Formulieren Sie den Drehimpulserhaltungssatz. §2

Die Gesetze zur Erhaltung der kinetischen Energie und des Impulses konkurrierten lange Zeit miteinander und beanspruchten eine führende Rolle, da weder das eine noch das andere Gesetz eine strenge Begründung hat. Allerdings vermuten Wissenschaftler schon lange die Existenz eines Zusammenhangs zwischen ihnen, wie H. Huygens (1629-1695) erwähnte. Laut Huygens bedeutet dieser Zusammenhang, dass die Erhaltung der mechanischen Energie in jedem gleichförmig bewegten System die Erhaltung des Impulses mit sich bringt. Daher sind Wissenschaftler nach langer Debatte zu dem Schluss gekommen, dass diese Gesetze gleichwertig sind. So äußerte sich d’Alembert beispielsweise zu diesem Thema wie folgt: „Jedem Menschen muss die Freiheit gegeben werden, dieses Problem nach eigenem Ermessen zu lösen.“ Darüber hinaus ist die aufgeworfene Frage nichts weiter als ein völlig fruchtloser metaphysischer Streit über Worte, der der Aufmerksamkeit von Philosophen unwürdig ist.“
Der Zusammenhang zwischen den Gesetzen der Erhaltung der kinetischen Energie und des Impulses wurde von W. Pauli (1900-1958) hergestellt. Um diesen Zusammenhang zu beweisen, nutzt er die Idee von Huygens. Wir zitieren aus: „In einem System aus kollidierenden Teilchen mit Massen ändern sich die Geschwindigkeiten der Teilchen nach Stößen in Geschwindigkeiten.“ Die Energieerhaltung wird durch die Gleichung ausgedrückt:

Lassen Sie das System zusätzlich an Geschwindigkeit gewinnen V. Die Teilchengeschwindigkeiten vor dem Aufprall sind nun gleich , und nach dem Aufprall, und die Energieerhaltung wird nun durch die Beziehung ausgedrückt:
,

Somit:

Geschwindigkeit V- ist willkürlich, daher ist die schriftliche Gleichheit nur gültig, wenn:

Mit anderen Worten: Der Impuls des Systems vor der Kollision der Teilchen, gleich dem Ausdruck links, bleibt nach der Kollision erhalten.“
Wir werden dieses Thema aufgrund seiner besonderen Bedeutung auch am Beispiel der Kollision von Bällen betrachten, jedoch in einer etwas anderen Interpretation (Abb. 1).
Lassen Sie die Kugeln sich in einem beliebigen Trägheitsbezugssystem bewegen X-j in die gleiche Richtung (Abb. 1,a) mit Geschwindigkeiten und . Nach dem Aufprall nehmen die Geschwindigkeiten der Kugeln die Werte und an. Gemäß dem Energieerhaltungssatz gilt folgender Ausdruck:
, (1)

Betrachten Sie nun die relative Bewegung und nehmen Sie eine der Kugeln als Bezugssystem. Dazu nutzen wir das Prinzip der Bewegungsumkehr, das heißt, wir geben beiden Kugeln beispielsweise die gleiche Geschwindigkeit, was dazu führt, dass die erste Kugel stoppt, da ihre Gesamtgeschwindigkeit Null ist. Die Geschwindigkeit des zweiten Balls entspricht der Relativgeschwindigkeit:
(2)
Der Erhaltungssatz der kinetischen Energie hat in diesem Fall die Form:
(3)

(4)
Wenn wir die Gleichungen (1) und (4) gemeinsam lösen, erhalten wir den Ausdruck:
, (5)

(7)
Damit erhält man ein interessantes Ergebnis: Der Impulserhaltungssatz folgt aus dem Energieerhaltungssatz. Es ist auch zu beachten, dass das erzielte Ergebnis nicht von der Wahl des Referenzsystems abhängt.
Wenn wir die Gegenbewegung der Kugeln betrachten (Abb. 1, b), dann sollte, um das richtige Ergebnis zu erhalten, die Geschwindigkeit von der Geschwindigkeit abgezogen werden, d. h. die Relativgeschwindigkeit sollte gemäß Ausdruck (2) ermittelt werden. , obwohl, wie aus der Abbildung ersichtlich ist, diese Geschwindigkeiten addiert werden sollten. Dieser Umstand ist darauf zurückzuführen, dass die Bewegungsgeschwindigkeiten aller Körper Vektoren sind, was bedeutet, dass sie auch bei Subtraktion ihrer Werte aufsummiert werden können.
Daher sollten die Ausdrücke (2), (5) und (7) als Vektorausdrücke betrachtet werden.
Wenn wir die Ausdrücke (1) und (5) sowie (3) und (7) zusammen lösen, finden wir die Geschwindigkeiten der Kugeln nach dem Aufprall, indem wir sie als Vektoren betrachten:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Mithilfe dieser Ausdrücke ermitteln wir die relativen Geschwindigkeiten der Kugeln nach dem Aufprall:
; (12)
(13)
Bei einem elastischen Aufprall ändern die Relativgeschwindigkeiten der Kugeln also nur ihre Richtung.
Ausdruck (1), der den Energieerhaltungssatz charakterisiert, kann in einer anderen Form dargestellt werden:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• Daraus folgt, dass die von der ersten Kugel aufgenommene Energie gleich der von der zweiten Kugel abgegebenen Energie ist.

Wenn wir die Werte der Geschwindigkeiten und in die Ausdrücke (7) und (8) einsetzen, erhalten wir:
; (19)
(20)
Sehen wir uns nun an, wie der Zusammenhang zwischen den Gesetzen der Energie- und Impulserhaltung für einen komplexeren Fall eines Aufpralls erfüllt wird – einen Schrägaufprall, bei dem die Geschwindigkeiten sich bewegender Kugeln in einem Winkel zueinander gerichtet sind (Abb. 2). . In der Abbildung sind die Kugeln getrennt, um ihre Geschwindigkeitsmuster besser darzustellen. Wir gehen davon aus, dass die Geschwindigkeit mit der Richtung der Achse übereinstimmt X.
Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Methode der Bewegungsumkehr, indem wir beiden Kugeln eine Geschwindigkeit geben, d. h. als Bezugssystem für die Relativbewegung wählen wir die erste Kugel aus, deren Gesamtgeschwindigkeit gleich Null ist. Nehmen wir zur Vereinfachung des Problems außerdem an, dass die resultierende Geschwindigkeit entlang der Linie gerichtet ist, die die Mittelpunkte der Kugeln verbindet. Anschließend wird mit den bekannten Werten der Geschwindigkeiten für die zweite Kugel ein Parallelogramm konstruiert, mit dessen Hilfe ein Zusammenhang zwischen diesen Geschwindigkeiten und der Geschwindigkeit in Relativbewegung hergestellt wird und auch der Winkel ermittelt werden kann, da der Winkel ist gegeben.
Unter Verwendung eines Parallelogramms erhalten wir unter Verwendung des Kosinussatzes den Ausdruck:
(21)

