Schreiben Sie den Satz über die Impulsänderung auf. Dynamik der Relativbewegung

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Kurze Review

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Bewegungsmenge

Impuls eines materiellen Punktes - eine Vektorgröße, die dem Produkt aus der Masse eines Punktes und seinem Geschwindigkeitsvektor entspricht.

Die Maßeinheit für den Impuls ist (kg m/s).

Impuls des mechanischen Systems - Eine Vektorgröße, die der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses eines mechanischen Systems entspricht, ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts.

Wenn sich ein Körper (oder ein System) so bewegt, dass sein Massenschwerpunkt stationär ist, dann ist der Betrag der Bewegung des Körpers gleich Null (z. B. Drehung des Körpers um eine feste Achse, die durch den Massenschwerpunkt des Körpers verläuft). ).

Im Fall einer komplexen Bewegung charakterisiert der Bewegungsbetrag des Systems nicht den Rotationsteil der Bewegung, wenn es um den Massenschwerpunkt rotiert. Das heißt, der Bewegungsbetrag charakterisiert nur die Translationsbewegung des Systems (zusammen mit dem Massenschwerpunkt).

Impulskraft

Der Impuls einer Kraft charakterisiert die Wirkung einer Kraft über einen bestimmten Zeitraum.

Kraftimpuls über einen endlichen Zeitraum ist definiert als Integralsumme der entsprechenden Elementarimpulse.

Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes

(in Differentialformen e ):

Die zeitliche Ableitung des Impulses eines materiellen Punktes ist gleich der geometrischen Summe der auf die Punkte wirkenden Kräfte.

(V integrale Form ):

Die Impulsänderung eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der in diesem Zeitraum auf den Punkt ausgeübten Kraftimpulse.

Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems

(in Differentialform ):

Die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

(in integraler Form ):

Die Impulsänderung eines Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der Impulse äußerer Kräfte, die während dieses Zeitraums auf das System einwirken.

Der Satz ermöglicht es, offensichtlich unbekannte Schnittgrößen von der Betrachtung auszuschließen.

Der Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems und der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts sind zwei verschiedene Formen desselben Satzes.

Gesetz der Impulserhaltung eines Systems

Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ist der Impulsvektor des Systems in Richtung und Größe konstant.
Wenn die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses auf diese Achse ein konstanter Wert.

Schlussfolgerungen:

Erhaltungssätze besagen, dass innere Kräfte den gesamten Bewegungsumfang des Systems nicht verändern können.
Der Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems charakterisiert nicht die Rotationsbewegung eines mechanischen Systems, sondern nur die translatorische.

Ein Beispiel sei gegeben: Bestimmen Sie den Impuls einer Scheibe einer bestimmten Masse, wenn ihre Winkelgeschwindigkeit und Größe bekannt sind.

Berechnungsbeispiel eines Stirnradgetriebes
Ein Beispiel für die Berechnung eines Stirnradgetriebes. Die Materialauswahl, die Berechnung der zulässigen Spannungen, die Berechnung der Kontakt- und Biegefestigkeit wurden durchgeführt.

Ein Beispiel für die Lösung eines Balkenbiegeproblems
Im Beispiel wurden Diagramme der Querkräfte und Biegemomente erstellt, ein gefährlicher Abschnitt gefunden und ein I-Träger ausgewählt. Das Problem analysierte die Konstruktion von Diagrammen unter Verwendung differenzieller Abhängigkeiten und führte eine vergleichende Analyse verschiedener Balkenquerschnitte durch.

Ein Beispiel für die Lösung eines Wellentorsionsproblems
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit einer Stahlwelle bei gegebenem Durchmesser, Material und zulässiger Beanspruchung zu testen. Bei der Lösung werden Diagramme von Drehmomenten, Schubspannungen und Verdrehwinkeln erstellt. Das Eigengewicht der Welle wird nicht berücksichtigt

Ein Beispiel für die Lösung eines Spannungs-Druck-Problems einer Stange
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit eines Stabstahls bei vorgegebenen zulässigen Spannungen zu prüfen. Bei der Lösung werden Diagramme der Längskräfte, Normalspannungen und Verschiebungen erstellt. Das Eigengewicht der Rute wird nicht berücksichtigt

