So finden Sie Beispiele für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Klassische und statistische Definition der Wahrscheinlichkeit

In der Wirtschaft, wie auch in anderen Bereichen menschlichen Handelns oder in der Natur, müssen wir uns ständig mit Ereignissen auseinandersetzen, die sich nicht genau vorhersagen lassen. Somit hängt das Verkaufsvolumen eines Produkts von der Nachfrage ab, die erheblich variieren kann, sowie von einer Reihe anderer Faktoren, die kaum berücksichtigt werden können. Daher müssen Sie bei der Organisation der Produktion und der Durchführung des Vertriebs das Ergebnis solcher Aktivitäten entweder auf der Grundlage Ihrer eigenen bisherigen Erfahrungen oder ähnlicher Erfahrungen anderer Personen oder Ihrer Intuition vorhersagen, die zu einem großen Teil auch auf experimentellen Daten beruht.

Um das jeweilige Ereignis irgendwie bewerten zu können, ist es notwendig, die Bedingungen, unter denen dieses Ereignis aufgezeichnet wird, zu berücksichtigen oder speziell zu organisieren.

Dabei handelt es sich um die Umsetzung bestimmter Bedingungen oder Aktionen zur Identifizierung des jeweiligen Ereignisses Erfahrung oder Experiment.

Das Ereignis wird aufgerufen zufällig, ob es aufgrund der Erfahrung eintreten kann oder nicht.

Das Ereignis wird aufgerufen zuverlässig, wenn es notwendigerweise als Ergebnis einer bestimmten Erfahrung auftritt, und unmöglich, wenn es in dieser Erfahrung nicht vorkommen kann.

Beispielsweise ist der Schneefall in Moskau am 30. November ein zufälliges Ereignis. Der tägliche Sonnenaufgang kann als verlässliches Ereignis angesehen werden. Schneefall am Äquator kann als unmögliches Ereignis angesehen werden.

Eine der Hauptaufgaben der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Bestimmung eines quantitativen Maßes für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses.

Algebra der Ereignisse

Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gemeinsam in derselben Erfahrung beobachtet werden können. Somit sind das gleichzeitige Vorhandensein von zwei und drei zum Verkauf stehenden Autos in einem Geschäft zwei unvereinbare Ereignisse.

Menge Ereignisse ist ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse besteht

Ein Beispiel für die Summe von Ereignissen ist das Vorhandensein mindestens eines von zwei Produkten im Geschäft.

Die Arbeit Ereignisse sind ein Ereignis, das aus dem gleichzeitigen Auftreten aller dieser Ereignisse besteht

Ein Ereignis, das aus dem gleichzeitigen Erscheinen zweier Waren in einem Geschäft besteht, ist ein Produkt von Ereignissen: - dem Erscheinen eines Produkts, - dem Erscheinen eines anderen Produkts.

Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen, wenn mindestens eines davon sicher in der Erfahrung auftritt.

Beispiel. Der Hafen verfügt über zwei Liegeplätze für den Empfang von Schiffen. Drei Ereignisse können berücksichtigt werden: - das Fehlen von Schiffen an den Liegeplätzen, - die Anwesenheit eines Schiffes an einem der Liegeplätze, - die Anwesenheit von zwei Schiffen an zwei Liegeplätzen. Diese drei Veranstaltungen bilden eine vollständige Veranstaltungsgruppe.

Gegenteil Es werden zwei eindeutige mögliche Ereignisse aufgerufen, die eine vollständige Gruppe bilden.

Wenn eines der entgegengesetzten Ereignisse mit bezeichnet wird, dann wird das entgegengesetzte Ereignis normalerweise mit bezeichnet.

Klassische und statistische Definitionen der Ereigniswahrscheinlichkeit

Jedes der gleichermaßen möglichen Ergebnisse von Tests (Experimenten) wird als Elementarergebnis bezeichnet. Sie werden meist mit Buchstaben bezeichnet. Beispielsweise wird ein Würfel geworfen. Basierend auf der Anzahl der Punkte auf den Seiten kann es insgesamt sechs Grundergebnisse geben.

Aus elementaren Ergebnissen können Sie ein komplexeres Ereignis erstellen. Somit wird das Ereignis einer geraden Punktezahl durch drei Ergebnisse bestimmt: 2, 4, 6.

Ein quantitatives Maß für die Möglichkeit des Eintretens des betreffenden Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit.

Die am häufigsten verwendeten Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sind: klassisch Und statistisch.

Die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit ist mit dem Konzept eines günstigen Ergebnisses verbunden.

Das Ergebnis heißt günstig zu einem bestimmten Ereignis, wenn sein Eintreten das Eintreten dieses Ereignisses mit sich bringt.

Im obigen Beispiel hat das betreffende Ereignis – eine gerade Anzahl von Punkten auf der gewürfelten Seite – drei günstige Ausgänge. In diesem Fall der General
Anzahl möglicher Ergebnisse. Dies bedeutet, dass hier die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verwendet werden kann.

Klassische Definition entspricht dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl möglicher Ergebnisse

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

Im betrachteten Beispiel

Die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit ist mit dem Konzept der relativen Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in Experimenten verbunden.

Mit der Formel wird die relative Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses berechnet

Dabei ist die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in einer Reihe von Experimenten (Tests).

Statistische Definition. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Zahl, um die sich die relative Häufigkeit bei unbegrenzter Zunahme der Anzahl von Experimenten stabilisiert (einstellt).