• was wir in die Form umwandeln:

(22)
Aus dieser Gleichung ermitteln wir die Geschwindigkeit der Relativbewegung vor Beginn des Aufpralls:
(23)
Der Winkel, der die Richtung des Vektors charakterisiert, ergibt sich aus dem Ausdruck, der mit dem Kosinussatz erhalten wird:
, (24)

• Woher bekommen wir:

(25)
Somit erhalten wir als Ergebnis der durchgeführten Operationen die übliche Kollision einer sich bewegenden und stationären Kugel in Richtung ihrer Mittelpunktslinie mit einer anfänglichen Relativgeschwindigkeit .
Bevor wir die Geschwindigkeiten der Kugeln nach ihrem Zusammenstoß bestimmen, stellen wir einen Zusammenhang zwischen den kinetischen Energien der Kugeln in absoluter und relativer Bewegung her:
; (26)
(27)
Als
(28)

• Dementsprechend werden andere Geschwindigkeiten in der Relativbewegung bestimmt:

; (29)
(30)
Wenn wir diese Werte der Relativgeschwindigkeiten in Ausdruck (27) einsetzen, erhalten wir:
(31)
Indem wir den Geschwindigkeitsunterschied um zwei reduzieren und ihn quadrieren, transformieren wir den Ausdruck (31) in die Form:
, (32)

Durch Hinzufügen zum ersten Term auf der rechten Seite des Ausdrucks können Sie die Terme ausschließen, die Ausdruck (26) entsprechen, wodurch Ausdruck (32) die Form annimmt:
(33)
Wenn wir diesen Ausdruck reduzieren und die Begriffe gruppieren, erhalten wir:
(34)
Nach Bestimmung der Geschwindigkeiten und gemäß den Ausdrücken (28) – (32):
(35)

• und indem wir sie in den Ausdruck (34) einsetzen, transformieren wir ihn in die Form:

(36)
Damit haben wir einen Zusammenhang zwischen den Gesetzen der Energie- und Impulserhaltung in der absoluten und relativen Bewegung von Kugeln während eines Schrägaufpralls hergestellt.
Wenn wir die Gleichungen (27) und (36) zusammen lösen, finden wir die Geschwindigkeiten der Kugeln in ihrer Relativbewegung:
; (37)
, (38)

Beim Lösen von Gleichungen, um eine Lösung in Vektorform zu erhalten, sollten die Quadrate der Geschwindigkeiten als Skalarprodukt zweier identischer Vektoren dargestellt werden.
Die Geschwindigkeiten der Kugeln in absoluter Bewegung können mithilfe des Kosinussatzes aus den in Abb. 2 dargestellten Parallelogrammen ermittelt werden.
Für den ersten Ball wird das Geschwindigkeitsmodul durch den Ausdruck bestimmt:
, (39)

• Woher bekommen wir:

(40)
Für den zweiten Ball ist das Geschwindigkeitsmodul gleich:
, (41)

• Wo können wir es finden:

(42)
Die Winkel und , die die Richtungen der Vektoren und in Bezug auf die Vektoren charakterisieren und werden auch mit dem Kosinussatz ermittelt:
; (43)
(44)
Wenn wir die Werte der Geschwindigkeiten und aus den Formeln (39) und (41) in diese Ausdrücke einsetzen, erhalten wir:
; (45)
(46)
Um die erhaltenen Lösungen zu überprüfen, können Sie die Werte der kinetischen Energie der Kugeln nach dem Aufprall ermitteln, da ihre Energie vor dem Aufprall gleich war:
, (47)

• und nach dem Treffer wird es sein:

(48)
Wenn wir die Werte der quadrierten Geschwindigkeiten in Ausdruck (48) und aus den Ausdrücken (39) und (41) einsetzen, erhalten wir:
(49)
Jetzt verwenden wir die Werte der Geschwindigkeitsmodule und aus den Ausdrücken (37) und (38):
(50)
Wenn wir den Wert des Geschwindigkeitsmoduls gemäß Formel (23) in diesen Ausdruck einsetzen und Transformationen durchführen, erhalten wir letztendlich das, d. h. das Gesetz der Energieerhaltung wird erfüllt.
Betrachten wir nun den unelastischen Stoß zweier Kugeln. Dabei wird ein Teil der Energie für Strukturveränderungen (inelastische Verformungen der Kugeln) und deren Erwärmung, also eine Änderung der inneren Energie, aufgewendet. Daher werden die Ausdrücke der Energieerhaltungssätze in zwei Referenzsystemen die Form annehmen:
; (51)
(52)

Indem wir dieses Gleichungssystem gemeinsam lösen, erhalten wir den Impulserhaltungssatz in seiner üblichen Form:
, (53)

• das heißt, Energieverluste bei der Wechselwirkung von Körpern haben keinen Einfluss auf die Form dieses Gesetzes.

Mithilfe der Gleichungen (51) und (53) ermitteln wir die Geschwindigkeiten der Kugeln nach ihrem inelastischen Stoß:
; (54)
(55)
Offensichtlich haben die Ausdrücke (54) und (55) nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn der Wurzelausdruck einen positiven Wert hat. Aus dieser Bedingung können Sie den Wert ermitteln, bei dem das Gesetz der Impulserhaltung noch erfüllt ist, indem Sie den Radikalausdruck mit Null gleichsetzen:
(56)

, (57)

(58)
Die Ausdrücke (54) und (56) können unter Berücksichtigung der Formel (57) wie folgt dargestellt werden:
; (59)
, (60)

(61)
Bei relativer Bewegung nehmen die Ausdrücke für Geschwindigkeiten die Form an:
; (62)
(63)
Aus den obigen Ausdrücken folgt, dass die Geschwindigkeiten der Kugeln gleich sind und sie sich gemeinsam als Einheit bewegen.
Wenn der Koeffizient größer als eins ist, ist der Radikalausdruck negativ und die Ausdrücke für Geschwindigkeiten verlieren ihre physikalische Bedeutung. Da sich die Kugeln bei als eine Einheit bewegen, reicht eine Gleichung aus, um die Geschwindigkeit ihrer Bewegung zu bestimmen. Wenn Sie immer noch den Impulserhaltungssatz anwenden können, sollten Sie nur den Energieerhaltungssatz verwenden, obwohl in diesem Fall mathematisch gesehen der Impulserhaltungssatz erfüllt ist. Somit sind dem Gesetz der Impulserhaltung Grenzen in seiner Anwendung gesetzt. Dies bestätigt einmal mehr die vorrangige Rolle des Energieerhaltungssatzes gegenüber dem Impulserhaltungssatz. Grundsätzlich ist es jedoch möglich, dass die Werte des Koeffizienten nicht größer als eins sein können, dann gelten immer beide Gesetze, diese Aussage bedarf jedoch einer experimentellen Überprüfung.
Da sich die Kugeln als Ganzes mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, hat das Energieerhaltungsgesetz die Form:
, (64)

