So bestimmen Sie, ob Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind. Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren.
Basis von Vektoren. Affines Koordinatensystem

Im Auditorium gibt es einen Wagen mit Pralinen, und heute bekommt jeder Besucher ein süßes Paar – analytische Geometrie mit linearer Algebra. In diesem Artikel werden zwei Abschnitte der höheren Mathematik gleichzeitig behandelt, und wir werden sehen, wie sie in einem Umschlag nebeneinander existieren. Machen Sie eine Pause, essen Sie ein Twix! ...verdammt, was für ein Unsinn. Obwohl, okay, ich werde nicht punkten, am Ende sollte man eine positive Einstellung zum Lernen haben.

Lineare Abhängigkeit von Vektoren, lineare Vektorunabhängigkeit, Vektorbasis und andere Begriffe haben nicht nur eine geometrische Interpretation, sondern vor allem eine algebraische Bedeutung. Der Begriff „Vektor“ selbst ist aus Sicht der linearen Algebra nicht immer der „gewöhnliche“ Vektor, den wir auf einer Ebene oder im Raum darstellen können. Sie müssen nicht lange nach Beweisen suchen, sondern versuchen, einen Vektor eines fünfdimensionalen Raums zu zeichnen . Oder der Wettervektor, für den ich gerade zu Gismeteo gegangen bin: Temperatur bzw. Luftdruck. Das Beispiel ist aus Sicht der Eigenschaften des Vektorraums natürlich falsch, aber dennoch verbietet niemand die Formalisierung dieser Parameter als Vektor. Hauch des Herbstes...

Nein, ich werde Sie nicht mit der Theorie langweilen, lineare Vektorräume, die Aufgabe besteht darin verstehen Definitionen und Theoreme. Die neuen Begriffe (lineare Abhängigkeit, Unabhängigkeit, lineare Kombination, Basis usw.) gelten aus algebraischer Sicht für alle Vektoren, es werden jedoch geometrische Beispiele gegeben. Somit ist alles einfach, zugänglich und klar. Neben Problemen der analytischen Geometrie werden wir auch einige typische Algebraprobleme betrachten. Um den Stoff zu beherrschen, empfiehlt es sich, sich mit den Lektionen vertraut zu machen Vektoren für Dummies Und Wie berechnet man die Determinante?

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ebener Vektoren.
Ebenenbasis und affines Koordinatensystem

Betrachten wir die Ebene Ihres Computertisches (nur ein Tisch, ein Nachttisch, ein Boden, eine Decke, was auch immer Sie möchten). Die Aufgabe besteht aus folgenden Aktionen:

1) Ebenenbasis auswählen. Grob gesagt hat eine Tischplatte eine Länge und eine Breite, daher ist es intuitiv, dass zwei Vektoren erforderlich sind, um die Basis zu konstruieren. Ein Vektor ist eindeutig nicht genug, drei Vektoren sind zu viel.

2) Basierend auf der ausgewählten Basis Koordinatensystem festlegen(Koordinatengitter), um allen Objekten auf dem Tisch Koordinaten zuzuweisen.

Seien Sie nicht überrascht, die Erklärungen werden zunächst auf der Hand liegen. Darüber hinaus bei Ihnen. Bitte platzieren linker Zeigefinger auf die Kante der Tischplatte legen, sodass er auf den Monitor schauen kann. Dies wird ein Vektor sein. Jetzt platzieren rechter kleiner Finger auf die gleiche Weise an der Tischkante anbringen – so dass es auf den Bildschirm gerichtet ist. Dies wird ein Vektor sein. Lächle, du siehst toll aus! Was können wir über Vektoren sagen? Datenvektoren kollinear, was bedeutet linear sich gegenseitig zum Ausdruck bringen:
, nun ja, oder umgekehrt: , wobei eine von Null verschiedene Zahl ist.

Ein Bild dieser Aktion können Sie im Unterricht sehen. Vektoren für Dummies, wo ich die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl erklärt habe.

Werden Ihre Finger die Basis auf der Ebene des Computertisches festlegen? Offensichtlich nicht. Kollineare Vektoren bewegen sich hin und her allein Richtung, und eine Ebene hat Länge und Breite.

Solche Vektoren heißen linear abhängig.

Referenz: Die Wörter „linear“, „linear“ bezeichnen die Tatsache, dass es in mathematischen Gleichungen und Ausdrücken keine Quadrate, Kubikzahlen, andere Potenzen, Logarithmen, Sinus usw. gibt. Es gibt nur lineare (1. Grad) Ausdrücke und Abhängigkeiten.

Zwei ebene Vektoren linear abhängig genau dann, wenn sie kollinear sind.

Kreuzen Sie Ihre Finger auf dem Tisch, sodass zwischen ihnen ein beliebiger Winkel außer 0 oder 180 Grad entsteht. Zwei ebene Vektorenlinear Nicht abhängig genau dann, wenn sie nicht kollinear sind. Damit ist die Basis erhalten. Es besteht kein Grund, sich zu schämen, dass sich herausstellte, dass die Basis mit nicht senkrechten Vektoren unterschiedlicher Länge „schief“ war. Sehr bald werden wir sehen, dass für seine Konstruktion nicht nur ein Winkel von 90 Grad geeignet ist und nicht nur Einheitsvektoren gleicher Länge

Beliebig Ebenenvektor der einzige Weg wird entsprechend der Basis erweitert:
, wo sind reelle Zahlen. Die Nummern werden aufgerufen Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage.