Bei praktischen Problemen wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als die relative Häufigkeit für eine ausreichend große Anzahl von Versuchen angenommen.

Aus diesen Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses geht hervor, dass die Ungleichung immer erfüllt ist

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses anhand der Formel (1.1) zu bestimmen, werden häufig kombinatorische Formeln verwendet, mit denen die Anzahl der günstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse ermittelt werden.

Wenn eine Münze geworfen wird, kann man sagen, dass sie mit dem Kopf nach oben landet, oder Wahrscheinlichkeit das ist 1/2. Dies bedeutet natürlich nicht, dass eine Münze, wenn sie zehnmal geworfen wird, zwangsläufig fünfmal auf „Kopf“ landet. Wenn die Münze „fair“ ist und viele Male geworfen wird, wird „Kopf“ in der Hälfte der Fälle sehr nahe beieinander landen. Es gibt also zwei Arten von Wahrscheinlichkeiten: Experimental- Und theoretisch .

Experimentelle und theoretische Wahrscheinlichkeit

Wenn wir eine Münze sehr oft werfen – sagen wir 1000 – und zählen, wie oft sie auf „Kopf“ landet, können wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass sie auf „Kopf“ landet. Wenn der Kopf 503 Mal geworfen wird, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er landet:
503/1000 oder 0,503.

Das Experimental- Bestimmung der Wahrscheinlichkeit. Diese Definition der Wahrscheinlichkeit stammt aus der Beobachtung und dem Studium von Daten und ist weit verbreitet und sehr nützlich. Hier sind zum Beispiel einige Wahrscheinlichkeiten, die experimentell ermittelt wurden:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau an Brustkrebs erkrankt, beträgt 1/11.

2. Wenn Sie jemanden küssen, der erkältet ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie auch erkältet sind, 0,07.

3. Eine Person, die gerade aus dem Gefängnis entlassen wurde, hat eine 80-prozentige Chance, ins Gefängnis zurückzukehren.

Wenn wir darüber nachdenken, eine Münze zu werfen und dabei zu berücksichtigen, dass es genauso wahrscheinlich ist, dass sie „Kopf“ oder „Zahl“ ergibt, können wir die Wahrscheinlichkeit, „Kopf“ zu bekommen, berechnen: 1/2. Dies ist eine theoretische Definition der Wahrscheinlichkeit. Hier sind einige andere Wahrscheinlichkeiten, die theoretisch mithilfe der Mathematik ermittelt wurden:

1. Befinden sich 30 Personen in einem Raum, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen denselben Geburtstag haben (ohne Jahreszahl), 0,706.

2. Während einer Reise lernst du jemanden kennen und während des Gesprächs entdeckst du, dass du einen gemeinsamen Freund hast. Typische Reaktion: „Das kann nicht sein!“ Tatsächlich ist dieser Ausdruck nicht passend, da die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses recht hoch ist – knapp über 22 %.

Somit werden experimentelle Wahrscheinlichkeiten durch Beobachtung und Datenerfassung ermittelt. Theoretische Wahrscheinlichkeiten werden durch mathematische Überlegungen bestimmt. Beispiele experimenteller und theoretischer Wahrscheinlichkeiten, wie die oben diskutierten, und insbesondere solche, die wir nicht erwarten, führen uns auf die Bedeutung des Studiums der Wahrscheinlichkeit aufmerksam. Sie fragen sich vielleicht: „Was ist wahre Wahrscheinlichkeit?“ Tatsächlich gibt es so etwas nicht. Wahrscheinlichkeiten innerhalb bestimmter Grenzen können experimentell ermittelt werden. Sie können mit den Wahrscheinlichkeiten, die wir theoretisch erhalten, übereinstimmen oder auch nicht. Es gibt Situationen, in denen es viel einfacher ist, eine Wahrscheinlichkeitsart zu bestimmen als eine andere. Beispielsweise würde es ausreichen, die Wahrscheinlichkeit einer Erkältung anhand der theoretischen Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.

Berechnung experimenteller Wahrscheinlichkeiten

Betrachten wir zunächst die experimentelle Definition der Wahrscheinlichkeit. Das Grundprinzip, nach dem wir solche Wahrscheinlichkeiten berechnen, ist folgendes.

Prinzip P (experimentell)

Wenn in einem Experiment, in dem n Beobachtungen gemacht werden, eine Situation oder ein Ereignis E m-mal in n Beobachtungen auftritt, dann wird die experimentelle Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P (E) = m/n genannt.

Beispiel 1 Soziologische Untersuchung. Es wurde eine experimentelle Studie durchgeführt, um die Anzahl der Linkshänder, Rechtshänder und Menschen zu ermitteln, deren beide Hände gleich entwickelt sind. Die Ergebnisse sind in der Grafik dargestellt.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Rechtshänder ist.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Linkshänder ist.

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person beide Hände gleichermaßen fließend beherrscht.

d) Die meisten Turniere der Professional Bowling Association sind auf 120 Spieler begrenzt. Basierend auf den Daten dieses Experiments: Wie viele Spieler könnten Linkshänder sein?

Lösung

a) Die Zahl der Rechtshänder beträgt 82, die Zahl der Linkshänder beträgt 17 und die Zahl derer, die beide Hände gleichermaßen gut beherrschen, beträgt 1. Die Gesamtzahl der Beobachtungen beträgt 100. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dass eine Person Rechtshänder ist, ist P
P = 82/100 oder 0,82 oder 82 %.

