Sätze über die Impulsänderung eines mechanischen Systems. Das Prinzip möglicher Bewegungen

Das im Satz diskutierte System kann jedes mechanische System sein, das aus beliebigen Körpern besteht.

Aussage des Theorems

Der Bewegungsbetrag (Impuls) eines mechanischen Systems ist eine Größe, die der Summe der Bewegungsbeträge (Impulse) aller im System enthaltenen Körper entspricht. Der Impuls äußerer Kräfte, die auf die Körper des Systems einwirken, ist die Summe der Impulse aller äußeren Kräfte, die auf die Körper des Systems wirken.

( kg m/s)

Der Satz über die Impulsänderung eines Systemzustandes

Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls äußerer Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf das System einwirken.

Gesetz der Impulserhaltung eines Systems

Wenn die Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte Null ist, dann ist der Bewegungsbetrag (Impuls) des Systems eine konstante Größe.

, Wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Differentialform:

Nachdem beide Seiten der resultierenden Gleichheit über einen willkürlich gewählten Zeitraum zwischen einigen und einigen integriert wurden, wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in integraler Form:

Gesetz der Impulserhaltung (Gesetz der Impulserhaltung) besagt, dass die Vektorsumme der Impulse aller Körper des Systems ein konstanter Wert ist, wenn die Vektorsumme der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist.

(Impulsmoment m 2 kg s −1)

Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zum Zentrum

Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft relativ zu demselben Mittelpunkt.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zu einer Achse

Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

dk X /dt = M X (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Betrachten Sie einen wesentlichen Punkt M Masse M , sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F (Abbildung 3.1). Schreiben wir den Vektor des Drehimpulses (kinetischer Impuls) auf und konstruieren ihn. M 0 Materialpunkt relativ zur Mitte Ö :

Differenzieren wir den Ausdruck für den Drehimpuls (kinetisches Moment). k 0) nach Zeit:

Als DR /dt = V , dann das Vektorprodukt V ⊗ M ⋅ V (kollineare Vektoren V Und M ⋅ V ) ist gleich Null. Gleichzeitig dm ⋅ V) /dt = F nach dem Satz über den Impuls eines materiellen Punktes. Deshalb verstehen wir das

dk 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Wo R ⊗F = M 0 (F ) – Vektormoment der Kraft F relativ zu einem festen Mittelpunkt Ö . Vektor k 0 ⊥ Ebene ( R , M ⊗V ) und der Vektor M 0 (F ) ⊥ Ebene ( R ,F ), haben wir endlich

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Gleichung (3.4) drückt den Satz über die Änderung des Drehimpulses (Drehimpuls) eines materiellen Punktes relativ zum Mittelpunkt aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft relativ zu demselben Mittelpunkt.

Wenn wir die Gleichung (3.4) auf die Achsen der kartesischen Koordinaten projizieren, erhalten wir

dk X /dt = M X (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Gleichungen (3.5) drücken den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetischer Impuls) eines materiellen Punktes relativ zur Achse aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

Betrachten wir die Konsequenzen, die sich aus den Sätzen (3.4) und (3.5) ergeben.

Folgerung 1. Betrachten wir den Fall, wenn die Kraft F Während der gesamten Bewegung verläuft der Punkt durch das stationäre Zentrum Ö (Fall zentraler Kraft), d.h. Wann M 0 (F ) = 0. Dann folgt aus Satz (3.4). k 0 = const ,

diese. Bei einer Zentralkraft bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum dieser Kraft in Betrag und Richtung konstant (Abbildung 3.2).

Abbildung 3.2

Vom Zustand her k 0 = const Daraus folgt, dass die Flugbahn eines sich bewegenden Punktes eine flache Kurve ist, deren Ebene durch den Mittelpunkt dieser Kraft verläuft.

Folgerung 2. Lassen M z (F ) = 0, d.h. Kraft kreuzt die Achse z oder parallel dazu. In diesem Fall gilt, wie aus der dritten Gleichung (3.5) hervorgeht, k z = const ,

diese. Wenn das auf einen Punkt relativ zu einer festen Achse wirkende Kraftmoment immer Null ist, bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) des Punktes relativ zu dieser Achse konstant.

Beweis des Satzes über die Impulsänderung

Das System bestehe aus materiellen Punkten mit Massen und Beschleunigungen. Wir unterteilen alle auf die Körper des Systems wirkenden Kräfte in zwei Typen:

Äußere Kräfte sind Kräfte, die von Körpern ausgehen, die nicht zum betrachteten System gehören. Die Resultierende äußerer Kräfte, die auf einen materiellen Punkt mit Zahl wirken ich bezeichnen wir

Innere Kräfte sind die Kräfte, mit denen die Körper des Systems selbst miteinander interagieren. Die Kraft, mit der man auf den Punkt mit der Zahl einwirkt ich Der Punkt mit der Nummer ist gültig k, wir bezeichnen , und die Kraft des Einflusses ich Punkt auf k Punkt - . Offensichtlich, wann dann