Anwendung des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes anhand vorgegebener Bewegungsgleichungen
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes anhand gegebener Bewegungsgleichungen

Bestimmung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers bei planparalleler Bewegung
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Bestimmung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers bei planparalleler Bewegung

Bestimmung der Kräfte in den Stäben eines Flachfachwerks
Ein Beispiel für die Lösung des Problems der Bestimmung der Kräfte in den Stäben eines Flachfachwerks mit der Ritter-Methode und der Methode zum Schneiden von Knoten

Anwendung des Satzes über die Drehimpulsänderung
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems unter Verwendung des Satzes über die Änderung des kinetischen Impulses zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit eines Körpers, der sich um eine feste Achse dreht.

Differentialgleichung der Bewegung eines materiellen Punktes unter Krafteinfluss F kann in der folgenden Vektorform dargestellt werden:

Da die Masse eines Punktes M als konstant angenommen wird, dann kann sie unter dem Ableitungszeichen eingegeben werden. Dann

Formel (1) drückt den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in Differentialform aus: Die erste zeitliche Ableitung des Impulses eines Punktes ist gleich der auf den Punkt wirkenden Kraft.

In Projektionen auf Koordinatenachsen kann (1) dargestellt werden als

Wenn beide Seiten (1) mit multipliziert werden dt, dann erhalten wir eine andere Form desselben Satzes – den Impulssatz in Differentialform:

diese. Das Differential des Impulses eines Punktes ist gleich dem Elementarimpuls der auf den Punkt wirkenden Kraft.

Wenn wir beide Teile von (2) auf die Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir

Wenn wir beide Teile von (2) von Null bis t integrieren (Abb. 1), erhalten wir

Wo ist die Geschwindigkeit des Punktes im Moment? T; - Geschwindigkeit bei T = 0;

S- Kraftimpuls im Laufe der Zeit T.

Ein Ausdruck in der Form (3) wird oft als Impulssatz in endlicher (oder integraler) Form bezeichnet: Die Änderung des Impulses eines Punktes über einen beliebigen Zeitraum ist gleich dem Kraftimpuls über denselben Zeitraum.

In Projektionen auf Koordinatenachsen lässt sich dieser Satz in folgender Form darstellen:

Für einen materiellen Punkt unterscheidet sich der Satz über die Impulsänderung in keiner der Formen im Wesentlichen nicht von den Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes.

Satz über die Impulsänderung eines Systems

Die Bewegungsgröße des Systems wird als Vektorgröße bezeichnet Q, gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) der Bewegungsgrößen aller Punkte des Systems.

Betrachten Sie ein System bestehend aus N materielle Punkte. Lassen Sie uns Differentialgleichungen der Bewegung für dieses System aufstellen und sie Term für Term addieren. Dann erhalten wir:

Die letzte Summe ist aufgrund der Eigenschaft der Schnittgrößen gleich Null. Außerdem,

Schließlich finden wir:

Gleichung (4) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in Differentialform aus: Die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

Lassen Sie uns einen anderen Ausdruck für den Satz finden. Lass den Moment herein T= 0 ist die Bewegungsmenge des Systems Q 0, und im Moment der Zeit t 1 wird gleich F 1. Dann multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichheit (4) mit dt und durch Integration erhalten wir:

Oder wo:

(S-Kraftimpuls)

da die Integrale auf der rechten Seite Impulse äußerer Kräfte geben,

Gleichung (5) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in Integralform aus: Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der Summe der Impulse äußerer Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf das System einwirken.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen erhalten wir:

Gesetz der Impulserhaltung

Aus dem Satz über die Impulsänderung eines Systems lassen sich folgende wichtige Folgerungen ableiten:

1. Die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte sei gleich Null:

Dann folgt aus Gleichung (4) in diesem Fall Q = konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ist der Impulsvektor des Systems in Größe und Richtung konstant.

2. 01Die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte seien so, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B. Ox) gleich Null sei:

Aus den Gleichungen (4`) folgt dann in diesem Fall das Q = konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe der Projektionen aller einwirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Bewegungsbetrags des Systems auf diese Achse ein konstanter Wert.