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Linkshänder ist, ist P, wobei
P = 17/100 oder 0,17 oder 17 %.

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person beide Hände gleichermaßen fließend beherrscht, ist P, wobei
P = 1/100 oder 0,01 oder 1 %.

d) 120 Bowler, und aus (b) können wir erwarten, dass 17 % Linkshänder sind. Von hier
17 % von 120 = 0,17,120 = 20,4,
das heißt, wir können davon ausgehen, dass etwa 20 Spieler Linkshänder sind.

Beispiel 2 Qualitätskontrolle . Für einen Hersteller ist es sehr wichtig, die Qualität seiner Produkte auf einem hohen Niveau zu halten. Tatsächlich stellen Unternehmen Qualitätskontrollinspektoren ein, um diesen Prozess sicherzustellen. Ziel ist es, möglichst wenig fehlerhafte Produkte zu produzieren. Da das Unternehmen jedoch täglich Tausende von Produkten produziert, kann es sich nicht leisten, jedes Produkt zu testen, um festzustellen, ob es fehlerhaft ist oder nicht. Um herauszufinden, wie viel Prozent der Produkte fehlerhaft sind, testet das Unternehmen deutlich weniger Produkte.
Das USDA verlangt, dass 80 % der von den Erzeugern verkauften Samen keimen müssen. Um die Qualität des von einem Agrarunternehmen produzierten Saatguts zu bestimmen, werden 500 Samen der produzierten Samen gepflanzt. Danach keimten 417 Samen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Samen keimt?

b) Entsprechen die Samen den staatlichen Standards?

Lösung a) Wir wissen, dass von 500 gepflanzten Samen 417 gekeimt sind. Wahrscheinlichkeit der Samenkeimung P und
P = 417/500 = 0,834 oder 83,4 %.

b) Da der Anteil der gekeimten Samen wie gefordert über 80 % liegt, entsprechen die Samen den staatlichen Standards.

Beispiel 3 Fernseheinschaltquoten. Laut Statistik gibt es in den Vereinigten Staaten 105.500.000 Haushalte mit Fernsehern. Wöchentlich werden Informationen über die Sendeprogramme gesammelt und verarbeitet. Innerhalb einer Woche schalteten 7.815.000 Haushalte die Hit-Comedy-Serie „Everybody Loves Raymond“ auf CBS und 8.302.000 Haushalte die Hit-Serie „Law & Order“ auf NBC ein (Quelle: Nielsen Media Research). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Woche auf dem Fernseher eines Haushalts „Everybody Loves Raymond“ läuft?

Lösung Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernseher in einem Haushalt auf „Everybody Loves Raymond“ eingestellt ist, beträgt P, und
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernseher des Haushalts auf Law & Order eingestellt war, beträgt P, und
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Diese Prozentsätze werden als Bewertungen bezeichnet.

Theoretische Wahrscheinlichkeit

Angenommen, wir führen ein Experiment durch, beispielsweise das Werfen einer Münze oder eines Pfeils, das Ziehen einer Karte aus einem Stapel oder das Testen von Produkten auf Qualität am Fließband. Jedes mögliche Ergebnis eines solchen Experiments wird aufgerufen Exodus . Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum . Ereignis Es handelt sich um eine Menge von Ergebnissen, also um eine Teilmenge des Ergebnisraums.

Beispiel 4 Darts werfen. Angenommen, bei einem Dartwurfexperiment trifft ein Pfeil ein Ziel. Finden Sie Folgendes:

b) Ergebnisraum

Lösung
a) Die Ergebnisse sind: Schwarz treffen (B), Rot treffen (R) und Weiß treffen (B).

b) Der Ergebnisraum ist (Schwarz treffen, Rot treffen, Weiß treffen), was einfach als (H, K, B) geschrieben werden kann.

Beispiel 5 Würfeln. Ein Würfel ist ein Würfel mit sechs Seiten, auf denen sich jeweils ein bis sechs Punkte befinden.

Angenommen, wir werfen einen Würfel. Finden
a) Ergebnisse
b) Ergebnisraum

Lösung
a) Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ergebnisraum (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis E eintritt, als P(E). Beispielsweise kann „die Münze wird auf dem Kopf landen“ mit H bezeichnet werden. Dann stellt P(H) die Wahrscheinlichkeit dar, dass die Münze auf dem Kopf landet. Wenn alle Ergebnisse eines Experiments die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben, spricht man von gleicher Wahrscheinlichkeit. Um die Unterschiede zwischen Ereignissen, die gleich wahrscheinlich sind, und Ereignissen, die dies nicht sind, zu erkennen, betrachten Sie das unten gezeigte Ziel.

Für Ziel A sind die Trefferereignisse für Schwarz, Rot und Weiß gleich wahrscheinlich, da die schwarzen, roten und weißen Sektoren gleich sind. Für Ziel B sind die Zonen mit diesen Farben jedoch nicht gleich, das heißt, es ist nicht gleich wahrscheinlich, sie zu treffen.

Prinzip P (Theoretisch)

Wenn ein Ereignis E auf m Arten von n möglichen, gleichwahrscheinlichen Ergebnissen aus dem Ergebnisraum S eintreten kann, dann theoretische Wahrscheinlichkeit Ereignisse, P(E) ist
P(E) = m/n.

