Präzession eines Kreisels unter dem Einfluss äußerer Kräfte. Elementare Theorie

Um die Lage der Rotationsachse eines festen Körpers über die Zeit unverändert zu lassen, werden Lager verwendet, in denen er gehalten wird. Es gibt jedoch Rotationsachsen von Körpern, die ihre Orientierung im Raum nicht ändern, ohne dass äußere Kräfte auf sie einwirken. Diese Achsen heißen freie Achsen(oder Achsen der freien Rotation). Es kann nachgewiesen werden, dass es in jedem Körper drei zueinander senkrechte Achsen gibt, die durch den Massenschwerpunkt des Körpers verlaufen und als freie Achsen dienen können (sie werden genannt). Hauptträgheitsachsen Körper). Beispielsweise verlaufen die Hauptträgheitsachsen eines homogenen rechteckigen Parallelepipeds durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen (Abb. 30). Bei einem homogenen Zylinder ist eine der Hauptträgheitsachsen seine geometrische Achse, und die übrigen Achsen können zwei beliebige zueinander senkrechte Achsen sein, die durch den Massenschwerpunkt in einer Ebene senkrecht zur geometrischen Achse des Zylinders gezogen werden. Die Hauptträgheitsachsen der Kugel

sind drei beliebige zueinander senkrechte Achsen, die durch den Massenschwerpunkt verlaufen.

Für die Rotationsstabilität ist es von großer Bedeutung, welche der freien Achsen als Rotationsachse dient.

Es lässt sich zeigen, dass die Drehung um die Hauptachsen mit den größten und kleinsten Trägheitsmomenten stabil und die Drehung um die Achse mit dem durchschnittlichen Moment instabil ist. Wenn Sie also einen Körper in Form eines Parallelepipeds werfen und ihn gleichzeitig in Rotation versetzen, dreht er sich beim Fallen stetig um die Achsen 1 Und 2 (Abb. 30).

Wenn beispielsweise ein Stab an einem Ende des Fadens aufgehängt wird und das andere Ende, das an der Spindel einer Zentrifugalmaschine befestigt ist, in schnelle Rotation versetzt wird, dann dreht sich der Stab in einer horizontalen Ebene um eine senkrechte vertikale Achse zur Achse des Stocks und verläuft durch dessen Mitte (Abb. 31) . Dies ist die freie Drehachse (das Trägheitsmoment ist in dieser Position des Knüppels maximal). Wird nun der um die freie Achse rotierende Stab von äußeren Verbindungen befreit (oberes Ende des Fadens vorsichtig vom Spindelhaken entfernen), so bleibt die Lage der Rotationsachse im Raum für einige Zeit erhalten. Die Eigenschaft freier Achsen, ihre Position im Raum beizubehalten, wird in der Technik häufig genutzt. Das Interessanteste in dieser Hinsicht Gyroskope- massive homogene Körper, die mit hoher Winkelgeschwindigkeit um ihre Symmetrieachse, die eine freie Achse ist, rotieren.

Betrachten wir einen der Gyroskoptypen – ein kardanisch montiertes Gyroskop (Abb. 32). Ein scheibenförmiger Körper – ein Gyroskop – ist auf einer Achse befestigt AA, das sich um eine horizontale Achse senkrecht dazu drehen kann BB, die wiederum um eine vertikale Achse rotieren kann D.D. Alle drei Achsen schneiden sich in einem Punkt C, der den Schwerpunkt des Gyroskops darstellt und bewegungslos bleibt, und die Achse des Gyroskops kann jede beliebige Richtung im Raum einnehmen. Wir vernachlässigen die Reibungskräfte in den Lagern aller drei Achsen und das Impulsmoment der Ringe.

Da die Reibung in den Lagern gering ist, kann der Kreisel im Stillstand seiner Achse jede beliebige Richtung geben. Wenn Sie beginnen, das Gyroskop schnell zu drehen (z. B. mit einem um die Achse gewickelten Seil) und seinen Ständer zu drehen, behält die Gyroskopachse ihre Position im Raum unverändert bei. Dies lässt sich mit dem Grundgesetz der Rotationsbewegungsdynamik erklären. Bei einem frei rotierenden Gyroskop kann die Schwerkraft die Ausrichtung seiner Drehachse nicht ändern, da diese Kraft auf den Massenschwerpunkt wirkt (der Drehpunkt C fällt mit dem Massenschwerpunkt zusammen) und das Schwerkraftmoment relativ ist zum festen Massenschwerpunkt ist Null. Wir vernachlässigen auch das Moment der Reibungskräfte. Wenn also das Moment der äußeren Kräfte relativ zu seinem festen Massenschwerpunkt Null ist, dann gilt, wie aus Gleichung (19.3) folgt, L =

Const, d. h. der Drehimpuls des Kreisels behält seine Größe und Richtung im Raum. Deshalb gemeinsam Mit es behält seine Position im Raum und die Achse des Kreisels.