Diese Ergebnisse drücken aus Gesetz der Impulserhaltung eines Systems. Daraus folgt, dass innere Kräfte den Gesamtbetrag der Bewegung des Systems nicht verändern können.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

· Phänomen über die Rückkehr der Rolle. Wenn wir das Gewehr und das Geschoss als ein System betrachten, dann ist der Druck der Pulvergase während eines Schusses eine innere Kraft. Diese Kraft kann den Gesamtimpuls des Systems nicht verändern. Da aber die Pulvergase, die auf das Geschoss einwirken, ihm eine bestimmte nach vorne gerichtete Bewegung verleihen, müssen sie dem Gewehr gleichzeitig die gleiche Bewegung in die entgegengesetzte Richtung verleihen. Dadurch bewegt sich das Gewehr rückwärts, d.h. die sogenannte Rückkehr. Ein ähnliches Phänomen tritt beim Abfeuern einer Waffe auf (Rollback).

· Bedienung des Propellers (Propeller). Der Propeller versetzt eine bestimmte Luft- (oder Wassermasse) entlang der Propellerachse in Bewegung und wirft diese Masse zurück. Wenn wir die geschleuderte Masse und das Flugzeug (oder Schiff) als ein System betrachten, können die Wechselwirkungskräfte zwischen dem Propeller und der Umgebung als interne Kräfte die Gesamtbewegung dieses Systems nicht verändern. Wenn also eine Masse Luft (Wasser) zurückgeschleudert wird, erhält das Flugzeug (oder Schiff) eine entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit, so dass die Gesamtbewegungsmenge des betrachteten Systems gleich Null bleibt, da sie vor Beginn der Bewegung Null war .

Ein ähnlicher Effekt wird durch die Wirkung von Rudern oder Schaufelrädern erzielt.

· R e c t i v e-Antrieb. In einer Rakete werden gasförmige Produkte der Treibstoffverbrennung mit hoher Geschwindigkeit aus dem Loch im Heck der Rakete (von der Strahltriebwerksdüse) ausgestoßen. Die in diesem Fall wirkenden Druckkräfte sind innere Kräfte und können den Gesamtimpuls des Raketen-Pulver-Gassystems nicht verändern. Da aber die austretenden Gase eine gewisse Rückwärtsbewegung haben, erhält die Rakete eine entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit.

Satz der Momente um eine Achse.

Betrachten Sie den materiellen Massenpunkt M, sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F. Finden wir dafür die Beziehung zwischen den Momenten der Vektoren mV Und F relativ zu einer festen Z-Achse.

m z (F) = xF - yF (7)

Ebenso für den Wert m(mV), wenn herausgenommen M wird außerhalb der Klammern stehen

M z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Wenn wir die Ableitungen nach der Zeit von beiden Seiten dieser Gleichheit bilden, finden wir

Auf der rechten Seite des resultierenden Ausdrucks ist die erste Klammer seitdem gleich 0 dx/dt=V und dó/dt = V, die zweite Klammer nach Formel (7) ist gleich

mz(F), denn nach dem Grundgesetz der Dynamik gilt:

Schließlich haben wir (8)

Die resultierende Gleichung drückt den Satz der Momente um die Achse aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments eines Punktes relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich dem Moment der wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse. Ein ähnlicher Satz gilt für Momente um jedes Zentrum O.

Das im Satz diskutierte System kann jedes mechanische System sein, das aus beliebigen Körpern besteht.

Aussage des Theorems

Der Bewegungsbetrag (Impuls) eines mechanischen Systems ist eine Größe, die der Summe der Bewegungsbeträge (Impulse) aller im System enthaltenen Körper entspricht. Der Impuls äußerer Kräfte, die auf die Körper des Systems einwirken, ist die Summe der Impulse aller äußeren Kräfte, die auf die Körper des Systems wirken.

( kg m/s)

Der Satz über die Impulsänderung eines Systemzustandes

Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls äußerer Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf das System einwirken.

Gesetz der Impulserhaltung eines Systems

Wenn die Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte Null ist, dann ist der Bewegungsbetrag (Impuls) des Systems eine konstante Größe.

, Wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Differentialform:

Nachdem beide Seiten der resultierenden Gleichheit über einen willkürlich gewählten Zeitraum zwischen einigen und einigen integriert wurden, wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in integraler Form:

Gesetz der Impulserhaltung (Gesetz der Impulserhaltung) besagt, dass die Vektorsumme der Impulse aller Körper des Systems ein konstanter Wert ist, wenn die Vektorsumme der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist.

(Impulsmoment m 2 kg s −1)

Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zum Zentrum

Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Kraftmoment, das auf den Punkt relativ zu demselben Mittelpunkt wirkt.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zu einer Achse

Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

dk X /dt = M X (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Betrachten Sie einen wesentlichen Punkt M Masse M , sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F (Abbildung 3.1). Schreiben wir den Vektor des Drehimpulses (kinetischer Impuls) auf und konstruieren ihn. M 0 Materialpunkt relativ zur Mitte Ö :

Differenzieren wir den Ausdruck für den Drehimpuls (kinetisches Moment). k 0) nach Zeit:

Als DR /dt = V , dann das Vektorprodukt V ⊗ M ⋅ V (kollineare Vektoren V Und M ⋅ V ) ist gleich Null. Gleichzeitig dm ⋅ V) /dt = F nach dem Satz über den Impuls eines materiellen Punktes. Deshalb verstehen wir das

dk 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Wo R ⊗F = M 0 (F ) – Vektormoment der Kraft F relativ zu einem festen Mittelpunkt Ö . Vektor k 0 ⊥ Ebene ( R , M ⊗V ) und der Vektor M 0 (F ) ⊥ Ebene ( R ,F ), haben wir endlich

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Gleichung (3.4) drückt den Satz über die Änderung des Drehimpulses (Drehimpuls) eines materiellen Punktes relativ zum Mittelpunkt aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Kraftmoment, das auf den Punkt relativ zu demselben Mittelpunkt wirkt.

Wenn wir die Gleichung (3.4) auf die Achsen der kartesischen Koordinaten projizieren, erhalten wir

dk X /dt = M X (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Gleichungen (3.5) drücken den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetischer Impuls) eines materiellen Punktes relativ zur Achse aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

Betrachten wir die Konsequenzen, die sich aus den Sätzen (3.4) und (3.5) ergeben.

Folgerung 1. Betrachten Sie den Fall, wenn die Kraft F Während der gesamten Bewegung verläuft der Punkt durch das stationäre Zentrum Ö (Fall zentraler Kraft), d.h. Wann M 0 (F ) = 0. Dann folgt aus Satz (3.4). k 0 = const ,

diese. Bei einer Zentralkraft bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum dieser Kraft in Betrag und Richtung konstant (Abbildung 3.2).

Abbildung 3.2

Vom Zustand her k 0 = const Daraus folgt, dass die Flugbahn eines sich bewegenden Punktes eine flache Kurve ist, deren Ebene durch den Mittelpunkt dieser Kraft verläuft.

Folgerung 2. Lassen M z (F ) = 0, d.h. Kraft kreuzt die Achse z oder parallel dazu. In diesem Fall gilt, wie aus der dritten Gleichung (3.5) hervorgeht, k z = const ,

diese. Wenn das auf einen Punkt relativ zu einer festen Achse wirkende Kraftmoment immer Null ist, bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) des Punktes relativ zu dieser Achse konstant.

Beweis des Satzes über die Impulsänderung

Das System bestehe aus materiellen Punkten mit Massen und Beschleunigungen. Wir unterteilen alle auf die Körper des Systems wirkenden Kräfte in zwei Typen:

Äußere Kräfte sind Kräfte, die von Körpern ausgehen, die nicht zum betrachteten System gehören. Die Resultierende äußerer Kräfte, die auf einen materiellen Punkt mit Zahl wirken ich bezeichnen wir

Innere Kräfte sind die Kräfte, mit denen die Körper des Systems selbst miteinander interagieren. Die Kraft, mit der man auf den Punkt mit der Zahl einwirkt ich Der Punkt mit der Nummer ist gültig k, wir bezeichnen , und die Kraft des Einflusses ich Punkt auf k Punkt - . Offensichtlich, wann dann