Unter Verwendung der eingeführten Notation schreiben wir das zweite Newtonsche Gesetz für jeden der betrachteten materiellen Punkte im Formular

Bedenkt, dass und wenn wir alle Gleichungen des zweiten Newtonschen Gesetzes zusammenfassen, erhalten wir:

Der Ausdruck stellt die Summe aller im System wirkenden Schnittgrößen dar. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz entspricht in dieser Summe jeder Kraft eine Kraft, so dass sie gilt Da die gesamte Summe aus solchen Paaren besteht, ist die Summe selbst Null. So können wir schreiben

Unter Verwendung der Notation für den Impuls des Systems erhalten wir

Unter Berücksichtigung der Änderung des Impulses äußerer Kräfte , erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Differentialform:

Somit lässt sich aus jeder der zuletzt erhaltenen Gleichungen feststellen: Eine Impulsänderung des Systems erfolgt nur durch die Einwirkung äußerer Kräfte, innere Kräfte können diesen Wert jedoch nicht beeinflussen.

Nachdem wir beide Seiten der resultierenden Gleichheit über ein willkürlich genommenes Zeitintervall zwischen einigen und integriert haben, erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Integralform:

wobei und die Werte des Bewegungsumfangs des Systems zu bestimmten Zeitpunkten bzw. der Impuls äußerer Kräfte über einen bestimmten Zeitraum sind. In Übereinstimmung mit dem zuvor Gesagten und den eingeführten Notationen,

Auf die gleiche Weise wie für einen materiellen Punkt werden wir einen Satz über die Impulsänderung für das System in verschiedenen Formen ableiten.

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln (Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems)

auf die folgende Weise:

;

;

Die resultierende Gleichung drückt den Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Differentialform aus: Die Ableitung des Impulses eines mechanischen Systems nach der Zeit ist gleich dem Hauptvektor der auf das System wirkenden äußeren Kräfte .

Bei Projektionen auf kartesische Koordinatenachsen:

; ; .

Wenn wir die Integrale beider Seiten der letzten Gleichungen über die Zeit nehmen, erhalten wir einen Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Integralform: Die Impulsänderung eines mechanischen Systems ist gleich dem Impuls des Hauptvektors von äußere Kräfte, die auf das System einwirken .

.

Oder in Projektionen auf kartesische Koordinatenachsen:

; ; .

Folgerungen aus dem Satz (Gesetze der Impulserhaltung)

Der Impulserhaltungssatz ergibt sich aus den Sonderfällen des Satzes über die Impulsänderung eines Systems in Abhängigkeit von den Eigenschaften des Systems äußerer Kräfte. Die inneren Kräfte können beliebig sein, da sie Impulsänderungen nicht beeinflussen.

Es gibt zwei mögliche Fälle:

1. Wenn die Vektorsumme aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist der Bewegungsbetrag des Systems in Größe und Richtung konstant

2. Wenn die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte auf eine beliebige Koordinatenachse und/oder und/oder gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses auf diese Achsen ein konstanter Wert, d. h. und/oder und/oder bzw.

Ähnliche Einträge können für einen Materialpunkt und für einen Materialpunkt vorgenommen werden.

Die Aufgabe. Von einer Waffe, deren Masse M, ein Masseprojektil fliegt in horizontaler Richtung heraus M mit Geschwindigkeit v. Geschwindigkeit finden V Waffen nach dem Abfeuern.

Lösung. Alle auf das mechanische Waffen-Geschoss-System wirkenden äußeren Kräfte sind vertikal. Das bedeutet, basierend auf der Folgerung des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems, haben wir: .

Der Bewegungsumfang des mechanischen Systems vor dem Abfeuern:

Der Bewegungsumfang des mechanischen Systems nach dem Schuss:

.

Das erhalten wir, indem wir die rechten Seiten der Ausdrücke gleichsetzen

.

Das „-“-Zeichen in der resultierenden Formel gibt an, dass die Waffe nach dem Abfeuern in die entgegengesetzte Richtung zur Achse zurückrollt Ochse.

BEISPIEL 2. Ein Flüssigkeitsstrom mit der Dichte strömt mit der Geschwindigkeit V aus einem Rohr mit der Querschnittsfläche F und trifft in einem Winkel auf eine vertikale Wand. Bestimmen Sie den Flüssigkeitsdruck an der Wand.

LÖSUNG. Wenden wir den Satz über die Impulsänderung in integraler Form auf ein Flüssigkeitsvolumen mit einer Masse an Müber einen längeren Zeitraum gegen eine Wand stoßen T.

