§7. Primjeri linearnih prostora

Linearna ljuska se također naziva generiran podprostor X. Obično se označava . Takođe se kaže da je linearna ljuska ispružen preko gomila X .

Svojstva

vidi takođe

Linkovi

Wikimedia Foundation. 2010.

• Jangar
• Stanje plaćanja

Pogledajte šta je "Linearna ljuska" u drugim rječnicima:

LINEAR SHELL- presek M svih podprostora koji sadrže skup vektorskog prostora E. Štaviše, Mnaz. takođe podprostor koji je generisao A. M. I. Voitsekhovsky... Mathematical Encyclopedia

Linearni vektori ljuske

Linearni vektori ljuske- skup linearnih kombinacija ovih vektora ∑αiai sa svim mogućim koeficijentima (α1, …, αn) … Ekonomsko-matematički rječnik

linearni vektori ljuske- Skup linearnih kombinacija ovih vektora??iai sa svim mogućim koeficijentima (?1, …, ?n). Teme ekonomija EN linearni trup…

linearna algebra- Matematička disciplina, dio algebre, koji sadrži, posebno, teoriju linearnih jednačina, matrica i determinanti, kao i teoriju vektorskih (linearnih) prostora. Linearni odnos “odnos oblika: a1x1 + a2x2 + … +… … Vodič za tehnički prevodilac

Linearna zavisnost- “odnos oblika: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, gdje su a1, a2, …, an brojevi od kojih je barem jedan različit od nule; x1, x2, ..., xn su određeni matematički objekti za koje su definirane operacije sabiranja ... Ekonomsko-matematički rječnik

Shell- vidi Linearna školjka... Ekonomsko-matematički rječnik

Linearna zavisnost

Linearna kombinacija- Linearni prostor, ili vektorski prostor, glavni je predmet proučavanja linearne algebre. Sadržaj 1 Definicija 2 Najjednostavnija svojstva 3 Povezane definicije i svojstva ... Wikipedia

LINEARNA GRUPA je grupa linearnih transformacija vektorskog prostora V konačne dimenzije n nad određenim tijelom K. Izbor baze u prostoru V realizira linearnu grupu kao grupu nedegeneriranih kvadratnih matrica stepena n nad tijelom K Tako je uspostavljen izomorfizam... Mathematical Encyclopedia

Knjige

• Linearna algebra. Udžbenik i radionica za obrazovanje otvorenog koda Kupite za 1471 UAH (samo za Ukrajinu)
• Linearna algebra. Udžbenik i radionica za akademske diplome, Kremer N.Sh.. Ovaj udžbenik uključuje niz novih pojmova i dodatnih pitanja, kao što su norma matrice, metoda dopunjavanja baze, izomorfizam linearnih prostora, linearni podprostori, linearni ...

Neka je sistem vektora iz vektorskog prostora V preko terena P.

2. definicija: Linearna školjka L sistemima A je skup svih linearnih kombinacija vektora sistema A. Oznaka L(A).

Može se pokazati da za bilo koja dva sistema A I B,

A linearno izražena kroz B ako i samo ako . (1)

A ekvivalentno B tada i samo kada L(A)=L(B). (2)

Dokaz slijedi iz prethodnog svojstva

3 Linearni raspon bilo kojeg sistema vektora je podprostor prostora V.

Dokaz

Uzmite bilo koja dva vektora i od L(A), koji ima sljedeće ekspanzije u vektorima iz A: . Provjerimo izvodljivost uslova 1) i 2) kriterija:

Pošto je to linearna kombinacija vektora sistema A.

Budući da je također linearna kombinacija vektora sistema A.

Razmotrimo sada matricu. Linearni raspon redova matrice A naziva se prostor reda matrice i označava se Lr(A). Linearni raspon matričnih kolona A naziva se prostor kolona i označava se Lc(A). Imajte na umu da kada prostor reda i stupca matrice A su podprostori različitih aritmetičkih prostora P n I pm respektivno. Koristeći tvrdnju (2) možemo doći do sljedećeg zaključka:

Teorema 3: Ako se jedna matrica dobije iz druge lancem elementarnih transformacija, tada se prostori redova takvih matrica poklapaju.

Zbir i presjek podprostora

Neka L I M- dva podprostora prostora R.