• wobei gemäß Ausdruck (61)

(65)
Wenn wir Gleichung (64) lösen, erhalten wir:
(66)

• oder in Relativbewegung:

(67)
Wenn die gesamte Aufprallenergie für Verluste aufgewendet wird, d. h. wenn die Beziehung erfüllt ist:
, (68)

(69)
Zwar bleiben Zweifel bestehen, ob ein solcher Fall tatsächlich möglich ist.
In §5 des ersten Kapitels wurde gezeigt, dass das Ausmaß der Bewegung die Trägheit eines Körpers charakterisiert und durch das Verhältnis, also das Verhältnis der Änderung der kinetischen Energie des Körpers und der Änderung seiner Geschwindigkeit, bestimmt wird . Im Zusammenhang mit dieser Definition der Trägheit eines Körpers lässt sich eine weitere Schlussfolgerung zum Impulserhaltungssatz ziehen. Dazu verwenden wir die Ausdrücke (15), (17) und (18) und dividieren sie durch die Änderung der Geschwindigkeit des ersten Körpers: :
(70)
Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck in die Form umwandeln:
(71)
Verwendung des Geschwindigkeitsverhältnisses (12) in der Form:
, (72)

• Lassen Sie uns den Ausdruck (71) in die Form umwandeln:

(73)

• Daraus folgt das Gesetz der Impulserhaltung:

Die Gesetze der Energie- und Impulserhaltung werden häufig zur Lösung verschiedener Probleme der Mechanik verwendet. Angesichts der Tatsache, dass diese Gesetze integral sind, da sie die Zustände von Körpern nur vor und nach ihrer Wechselwirkung berücksichtigen, nicht jedoch im Moment der Wechselwirkung selbst, besteht die Gefahr, dass die physikalische Bedeutung der Gesetze verloren geht Interaktion selbst, wobei die Erklärung dieser physikalischen Bedeutung aufgrund mangelnden Verständnisses vermieden wird, obwohl das Endergebnis korrekt sein wird.
Beweisen wir diese Aussage am Beispiel der Bewegung eines Bootes, wenn eine Person darin einen Stein ins Wasser wirft (Abb. 3). Es besteht kein Zweifel, dass sich das Boot entgegen der Wurfrichtung bewegen wird. Zur Lösung des Problems wird das Gesetz der Impulserhaltung verwendet, das unter Berücksichtigung der Richtung der Geschwindigkeiten die Form hat:
, (74)

, (75)

• Das heißt, je größer die Masse des Steins und seine Geschwindigkeit, desto größer ist die Geschwindigkeit des Bootes.

Wenn man Mechaniklehrer fragt, aus welchem ​​Grund sich ein Boot bewegt, werden die meisten von ihnen antworten, dass sich das Boot bewegt, weil das Gesetz der Impulserhaltung erfüllt sein muss. Sie geben eine solche Antwort, weil sie die eigentliche Ursache der Bewegung nicht erklären können, obwohl sie genau wissen, dass Bewegung nur unter dem Einfluss von Kraft stattfinden kann. Welche Kraft bringt das Boot also in Bewegung?
Hier müssen wir natürlich die Interaktion zwischen den menschlichen Händen und dem Stein im Moment des Werfens verstehen. Der einzige Grund für das Auftreten von Kraft, die auf eine Person und durch sie auf das Boot einwirkt, ist der Aufprall des Steins. Diese Kraft tritt auf, wenn sich der Stein im Moment des Wurfs beschleunigt bewegt. Dann verformt es sich und es entstehen elastische Kräfte, die auf die Hände der Person einwirken. Diese Kräfte sind, wie wir bereits wissen, Trägheitskräfte und ihre Größe entspricht dem Produkt aus der Masse des Steins und seiner Beschleunigung. Man kann auch sagen, dass sich eine Person von einem Stein abstößt. Die Lösung dieses Problems mit dem zweiten Newtonschen Gesetz ist jedoch nahezu unmöglich, da wir die Beschleunigung des Steins im Moment des Wurfs nicht ermitteln können. Die Geschwindigkeit seiner Bewegung in den ersten Momenten der Bewegung ist viel einfacher zu ermitteln. Die Verwendung integraler Bewegungsgesetze vereinfacht daher die Lösung vieler Probleme der Mechanik erheblich. Allerdings sollte man das physikalische Wesen der betrachteten Phänomene nicht vergessen. In diesem Fall wird die mathematische Kraft der integralen Erhaltungssätze noch deutlicher zum Vorschein kommen.
Betrachten wir nun ein komplexeres Problem der Bewegung eines Wagens, auf dem sich zwei Lasten befinden, die sich in verschiedene Richtungen mit derselben Winkelgeschwindigkeit drehen (Abb. 4). Dieses Problem wird auch mit dem Impulserhaltungssatz gelöst:
, (76)

Aus Ausdruck (76) folgt:
, (77)

• das heißt, der Wagen führt harmonische Schwingungen aus. Doch was ist der Grund für diese Schwankungen? Man kann nicht sagen, dass der Wagen dem Gesetz der Impulserhaltung gehorcht. Eine Kraft muss den Wagen zum Schwingen bringen, aber welche Kraft? Der einzige Kandidat für diese Rolle kann nur die Zentrifugalkraft der Trägheit sein, die auf rotierende Lasten wirkt:

(78)
Unter dem Einfluss zweier Trägheitskräfte bewegt sich der Wagen entlang der Achse j. Die Art der Bewegung des Wagens kann mithilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes ermittelt werden:
(79)
Die Geschwindigkeit des Wagens wird durch die Integration dieses Ausdrucks bestimmt:
, (80)

• Wo MIT– Integrationskonstante.

Um die Geschwindigkeit des Wagens zu bestimmen, müssen Anfangsbedingungen verwendet werden. Hier entsteht jedoch ein Problem: Wie hoch wird die Geschwindigkeit des Wagens sein? Nehmen wir an, dass der ungesicherte Wagen und die Lasten im ersten Moment stationär waren und die Lasten dann sofort mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit in Rotation versetzt wurden, d. h. es wird keinen Übergangsmodus der Bewegung geben. Somit nimmt die Größe der Trägheitskräfte sofort den durch Ausdruck (78) bestimmten Endwert an. Unter dem Einfluss von Trägheitskräften müsste sich der Wagen sofort in eine positive Richtung bewegen. Allerdings ist zu bedenken, dass mit dem augenblicklichen Auftreten der Bewegungsgeschwindigkeit der Lasten eine theoretisch unendliche, praktisch aber sehr große Beschleunigung in Achsenrichtung auftritt j, wenn die Lasten entlang der Achse angeordnet wären X und die entsprechende Trägheitskraft in die entgegengesetzte Richtung, die dazu führt, dass sich der Wagen in seiner Wirkungsrichtung in der negativen Richtung der Achse bewegt j Das heißt, es wird tatsächlich Auswirkungen auf den Warenkorb geben.
Nehmen wir an, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens gleich ist, dann erhalten wir aus Gleichung (80):
,

• Wo finden wir die Integrationskonstante? MIT:

(81)
Dementsprechend beträgt die Geschwindigkeit des Wagens:
(82)
Durch Integration dieses Ausdrucks ermitteln wir die Verschiebung des Wagens entlang der Achse j:
(83)
Unter den gegebenen Bedingungen ist die Bewegung des Wagens harmonisch, daher muss der Ausdruck in Klammern gleich Null sein. Dann nimmt das Bewegungsgesetz des Wagens die Form an:
, (84)

(85)
Dann wird die Geschwindigkeit des Wagens als Funktion des Drehwinkels aus Ausdruck (80) bestimmt:
,

• was dem Ausdruck (77) entspricht.