MESHCHERSKY-GLEICHUNG

(Grundgleichung der Dynamik eines Körpers variabler Masse)

In der modernen Technik treten Fälle auf, in denen die Masse eines Punktes und eines Systems während der Bewegung nicht konstant bleibt, sondern sich ändert. So erreicht beispielsweise beim Flug von Weltraumraketen durch den Ausstoß von Verbrennungsprodukten und einzelnen unnötigen Teilen der Raketen die Massenänderung 90-95 % des Gesamtausgangswertes. Aber nicht nur die Raumfahrttechnik kann ein Beispiel für die Dynamik variabler Massenbewegungen sein. In der Textilindustrie kommt es bei modernen Betriebsgeschwindigkeiten von Maschinen und Maschinen zu erheblichen Veränderungen der Masse verschiedener Spindeln, Spulen, Rollen.

Betrachten wir die Hauptmerkmale von Massenänderungen am Beispiel der Translationsbewegung eines Körpers variabler Masse. Das Grundgesetz der Dynamik lässt sich nicht direkt auf einen Körper variabler Masse anwenden. Daher erhalten wir Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes variabler Masse, indem wir den Satz über die Impulsänderung des Systems anwenden.

Der Punkt soll Masse haben m+dm bewegt sich mit Geschwindigkeit. Dann wird ein bestimmtes Teilchen mit einer Masse vom Punkt abgetrennt dm sich mit Geschwindigkeit bewegen.

Das Ausmaß der Bewegung des Körpers, bevor sich das Teilchen löst:

Das Ausmaß der Bewegung eines Systems bestehend aus einem Körper und einem abgetrennten Teilchen nach seiner Trennung:

Dann die Impulsänderung:

Basierend auf dem Satz über die Impulsänderung des Systems:

Bezeichnen wir die Größe – die Relativgeschwindigkeit des Teilchens:

Bezeichnen wir

Größe R sogenannte Reaktionskraft. Die Reaktionskraft ist der Triebwerksschub, der durch den Ausstoß von Gas aus der Düse verursacht wird.

Endlich bekommen wir

-

Diese Formel drückt die Grundgleichung der Dynamik eines Körpers variabler Masse aus (Meshchersky-Formel). Aus der letzten Formel folgt, dass die Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes variabler Masse die gleiche Form haben wie die eines Punktes konstanter Masse, mit Ausnahme der zusätzlichen Reaktionskraft, die aufgrund der Massenänderung auf den Punkt ausgeübt wird.

Die Grundgleichung für die Dynamik eines Körpers variabler Masse besagt, dass die Beschleunigung dieses Körpers nicht nur durch äußere Kräfte, sondern auch durch die Reaktionskraft entsteht.

Die Reaktionskraft ist eine Kraft, die der Kraft ähnelt, die die schießende Person empfindet – beim Schießen mit einer Pistole wird sie von der Hand gespürt; Beim Schießen mit einem Gewehr wird es an der Schulter wahrgenommen.

Tsiolkovskys erste Formel (für eine einstufige Rakete)

Lassen Sie einen Punkt variabler Masse oder eine Rakete sich unter dem Einfluss nur einer Reaktionskraft geradlinig bewegen. Denn wo liegt bei vielen modernen Strahltriebwerken die maximale Reaktionskraft (Triebwerksschub), die das Triebwerksdesign zulässt? - die Schwerkraft, die auf den auf der Erdoberfläche befindlichen Motor wirkt. Diese. Das oben Gesagte ermöglicht es uns, die Komponente in der Meshchersky-Gleichung zu vernachlässigen und diese Gleichung in der Form für die weitere Analyse zu akzeptieren: ,

Bezeichnen wir:

Treibstoffreserve (für Flüssigkeitsstrahltriebwerke – die Trockenmasse der Rakete (ihre verbleibende Masse nach dem Ausbrennen des gesamten Treibstoffs);

Die Masse der von der Rakete abgetrennten Partikel; wird als variabler Wert betrachtet, der von bis variiert.

Schreiben wir die Gleichung der geradlinigen Bewegung eines Punktes variabler Masse in der folgenden Form:

Denn die Formel zur Bestimmung der variablen Masse einer Rakete lautet

Daher sind die Bewegungsgleichungen eines Punktes Wenn wir die Integrale beider Seiten nehmen, erhalten wir

Wo - charakteristische Geschwindigkeit- Dies ist die Geschwindigkeit, die eine Rakete unter dem Einfluss von Schub erreicht, nachdem alle Partikel aus der Rakete ausgebrochen sind (bei Flüssigkeitsstrahltriebwerken - nachdem der gesamte Treibstoff ausgebrannt ist).

Außerhalb des Integralzeichens steht (was auf der Grundlage des aus der höheren Mathematik bekannten Mittelwertsatzes erfolgen kann) die mittlere Geschwindigkeit der aus der Rakete ausgestoßenen Teilchen.

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Kurze Review

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Bewegungsmenge

Impuls eines materiellen Punktes - eine Vektorgröße, die dem Produkt aus der Masse eines Punktes und seinem Geschwindigkeitsvektor entspricht.

Die Maßeinheit für den Impuls ist (kg m/s).

Impuls des mechanischen Systems - Eine Vektorgröße, die der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses eines mechanischen Systems entspricht, ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts.