Beispiel 6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel zu würfeln, um eine 3 zu erhalten?

Lösung Beim Würfeln gibt es 6 gleichwahrscheinliche Ergebnisse und es gibt nur eine Möglichkeit, die Zahl 3 zu würfeln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit P P(3) = 1/6.

Beispiel 7 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerade Zahl zu würfeln?

Lösung Das Ereignis ist das Werfen einer geraden Zahl. Dies kann auf drei Arten geschehen (wenn Sie eine 2, 4 oder 6 würfeln). Die Anzahl gleich wahrscheinlicher Ergebnisse beträgt 6. Dann ist die Wahrscheinlichkeit P(gerade) = 3/6 oder 1/2.

Wir werden eine Reihe von Beispielen verwenden, die ein Standardkartenspiel mit 52 Karten betreffen. Dieses Deck besteht aus den in der Abbildung unten gezeigten Karten.

Beispiel 8 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem gut gemischten Kartenspiel ein Ass zu ziehen?

Lösung Es gibt 52 Ergebnisse (die Anzahl der Karten im Stapel), sie sind gleich wahrscheinlich (wenn der Stapel gut gemischt ist) und es gibt 4 Möglichkeiten, ein Ass zu ziehen, also nach dem P-Prinzip die Wahrscheinlichkeit
P(ein Ass ziehen) = 4/52 oder 1/13.

Beispiel 9 Angenommen, wir wählen, ohne hinzusehen, einen Ball aus einem Beutel mit 3 roten und 4 grünen Bällen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu wählen?

Lösung Es gibt 7 gleich wahrscheinliche Ergebnisse beim Ziehen einer beliebigen Kugel, und da es 3 Möglichkeiten gibt, eine rote Kugel zu ziehen, erhalten wir:
P(rote Kugelauswahl) = 3/7.

Die folgenden Aussagen sind Ergebnisse aus Prinzip P.

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

a) Wenn Ereignis E nicht eintreten kann, dann ist P(E) = 0.
b) Wenn Ereignis E sicher eintritt, dann ist P(E) = 1.
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis E eintritt, ist eine Zahl von 0 bis 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Beispielsweise ist bei einem Münzwurf die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet, gleich Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze entweder Kopf oder Zahl ist, beträgt 1.

Beispiel 10 Nehmen wir an, dass aus einem 52-Karten-Deck 2 Karten gezogen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei beiden um Spitzenwerte handelt?

Lösung Die Anzahl n der Möglichkeiten, aus einem gut gemischten Kartenspiel mit 52 Karten zwei Karten zu ziehen, beträgt 52 C 2 . Da 13 der 52 Karten Pik sind, beträgt die Anzahl der Möglichkeiten m, 2 Pik zu ziehen, 13 C 2 . Dann,
P(2 Spitzen ziehen)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Beispiel 11 Angenommen, drei Personen werden zufällig aus einer Gruppe von sechs Männern und vier Frauen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Mann und 2 Frauen ausgewählt werden?

Lösung Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Gruppe von 10 Personen drei Personen auszuwählen, beträgt 10 C 3. Ein Mann kann auf 6 C 1-Arten ausgewählt werden, und zwei Frauen können auf 4 C 2-Arten ausgewählt werden. Nach dem Grundprinzip des Zählens beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, 1 Mann und 2 Frauen auszuwählen, 6 C 1. 4 C 2 . Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Mann und 2 Frauen ausgewählt werden
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Beispiel 12 Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln eine 8 zu würfeln?

Lösung Jeder Würfel hat 6 mögliche Ergebnisse. Die Ergebnisse werden verdoppelt, d. h. es gibt 6,6 bzw. 36 Möglichkeiten, wie die Zahlen auf den beiden Würfeln erscheinen können. (Es ist besser, wenn die Würfel unterschiedlich sind, sagen wir, einer ist rot und der andere blau – das hilft, das Ergebnis besser zu visualisieren.)

Die Zahlenpaare, die zusammen 8 ergeben, sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Es gibt 5 Möglichkeiten, eine Summe von 8 zu erhalten, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit 5/36.

Bei den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik gibt es auch komplexere Wahrscheinlichkeitsprobleme (als wir in Teil 1 betrachtet haben), bei denen wir die Regel der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten anwenden und zwischen kompatiblen und inkompatiblen Ereignissen unterscheiden müssen.

Also die Theorie.

Gemeinsame und nicht-gemeinsame Veranstaltungen

Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn das Eintreten eines von ihnen das Eintreten anderer ausschließt. Das heißt, es kann nur das eine oder andere bestimmte Ereignis eintreten.

Beispielsweise können Sie beim Würfeln zwischen Ereignissen wie dem Erreichen einer geraden und dem Erreichen einer ungeraden Punktzahl unterscheiden. Diese Ereignisse sind nicht kompatibel.

Ereignisse werden als gemeinsame Ereignisse bezeichnet, wenn das Eintreten eines von ihnen das Eintreten des anderen nicht ausschließt.

Wenn Sie beispielsweise einen Würfel werfen, können Sie Ereignisse wie das Würfeln einer ungeraden Augenzahl und das Würfeln einer Augenzahl, die ein Vielfaches von drei ist, unterscheiden. Wenn eine Drei gewürfelt wird, treten beide Ereignisse ein.

Summe der Ereignisse

Die Summe (oder Kombination) mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse besteht.