Allerdings ist auch eine zweite Lösung dieses Problems möglich, wenn wir davon ausgehen, dass der Wagen zunächst feststeht und die Lasten mit konstanter Geschwindigkeit rotieren. Dann nehmen die Lasten eine Position entlang der Achse ein X, der Wagen wird freigegeben. Unter solchen Bedingungen wirken die Trägheitskräfte in Richtung der Achse j wird fehlen, da sich der Wert der Rotationsgeschwindigkeit der Lasten nicht ändert und daher keine Auswirkungen auf den Wagen in der negativen Richtung der Achse auftreten j und seine Anfangsgeschwindigkeit wird Null sein. Dann folgt aus Gleichung (80) die Integrationskonstante MIT wird gleich sein:
, (86)

• Daher hat die Geschwindigkeit des Wagens als Funktion der Zeit die Form:

(87)
Wenn wir diesen Ausdruck über die Zeit integrieren, finden wir die Bewegung des Wagens entlang der y-Achse:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Somit erfolgt die periodisch wechselnde Projektion der Trägheitskräfte der Lasten auf die Achse j lässt den Wagen harmonische Schwingungen ausführen und sich sogar entlang der Achse bewegen j abhängig von den anfänglichen Fahrbedingungen. Ein ungesicherter Wagen führt nur harmonische Schwingungen aus, während ein fixierter und dann losgelassener Wagen eine geradlinige Bewegung ausführt, der harmonische Schwingungen überlagert sind.
Die von uns durchgeführte Analyse wäre ohne Berücksichtigung der auf den Wagen wirkenden Kräfte, in diesem Fall der Trägheitskräfte, unmöglich gewesen. Wenn die Bewegung des Wagens durch die Notwendigkeit erklärt wird, das Gesetz der Impulserhaltung zu erfüllen, dann bedeutet dies, dass zur Sache nichts gesagt wird. Daher empfiehlt es sich, die Anwendung von Erhaltungssätzen mit einer detaillierten Kraftanalyse des betrachteten Problems zu kombinieren.

Aus dem Satz über die Impulsänderung eines Systems lassen sich folgende wichtige Konsequenzen ziehen.

1. Die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte sei gleich Null:

Aus Gleichung (20) folgt dann, dass in diesem Fall, wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, der Impulsvektor des Systems in Größe und Richtung konstant ist.

2. Die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte seien so, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B. ) gleich Null ist:

Dann folgt aus den Gleichungen (20) in diesem Fall: Wenn also die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses des Systems auf diese Achse ein konstanter Wert.

Diese Ergebnisse drücken das Gesetz der Impulserhaltung des Systems aus. Daraus folgt, dass innere Kräfte das Ausmaß der Bewegung des Systems nicht verändern können. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Das Phänomen des Rückstoßes oder Rückstoßes. Wenn wir das Gewehr und das Geschoss als ein System betrachten, dann ist der Druck der Pulvergase während eines Schusses eine innere Kraft. Diese Kraft kann den Bewegungsumfang des Systems nicht verändern, der dem Schuss des Geschosses entspricht. Da aber die Pulvergase, die auf das Geschoss einwirken, ihm eine bestimmte nach vorne gerichtete Bewegung verleihen, müssen sie dem Gewehr gleichzeitig die gleiche Bewegung in die entgegengesetzte Richtung verleihen. Dadurch bewegt sich das Gewehr nach hinten, was als Rückstoß bezeichnet wird. Ein ähnliches Phänomen tritt beim Abfeuern einer Waffe auf (Rollback).

Betrieb des Propellers (Propeller). Der Propeller versetzt eine bestimmte Luft- (oder Wassermasse) entlang der Propellerachse in Bewegung und wirft diese Masse zurück. Wenn wir die geschleuderte Masse und das Flugzeug (oder Schiff) als ein System betrachten, können die Wechselwirkungskräfte zwischen dem Propeller und der Umgebung als interne Kräfte die Gesamtbewegung dieses Systems nicht verändern. Wenn also eine Masse Luft (Wasser) zurückgeschleudert wird, erhält das Flugzeug (oder Schiff) eine entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit, so dass die gesamte Bewegungsmenge des betrachteten Systems gleich Null bleibt, da sie vor Beginn der Bewegung Null war .

Ein ähnlicher Effekt wird durch die Wirkung von Rudern oder Schaufelrädern erzielt.

Strahlantrieb. In einer Rakete (Rakete) werden gasförmige Verbrennungsprodukte des Treibstoffs mit hoher Geschwindigkeit aus einer Öffnung im Heck der Rakete (aus der Raketentriebwerksdüse) ausgestoßen. Die in diesem Fall wirkenden Druckkräfte sind innere Kräfte und können den Impuls des Raketensystems – der Treibstoffverbrennungsprodukte – nicht verändern. Da aber die austretenden Gase eine gewisse Bewegung nach hinten haben, erhält die Rakete eine entsprechende nach vorne gerichtete Geschwindigkeit. Die Höhe dieser Geschwindigkeit wird in § 114 bestimmt.

Bitte beachten Sie, dass ein Propellermotor (vorheriges Beispiel) einem Objekt, beispielsweise einem Flugzeug, Bewegung verleiht, indem er Partikel des Mediums, in dem es sich bewegt, zurückwirft. Im luftleeren Raum ist eine solche Bewegung unmöglich. Ein Strahltriebwerk erzeugt Bewegung, indem es die im Triebwerk selbst erzeugten Massen (Verbrennungsprodukte) zurückwirft. Diese Bewegung ist sowohl in der Luft als auch im luftleeren Raum gleichermaßen möglich.

Bei der Lösung von Problemen können wir durch die Anwendung des Satzes alle inneren Kräfte aus der Betrachtung ausschließen. Daher sollte man versuchen, das betrachtete System so zu wählen, dass alle (oder ein Teil) der bisher unbekannten Kräfte intern gemacht werden.

Das Gesetz der Impulserhaltung lässt sich bequem in Fällen anwenden, in denen durch Änderung der Translationsgeschwindigkeit eines Teils des Systems die Geschwindigkeit eines anderen Teils bestimmt werden muss. Insbesondere wird dieses Gesetz häufig in der Stoßtheorie verwendet.