Das wird auch gesagt Vektordargestellt als lineare Kombination Basisvektoren. Das heißt, der Ausdruck heißt Vektorzerlegungnach Basis oder lineare Kombination Basisvektoren.

Wir können beispielsweise sagen, dass der Vektor entlang einer orthonormalen Basis der Ebene zerlegt wird, oder wir können sagen, dass er als lineare Kombination von Vektoren dargestellt wird.

Lassen Sie uns formulieren Definition der Basis formal: Die Basis des Flugzeugs heißt ein Paar linear unabhängiger (nicht kollinearer) Vektoren, , dabei beliebig Ein Ebenenvektor ist eine lineare Kombination von Basisvektoren.

Ein wesentlicher Punkt der Definition ist die Tatsache, dass die Vektoren genommen werden in einer bestimmten Reihenfolge. Basen – das sind zwei völlig unterschiedliche Grundlagen! Wie man so schön sagt, kann man nicht den kleinen Finger der linken Hand durch den kleinen Finger der rechten Hand ersetzen.

Wir haben die Grundlage herausgefunden, aber es reicht nicht aus, ein Koordinatengitter festzulegen und jedem Gegenstand auf Ihrem Computertisch Koordinaten zuzuweisen. Warum reicht es nicht? Die Vektoren sind frei und wandern durch die gesamte Ebene. Wie ordnet man also den kleinen schmutzigen Stellen auf dem Tisch, die nach einem wilden Wochenende übrig bleiben, Koordinaten zu? Es braucht einen Ausgangspunkt. Und ein solcher Orientierungspunkt ist ein jedem bekannter Punkt – der Ursprung der Koordinaten. Lassen Sie uns das Koordinatensystem verstehen:

Ich beginne mit dem „Schul“-System. Schon in der Einführungslektion Vektoren für Dummies Ich habe einige Unterschiede zwischen dem rechtwinkligen Koordinatensystem und der Orthonormalbasis hervorgehoben. Hier ist das Standardbild:

Wenn sie darüber reden rechteckiges Koordinatensystem, dann bedeuten sie meistens den Ursprung, die Koordinatenachsen und den Maßstab entlang der Achsen. Versuchen Sie, „rechteckiges Koordinatensystem“ in eine Suchmaschine einzugeben, und Sie werden sehen, dass viele Quellen Ihnen Informationen zu Koordinatenachsen geben, die Sie aus der 5. bis 6. Klasse kennen, und wie Sie Punkte auf einer Ebene zeichnen.

Andererseits scheint es, dass ein rechtwinkliges Koordinatensystem vollständig auf der Grundlage einer Orthonormalbasis definiert werden kann. Und das ist fast wahr. Der Wortlaut lautet wie folgt:

Herkunft, Und orthonormal Die Basis ist gelegt Kartesisches rechtwinkliges Ebenenkoordinatensystem . Das heißt, das rechteckige Koordinatensystem definitiv wird durch einen einzelnen Punkt und zwei orthogonale Einheitsvektoren definiert. Deshalb sehen Sie die Zeichnung, die ich oben gegeben habe – bei geometrischen Problemen werden oft (aber nicht immer) sowohl Vektoren als auch Koordinatenachsen gezeichnet.

Ich denke, jeder versteht, dass man einen Punkt (Ursprung) und eine Orthonormalbasis verwendet JEDER PUNKT im Flugzeug und JEDER VEKTOR im Flugzeug Koordinaten können zugewiesen werden. Bildlich gesprochen: „Alles im Flugzeug kann nummeriert werden.“

Müssen Koordinatenvektoren Einheiten sein? Nein, sie können eine beliebige Länge ungleich Null haben. Betrachten Sie einen Punkt und zwei orthogonale Vektoren beliebiger Länge ungleich Null:

Eine solche Basis heißt senkrecht. Der Ursprung von Koordinaten mit Vektoren wird durch ein Koordinatengitter definiert, und jeder Punkt auf der Ebene, jeder Vektor hat seine Koordinaten auf einer bestimmten Basis. Zum Beispiel, oder. Der offensichtliche Nachteil besteht darin, dass die Koordinatenvektoren Im Algemeinen haben unterschiedliche Längen außer Eins. Wenn die Längen gleich eins sind, erhält man die übliche Orthonormalbasis.

! Notiz : In der orthogonalen Basis sowie weiter unten in den affinen Basen von Ebene und Raum werden Einheiten entlang der Achsen berücksichtigt BEDINGT. Eine Einheit entlang der x-Achse enthält beispielsweise 4 cm, eine Einheit entlang der Ordinatenachse enthält 2 cm. Diese Informationen reichen aus, um bei Bedarf „nicht standardmäßige“ Koordinaten in „unsere üblichen Zentimeter“ umzurechnen.

Und die zweite Frage, die eigentlich schon beantwortet wurde, ist, ob der Winkel zwischen den Basisvektoren gleich 90 Grad sein muss? Nein! Wie die Definition besagt, müssen die Basisvektoren sein nur nichtkollinear. Dementsprechend kann der Winkel alles außer 0 und 180 Grad betragen.