Iznos L+M se naziva skup vektora x+y , Gdje x ∈L I y ∈M. Očigledno, bilo koja linearna kombinacija vektora iz L+M pripada L+M, dakle L+M je podprostor prostora R(može se podudarati sa prostorom R).

Prelaskom L∩M podprostori L I M je skup vektora koji istovremeno pripadaju podprostorima L I M(može se sastojati samo od nultog vektora).

Teorema 6.1. Zbir dimenzija proizvoljnih podprostora L I M konačnodimenzionalni linearni prostor R jednaka dimenziji zbira ovih podprostora i dimenziji presjeka ovih podprostora:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dokaz. Označimo F=L+M I G=L∩M. Neka G g-dimenzionalni podprostor. Hajde da izaberemo osnovu u njoj. Jer G⊂L I G⊂M, dakle osnova G može se dodati bazi L i do baze M. Neka je osnova podprostora L i neka je osnova podprostora M. Pokažimo da su vektori

(6.1) čine osnovu F=L+M. Da bi vektori (6.1) formirali osnovu prostora F moraju biti linearno nezavisni i bilo koji vektor prostora F može se predstaviti linearnom kombinacijom vektora (6.1).

Dokažimo linearnu nezavisnost vektora (6.1). Neka je nulti vektor prostora F je predstavljen linearnom kombinacijom vektora (6.1) sa nekim koeficijentima:

Lijeva strana (6.3) je vektor potprostora L, a desna strana je vektor podprostora M. Stoga vektor

(6.4) pripada podprostoru G=L∩M. S druge strane, vektor v može biti predstavljen linearnom kombinacijom baznih vektora podprostora G:

(6.5) Iz jednačina (6.4) i (6.5) imamo:

Ali vektori su osnova podprostora M, dakle oni su linearno nezavisni i . Tada će (6.2) poprimiti oblik:

Zbog linearne nezavisnosti osnove podprostora L imamo:

Pošto se pokazalo da su svi koeficijenti u jednačini (6.2) jednaki nuli, onda su vektori

linearno nezavisna. Ali bilo koji vektor z od F(po definiciji zbira potprostora) može se predstaviti zbirom x+y , Gdje x ∈ L,y ∈ M. Zauzvrat x je predstavljen linearnom kombinacijom vektora a y - linearna kombinacija vektora. Prema tome, vektori (6.10) potiču podprostor F. Otkrili smo da vektori (6.10) čine osnovu F=L+M.

Proučavanje podprostornih baza L I M i podprostornu osnovu F=L+M(6.10), imamo: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. dakle:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Direktan zbir podprostora

Definicija 6.2. Prostor F predstavlja direktan zbir podprostora L I M, ako je svaki vektor x prostor F može se predstaviti samo kao zbir x=y+z , Gdje y ∈L i z ∈M.

Direktan iznos je naznačen L⊕M. Kažu da ako F=L⊕M, To F dekomponuje se na direktan zbir svojih podprostora L I M.

Teorema 6.2. Da bi n-dimenzionalni prostor R je direktan zbir podprostora L I M, dovoljno je za raskrsnicu L I M sadrži samo nulti element i da je dimenzija R jednaka zbroju dimenzija podprostora L I M.

Dokaz. Odaberimo neku bazu u podprostoru L i neku bazu u podprostoru M. Dokažimo to

(6.11) je osnova prostora R. Prema uslovima teoreme, dimenzija prostora Rn jednak zbiru podprostora L I M (n=l+m). Dovoljno je dokazati linearnu nezavisnost elemenata (6.11). Neka je nulti vektor prostora R je predstavljen linearnom kombinacijom vektora (6.11) sa nekim koeficijentima:

(6.13) Pošto je lijeva strana (6.13) vektor podprostora L, a desna strana je vektor podprostora M I L∩M=0 , To

(6.14) Ali vektori su baze podprostora L I M respektivno. Stoga su linearno nezavisni. Onda

(6.15) Utvrđeno je da (6.12) vrijedi samo pod uvjetom (6.15), a to dokazuje linearnu nezavisnost vektora (6.11). Stoga oni čine osnovu u R.