Damit die Kreiselachse ihre Richtung im Raum ändert, ist es nach (19.3) notwendig, dass das Moment der äußeren Kräfte von Null verschieden ist. Wenn das Moment der äußeren Kräfte, die auf einen rotierenden Gyroskop relativ zu seinem Massenschwerpunkt ausgeübt werden, von Null verschieden ist, wird ein Phänomen genannt Kreiseleffekt. Es besteht darin, dass es unter dem Einfluss eines Kräftepaares steht F, angewendet auf die Achse eines rotierenden Gyroskops, dreht sich die Achse des Gyroskops (Abb. 33) um die Gerade O 3 O 3 und nicht um die Gerade UM 2 UM 2 , wie natürlich es auf den ersten Blick erscheinen würde (Ö 1 Ö 1 Und UM 2 UM 2 liegen in der Zeichenebene, und O 3 O 3 und die Kräfte F senkrecht dazu).

Der Kreiseleffekt wird wie folgt erklärt. Moment M Kräftepaare F entlang einer geraden Linie gerichtet UM 2 UM 2 . Während der Zeit dt des Impulsmomentes L Das Gyroskop erhält ein Inkrement d L = M dt (Richtung d L stimmt mit der Richtung überein M) und wird gleich L"=L+d L. Vektorrichtung L" fällt mit der neuen Richtung der Drehachse des Gyroskops zusammen. Somit dreht sich die Drehachse des Gyroskops um die Gerade O 3 O 3. Wenn die Wirkungszeit der Kraft kurz ist, dann, obwohl die Moment der Kraft M und groß, Änderung des Drehimpulses d L Das Gyroskop wird auch recht klein sein. Kurzfristige Krafteinwirkungen führen daher praktisch nicht zu einer Änderung der Ausrichtung der Rotationsachse des Kreisels im Raum. Um es zu verändern, muss über einen längeren Zeitraum Kraft ausgeübt werden.

Wenn die Achse des Gyroskops durch Lager fixiert ist, dann aufgrund des gyroskopischen Effekts, sog Kreiselkräfte, Wirkt auf die Stützen, in denen sich die Gyroskopachse dreht. Ihre Wirkung muss bei der Konstruktion von Geräten mit schnell rotierenden massiven Bauteilen berücksichtigt werden. Kreiselkräfte machen nur in einem rotierenden Bezugssystem Sinn und sind ein Sonderfall der Coriolis-Trägheitskraft (siehe §27).

Gyroskope werden in verschiedenen gyroskopischen Navigationsgeräten (Kreiselkompass, Kreiselhorizont usw.) verwendet. Eine weitere wichtige Anwendung von Gyroskopen ist die Aufrechterhaltung einer bestimmten Bewegungsrichtung von Fahrzeugen, beispielsweise eines Schiffes (Autopilot) und eines Flugzeugs (Autopilot) usw. Bei jeder Abweichung vom Kurs aufgrund eines Einflusses (Welle, Windstoß usw.) .), die Position der Achse des Gyroskops im Raum bleibt erhalten. Folglich dreht sich die Achse des Gyroskops zusammen mit den kardanischen Rahmen relativ zum beweglichen Gerät. Durch Drehen der Kardanrahmen mit Hilfe bestimmter Geräte werden die Steuerruder aktiviert, die die Bewegung auf einen bestimmten Kurs zurückführen.

Das Gyroskop wurde erstmals vom französischen Physiker J. Foucault (1819-1868) verwendet, um die Rotation der Erde nachzuweisen.

Die Erfahrung zeigt, dass die Präzessionsbewegung eines Kreisels unter dem Einfluss äußerer Kräfte im Allgemeinen komplexer ist als die oben im Rahmen der Elementartheorie beschriebene. Gibt man dem Kreisel einen Stoß, der den Winkel verändert (siehe Abb. 4.6), dann ist die Präzession nicht mehr gleichmäßig (oft gesagt: regelmäßig), sondern wird von kleinen Drehungen und Zittern der Oberseite des Kreisels begleitet - Nutationen. Um sie zu beschreiben, muss die Nichtübereinstimmung des Vektors des Gesamtdrehimpulses berücksichtigt werden L, momentane Drehwinkelgeschwindigkeit und Symmetrieachse des Gyroskops.