Dabei Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel 5 oder 6 Punkte zu erzielen, , da beide Ereignisse (Würfel 5, Würfel 6) inkonsistent sind und die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des einen oder anderen Ereignisses wie folgt berechnet wird:

Die Wahrscheinlichkeit Summe zweier gemeinsamer Veranstaltungen gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne Berücksichtigung ihres gemeinsamen Auftretens:

In einem Einkaufszentrum verkaufen beispielsweise zwei identische Automaten Kaffee. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine am Ende des Tages keinen Kaffee mehr hat, liegt bei 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass beiden Maschinen der Kaffee ausgeht, beträgt 0,12. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass am Ende des Tages der Kaffee in mindestens einer der Maschinen ausgeht (d. h. entweder in der einen, in der anderen oder in beiden).

Die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis „In der ersten Maschine geht der Kaffee aus“ sowie die Wahrscheinlichkeit für das zweite Ereignis „In der zweiten Maschine geht der Kaffee aus“ beträgt gemäß der Bedingung 0,3. Veranstaltungen sind kollaborativ.

Die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten der ersten beiden Ereignisse beträgt gemäß der Bedingung 0,12.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des Tages in mindestens einer der Maschinen der Kaffee ausgeht, beträgt

Abhängige und unabhängige Veranstaltungen

Zwei Zufallsereignisse A und B heißen unabhängig, wenn das Eintreten eines von ihnen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert. Andernfalls heißen die Ereignisse A und B abhängig.

Wenn beispielsweise zwei Würfel gleichzeitig gewürfelt werden, sind einer davon, sagen wir 1, und der andere, 5, unabhängige Ereignisse.

Produkt von Wahrscheinlichkeiten

Das Produkt (oder die Schnittmenge) mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das aus dem gemeinsamen Auftreten aller dieser Ereignisse besteht.

Wenn zwei auftreten unabhängige Veranstaltungen A und B mit den Wahrscheinlichkeiten P(A) bzw. P(B), dann ist die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens der Ereignisse A und B gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten:

Uns interessiert zum Beispiel, dass zweimal hintereinander eine Sechs auf einem Würfel erscheint. Beide Ereignisse sind unabhängig und die Wahrscheinlichkeit, dass jedes von ihnen separat auftritt, beträgt . Die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Ereignisse eintreten, wird mit der obigen Formel berechnet: .

Sehen Sie sich eine Auswahl an Aufgaben zum Üben des Themas an.

Wahrscheinlichkeit ist der Grad (relatives Maß, quantitative Bewertung) der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses. Wenn die Gründe für das tatsächliche Eintreten eines möglichen Ereignisses die gegenteiligen Gründe überwiegen, wird dieses Ereignis als wahrscheinlich bezeichnet, andernfalls als unwahrscheinlich oder unwahrscheinlich. Das Überwiegen positiver Gründe gegenüber negativen und umgekehrt kann unterschiedlich ausgeprägt sein, wodurch die Wahrscheinlichkeit (und Unwahrscheinlichkeit) mehr oder weniger groß sein kann. Daher wird die Wahrscheinlichkeit häufig auf qualitativer Ebene bewertet, insbesondere in Fällen, in denen eine mehr oder weniger genaue quantitative Bewertung unmöglich oder äußerst schwierig ist. Es sind verschiedene Abstufungen der „Stufen“ der Wahrscheinlichkeit möglich.
Das Studium der Wahrscheinlichkeit aus mathematischer Sicht stellt eine besondere Disziplin dar – die Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik wird das Konzept der Wahrscheinlichkeit als numerisches Merkmal eines Ereignisses formalisiert – ein Wahrscheinlichkeitsmaß (oder sein Wert) – ein Maß für eine Menge von Ereignissen (Teilmengen einer Menge elementarer Ereignisse), die Werte annehmen von
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Bedeutung
(\displaystyle 1)
Entspricht einem zuverlässigen Ereignis. Ein unmögliches Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 0 (das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht immer der Fall). Wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses beträgt
(\displaystyle p)
Dann ist die Wahrscheinlichkeit seines Nichtauftretens gleich
(\displaystyle 1-p)
Insbesondere die Wahrscheinlichkeit
(\displaystyle 1/2)
Bedeutet die gleiche Wahrscheinlichkeit des Eintretens und Nichteintretens eines Ereignisses.
Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit basiert auf dem Konzept der gleichen Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen Ergebnisse. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei einem zufälligen Münzwurf Kopf oder Zahl zu bekommen, 1/2, wenn davon ausgegangen wird, dass nur diese beiden Möglichkeiten auftreten und dass sie gleichermaßen möglich sind. Diese klassische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit kann auf den Fall einer unendlichen Anzahl möglicher Werte verallgemeinert werden – zum Beispiel, wenn ein Ereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Punkt (die Anzahl der Punkte ist unendlich) einer begrenzten Region auftreten kann Raum (Ebene), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Teil dieser möglichen Region auftritt, gleich dem Verhältnis des Volumens (Fläche) dieses Teils zum Volumen (Fläche) der Region aller möglichen Punkte.
Die empirische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Häufigkeit eines Ereignisses und basiert auf der Tatsache, dass bei einer ausreichend großen Anzahl von Versuchen die Häufigkeit dem objektiven Grad der Möglichkeit dieses Ereignisses entsprechen sollte. In der modernen Darstellung der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Wahrscheinlichkeit axiomatisch definiert, als Sonderfall der abstrakten Mengentheorie. Das Bindeglied zwischen dem abstrakten Maß und der Wahrscheinlichkeit, die den Grad der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ausdrückt, ist jedoch gerade die Häufigkeit seiner Beobachtung.
Die probabilistische Beschreibung bestimmter Phänomene ist in der modernen Wissenschaft weit verbreitet, insbesondere in der Ökonometrie, der statistischen Physik makroskopischer (thermodynamischer) Systeme, wo selbst im Fall einer klassischen deterministischen Beschreibung der Bewegung von Teilchen eine deterministische Beschreibung des gesamten Systems erfolgt von Partikeln erscheint praktisch weder möglich noch sinnvoll. In der Quantenphysik sind die beschriebenen Prozesse selbst probabilistischer Natur.