Neka je x∈R. Proširimo ga prema bazi (6.11):

(6.16) Iz (6.16) imamo:

(6.18) Iz (6.17) i (6.18) slijedi da bilo koji vektor iz R može se predstaviti kao zbir vektora x 1 ∈L I x 2 ∈M. Ostaje dokazati da je ovaj prikaz jedinstven. Neka pored reprezentacije (6.17) postoji i sledeća reprezentacija:

(6.19) Oduzimanjem (6.19) od (6.17) dobijamo

(6.20) Budući da , i L∩M=0 , zatim i . Stoga i. ■

Teorema 8.4 o dimenziji zbira potprostora. Ako su i podprostori konačno-dimenzionalnog linearnog prostora, tada je dimenzija zbira potprostora jednaka zbroju njihovih dimenzija bez dimenzije njihovog presjeka ( Grassmannova formula):

U stvari, neka bude osnova raskrižja . Dopunimo ga uređenim skupom vektora do osnove podprostora i uređenim skupom vektora do baze podprostora. Takav dodatak je moguć prema teoremi 8.2. Od ova tri skupa vektora, napravimo uređeni skup vektora. Pokažimo da su ovi vektori generatori prostora. Zaista, svaki vektor ovog prostora je predstavljen kao linearna kombinacija vektora iz uređenog skupa

Dakle, . Dokažimo da su generatori linearno nezavisni i da su stoga osnova prostora. Zaista, napravimo linearnu kombinaciju ovih vektora i izjednačimo je sa nultim vektorom: . Svi koeficijenti ove ekspanzije su nula: podprostori vektorskog prostora bilinearne forme su skup svih vektora ortogonalnih na svaki vektor iz . Ovaj skup je vektorski podprostor, koji se obično označava sa .

Članak opisuje osnove linearne algebre: linearni prostor, njegova svojstva, pojam baze, dimenzije prostora, linearni omotač, povezanost linearnih prostora i rang matrica.

Linearni prostor

Gomila L pozvao linearni prostor, ako za sve njegove elemente operacije sabiranja dva elementa i množenja elementa brojem zadovoljavaju I grupa Weylovi aksiomi. Elementi linearnog prostora se nazivaju vektori. Ovo je potpuna definicija; ukratko, možemo reći da je linearni prostor skup elemenata za koji su definirane operacije sabiranja dva elementa i množenja elementa brojem.

Weylovi aksiomi.

Hermann Weil sugerirao da u geometriji imamo dvije vrste objekata ( vektori i tačke), čija su svojstva opisana sljedećim aksiomima, koji su činili osnovu odjeljka linearna algebra. Pogodno je podijeliti aksiome u 3 grupe.

Grupa I

1. za bilo koje vektore x i y jednakost x+y=y+x je zadovoljena;
2. za bilo koje vektore x, y i z jednakost x+(y+z)=(x+y)+z je zadovoljena;
3. postoji vektor o takav da za bilo koji vektor x vrijedi jednakost x+o=x;
4. za bilo koji vektor X postoji vektor (-x) takav da je x+(-x)=o;
5. za bilo koji vektor X vrijedi jednakost 1x=x;
6. za bilo koje vektore X I at i bilo koji broj λ jednakost λ( X+at)=λ X+λ at;
7. za bilo koji vektor X i bilo koje brojeve λ i μ vrijedi jednakost (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. za bilo koji vektor X i bilo koji brojevi λ i μ jednakost λ(μ X)=(λμ) X;

Grupa II

Grupa I definiše koncept linearna kombinacija vektora, linearna zavisnost i linearna nezavisnost. Ovo nam omogućava da formulišemo još dva aksioma:

1. postoji n linearno nezavisnih vektora;
2. bilo koji (n+1) vektori su linearno zavisni.

Za planimetriju n=2, za stereometriju n=3.

Grupa III

Ova grupa pretpostavlja da postoji skalarna operacija množenja koja dodjeljuje par vektora X I at broj ( x,y). pri čemu:

1. za bilo koje vektore X I at važi jednakost ( x,y)=(y, x);
2. za bilo koje vektore X , at I z važi jednakost ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. za bilo koje vektore X I at i bilo koji broj λ jednakost (λ x,y)=λ( x,y);
4. za bilo koji vektor x vrijedi nejednakost ( x, x)≥0, i ( x, x)=0 ako i samo ako X=0.

Svojstva linearnog prostora

Većina svojstava linearnog prostora zasniva se na Weylovim aksiomima:

1. Vector O, čije postojanje garantuje aksiom 3, određen je na jedinstven način;
2. Vektor (- X), čije postojanje garantuje aksiom 4, određuje se na jedinstven način;
3. Za bilo koja dva vektora A I b pripada svemiru L, postoji samo jedan vektor X, takođe pripada svemiru L, što je rješenje jednačine a+x=b i zove se vektorska razlika b-a.