Die genaue Theorie des Gyroskops geht über den Rahmen des allgemeinen Physikkurses hinaus. Aus der Beziehung folgt das Ende des Vektors L bewegt sich zu M, also senkrecht zur Vertikalen und zur Achse des Kreisels. Dies bedeutet, dass die Projektionen des Vektors L auf der Vertikalen und auf der Achse des Kreisels bleiben konstant. Eine weitere Konstante ist Energie

(4.14)

Wo - kinetische Energie Gyroskop Ausdrücken in Form von Euler-Winkeln und ihren Ableitungen können wir verwenden Eulers Gleichungen, die Bewegung eines Körpers analytisch beschreiben.

Das Ergebnis dieser Beschreibung ist wie folgt: der Drehimpulsvektor L beschreibt einen im Raum bewegungslosen Präzessionskegel, und gleichzeitig bewegt sich die Symmetrieachse des Kreisels um den Vektor L entlang der Oberfläche des Nutationskegels. Die Spitze des Nutationskegels befindet sich wie die Spitze des Präzessionskegels am Befestigungspunkt des Gyroskops, und die Achse des Nutationskegels fällt in Richtung mit zusammen L und geht mit ihm. Die Winkelgeschwindigkeit der Nutationen wird durch den Ausdruck bestimmt

(4.15)

wobei und die Trägheitsmomente des Gyroskopkörpers relativ zur Symmetrieachse und relativ zur Achse sind, die durch den Drehpunkt und senkrecht zur Symmetrieachse verläuft, und die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um die Symmetrieachse ist (vergleiche mit ( 3.64)).

Somit ist die Gyroskopachse an zwei Bewegungen beteiligt: ​​der Nutation und der Präzession. Die Trajektorien der absoluten Bewegung der Oberseite des Gyroskops sind komplizierte Linien, Beispiele dafür sind in Abb. dargestellt. 4.7.

Reis. 4.7.

Die Art der Flugbahn, entlang der sich die Spitze des Gyroskops bewegt, hängt von den Anfangsbedingungen ab. Im Fall von Abb. 4.7a Der Kreisel wurde um die Symmetrieachse gedreht, in einem bestimmten Winkel zur Vertikalen auf ein Stativ gestellt und vorsichtig losgelassen. Im Fall von Abb. 4.7b wurde ihm zusätzlich etwas Vorschub geleistet, und im Fall von Abb. 4,7 V – entlang der Präzession zurückschieben. Kurven in Abb. 4.7 ähneln Zykloiden, die durch einen Punkt auf der Felge eines Rades beschrieben werden, der auf einer Ebene rollt, ohne zu rutschen oder in die eine oder andere Richtung zu rutschen. Und nur indem man dem Gyroskop einen Anfangsschub einer ganz bestimmten Größe und Richtung verleiht, kann man erreichen, dass die Achse des Gyroskops ohne Nutationen präzediert. Je schneller sich der Kreisel dreht, desto größer ist die Winkelgeschwindigkeit der Nutationen und desto kleiner ist ihre Amplitude. Bei sehr schneller Rotation werden Nutationen für das Auge nahezu unsichtbar.

Es mag seltsam erscheinen: Warum fällt ein Gyroskop, wenn es aufgedreht, in einem Winkel zur Vertikalen ausgerichtet und losgelassen wird, nicht unter den Einfluss der Schwerkraft, sondern bewegt sich seitwärts? Woher kommt die kinetische Energie der Präzessionsbewegung?

Antworten auf diese Fragen können nur im Rahmen der exakten Theorie der Gyroskope erhalten werden. Tatsächlich beginnt der Kreisel tatsächlich zu fallen, und als Folge des Drehimpulserhaltungssatzes tritt eine Präzessionsbewegung auf. Tatsächlich führt die Abweichung der Kreiselachse nach unten zu einer Verringerung der Projektion des Drehimpulses in vertikaler Richtung. Dieser Rückgang muss durch den Drehimpuls ausgeglichen werden, der mit der Präzessionsbewegung der Kreiselachse verbunden ist. Aus energetischer Sicht erscheint die kinetische Energie der Präzession aufgrund von Änderungen der potentiellen Energie von Gyroskopen

Wenn aufgrund der Reibung im Träger die Nutationen schneller gelöscht werden als die Drehung des Kreisels um die Symmetrieachse (dies geschieht in der Regel), verschwinden die Nutationen kurz nach dem „Start“ des Kreisels und es kommt zur reinen Präzession bleibt bestehen (Abb. 4.8). In diesem Fall fällt der Neigungswinkel der Kreiselachse zur Vertikalen größer aus als zu Beginn, das heißt, die potentielle Energie des Kreisels nimmt ab. Daher muss sich die Kreiselachse leicht absenken, um eine Präzession um die vertikale Achse durchführen zu können.