Ein Punkt auf der Ebene namens Herkunft, Und nichtkollinear Vektoren, , Satz affines Ebenenkoordinatensystem :

Manchmal wird ein solches Koordinatensystem aufgerufen schräg System. Die Zeichnung zeigt beispielhaft Punkte und Vektoren:

Wie Sie verstehen, ist das affine Koordinatensystem noch weniger praktisch; die Formeln für die Längen von Vektoren und Segmenten, die wir im zweiten Teil der Lektion besprochen haben, funktionieren darin nicht Vektoren für Dummies, viele köstliche Formeln im Zusammenhang mit Skalarprodukt von Vektoren. Aber die Regeln zum Addieren von Vektoren und zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl, Formeln zum Teilen eines Segments in dieser Beziehung sowie einige andere Arten von Problemen, die wir bald betrachten werden, sind gültig.

Und die Schlussfolgerung ist, dass der bequemste Sonderfall eines affinen Koordinatensystems das kartesische Rechtecksystem ist. Deshalb musst du sie am häufigsten sehen, meine Liebe. ...Allerdings ist alles in diesem Leben relativ - es gibt viele Situationen, in denen ein schiefer Winkel (oder ein anderer zum Beispiel) Polar-) Koordinatensystem. Und Humanoiden könnten solche Systeme gefallen =)

Kommen wir zum praktischen Teil. Alle Aufgaben dieser Lektion gelten sowohl für das rechtwinklige Koordinatensystem als auch für den allgemeinen affinen Fall. Hier gibt es nichts Kompliziertes; das gesamte Material ist auch für ein Schulkind zugänglich.

Wie bestimmt man die Kollinearität von Ebenenvektoren?

Typische Sache. Damit gibt es zwei ebene Vektoren kollinear wären, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um eine Koordinaten-für-Koordinaten-Detaillierung der offensichtlichen Beziehung.

Beispiel 1

a) Überprüfen Sie, ob die Vektoren kollinear sind .
b) Bilden die Vektoren eine Basis? ?

Lösung:
a) Finden wir heraus, ob es Vektoren gibt Proportionalitätskoeffizient, so dass die Gleichheiten erfüllt sind:

Ich werde Ihnen auf jeden Fall von der „foppigen“ Variante der Anwendung dieser Regel erzählen, die in der Praxis recht gut funktioniert. Die Idee besteht darin, sofort das Verhältnis zu ermitteln und zu prüfen, ob es korrekt ist:

Machen wir einen Anteil aus den Verhältnissen der entsprechenden Koordinaten der Vektoren:

Kürzen wir:
, also sind die entsprechenden Koordinaten proportional, also

Die Beziehung könnte auch umgekehrt erfolgen; dies ist eine äquivalente Option:

Zum Selbsttest können Sie die Tatsache nutzen, dass kollineare Vektoren linear durcheinander ausgedrückt werden. In diesem Fall finden die Gleichheiten statt . Ihre Gültigkeit lässt sich leicht durch elementare Operationen mit Vektoren überprüfen:

b) Zwei Ebenenvektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht kollinear (linear unabhängig) sind. Wir untersuchen Vektoren auf Kollinearität . Lassen Sie uns ein System erstellen:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass, aus der zweiten Gleichung folgt, was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die entsprechenden Koordinaten der Vektoren nicht proportional.

Abschluss: Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis.

Eine vereinfachte Version der Lösung sieht so aus:

Machen wir einen Anteil aus den entsprechenden Koordinaten der Vektoren :
, was bedeutet, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und eine Basis bilden.

Normalerweise wird diese Option von Gutachtern nicht abgelehnt, es entsteht jedoch ein Problem in Fällen, in denen einige Koordinaten gleich Null sind. So: . Oder so: . Oder so: . Wie geht man hier mit den Proportionen um? (tatsächlich kann man nicht durch Null dividieren). Aus diesem Grund habe ich die vereinfachte Lösung als „foppish“ bezeichnet.

Antwort: a) , b) bilden.

Ein kleines kreatives Beispiel für Ihre eigene Lösung:

Beispiel 2

Auf welchem ​​Wert des Parameters liegen die Vektoren? Werden sie kollinear sein?

In der Beispiellösung wird der Parameter durch den Anteil ermittelt.

Es gibt eine elegante algebraische Möglichkeit, Vektoren auf Kollinearität zu überprüfen. Systematisieren wir unser Wissen und fügen es als fünften Punkt hinzu:

Für zwei ebene Vektoren sind die folgenden Aussagen äquivalent:

2) die Vektoren bilden eine Basis;
3) die Vektoren sind nicht kollinear;

+ 5) Die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Determinante ist ungleich Null.

Jeweils, Die folgenden gegenteiligen Aussagen sind gleichwertig:
1) Vektoren sind linear abhängig;
2) Vektoren bilden keine Basis;
3) die Vektoren sind kollinear;
4) Vektoren können linear durcheinander ausgedrückt werden;
+ 5) Die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Determinante ist gleich Null.

Ich hoffe wirklich sehr, dass Sie alle Begriffe und Aussagen, die Ihnen begegnet sind, bereits verstanden haben.

Schauen wir uns den neuen, fünften Punkt genauer an: zwei ebene Vektoren sind genau dann kollinear, wenn die aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist:. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen Sie natürlich dazu in der Lage sein Determinanten finden.

Lass uns entscheiden Beispiel 1 auf die zweite Art:

a) Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten der Vektoren besteht :
, was bedeutet, dass diese Vektoren kollinear sind.

b) Zwei Ebenenvektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht kollinear (linear unabhängig) sind. Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten :
, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig sind und eine Basis bilden.

Antwort: a) , b) bilden.

Es sieht viel kompakter und hübscher aus als eine Lösung mit Proportionen.