Definicija. Podset L' linearni prostor L pozvao linearni podprostor prostor L, ako je on sam linearni prostor u kojem su zbir vektora i proizvod vektora i broja definirani na isti način kao u L.

Definicija. Linearna školjka L(x1, x2, x3, …, xk) vektori x1, x2, x3, I xk naziva se skup svih linearnih kombinacija ovih vektora. O linearnoj ljusci možemo to reći

-linearni trup je linearni podprostor;

– linearni trup je minimalni linearni podprostor koji sadrži vektore x1, x2, x3, I xk.

Definicija. Linearni prostor se naziva n-dimenzionalnim ako zadovoljava grupu II Weylovog aksiomskog sistema. Poziva se broj n dimenzija linearni prostor i pisati dimL=n.

Osnova– bilo koji uređeni sistem n linearno nezavisni vektori prostora. Značenje baze je da se vektori koji čine osnovu mogu koristiti za opisivanje bilo kojeg vektora u prostoru.

Teorema. Bilo koji n linearno nezavisnih vektora u prostoru L čine bazu.

Izomorfizam.

Definicija. Linearni prostori L I L' nazivaju se izomorfnim ako se takva jedna-na-jedan korespondencija može uspostaviti između njihovih elemenata x↔x’, Šta:

1. Ako x↔x’, y↔y’, To x+y↔x’+y’;
2. Ako x↔x’, onda λ x↔λ X'.

Sama ova korespondencija se zove izomorfizam. Izomorfizam nam omogućava da damo sljedeće tvrdnje:

• ako su dva prostora izomorfna, onda su njihove dimenzije jednake;
• bilo koja dva linearna prostora nad istim poljem i iste dimenzije su izomorfna.

1. Skup polinoma P n (x) stepeni ne više n.

2. Gomila n-termin sekvence (sa sabiranjem pojam i množenjem skalarom).

3 . Puno mogućnosti C [ A , b ] kontinuirano na [ A, b] i sa sabiranjem po tačkama i množenjem skalarom.

4. Mnoge funkcije navedene na [ A, b] i nestaje u nekoj fiksnoj unutrašnjoj tački c: f (c) = 0 i sa tačkastim operacijama sabiranja i množenja skalarom.

5. Postavite R+, ako x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Definicija podprostora

Neka set W je podskup linearnog prostora V (W  V) i tako to

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Operacije sabiranja i množenja ovdje su iste kao u prostoru V(oni se nazivaju prostorno inducirani V).

Toliko W naziva se podprostor prostora V.

7  . Podprostor W sama po sebi je prostor.

◀ Da bismo to dokazali, dovoljno je dokazati postojanje neutralnog elementa i njegove suprotnosti. Jednakosti 0⊙ x=  i (–1)⊙ X = –X dokazati šta je potrebno.

Podprostor koji se sastoji samo od neutralnog elementa () i podprostora koji se poklapa sa samim prostorom V, nazivaju se trivijalni podprostori prostora V.

§9. Linearna kombinacija vektora. Linearni raspon vektorskog sistema

Neka vektori e 1 ,e 2 , …e n V i  1,  2 , …  n .

Vector x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = zove se linearna kombinacija vektora e 1 , e 2 , … , e n sa koeficijentima  1,  2 , …  n .

Ako su svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji jednaki nuli, onda je linearna kombinacija pozvao trivijalan.

Skup svih mogućih linearnih kombinacija vektora
zove se linearni trup ovaj sistem vektora i označava se:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Ispravnost operacija sabiranja i množenja skalarom proizlazi iz činjenice da je ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je skup svih mogućih linearnih kombinacija. Neutralni element je trivijalna linearna kombinacija. Za element X=
suprotan je element - x =
. Zadovoljeni su i aksiomi koje operacije moraju zadovoljiti. Dakle, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je linearni prostor.

Svaki linearni prostor sadrži, u opštem slučaju, beskonačan broj drugih linearnih prostora (podprostora) - linearne ljuske

Ubuduće ćemo nastojati da odgovorimo na sljedeća pitanja:

Kada se linearne ljuske različitih vektorskih sistema sastoje od istih vektora (tj. poklapaju)?

2) Koji je najmanji broj vektora koji definira isti linearni raspon?

3) Da li je originalni prostor linearni raspon nekog sistema vektora?