Reis. 4.8.

Kreiselkräfte.

Wenden wir uns einem einfachen Experiment zu: Nehmen Sie die Welle AB mit dem darauf montierten Rad C in die Hand (Abb. 4.9). Solange das Rad nicht aufgedreht ist, ist es nicht schwierig, die Welle beliebig im Raum zu drehen. Wenn sich das Rad jedoch dreht, führen Versuche, die Welle beispielsweise in einer horizontalen Ebene mit einer kleinen Winkelgeschwindigkeit zu drehen, zu einem interessanten Effekt: Die Welle neigt dazu, sich aus den Händen zu lösen und sich in einer vertikalen Ebene zu drehen. es wirkt mit bestimmten Kräften auf die Hände und (Abb. 4.9). Es erfordert erhebliche körperliche Anstrengung, die Welle mit dem rotierenden Rad in einer horizontalen Ebene zu halten.

Lassen Sie uns den Kreisel um seine Symmetrieachse mit einer großen Winkelgeschwindigkeit (Drehimpuls) drehen L) und beginnen, den Rahmen mit dem darin montierten Gyroskop mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit um die vertikale Achse OO" zu drehen, wie in Abb. 4.10 dargestellt. Drehimpuls L, erhält einen Zuwachs, der durch das Kraftmoment bereitgestellt werden muss M, angewendet auf die Achse des Gyroskops. Moment M, wiederum entsteht durch ein Kräftepaar, das bei der erzwungenen Drehung der Gyroskopachse entsteht und von der Seite des Rahmens auf die Achse einwirkt. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz wirkt die Achse mit Kräften auf den Rahmen (Abb. 4.10). Diese Kräfte werden gyroskopisch genannt; Sie kreieren Kreiselmoment Das Auftreten gyroskopischer Kräfte wird genannt Kreiseleffekt. Es sind diese Kreiselkräfte, die wir spüren, wenn wir versuchen, die Achse eines rotierenden Rades zu drehen (Abb. 4.9).

Dabei ist die Winkelgeschwindigkeit der erzwungenen Rotation (manchmal auch erzwungene Präzession genannt). Auf der Achsseite wirkt das entgegengesetzte Moment auf die Lager

(4.)

Somit ist die Welle des in Abb. 4.10, wird im Lager B nach oben gedrückt und übt Druck auf die Unterseite des Lagers A aus.

Richtung der Kreiselkräfte kann leicht mit der von N.E. formulierten Regel gefunden werden. Schukowski: Kreiselkräfte neigen dazu, Drehimpulse zu kombinieren L Gyroskop mit der Richtung der Winkelgeschwindigkeit der erzwungenen Drehung. Diese Regel lässt sich anhand des in Abb. gezeigten Geräts anschaulich demonstrieren. 4.11.

GYROSKOP
ein Navigationsgerät, dessen Hauptelement ein schnell rotierender Rotor ist, der so befestigt ist, dass seine Drehachse gedreht werden kann. Drei Freiheitsgrade (mögliche Rotationsachsen) des Gyroskoprotors werden durch zwei kardanische Rahmen bereitgestellt. Wenn ein solches Gerät nicht durch äußere Störungen beeinflusst wird, behält die Achse der Eigenrotation des Rotors eine konstante Richtung im Raum bei. Wenn ein Moment einer äußeren Kraft auf ihn einwirkt und dazu neigt, seine eigene Rotationsachse zu drehen, beginnt er sich nicht um die Richtung des Moments, sondern um eine dazu senkrechte Achse zu drehen (Präzession).

