Heterogenität des Systems. Einführung

1. Frage Prüfung

1. Methodik der Systemanalyse. Der Begriff eines Systems. Statische Eigenschaften des Systems. Offenheit. Schwierigkeiten beim Aufbau eines Black-Box-Modells. Heterogenität der Zusammensetzung. Schwierigkeiten beim Aufbau eines Kompositionsmodells. Struktur. Schwierigkeiten bei der Erstellung eines Strukturmodells.

Statische Eigenschaften Nennen wir die Merkmale eines bestimmten Zustands des Systems. Das ist es, was das System zu jedem festen Zeitpunkt hat.

Offenheit - die zweite Eigenschaft des Systems. Ein isoliertes System, das sich von allem anderen unterscheidet, ist nicht von der Umgebung isoliert. Im Gegenteil, sie sind miteinander verbunden und tauschen jegliche Art von Ressourcen (Materie, Energie, Informationen usw.) miteinander aus. Erinnern wir uns daran, dass die Verbindungen zwischen dem System und der Umgebung gerichtet sind; Nach Ansicht einiger beeinflusst die Umgebung das System (sie werden Systemeingaben genannt), nach anderen beeinflusst das System die Umgebung, tut etwas in der Umgebung, produziert etwas in der Umgebung (solche Verbindungen werden Systemausgaben genannt). Die Liste der Systemeingänge und -ausgänge wird aufgerufen Black-Box-Modell . Diesem Modell fehlen Informationen über die internen Merkmale des Systems. Trotz der (scheinbaren) Einfachheit und Inhaltsarmut des Black-Box-Modells ist dieses Modell für die Arbeit mit dem System oft völlig ausreichend.

Schwierigkeiten beim Aufbau eines Black-Box-Modells . Sie alle beruhen auf der Tatsache, dass das Modell immer eine endliche Liste von Verbindungen enthält, während ihre Anzahl in einem realen System unbegrenzt ist. Es stellt sich die Frage: Welche davon sollten in das Modell einbezogen werden und welche nicht? Die Antwort kennen wir bereits: Das Modell muss alle natürlichen Zusammenhänge widerspiegeln

das Ziel erreichen.

Vier Arten von Fehlern beim Erstellen eines Black-Box-Modells:

Ein Fehler erster Art liegt dann vor, wenn ein Proband einen Zusammenhang als bedeutsam einschätzt und beschließt, ihn in das Modell aufzunehmen, obwohl er im Hinblick auf das Ziel tatsächlich unbedeutend ist und nicht berücksichtigt werden konnte. Dies führt dazu, dass „zusätzliche“ Elemente im Modell erscheinen, die im Wesentlichen unnötig sind.

Ein Fehler der zweiten Art hingegen wird vom Subjekt begangen, wenn es entscheidet, dass eine bestimmte Verbindung unbedeutend ist und es nicht verdient, in das Modell aufgenommen zu werden, obwohl unser Ziel ohne sie tatsächlich nicht vollständig oder nicht erreicht werden kann sogar überhaupt.

Als Fehler dritter Art gelten Folgen von Unwissenheit. Um die Bedeutung eines bestimmten Zusammenhangs beurteilen zu können, muss man wissen, dass dieser überhaupt existiert. Wenn dies unbekannt ist, stellt sich die Frage, ob es in das Modell aufgenommen wird oder nicht, überhaupt nicht: Die Modelle enthalten nur das, was wir wissen. Aber weil wir die Existenz eines bestimmten Zusammenhangs nicht ahnen, hört er nicht auf zu existieren und manifestiert sich in der Realität. Und dann hängt alles davon ab, wie wichtig es für die Erreichung unseres Ziels ist. Wenn es unbedeutend ist, werden wir in der Praxis sein Vorhandensein in der Realität und sein Fehlen im Modell nicht bemerken. Wenn es erheblich ist, werden wir auf die gleichen Schwierigkeiten stoßen wie bei einem Fehler der zweiten Art. Der Unterschied besteht darin, dass ein Fehler der dritten Art schwieriger zu korrigieren ist: Es müssen neue Erkenntnisse erworben werden.

Ein Fehler der vierten Art kann auftreten, wenn ein bekannter und erkannter signifikanter Zusammenhang fälschlicherweise der Anzahl der Ein- oder Ausgänge zugeordnet wird.

Interne Heterogenität: Unterscheidbarkeit von Teilen (dritte Eigenschaft des Systems). Schaut man in die „Black Box“, stellt man fest, dass das System nicht homogen, nicht monolithisch ist; Man kann feststellen, dass unterschiedliche Qualitäten von Ort zu Ort variieren. Die Beschreibung der inneren Heterogenität des Systems läuft darauf hinaus, relativ homogene Bereiche zu isolieren und Grenzen zwischen ihnen zu ziehen. So entsteht der Begriff der Teile des Systems. Bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass auch die ausgewählten großen Teile nicht homogen sind, was die Identifizierung noch kleinerer Teile erfordert. Das Ergebnis ist eine hierarchische Liste von Systemteilen, die wir als Systemzusammensetzungsmodell bezeichnen.

Schwierigkeiten beim Aufbau eines Kompositionsmodells die jeder überwinden muss, lässt sich in drei Positionen darstellen:

Erste. Das Ganze kann auf unterschiedliche Weise in Teile geteilt werden (z. B. wenn man einen Laib Brot in Scheiben unterschiedlicher Größe und Form schneidet). Und wie genau ist es notwendig? Antwort: Der Weg, den Sie brauchen, um Ihr Ziel zu erreichen.

Zweite. Die Anzahl der Teile im Kompositionsmodell hängt auch von der Ebene ab, auf der die Fragmentierung des Systems gestoppt wird. Die Teile auf den Endzweigen des resultierenden hierarchischen Baums werden aufgerufen Elemente .

Dritte. Jedes System ist Teil eines größeren Systems (und oft Teil mehrerer Systeme gleichzeitig). Und dieses Metasystem kann auch auf unterschiedliche Weise in Subsysteme unterteilt werden. Dies bedeutet, dass die äußere Grenze des Systems relativ und bedingt ist. Selbst die „offensichtliche“ Grenze des Systems (menschliche Haut, Zaun eines Unternehmens usw.) erweist sich unter bestimmten Bedingungen als unzureichend, um die Grenze unter diesen Bedingungen zu bestimmen.

Strukturalität Die vierte statische Eigenschaft besteht darin, dass die Teile des Systems nicht unabhängig oder voneinander isoliert sind; Sie sind miteinander verbunden und interagieren miteinander. Darüber hinaus hängen die Eigenschaften des Gesamtsystems maßgeblich davon ab, wie genau seine Teile zusammenwirken. Aus diesem Grund sind Informationen über die Verbindungen zwischen Teilen so wichtig. Die Liste der wesentlichen Verbindungen zwischen Systemelementen wird als Systemstrukturmodell bezeichnet. Die Unteilbarkeit eines Systems durch eine bestimmte Struktur wird als vierte statische Eigenschaft von Systemen bezeichnet – Strukturiertheit.

Schwierigkeiten beim Aufbau eines Strukturmodells . Wir betonen, dass für ein gegebenes System viele verschiedene Strukturmodelle vorgeschlagen werden können. Es ist klar, dass zum Erreichen eines bestimmten Ziels ein bestimmtes, am besten geeignetes Modell erforderlich ist. Die Schwierigkeit, aus vorhandenen Modellen auszuwählen oder ein Modell speziell für unseren Fall zu erstellen, ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Strukturmodell per Definition eine Liste wesentlicher Zusammenhänge ist.

Die erste Schwierigkeit hängt mit der Tatsache zusammen, dass das Strukturmodell nach der Auswahl des Zusammensetzungsmodells bestimmt wird und von der genauen Zusammensetzung des Systems abhängt. Aber auch bei fester Zusammensetzung ist das Strukturmodell variabel – durch die Möglichkeit, die Bedeutung von Zusammenhängen unterschiedlich zu definieren.

Die zweite Schwierigkeit ergibt sich aus der Tatsache, dass jedes Element des Systems eine „kleine Blackbox“ ist. Daher sind alle vier Arten von Fehlern MÖGLICH, wenn die Ein- und Ausgänge jedes im Strukturmodell enthaltenen Elements bestimmt werden.

2. Methodik der Systemanalyse. Der Begriff eines Systems. Dynamische Eigenschaften des Systems: Funktionalität, Stimulation, Variabilität des Systems im Laufe der Zeit, Existenz in einer sich ändernden Umgebung. Synthetische Eigenschaften des Systems: Entstehung, Untrennbarkeit in Teile, Inhärenz, Zweckmäßigkeit.