§10. Kompletni vektorski sistemi

Ako u svemiru V postoji konačan skup vektora
pa šta,ℒ
 V, zatim sistem vektora
naziva se kompletan sistem u V, a prostor se naziva konačno-dimenzionalnim. Dakle, sistem vektora e 1 , e 2 , …, e n V zove kompletno u V sistem, tj. Ako

XV   1 ,  2 , …  n takav da x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Ako u svemiru V ne postoji konačan kompletan sistem (a kompletan uvek postoji - na primer, skup svih vektora prostora V), zatim razmak V naziva se beskonačno-dimenzionalnim.

9  . Ako
pun in V sistem vektora i y V, To ( e 1 , e 2 , …, e n , y) je također kompletan sistem.

◀ U linearnim kombinacijama koeficijent prije y uzeti jednako 0.

Neka biti sistem vektora iz . Linearna školjka vektorski sistemi je skup svih linearnih kombinacija vektora datog sistema, tj.

Svojstva linearne ljuske: Ako , onda za i .

Linearna ljuska ima svojstvo zatvorenosti u odnosu na linearne operacije (operacije sabiranja i množenja brojem).

Podskup prostora koji ima svojstvo zatvorenosti u odnosu na operacije sabiranja i množenja brojevima naziva selinearni podprostor prostora .

Linearna ljuska sistema vektora je linearni podprostor prostora.

Sistem vektora iz naziva se baza ,Ako

Bilo koji vektor se može izraziti kao linearna kombinacija baznih vektora:

2. Sistem vektora je linearno nezavisan.

Lema Koeficijenti vektorske ekspanzije prema osnovi su jedinstveno određene.

Vector , sastavljen od koeficijenata vektorske ekspanzije prema bazi naziva se koordinatni vektor vektora u osnovi .

Oznaka . Ovaj unos naglašava da koordinate vektora zavise od baze.

Linearni prostori

Definicije

Neka je dat skup elemenata proizvoljne prirode. Neka su za elemente ovog skupa definirane dvije operacije: zbrajanje i množenje bilo kojim pravi broj: , i set zatvoreno u vezi sa ovim operacijama: . Neka se ove operacije pridržavaju aksioma:

3. Postoji nulti vektor sa svojstvom za ;

4. za svaki postoji inverzni vektor sa svojstvom ;

6. za , ;

7. za , ;

Tada se takav skup naziva linearni (vektorski) prostor, njegovi elementi se nazivaju vektori, i - da se naglasi njihova razlika od brojeva iz - potonji se nazivaju skalarima 1) . Prostor koji se sastoji od samo jednog nultog vektora se zove trivijalan .

Ako u aksiomima 6 - 8 dopustimo množenje kompleksnim skalarima, onda se takav linearni prostor naziva sveobuhvatan. Da bismo pojednostavili naše razmišljanje, u nastavku ćemo razmatrati samo realne prostore.

Linearni prostor je grupa u odnosu na operaciju sabiranja i Abelova grupa.

Jedinstvenost nultog vektora i jedinstvenost vektora inverznog vektoru se lako dokazuju: , obično se označava .

Podskup linearnog prostora koji je i sam linearni prostor (tj. zatvoren sabiranjem vektora i množenjem sa proizvoljnim skalarom) naziva se linearni podprostor prostor. Trivijalni podprostori Linearni prostor naziva se sam i prostor koji se sastoji od jednog nultog vektora.

Primjer. Prostor uređenih trojki realnih brojeva

operacije definisane jednakostima:

Geometrijska interpretacija je očigledna: vektor u prostoru, "vezan" za ishodište, može se specificirati u koordinatama njegovog kraja. Slika takođe prikazuje tipičan podprostor prostora: ravan koja prolazi kroz ishodište. Tačnije, elementi su vektori koji imaju svoje ishodište u početku i završavaju se u tačkama u ravni. Zatvorenost takvog skupa s obzirom na sabiranje vektora i njihovu dilataciju 2) je očigledna.

Na osnovu ove geometrijske interpretacije, vektor proizvoljnog linearnog prostora se često govori kao tačka u prostoru. Ponekad se ova tačka naziva "kraj vektora". Osim pogodnosti asocijativne percepcije, ovim riječima nije pridato nikakvo formalno značenje: koncept „kraja vektora“ odsutan je u aksiomatici linearnog prostora.