Mit Hilfe des betrachteten Materials ist es möglich, nicht nur die Kollinearität von Vektoren festzustellen, sondern auch die Parallelität von Strecken und Geraden nachzuweisen. Betrachten wir einige Probleme mit bestimmten geometrischen Formen.

Beispiel 3

Die Eckpunkte eines Vierecks sind angegeben. Beweisen Sie, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist.

Nachweisen: Es ist nicht erforderlich, im Problem eine Zeichnung zu erstellen, da die Lösung rein analytischer Natur ist. Erinnern wir uns an die Definition eines Parallelogramms:
Parallelogramm Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind, heißt.

Somit ist zu beweisen:
1) Parallelität gegenüberliegender Seiten und;
2) Parallelität gegenüberliegender Seiten und.

Wir beweisen:

1) Finden Sie die Vektoren:

2) Finden Sie die Vektoren:

Das Ergebnis ist der gleiche Vektor („laut Schule“ – gleiche Vektoren). Kollinearität ist ziemlich offensichtlich, aber es ist besser, die Entscheidung klar und arrangiert zu formalisieren. Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten:
, was bedeutet, dass diese Vektoren kollinear sind, und .

Abschluss: Die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks sind paarweise parallel, es handelt sich also per Definition um ein Parallelogramm. Q.E.D.

Weitere gute und unterschiedliche Figuren:

Beispiel 4

Die Eckpunkte eines Vierecks sind angegeben. Beweisen Sie, dass ein Viereck ein Trapez ist.

Für eine strengere Formulierung des Beweises ist es natürlich besser, die Definition eines Trapezes zu erhalten, aber es reicht aus, sich einfach daran zu erinnern, wie es aussieht.

Dies ist eine Aufgabe, die Sie selbst lösen müssen. Vollständige Lösung am Ende der Lektion.

Und nun geht es langsam vom Flugzeug in den Weltraum:

Wie bestimmt man die Kollinearität von Raumvektoren?

Die Regel ist sehr ähnlich. Damit zwei Raumvektoren kollinear sind, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind.

Beispiel 5

Finden Sie heraus, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:

A) ;
B)
V)

Lösung:
a) Prüfen wir, ob es einen Proportionalitätskoeffizienten für die entsprechenden Koordinaten der Vektoren gibt:

Das System hat keine Lösung, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.

„Vereinfacht“ wird durch die Prüfung der Proportionen formalisiert. In diesem Fall:
– Die entsprechenden Koordinaten sind nicht proportional, das heißt, die Vektoren sind nicht kollinear.

Antwort: die Vektoren sind nicht kollinear.

b-c) Dies sind Punkte für eine unabhängige Entscheidung. Probieren Sie es auf zwei Arten aus.

Es gibt eine Methode zum Überprüfen räumlicher Vektoren auf Kollinearität mithilfe einer Determinante dritter Ordnung. Diese Methode wird im Artikel behandelt Vektorprodukt von Vektoren.

Ähnlich wie im ebenen Fall kann mit den betrachteten Werkzeugen die Parallelität von Raumsegmenten und Geraden untersucht werden.

Willkommen zum zweiten Abschnitt:

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren im dreidimensionalen Raum.
Raumbasis und affines Koordinatensystem

Viele der Muster, die wir im Flugzeug untersucht haben, gelten auch für den Weltraum. Ich habe versucht, die theoretischen Anmerkungen zu minimieren, da der Löwenanteil der Informationen bereits gekaut wurde. Ich empfehle Ihnen jedoch, den Einführungsteil sorgfältig zu lesen, da neue Begriffe und Konzepte auftauchen.

Anstelle der Ebene des Computertisches erkunden wir nun den dreidimensionalen Raum. Lassen Sie uns zunächst die Grundlage schaffen. Jemand ist jetzt drinnen, jemand ist draußen, aber auf jeden Fall können wir uns drei Dimensionen nicht entziehen: Breite, Länge und Höhe. Um eine Basis zu konstruieren, sind daher drei räumliche Vektoren erforderlich. Ein oder zwei Vektoren reichen nicht aus, der vierte ist überflüssig.

Und wieder wärmen wir uns an den Fingern auf. Bitte heben Sie Ihre Hand hoch und spreizen Sie sie in verschiedene Richtungen Daumen, Zeige- und Mittelfinger. Dies sind Vektoren, sie schauen in verschiedene Richtungen, haben unterschiedliche Längen und haben unterschiedliche Winkel zwischen ihnen. Herzlichen Glückwunsch, die Basis des dreidimensionalen Raums ist fertig! Übrigens ist es nicht nötig, dies den Lehrern zu demonstrieren, egal wie sehr man die Finger verdreht, aber an den Definitionen führt kein Weg vorbei =)

Stellen wir uns als Nächstes eine wichtige Frage: Bilden drei beliebige Vektoren eine Basis des dreidimensionalen Raums?? Bitte drücken Sie mit drei Fingern fest auf die Oberseite des Computertisches. Was ist passiert? Drei Vektoren liegen in derselben Ebene, und grob gesagt haben wir eine der Dimensionen verloren – die Höhe. Solche Vektoren sind koplanar und es ist ganz offensichtlich, dass die Grundlage des dreidimensionalen Raums nicht geschaffen ist.

Es ist zu beachten, dass koplanare Vektoren nicht in derselben Ebene liegen müssen, sondern in parallelen Ebenen liegen können (tun Sie dies nur nicht mit den Fingern, nur Salvador Dali hat dies getan =)).

