricama.

Osnovne aritmetičke operacije na matricama su množenje matrice brojem, sabiranje i množenje matrica.

Pređimo na definiranje osnovnih operacija nad matricama.

Matrično dodavanje : Zbir dvije matrice, na primjer: A I B , sa istim brojem redova i kolona, ​​drugim riječima, istim redoslijedom m I n naziva se matrica C = ( WITH ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) iste naredbe m I n , elementi Cij koji su jednaki.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Za označavanje sume dvije matrice koristi se notacija C = A + B. Operacija sabiranja matrica naziva se njihova dodatak

Dakle, po definiciji imamo:

+ =

=

Iz definicije zbira matrica, tačnije iz formule ( 1.2 ) odmah slijedi da operacija sabiranja matrica ima ista svojstva kao i operacija sabiranja realnih brojeva, i to:

komutativno svojstvo: A + B = B + A

kombinovanje imovine: (A + B) + C = A + (B + C)

Ova svojstva omogućavaju da ne brinete o redoslijedu matričnih pojmova prilikom dodavanja dvije ili više matrica.

Množenje matrice brojem :

Matrični proizvod na pravi broj zove se matrica C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , čiji su elementi jednaki

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Za označavanje proizvoda matrice i broja koristi se notacija C= A ili C=A . Operacija sastavljanja proizvoda matrice brojem naziva se množenjem matrice ovim brojem.

Direktno iz formule ( 1.3 ) jasno je da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:

distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

( A + B) = A+ B

asocijativno svojstvo u pogledu numeričkog faktora:

( ) A= ( A)

distributivno svojstvo u odnosu na zbir brojeva:

( + ) A= A + A .

Komentar : Razlika dvije matrice A I B identičnih redova prirodno je nazvati takvu matricu C istih redova, koji u zbiru sa matricom B daje matricu A . Da bi se označila razlika između dvije matrice, koristi se prirodna notacija: C = A – B.

Množenje matrice :

Matrični proizvod A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , sa jednakim redoslijedom m I n , po matrici B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , sa jednakim redoslijedom n I str , naziva se matrica C= (SA ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , s odgovarajućim jednakim redoslijedom m I str , i elementi Cij , definisan formulom

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Za označavanje proizvoda matrice A na matricu B koristiti snimanje

C=AB . Operacija sastavljanja matričnog proizvoda A na matricu B pozvao množenje ove matrice. Iz gore formulirane definicije slijedi da matrica A ne može se pomnožiti ni sa jednom matricom B : potrebno je da broj kolona matrice A bio jednaki broj redova matrice B . Za oba rada AB I B.A. ne samo da su definisane, već su imale i isti redosled, potrebno je i dovoljno da obe matrice A I B bile su kvadratne matrice istog reda.

formula ( 1.4 ) je pravilo za sastavljanje matričnih elemenata C ,

koji je proizvod matrice A na matricu B . Ovo pravilo se može formulisati usmeno: Element Cij , stoji na raskrsnici i th linija i j- th kolona matrice C=AB , je jednako zbir parnih proizvoda odgovarajućih elemenata i th line matrice A I j- th kolona matrice B . Kao primjer primjene ovog pravila predstavljamo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda

=

Iz formule ( 1.4 ) slijede sljedeća svojstva matričnog proizvoda: A na matricu B :

asocijativno svojstvo: ( AB)C = A(BC);

distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

(A + B) C = AC + BC ili A (B + C) = AB + AC.

Ima smisla postaviti pitanje svojstva permutacije proizvoda matrica samo za kvadratne matrice istog reda. Elementarni primjeri to pokazuju proizvodi dvije kvadratne matrice istog reda, općenito govoreći, nemaju svojstvo komutacije. U stvari, ako stavimo

A= , B = , To AB = , A BA =

Obično se nazivaju iste matrice za koje proizvod ima svojstvo komutacije putovanje na posao.

Među kvadratnim matricama izdvajamo klasu tzv dijagonala matrice, od kojih svaka ima elemente koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednake nuli. Među svim dijagonalnim matricama sa podudarnim elementima na glavnoj dijagonali, dvije matrice igraju posebno važnu ulogu. Prva od ovih matrica se dobija kada su svi elementi glavne dijagonale jednaki jedan i naziva se matrica identiteta n- E . Druga matrica se dobija sa svim elementima jednakim nuli i naziva se nulta matrica n- red i označen je simbolom O . Pretpostavimo da postoji proizvoljna matrica A , Onda

AE=EA=A , AO=OA=O .