Dynamische Eigenschaften des Systems:

Funktionalität - die fünfte Eigenschaft des Systems. Als seine Funktionen werden die an den Ausgängen des Systems (Y(1)^(уi(t), Ур(1), -, Ун(0) ablaufenden Prozesse Y(t) betrachtet. Systemfunktionen - das ist sein Verhalten in der äußeren Umgebung; Änderungen, die das System in der Umgebung vornimmt; die Ergebnisse seiner Aktivitäten; Produkte, die das System produziert. Aus der Vielzahl der Ausgänge folgt die Vielzahl der Funktionen, die jeweils von jemandem und für etwas genutzt werden können. Daher kann dasselbe System unterschiedlichen Zwecken dienen.

Stimulierbarkeit - die sechste Eigenschaft des Systems. An den Eingängen des Systems treten auch bestimmte Prozesse X(t) = (x^(t), X2 (t), x^(t)) auf, die sich auf das System auswirken und sich (nach einer Reihe von Transformationen im System) drehen. in Y(t). Nennen wir die Einflüsse X(t) Reize, und die Anfälligkeit eines Systems gegenüber äußeren Einflüssen und die Veränderung seines Verhaltens unter diesen Einflüssen nennen wir Stimulierbarkeit.

Systemvariabilität im Laufe der Zeit - die siebte Eigenschaft des Systems. In jedem System treten Veränderungen auf, die berücksichtigt werden müssen; das zukünftige System vorsehen und in die Gestaltung einbeziehen; Sie können sie fördern oder ihnen entgegenwirken, sie beschleunigen oder verlangsamen, wenn mit dem bestehenden System gearbeitet wird. Im System kann sich alles ändern, aber anhand unserer Modelle können wir Änderungen visuell klassifizieren: Die Werte der internen Variablen (Parameter) Z(t), die Zusammensetzung und Struktur des Systems sowie beliebige Kombinationen davon können ändern.

Existenz in einer sich verändernden Umgebung - die achte Eigenschaft des Systems. Nicht nur dieses System verändert sich, sondern auch alle anderen. Für ein bestimmtes System sieht dies wie eine kontinuierliche Veränderung der Umgebung aus. Die Unvermeidlichkeit der Existenz in einer sich ständig verändernden Umgebung hat viele Konsequenzen für das System selbst, von der Notwendigkeit, sich an äußere Veränderungen anzupassen, um nicht unterzugehen, bis hin zu verschiedenen anderen Reaktionen des Systems. Bei der Betrachtung eines bestimmten Systems für einen bestimmten Zweck liegt der Schwerpunkt auf einigen spezifischen Merkmalen seiner Reaktion.

Synthetische Eigenschaften des Systems:

Synthetik . Mit diesem Begriff werden verallgemeinernde, kollektive, integrale Eigenschaften bezeichnet, die das zuvor Gesagte berücksichtigen, aber den Schwerpunkt auf die Interaktion des Systems mit der Umwelt, auf Integrität im allgemeinsten Sinne, legen.

Entstehung - die neunte Eigenschaft des Systems. Vielleicht sagt diese Eigenschaft mehr über die Natur von Systemen aus als jede andere. Durch die Kombination von Teilen zu einem System entstehen qualitativ neue Eigenschaften im System, die nicht auf die Eigenschaften der Teile reduzierbar sind, nicht aus den Eigenschaften der Teile abgeleitet werden, nur dem System selbst innewohnen und nur während der Zeit existieren Das System ist ein Ganzes. Ein System ist mehr als eine einfache Ansammlung von Teilen. Eigenschaften des Systems, die einzigartig sind werden Emergents (aus dem Englischen „aufsteigen“) genannt.

Untrennbarkeit in Teile - die zehnte Eigenschaft des Systems. Obwohl diese Eigenschaft eine einfache Folge der Emergenz ist, ist ihre praktische Bedeutung so groß und ihre Unterschätzung so häufig, dass es ratsam ist, sie gesondert hervorzuheben. Wenn wir das System selbst brauchen und nicht etwas anderes, dann kann es nicht in Teile zerlegt werden. Wenn ein Teil aus dem System ENTFERNT wird, treten zwei wichtige Ereignisse ein.

Erstens verändert sich dadurch die Zusammensetzung des Systems und damit seine Struktur. Dies wird ein anderes System mit anderen Eigenschaften sein. Da das vorherige System über viele Eigenschaften verfügt, verschwinden einige Eigenschaften, die mit diesem bestimmten Teil verbunden sind, vollständig (es kann auftauchend sein oder auch nicht). Einige Eigenschaften werden sich ändern, bleiben aber teilweise erhalten. Und einige Eigenschaften des Systems sind im Allgemeinen unwichtig, mit denen sie verbunden sind Wir möchten noch einmal betonen, dass es eine Frage der Folgenabschätzung ist, ob der Rückzug eines Teils aus dem System erhebliche Auswirkungen haben wird.

Die zweite wichtige Konsequenz der Entfernung eines Teils aus dem System besteht darin, dass der Teil innerhalb und außerhalb des Systems nicht dasselbe ist. Seine Eigenschaften ändern sich aufgrund der Tatsache, dass sich die Eigenschaften eines Objekts in Interaktionen mit den es umgebenden Objekten manifestieren, und wenn es aus dem System entfernt wird, wird die Umgebung des Elements völlig anders.

Unaufrichtigkeit - die elfte Eigenschaft des Systems. Wir werden sagen, dass das System umso inhärenter ist (aus dem Englischen „inhärent“ – ein integraler Bestandteil von etwas sein), desto besser ist es koordiniert, an die Umgebung angepasst und mit ihr kompatibel. Der Grad der Inhärenz variiert und kann sich ändern (Lernen, Vergessen, Evolution, Reform, Entwicklung, Degradierung usw.). Die Tatsache, dass alle Systeme offen sind, bedeutet nicht, dass sie alle gleichermaßen gut mit der Umwelt kompatibel sind.

Durchführbarkeit - zwölfte Eigenschaft des Systems. In vom Menschen geschaffenen Systemen ist die Unterordnung aller Dinge (sowohl Zusammensetzung als auch Struktur) unter das gesetzte Ziel so offensichtlich, dass sie als grundlegende Eigenschaft jedes künstlichen Systems anerkannt werden sollte. Das Ziel, für das das System erstellt wird, bestimmt, welche entstehende Eigenschaft die Umsetzung des Ziels gewährleistet, und dies wiederum bestimmt die Wahl der Zusammensetzung und Struktur des Systems. Eine der Definitionen des Systems ist besagt: Ein System ist ein Mittel zum Zweck. Es versteht sich, dass, wenn das angestrebte Ziel mit den vorhandenen Fähigkeiten nicht erreicht werden kann, das Subjekt aus den ihn umgebenden Objekten ein neues System zusammenstellt, das speziell zur Erreichung dieses Ziels geschaffen wurde. Es ist zu beachten, dass das Ziel selten eindeutig die Zusammensetzung und Struktur des zu erstellenden Systems bestimmt: Wichtig ist, dass die gewünschte Funktion umgesetzt wird, und dies kann oft auf unterschiedliche Weise erreicht werden.

3. Methodik der Systemanalyse. Modelle und Simulation. Das Konzept eines Modells als System. Analyse und Synthese als Methoden zur Modellkonstruktion. Künstliche und natürliche Klassifizierung von Modellen. Übereinstimmung der Modelle mit der Kultur des Fachs.

Je nachdem, was wir wissen, erklären müssen – wie das System aufgebaut ist oder wie es mit der Umwelt interagiert, werden zwei Erkenntnismethoden unterschieden: 1) analytisch; 2) synthetisch.

Das Analyseverfahren besteht aus der sequentiellen Durchführung der folgenden drei Vorgänge; 1) ein komplexes Ganzes in kleinere, vermutlich einfachere Teile aufteilen; 2) eine klare Erklärung der erhaltenen Fragmente geben; 3) Kombinieren Sie die Erklärung der Teile zu einer Erklärung des Ganzen. Bleibt ein Teil des Systems unklar, wird die Zerlegungsoperation wiederholt und wir versuchen erneut, neue, noch kleinere Fragmente zu erklären.

Das erste Produkt der Analyse ist, wie aus dem Diagramm ersichtlich, eine Liste von Systemelementen, d.h. . Systemzusammensetzungsmodell . Das zweite Produkt der Analyse ist ein Modell der Systemstruktur . Das dritte Produkt der Analyse ist Black-Box-Modell für jedes Element des Systems.