Aufgabe 126. Eine Kugel mit der Masse , die horizontal mit einer Geschwindigkeit fliegt, trifft auf eine Kiste mit Sand, die auf einem Wagen montiert ist (Abb. 289). Mit welcher Geschwindigkeit beginnt sich der Wagen nach dem Aufprall zu bewegen, wenn die Masse des Wagens zusammen mit der Kiste gleich ist

Lösung. Wir betrachten das Geschoss und den Wagen als ein System. Dadurch können wir bei der Lösung des Problems die Kräfte eliminieren, die beim Auftreffen des Geschosses auf die Kiste entstehen. Die Summe der Projektionen der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte auf die horizontale Achse Ox ist Null. Daher oder wo ist das Ausmaß der Bewegung des Systems vor dem Aufprall; - nach dem Schlag.

Da der Wagen vor dem Aufprall bewegungslos ist, dann .

Nach dem Aufprall bewegen sich Wagen und Geschoss mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit, die wir mit v bezeichnen. Dann .

Indem wir die rechten Seiten der Ausdrücke gleichsetzen, finden wir

Aufgabe 127. Bestimmen Sie die freie Rückstoßgeschwindigkeit der Waffe, wenn das Gewicht der Rückstoßteile gleich P ist, das Gewicht des Projektils gleich ist und die Geschwindigkeit des Projektils relativ zum Lauf im Moment des Abschusses gleich ist.

Lösung. Um unbekannte Druckkräfte von Pulvergasen zu eliminieren, betrachten Sie das Projektil und die Rückstoßteile als ein System.

Betrachten wir die gegenseitige Wirkung zweier isolierter Körper, die nicht mit anderen Körpern interagieren. Wir gehen davon aus, dass die Kräfte während der gesamten Wechselwirkung konstant sind. Gemäß dem zweiten Hauptsatz der Dynamik beträgt die Impulsänderung des ersten Körpers:

Wo ist das Interaktionszeitintervall?

Impulsänderung des zweiten Körpers:

Wo ist die Kraft, die vom ersten Körper auf den zweiten wirkt?

Nach Newtons drittem Gesetz

und außerdem natürlich

Somit,

Unabhängig von der Art der Wechselwirkungskräfte und der Dauer ihrer Wirkung bleibt der Gesamtimpuls zweier isolierter Körper konstant.

Das erhaltene Ergebnis lässt sich auf beliebig viele interagierende Körper und auf sich im Laufe der Zeit ändernde Kräfte erweitern. Dazu teilen wir das Zeitintervall, in dem die Wechselwirkung der Körper stattfindet, in so kleine Intervalle auf, in denen die Kraft jeweils mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad als konstant angesehen werden kann. Während jeder Zeitspanne wird die Beziehung (1.8) erfüllt. Daher ist es für das gesamte Zeitintervall gültig

Um die Schlussfolgerung auf interagierende Körper zu verallgemeinern, führen wir das Konzept eines geschlossenen Systems ein.

Geschlossen ist ein Körpersystem, bei dem die resultierenden äußeren Kräfte gleich Null sind.

Lassen Sie die Massen materieller Punkte ein geschlossenes System bilden. Die Änderung des Impulses jedes dieser Punkte als Ergebnis seiner Wechselwirkung mit allen anderen Punkten des Systems:

Bezeichnen wir die auf einen Punkt einwirkenden inneren Kräfte durch die Masse anderer Punkte, durch den Punkt durch die Masse usw. (Der erste Index gibt den Punkt an, auf den die Kraft wirkt; der zweite Index gibt den Punkt an, auf dessen Achse die Kraft wirkt handelt.)

Schreiben wir in der akzeptierten Notation den zweiten Hauptsatz der Dynamik für jeden Punkt separat:

Die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl der Körper im System. Um die Gesamtimpulsänderung des Systems zu ermitteln, müssen Sie die geometrische Summe der Impulsänderungen aller Punkte des Systems berechnen. Nachdem wir die Gleichungen (1.9) zusammengefasst haben, erhalten wir auf der linken Seite den vollständigen Vektor der Impulsänderungen des Systems im Laufe der Zeit und auf der rechten Seite den Elementarimpuls der Resultierenden aller im System wirkenden Kräfte. Da das System aber geschlossen ist, sind die resultierenden Kräfte Null. Tatsächlich entspricht nach dem dritten Hauptsatz der Dynamik jeder Kraft in den Gleichungen (1.9) eine Kraft und

d.h. usw.,

und die Resultierende dieser Kräfte ist Null. Folglich ist im gesamten geschlossenen System die Impulsänderung Null:

Der Gesamtimpuls eines geschlossenen Systems ist während der gesamten Bewegung eine konstante Größe (Gesetz der Impulserhaltung).

Der Impulserhaltungssatz ist eines der Grundgesetze der Physik und gilt sowohl für Systeme makroskopischer Körper als auch für Systeme, die aus mikroskopischen Körpern bestehen: Molekülen, Atomen usw.

Wenn äußere Kräfte auf die Punkte des Systems einwirken, ändert sich der Bewegungsumfang des Systems.

Schreiben wir die Gleichungen (1.9) und beziehen darin die resultierenden äußeren Kräfte ein, die jeweils auf den ersten, zweiten usw. wirken. Bis zum Punkt:

Durch Addition der linken und rechten Seite der Gleichungen erhalten wir: auf der linken Seite den vollständigen Vektor der Impulsänderungen des Systems; rechts - der Impuls der resultierenden äußeren Kräfte:

oder, was die resultierenden äußeren Kräfte bezeichnet:

Die Änderung des Gesamtimpulses eines Körpersystems ist gleich dem Impuls der resultierenden äußeren Kräfte.

Gleichheit (1.13) kann in einer anderen Form geschrieben werden:

Die zeitliche Ableitung der gesamten Bewegungsmenge eines Punktesystems ist gleich den resultierenden äußeren Kräften, die auf die Punkte des Systems wirken.

Wenn wir die Impulsvektoren des Systems und der äußeren Kräfte auf drei zueinander senkrechte Achsen projizieren, erhalten wir anstelle der Vektorgleichheit (6.14) drei Skalargleichungen der Form:

Wenn beispielsweise entlang einer Achse die Komponente der resultierenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ändert sich der Betrag der Bewegung entlang dieser Achse nicht, d. h. da sie im Allgemeinen offen ist, kann das System in der Richtung als geschlossen betrachtet werden.

Wir haben die Übertragung mechanischer Bewegung von einem Körper auf einen anderen untersucht, ohne dass sie in andere Bewegungsformen der Materie übergeht.

Die Größe „mv erweist sich als Maß für die einfach übertragene, d. h. laufende Bewegung ...“.

Die Anwendung des Impulsänderungsgesetzes auf das Problem der Bewegung eines Körpersystems ermöglicht es uns, alle inneren Kräfte aus der Betrachtung auszuschließen, was die theoretische Forschung und die Lösung praktischer Probleme vereinfacht.