Prva od formula karakterizira posebnu ulogu matrice identiteta E , slično ulozi koju ima broj 1 prilikom množenja realnih brojeva. Što se tiče posebne uloge nulte matrice O , tada se otkriva ne samo drugom od formula, već i elementarnom provjerljivom jednakošću: A+O=O+A=A . Koncept nulte matrice može se uvesti ne za kvadratne matrice.

2. Determinante.

2.1 Koncept determinante.

Prije svega, morate zapamtiti da determinante postoje samo za matrice kvadratnog tipa, jer ne postoje determinante za matrice drugih tipova. U teoriji sistema linearnih jednačina i u nekim drugim pitanjima zgodno je koristiti koncept odrednica , ili odrednica .

2.2 Izračunavanje determinanti.

Razmotrimo bilo koja četiri broja napisana u obliku matrice po dva u redovima i svaki dvije kolone , Odrednica ili odrednica , sastavljen od brojeva u ovoj tabeli, je broj ad-bc , označeno kako slijedi: . Takva determinanta se zove determinanta drugog reda , pošto je uzeta tabela od dva reda i dvije kolone za njeno sastavljanje. Brojevi koji čine determinantu nazivaju se njenim elementi ; istovremeno kažu da su elementi a I d šminka glavna dijagonala determinanta i elementi b I c njegov bočna dijagonala . Vidi se da je determinanta jednaka razlici proizvoda parova elemenata koji se nalaze na njegovoj glavnoj i sekundarnoj dijagonali. Odrednica trećeg i bilo kojeg drugog reda je približno ista, naime: Recimo da imamo kvadratnu matricu . Odrednica sljedeće matrice je sljedeći izraz: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Kao što vidite, izračunava se prilično lako ako zapamtite određeni niz. Sa pozitivnim predznakom su glavna dijagonala i trokuti formirani od elemenata, koji imaju stranu paralelnu sa glavnom dijagonalom, u ovom slučaju to su trokuti a12a23a31 , a13a21a32 .

Bočna dijagonala i trouglovi koji su s njom paralelni imaju negativan predznak, tj. a11a23a32 , a12a21a33 . Na ovaj način se mogu pronaći determinante bilo kojeg reda. Ali postoje slučajevi kada ova metoda postaje prilično komplicirana, na primjer, kada ima puno elemenata u matrici, a da biste izračunali determinantu potrebno je potrošiti puno vremena i pažnje.

Postoji lakši način za izračunavanje determinante n- oh red, gdje n 2 . Hajde da se dogovorimo da bilo koji element nazovemo minor Aij matrice n- determinanta prvog reda koja odgovara matrici koja se dobija iz matrice kao rezultat brisanja i th linija i j- th kolona (taj red i kolona na čijem se presjeku nalazi element Aij ). Element minor Aij označićemo simbolom . U ovoj notaciji, gornji indeks označava broj reda, donji indeks broj kolone, a traka iznad M znači da su navedeni red i stupac precrtani. Odrednica reda n , koji odgovara matrici, broj nazivamo jednakim i označena simbolom .

Teorema 1.1 Bez obzira na broj linije i ( i =1, 2…, n) , za determinantu n- vrijedi formula prvog reda veličine

= det A =

pozvao ja- th line . Naglašavamo da je u ovoj formuli eksponent na koji je broj podignut (-1) jednak zbroju brojeva reda i stupca na čijem se presjeku element nalazi Aij .

Teorema 1.2 Bez obzira na broj kolone j ( j =1, 2…, n) , za determinantu n formula th reda je važeća

= det A =

pozvao proširenje ove determinante u j- th column .

2.3 Osnovna svojstva determinanti.

Determinante također imaju svojstva koja olakšavaju zadatak njihovog izračunavanja. Dakle, u nastavku utvrđujemo brojna svojstva koja ima proizvoljna determinanta n -th red.

1 . Svojstvo jednakosti reda i stupca . Transponiranje bilo koje matrice ili determinante je operacija zbog koje se redovi i stupci zamjenjuju uz održavanje njihovog redoslijeda. Kao rezultat transpozicije matrice A rezultirajuća matrica naziva se matrica, naziva se transponovana u odnosu na matricu A i označen je simbolom A .