Primjer. Na osnovu istog primjera možemo dati drugačiju interpretaciju vektorskog prostora (ugrađenog, inače, u samo porijeklo riječi "vektor" 3) - on definira skup "pomaka" tačaka u prostoru. Ovi pomaci - ili paralelni prijevodi bilo koje prostorne figure - biraju se da budu paralelni s ravninom.

Uopšteno govoreći, s takvim tumačenjima koncepta vektora, sve nije tako jednostavno. Pokušava da se apeluje na njegovo fizičko značenje - kao predmet koji ima veličina I smjer- izazvati pošten ukor od strogih matematičara. Definicija vektora kao elementa vektorskog prostora veoma podsjeća na epizodu s sepulchami iz poznate naučnofantastične priče Stanislawa Lema (vidi ☞OVDJE). Hajde da se ne zadržavamo na formalizmu, već istražimo ovaj rasplinuti objekat u njegovim posebnim manifestacijama.

Primjer. Prirodna generalizacija je prostor: vektorski prostor reda ili stupca . Jedan od načina da navedete podprostor je da navedete skup ograničenja.

Primjer. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina:

formira linearni podprostor prostora. U stvari, ako

Rešenje sistema, dakle

Isto rješenje za bilo koji . Ako

Onda drugo rešenje za sistem

To će takođe biti njena odluka.

Zašto postoji mnogo rješenja za sistem? heterogena jednadžbe ne formiraju linearni podprostor?

Primjer. Uopštavajući dalje, možemo razmotriti prostor „beskonačnih“ nizova ili sekvence , obično predmet matematičke analize - kada se razmatraju nizovi i serije. Linije (sekvence) možete smatrati „beskonačnima u oba smjera“ - koriste se u TEORIJI SIGNALA.

Primjer. Skup -matrica sa realnim elementima sa operacijama sabiranja i množenja matrice realnim brojevima formira linearni prostor.

U prostoru matrica kvadratnog reda mogu se razlikovati dva podprostora: podprostor simetričnih matrica i podprostor koso-simetričnih matrica. Osim toga, podprostori formiraju svaki od skupova: gornje trokutaste, donje trokutaste idijagonalne matrice.

Primjer. Skup polinoma jednog promjenljivog stupnja tačno jednak koeficijentima (gdje je bilo koji od skupova ili ) sa uobičajenim operacijama sabiranja polinoma i množenja brojem iz ne formira linearni prostor. Zašto? - Zato što nije zatvoren pod sabiranjem: zbir polinoma neće biti polinom th stepena. Ali ovdje ima puno polinoma stepena ne viši

linearni prostorni oblici; samo ovom skupu moramo dodati i identično nulti polinom 4). Očigledni podprostori su . Pored toga, podprostori će biti skup parnih i skup neparnih polinoma stepena najviše . Skup svih mogućih polinoma (bez ograničenja na stupnjeve) također čini linearni prostor.

Primjer. Generalizacija prethodnog slučaja će biti prostor polinoma od nekoliko varijabli najvišeg stepena sa koeficijentima od . Na primjer, skup linearnih polinoma

formira linearni prostor. Skup homogenih polinoma (oblika) stepena (sa dodatkom identično nulte polinoma ovom skupu) je takođe linearan prostor.

U smislu gornje definicije, skup nizova sa cjelobrojnim komponentama

razmatrane s obzirom na operacije sabiranja i množenja po komponentama sa cijeli brojevi skalari nisu linearni prostor. Međutim, svi aksiomi 1 - 8 će biti zadovoljeni ako dozvolimo množenje samo cijelim skalarima. U ovom dijelu nećemo se fokusirati na ovaj objekt, ali je prilično koristan u diskretnoj matematici, na primjer u ☞ TEORIJA KODIRANJA. Linearni prostori nad konačnim poljima razmatraju se ☞ OVDJE.

Varijable su izomorfne prostoru simetričnih matrica th reda. Izomorfizam se uspostavlja korespondencijom, koju ćemo ilustrovati za slučaj:

Koncept izomorfizma se uvodi kako bi se na primjeru jednog uzorka izučavali objekti koji nastaju u različitim oblastima algebre, ali sa „sličnim“ svojstvima operacija, na njemu se rade rezultati koji se potom mogu jeftino replicirati. Koji linearni prostor treba da uzmemo “kao uzorak”? - Vidi kraj sljedećeg pasusa