Unter Verwendung der eingeführten Notation schreiben wir das zweite Newtonsche Gesetz für jeden der betrachteten materiellen Punkte im Formular

Bedenkt, dass und wenn wir alle Gleichungen des zweiten Newtonschen Gesetzes zusammenfassen, erhalten wir:

Der Ausdruck stellt die Summe aller im System wirkenden Schnittgrößen dar. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz entspricht in dieser Summe jeder Kraft eine Kraft, so dass sie gilt Da die gesamte Summe aus solchen Paaren besteht, ist die Summe selbst Null. So können wir schreiben

Unter Verwendung der Notation für den Impuls des Systems erhalten wir

Durch Berücksichtigung der Änderung des Impulses äußerer Kräfte , erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Differentialform:

Somit lässt sich aus jeder der zuletzt erhaltenen Gleichungen feststellen: Eine Impulsänderung des Systems erfolgt nur durch die Einwirkung äußerer Kräfte, innere Kräfte können diesen Wert jedoch nicht beeinflussen.

Nachdem wir beide Seiten der resultierenden Gleichheit über ein willkürlich genommenes Zeitintervall zwischen einigen und integriert haben, erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Integralform:

wobei und die Werte des Bewegungsumfangs des Systems zu bestimmten Zeitpunkten bzw. der Impuls äußerer Kräfte über einen bestimmten Zeitraum sind. In Übereinstimmung mit dem zuvor Gesagten und den eingeführten Notationen,

Da die Masse eines Punktes und seine Beschleunigung konstant sind, kann die Gleichung, die das Grundgesetz der Dynamik ausdrückt, in der Form dargestellt werden

Die Gleichung drückt gleichzeitig den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in Differentialform aus: Zeitableitung Der Impuls eines Punktes ist gleich der geometrischen Summe der auf den Punkt wirkenden Kräfte.

Integrieren wir diese Gleichung. Lassen Sie die Masse zeigen M, sich unter Krafteinfluss bewegend (Abb. 15), hat im Moment T=0 Geschwindigkeit und im Moment T 1-Gang.

Abb.15

Dann multiplizieren wir beide Seiten der Gleichheit mit und bilden daraus bestimmte Integrale. In diesem Fall liegen rechts, wo die Integration über die Zeit erfolgt, die Grenzen der Integrale bei 0 und T 1, und auf der linken Seite, wo die Geschwindigkeit integriert wird, sind die Grenzen des Integrals die entsprechenden Werte von Geschwindigkeit und . Da das Integral von gleich ist , dann erhalten wir als Ergebnis:

Die Integrale rechts stellen die Impulse der wirkenden Kräfte dar. Deshalb werden wir endlich haben:

Die Gleichung drückt den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in endgültiger Form aus: Die Impulsänderung eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der Impulse aller Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf den Punkt einwirken ( Reis. 15).

Bei der Lösung von Problemen werden häufig Gleichungen in Projektionen anstelle von Vektorgleichungen verwendet.

Im Falle einer geradlinigen Bewegung entlang der Achse Oh Der Satz wird durch die erste dieser Gleichungen ausgedrückt.

Fragen zum Selbsttest

Formulieren Sie die Grundgesetze der Mechanik.

Welche Gleichung nennt man Grundgleichung der Dynamik?

Was ist das Maß für die Trägheit fester Körper während der Translationsbewegung?

Hängt das Gewicht eines Körpers von seinem Standort auf der Erde ab?

Welches Bezugssystem heißt Inertialsystem?

Auf welchen Körper wirkt die Trägheitskraft eines materiellen Punktes und wie lauten ihr Modul und ihre Richtung?

Erklären Sie den Unterschied zwischen den Konzepten „Trägheit“ und „Trägheitskraft“?

Auf welche Körper wirkt die Trägheitskraft, wie ist sie gerichtet und nach welcher Formel kann sie berechnet werden?

Was ist das Prinzip der Kinetostatik?

Welche Module und Richtungen haben die Tangential- und Normalträgheitskräfte eines materiellen Punktes?

Wie nennt man das Körpergewicht? Was ist die SI-Einheit der Masse?