Synthetische Methode besteht aus der sequentiellen Durchführung von drei Operationen: 1) Identifizieren eines größeren Systems (Metasystems), zu dem das für uns interessante System gehört; 2) Betrachtung der Zusammensetzung und Struktur des Metasystems (seine Analyse): 3) Erklärung der Rolle, die unser System im Metasystem durch seine Verbindungen mit anderen Subsystemen des Metasystems einnimmt. Das Endprodukt der Synthese ist das Wissen über die Verbindungen unseres Systems mit anderen Teilen des Metasystems, d.h. Black-Box-Modell. Aber um es aufzubauen, mussten wir als Nebenprodukte gleichzeitig Modelle der Zusammensetzung und Struktur des Metasystems erstellen.

Analyse und Synthese sind kein Gegensatz, sondern ergänzen sich. Darüber hinaus gibt es in der Analyse eine synthetische Komponente und in der Synthese eine Analyse des Metasystems.

Es gibt zwei Arten von Klassifizierungen: künstlich und natürlich . Mit künstlicher Klassifizierung Die Einteilung in Klassen erfolgt „wie es sein sollte“, d.h. basierend auf dem gesetzten Ziel – für so viele Klassen und mit solchen Grenzen, wie das Ziel vorgibt. Die Klassifizierung erfolgt etwas anders, wenn die betrachtete Menge eindeutig heterogen ist. Natürliche Gruppierungen (in der Statistik werden sie Cluster genannt) scheinen danach zu verlangen, als Klassen definiert zu werden , (daher der Name der Klassifikation natürlich) . Allerdings sollte man das im Hinterkopf behalten Die natürliche Klassifizierung ist nur ein vereinfachtes, aufgerautes Modell der Realität .

Übereinstimmung der Modelle mit der Kultur des Fachs . Damit ein Modell seine Modellfunktion realisieren kann, reicht die Anwesenheit des Modells selbst nicht aus. Es ist nötig dass Das Modell war kompatibel und konsistent mit der Umgebung, die für das Modell die Kultur (Modellwelt) des Benutzers ist. Diese Bedingung wird bei der Betrachtung der Eigenschaften von Systemen Inhärenz genannt: Die Inhärenz eines Modells zur Kultur ist eine notwendige Voraussetzung für die Modellierung. Der Grad der Inhärenz des Modells kann sich ändern: zunehmen (Benutzerschulung, Erscheinen eines Adapters wie des Rosetta-Steins usw.) oder abnehmen (Vergessen, Kulturzerstörung) aufgrund von Veränderungen in der Umgebung oder im Modell selbst. Daher muss ein weiteres Element in das Modellierungsmetasystem einbezogen werden – die Kultur.

4. Methodik der Systemanalyse. Kontrolle. Fünf Steuerungskomponenten. Sieben Arten der Kontrolle.

Kontrolle - gezielte Einwirkung auf das System.

Fünf Steuerungskomponenten:

Die erste Kontrollkomponente ist das Kontrollobjekt selbst, das verwaltete System.

Der zweite zwingende Bestandteil des Managementsystems ist das Managementziel.

Die Steuerwirkung U(t) ist die dritte Steuerkomponente . Die Tatsache, dass die Ein- und Ausgänge des Systems durch eine bestimmte Beziehung Y(t)=S miteinander verbunden sind, lässt darauf hoffen, dass es eine Steueraktion gibt, bei der das Ziel V*(t) am Ausgang realisiert wird.

Das Systemmodell wird zur vierten Komponente des Managementprozesses.

Alle zur Steuerung erforderlichen Maßnahmen müssen abgeschlossen sein. Diese Funktion wird in der Regel einem speziell dafür geschaffenen System zugewiesen. (die fünfte Komponente des Managementprozesses). Wird als Steuereinheit oder Steuersystem (Subsystem), Steuergerät bezeichnet usw. In echt Steuerblock kann ein Subsystem eines kontrollierten Systems sein (wie ein avodouiravle1gae – Teil einer Anlage, ein Autopilot – ein Teil eines Flugzeugs), aber es kann auch ein externes System sein (wie ein Ministerium für ein untergeordnetes Unternehmen, wie ein Flugplatz-Dispatcher für eine Flugzeuglandung).

Sieben Steuerungsarten:

Die erste Art der Steuerung ist die einfache Systemsteuerung oder Programmsteuerung.

Die zweite Art der Kontrolle ist die Kontrolle eines komplexen Systems.

Die dritte Art der Steuerung ist die Steuerung durch Parameter oder Regelung.

Die vierte Art des Managements ist Management by Structure.

Die fünfte Art des Managements ist das Management nach Zielen.

Die sechste Art der Verwaltung ist die Verwaltung großer Systeme.

Siebte Art der Kontrolle. Neben der ersten Art der Kontrolle, bei der alles Notwendige zur Erreichung des Ziels vorhanden ist, sind die anderen betrachteten Arten der Kontrolle mit der Überwindung von Faktoren verbunden, die das Erreichen des Ziels verhindern: Mangel an Informationen über das Kontrollobjekt (zweite Art), Externe geringfügige Störungen, die das System geringfügig von der Zielbahn ablenken (dritter Typ), Diskrepanz zwischen den entstehenden Eigenschaften des Systems und dem gesetzten Ziel (vierter Typ), Mangel an materiellen Ressourcen, wodurch das Ziel unerreichbar wird und dessen Ersatz erforderlich wird (fünfter Typ). ), Zeitmangel, um die beste Lösung zu finden (sechster Typ).

5. Systemanalysetechnologie. Bedingungen für den Erfolg der Systemforschung. Phasen der systemischen Forschung: Behebung des Problems, Diagnose des Problems, Zusammenstellung einer Liste von Stakeholdern, Identifizierung des Problemmixes.

Bedingungen für den Erfolg der Systemforschung :

Garantie des Zugangs zu allen notwendigen Informationen (gleichzeitig garantiert der Analyst seinerseits die Vertraulichkeit);

Garantie der persönlichen Beteiligung von Spitzenfunktionären von Organisationen – obligatorischen Teilnehmern an einer Problemsituation (Manager von Problembeherrschungs- und Problemlösungssystemen);

Ablehnung der Anforderung, das erforderliche Ergebnis im Voraus zu formulieren („technische Spezifikationen“), da es viele verbessernde Interventionen gibt und diese im Voraus unbekannt sind, insbesondere welche für die Umsetzung ausgewählt werden.

Behebung des Problems – Die Aufgabe besteht darin, das Problem zu formulieren und zu dokumentieren. Die Formulierung des Problems wird vom Klienten selbst entwickelt; Die Aufgabe des Analytikers besteht darin, herauszufinden, worüber sich der Kunde beschwert und womit er unzufrieden ist. Das ist das Problem des Klienten, wie er es sieht. Gleichzeitig sollten Sie versuchen, seine Meinung nicht zu beeinflussen oder zu verfälschen.

Diagnose des Problems . Welche der Problemlösungsmethoden wir zur Lösung eines bestimmten Problems verwenden, hängt davon ab, ob wir uns dafür entscheiden, das unzufriedenste Subjekt zu beeinflussen oder in die Realität einzugreifen, mit der es unzufrieden ist (es kann Fälle geben, in denen eine Kombination beider Einflüsse ratsam ist). Die Aufgabe dieser Phase besteht darin, eine Diagnose zu stellen – also festzustellen, um welche Art von Problem es sich handelt.

Zusammenstellung einer Liste von Stakeholdern .Unser oberstes Ziel ist die Umsetzung von Verbesserungsmaßnahmen. Jede Etappe soll uns diesem Ziel einen Schritt näher bringen, aber wir müssen besonders darauf achten, dass dieser Schritt in die richtige Richtung geht und nicht in die andere Richtung. Um anschließend die Interessen aller an der Problemsituation Beteiligten zu berücksichtigen (und genau darauf basiert das Konzept der Verbesserungsintervention), ist es notwendig, zunächst herauszufinden, wer an der Problemsituation beteiligt ist, und eine Liste zu erstellen von ihnen. Gleichzeitig ist es wichtig, niemanden zu verpassen; Schließlich ist es unmöglich, die Interessen einer uns unbekannten Person zu berücksichtigen, und wenn wir niemanden berücksichtigen, besteht die Gefahr, dass unser Eingreifen keine Verbesserung bringt. Daher muss die Liste der Beteiligten an der Problemsituation vollständig sein.

Identifizieren des Problems . Stakeholder haben Interessen, die wir berücksichtigen müssen. Aber dafür muss man sie kennen. Derzeit verfügen wir nur über eine Liste der Anteilseigner. Die erste Information, die über einen Stakeholder eingeholt werden muss, ist seine eigene Einschätzung der für unseren Kunden problematischen Situation. Es kann unterschiedlich sein: Einige der Stakeholder haben möglicherweise ihre eigenen Probleme (negative Bewertung), andere sind vollkommen zufrieden (positive Bewertung), andere stehen der Realität möglicherweise neutral gegenüber. Auf diese Weise wird es klarer<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. Systemanalysetechnologie. Systemanalyseoperationen. Phasen der Systemforschung: Bestimmung des Konfigurators, Zielidentifikation, Bestimmung von Kriterien, experimentelle Forschung.