Prvo svojstvo determinante formuliše se na sledeći način: prilikom transpozicije se čuva vrednost determinante, tj. = .

2 . Svojstvo antisimetrije prilikom preuređivanja dva reda (ili dvije kolone) . Kada se dva reda (ili dvije kolone) zamjene, determinanta zadržava apsolutnu vrijednost, ali mijenja predznak u suprotan. Za determinantu drugog reda ovo svojstvo se može provjeriti na elementaran način (iz formule za izračunavanje determinante drugog reda odmah slijedi da se determinante razlikuju samo po predznaku).

3 . Linearno svojstvo determinante. Reći ćemo da neki niz ( a) je linearna kombinacija druga dva niza ( b I c ) sa koeficijentima I . Linearno svojstvo se može formulirati na sljedeći način: ako je u determinanti n -th red neki i -ti red je linearna kombinacija dva reda sa koeficijentima I , To = + , Gdje

– odrednica koja ima i -ti red je jednak jednom od dva reda linearne kombinacije, a svi ostali redovi su isti kao , A - odrednica koja ima ja- i niz je jednak drugom od dva niza, a svi ostali nizovi su isti kao .

Ova tri svojstva su glavna svojstva determinante, koja otkrivaju njenu prirodu. Sljedećih pet nekretnina su logične posledice tri glavna svojstva.

Zaključak 1. Determinanta sa dva identična reda (ili kolone) jednaka je nuli.

Zaključak 2. Množenje svih elemenata nekog reda (ili kolone) determinante brojem a je ekvivalentno množenju determinante ovim brojem a . Drugim riječima, zajednički faktor svih elemenata određenog reda (ili nekog stupca) determinante može se izvaditi iz predznaka ove determinante.

Zaključak 3. Ako su svi elementi određenog reda (ili neke kolone) jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Zaključak 4. Ako su elementi dva reda (ili dva stupca) determinante proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.

Zaključak 5. Ako elementima određenog reda (ili nekog stupca) determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (druge kolone), množenje sa proizvoljnim faktorom , tada se vrijednost determinante ne mijenja. Korolar 5, poput linearnog svojstva, omogućava općenitiju formulaciju, koju ću dati za nizove: ako elementima određenog reda determinante dodamo odgovarajuće elemente niza koji je linearna kombinacija nekoliko drugih redova ove determinante (sa bilo kojim koeficijentima), tada se vrijednost determinante neće promijeniti. Korolar 5 se široko koristi u konkretnom proračunu determinanti.

3. Sistemi linearnih jednačina.

3.1 Osnovne definicije.

…….

3.2 Uslov za kompatibilnost sistema linearnih jednačina.

…….

3.3 Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću Cramerove metode.

Poznato je da pomoću matrica možemo rješavati različite sisteme jednačina, a ti sistemi mogu biti bilo koje veličine i imati bilo koji broj varijabli. Uz nekoliko izvođenja i formula, rješavanje ogromnih sistema jednačina postaje prilično brzo i lakše.

Posebno ću opisati Cramerove i Gaussove metode. Najlakši način je Cramerova metoda (za mene), ili kako je još zovu, Cramerova formula. Dakle, recimo da imamo neki sistem jednačina . Glavna determinanta, kao što ste već primijetili, je matrica sastavljena od koeficijenata varijabli. Pojavljuju se i po redoslijedu stupaca, tj. prva kolona sadrži koeficijente koji se nalaze na x , u drugoj koloni u y , i tako dalje. Ovo je vrlo važno, jer ćemo u sljedećim koracima svaki stupac koeficijenata za varijablu zamijeniti stupcem odgovora na jednadžbe. Dakle, kao što sam rekao, stupac u prvoj varijabli zamjenjujemo kolonom odgovora, a zatim u drugoj, naravno sve ovisi o tome koliko varijabli treba da pronađemo.

1 = , 2 = , 3 = .

Zatim morate pronaći determinante determinanta sistema .

3.4 Rješavanje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom.

…….