Definition: Vektoren werden aufgerufen koplanar, wenn es eine Ebene gibt, zu der sie parallel sind. Es ist logisch, hier hinzuzufügen, dass die Vektoren nicht koplanar sind, wenn eine solche Ebene nicht existiert.

Drei koplanare Vektoren sind immer linear abhängig, das heißt, sie werden linear durcheinander ausgedrückt. Stellen wir uns der Einfachheit halber noch einmal vor, dass sie in derselben Ebene liegen. Erstens sind Vektoren nicht nur koplanar, sie können auch kollinear sein, sodass jeder Vektor durch jeden Vektor ausgedrückt werden kann. Im zweiten Fall, wenn beispielsweise die Vektoren nicht kollinear sind, wird der dritte Vektor auf einzigartige Weise durch sie ausgedrückt: (und warum, lässt sich anhand der Materialien im vorherigen Abschnitt leicht erraten).

Das Umgekehrte gilt auch: Drei nicht koplanare Vektoren sind immer linear unabhängig, das heißt, sie kommen in keiner Weise durcheinander zum Ausdruck. Und natürlich können nur solche Vektoren die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.

Definition: Die Grundlage des dreidimensionalen Raums heißt ein Tripel linear unabhängiger (nicht koplanarer) Vektoren, in einer bestimmten Reihenfolge aufgenommen und jeder Raumvektor der einzige Weg wird über eine gegebene Basis zerlegt, wobei die Koordinaten des Vektors in dieser Basis sind

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir auch sagen können, dass der Vektor in der Form dargestellt wird lineare Kombination Basisvektoren.

Das Konzept eines Koordinatensystems wird genauso eingeführt wie für den ebenen Fall; ein Punkt und drei beliebige linear unabhängige Vektoren genügen:

Herkunft, Und nicht koplanar Vektoren, in einer bestimmten Reihenfolge aufgenommen, Satz affines Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums :

Natürlich ist das Koordinatengitter „schräg“ und unpraktisch, aber das konstruierte Koordinatensystem erlaubt es uns dennoch definitiv Bestimmen Sie die Koordinaten eines beliebigen Vektors und die Koordinaten eines beliebigen Punktes im Raum. Ähnlich wie bei einer Ebene funktionieren einige Formeln, die ich bereits erwähnt habe, im affinen Koordinatensystem des Raums nicht.

Der bekannteste und praktischste Sonderfall eines affinen Koordinatensystems ist, wie jeder vermutet rechteckiges Raumkoordinatensystem:

Ein Punkt im Raum namens Herkunft, Und orthonormal Die Basis ist gelegt Kartesisches rechteckiges Raumkoordinatensystem . Bekanntes Bild:

Bevor wir zu praktischen Aufgaben übergehen, systematisieren wir die Informationen noch einmal:

Für drei Raumvektoren sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1) die Vektoren sind linear unabhängig;
2) die Vektoren bilden eine Basis;
3) die Vektoren sind nicht koplanar;
4) Vektoren können nicht linear durcheinander ausgedrückt werden;
5) Die Determinante, bestehend aus den Koordinaten dieser Vektoren, ist von Null verschieden.

Ich denke, die gegenteiligen Aussagen sind verständlich.

Die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Raumvektoren wird traditionell anhand einer Determinante überprüft (Punkt 5). Die übrigen praktischen Aufgaben werden einen ausgeprägten algebraischen Charakter haben. Es ist Zeit, den Geometrie-Stick an den Nagel zu hängen und den Baseballschläger der linearen Algebra zu schwingen:

Drei Raumvektoren sind genau dann koplanar, wenn die aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist: .

Ich möchte Sie auf eine kleine technische Nuance aufmerksam machen: Die Koordinaten von Vektoren können nicht nur in Spalten, sondern auch in Zeilen geschrieben werden (der Wert der Determinante ändert sich dadurch nicht - siehe Eigenschaften von Determinanten). Aber in Kolumnen ist es viel besser, da es für die Lösung einiger praktischer Probleme nützlicher ist.

Für diejenigen Leser, die die Methoden zur Berechnung von Determinanten ein wenig vergessen haben und vielleicht überhaupt kein Verständnis dafür haben, empfehle ich eine meiner ältesten Lektionen: Wie berechnet man die Determinante?

Beispiel 6

Prüfen Sie, ob die folgenden Vektoren die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden:

Lösung: Tatsächlich besteht die gesamte Lösung darin, die Determinante zu berechnen.

a) Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten (die Determinante wird in der ersten Zeile angezeigt):

, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig (nicht koplanar) sind und die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.

Antwort: Diese Vektoren bilden eine Basis

b) Dies ist ein Punkt für eine unabhängige Entscheidung. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es gibt auch kreative Aufgaben:

Beispiel 7

Bei welchem ​​Wert des Parameters sind die Vektoren koplanar?

Lösung: Vektoren sind genau dann koplanar, wenn die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist:

Im Wesentlichen müssen Sie eine Gleichung mit einer Determinante lösen. Wir stürzen uns auf Nullen wie Drachen auf Springmäuse – am besten öffnet man die Determinante in der zweiten Zeile und entfernt sofort die Minuspunkte:

Wir nehmen weitere Vereinfachungen vor und reduzieren den Sachverhalt auf die einfachste lineare Gleichung:

Antwort: bei

Dies lässt sich leicht überprüfen. Dazu müssen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Determinante einsetzen und sicherstellen, dass dies der Fall ist , es erneut öffnen.