1. Lassen Sie eine Person regungslos auf einem stationären Wagen stehen (Abb. 2. a). Der Impuls des Man-Cart-Systems ist Null. Ist dieses System geschlossen? Auf ihn wirken äußere Kräfte – Schwerkraft und Reibung zwischen den Rädern des Wagens und dem Boden. Im Allgemeinen ist das System nicht geschlossen. Wenn man den Wagen jedoch auf die Schienen stellt und die Oberfläche der Schienen und Räder entsprechend behandelt, d. h. die Reibung zwischen ihnen deutlich verringert, kann die Reibungskraft vernachlässigt werden.

Die vertikal nach unten gerichtete Schwerkraft wird durch die Reaktion der verformten Schienen ausgeglichen, und die Resultierende dieser Kräfte kann dem System keine horizontale Beschleunigung verleihen, d. h. die Geschwindigkeit und damit den Impuls des Systems nicht ändern. Somit können wir dieses System mit einer gewissen Näherung als geschlossen betrachten.

Nehmen wir nun an, dass eine Person mit Geschwindigkeit den Wagen nach links verlässt (Abb. 2.b). Um diese Geschwindigkeit zu erreichen, muss eine Person durch Anspannung ihrer Muskeln mit den Füßen auf die Plattform des Wagens einwirken und diese verformen. Die von der Seite der deformierten Plattform auf die Füße der Person wirkende Kraft verleiht dem menschlichen Körper eine Beschleunigung nach links, und die von der Seite der deformierten Füße der Person wirkende Kraft (gemäß dem dritten Hauptsatz der Dynamik) beschleunigt die Beschleunigung Zum Warenkorb rechts. Wenn die Interaktion stoppt (die Person steigt vom Wagen ab), gewinnt der Wagen daher etwas an Geschwindigkeit.

Um Geschwindigkeiten mithilfe der Grundgesetze der Dynamik zu ermitteln, müsste man wissen, wie sich die Wechselwirkungskräfte zwischen einer Person und einem Wagen im Laufe der Zeit ändern und wo diese Kräfte wirken. Mit dem Impulserhaltungssatz können Sie sofort das Verhältnis der Geschwindigkeiten einer Person und eines Wagens ermitteln und deren gegenseitige Richtung angeben, wenn die Werte der Massen einer Person und eines Wagens bekannt sind.

Während die Person regungslos auf dem Wagen steht, bleibt die Gesamtbewegung des Systems gleich Null:

Die Geschwindigkeiten, die eine Person und ein Wagen erreichen, sind umgekehrt proportional zu ihren Massen. Das Minuszeichen gibt die entgegengesetzte Richtung an.

2. Wenn eine Person, die sich mit hoher Geschwindigkeit bewegt, auf einen stehenden Karren rennt und darauf anhält, beginnt sich der Karren zu bewegen, sodass sich herausstellt, dass die Gesamtbewegungsmenge von ihr und der Person gleich der Bewegungsmenge ist die Person allein hatte zuvor:

3. Eine sich schnell bewegende Person läuft auf einen mit hoher Geschwindigkeit auf sie zufahrenden Karren und bleibt darauf stehen. Als nächstes bewegt sich das Mann-Wagen-System mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit. Die Gesamtbewegungsmenge der Person und des Wagens ist gleich der Summe der Bewegungsmengen, die sie jeweils einzeln besaßen:

4. Anhand der Tatsache, dass sich der Wagen nur entlang der Schienen bewegen kann, können wir die Vektornatur der Impulsänderung demonstrieren. Wenn eine Person einen zuvor stationären Wagen einmal entlang der möglichen Bewegungsrichtung betritt und anhält, das zweite Mal – in einem Winkel von 45°, und das dritte Mal – in einem Winkel von 90° zu dieser Richtung, dann in der zweiten Im ersten Fall ist die Geschwindigkeit, die der Wagen erreicht, etwa anderthalbmal geringer als im ersten Fall, und im dritten Fall steht der Wagen still.

Betrachten wir die allgemeinsten Erhaltungssätze, die die gesamte materielle Welt regeln und eine Reihe grundlegender Konzepte in die Physik einführen: Energie, Impuls (Impuls), Drehimpuls, Ladung.

Gesetz der Impulserhaltung

Bekanntlich ist die Bewegungsgröße bzw. der Impuls das Produkt aus Geschwindigkeit und Masse eines sich bewegenden Körpers: p = mv Mit dieser physikalischen Größe können Sie die Änderung der Bewegung eines Körpers über einen bestimmten Zeitraum ermitteln. Um dieses Problem zu lösen, müsste man Newtons zweites Gesetz unzählige Male in allen dazwischen liegenden Zeitpunkten anwenden. Der Impulserhaltungssatz kann mithilfe des zweiten und dritten Newtonschen Gesetzes ermittelt werden. Wenn wir zwei (oder mehr) materielle Punkte (Körper) betrachten, die miteinander interagieren und ein von der Einwirkung äußerer Kräfte isoliertes System bilden, dann können sich während der Bewegung die Impulse jedes Punktes (Körpers) ändern, aber der Gesamtimpuls des Das System muss unverändert bleiben:

M 1 v+M 1 v 2 = konst.

Interagierende Körper tauschen Impulse aus und behalten dabei den Gesamtimpuls bei.

Im allgemeinen Fall erhalten wir:

wobei P Σ der Gesamtimpuls des Systems ist, M ich v ich– Impulse einzelner interagierender Teile des Systems. Formulieren wir den Impulserhaltungssatz:

Wenn die Summe der äußeren Kräfte Null ist, bleibt der Impuls des Körpersystems bei allen darin ablaufenden Prozessen konstant.

Ein Beispiel für die Wirkungsweise des Impulserhaltungssatzes kann im Interaktionsprozess eines Bootes mit einer Person betrachtet werden, die ihre Nase am Ufer vergraben hat und die Person im Boot schnell vom Heck zum Bug geht Geschwindigkeit v 1 . In diesem Fall entfernt sich das Boot mit hoher Geschwindigkeit vom Ufer v 2 :

Ein ähnliches Beispiel kann mit einem Projektil gegeben werden, das in der Luft in mehrere Teile explodierte. Die Vektorsumme der Impulse aller Fragmente ist gleich dem Impuls des Projektils vor der Explosion.

Gesetz der Drehimpulserhaltung

Es ist zweckmäßig, die Rotation starrer Körper durch eine physikalische Größe namens Drehimpuls zu charakterisieren.

Wenn sich ein starrer Körper um eine feste Achse dreht, bewegt sich jedes einzelne Teilchen des Körpers auf einem Kreis mit einem Radius R ich mit einer gewissen linearen Geschwindigkeit v ich. Geschwindigkeit v ich und Schwung p = m ich v ich senkrecht zum Radius r i. Impulsprodukt p = m ich v ich pro Radius R ich heißt der Drehimpuls des Teilchens:

L ich= M ich v ich R ich= P ich R ich·

Ganzkörperdrehimpuls:

Wenn wir die Lineargeschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzen (v i = ωr i), dann

wobei J = mr 2 – Trägheitsmoment.