Wenn sich ein Körper (oder ein System) so bewegt, dass sein Massenschwerpunkt stationär ist, dann ist der Betrag der Bewegung des Körpers gleich Null (z. B. Drehung des Körpers um eine feste Achse, die durch den Massenschwerpunkt des Körpers verläuft). ).

Im Fall einer komplexen Bewegung charakterisiert der Bewegungsbetrag des Systems nicht den Rotationsteil der Bewegung, wenn es um den Massenschwerpunkt rotiert. Das heißt, der Bewegungsbetrag charakterisiert nur die Translationsbewegung des Systems (zusammen mit dem Massenschwerpunkt).

Impulskraft

Der Impuls einer Kraft charakterisiert die Wirkung einer Kraft über einen bestimmten Zeitraum.

Kraftimpuls über einen endlichen Zeitraum ist definiert als die Integralsumme der entsprechenden Elementarimpulse.

Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes

(in Differentialformen e ):

Die zeitliche Ableitung des Impulses eines materiellen Punktes ist gleich der geometrischen Summe der auf die Punkte wirkenden Kräfte.

(V integrale Form ):

Die Impulsänderung eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der in diesem Zeitraum auf den Punkt ausgeübten Kraftimpulse.

Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems

(in Differentialform ):

Die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

(in integraler Form ):

Die Impulsänderung eines Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der Impulse äußerer Kräfte, die während dieses Zeitraums auf das System einwirken.

Der Satz ermöglicht es, offensichtlich unbekannte Schnittgrößen von der Betrachtung auszuschließen.

Der Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems und der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts sind zwei verschiedene Formen desselben Satzes.

Gesetz der Impulserhaltung eines Systems

1. Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ist der Impulsvektor des Systems in Richtung und Größe konstant.
2. Wenn die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses auf diese Achse ein konstanter Wert.

Schlussfolgerungen:

1. Erhaltungssätze besagen, dass innere Kräfte den gesamten Bewegungsumfang des Systems nicht verändern können.
2. Der Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems charakterisiert nicht die Rotationsbewegung eines mechanischen Systems, sondern nur die translatorische.

Ein Beispiel sei gegeben: Bestimmen Sie den Impuls einer Scheibe einer bestimmten Masse, wenn ihre Winkelgeschwindigkeit und Größe bekannt sind.

Berechnungsbeispiel eines Stirnradgetriebes
Ein Beispiel für die Berechnung eines Stirnradgetriebes. Die Materialauswahl, die Berechnung der zulässigen Spannungen, die Berechnung der Kontakt- und Biegefestigkeit wurden durchgeführt.

Ein Beispiel für die Lösung eines Balkenbiegeproblems
Im Beispiel wurden Diagramme der Querkräfte und Biegemomente erstellt, ein gefährlicher Abschnitt gefunden und ein I-Träger ausgewählt. Das Problem analysierte die Konstruktion von Diagrammen unter Verwendung differenzieller Abhängigkeiten und führte eine vergleichende Analyse verschiedener Balkenquerschnitte durch.

Ein Beispiel für die Lösung eines Wellentorsionsproblems
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit einer Stahlwelle bei gegebenem Durchmesser, Material und zulässiger Beanspruchung zu testen. Bei der Lösung werden Diagramme von Drehmomenten, Schubspannungen und Verdrehwinkeln erstellt. Das Eigengewicht der Welle wird nicht berücksichtigt

Ein Beispiel für die Lösung eines Spannungs-Druck-Problems einer Stange
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit eines Stahlstabes bei vorgegebenen zulässigen Belastungen zu prüfen. Bei der Lösung werden Diagramme der Längskräfte, Normalspannungen und Verschiebungen erstellt. Das Eigengewicht der Rute wird nicht berücksichtigt

Anwendung des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes anhand vorgegebener Bewegungsgleichungen
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes anhand gegebener Bewegungsgleichungen

Bestimmung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers bei planparalleler Bewegung
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Bestimmung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers bei planparalleler Bewegung

Bestimmung der Kräfte in den Stäben eines Flachfachwerks
Ein Beispiel für die Lösung des Problems der Bestimmung der Kräfte in den Stäben eines Flachfachwerks mit der Ritter-Methode und der Methode zum Schneiden von Knoten

Anwendung des Satzes über die Drehimpulsänderung
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems unter Verwendung des Satzes über die Änderung des kinetischen Impulses zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit eines Körpers, der sich um eine feste Achse dreht.

(Fragmente einer mathematischen Symphonie)

Der Zusammenhang zwischen dem Kraftimpuls und der Grundgleichung der Newtonschen Dynamik wird durch den Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes ausgedrückt.

Satz. Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft (), die im gleichen Zeitraum auf den materiellen Punkt wirkt. Der mathematische Beweis dieses Theorems kann als Fragment einer mathematischen Symphonie bezeichnet werden. Da ist er.