Abschließend betrachten wir ein weiteres typisches Problem, das eher algebraischer Natur ist und traditionell in einem Kurs über lineare Algebra enthalten ist. Es kommt so häufig vor, dass es ein eigenes Thema verdient:

Beweisen Sie, dass 3 Vektoren die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden
und finden Sie die Koordinaten des 4. Vektors in dieser Basis

Beispiel 8

Es werden Vektoren angegeben. Zeigen Sie, dass Vektoren eine Basis im dreidimensionalen Raum bilden und ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis.

Lösung: Zuerst beschäftigen wir uns mit der Bedingung. Durch die Bedingung sind vier Vektoren gegeben, und wie Sie sehen können, haben sie in gewisser Weise bereits Koordinaten. Was diese Grundlage ist, interessiert uns nicht. Und folgendes ist von Interesse: Drei Vektoren können durchaus eine neue Basis bilden. Und die erste Stufe stimmt vollständig mit der Lösung von Beispiel 6 überein. Es muss überprüft werden, ob die Vektoren wirklich linear unabhängig sind:

Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten:

, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig sind und die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.

! Wichtig : Vektorkoordinaten Notwendig aufschreiben in Spalten Determinante, nicht in Strings. Andernfalls kommt es zu Verwirrung im weiteren Lösungsalgorithmus.

Das Vektorsystem heißt linear abhängig, wenn es Zahlen gibt, unter denen mindestens eine von Null verschieden ist, so dass die Gleichheit https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ist diese Gleichheit nur dann erfüllt, wenn alle , dann heißt das Vektorsystem linear unabhängig.

Satz. Das Vektorsystem wird sein linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer seiner Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.

Beispiel 1. Polynom ist eine lineare Kombination von Polynomen https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Die Polynome bilden seitdem ein linear unabhängiges System das Polynom https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Beispiel 2. Das Matrixsystem, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ist linear unabhängig, da eine lineare Kombination gleich ist Nullmatrix nur in dem Fall, wenn https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linear abhängig.

Lösung.

Lassen Sie uns eine lineare Kombination dieser Vektoren erstellen https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" Höhe=" 22">.

Wenn wir die gleichen Koordinaten gleicher Vektoren gleichsetzen, erhalten wir https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Endlich bekommen wir

Und

Das System hat eine eindeutige triviale Lösung, daher ist eine Linearkombination dieser Vektoren nur dann gleich Null, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind. Daher ist dieses Vektorsystem linear unabhängig.

Beispiel 4. Die Vektoren sind linear unabhängig. Wie werden die Vektorsysteme aussehen?

A).;

B).?

Lösung.

A). Machen wir eine Linearkombination und setzen sie mit Null gleich

Unter Verwendung der Eigenschaften von Operationen mit Vektoren im linearen Raum schreiben wir die letzte Gleichheit in der Form um

Da die Vektoren linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten at gleich Null sein, d. h..gif" width="12" height="23 src=">

Das resultierende Gleichungssystem hat eine einzigartige triviale Lösung .

Da Gleichberechtigung (*) wird nur ausgeführt, wenn https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linear unabhängig;

B). Machen wir eine Gleichheit https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Wenn wir eine ähnliche Argumentation anwenden, erhalten wir

Wenn wir das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode lösen, erhalten wir

oder

Das letztere System verfügt über unendlich viele Lösungen https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Somit gibt es eine nicht- Nullsatz von Koeffizienten, für den die Gleichheit gilt (**) . Daher das Vektorsystem – linear abhängig.

Beispiel 5 Ein Vektorsystem ist linear unabhängig und ein Vektorsystem ist linear abhängig..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

In Gleichheit (***) . Tatsächlich wäre das System bei , linear abhängig.

Aus der Beziehung (***) wir bekommen oder Bezeichnen wir .

Wir bekommen

Aufgaben zur selbstständigen Lösung (im Unterricht)

1. Ein System, das einen Nullvektor enthält, ist linear abhängig.

2. System bestehend aus einem Vektor A, ist genau dann linear abhängig, wenn, a=0.

3. Ein aus zwei Vektoren bestehendes System ist genau dann linear abhängig, wenn die Vektoren proportional sind (d. h. einer von ihnen wird aus dem anderen durch Multiplikation mit einer Zahl erhalten).

4. Wenn Sie einem linear abhängigen System einen Vektor hinzufügen, erhalten Sie ein linear abhängiges System.

5. Wenn ein Vektor aus einem linear unabhängigen System entfernt wird, ist das resultierende Vektorsystem linear unabhängig.

6. Wenn das System S ist linear unabhängig, wird aber durch Addition eines Vektors linear abhängig B, dann der Vektor B linear ausgedrückt durch Systemvektoren S.

C). Matrizensystem , , im Raum der Matrizen zweiter Ordnung.

10. Sei das Vektorsystem A,B,C Der Vektorraum ist linear unabhängig. Beweisen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Vektorsysteme:

A).a+bbc.

B).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– willkürliche Nummer

C).a+b, a+c, b+c.

11. Lassen A,B,C– drei Vektoren auf der Ebene, aus denen ein Dreieck gebildet werden kann. Werden diese Vektoren linear abhängig sein?

12. Es werden zwei Vektoren angegeben a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Finden Sie zwei weitere vierdimensionale Vektoren a3 unda4 damit das System a1,a2,a3,a4 war linear unabhängig .

In diesem Artikel behandeln wir:

• Was sind kollineare Vektoren?
• Was sind die Bedingungen für die Kollinearität von Vektoren?
• Welche Eigenschaften kollinearer Vektoren gibt es?
• Was ist die lineare Abhängigkeit kollinearer Vektoren?