Bei einem gut ausbalancierten (astatischen) und relativ schnell rotierenden Gyroskop, das auf hochentwickelten Lagern mit unbedeutender Reibung montiert ist, fehlt das Moment äußerer Kräfte praktisch, so dass das Gyroskop seine Orientierung im Raum über lange Zeit nahezu unverändert beibehält. Daher kann es den Drehwinkel der Basis anzeigen, auf der es befestigt ist. So konnte der französische Physiker J. Foucault (1819-1868) erstmals die Rotation der Erde eindeutig nachweisen. Wenn die Drehung der Gyroskopachse durch eine Feder begrenzt wird, verformt das Gyroskop bei entsprechender Installation, beispielsweise in einem Flugzeug, das eine Kurve ausführt, die Feder, bis das Moment der äußeren Kraft ausgeglichen ist. In diesem Fall ist die Druck- oder Zugkraft der Feder proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Flugzeugs. Dies ist das Funktionsprinzip eines Flugzeug-Blinkers und vieler anderer Kreiselgeräte. Da in den Lagern nur sehr wenig Reibung herrscht, ist nicht viel Energie erforderlich, um den Rotor des Gyroskops am Laufen zu halten. Um ihn in Rotation zu versetzen und die Rotation aufrechtzuerhalten, reicht in der Regel ein Elektromotor mit geringer Leistung oder ein Druckluftstrahl aus.
Anwendung. Das Gyroskop wird am häufigsten als empfindliches Element von anzeigenden Kreiselgeräten und als Drehwinkel- oder Winkelgeschwindigkeitssensor für automatische Steuergeräte verwendet. In manchen Fällen, beispielsweise in Gyrostabilisatoren, werden Gyroskope als Drehmoment- oder Energiegeneratoren eingesetzt.
siehe auch SCHWUNGRAD. Die Hauptanwendungsgebiete von Gyroskopen sind die Schifffahrt, die Luft- und Raumfahrt (siehe Trägheitsnavigation). Fast jedes Langstreckenseeschiff ist mit einem Kreiselkompass zur manuellen oder automatischen Steuerung des Schiffes ausgestattet, einige sind mit Kreiselstabilisatoren ausgestattet. In Feuerleitsystemen der Marineartillerie gibt es viele zusätzliche Gyroskope, die für einen stabilen Bezugsrahmen sorgen oder Winkelgeschwindigkeiten messen. Ohne Gyroskope ist eine automatische Steuerung von Torpedos nicht möglich. Flugzeuge und Hubschrauber sind mit Kreiselgeräten ausgestattet, die zuverlässige Informationen für Stabilisierungs- und Navigationssysteme liefern. Zu diesen Instrumenten gehören ein Lageanzeiger, ein Gyrovertical sowie ein gyroskopischer Roll- und Wendeanzeiger. Gyroskope können entweder Anzeigegeräte oder Autopilot-Sensoren sein. Viele Flugzeuge sind mit kreiselstabilisierten Magnetkompassen und anderen Geräten ausgestattet – Navigationszielgeräten, Kameras mit Gyroskop, Kreiselsextanten. In der militärischen Luftfahrt werden Gyroskope auch für Luftschieß- und Bombenzielgeräte eingesetzt. Gyroskope für verschiedene Zwecke (Navigation, Energie) werden je nach Betriebsbedingungen und erforderlicher Genauigkeit in unterschiedlichen Größen hergestellt. Bei Kreiselgeräten beträgt der Rotordurchmesser 4–20 cm, bei Luft- und Raumfahrtgeräten ist der Wert geringer. Die Durchmesser der Rotoren von Schiffsgyrostabilisatoren werden in Metern gemessen.
GRUNDLEGENDES KONZEPT
Der Kreiseleffekt entsteht durch die gleiche Zentrifugalkraft, die auf einen Kreisel, beispielsweise auf einen Tisch, wirkt. Am Auflagepunkt der Platte auf dem Tisch entsteht eine Kraft und ein Moment, unter deren Einfluss die Drehachse der Platte von der Vertikalen abweicht und die Zentrifugalkraft der rotierenden Masse eine Änderung der Ausrichtung verhindert der Rotationsebene zwingt den Kreisel dazu, sich um die Vertikale zu drehen und so eine vorgegebene Orientierung im Raum beizubehalten. Bei dieser Rotation, Präzession genannt, reagiert der Gyroskoprotor auf das ausgeübte Kraftmoment um eine Achse senkrecht zur Achse seiner eigenen Rotation. Der Beitrag der Rotormassen zu diesem Effekt ist proportional zum Quadrat des Abstands zur Rotationsachse, denn je größer der Radius, desto größer ist erstens die lineare Beschleunigung und zweitens die Hebelwirkung der Zentrifugalkraft. Der Einfluss der Masse und deren Verteilung im Rotor wird durch ihr „Trägheitsmoment“, d.h. das Ergebnis der Summierung der Produkte aller Massen mit dem Quadrat des Abstands zur Rotationsachse. Der volle Kreiseleffekt eines rotierenden Rotors wird durch sein „kinetisches Moment“ bestimmt, d. h. das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit (im Bogenmaß pro Sekunde) und dem Trägheitsmoment relativ zur Achse der Eigenrotation des Rotors. Das kinetische Moment ist eine Vektorgröße, die nicht nur einen numerischen Wert, sondern auch eine Richtung hat. In Abb. 1 kinetisches Moment wird durch einen Pfeil dargestellt (dessen Länge proportional zur Größe des Moments ist), der gemäß der „Bohrerregel“ entlang der Drehachse gerichtet ist: Wohin der Bohrer geführt wird, wenn er in die Richtung gedreht wird Drehung des Rotors. Präzession und Drehmoment werden ebenfalls durch Vektorgrößen charakterisiert. Die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors der Präzession und des Drehmomentvektors werden durch die Gimlet-Regel mit der entsprechenden Drehrichtung in Beziehung gesetzt.
siehe auch VEKTOR.
GYROSKOP MIT DREI FREIHEITSGRAD
In Abb. Abbildung 1 zeigt ein vereinfachtes kinematisches Diagramm eines Gyroskops mit drei Freiheitsgraden (drei Drehachsen), auf dem die Drehrichtungen durch gebogene Pfeile dargestellt sind. Das kinetische Moment wird durch einen dicken geraden Pfeil dargestellt, der entlang der Achse der Eigenrotation des Rotors gerichtet ist. Das Kraftmoment wird durch Drücken eines Fingers so aufgebracht, dass es eine Komponente senkrecht zur Achse der Eigenrotation des Rotors hat (die zweite Kraft des Paares wird durch vertikale Halbachsen erzeugt, die im Rahmen befestigt sind, der mit der Basis verbunden ist ). Nach den Newtonschen Gesetzen muss ein solches Kraftmoment ein kinetisches Moment erzeugen, das in seiner Richtung mit ihm übereinstimmt und proportional zu seiner Größe ist. Da das kinetische Moment (das mit der Eigenrotation des Rotors zusammenhängt) in seiner Größe festgelegt ist (durch Einstellen einer konstanten Winkelgeschwindigkeit beispielsweise durch einen Elektromotor), kann diese Anforderung der Newtonschen Gesetze nur durch Drehen der Rotationsachse (in Richtung der Rotationsachse) erfüllt werden Vektor des externen Drehmoments), was zu einer Vergrößerung der Projektion des kinetischen Moments auf dieser Achse führt. Diese Rotation ist die zuvor diskutierte Präzession. Die Präzessionsgeschwindigkeit nimmt mit zunehmendem äußeren Drehmoment zu und mit zunehmendem kinetischen Drehmoment des Rotors ab.
Gyroskopische Kursanzeige. In Abb. Abbildung 2 zeigt ein Beispiel für die Verwendung eines Drei-Grad-Gyroskops in einem Kursanzeiger für die Luftfahrt (Kreisel-Halbkompass). Die Drehung des Rotors in Kugellagern wird durch einen Druckluftstrom erzeugt und aufrechterhalten, der auf die gerillte Oberfläche der Felge gerichtet ist. Die inneren und äußeren Rahmen des Kardanrings sorgen für vollständige Rotationsfreiheit der Achse der Eigenrotation des Rotors. Mithilfe der am Außenrahmen angebrachten Azimutskala können Sie einen beliebigen Azimutwert eingeben, indem Sie die Achse der Eigenrotation des Rotors an der Basis des Geräts ausrichten. Die Reibung in den Lagern ist so unbedeutend, dass nach Eingabe dieses Azimutwerts die Drehachse des Rotors die vorgegebene Position im Raum beibehält und mit dem an der Basis angebrachten Pfeil die Drehung des Flugzeugs über den Azimut gesteuert werden kann Skala. Abbiegeanzeigen weisen außer Drifteffekten, die mit Unvollkommenheiten im Mechanismus verbunden sind, keine Abweichungen auf und erfordern keine Kommunikation mit externen (z. B. Boden-)Navigationshilfen.