Das heißt, der Drehimpuls eines geschlossenen Systems ändert sich im Laufe der Zeit nicht L= const und Jω = const.

Dabei kann sich der Drehimpuls einzelner Teilchen eines rotierenden Körpers beliebig ändern, der Gesamtdrehimpuls (die Summe der Drehimpulse einzelner Körperteile) bleibt jedoch konstant. Das Gesetz der Drehimpulserhaltung lässt sich demonstrieren, indem man einen Skater beobachtet, der sich auf Schlittschuhen dreht, die Arme seitlich ausgestreckt und die Arme über den Kopf gehoben. Da Jω = const, gilt im zweiten Fall das Trägheitsmoment J abnimmt, was bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit u zunehmen muss, da Jω = const.

Gesetz der Energieeinsparung

Energie ist ein universelles Maß für verschiedene Bewegungs- und Interaktionsformen. Die Energie, die ein Körper an einen anderen abgibt, ist immer gleich der Energie, die der andere Körper empfängt. Um den Prozess des Energieaustauschs zwischen interagierenden Körpern zu quantifizieren, führt die Mechanik das Konzept der Arbeit einer Kraft ein, die Bewegung verursacht.

Die kinetische Energie eines mechanischen Systems ist die Energie der mechanischen Bewegung dieses Systems. Die Kraft, die die Bewegung eines Körpers verursacht, leistet Arbeit, und die Energie eines sich bewegenden Körpers erhöht sich um die Menge der aufgewendeten Arbeit. Bekanntlich ein Körper aus Masse M, sich mit Geschwindigkeit bewegen v, hat kinetische Energie E=mv 2 /2.

Potenzielle Energie ist die mechanische Energie eines Systems von Körpern, die durch Kraftfelder interagieren, beispielsweise durch Gravitationskräfte. Die Arbeit dieser Kräfte beim Bewegen eines Körpers von einer Position in eine andere hängt nicht von der Bewegungsbahn ab, sondern nur von der Anfangs- und Endposition des Körpers im Kraftfeld.

Solche Kraftfelder nennt man Potential und die in ihnen wirkenden Kräfte nennt man konservativ. Gravitationskräfte sind konservative Kräfte und die potentielle Energie eines Massenkörpers M, auf eine Höhe gehoben Hüber der Erdoberfläche ist gleich

E Schweiß = mgh,

Wo G- Erdbeschleunigung.

Die gesamte mechanische Energie ist gleich der Summe aus kinetischer und potentieller Energie:

E= E kin + E Schweiß

Gesetz zur Erhaltung der mechanischen Energie(1686, Leibniz) besagt, dass in einem System von Körpern, zwischen denen nur konservative Kräfte wirken, die gesamte mechanische Energie zeitlich unverändert bleibt. Dabei kann es zu Umwandlungen von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt in äquivalenten Mengen kommen.

Es gibt eine andere Art von System, in dem mechanische Energie durch Umwandlung in andere Energieformen reduziert werden kann. Wenn sich beispielsweise ein System mit Reibung bewegt, wird ein Teil der mechanischen Energie aufgrund der Reibung abgebaut. Solche Systeme heißen dissipativ, das heißt, Systeme, die mechanische Energie zerstreuen. In solchen Systemen gilt der Erhaltungssatz der gesamten mechanischen Energie nicht. Wenn jedoch die mechanische Energie abnimmt, erscheint dieser Abnahme immer eine Energiemenge anderer Art gleichwertig. Auf diese Weise, Energie verschwindet nie oder taucht nie wieder auf, sie verändert sich nur von einer Art zur anderen. Hier manifestiert sich die Eigenschaft der Unzerstörbarkeit der Materie und ihrer Bewegung.

In der klassischen Mechanik gibt es zwei Erhaltungssätze: den Impulserhaltungssatz und den Energieerhaltungssatz.

Körperimpuls

Das Konzept des Impulses wurde erstmals von einem französischen Mathematiker, Physiker und Mechaniker eingeführt. und der Philosoph Descartes, der Impuls nannte Menge an Bewegung .

Aus dem Lateinischen wird „Impuls“ mit „drücken, bewegen“ übersetzt.

Jeder Körper, der sich bewegt, hat Schwung.

Stellen wir uns einen Wagen vor, der stillsteht. Sein Impuls ist Null. Sobald sich der Wagen jedoch in Bewegung setzt, ist sein Impuls nicht mehr Null. Es beginnt sich zu ändern, wenn sich die Geschwindigkeit ändert.

Impuls eines materiellen Punktes, oder Menge an Bewegung – eine Vektorgröße, die dem Produkt aus der Masse eines Punktes und seiner Geschwindigkeit entspricht. Die Richtung des Impulsvektors des Punktes stimmt mit der Richtung des Geschwindigkeitsvektors überein.

Wenn wir von einem festen physischen Körper sprechen, dann wird der Impuls eines solchen Körpers als Produkt aus der Masse dieses Körpers und der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts bezeichnet.

Wie berechnet man den Impuls eines Körpers? Man kann sich vorstellen, dass ein Körper aus vielen materiellen Punkten oder einem System materieller Punkte besteht.

Wenn - der Impuls eines materiellen Punktes, dann der Impuls eines Systems materieller Punkte

Also, Impuls eines Systems materieller Punkte ist die Vektorsumme der Impulse aller im System enthaltenen materiellen Punkte. Sie ist gleich dem Produkt der Massen dieser Punkte und ihrer Geschwindigkeit.

Die Impulseinheit im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Kilogrammmeter pro Sekunde (kg m/s).

Impulskraft

In der Mechanik besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Impuls eines Körpers und der Kraft. Diese beiden Größen sind durch eine Größe namens verbunden Kraftimpuls .

Wenn auf einen Körper eine konstante Kraft einwirktF über eine gewisse Zeitspanne T , dann nach Newtons zweitem Gesetz

Diese Formel zeigt den Zusammenhang zwischen der Kraft, die auf den Körper einwirkt, der Einwirkungszeit dieser Kraft und der Änderung der Geschwindigkeit des Körpers.

Die Größe, die dem Produkt der auf einen Körper einwirkenden Kraft und der Zeit, in der sie einwirkt, entspricht, heißt Kraftimpuls .

Wie wir aus der Gleichung ersehen können, ist der Kraftimpuls gleich der Differenz zwischen den Impulsen des Körpers im Anfangs- und Endzeitpunkt oder der Impulsänderung über einen bestimmten Zeitraum.

Das zweite Newtonsche Gesetz in Impulsform lautet wie folgt: Die Impulsänderung eines Körpers ist gleich dem Impuls der auf ihn wirkenden Kraft. Es muss gesagt werden, dass Newton selbst sein Gesetz ursprünglich genau so formuliert hat.