Der Differenzimpuls eines materiellen Punktes ist gleich dem Elementarimpuls der auf den materiellen Punkt wirkenden Kraft. Wenn wir den Ausdruck (128) für den Differentialimpuls eines materiellen Punktes integrieren, erhalten wir

(129)

Der Satz ist bewiesen und Mathematiker betrachten ihre Mission als erfüllt, aber Ingenieure, deren Schicksal es ist, fest an Mathematiker zu glauben, haben Fragen, wenn sie die bewiesene Gleichung (129) verwenden. Sie werden jedoch durch die Abfolge und Schönheit der mathematischen Operationen (128 und 129) stark blockiert, die uns faszinieren und dazu ermutigen, sie als Fragment einer mathematischen Symphonie zu bezeichnen. Wie viele Generationen von Ingenieuren stimmten den Mathematikern zu und waren voller Ehrfurcht vor dem Geheimnis ihrer mathematischen Symbole! Doch dann gab es einen Ingenieur, der mit den Mathematikern nicht einverstanden war und ihnen Fragen stellte.

Liebe Mathematiker! Warum wird in keinem Ihrer Lehrbücher zur theoretischen Mechanik der Prozess der praktischen Anwendung Ihres symphonischen Ergebnisses (129) besprochen, beispielsweise bei der Beschreibung des Prozesses der Beschleunigung eines Autos? Die linke Seite der Gleichung (129) ist sehr klar. Das Auto startet die Beschleunigung bei Geschwindigkeit und beendet sie beispielsweise bei Geschwindigkeit. Es ist ganz natürlich, dass Gleichung (129) wird

Und sofort stellt sich die erste Frage: Wie können wir aus Gleichung (130) die Kraft ermitteln, unter deren Einfluss das Auto auf eine Geschwindigkeit von 10 m/s beschleunigt wird? Die Antwort auf diese Frage findet sich in keinem der unzähligen Lehrbücher der theoretischen Mechanik. Gehen wir weiter. Nach der Beschleunigung beginnt sich das Auto gleichmäßig mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s zu bewegen. Welche Kraft bewegt das Auto?????????? Mir bleibt nichts anderes übrig, als zusammen mit den Mathematikern rot zu werden. Das erste Gesetz der Newtonschen Dynamik besagt, dass, wenn sich ein Auto gleichmäßig bewegt, keine Kräfte auf es einwirken und das Auto im übertragenen Sinne dieses Gesetzes niest, Benzin verbraucht und Arbeit verrichtet, indem es beispielsweise eine Strecke von 100 km zurücklegt. Wo ist die Kraft, die das Auto 100 km weit bewegt hat? Die symphonische mathematische Gleichung (130) schweigt, aber das Leben geht weiter und verlangt nach einer Antwort. Wir machen uns auf die Suche nach ihm.

Da sich das Auto geradlinig und gleichmäßig bewegt, ist die Kraft, die es bewegt, in Größe und Richtung konstant und Gleichung (130) ergibt sich

(131)

Gleichung (131) beschreibt in diesem Fall also die beschleunigte Bewegung des Körpers. Wie groß ist die Kraft? Wie lässt sich die Veränderung im Laufe der Zeit ausdrücken? Mathematiker umgehen diese Frage lieber und überlassen sie den Ingenieuren, weil sie glauben, dass sie nach der Antwort auf diese Frage suchen müssen. Den Ingenieuren bleibt nur noch eine Möglichkeit – zu berücksichtigen, dass, wenn nach Abschluss der beschleunigten Bewegung des Körpers eine Phase gleichförmiger Bewegung beginnt, die mit der Wirkung einer konstanten Kraft einhergeht, die vorliegende Gleichung (131) für die Moment des Übergangs von der beschleunigten zur gleichförmigen Bewegung in dieser Form

(132)

Der Pfeil in dieser Gleichung bedeutet nicht das Ergebnis der Integration dieser Gleichung, sondern den Übergangsprozess von ihrer Integralform zu einer vereinfachten Form. Die Kraft in dieser Gleichung entspricht der durchschnittlichen Kraft, die den Impuls des Körpers von Null auf einen Endwert verändert. Also, liebe Mathematiker und theoretische Physiker, das Fehlen Ihrer Methode zur Bestimmung der Größe Ihres Impulses zwingt uns dazu, das Verfahren zur Bestimmung der Kraft zu vereinfachen, und das Fehlen einer Methode zur Bestimmung der Wirkungszeit dieser Kraft bringt uns im Allgemeinen in eine schwierige Situation Wir befinden uns in einer aussichtslosen Lage und sind gezwungen, einen Ausdruck zu verwenden, um den Prozess der Impulsänderung eines Körpers zu analysieren. Das Ergebnis ist, dass der Impuls umso größer ist, je länger die Kraft wirkt. Dies widerspricht eindeutig der seit langem verbreiteten Vorstellung, dass der Kraftimpuls umso größer ist, je kürzer die Dauer seiner Wirkung ist.