Kollineare Vektoren sind Vektoren, die parallel zu einer Geraden sind oder auf einer Geraden liegen.

Beispiel 1

Bedingungen für die Kollinearität von Vektoren

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft:

• Bedingung 1 . Die Vektoren a und b sind kollinear, wenn es eine Zahl λ gibt, so dass a = λ b;
• Bedingung 2 . Die Vektoren a und b sind kollinear mit gleichen Koordinatenverhältnissen:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• Bedingung 3 . Die Vektoren a und b sind kollinear, vorausgesetzt, dass das Kreuzprodukt und der Nullvektor gleich sind:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Anmerkung 1

Bedingung 2 nicht anwendbar, wenn eine der Vektorkoordinaten Null ist.

Anmerkung 2

Bedingung 3 gilt nur für die Vektoren, die im Raum angegeben sind.

Beispiele für Probleme zur Untersuchung der Kollinearität von Vektoren

Wir untersuchen die Vektoren a = (1; 3) und b = (2; 1) auf Kollinearität.

Wie löst man?

In diesem Fall muss die 2. Kollinearitätsbedingung verwendet werden. Für gegebene Vektoren sieht es so aus:

Die Gleichheit ist falsch. Daraus können wir schließen, dass die Vektoren a und b nicht kollinear sind.

Antwort : ein | | B

Beispiel 2

Welcher Wert m des Vektors a = (1; 2) und b = (- 1; m) ist erforderlich, damit die Vektoren kollinear sind?

Wie löst man?

Unter Verwendung der zweiten Kollinearitätsbedingung sind Vektoren kollinear, wenn ihre Koordinaten proportional sind:

Dies zeigt, dass m = - 2.

Antwort: m = - 2 .

Kriterien für lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektorsystemen

Ein Vektorsystem in einem Vektorraum ist nur dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren des Systems durch die übrigen Vektoren dieses Systems ausgedrückt werden kann.

Nachweisen

Sei das System e 1 , e 2 , . . . , e n ist linear abhängig. Schreiben wir eine Linearkombination dieses Systems gleich dem Nullvektor:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

bei dem mindestens einer der Kombinationskoeffizienten ungleich Null ist.

Sei a k ​​≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N.

Wir dividieren beide Seiten der Gleichheit durch einen Koeffizienten ungleich Null:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Bezeichnen wir:

A k - 1 a m , wobei m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

In diesem Fall:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

oder e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Daraus folgt, dass einer der Vektoren des Systems durch alle anderen Vektoren des Systems ausgedrückt wird. Was genau bewiesen werden musste (usw.).

Angemessenheit

Einer der Vektoren sei linear durch alle anderen Vektoren des Systems ausgedrückt:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Wir verschieben den Vektor e k auf die rechte Seite dieser Gleichung:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Da der Koeffizient des Vektors e k gleich - 1 ≠ 0 ist, erhalten wir eine nichttriviale Darstellung von Null durch ein System von Vektoren e 1, e 2, . . . , e n , und das wiederum bedeutet, dass dieses Vektorsystem linear abhängig ist. Was genau bewiesen werden musste (usw.).

Folge:

• Ein Vektorsystem ist linear unabhängig, wenn keiner seiner Vektoren durch alle anderen Vektoren des Systems ausgedrückt werden kann.
• Ein Vektorsystem, das einen Nullvektor oder zwei gleiche Vektoren enthält, ist linear abhängig.

Eigenschaften linear abhängiger Vektoren

1. Für 2- und 3-dimensionale Vektoren gilt folgende Bedingung: Zwei linear abhängige Vektoren sind kollinear. Zwei kollineare Vektoren sind linear abhängig.
2. Für dreidimensionale Vektoren ist die folgende Bedingung erfüllt: Drei linear abhängige Vektoren sind koplanar. (3 koplanare Vektoren sind linear abhängig).
3. Für n-dimensionale Vektoren ist die folgende Bedingung erfüllt: n + 1 Vektoren sind immer linear abhängig.

Beispiele für die Lösung von Problemen mit linearer Abhängigkeit oder linearer Unabhängigkeit von Vektoren

Überprüfen wir die Vektoren a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 auf lineare Unabhängigkeit.

Lösung. Vektoren sind linear abhängig, da die Dimension der Vektoren kleiner ist als die Anzahl der Vektoren.

Beispiel 4

Überprüfen wir die Vektoren a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 auf lineare Unabhängigkeit.

Lösung. Wir finden die Werte der Koeffizienten, bei denen die Linearkombination gleich dem Nullvektor ist:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Wir schreiben die Vektorgleichung in linearer Form:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Wir lösen dieses System mit der Gaußschen Methode:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Von der 2. Zeile subtrahieren wir die 1., von der 3. - die 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Von der 1. Zeile subtrahieren wir die 2. Zeile, zur 3. Zeile addieren wir die 2. Zeile:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Aus der Lösung folgt, dass das System viele Lösungen hat. Dies bedeutet, dass es eine von Null verschiedene Kombination von Werten solcher Zahlen x 1, x 2, x 3 gibt, für die die Linearkombination von a, b, c gleich dem Nullvektor ist. Daher sind die Vektoren a, b, c linear abhängig. ​​​​​​​

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Lassen L ist ein beliebiger linearer Raum, a ich Î L,- seine Elemente (Vektoren).