Der Kraftimpuls ist ebenfalls eine Vektorgröße.

Der Impulserhaltungssatz folgt aus dem dritten Newtonschen Gesetz.

Es muss daran erinnert werden, dass dieses Gesetz nur in einem geschlossenen oder isolierten physischen System funktioniert. Ein geschlossenes System ist ein System, in dem Körper nur miteinander interagieren und nicht mit externen Körpern interagieren.

Stellen wir uns ein geschlossenes System aus zwei physischen Körpern vor. Die Wechselwirkungskräfte von Körpern untereinander werden als innere Kräfte bezeichnet.

Der Kraftimpuls für den ersten Körper ist gleich

Nach dem dritten Newtonschen Gesetz sind die Kräfte, die bei der Wechselwirkung auf Körper wirken, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

Daher ist für den zweiten Körper der Impuls der Kraft gleich

Durch einfache Berechnungen erhalten wir einen mathematischen Ausdruck für den Impulserhaltungssatz:

Wo m 1 Und m 2 – Körpermassen,

v 1 Und v 2 – Geschwindigkeiten des ersten und zweiten Körpers vor der Interaktion,

v 1" Und v 2" – Geschwindigkeiten des ersten und zweiten Körpers nach der Wechselwirkung .

P 1 = m 1 · v 1 - Impuls des ersten Körpers vor der Interaktion;

p 2 = m 2 · v 2 - Impuls des zweiten Körpers vor der Wechselwirkung;

p 1 "= m 1 · v 1" - Impuls des ersten Körpers nach der Wechselwirkung;

p 2 "= m 2 · v 2" - Impuls des zweiten Körpers nach der Wechselwirkung;

Also

P 1 + P 2 = S. 1" + S. 2"

In einem geschlossenen System tauschen Körper nur Impulse aus. Und die Vektorsumme der Impulse dieser Körper vor ihrer Wechselwirkung ist gleich der Vektorsumme ihrer Impulse nach der Wechselwirkung.

Durch das Abfeuern einer Waffe ändern sich also der Impuls der Waffe selbst und der Impuls des Geschosses. Aber die Summe der Impulse der Waffe und der darin befindlichen Kugel vor dem Schuss bleibt gleich der Summe der Impulse der Waffe und der fliegenden Kugel nach dem Schuss.

Beim Abfeuern einer Kanone kommt es zu einem Rückstoß. Das Projektil fliegt vorwärts und die Waffe selbst rollt zurück. Das Projektil und die Waffe sind ein geschlossenes System, in dem das Gesetz der Impulserhaltung gilt.

Der Schwung jedes Körpers in einem geschlossenen System können sich durch ihre Wechselwirkung untereinander verändern. Aber die Vektorsumme der Impulse von Körpern, die in einem geschlossenen System enthalten sind, ändert sich nicht, wenn diese Körper im Laufe der Zeit interagieren, das heißt, es bleibt konstant. Das ist es Gesetz der Impulserhaltung.

Genauer gesagt wird der Impulserhaltungssatz wie folgt formuliert: Die Vektorsumme der Impulse aller Körper eines geschlossenen Systems ist ein konstanter Wert, wenn keine äußeren Kräfte auf sie einwirken oder ihre Vektorsumme gleich Null ist.

Der Impuls eines Körpersystems kann sich nur durch die Einwirkung äußerer Kräfte auf das System ändern. Und dann gilt das Gesetz der Impulserhaltung nicht.

Es muss gesagt werden, dass es in der Natur keine geschlossenen Systeme gibt. Wenn jedoch die Einwirkungszeit äußerer Kräfte sehr kurz ist, beispielsweise bei einer Explosion, einem Schuss usw., wird in diesem Fall der Einfluss äußerer Kräfte auf das System vernachlässigt und das System selbst als geschlossen betrachtet.

Wenn außerdem äußere Kräfte auf das System einwirken, die Summe ihrer Projektionen auf eine der Koordinatenachsen jedoch Null ist (d. h. die Kräfte gleichen sich in Richtung dieser Achse aus), dann ist der Impulserhaltungssatz erfüllt in diese Richtung.

Der Impulserhaltungssatz wird auch als Impulserhaltungssatz bezeichnet Gesetz der Impulserhaltung .

Das auffälligste Beispiel für die Anwendung des Impulserhaltungssatzes ist die Strahlbewegung.

Strahlantrieb

Unter reaktiver Bewegung versteht man die Bewegung eines Körpers, die auftritt, wenn ein Teil davon mit einer bestimmten Geschwindigkeit von ihm getrennt wird. Der Körper selbst erhält einen entgegengesetzt gerichteten Impuls.

Das einfachste Beispiel für einen Strahlantrieb ist der Flug eines Ballons, aus dem Luft entweicht. Wenn wir einen Ballon aufblasen und wieder loslassen, beginnt er entgegen der Bewegung der aus ihm austretenden Luft zu fliegen.

Ein Beispiel für Strahlantrieb in der Natur ist die Freisetzung von Flüssigkeit aus der Frucht einer verrückten Gurke, wenn diese platzt. Gleichzeitig fliegt die Gurke selbst in die entgegengesetzte Richtung.

Quallen, Tintenfische und andere Bewohner der Tiefsee bewegen sich fort, indem sie Wasser aufnehmen und es dann wieder ausstoßen.

Der Strahlschub basiert auf dem Impulserhaltungssatz. Wir wissen, dass, wenn sich eine Rakete mit einem Strahltriebwerk bewegt, infolge der Kraftstoffverbrennung ein Flüssigkeits- oder Gasstrahl aus der Düse ausgestoßen wird ( Jet-Stream ). Durch die Wechselwirkung des Motors mit der austretenden Substanz entsteht Reaktive Kraft . Da die Rakete zusammen mit der emittierten Substanz ein geschlossenes System darstellt, ändert sich der Impuls eines solchen Systems mit der Zeit nicht.

Reaktionskraft entsteht durch die Interaktion nur von Teilen des Systems. Äußere Kräfte haben keinen Einfluss auf sein Aussehen.

Bevor sich die Rakete zu bewegen begann, war die Summe der Impulse der Rakete und des Treibstoffs Null. Folglich ist nach dem Impulserhaltungssatz nach dem Einschalten der Motoren auch die Summe dieser Impulse Null.

Wo ist die Masse der Rakete?

Gasflussgeschwindigkeit

Raketengeschwindigkeit ändern

∆mf - Kraftstoffverbrauch

Angenommen, die Rakete war eine Zeit lang in Betrieb T .

Division beider Seiten der Gleichung durch ∆ T, wir bekommen den Ausdruck

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Reaktionskraft gleich

Die Reaktionskraft oder der Strahlschub sorgt dafür, dass sich das Strahltriebwerk und das damit verbundene Objekt entgegen der Richtung des Strahlstroms bewegen.

Strahltriebwerke werden in modernen Flugzeugen und verschiedenen Raketen, im Militär, im Weltraum usw. eingesetzt.