4. Inverzna matrica.

4.1 Koncept inverzne matrice.

4.2 Izračunavanje inverzne matrice.

Bibliografija.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak “Linearna algebra”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Elementarne transformacije u linearnoj algebri”

Tema 1. Matrice i matrične determinante

Šta učimo:

Osnovni pojmovi linearne algebre: matrica, determinanta.

Šta ćemo naučiti:

Izvođenje operacija na matricama;

Izračunajte sa determinantama drugog i trećeg reda.

Tema 1.1. Koncept matrice. Akcije na matrice

∆ Matrix je pravougaona tabela koja se sastoji od redova i kolona, ​​ispunjena nekim matematičkim objektima.

Matrice su označene velikim latiničnim slovima, sama tabela je zatvorena u zagradama (rjeđe u obliku kvadrata ili drugog oblika).

Elementi A ij pozvao matričnih elemenata . Prvi indeks i– broj reda, sekundaj– broj kolone. Najčešće su elementi brojevi.

Unos "matrica" A ima veličinu m× n» znači da govorimo o matrici koja se sastoji odm linije i n kolone.

Ako m = 1, a n > 1, onda je matricamatrica - red . Ako m > 1, a n = 1, onda je matricamatrica - kolona .

Matrica u kojoj se broj redova poklapa s brojem stupaca (m= n), zove kvadrat .

.

Elementi a 11 , a 22 ,…, a nn kvadratna matricaA (veličina n× n) formu glavna dijagonala , elementi a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - bočna dijagonala .

U matrici
elementi 5; 7 čine glavnu dijagonalu, elementi –5; 8 – bočna dijagonala.

Matrice A I B su pozvani jednaka (A= B), ako su iste veličine i njihovi elementi na istim pozicijama se poklapaju, tj.A ij = b ij .

Matrica identiteta je kvadratna matrica u kojoj su elementi glavne dijagonale jednaki jedan, a preostali elementi jednaki nuli. Matrica identiteta se obično označava sa E.

Matrix transponovano na matricu A veličinem× n, naziva se matrica A T veličina n× m, dobijeno iz matrice A, ako su njeni redovi upisani u kolone, a njeni stupci u redove.

Aritmetičke operacije nad matricama.

Naći zbir matrica A I B iste dimenzije, potrebno je dodati elemente sa istim indeksima (koji stoje na istim mjestima):

.

Sabiranje matrice je komutativno, odnosno A + B = B + A.

Naći matrična razlika A I B iste dimenzije, potrebno je pronaći razliku elemenata sa istim indeksima:

.

To matrica množenja Apo broju k, Potrebno je pomnožiti svaki element matrice ovim brojem:

.

Posao matrice AB može se definirati samo za matriceA veličina m× n I B veličina n× str, tj. broj kolona matriceA mora biti jednak broju redova matriceIN. Gde A· B= C, matrica C ima veličinu m× str, i njegov element c ij nalazi se kao skalarni proizvodith matrični redovi A on jth matrični stupacB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, str).

!! Zapravo svaka linija je potrebna matrice A (stoji s lijeve strane) pomnožiti skalarno sa svakim stupcem matrice B (stoji sa desne strane).

Proizvod matrica nije komutativan, tjA·V ≠ V·A . ▲

☺ Za konsolidaciju teorijskog materijala potrebno je analizirati primjere.

Primjer 1. Određivanje veličine matrica.

Primjer 2. Definicija matričnih elemenata.

U matričnom elementu A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

U matričnom elementu A 21 = 2, A 13 = 0.

Primjer 3: Izvođenje transpozicije matrice.

,

Primjer 4. Izvođenje operacija na matricama.

Nađi 2 A- B, Ako , .

Rješenje. .

Primjer 5. Pronađite proizvod matrica I .

Rješenje. Veličina matriceA – 3 × 2 , matrice IN – 2 × 2 . Stoga proizvodA·B možete ga pronaći. Dobijamo:

Posao VA ne može se naći.

Primjer 6. Pronađite A 3 ako A =
.

Rješenje. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Primjer 6. Pronađite 2 A 2 + 3 A + 5 E at
,
.

Rješenje. ,

,
,

,
.

Zadaci za završetak

1. Popunite tabelu.

2. Izvršite operacije na matricama
I
:

3. Izvršite množenje matrice:

4. Transponirane matrice:

? 1. Šta je matrica?