Machen wir darauf aufmerksam, dass die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes (Kraftimpuls) während seiner beschleunigten Bewegung unter der Wirkung der Newtonschen Kraft und Bewegungswiderstandskräften in Form von Kräften erfolgt, die durch mechanische Widerstände und erzeugt werden die Kraft der Trägheit. Aber die Newtonsche Dynamik ignoriert bei den allermeisten Problemen die Trägheitskraft, und die Mechanodynamik besagt, dass eine Änderung des Impulses eines Körpers während seiner beschleunigten Bewegung aufgrund des Überschusses der Newtonschen Kraft gegenüber den Widerstandskräften gegen die Bewegung, einschließlich der, auftritt Trägheitskraft.

Wenn sich ein Körper in Zeitlupe bewegt, beispielsweise ein Auto mit ausgeschaltetem Gang, gibt es keine Newtonsche Kraft, und die Impulsänderung des Autos erfolgt aufgrund des Überschusses der Bewegungswiderstandskräfte über die Kraft von Trägheit, die das Auto bewegt, wenn es langsam fährt.

Wie können wir nun die Ergebnisse der erwähnten „symphonischen“ mathematischen Aktionen (128) in den Mainstream der Ursache-Wirkungs-Beziehungen zurückführen? Es gibt nur einen Ausweg: eine neue Definition der Begriffe „Kraftimpuls“ und „Schlagkraft“ zu finden. Teilen Sie dazu beide Seiten der Gleichung (132) durch die Zeit t. Als Ergebnis werden wir haben

. (133)

Beachten wir, dass der Ausdruck mV/t die Impulsänderungsrate (mV/t) eines materiellen Punktes oder Körpers ist. Wenn wir berücksichtigen, dass V/t die Beschleunigung ist, dann ist mV/t die Kraft, die den Impuls des Körpers ändert. Die gleiche Dimension links und rechts vom Gleichheitszeichen gibt uns das Recht, die Kraft F als Stoßkraft zu bezeichnen und mit dem Symbol zu bezeichnen, und den Impuls S als Stoßimpuls und mit dem Symbol zu bezeichnen. Dies führt zu einer neuen Definition der Aufprallkraft. Die auf einen materiellen Punkt oder Körper wirkende Aufprallkraft ist gleich dem Verhältnis der Impulsänderung des materiellen Punktes oder Körpers zum Zeitpunkt dieser Änderung.

Achten wir besonders darauf, dass an der Bildung des Stoßimpulses (134), der die Geschwindigkeit des Autos von Null auf Maximum verändert, nur die Newtonsche Kraft beteiligt ist, daher gehört Gleichung (134) vollständig zur Newtonschen Dynamik. Da es viel einfacher ist, die Größe der Geschwindigkeit experimentell zu bestimmen als die Beschleunigung, ist Formel (134) für Berechnungen sehr praktisch.

Dieses ungewöhnliche Ergebnis ergibt sich aus Gleichung (134).

Achten wir darauf, dass nach den neuen Gesetzen der Mechanodynamik der Erzeuger des Kraftimpulses bei der beschleunigten Bewegung eines materiellen Punktes oder Körpers die Newtonsche Kraft ist. Sie bildet die Beschleunigung der Bewegung eines Punktes oder Körpers, bei der automatisch eine der Newtonschen Kraft entgegengesetzt gerichtete Trägheitskraft entsteht und die Newtonsche Kraft die Wirkung der Trägheitskraft überwinden muss, daher muss die Trägheitskraft in dargestellt werden Kräftegleichgewicht auf der linken Seite der Gleichung (134). Da die Trägheitskraft gleich der Masse des Punktes oder Körpers multipliziert mit der Verzögerung ist, die er erzeugt, ergibt sich Gleichung (134).

(136)

Liebe Mathematiker! Sie sehen, welche Form das mathematische Modell angenommen hat, das den Stoßimpuls beschreibt, der die Bewegung des getroffenen Körpers von der Geschwindigkeit Null auf die maximale Geschwindigkeit V beschleunigt (11). Lassen Sie uns nun seine Wirkungsweise bei der Bestimmung des Aufprallimpulses überprüfen, der der Aufprallkraft entspricht, die die 2. Antriebseinheit des SShG abgefeuert hat (Abb. 120), und lassen Sie mit Ihrer nutzlosen Gleichung (132) zurück. Um die Darstellung nicht zu verkomplizieren, lassen wir die Formel (134) vorerst in Ruhe und verwenden Formeln, die Durchschnittswerte der Kräfte angeben. Sie sehen, in welche Position Sie einen Ingenieur versetzen, der versucht, ein bestimmtes Problem zu lösen.