Systemanalyseoperationen . Wenn der Kunde den Vertragsbedingungen zustimmt, geht der Analytiker zur ersten Phase über, nach deren Abschluss er mit der zweiten beginnt und so weiter bis zur letzten Phase, an deren Ende die umgesetzte Verbesserungsmaßnahme erfolgen soll.

Konfiguratordefinition . Eine notwendige Voraussetzung für eine erfolgreiche Lösung eines Problems ist das Vorhandensein eines adäquaten Modells der Problemsituation, mit dessen Hilfe Optionen für vorgeschlagene Maßnahmen getestet und verglichen werden können. Dieses Modell (oder eine Reihe von Modellen) muss zwangsläufig mit den Mitteln einer Sprache (oder Sprachen) konstruiert werden. Es stellt sich die Frage, wie viele und welche Sprachen zur Bearbeitung dieses Problems benötigt werden und wie man diese auswählt. Es heißt Konfigurator. ein Mindestsatz an Fachsprachen, der eine vollständige (angemessene) Beschreibung der Problemsituation und ihrer Veränderungen ermöglicht. Sämtliche Arbeiten bei der Problemlösung erfolgen in den Sprachen des Konfigurators. Und nur auf ihnen. Die Definition des Konfigurators ist die Aufgabe dieser Phase. Wir betonen, dass der Konfigurator keine künstliche Erfindung von Systemanalytikern ist, die erfunden wurde, um ihnen die Arbeit zu erleichtern. Einerseits wird der Konfigurator durch die Art des Problems bestimmt. Andererseits kann der Konfigurator als eine weitere EIGENSCHAFT von Systemen betrachtet werden, als Mittel, mit dem das System sein Problem löst.

Zielerkennung . Wenn wir eine Verbesserungsmaßnahme umsetzen wollen, müssen wir sicherstellen, dass keiner der Beteiligten eine negative Meinung dazu hat. Menschen bewerten eine Veränderung positiv, wenn sie sie ihrem Ziel näher bringt, und negativ, wenn sie sie davon entfernt. Um eine Intervention zu entwerfen, ist es daher notwendig, die Ziele aller Beteiligten zu kennen. Die Hauptinformationsquelle ist natürlich der Stakeholder selbst.

Definition von Kriterien . Im Zuge der Lösung eines Problems ist es notwendig, die vorgeschlagenen Optionen zu vergleichen, den Grad der Zielerreichung oder -abweichung einzuschätzen und den Verlauf der Ereignisse zu überwachen. Dies wird erreicht, indem einige Merkmale der betrachteten Objekte und Prozesse hervorgehoben werden. Diese Zeichen müssen mit den für uns interessanten Merkmalen der betrachteten Objekte oder Prozesse in Zusammenhang stehen und der Beobachtung und Messung zugänglich sein. Basierend auf den erhaltenen Messergebnissen können wir dann die notwendige Kontrolle durchführen. Solche Merkmale nennt man Kriterien. Für jede Studie (einschließlich unserer) sind Kriterien erforderlich. Wie viele, welche und wie wählt man Kriterien aus? Zunächst zur Anzahl der Kriterien. Je weniger Kriterien Sie benötigen, desto einfacher ist es natürlich, Vergleiche anzustellen. Das heißt, es ist wünschenswert, die Anzahl der Kriterien zu minimieren; es wäre schön, sie auf eins zu reduzieren. Auswahl der Kriterien . Bei den Kriterien handelt es sich um quantitative Modelle qualitativer Ziele. Tatsächlich repräsentieren und ersetzen die gebildeten Kriterien in Zukunft gewissermaßen die Ziele: Die Optimierung nach den Kriterien soll eine maximale Annäherung an das Ziel gewährleisten. Natürlich sind die Kriterien nicht identisch mit dem Ziel, sie sind ein Abbild des Ziels, seines Modells. Die Bestimmung des Kriteriumswerts für eine bestimmte Alternative ist im Wesentlichen eine Messung des Grades ihrer Eignung als Mittel zum Zweck.

Experimentelle Untersuchung von Systemen. Experiment und Modell. Oftmals können fehlende Informationen über ein System nur aus dem System selbst gewonnen werden, indem ein speziell dafür konzipiertes Experiment durchgeführt wird. Die im Versuchsprotokoll enthaltenen Informationen werden extrahiert und die resultierenden Daten einer Verarbeitung und Umwandlung in eine Form unterzogen, die für die Aufnahme in das Systemmodell geeignet ist. Der letzte Schritt besteht darin, das Modell zu korrigieren und die erhaltenen Informationen in das Modell zu integrieren. Es ist leicht zu erkennen, dass Experimente erforderlich sind, um das Modell zu verbessern. Es ist auch wichtig zu verstehen, dass Experimente ohne ein Modell nicht möglich sind. Sie befinden sich im selben Zyklus. Die Drehung durch diesen Zyklus ähnelt jedoch nicht einem sich drehenden Rad, sondern einem rollenden Schneeball – mit jeder Umdrehung wird er größer und schwerer.

7. Systemanalysetechnologie. Phasen der Systemforschung: Aufbau und Verbesserung von Modellen, Generierung von Alternativen, Entscheidungsfindung, +.

Konstruktion und Verbesserung von Modellen. In der Systemanalyse werden dazu ein Problemmodell und eine Situation benötigt „verlieren“ möglich Optionen für Interventionen, um nicht nur diejenigen herauszuschneiden, die keine Verbesserung bewirken, sondern auch diejenigen auszuwählen, die sich verbessern (nach unseren Kriterien) am meisten verbessern. Es sollte betont werden, dass in jeder vorherigen und allen nachfolgenden Phasen ein Beitrag zur Konstruktion eines Situationsmodells geleistet wird (sowohl durch den eigenen Beitrag als auch durch die Entscheidung, zu einer früheren Phase zurückzukehren, um das Modell mit Informationen aufzufüllen). Daher gibt es in der Tat keine separate, besondere „Phase des Modellbaus“. Dennoch lohnt es sich, sich auf die Merkmale des Modellbaus bzw. auf deren Besonderheiten zu konzentrieren „Abschluss des Baus“ (d. h. neue Elemente hinzufügen oder unnötige entfernen).

Alternativen generieren . Bei der beschriebenen Technologie erfolgt dieser Vorgang in zwei Schritten:

Identifizieren von Diskrepanzen zwischen der Problem- und der Zielmischung. Die Unterschiede zwischen dem aktuellen (und unbefriedigenden) Zustand der Organisation und dem zukünftigen, wünschenswertesten Idealzustand, den sie anstreben soll, müssen klar formuliert werden. Diese Unterschiede sind die Lücken, deren Beseitigung geplant werden muss;

Vorschläge für mögliche Optionen zur Beseitigung oder Reduzierung festgestellter Abweichungen. Maßnahmen, Verfahren, Regeln, Projekte, Programme und Richtlinien – alles Bestandteile des Managements – müssen für die Umsetzung konzipiert sein.

Interne Heterogenität von Systemen: Unterscheidbarkeit von Teilen. Wenn man in die „Black Box“ schaut, stellt man fest, dass das System nicht homogen, nicht monolithisch ist: Man kann feststellen, dass sich unterschiedliche Qualitäten an verschiedenen Stellen unterscheiden. Die Beschreibung der inneren Heterogenität des Systems läuft darauf hinaus, relativ homogene Bereiche zu isolieren und Grenzen zwischen ihnen zu ziehen. So entsteht der Begriff der Teile des Systems. Bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass auch die ausgewählten großen Teile nicht homogen sind, was die Identifizierung noch kleinerer Teile erfordert. Das Ergebnis ist eine hierarchische Liste von Systemteilen, die wir als Systemzusammensetzungsmodell bezeichnen.

Informationen über die Zusammensetzung des Systems können für die Arbeit mit dem System genutzt werden. Die Ziele der Interaktion mit Systemen können unterschiedlich sein und daher können sich auch die Zusammensetzungsmodelle desselben Systems unterscheiden. Ein nützliches, praktikables Modell zu erstellen ist nicht einfach.

Schwierigkeiten beim Aufbau eines Kompositionsmodells

Auf den ersten Blick sind die Teile des Systems nicht schwer zu unterscheiden, sie „fallen ins Auge“. Einige Systeme differenzieren sich im Prozess des natürlichen Wachstums und der natürlichen Entwicklung spontan in Teile (Organismen, Gesellschaften, Planetensysteme, Moleküle, Mineralvorkommen usw.). Künstliche Systeme werden offensichtlich aus zuvor getrennten Teilen (Mechanismen, Gebäude, Texte, Melodien usw.) zusammengesetzt. Es gibt auch gemischte Arten von Systemen (Reservate, landwirtschaftliche Systeme, Naturforschungsorganisationen, Zugtransport).