2. Kako razlikovati matricu od ostalih elemenata linearne algebre?

3. Kako odrediti veličinu matrice? Zašto je to potrebno?

4. Šta znači unos? A ij ?

5. Objasnite sljedeće pojmove: glavna dijagonala, sekundarna dijagonala matrice.

6. Koje operacije se mogu izvoditi na matricama?

7. Objasniti suštinu operacije množenja matrice?

8. Da li se bilo koja matrica može pomnožiti? Zašto?

Tema 1.2. Odrednice drugog i trećeg reda : m metode za njihovo izračunavanje

∆ Ako je A kvadratna matrica n--ti red, onda mu možemo pridružiti broj tzv odrednica n-ti red i označeno sa |A|. Odnosno, determinanta je zapisana kao matrica, ali je umjesto zagrada zatvorena u prave zagrade.

!! Ponekad se determinatori nazivaju determinantama na engleski način, tj = det A.

Odrednica 1. reda (determinanta matrice A veličine1 × 1 ) je sam element koji sadrži matrica A, tj.

Odrednica 2. reda (matrična determinanta Veličina 2 × 2 ) je broj koji se može pronaći pomoću pravila:

(proizvod elemenata na glavnoj dijagonali matrice minus proizvod elemenata na sekundarnoj dijagonali).

Odrednica 3. reda (matrična determinanta Veličina 3 × 3 ) je broj koji se može pronaći pomoću pravila "trokuta":

Da biste izračunali determinante trećeg reda, možete koristiti jednostavnije pravilo - pravilo pravca (paralelne linije).

Pravila uputstava : With desno od determinante dodaje se prva dva stupca, proizvodi elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama paralelnim s njom uzimaju se sa znakom plus; a proizvodi elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala paralelnih s njom su sa predznakom minus.

!! Da biste izračunali determinante, možete koristiti njihova svojstva, koja vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Svojstva determinanti:

1° . Determinanta matrice A se ne menja tokom transpozicije, tj. |A| = |A T |. Ovo svojstvo karakterizira jednakost redova i stupaca.

2° . Prilikom preuređivanja dva reda (dvije kolone), determinanta zadržava svoju prethodnu vrijednost, ali je predznak obrnut.

4° . Ako bilo koji red ili kolona sadrži zajednički faktor, onda se može izvući iz predznaka determinante.

Korolar 4.1. Ako su svi elementi bilo kojeg niza determinante jednaki nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

Posljedica 4.2. Ako su elementi bilo kojeg niza determinante proporcionalni odgovarajućim elementima niza koji su joj paralelni, tada je determinanta jednaka nuli.▲

☺ Potrebno je analizirati pravila za izračunavanje determinanti.

Primjer 1: Izračundeterminante drugog reda,
.

Rješenje.

Srednja škola br.45.

Moskva grad.

Učenik 10. razreda „B“ Gorokhov Evgenij

Nastavni rad (nacrt).

Uvod u teoriju matrica i determinanti .

1. Matrice.................................................................. ........................................................ ................................................................ ................... ......

1.1 Koncept matrice ........................................................ ........................................................ ............................................

1.2 Osnovne operacije na matricama................................................ ........................................................ ............. .

2. Odrednice ................................................................ ........................................................ ................................................................ ........

2.1 Koncept determinante ................................................................ ........................................................ .............. ................................

2.2 Izračunavanje determinanti.................................................................. ........................................................ ............ ...............

2.3 Osnovna svojstva determinanti.................................................. ........................................................ .............

3. Sistemi linearnih jednačina.................................................. ........................................................ .............. .

3.1 Osnovne definicije ................................................................ .... ................................................ ........................................

3.2 Uslov konzistentnosti za sisteme linearnih jednačina.................................................. ........................................

3.3 Rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode.................................................. ........... .........

3.4 Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom................................. ............ ............

4. Inverzna matrica.................................................. ........................................................ ............................................

4.1 Koncept inverzne matrice................................................ ........................................................ ............. ................

4.2 Izračunavanje inverzne matrice................................................ ........................................................ .............. ........

Bibliografija ................................................. ................................................................ .....................................

Matrix je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određenu količinu m linije i određeni broj n kolone. Brojevi m I n su pozvani naređenja matrice. Ako m = n , matrica se zove kvadrat, a broj m = n -- ona u redu .