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Als mir dieser Begriff zum ersten Mal begegnete, hätte ich nicht verstanden, was er bedeutet. Deshalb werde ich versuchen, es klar zu erklären.

Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass das von uns gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie beispielsweise beschlossen haben, zum Haus eines Freundes zu gehen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, in der er wohnt. Aber ich habe die Nummer und den Standort der Wohnung vergessen. Und jetzt stehen Sie auf der Treppe und vor Ihnen stehen Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund die Tür für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Es gibt nur Wohnungen und nur hinter einer davon wohnt ein Freund. Bei gleicher Chance können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Die Tür, die rechte Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch das erste Klingeln: . Das heißt, in einem von drei Fällen werden Sie es richtig erraten.

Wir möchten wissen, wie oft wir die Tür erraten, wenn wir einmal angerufen haben. Schauen wir uns alle Optionen an:

Du hast angerufen 1 Tür
Du hast angerufen 2 Tür
Du hast angerufen 3 Tür

Schauen wir uns nun alle Möglichkeiten an, wo ein Freund sein könnte:

A. Hinter 1 die Tür
B. Hinter 2 die Tür
V. Hinter 3 die Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Tabellenform. Ein Häkchen zeigt Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz, wenn sie nicht übereinstimmt.

Wie siehst du alles? Vielleicht Optionen den Standort Ihres Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

A günstige Ergebnisse für alle . Das heißt, Sie raten einmal, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d. h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit – das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort Ihres Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, daher:

Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, daher nehmen wir für – die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für – die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann als Prozentsatz angegeben werden; dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Das Wort „Ergebnisse“ ist Ihnen wahrscheinlich aufgefallen. Da Mathematiker verschiedene Aktionen (in unserem Fall eine Türklingel) als Experimente bezeichnen, wird das Ergebnis solcher Experimente üblicherweise als Ergebnis bezeichnet.

Nun, es gibt günstige und ungünstige Ergebnisse.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber ein Fremder hat sie für uns geöffnet. Wir haben nicht richtig geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das gedacht haben, dann ist das ein Fehler. Lass es uns herausfinden.

Wir haben noch zwei Türen übrig. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Rufen Sie an 2 Tür

Trotz alledem steht der Freund definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir anriefen):

a) Freund für 1 die Tür
b) Freund für 2 die Tür

Zeichnen wir die Tabelle noch einmal:

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen, die günstig sind. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die von uns betrachtete Situation ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Handlungen beeinflussen. Denn wenn nach dem ersten Klingeln ein Freund an der Tür antwortete, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der beiden anderen befand? Rechts, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es auch welche geben unabhängig? Das stimmt, es kommt tatsächlich vor.

Ein Beispiel aus dem Lehrbuch ist das Werfen einer Münze.

Wirf einmal eine Münze. Wie hoch ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen? Das ist richtig – denn es gibt alle Optionen (entweder Kopf oder Zahl, wir vernachlässigen die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet), aber es passt nur zu uns.
Aber es kam Kopf hoch. Okay, lass es uns noch einmal werfen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen? Nichts hat sich verändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Mit wie vielen sind wir zufrieden? Eins.

Und lassen Sie es mindestens tausendmal hintereinander Kopf hochkommen. Die Wahrscheinlichkeit, auf einmal Kopf zu bekommen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, und zwar günstige.

Es ist leicht, abhängige Ereignisse von unabhängigen zu unterscheiden:

Wird das Experiment einmal durchgeführt (sie werfen einmal eine Münze, klingeln einmal an der Tür usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig.
Wird ein Experiment mehrmals durchgeführt (eine Münze wird einmal geworfen, es wird mehrmals an der Tür geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und wenn sich dann die Zahl der günstigen oder die Zahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Üben wir ein wenig die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 1.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen?

Lösung:

Betrachten wir alle möglichen Optionen:

Adler-Adler
Kopf-Zahl
Zahl-Köpfe
Schwanz-Schwanz

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie in der Bedingung lediglich aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, muss die Antwort in Form eines Dezimalbruchs angegeben werden. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden soll, dann würden wir mit multiplizieren.

Antwort:

Beispiel 2.

In einer Pralinenschachtel sind alle Pralinen in der gleichen Verpackung verpackt. Allerdings aus Süßigkeiten – mit Nüssen, mit Cognac, mit Kirschen, mit Karamell und mit Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Lösung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, ist es eine der in der Schachtel verfügbaren.

Wie viele positive Ergebnisse?

Denn in der Schachtel sind ausschließlich Pralinen mit Nüssen enthalten.