Definition 3.3.1. Ausdruck , Wo , - beliebige reelle Zahlen, sogenannte Linearkombinationen Vektoren a 1 , a 2 ,…, a N.

Wenn der Vektor R = , dann sagen sie das R in Vektoren zerlegt a 1 , a 2 ,…, a N.

Definition 3.3.2. Eine Linearkombination von Vektoren heißt nicht trivial, wenn es unter den Zahlen mindestens eine ungleich Null gibt. Ansonsten heißt die Linearkombination trivial.

Definition 3.3.3 . Vektoren a 1 , a 2 ,…, a N heißen linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination von ihnen gibt, so dass

= 0 .

Definition 3.3.4. Vektoren a 1 ,a 2 ,…, a N heißen linear unabhängig, wenn die Gleichheit gilt = 0 ist nur möglich, wenn alle Zahlen vorhanden sind l 1, l 2,…, l n sind gleichzeitig gleich Null.

Beachten Sie, dass jedes von Null verschiedene Element a 1 aufgrund der Gleichheit als linear unabhängiges System betrachtet werden kann l a 1 = 0 nur möglich, wenn l= 0.

Satz 3.3.1. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die lineare Abhängigkeit a 1 , a 2 ,…, a N ist die Möglichkeit, mindestens eines dieser Elemente in den Rest zu zerlegen.

Nachweisen. Notwendigkeit. Seien die Elemente a 1 , a 2 ,…, a N linear abhängig. Das bedeutet es = 0 , und mindestens eine der Zahlen l 1, l 2,…, l n verschieden von Null. Lassen Sie es zur Gewissheit kommen l 1 ¹ 0. Dann

d.h. Element a 1 wird in Elemente a 2 , a 3 , …, a zerlegt N.

Angemessenheit. Lassen Sie das Element a 1 in die Elemente a 2 , a 3 , …, a zerlegen N, also a 1 = . Dann = 0 , daher gibt es eine nicht triviale Linearkombination von Vektoren a 1 , a 2 ,…, a N, gleich 0 Sie sind also linear abhängig .

Satz 3.3.2. Wenn mindestens eines der Elemente a 1 , a 2 ,…, a N Null, dann sind diese Vektoren linear abhängig.

Nachweisen . Lassen A N= 0 , dann = 0 , was die lineare Abhängigkeit dieser Elemente bedeutet.

Satz 3.3.3. Wenn unter n Vektoren irgendein p (S< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Nachweisen. Der Bestimmtheit halber seien die Elemente a 1 , a 2 ,…, a P linear abhängig. Das bedeutet, dass es eine solche nichttriviale Linearkombination gibt = 0 . Die angegebene Gleichheit bleibt erhalten, wenn wir das Element zu beiden Teilen hinzufügen. Dann + = 0 , und mindestens eine der Zahlen l 1, l 2,…, LP verschieden von Null. Daher Vektoren a 1 , a 2 ,…, a N sind linear abhängig.

Folgerung 3.3.1. Wenn n Elemente linear unabhängig sind, dann sind alle k davon linear unabhängig (k< n).

Satz 3.3.4. Wenn die Vektoren a 1 , a 2 ,…, a N- 1 sind linear unabhängig, und die Elemente a 1 , a 2 ,…, a N- 1, a n linear abhängig sind, dann der Vektor A n kann in Vektoren entwickelt werden a 1 , a 2 ,…, a N- 1 .

Nachweisen. Da nach Bedingung a 1 , a 2 ,…, A N- 1, a N linear abhängig sind, dann gibt es eine nichttriviale Linearkombination von ihnen = 0 , und (andernfalls sind die Vektoren a 1 , a 2 ,…, a linear abhängig N- 1). Aber dann der Vektor

Q.E.D.

Mit anderen Worten bedeutet die lineare Abhängigkeit einer Gruppe von Vektoren, dass es unter ihnen einen Vektor gibt, der durch eine Linearkombination anderer Vektoren in dieser Gruppe dargestellt werden kann.

Sagen wir. Dann

Daher der Vektor X linear abhängig von den Vektoren dieser Gruppe.

Vektoren X, j, ..., z heißen linear unabhängige Vektoren, wenn aus Gleichheit (0) folgt, dass

α=β= ...= γ=0.

Das heißt, Gruppen von Vektoren sind linear unabhängig, wenn kein Vektor durch eine Linearkombination anderer Vektoren in dieser Gruppe dargestellt werden kann.

Bestimmung der linearen Abhängigkeit von Vektoren

Gegeben seien m Stringvektoren der Ordnung n:

Nachdem wir eine Gaußsche Ausnahme gemacht haben, reduzieren wir die Matrix (2) auf die obere Dreiecksform. Die Elemente der letzten Spalte ändern sich nur, wenn die Zeilen neu angeordnet werden. Nach m Eliminierungsschritten erhalten wir:

Wo ich 1 , ich 2 , ..., ich m – Zeilenindizes, die aus einer möglichen Zeilenumordnung erhalten werden. Betrachtet man die resultierenden Zeilen aus den Zeilenindizes, schließen wir diejenigen aus, die dem Nullzeilenvektor entsprechen. Die übrigen Linien bilden linear unabhängige Vektoren. Beachten Sie, dass Sie beim Zusammenstellen der Matrix (2) durch Ändern der Reihenfolge der Zeilenvektoren eine weitere Gruppe linear unabhängiger Vektoren erhalten können. Aber der Unterraum, den diese beiden Vektorgruppen bilden, fällt zusammen.