Beginnen wir mit der Newtonschen Dynamik. Experten stellten fest, dass das 2. Triebwerk eine Höhe von 14 m erreichte. Da es im Schwerkraftfeld aufstieg, war seine potentielle Energie in einer Höhe von h = 14 m gleich

und die durchschnittliche kinetische Energie war gleich

Reis. 120. Foto des Turbinenraums vor der Katastrophe

Aus der Gleichheit von kinetischer (138) und potentieller (137) Energie ergibt sich die durchschnittliche Anstiegsgeschwindigkeit des Triebwerks (Abb. 121, 122)

Reis. 121. Photon des Turbinenraums nach der Katastrophe

Nach den neuen Gesetzen der Mechanodynamik bestand der Aufstieg des Triebwerks aus zwei Phasen (Abb. 123): die erste Phase OA – beschleunigter Aufstieg und die zweite Phase AB – langsamer Anstieg , , .

Die Zeit und Entfernung ihrer Wirkung sind ungefähr gleich (). Dann wird die kinematische Gleichung der beschleunigten Phase des Anhebens des Triebwerks wie folgt geschrieben:

. (140)

Reis. 122. Blick auf den Brunnen des Kraftwerks und das Kraftwerk selbst nach der Katastrophe

Das Gesetz zur Änderung der Anstiegsgeschwindigkeit des Aggregats in der ersten Phase hat die Form

. (141)

Reis. 123. Regelmäßigkeit der Änderungen der Fluggeschwindigkeit V eines Triebwerks

Wenn wir die Zeit aus Gleichung (140) in Gleichung (141) einsetzen, erhalten wir

. (142)

Die Blockhebezeit in der ersten Phase wird aus Formel (140) bestimmt.

. (143)

Dann beträgt die Gesamtzeit zum Anheben des Aggregats auf eine Höhe von 14 m. Die Masse des Triebwerks und der Abdeckung beträgt 2580 Tonnen. Gemäß der Newtonschen Dynamik ist die Kraft, die das Triebwerk angehoben hat, gleich

Liebe Mathematiker! Wir folgen Ihren symphonischen mathematischen Ergebnissen und schreiben Ihre Formel (129) auf, die sich aus der Newtonschen Dynamik ergibt, um den Stoßimpuls zu bestimmen, der das 2. Triebwerk abfeuerte

und stellen Sie eine grundlegende Frage: Wie kann die Dauer des Schockimpulses bestimmt werden, der das 2. Triebwerk abgefeuert hat????????????

Lieb!!! Denken Sie daran, wie viel Kreide von Generationen Ihrer Kollegen an die Tafel geschrieben wurde, um den Schülern abstrus beizubringen, wie man den Schockimpuls bestimmt, und niemand erklärte, wie man die Dauer des Schockimpulses in jedem einzelnen Fall bestimmt. Sie werden sagen, dass die Dauer des Stoßimpulses gleich dem Zeitintervall der Geschwindigkeitsänderung des Triebwerks von Null auf den Maximalwert von 16,75 m/s (139) ist. Sie steht in Formel (143) und beträgt 0,84 s. Wir stimmen Ihnen vorerst zu und ermitteln den Durchschnittswert des Schockimpulses

Es stellt sich sofort die Frage: Warum ist die Größe des Stoßimpulses (146) geringer als die Newtonsche Kraft von 50600 Tonnen? Sie, liebe Mathematiker, haben keine Antwort. Gehen wir weiter.

Gemäß der Newtonschen Dynamik war die Schwerkraft die Hauptkraft, die dem Aufstieg des Triebwerks Widerstand leistete. Da diese Kraft der Bewegung des Triebwerks entgegengerichtet ist, erzeugt sie eine Verzögerung, die der Beschleunigung des freien Falls entspricht. Dann ist die Gravitationskraft, die auf das nach oben fliegende Triebwerk wirkt, gleich

Newtons Dynamik berücksichtigt nicht andere Kräfte, die die Wirkung der Newtonschen Kraft von 50.600 Tonnen (144) verhinderten, und die Mechanodynamik besagt, dass dem Aufstieg des Triebwerks auch eine Trägheitskraft entgegenstand

Es stellt sich sofort die Frage: Wie lässt sich die Verzögerung in der Bewegung des Aggregats ermitteln? Die Newtonsche Dynamik schweigt, aber die Mechanodynamik antwortet: Im Moment der Wirkung der Newtonschen Kraft, die die Antriebseinheit anhob, leisteten ihr Widerstand: die Schwerkraft und die Trägheitskraft, daher die Gleichung der auf die Antriebseinheit wirkenden Kräfte Einheit in diesem Moment wird wie folgt geschrieben.

Das Ausmaß der Bewegung ist ein Maß für die mechanische Bewegung, wenn mechanische Bewegung in mechanische übergeht. Beispielsweise wird die mechanische Bewegung einer Billardkugel (Abb. 22) vor dem Aufprall in eine mechanische Bewegung der Kugeln nach dem Aufprall umgewandelt. Für einen Punkt ist der Impuls gleich dem Produkt.

Das Maß für die Kraft ist in diesem Fall der Kraftimpuls

. (9.1)

Der Impuls bestimmt die Kraftwirkung über eine gewisse Zeitspanne . Für einen materiellen Punkt kann der Satz über die Impulsänderung in Differentialform verwendet werden
(9.2) oder integrale (endliche) Form
. (9.3)

Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls aller Kräfte, die während derselben Zeit auf den Punkt wirken.