Was ist das Maß für die Trägheit eines Körpers?

Das Grundgesetz der Dynamik in Vektor- und Differentialform aufschreiben?

Auf einen materiellen Punkt wirkt eine konstante Kraft. Wie bewegt sich der Punkt?

Welche Beschleunigung erhält ein Punkt, wenn auf ihn eine Kraft einwirkt, die doppelt so groß ist wie die Schwerkraft?

Nach der Kollision zweier materieller Punkte mit Massen M 1 =6 kg und M 2 =24 kg Der erste Punkt erhielt eine Beschleunigung von 1,6 m/s. Welche Beschleunigung erhält der zweite Punkt?

Bei welcher Bewegung eines materiellen Punktes ist seine tangentiale Trägheitskraft gleich Null und bei welcher Bewegung ist sie normal?

Mit welchen Formeln werden die Module der Rotations- und Zentrifugalkräfte der Trägheit eines Punktes berechnet, der zu einem starren Körper gehört, der sich um eine feste Achse dreht?

Wie ist das Grundgesetz der Punktdynamik formuliert?

Geben Sie die Formulierung des Gesetzes der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung an.

Schreiben Sie die Differentialgleichungen der Bewegung eines materiellen Punktes in Vektor- und Koordinatenform auf.

Formulieren Sie den Kern des ersten und zweiten Hauptproblems der Punktdynamik.

Geben Sie die Bedingungen an, unter denen die Integrationskonstanten der Differentialgleichungen der Bewegung eines materiellen Punktes bestimmt werden.

Welche Dynamikgleichungen werden als natürliche Bewegungsgleichungen eines materiellen Punktes bezeichnet?

Was sind die beiden Hauptprobleme der Punktdynamik, die durch differentielle Bewegungen eines materiellen Punktes gelöst werden?

Differentialgleichungen der Bewegung eines freien materiellen Punktes.

Wie werden Konstanten bei der Integration von Differentialgleichungen der Bewegung eines materiellen Punktes bestimmt?

Bestimmung der Werte beliebiger Konstanten, die bei der Integration von Differentialgleichungen der Bewegung eines materiellen Punktes auftreten.

Was sind die Gesetze des freien Falls eines Körpers?

Nach welchen Gesetzmäßigkeiten laufen die horizontalen und vertikalen Bewegungen eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers im Raum ab? Wie ist die Flugbahn seiner Bewegung und in welchem Winkel hat der Körper die größte Flugreichweite?

Wie berechnet man den Impuls einer variablen Kraft über einen endlichen Zeitraum?

Wie nennt man den Impuls eines materiellen Punktes?

Wie lässt sich die Elementararbeit einer Kraft durch den Elementarweg des Angriffspunktes der Kraft ausdrücken und wie - durch die Erhöhung der Bogenkoordinate dieses Punktes?

Bei welchen Verschiebungen ist die Arbeit der Schwerkraft: a) positiv, b) negativ, c) Null?

Wie berechnet man die Kraft einer Kraft, die auf einen materiellen Punkt ausgeübt wird, der sich mit Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse dreht?

Formulieren Sie einen Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes.

Unter welchen Bedingungen ändert sich der Impuls eines materiellen Punktes nicht? Unter welchen Bedingungen ändert sich seine Projektion auf eine bestimmte Achse nicht?

Formulieren Sie den Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes in differentieller und endlicher Form.

Wie nennt man den Drehimpuls eines materiellen Punktes relativ zu: a) dem Mittelpunkt, b) der Achse?

Wie wird der Satz über die Drehimpulsänderung eines Punktes relativ zum Mittelpunkt und relativ zur Achse formuliert?

Unter welchen Bedingungen bleibt der Drehimpuls eines Punktes relativ zur Achse unverändert?

Wie wird der Drehimpuls eines materiellen Punktes relativ zum Mittelpunkt und relativ zur Achse bestimmt? Welche Beziehung besteht zwischen ihnen?

An welcher Stelle des Impulsvektors eines materiellen Punktes ist sein Moment relativ zur Achse gleich Null?

Warum liegt die Flugbahn eines materiellen Punktes, der sich unter dem Einfluss einer Zentralkraft bewegt, in derselben Ebene?