Antwort:

Beispiel 3.

In einer Schachtel mit Luftballons. davon sind weiß und schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
Wir haben der Box weitere schwarze Bälle hinzugefügt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?

Lösung:

a) Es sind nur Bälle in der Box. Davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind mehr Bälle in der Box. Und es sind genauso viele Weiße übrig - .

Antwort:

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Nehmen wir an, in einer Schachtel befinden sich rote und grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Grüner Ball? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen

Grüner Ball:

Roter oder grüner Ball:

Wie Sie sehen, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Wenn Sie diesen Punkt verstehen, können Sie viele Probleme lösen.

Beispiel 4.

In der Box befinden sich Markierungen: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu zeichnen?

Lösung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEIN roter Marker, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die wir als ungünstig erachten (wenn wir eine rote Markierung entfernen), beträgt .

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen NICHT roten Filzstift herauszuziehen, .

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Die Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Ereignisse sind.

Was wäre, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln müssten, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander auftreten?

Nehmen wir an, wir möchten wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir zweimal „Kopf“ sehen, wenn wir einmal eine Münze werfen.

Wir haben bereits darüber nachgedacht - .

Was wäre, wenn wir einmal eine Münze werfen würden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Adler zweimal hintereinander zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

Adler-Adler-Adler
Kopf-Kopf-Zahl
Kopf-Zahl-Kopf
Kopf-Zahl-Zahl
Zahl-Köpfe-Köpfe
Zahl-Kopf-Zahl
Zahl-Zahl-Köpfe
Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe beim Zusammenstellen dieser Liste mehrmals Fehler gemacht. Wow! Und nur die Option (die erste) passt zu uns.

Für 5 Würfe können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher stellten sie zunächst fest und bewiesen dann, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Schauen wir uns das Beispiel derselben unglücklichen Münze an.

Wahrscheinlichkeit, in einer Herausforderung Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir die Münze einmal.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe „Kopf“ zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln sollen, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Reihenfolge SCHWANZ-KOPF-SCHWANZ für aufeinanderfolgende Würfe finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen, beträgt -, Köpfe -.

Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge TAILS-HEADS-TAILS-TAILS zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neue Definition.

Lass es uns herausfinden. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

Adler-Adler-Adler
Kopf-Kopf-Zahl
Kopf-Zahl-Kopf
Kopf-Zahl-Zahl
Zahl-Köpfe-Köpfe
Zahl-Kopf-Zahl
Zahl-Zahl-Köpfe
Schwänze-Schwänze-Schwänze

Inkompatible Ereignisse sind also eine bestimmte, vorgegebene Abfolge von Ereignissen. - Dies sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass Kopf und Zahl zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Sequenz (oder einer anderen) bestimmen möchten, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten und dritten Wurf „Zahl“ zu bekommen?

Wenn wir aber wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Sequenzen zu erhalten, zum Beispiel wenn „Kopf“ genau einmal auftaucht, d. h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Folgen addieren.

Die Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können das Gleiche erhalten, indem wir die Eintrittswahrscheinlichkeiten jeder Sequenz addieren:

Daher addieren wir Wahrscheinlichkeiten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmter, inkonsistenter Abfolgen von Ereignissen bestimmen wollen.

Es gibt eine tolle Regel, die Ihnen dabei hilft, Verwirrung beim Multiplizieren und Addieren zu vermeiden:

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem wir einmal eine Münze geworfen haben und wissen wollten, wie wahrscheinlich es ist, dass wir einmal „Kopf“ sehen.
Was wird passieren?

Sollte herausfallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl).
So stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5.

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit roten oder grünen Stiften zu zeichnen?

Lösung:

Was wird passieren? Wir müssen ziehen (rot ODER grün).

Nun ist es klar, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Antwort:

Beispiel 6.

Wenn ein Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 8 ergibt?

Lösung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, ein (beliebiges) Gesicht zu bekommen, beträgt .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Antwort:

Ausbildung.

Ich denke, jetzt verstehen Sie, wann Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, wann Sie sie addieren und wann Sie sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lasst uns ein wenig üben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel mit Karten wie Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Karo. Von bis Ass jeder Farbe.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze hintereinander zu ziehen (wir legen die zuerst gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen sie)?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu zeichnen (Bube, Dame, König oder Ass)?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir nehmen die erste gezogene Karte vom Stapel)?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kombination (Bube, Dame oder König) und ein Ass zu erhalten, wenn man zwei Karten nimmt? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

In einem Kartenspiel mit jedem Wert bedeutet dies:
Ereignisse sind abhängig, da nach dem Herausziehen der ersten Karte die Anzahl der Karten im Stapel abnahm (ebenso wie die Anzahl der „Bilder“). Zu Beginn sind insgesamt Buben, Damen, Könige und Asse im Deck, was die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ersten Karte ein „Bild“ zu ziehen:
Da wir die erste Karte aus dem Stapel entfernen, bedeutet dies, dass bereits Karten im Stapel übrig sind, einschließlich Bildern. Wahrscheinlichkeit, mit der zweiten Karte ein Bild zu zeichnen:
Da uns die Situation interessiert, wenn wir ein „Bild“ UND ein „Bild“ vom Stapel nehmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:
Antwort:
Nachdem die erste Karte herausgezogen wurde, verringert sich die Anzahl der Karten im Stapel. Daher passen zwei Optionen zu uns:
1) Die erste Karte ist ein Ass, die zweite ist ein Bube, eine Dame oder ein König
2) Wir ziehen mit der ersten Karte einen Buben, eine Dame oder einen König und mit der zweiten ein Ass. (Ass und (Bube oder Dame oder König)) oder ((Bube oder Dame oder König) und Ass). Vergessen Sie nicht, die Anzahl der Karten im Stapel zu reduzieren!