Viskose Dämpfung. Um das Ausgangskraftmoment relativ zur Achse einer Zwei-Grad-Kreiseleinheit zu dämpfen, kann eine viskose Dämpfung verwendet werden. Das kinematische Diagramm eines solchen Geräts ist in Abb. dargestellt. 5; es unterscheidet sich vom Diagramm in Abb. 4 dadurch, dass die Gegenfeder entfällt und der Viskosedämpfer erhöht ist. Wenn ein solches Gerät mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit um die Eingangsachse gedreht wird, bewirkt das Ausgangsmoment des Gyroskops, dass der Rahmen um die Ausgangsachse kreist. Zieht man die Auswirkungen der Trägheitsreaktion ab (die Trägheit des Rahmens ist hauptsächlich mit einer nur geringfügigen Verzögerung der Reaktion verbunden), wird dieses Moment durch das Moment der vom Dämpfer erzeugten viskosen Widerstandskräfte ausgeglichen. Das Dämpfermoment ist proportional zur Drehwinkelgeschwindigkeit des Rahmens relativ zum Körper, daher ist auch das Ausgangsmoment der Kreiseleinheit proportional zu dieser Winkelgeschwindigkeit. Da dieses Ausgangsdrehmoment proportional zur Eingangswinkelgeschwindigkeit ist (bei kleinen Ausgangsrahmenwinkeln), erhöht sich der Ausgangsrahmenwinkel, wenn sich der Körper um die Eingangsachse dreht. Ein sich entlang der Skala bewegender Pfeil (Abb. 5) zeigt den Drehwinkel des Rahmens an. Die Messwerte sind proportional zum Integral der Winkelgeschwindigkeit der Drehung relativ zur Eingangsachse im Trägheitsraum, und daher ist das Gerät, dessen Diagramm in Abb. 5 wird als integrierender Zwei-Grad-Gyrosensor bezeichnet.