Welche Bewegung eines Punktes nennt man geradlinig? Schreiben Sie die Differentialgleichung für die geradlinige Bewegung eines materiellen Punktes auf.

Schreiben Sie die Differentialgleichungen der ebenen Bewegung eines materiellen Punktes auf.

Welche Bewegung eines materiellen Punktes wird durch Lagrange-Differentialgleichungen erster Art beschrieben?

In welchen Fällen wird ein materieller Punkt als unfrei bezeichnet und wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen dieses Punktes?

Geben Sie Definitionen von stationären und instationären, holonomen und nichtholonomen Verbindungen an.

Welche Verbindungen werden als bilateral bezeichnet? Einseitig?

Was ist das Wesen des Prinzips der Befreiung von Bindungen?

Welche Form haben die Bewegungsdifferentialgleichungen eines unfreien materiellen Punktes in Lagrange-Form? Was nennt man den Lagrange-Multiplikator?

Geben Sie die Formulierung des Coriolis-Dynamiksatzes an.

Was ist die Essenz des Galileo-Newton-Relativitätsprinzips?

Nennen Sie die Bewegungen, bei denen die Coriolis-Trägheitskraft Null ist.

Welchen Modul und welche Richtung haben die Übertragungs- und Coriolis-Trägheitskräfte?

Was ist der Unterschied zwischen den Differentialgleichungen der relativen und absoluten Bewegung eines materiellen Punktes?

Wie werden die Übertragungs- und Coriolis-Trägheitskräfte in verschiedenen Fällen einer Übertragungsbewegung bestimmt?

Was ist die Essenz des Relativitätsprinzips der klassischen Mechanik?

Welche Bezugssysteme werden als Inertialsysteme bezeichnet?

Was ist die Bedingung für die relative Ruhe eines materiellen Punktes?

An welchen Punkten der Erdoberfläche ist die Schwerkraft am größten und am geringsten?

Was erklärt die Abweichung fallender Körper nach Osten?

In welche Richtung wird ein vertikal geworfener Körper abgelenkt?

Mit Beschleunigung wird ein Eimer in den Schacht abgesenkt A=4 m/s 2. Schwerkraft des Eimers G=2 kN. Bestimmen Sie die Spannkraft des Seils, das die Wanne trägt?

Zwei Materialpunkte bewegen sich geradlinig mit konstanten Geschwindigkeiten von 10 und 100 m/s. Können wir sagen, dass auf diese Punkte äquivalente Kräftesysteme wirken?

1) es ist unmöglich;

Auf zwei Materialpunkte mit der Masse 5 und 15 kg werden gleiche Kräfte ausgeübt. Vergleichen Sie die Zahlenwerte der Beschleunigung dieser Punkte?

1) die Beschleunigungen sind gleich;

2) Die Beschleunigung eines Punktes mit einer Masse von 15 kg ist dreimal geringer als die Beschleunigung eines Punktes mit einer Masse von 5 kg.

Können Dynamikprobleme mithilfe von Gleichgewichtsgleichungen gelöst werden?

Lassen Sie einen materiellen Punkt sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F. Es ist erforderlich, die Bewegung dieses Punktes relativ zum bewegten System zu bestimmen Oxyz(siehe komplexe Bewegung eines materiellen Punktes), der sich in bekannter Weise relativ zu einem stationären System bewegt Ö 1 X 1 j 1 z 1 .

Grundgleichung der Dynamik in einem stationären System

Schreiben wir die absolute Beschleunigung eines Punktes mit dem Coriolis-Theorem auf

Wo A Abs– absolute Beschleunigung;

A rel– relative Beschleunigung;

A Fahrbahn– tragbare Beschleunigung;

A Kern– Coriolis-Beschleunigung.

Schreiben wir (25) unter Berücksichtigung von (26) um.

Lassen Sie uns die Notation einführen
- tragbare Trägheitskraft,
- Coriolis-Trägheitskraft. Dann nimmt Gleichung (27) die Form an

Die Grundgleichung der Dynamik zur Untersuchung relativer Bewegungen (28) wird auf die gleiche Weise wie für absolute Bewegungen geschrieben, nur dass zu den auf einen Punkt wirkenden Kräften die Übertragungs- und Corioliskräfte der Trägheit addiert werden müssen.