Fragen Sie andererseits den Rektor, einen Studenten, einen Buchhalter oder einen Geschäftsführer, aus welchen Teilen eine Universität besteht, und jeder wird Ihnen sein eigenes Aufbaumodell nennen, das sich von den anderen unterscheidet. Auch Pilot, Flugbegleiter und Passagier werden die Zusammensetzung des Flugzeugs unterschiedlich bestimmen. Wir können sagen, dass der Körper aus einer rechten und einer linken Hälfte besteht, oder dass er aus einer oberen und einer unteren Hälfte besteht. Woraus besteht es also „wirklich“?

Die Schwierigkeiten bei der Konstruktion eines Kompositionsmodells, die jeder überwinden muss, lassen sich in drei Positionen darstellen.

1. Das Ganze kann auf unterschiedliche Weise in Teile zerlegt werden

Das Ganze kann auf unterschiedliche Weise in Teile geteilt werden (z. B. wenn man einen Laib Brot in Scheiben unterschiedlicher Größe und Form schneidet). Und wie genau ist es notwendig? Antwort: Der Weg, den Sie brauchen, um Ihr Ziel zu erreichen. Beispielsweise wird die Zusammensetzung eines Autos Anfängern, zukünftigen Berufskraftfahrern, Mechanikern, die sich auf die Arbeit in Autowerkstätten vorbereiten, und Verkäufern in Autohäusern unterschiedlich präsentiert.

Dann ist es natürlich, auf die Frage zurückzukommen: Existieren Teile „wirklich“? Beachten Sie die sorgfältige Formulierung der betreffenden Eigenschaft: Unterscheidbarkeit von Teilen, nicht Trennbarkeit in Teile. Das Problem der Systemintegrität haben wir anders angegangen: Sie können die Teile des Systems, die Sie für Ihren Zweck benötigen, unterscheiden und die Ihnen darüber zur Verfügung stehenden Informationen nutzen, sollten sie aber nicht trennen. Später werden wir diese Position vertiefen und weiterentwickeln.

2. Anzahl der Teile im Kompositionsmodell

Die Anzahl der Teile im Kompositionsmodell hängt auch von der Ebene ab, auf der die Fragmentierung des Systems gestoppt wird. Die Teile auf den Endzweigen des resultierenden hierarchischen Baums werden Elemente genannt. Unter verschiedenen Umständen wird die Zersetzung auf unterschiedlichen Ebenen beendet. Beispielsweise ist es bei der Beschreibung anstehender Arbeiten erforderlich, einem erfahrenen Arbeiter und einem Anfänger Anweisungen mit unterschiedlichem Detaillierungsgrad zu geben. Somit hängt das Kompositionsmodell davon ab, was als elementar gilt, und da dieses Wort bewertend ist, handelt es sich nicht um einen absoluten, sondern um einen relativen Begriff. Es gibt jedoch Fälle, in denen ein Element natürlicher, absoluter Natur ist (eine Zelle ist das einfachste Element eines lebenden Organismus; ein Individuum ist das letzte Element der Gesellschaft; Phoneme sind die kleinsten Teile der mündlichen Sprache) oder von uns bestimmt wird Fähigkeiten (zum Beispiel können wir davon ausgehen, dass ein Elektron auch aus etwas besteht, aber bisher konnten Physiker seine Teile mit einer Bruchteilladung nicht nachweisen).

3. Äußere Grenze des Systems

Jedes System ist Teil eines größeren Systems (und oft Teil mehrerer Systeme gleichzeitig). Und dieses Metasystem kann auch auf unterschiedliche Weise in Subsysteme unterteilt werden. Dies bedeutet, dass die äußere Grenze des Systems relativ und bedingt ist. Selbst die „offensichtliche“ Grenze des Systems (menschliche Haut, Zaun eines Unternehmens usw.) erweist sich unter bestimmten Bedingungen als unzureichend, um die Grenze unter diesen Bedingungen zu bestimmen. Während einer Mahlzeit nehme ich zum Beispiel mit einer Gabel ein Schnitzel vom Teller, beiße es ab, kaue es, schlucke es und verdaue es. Wo ist die Grenze, über die das Schnitzel ein Teil von mir wird? Ein weiteres Beispiel ist die Unternehmensgrenze. Der Arbeiter stürzte auf der Treppe und brach sich das Bein. Nach der Behandlung stellt sich bei der Bezahlung der Rechnung die Frage: Um welche Art von Verletzung handelte es sich – im Haushalt oder in der Industrie (sie werden unterschiedlich bezahlt)? Es besteht kein Zweifel, ob dies die Treppe des Unternehmens war. Aber wenn es die Treppe des Hauses war, in dem der Arbeiter wohnt, dann hängt alles davon ab, wie er nach Hause ging. Wenn Sie direkt von der Arbeit kommen und die Wohnungstür noch nicht erreicht haben, gilt die Verletzung als berufsbedingt. Geht er aber unterwegs in ein Geschäft oder ins Kino, handelt es sich um eine häusliche Verletzung. Wie wir sehen, definiert das Gesetz die Grenzen des Unternehmens bedingt.

Die Konventionalität der Grenzen des Systems führt uns erneut zum Problem der Integrität, nun der Integrität der ganzen Welt. Die Systemgrenze wird unter Berücksichtigung der Ziele des Subjekts bestimmt, das die Systemmodelle verwenden wird.

Tarasenko F.P. Angewandte Systemanalyse (die Wissenschaft und Kunst des Problemlösens): Lehrbuch. - Tomsk; Verlag der Universität Tomsk, 2004. ISBN 5-7511-1838-3

2.4.1. Definition. Gegeben sei ein inhomogenes System linearer Gleichungen

Betrachten Sie ein homogenes System

dessen Koeffizientenmatrix mit der Koeffizientenmatrix des Systems (2.4.1) übereinstimmt. Dann wird System (2.4.2) aufgerufen reduziertes homogenes System (2.4.1).

2.4.2. Satz. Die allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems ist gleich der Summe einer bestimmten Lösung des inhomogenen Systems und der allgemeinen Lösung des reduzierten homogenen Systems.

Um eine allgemeine Lösung des inhomogenen Systems (2.4.1) zu finden, reicht es also aus:

1) Recherchieren Sie die Kompatibilität. Bei Kompatibilität:

2) Finden Sie die allgemeine Lösung des reduzierten homogenen Systems.

3) Finden Sie eine bestimmte Lösung für die ursprüngliche (inhomogene) Lösung.

4) Finden Sie durch Addition der gefundenen speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung der gegebenen Lösung die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems.

2.4.3. Übung. Untersuchen Sie das System auf Kompatibilität und finden Sie im Falle der Kompatibilität seine allgemeine Lösung in Form der Summe des Besonderen und des Allgemeinen Gegebenen.

Lösung. a) Um das Problem zu lösen, wenden wir das obige Schema an:

1) Wir prüfen das System auf Kompatibilität (nach der Methode der angrenzenden Minderjährigen): Der Rang der Hauptmatrix ist 3 (siehe Lösung zu Übung 2.2.5, a), und der Nicht-Null-Minor der maximalen Ordnung besteht aus Elementen des 1., 2., 4. Reihe und 1., 3., 4. Spalte. Um den Rang der erweiterten Matrix zu ermitteln, grenzen wir sie an die 3. Zeile und 6. Spalte der erweiterten Matrix: =0. Bedeutet, rg A =rg=3, und das System ist konsistent. Insbesondere entspricht es dem System

2) Finden wir eine allgemeine Lösung X 0 reduziertes homogenes System

X 0 ={(-2A - B ; A ; B ; B ; B ) | A , B Î R}

(siehe Lösung zu Aufgabe 2.2.5, a)).

3) Finden wir eine bestimmte Lösung x h des ursprünglichen Systems . Dazu werden im System (2.4.3), äquivalent zum Original, die freien Unbekannten verwendet X 2 und X Wir gehen davon aus, dass 5 beispielsweise gleich Null ist (dies sind die bequemsten Daten):

und lösen Sie das resultierende System: X 1 =- , X 3 =- , X 4 =-5. Somit ist (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ eine bestimmte Lösung des Systems.

4) Finden Sie die allgemeine Lösung X n des Originalsystems :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2A - B ; A ; B ; B ; B )}=

={(- -2A - B ; A ; - + B ; -5+B ; B )}.