Osnovne aritmetičke operacije na matricama su množenje matrice brojem, sabiranje i množenje matrica.

Pređimo na definiranje osnovnih operacija nad matricama.

Matrično dodavanje: Zbir dvije matrice, na primjer: A I B , sa istim brojem redova i kolona, ​​drugim riječima, istim redoslijedom m I n naziva se matrica C = ( WITH ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) iste naredbe m I n , elementi Cij koji su jednaki.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Za označavanje sume dvije matrice koristi se notacija C = A + B. Operacija sabiranja matrica naziva se njihova dodatak

Dakle, po definiciji imamo:

+ =

=

Iz definicije zbira matrica, tačnije iz formule ( 1.2 ) odmah slijedi da operacija sabiranja matrica ima ista svojstva kao i operacija sabiranja realnih brojeva, i to:

1) komutativno svojstvo: A + B = B + A

2) kombinovanje imovine: (A + B) + C = A + (B + C)

Ova svojstva omogućavaju da ne brinete o redoslijedu matričnih pojmova prilikom dodavanja dvije ili više matrica.

Množenje matrice brojem :

Matrični proizvod jer se realan broj naziva matrica C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , čiji su elementi jednaki

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Za označavanje proizvoda matrice i broja koristi se notacija C= A ili C=A . Operacija sastavljanja proizvoda matrice brojem naziva se množenjem matrice ovim brojem.

Direktno iz formule ( 1.3 ) jasno je da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:

1) distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

( A + B) = A+ B

2) asocijativno svojstvo u pogledu numeričkog faktora:

() A= ( A)

3) distributivno svojstvo u odnosu na zbir brojeva:

( + ) A= A + A .

Komentar :Razlika dvije matrice A I B identičnih redova prirodno je nazvati takvu matricu C istih redova, koji u zbiru sa matricom B daje matricu A . Da bi se označila razlika između dvije matrice, koristi se prirodna notacija: C = A – B.

Množenje matrice :

Matrični proizvod A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , sa jednakim redoslijedom m I n , po matrici B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , sa jednakim redoslijedom n I str , naziva se matrica C= (SA ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , s odgovarajućim jednakim redoslijedom m I str , i elementi Cij , definisan formulom

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Za označavanje proizvoda matrice A na matricu B koristiti snimanje

C=AB . Operacija sastavljanja matričnog proizvoda A na matricu B pozvao množenje ove matrice. Iz gore formulirane definicije slijedi da matrica A ne može se pomnožiti ni sa jednom matricom B : potrebno je da broj kolona matrice A bio jednaki broj redova matrice B . Za oba rada AB I B.A. ne samo da su definisane, već su imale i isti redosled, potrebno je i dovoljno da obe matrice A I B bile su kvadratne matrice istog reda.

formula ( 1.4 ) je pravilo za sastavljanje matričnih elemenata C ,

koji je proizvod matrice A na matricu B . Ovo pravilo se može formulisati usmeno: Element Cij , stoji na raskrsnici i th linija i j- th kolona matrice C=AB , je jednako zbir parnih proizvoda odgovarajućih elemenata i th line matrice A I j- th kolona matrice B . Kao primjer primjene ovog pravila predstavljamo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda

Iz formule ( 1.4 ) slijede sljedeća svojstva matričnog proizvoda: A na matricu B :

1) asocijativno svojstvo: ( AB)C = A(BC);

2) distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

(A + B) C = AC + BC ili A (B + C) = AB + AC.

Ima smisla postaviti pitanje svojstva permutacije proizvoda matrica samo za kvadratne matrice istog reda. Elementarni primjeri pokazuju da proizvod dvije kvadratne matrice istog reda, općenito govoreći, nema svojstvo komutacije. U stvari, ako stavimo

A = , B = , To AB = , A BA =

Obično se nazivaju iste matrice za koje proizvod ima svojstvo komutacije putovanje na posao.

Među kvadratnim matricama izdvajamo klasu tzv dijagonala matrice, od kojih svaka ima elemente koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednake nuli. Među svim dijagonalnim matricama sa podudarnim elementima na glavnoj dijagonali, dvije matrice igraju posebno važnu ulogu. Prva od ovih matrica se dobija kada su svi elementi glavne dijagonale jednaki jedan i naziva se matrica identiteta n- E . Druga matrica se dobija sa svim elementima jednakim nuli i naziva se nulta matrica n- red i označen je simbolom O . Pretpostavimo da postoji proizvoljna matrica A , Onda

AE=EA=A , AO=OA=O .