Abbildung 22

Bei der Lösung von Problemen wird Satz (9.3) häufiger bei Projektionen auf Koordinatenachsen verwendet
;

; (9.4)

.

Mit dem Satz über die Impulsänderung eines Punktes lassen sich Probleme lösen, bei denen auf einen translatorisch bewegten Punkt oder Körper konstante oder variable Kräfte einwirken, die von der Zeit abhängen und die gegebenen und gesuchten Größen die Zeit von einschließen Bewegung und Geschwindigkeiten am Anfang und am Ende der Bewegung. Probleme, die den Satz verwenden, werden in der folgenden Reihenfolge gelöst:

1. Wählen Sie ein Koordinatensystem;

2. alle gegebenen (aktiven) Kräfte und Reaktionen darstellen, die auf einen Punkt wirken;

3. Schreiben Sie einen Satz über die Impulsänderung eines Punktes in Projektionen auf die ausgewählten Koordinatenachsen auf;

4. Bestimmen Sie die benötigten Mengen.

BEISPIEL 12.

Ein Hammer mit einem Gewicht von G=2t fällt aus einer Höhe h=1m in der Zeit t=0,01s auf das Werkstück und prägt das Teil (Abb. 23). Bestimmen Sie die durchschnittliche Druckkraft des Hammers auf das Werkstück.

Die Impulsänderung eines mechanischen Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der Summe der gleichzeitig wirkenden Impulse äußerer Kräfte. Manchmal ist es bequemer, den Satz über die Impulsänderung bei der Projektion auf die Koordinatenachsen zu verwenden
; (9.8)
. (9.9)

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Impuls eines mechanischen Systems ohne äußere Kräfte konstant bleibt. Die Wirkung innerer Kräfte kann die Dynamik des Systems nicht verändern. Aus Gleichung (9.6) ist klar, wann
,
.

Wenn
, Das
oder
.

D

Propeller oder Propeller, Strahlantrieb. Tintenfische bewegen sich ruckartig und schleudern wie eine Wasserwerfer Wasser aus dem Muskelsack (Abb. 25). Das abgestoßene Wasser hat eine bestimmte Bewegung, die nach hinten gerichtet ist. Der Tintenfisch erhält die entsprechende Geschwindigkeit Vorwärtsbewegung aufgrund reaktiver Zugkraft , denn bevor der Tintenfisch herausspringt, springt die Kraft heraus durch die Schwerkraft ausgeglichen .

Die Anwendung des Satzes über die Impulsänderung ermöglicht es uns, alle inneren Kräfte von der Betrachtung auszuschließen.

BEISPIEL 13.

Eine Winde A mit einer Trommel vom Radius r ist auf einem Bahnsteig freistehend auf den Schienen installiert (Abb. 26). Die Winde ist dazu bestimmt, eine Last B mit einer Masse m 1 entlang der Plattform zu bewegen. Gewicht der Plattform mit Winde m 2. Die Windentrommel dreht sich gesetzeskonform
. Zu Beginn war das System mobil. Finden Sie unter Vernachlässigung der Reibung das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung der Plattform nach dem Einschalten der Winde.

R LÖSUNG.

1. Betrachten Sie Plattform, Winde und Last als ein einziges mechanisches System, auf das äußere Kräfte einwirken: die Schwerkraft der Last und Plattformen und Reaktionen Und
.

2. Da alle äußeren Kräfte senkrecht zur x-Achse stehen, d.h.
, wenden wir den Impulserhaltungssatz eines mechanischen Systems in der Projektion auf die x-Achse an:
. Im ersten Moment war das System bewegungslos, daher

Lassen Sie uns das Ausmaß der Bewegung des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt ausdrücken. Die Plattform bewegt sich mit einer Geschwindigkeit vorwärts Die Last erfährt eine komplexe Bewegung, die aus einer relativen Bewegung entlang der Plattform mit einer bestimmten Geschwindigkeit besteht und tragbare Bewegung zusammen mit der Plattform bei hoher Geschwindigkeit ., Wo
. Die Plattform bewegt sich entgegen der Relativbewegung der Last.

BEISPIEL 14.

Wo ,
– das Ausmaß der Bewegung der Platte bzw. der Last.

;
, Wo --absolute Geschwindigkeit der Last D. Aus Gleichung (1) folgt, dass K 1x + K 2x =C 1 oder m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Um V Dx zu bestimmen, betrachten Sie die Bewegung der Last D als komplex, wobei ihre Bewegung relativ zur Platte relativ und die Bewegung der Platte selbst dann tragbar ist
, (3)
;oder in Projektion auf die x-Achse: . (4) Ersetzen wir (4) durch (2):
. (5) Wir bestimmen die Integrationskonstante C 1 aus den Anfangsbedingungen: bei t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1. (6) Wenn wir den Wert der Konstante C 1 in Gleichung (5) einsetzen, erhalten wir

MS.