Wenn Sie alle Probleme selbst lösen konnten, dann sind Sie großartig! Jetzt werden Sie die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie im Einheitlichen Staatsexamen wie verrückt lösen!

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir werfen einen Würfel. Was für ein Knochen ist das, wissen Sie? So nennt man einen Würfel mit Zahlen auf den Seiten. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Also würfeln wir und wir wollen, dass es auftaucht oder. Und wir verstehen es.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist glückverheißendes Ereignis(nicht zu verwechseln mit wohlhabend).

Wenn es passieren würde, wäre das Ereignis auch günstig. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele sind ungünstig? Da es insgesamt mögliche Ereignisse gibt, bedeutet dies, dass die ungünstigen Ereignisse Ereignisse sind (dies ist, wenn oder herausfällt).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit gibt an, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Sie bezeichnen Wahrscheinlichkeit mit einem lateinischen Buchstaben (anscheinend vom englischen Wort Wahrscheinlichkeit – Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Themen und). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (entscheide selbst):

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Kopf“ zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten? Welches ist seltsam?
In einer Schachtel mit einfachen blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein einfaches zu bekommen?

Lösungen:

Wie viele Möglichkeiten gibt es? Kopf und Zahl – nur zwei. Wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit
Dasselbe gilt auch für tails: .
Gesamtoptionen: (wie viele Seiten hat der Würfel, so viele verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen:).
Wahrscheinlichkeit. Das Gleiche gilt natürlich auch für ungerade Zahlen.
Gesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Gesamtwahrscheinlichkeit

Alle Stifte in der Box sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (schließlich günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es insgesamt Ereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich oder.

Ein solches Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet.

Wenn eine Schachtel grüne und rote Stifte enthält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu zeichnen? Wieder mal. Beachten wir Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün herauszuziehen, ist gleich und Rot ist gleich.

Insgesamt sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht grün zu zeichnen?

Lösung:

Wir erinnern uns daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, grün zu werden, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu zeichnen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze einmal und möchten, dass sie beide Male „Kopf“ zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und feststellen, wie viele es gibt:

Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl. Was sonst?

Gesamtoptionen. Davon passt nur einer zu uns: Eagle-Eagle. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit gleich.

Bußgeld. Jetzt werfen wir einmal eine Münze. Rechnen Sie selbst. Passiert? (Antwort).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Wurf um die Hälfte verringert. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängig sind. Wenn wir beispielsweise eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf ausgeführt, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Wir können genauso gut zwei verschiedene Münzen gleichzeitig werfen.

Mehr Beispiele:

Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, es beide Male zu bekommen?
Die Münze wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und dann zweimal „Zahl“ gibt?
Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der darauf befindlichen Zahlen gleich ist?

Antworten:

Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit für „Zahlen“ ist gleich. Multiplizieren:
12 kann nur erhalten werden, wenn zwei -ki gewürfelt werden: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Ereignisse, die sich bis zur vollen Wahrscheinlichkeit ergänzen, werden als inkompatibel bezeichnet. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann es entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein.

Beispiel.

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen?

Lösung .

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Günstige Ereignisse insgesamt: Grün + Rot. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen, gleich ist.

Die gleiche Wahrscheinlichkeit kann in dieser Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Probleme gemischter Art

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse der Würfe unterschiedlich ausfallen?

Lösung .

Das heißt, wenn das erste Ergebnis „Kopf“ ist, muss das zweite Ergebnis „Zahl“ sein und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt und diese Paare miteinander nicht kompatibel sind. Wie man nicht verwirrt, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren wird, indem Sie die Konjunktionen „AND“ oder „OR“ verwenden. In diesem Fall zum Beispiel:

Es sollte (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf) erscheinen.

Wo es eine Konjunktion „und“ gibt, wird es eine Multiplikation geben, und wo es ein „oder“ gibt, wird es eine Addition geben:

Versuch es selber:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim zweimaligen Werfen beide Male auf derselben Seite landet?
Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt Punkte zu erzielen?

Lösungen:

(Köpfe fielen und Schwänze fielen) oder (Schwänze fielen und Schwänze fielen): .
Was sind die Möglichkeiten? Und. Dann:
Weggelassen (und) oder (und) oder (und): .

Ein anderes Beispiel:

Wirf einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen?

Lösung:

Oh, wie ich die Optionen nicht durchgehen möchte ... Kopf-Zahl-Zahl, Adler-Kopf-Zahl, ... Aber das ist nicht nötig! Erinnern wir uns an die Gesamtwahrscheinlichkeit. Erinnerst du dich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Adler wird nie herausfallen? Es ist ganz einfach: Köpfe fliegen ständig, deshalb.

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert.

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Die Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind solche, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Eine Reihe inkompatibler Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir mit den Konjunktionen „AND“ oder „OR“ beschrieben haben, was passieren soll, setzen wir anstelle von „AND“ ein Multiplikationszeichen und anstelle von „OR“ ein Additionszeichen.

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