Colliers Enzyklopädie. - Offene Gesellschaft. 2000 .

1. Freie Drehachsen. Betrachten wir zwei Fälle der Drehung eines massiven Stabes um eine Achse, die durch den Massenschwerpunkt verläuft.

Wenn Sie die Stange relativ zur Achse aufdrehen O.O. und es sich selbst überlassen, das heißt die Drehachse von den Lagern befreien, dann ändert sich im Fall von Abb. 71-a die Ausrichtung der freien Drehachse relativ zur Stange, da die Stange unter der Der Einfluss eines Paares von Zentrifugalkräften und Trägheitskräften entfaltet sich in einer horizontalen Ebene. Im Fall von Abb. 71-b ist das Moment eines Zentrifugalkraftpaares Null, sodass sich der ungedrehte Stab weiter um die Achse dreht OO und nach ihrer Freilassung.

Die Rotationsachse, deren Position im Raum ohne Einwirkung äußerer Kräfte erhalten bleibt, wird als freie Achse eines rotierenden Körpers bezeichnet. Folglich ist die Achse senkrecht zum Stab, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft, die freie Drehachse des Stabes.

Jeder starre Körper hat drei zueinander senkrechte freie Rotationsachsen, die sich im Massenschwerpunkt schneiden. Die Lage der freien Achsen homogener Körper stimmt mit der Lage ihrer geometrischen Symmetrieachsen überein (Abb. 72).

Man nennt auch freie Rotationsachsen Hauptträgheitsachsen. Wenn sich Körper frei um die Hauptträgheitsachsen drehen, sind nur Drehungen um die Achsen stabil, die den maximalen und minimalen Werten des Trägheitsmoments entsprechen. Wirken äußere Kräfte auf den Körper, so ist die Rotation nur um die Hauptachse stabil, der das maximale Trägheitsmoment entspricht.

2. Gyroskop(aus dem Griechischen gyreuo- Ich drehe und Skopeo– Ich verstehe) ist ein homogener Rotationskörper, der sich schnell um eine Symmetrieachse dreht, dessen Achse ihre Position im Raum ändern kann.

Bei der Untersuchung der Bewegung eines Gyroskops gehen wir davon aus, dass:

A. Der Schwerpunkt des Kreisels fällt mit seinem Fixpunkt zusammen Ö. Dieses Gyroskop heißt ausgewogen.

B. Winkelgeschwindigkeit w die Drehung des Kreisels um eine Achse ist viel größer als die Winkelgeschwindigkeit W der Bewegung der Achse im Raum, d. h w >> W.

B. Drehimpulsvektor des Gyroskops L fällt mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor zusammen w , da sich das Gyroskop um die Hauptträgheitsachse dreht.

Lassen Sie eine Kraft auf die Gyroskopachse wirken F während der Zeit D T. Nach dem zweiten Hauptsatz der Dynamik für Rotationsbewegungen, also die Änderung des Drehimpulses des Kreisels während dieser Zeit, (26.1)

Wo R – Radiusvektor, der von einem festen Punkt aus gezeichnet wird Ö bis zum Angriffspunkt der Kraft (Abb. 73).

Eine Änderung des Drehimpulses des Gyroskops kann als Drehung der Gyroskopachse um einen Winkel mit der Winkelgeschwindigkeit betrachtet werden . (26.2)

Hier ist die Komponente der auf ihn wirkenden Kraft senkrecht zur Gyroskopachse.

Unter Gewalt F Auf die Achse des Kreisels angewendet, dreht sich die Achse nicht in Richtung der Kraft, sondern in Richtung des Kraftmoments M relativ zu einem festen Punkt Ö. Zu jedem Zeitpunkt ist die Rotationsgeschwindigkeit der Gyroskopachse proportional zum Kraftmoment und bei konstantem Kraftarm proportional zur Kraft selbst. Auf diese Weise, Die Bewegung der Gyroskopachse ist trägheitsfrei. Dies ist der einzige Fall einer trägheitsfreien Bewegung in der Mechanik.

Die Bewegung der Gyroskopachse unter dem Einfluss einer äußeren Kraft wird als erzwungen bezeichnet Präzession Gyroskop (von lateinisch praecessio – Bewegung vorwärts).