Prva od formula karakterizira posebnu ulogu matrice identiteta E, slično ulozi koju ima broj 1 prilikom množenja realnih brojeva. Što se tiče posebne uloge nulte matrice O, tada se otkriva ne samo drugom od formula, već i elementarnom provjerljivom jednakošću: A+O=O+A=A . Koncept nulte matrice može se uvesti ne za kvadratne matrice.

Prije svega, morate zapamtiti da determinante postoje samo za matrice kvadratnog tipa, jer ne postoje determinante za matrice drugih tipova. U teoriji sistema linearnih jednačina i u nekim drugim pitanjima zgodno je koristiti koncept odrednica, ili odrednica .

Razmotrimo bilo koja četiri broja napisana u obliku matrice od dva u redovima i dvije kolone , Odrednica ili odrednica, sastavljen od brojeva u ovoj tabeli, je broj ad-bc , označeno kako slijedi: .Takva determinanta se zove determinanta drugog reda, pošto je uzeta tabela od dva reda i dvije kolone za njeno sastavljanje. Brojevi koji čine determinantu nazivaju se njenim elementi; istovremeno kažu da su elementi a I d šminka glavna dijagonala determinanta i elementi b I c njegov bočna dijagonala. Vidi se da je determinanta jednaka razlici proizvoda parova elemenata koji se nalaze na njegovoj glavnoj i sekundarnoj dijagonali. Odrednica trećeg i bilo kojeg drugog reda je približno ista, naime: Recimo da imamo kvadratnu matricu . Odrednica sljedeće matrice je sljedeći izraz: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Kao što vidite, izračunava se prilično lako ako zapamtite određeni niz. Sa pozitivnim predznakom su glavna dijagonala i trokuti formirani od elemenata, koji imaju stranu paralelnu sa glavnom dijagonalom, u ovom slučaju to su trokuti a12a23a31, a13a21a32 .

Bočna dijagonala i trouglovi koji su s njom paralelni imaju negativan predznak, tj. a11a23a32 , a12a21a33 . Na ovaj način se mogu pronaći determinante bilo kojeg reda. Ali postoje slučajevi kada ova metoda postaje prilično komplicirana, na primjer, kada ima puno elemenata u matrici, a da biste izračunali determinantu potrebno je potrošiti puno vremena i pažnje.

Postoji lakši način za izračunavanje determinante n- oh red, gdje n2 . Hajde da se dogovorimo da bilo koji element nazovemo minor Aij matrice n- determinanta prvog reda koja odgovara matrici koja se dobija iz matrice kao rezultat brisanja i th linija i j- th kolona (taj red i kolona na čijem se presjeku nalazi element Aij ). Element minor Aij će biti označeno simbolom . U ovoj notaciji, gornji indeks označava broj reda, donji indeks broj kolone, a traka iznad M znači da su navedeni red i stupac precrtani. Odrednica reda n , koji odgovara matrici, broj nazivamo jednakim i označeno simbolom .

Teorema 1.1 Bez obzira na broj linije i ( i =1, 2…, n) , za determinantu n- vrijedi formula prvog reda veličine

= det A =

pozvao ja- th line . Naglašavamo da je u ovoj formuli eksponent na koji je broj podignut (-1) jednak zbroju brojeva reda i stupca na čijem se presjeku element nalazi Aij .

Teorema 1.2 Bez obzira na broj kolone j ( j =1, 2…, n) , za determinantu n formula th reda je važeća

= det A =

pozvao proširenje ove determinante u j- th column .

Determinante također imaju svojstva koja olakšavaju zadatak njihovog izračunavanja. Dakle, u nastavku utvrđujemo brojna svojstva koja ima proizvoljna determinanta n -th red.

1. Svojstvo jednakosti reda i stupca . Transponiranje bilo koje matrice ili determinante je operacija zbog koje se redovi i stupci zamjenjuju uz održavanje njihovog redoslijeda. Kao rezultat transpozicije matrice A rezultirajuća matrica naziva se matrica, naziva se transponovana u odnosu na matricu A i označen je simbolom A .