Kommentar. Vergleichen Sie die Antwort, die Sie erhalten haben, mit der zweiten Antwort in Beispiel 1.2.1 c). Um die Antwort in der ersten Form für 1.2.1 c) zu erhalten, werden die Basisunbekannten genommen X 1 , X 3 , X 5 (wobei das Moll ebenfalls ungleich Null ist) und als freies ¾ X 2 und X 4 .

§3. Einige Anwendungen.

3.1. Zum Thema Matrixgleichungen. Wir erinnern Sie daran Matrixgleichung über das Feld F ist eine Gleichung, in der die Unbekannte eine Matrix über dem Körper ist F .

Die einfachsten Matrixgleichungen sind Gleichungen der Form

AXT=B , XA =B (2.5.1)

Wo A , B ¾ gegebene (bekannte) Matrix über einem Feld F , A X ¾ solcher Matrizen, bei deren Ersetzung sich die Gleichungen (2.5.1) in echte Matrixgleichungen verwandeln. Insbesondere reduziert sich die Matrixmethode bestimmter Systeme auf die Lösung einer Matrixgleichung.

Für den Fall, dass die Matrizen A in Gleichungen (2.5.1) sind nicht entartet, sie haben jeweils Lösungen X =A B Und X =B.A. .

Für den Fall, dass mindestens eine der Matrizen auf der linken Seite der Gleichungen (2.5.1) singulär ist, ist diese Methode nicht mehr geeignet, da die entsprechende inverse Matrix A existiert nicht. In diesem Fall reduziert sich das Finden von Lösungen für Gleichungen (2.5.1) auf das Lösen von Systemen.

Aber lassen Sie uns zunächst einige Konzepte vorstellen.

Nennen wir die Menge aller Lösungen des Systems allgemeine Entscheidung . Nennen wir eine separat genommene Lösung eines unbestimmten Systems private Lösung .

3.1.1. Beispiel. Lösen Sie die Matrixgleichung über dem Feld R.

A) X = ; B) X = ; V) X = .

Lösung. a) Da =0, ​​dann die Formel X =A B ist zur Lösung dieser Gleichung nicht geeignet. Wenn in der Arbeit XA =B Matrix A hat 2 Zeilen, dann die Matrix X hat 2 Spalten. Anzahl der Zeilen X muss mit der Anzahl der Zeilen übereinstimmen B . Deshalb X hat 2 Zeilen. Auf diese Weise, X ¾ eine quadratische Matrix zweiter Ordnung: X = . Lasst uns ersetzen X in die ursprüngliche Gleichung:

Durch Multiplikation der Matrizen auf der linken Seite von (2.5.2) erhalten wir die Gleichheit

Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Abmessungen haben und ihre entsprechenden Elemente gleich sind. Daher ist (2.5.3) äquivalent zum System

Dieses System entspricht dem System

Wenn wir es beispielsweise mit der Gaußschen Methode lösen, kommen wir zu einer Reihe von Lösungen (5-2 B , B , -2D , D ), Wo B , D unabhängig voneinander laufen R. Auf diese Weise, X = .

b) Ähnlich wie a) haben wir X = und.

Dieses System ist inkonsistent (schauen Sie es sich an!). Daher hat diese Matrixgleichung keine Lösungen.

c) Bezeichnen wir diese Gleichung mit AXT =B . Als A hat 3 Spalten und B hat also 2 Spalten X ¾ eine Matrix der Dimension 3´2: X = . Daher haben wir die folgende Äquivalenzkette:

Wir lösen das letzte System mit der Gaußschen Methode (wir lassen Kommentare weg)

Damit kommen wir zum System

deren Lösung (11+8 ist z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Wo z , w unabhängig voneinander laufen R.

Antwort: a) X = , B , D Î R.

b) Es gibt keine Lösungen.

V) X = z , w Î R.

3.2. Zur Frage der Permutabilität von Matrizen. Im Allgemeinen ist das Produkt von Matrizen nicht kommutierbar, d. h. wenn A Und B so dass AB Und B.A. definiert sind, dann gilt im Allgemeinen: AB ¹ B.A. . Aber ein Beispiel für eine Identitätsmatrix E zeigt, dass auch Vertauschbarkeit möglich ist A.E. =E.A. für jede Matrix A , wenn nur A.E. Und E.A. wurden bestimmt.

In diesem Abschnitt werden wir Probleme betrachten, die Menge aller Matrizen zu finden, die mit einer gegebenen Matrize kommutieren. Auf diese Weise,

Unbekannt X 1 , j 2 und z 3 kann einen beliebigen Wert annehmen: X 1 =A , j 2 =B , z 3 =G . Dann

Auf diese Weise, X = .

Antwort. A) X D ¾ eine beliebige Zahl.

B) X ¾ Satz Matrizen der Form , wo A , B Und G ¾ beliebige Zahlen.

§6. Inhomogenes System linearer Gleichungen

Wenn im linearen Gleichungssystem (7.1) mindestens einer der freien Terme vorhanden ist V ich von Null verschieden ist, dann heißt ein solches System heterogen.

Gegeben sei ein inhomogenes System linearer Gleichungen, das in Vektorform dargestellt werden kann als

, ich = 1,2,.. .,Zu, (7.13)

Betrachten Sie das entsprechende homogene System

ich = 1,2,... ,Zu. (7.14)

Lassen Sie den Vektor
ist eine Lösung des inhomogenen Systems (7.13) und des Vektors
ist eine Lösung des homogenen Systems (7.14). Dann ist es leicht zu erkennen, dass der Vektor
ist auch eine Lösung für das inhomogene System (7.13). Wirklich

Wenn wir nun die Formel (7.12) für die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung verwenden, erhalten wir:

Wo
beliebige Zahlen aus R, A
– grundlegende Lösungen eines homogenen Systems.

Somit ist die Lösung eines inhomogenen Systems die Kombination seiner speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung des entsprechenden homogenen Systems.

Lösung (7.15) heißt allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems linearer Gleichungen. Aus (7.15) folgt, dass ein simultanes inhomogenes System linearer Gleichungen eine eindeutige Lösung hat, wenn der Rang R(A) Hauptmatrix A stimmt mit der Nummer überein N unbekannte Systeme (Cramer-System), wenn R(A)  N, dann hat das System unendlich viele Lösungen und diese Lösungsmenge ist äquivalent zum Unterraum der Lösungen des entsprechenden homogenen Dimensionsgleichungssystems N– R.

Beispiele.

1. Gegeben sei ein inhomogenes Gleichungssystem mit der Anzahl der Gleichungen Zu= 3 und die Anzahl der Unbekannten N = 4.

X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,

X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,

5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.

Lassen Sie uns die Ränge der Hauptmatrix bestimmen A und erweitert A * dieses Systems. Weil das A Und A * Nicht-Null-Matrizen und k = 3  N, also 1  R (A), R * (A * )  3. Betrachten Sie die Minderjährigen der zweiten Matrizenordnung A Und A * :

Somit gehören sie zu den Nebenfächern zweiter Ordnung der Matrizen A Und A * es gibt ein Moll ungleich Null, also 2 R(A),R * (A * )  3. Schauen wir uns nun die Minderjährigen dritter Ordnung an

, da die erste und zweite Spalte proportional sind. Ebenso für Moll
.

Und so alle Minderjährigen dritter Ordnung der Hauptmatrix A sind also gleich Null R(A) = 2. Für die erweiterte Matrix A * Es gibt auch Minderjährige dritter Ordnung

Folglich gehört es zu den Minderjährigen dritter Ordnung der erweiterten Matrix A * Es gibt also ein Moll außer Null R * (A * ) = 3. Das bedeutet das R(A)  R * (A * ) und dann kommen wir basierend auf dem Korneker-Capelli-Theorem zu dem Schluss, dass dieses System inkonsistent ist.

2. Lösen Sie das Gleichungssystem

3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,

3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.

Für dieses System
und daher 1 R(A),R * (A * )  2. Betrachten Sie für Matrizen A Und A * Minderjährige zweiter Ordnung

Auf diese Weise, R(A)= r * (A * ) = 2, und daher ist das System konsistent. Als Basisvariablen wählen wir zwei beliebige Variablen, deren Minor zweiter Ordnung, bestehend aus den Koeffizienten dieser Variablen, ungleich Null ist. Solche Variablen könnten beispielsweise sein:

X 3 und X 4 weil
Dann haben wir

X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,

– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .

Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung definieren heterogenes System. Um dies zu tun, sagen wir X 1 = X 2 = 0.

X 3 + X 4 = 1,

– X 3 – 2X 4 = 2.

Die Lösung für dieses System: X 3 = 4, X 4 = – 3, also = (0,0,4, –3).

Nun bestimmen wir die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung

X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,

–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .

Lasst uns: X 1 = 1, X 2 = 0

X 3 + X 4 = –3,

–X 3 – 2X 4 = –3.

Die Lösung für dieses System X 3 = –9, X 4 = 6.

Auf diese Weise

Jetzt sagen wir es X 1 = 0, X 2 = 1

X 3 + X 4 = –2,

–X 3 – 2X 4 = –2.

Lösung: X 3 = – 6, X 4 = 4, und dann

Nachdem eine bestimmte Lösung ermittelt wurde , inhomogene Gleichungen und fundamentale Lösungen
Und der entsprechenden homogenen Gleichung schreiben wir die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung auf.

Wo
beliebige Zahlen aus R.

Das Lösen linearer algebraischer Gleichungssysteme (SLAEs) ist zweifellos das wichtigste Thema in einem Kurs über lineare Algebra. Bei einer Vielzahl von Problemen aus allen Bereichen der Mathematik geht es darum, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Diese Faktoren erklären den Grund für diesen Artikel. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie es mit seiner Hilfe tun können

• Wählen Sie die optimale Methode zur Lösung Ihres Systems linearer algebraischer Gleichungen.
• die Theorie der gewählten Methode studieren,
• Lösen Sie Ihr lineares Gleichungssystem, indem Sie detaillierte Lösungen typischer Beispiele und Probleme berücksichtigen.

Kurze Beschreibung des Artikelmaterials.

Zunächst geben wir alle notwendigen Definitionen, Konzepte und führen Notationen ein.

Als nächstes betrachten wir Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Erstens konzentrieren wir uns auf die Cramer-Methode, zweitens zeigen wir die Matrixmethode zur Lösung solcher Gleichungssysteme und drittens analysieren wir die Gauß-Methode (die Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf unterschiedliche Weise lösen.

Danach werden wir mit der Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form fortfahren, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems singulär ist. Formulieren wir das Kronecker-Capelli-Theorem, das es uns ermöglicht, die Kompatibilität von SLAEs festzustellen. Lassen Sie uns die Lösung von Systemen (sofern sie kompatibel sind) anhand des Konzepts einer Basis-Minor-Matrix analysieren. Wir werden auch die Gauß-Methode betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.

Wir werden uns auf jeden Fall mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen befassen. Geben wir das Konzept eines fundamentalen Lösungssystems und zeigen wir, wie die allgemeine Lösung eines SLAE unter Verwendung der Vektoren des fundamentalen Lösungssystems geschrieben wird. Zum besseren Verständnis schauen wir uns einige Beispiele an.

Abschließend betrachten wir Gleichungssysteme, die auf lineare reduziert werden können, sowie verschiedene Probleme, bei deren Lösung SLAEs entstehen.

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Definitionen, Konzepte, Bezeichnungen.

Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form

Unbekannte Variablen, - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Terme (auch reelle oder komplexe Zahlen).

Diese Form der Aufzeichnung wird SLAE genannt Koordinate.

IN Matrixform Das Schreiben dieses Gleichungssystems hat die Form:
Wo - die Hauptmatrix des Systems, - eine Spaltenmatrix unbekannter Variablen, - eine Spaltenmatrix freier Terme.

Wenn wir der Matrix A als (n+1)-te Spalte eine Matrixspalte freier Terme hinzufügen, erhalten wir die sogenannte erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Typischerweise wird eine erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte mit den freien Begriffen wird durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, d. h.

Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bezeichnet eine Menge von Werten unbekannter Variablen, die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Auch die Matrixgleichung für gegebene Werte der unbekannten Variablen wird zu einer Identität.

Wenn ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung hat, heißt es gemeinsam.

Wenn ein Gleichungssystem keine Lösungen hat, heißt es nicht gelenkig.

Wenn ein SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird es aufgerufen bestimmt; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann – unsicher.

Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind , dann wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen.

Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Wenn die Anzahl der Gleichungen eines Systems gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante seiner Hauptmatrix ungleich Null ist, werden solche SLAEs aufgerufen elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und im Fall eines homogenen Systems sind alle unbekannten Variablen gleich Null.

Wir haben in der High School begonnen, solche SLAEs zu studieren. Als wir sie lösten, nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus und setzten sie in die übrigen Gleichungen ein, dann nahmen wir die nächste Gleichung, drückten die nächste unbekannte Variable aus und setzten sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden nicht näher auf diese Methoden eingehen, da es sich im Wesentlichen um Modifikationen der Gauß-Methode handelt.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrixmethode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.

Angenommen, wir müssen ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen

in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .

Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und - Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzung gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder:

Mit dieser Notation werden unbekannte Variablen mit den Formeln der Cramer-Methode berechnet als . Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer gefunden.

Beispiel.

Cramers Methode .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Berechnen wir seine Determinante (siehe ggf. den Artikel):

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist, verfügt das System über eine eindeutige Lösung, die mit der Cramer-Methode gefunden werden kann.

Lassen Sie uns die notwendigen Determinanten zusammenstellen und berechnen (Wir erhalten die Determinante, indem wir die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen, die Determinante, indem wir die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen und indem wir die dritte Spalte der Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen.) :

Unbekannte Variablen mithilfe von Formeln finden :

Antwort:

Der Hauptnachteil der Methode von Cramer (wenn man ihn überhaupt als Nachteil bezeichnen kann) ist die Komplexität der Berechnung von Determinanten, wenn die Anzahl der Gleichungen im System mehr als drei beträgt.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung einer inversen Matrix).

Es sei ein System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.

Da Matrix A invertierbar ist, liegt eine inverse Matrix vor. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Finden einer Matrixspalte unbekannter Variablen. Auf diese Weise haben wir mithilfe der Matrixmethode eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen erhalten.

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Matrixmethode.

Lösung.

Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um:

Als

dann kann der SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Mit der inversen Matrix kann die Lösung dieses Systems gefunden werden als .

Konstruieren wir eine inverse Matrix unter Verwendung einer Matrix aus algebraischen Additionen von Elementen der Matrix A (siehe ggf. den Artikel):

Es bleibt die Matrix unbekannter Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix zu berechnen zu einer Matrixspalte freier Mitglieder (siehe ggf. den Artikel):

Antwort:

oder in einer anderen Notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Das Hauptproblem beim Finden von Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen mithilfe der Matrixmethode ist die Komplexität des Findens der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen mit einer höheren Ordnung als der dritten Ordnung.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System aus n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden
deren Determinante von Null verschieden ist.

Die Essenz der Gauß-Methode besteht darin, unbekannte Variablen nacheinander zu eliminieren: Zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten usw., bis nur noch die unbekannte Variable x n übrig bleibt in der letzten Gleichung. Dieser Prozess der Transformation von Systemgleichungen zur sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen wird aufgerufen direkte Gaußsche Methode. Nach Abschluss des Vorwärtshubs der Gaußschen Methode wird x n aus der letzten Gleichung ermittelt, unter Verwendung dieses Werts aus der vorletzten Gleichung wird x n-1 berechnet und so weiter wird x 1 aus der ersten Gleichung ermittelt. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Umkehrung der Gaußschen Methode.

Beschreiben wir kurz den Algorithmus zur Eliminierung unbekannter Variablen.

Wir gehen davon aus, dass wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems neu ordnen. Eliminieren wir die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit , zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und .

Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausgedrückt und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen eingesetzt hätten. Somit wird die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, allerdings nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite, multipliziert mit , zur vierten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und . Somit wird die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes eliminieren wir die Unbekannte x 3, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen

Also setzen wir die direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit der Umkehrung der Gaußschen Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n ermitteln wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter ermitteln wir x 1 aus der ersten Gleichung .

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Gauß-Methode.

Lösung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir auf beiden Seiten der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit:

Jetzt eliminieren wir x 2 aus der dritten Gleichung, indem wir zu ihrer linken und rechten Seite die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung addieren, multipliziert mit:

Damit ist der Vorwärtshub der Gauß-Methode abgeschlossen; wir beginnen mit dem Rückwärtshub.

Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3:

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .

Aus der ersten Gleichung ermitteln wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit die Umkehrung der Gauß-Methode.

Antwort:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Im Allgemeinen stimmt die Anzahl der Gleichungen des Systems p nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen n überein:

Solche SLAEs haben möglicherweise keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und singulär ist.

Kronecker-Capelli-Theorem.

Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden kann, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel und wann inkonsistent ist, lautet: Kronecker-Capelli-Theorem:
Damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist , Rang(A)=Rang(T).

Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Capelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel.

Finden Sie heraus, ob das System linearer Gleichungen hat Lösungen.

Lösung.

. Lassen Sie uns die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen anwenden. Moll zweiter Ordnung verschieden von Null. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung an:

Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix gleich zwei.

Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix ist gleich drei, da das Moll dritter Ordnung ist

verschieden von Null.

Auf diese Weise, Rang(A) können wir daher unter Verwendung des Kronecker-Capelli-Theorems schlussfolgern, dass das ursprüngliche System linearer Gleichungen inkonsistent ist.

Antwort:

Das System hat keine Lösungen.

Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz eines Systems mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems festzustellen.

Aber wie findet man eine Lösung für ein SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt wurde?

Dazu benötigen wir das Konzept einer Basis-Minor-Matrix und einen Satz über den Rang einer Matrix.

Der Minor der höchsten Ordnung der Matrix A, der von Null verschieden ist, wird aufgerufen Basic.

Aus der Definition einer Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine Matrix A ungleich Null kann es mehrere Basis-Minor-Matrixen geben; es gibt immer eine Basis-Minor-Matrix.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix .

Alle Minderjährigen dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.

Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind einfach, da sie ungleich Null sind

Minderjährige sind nicht grundlegend, da sie gleich Null sind.

Matrixrangsatz.

Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, werden alle Zeilen- (und Spalten-) Elemente der Matrix, die nicht die gewählte Basis-Minor bilden, linear durch die entsprechenden bildenden Zeilen- (und Spalten-) Elemente ausgedrückt das Basis-Moll.

Was sagt uns der Matrixrangsatz?

Wenn wir gemäß dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir eine beliebige Basisminor der Hauptmatrix des Systems (ihre Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen, die dies tun, aus dem System aus nicht das gewählte Basis-Moll bilden. Der auf diese Weise erhaltene SLAE entspricht dem ursprünglichen, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (gemäß dem Matrixrangsatz handelt es sich um eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).

Infolgedessen sind nach dem Verwerfen unnötiger Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann mit der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode gefunden werden.

Beispiel.

.

Lösung.

Rang der Hauptmatrix des Systems ist gleich zwei, da das Moll zweiter Ordnung ist verschieden von Null. Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich zwei, da das einzige Moll dritter Ordnung Null ist

und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Basierend auf dem Kronecker-Capelli-Theorem können wir die Kompatibilität des ursprünglichen linearen Gleichungssystems behaupten, da Rang(A)=Rang(T)=2.

Als Basis-Moll nehmen wir . Sie wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet:


Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Satz über den Rang der Matrix aus dem System aus:


Auf diese Weise haben wir ein elementares System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. Lösen wir es mit der Cramer-Methode:


Antwort:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden SLAE kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen n, dann belassen wir auf der linken Seite der Gleichungen die Terme, die die Basis bilden, und übertragen die verbleibenden Terme auf die rechte Seite der Gleichung Gleichungen des Systems mit umgekehrtem Vorzeichen.

Die auf der linken Seite der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.

Es werden unbekannte Variablen (es gibt n - r Stücke) aufgerufen, die auf der rechten Seite liegen frei.

Nun glauben wir, dass freie unbekannte Variablen beliebige Werte annehmen können, während die r wichtigsten unbekannten Variablen auf einzigartige Weise durch freie unbekannte Variablen ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann durch Lösen des resultierenden SLAE mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode ermittelt werden.

Schauen wir es uns anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Lösen Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix des Systems ermitteln durch die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als Moll erster Ordnung ungleich Null. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, das an dieses Moll grenzt:


Auf diese Weise haben wir ein Moll zweiter Ordnung ungleich Null gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem ungleich Null angrenzenden Moll dritter Ordnung:


Somit beträgt der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.

Als Basis nehmen wir das gefundene Nicht-Null-Moll dritter Ordnung.

Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir die Elemente, die das Basis-Moll bilden:


Wir belassen die in der Basis Minor beteiligten Terme auf der linken Seite der Systemgleichungen und übertragen den Rest mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten:


Geben wir den freien unbekannten Variablen x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir akzeptieren , wo sind beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt das SLAE das Formular an


Lösen wir das resultierende Elementarsystem linearer algebraischer Gleichungen mit der Cramer-Methode:


Somit, .

Vergessen Sie in Ihrer Antwort nicht, freie unbekannte Variablen anzugeben.

Antwort:

Wo sind beliebige Zahlen?

Zusammenfassen.

Um ein System allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, bestimmen wir zunächst seine Kompatibilität mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht dem Rang der erweiterten Matrix entspricht, schließen wir daraus, dass das System inkompatibel ist.

Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir eine Basis-Minor aus und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung der ausgewählten Basis-Minor beteiligt sind.

Wenn die Ordnung der Basis Minor gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist, dann hat das SLAE eine eindeutige Lösung, die mit jeder uns bekannten Methode gefunden werden kann.

Wenn die Ordnung der Basis kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen, dann belassen wir auf der linken Seite des Gleichungssystems die Terme mit den wichtigsten unbekannten Variablen, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und geben beliebige Werte an die freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem ermitteln wir die wichtigsten unbekannten Variablen mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode.

Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form.

Mit der Gauß-Methode lassen sich Systeme linearer algebraischer Gleichungen jeglicher Art lösen, ohne sie vorher auf Konsistenz zu prüfen. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen ermöglicht es, Rückschlüsse sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkompatibilität des SLAE zu ziehen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.

Aus rechnerischer Sicht ist die Gaußsche Methode vorzuziehen.

Eine ausführliche Beschreibung und analysierte Beispiele finden Sie im Artikel Gauß-Methode zur Lösung von Systemen allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen.

Schreiben einer allgemeinen Lösung für homogene und inhomogene lineare algebraische Systeme unter Verwendung von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems.

In diesem Abschnitt werden wir über gleichzeitige homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen sprechen, die unendlich viele Lösungen haben.

Befassen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.

Grundlegendes Lösungssystem Ein homogenes System p linearer algebraischer Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist eine Sammlung von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminor der Hauptmatrix des Systems ist.

Wenn wir linear unabhängige Lösungen eines homogenen SLAE als X (1), X (2), ..., X (n-r) bezeichnen, sind (X (1), X (2), ..., X (n-r) säulenförmig Matrizen der Dimension n um 1) , dann wird die allgemeine Lösung dieses homogenen Systems als lineare Kombination von Vektoren des grundlegenden Lösungssystems mit beliebigen konstanten Koeffizienten C 1, C 2, ..., C (n-r) dargestellt, das Ist, .

Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (Oroslau)?

Die Bedeutung ist einfach: Die Formel gibt alle möglichen Lösungen des ursprünglichen SLAE an, mit anderen Worten, unter Verwendung einer beliebigen Menge von Werten beliebiger Konstanten C 1, C 2, ..., C (n-r) werden wir die Formel verwenden Erhalten Sie eine der Lösungen des ursprünglichen homogenen SLAE.

Wenn wir also ein grundlegendes Lösungssystem finden, können wir alle Lösungen dieses homogenen SLAE als definieren.

Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für ein homogenes SLAE zeigen.

Wir wählen die Basis Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems aus, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen alle Terme, die freie unbekannte Variablen enthalten, mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten der Gleichungen des Systems. Geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte 1,0,0,...,0 und berechnen wir die Hauptunbekannten, indem wir das resultierende elementare lineare Gleichungssystem auf beliebige Weise lösen, beispielsweise mit der Cramer-Methode. Dies führt zu X (1) – der ersten Lösung des Fundamentalsystems. Wenn wir den freien Unbekannten die Werte 0,1,0,0,…,0 geben und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (2) . Usw. Wenn wir den freien unbekannten Variablen die Werte 0,0,…,0,1 zuweisen und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (n-r) . Auf diese Weise wird ein grundlegendes Lösungssystem für ein homogenes SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.

Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung in der Form dargestellt, wobei die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems und die besondere Lösung des ursprünglichen inhomogenen SLAE sind, die wir erhalten, indem wir den freien Unbekannten die Werte geben ​0,0,...,0 und Berechnen der Werte der Hauptunbekannten.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie das grundlegende Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix mithilfe der Methode der angrenzenden Nebenmatrix ermitteln. Als Nicht-Null-Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Suchen wir das angrenzende Nicht-Null-Moll zweiter Ordnung:

Es wurde ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Gehen wir die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durch:

Alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix gleich zwei. Lass uns nehmen . Der Klarheit halber notieren wir uns die Elemente des Systems, aus denen es besteht:

Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt und kann daher ausgeschlossen werden:

Wir belassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf der rechten Seite der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechte Seite:

Konstruieren wir ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Das grundlegende Lösungssystem dieses SLAE besteht aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seiner Basis-Minor-Variablen gleich zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 = 1, x 4 = 0, dann finden wir die wichtigsten Unbekannten aus dem Gleichungssystem
.