Allgemeine Sätze zur Dynamik eines materiellen Punktes

Bei der Lösung vieler Probleme können Sie vorgefertigte Rohlinge verwenden, die auf der Grundlage des zweiten Newtonschen Gesetzes erstellt wurden. Solche Problemlösungsmethoden werden in diesem Abschnitt zusammengefasst.

Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes

Lassen Sie uns die folgenden dynamischen Eigenschaften einführen:

1. Impuls eines materiellen Punktes– Vektorgröße gleich dem Produkt aus der Masse eines Punktes und seinem Geschwindigkeitsvektor

. (29)

2. Kraftimpuls

Elementarer Kraftimpuls– Vektorgröße gleich dem Produkt des Kraftvektors und eines elementaren Zeitintervalls

(30).

Dann Voller Schwung

. (31)

Bei F=const erhalten wir S=Ft.

Der Gesamtimpuls für eine endliche Zeitspanne kann nur in zwei Fällen berechnet werden, wenn die auf einen Punkt wirkende Kraft konstant ist oder von der Zeit abhängt. In anderen Fällen ist es notwendig, die Kraft als Funktion der Zeit auszudrücken.

Die Gleichheit der Dimensionen Impuls (29) und Impuls (30) ermöglicht es uns, einen quantitativen Zusammenhang zwischen ihnen herzustellen.

Betrachten wir die Bewegung eines materiellen Punktes M unter Einwirkung einer willkürlichen Kraft F entlang einer beliebigen Flugbahn.

UM UD:
. (32)

Wir trennen die Variablen in (32) und integrieren

. (33)

Als Ergebnis erhalten wir unter Berücksichtigung von (31).

. (34)

Gleichung (34) drückt den folgenden Satz aus.

Satz: Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft, die im gleichen Zeitintervall auf den Punkt einwirkt.

Bei der Lösung von Problemen muss Gleichung (34) auf die Koordinatenachsen projiziert werden

Dieser Satz ist praktisch anzuwenden, wenn zu den gegebenen und unbekannten Größen die Masse eines Punktes, seine Anfangs- und Endgeschwindigkeit, Kräfte und Bewegungszeit gehören.

Satz über die Drehimpulsänderung eines materiellen Punktes

M
Impulsmoment eines materiellen Punktes relativ zur Mitte ist gleich dem Produkt des Impulsmoduls des Punktes und der Schulter, d.h. der kürzeste Abstand (senkrecht) vom Mittelpunkt zur Linie, die mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammenfällt

, (36)

. (37)

Der Zusammenhang zwischen dem Kraftmoment (Ursache) und dem Impulsmoment (Wirkung) wird durch den folgenden Satz hergestellt.

Sei der Punkt M einer gegebenen Masse M bewegt sich unter Krafteinwirkung F.

,
,

, (38)

. (39)

Berechnen wir die Ableitung von (39)

. (40)

Durch die Kombination von (40) und (38) erhalten wir schließlich

. (41)

Gleichung (41) drückt den folgenden Satz aus.

Satz: Die zeitliche Ableitung des Drehimpulsvektors eines materiellen Punktes relativ zu einem bestimmten Mittelpunkt ist gleich dem Moment der Kraft, die auf den Punkt relativ zu demselben Mittelpunkt wirkt.

Bei der Lösung von Problemen muss Gleichung (41) auf die Koordinatenachsen projiziert werden

In den Gleichungen (42) werden die Impuls- und Kraftmomente relativ zu den Koordinatenachsen berechnet.

Aus (41) folgt Gesetz der Drehimpulserhaltung (Keplersches Gesetz).

Wenn das Kraftmoment, das auf einen materiellen Punkt relativ zu einem beliebigen Zentrum wirkt, Null ist, behält der Drehimpuls des Punktes relativ zu diesem Zentrum seine Größe und Richtung bei.

Wenn
, Das
.

Der Satz und das Erhaltungsgesetz werden bei Problemen mit krummliniger Bewegung verwendet, insbesondere unter Einwirkung zentraler Kräfte.