Prvo svojstvo determinante formuliše se na sledeći način: pri transponovanju se čuva vrednost determinante, tj. = .

2. Svojstvo antisimetrije prilikom preuređivanja dva reda (ili dvije kolone). Kada se dva reda (ili dvije kolone) zamjene, determinanta zadržava apsolutnu vrijednost, ali mijenja predznak u suprotan. Za determinantu drugog reda ovo svojstvo se može provjeriti na elementaran način (iz formule za izračunavanje determinante drugog reda odmah slijedi da se determinante razlikuju samo po predznaku).

3. Linearno svojstvo determinante. Reći ćemo da neki niz ( a) je linearna kombinacija druga dva niza ( b I c ) sa koeficijentima i . Linearno svojstvo se može formulirati na sljedeći način: ako je u determinanti n neki red i th red je linearna kombinacija dva reda s koeficijentima i , zatim = + , gdje

- odrednica koja ima i -ti red je jednak jednom od dva reda linearne kombinacije, a svi ostali redovi su isti kao , a je determinanta za koju ja- i niz je jednak drugom od dva niza, a svi ostali nizovi su isti kao .

Ova tri svojstva su glavna svojstva determinante, koja otkrivaju njenu prirodu. Sljedećih pet nekretnina su logične posledice tri glavna svojstva.

Zaključak 1. Determinanta sa dva identična reda (ili kolone) jednaka je nuli.

Zaključak 2. Množenje svih elemenata nekog reda (ili kolone) determinante brojem a je ekvivalentno množenju determinante ovim brojem a . Drugim riječima, zajednički faktor svih elemenata određenog reda (ili nekog stupca) determinante može se izvaditi iz predznaka ove determinante.

Zaključak 3. Ako su svi elementi određenog reda (ili neke kolone) jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Zaključak 4. Ako su elementi dva reda (ili dva stupca) determinante proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.

Zaključak 5. Ako elementima određenog reda (ili neke kolone) determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (druge kolone), množeći se proizvoljnim faktorom, tada se vrijednost determinante ne mijenja. Korolar 5, poput linearnog svojstva, omogućava općenitiju formulaciju, koju ću dati za nizove: ako elementima određenog reda determinante dodamo odgovarajuće elemente niza koji je linearna kombinacija nekoliko drugih redova ove determinante (sa bilo kojim koeficijentima), tada se vrijednost determinante neće promijeniti. Korolar 5 se široko koristi u konkretnom proračunu determinanti.

Poznato je da pomoću matrica možemo rješavati različite sisteme jednačina, a ti sistemi mogu biti bilo koje veličine i imati bilo koji broj varijabli. Uz nekoliko izvođenja i formula, rješavanje ogromnih sistema jednačina postaje prilično brzo i lakše.

Posebno ću opisati Cramerove i Gaussove metode. Najlakši način je Cramerova metoda (za mene), ili kako je još zovu, Cramerova formula. Dakle, recimo da imamo neki sistem jednačina

, U matričnom obliku, ovaj sistem se može napisati na sljedeći način: A= , gdje će odgovori na jednadžbe biti u posljednjoj koloni. Sada ćemo uvesti koncept fundamentalne determinante; u ovom slučaju to će izgledati ovako:

= . Glavna determinanta, kao što ste već primijetili, je matrica sastavljena od koeficijenata varijabli. Pojavljuju se i po redoslijedu stupaca, tj. prva kolona sadrži koeficijente koji se nalaze na x , u drugoj koloni u y , i tako dalje. Ovo je vrlo važno, jer ćemo u sljedećim koracima svaki stupac koeficijenata za varijablu zamijeniti stupcem odgovora na jednadžbe. Dakle, kao što sam rekao, stupac u prvoj varijabli zamjenjujemo kolonom odgovora, a zatim u drugoj, naravno sve ovisi o tome koliko varijabli treba da pronađemo.

1 = , 2 = , 3 = .

Zatim morate pronaći determinante 1, 2, 3. Već znate kako pronaći determinantu trećeg reda. A Ovdje primjenjujemo Cramerovo pravilo. izgleda ovako:

x1 = , x2 = , x3 = – za ovaj slučaj, ali generalno to izgleda ovako: x i = . Zove se determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznate determinanta sistema .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak “Linearna algebra”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Elementarne transformacije u linearnoj algebri”