3. Stoßwirkung auf die Gyroskopachse. Bestimmen wir die Winkelverschiebung der Gyroskopachse als Folge einer kurzzeitigen Krafteinwirkung auf die Achse, also eines Aufpralls. Kurz einwirken lassen dt zur Gyroskopachse im Abstand R aus der Mitte UM Kraft wirkt F . Unter dem Einfluss des Impulses dieser Kraft F dt Die Achse dreht sich (Abb. 74) in Richtung des von ihr erzeugten Kraftimpulsmoments M dt in irgendeinem Winkel

dq = W dt=(rF/Iw)dt. (26.3)

Wenn sich der Angriffspunkt der Kraft nicht ändert, dann R= const und durch Integration erhalten wir. q = .(26.4)

Das Integral hängt jeweils von der Art der Funktion ab ( T). Unter normalen Bedingungen ist die Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Gyroskops sehr hoch, daher ist der Zähler meist viel kleiner als der Nenner und damit der Winkel Q– kleiner Wert. Ein schnell rotierender Kreisel ist stoßfest – je größer, desto größer sein Drehimpuls.

4. Interessant ist, dass die Kraft, unter der die Kreiselachse präzediert, keine Arbeit leistet. Dies liegt daran, dass der Punkt auf dem Gyroskop, auf den eine Kraft ausgeübt wird, zu jedem Zeitpunkt in einer Richtung senkrecht zur Richtung der Kraft verschoben wird. Daher ist das Skalarprodukt einer Kraft und eines kleinen Verschiebungsvektors immer Null.

Kräfte in dieser Manifestation werden aufgerufen gyroskopisch. Somit ist die Lorentzkraft, die auf ein elektrisch geladenes Teilchen von der Seite des Magnetfelds, in dem es sich bewegt, wirkt, immer gyroskopisch.

5. CT-Gleichgewichtszustand. Damit sich der CT im Gleichgewicht befindet, ist es notwendig, dass die Summe der äußeren Kräfte und die Summe der Momente der äußeren Kräfte gleich Null sind:

. (26.5)

Es gibt 4 Arten von Gleichgewichten: stabil, instabil, sattelförmig und indifferent.

A. Die Gleichgewichtslage des TP ist stabil, wenn bei kleinen Abweichungen vom Gleichgewicht Kräfte auf den Körper einzuwirken beginnen, die ihn in die Gleichgewichtslage zurückbringen wollen.

Abbildung 75 zeigt Situationen stabilen Gleichgewichts von Körpern in einem Schwerefeld. Schwerkraftkräfte sind Massenkräfte, daher wirkt die Resultierende der auf die Punktelemente des TT wirkenden Schwerkraftkräfte auf den Massenschwerpunkt. In solchen Situationen wird der Schwerpunkt als Schwerpunkt bezeichnet.

Eine stabile Gleichgewichtslage entspricht der minimalen potentiellen Energie des Körpers.

B. Wenn bei kleinen Abweichungen von der Gleichgewichtslage Kräfte in Richtung vom Gleichgewicht weg auf den Körper einzuwirken beginnen, ist die Gleichgewichtslage instabil. Eine instabile Gleichgewichtslage entspricht einem relativen Maximum der potentiellen Energie des Körpers (Abb. 76).

V. Ein sattelförmiges Gleichgewicht liegt vor, wenn das Gleichgewicht des Körpers bei Bewegung entlang eines Freiheitsgrades stabil und bei Bewegung entlang eines anderen Freiheitsgrades instabil ist. In der in Abbildung 77 dargestellten Situation ist die Position des Körpers relativ zur Koordinate X stabil ist, und zwar in Bezug auf die Koordinate j– instabil.

G. Wenn beim Abweichen eines Körpers von der Gleichgewichtslage keine Kräfte auftreten, die dazu neigen, den Körper in die eine oder andere Richtung zu verschieben, wird die Gleichgewichtslage als indifferent bezeichnet. Zum Beispiel eine Kugel in einem Schwerefeld auf einer Äquipotentialfläche, ein starrer Körper, der im Massenschwerpunkt (am Schwerpunktpunkt) aufgehängt ist (Abb. 78).

§ 89. Freies Gyroskop und seine grundlegenden Eigenschaften

Ein Gyroskop ist ein Körper, der sich schnell um seine Symmetrieachse dreht, und die Achse, um die die Drehung erfolgt, kann seine Position im Raum ändern. Der Gyroskop ist eine massive Scheibe, die in fast allen modernen Navigationsgeräten elektrisch angetrieben wird und den Rotor eines Elektromotors darstellt.

Reis. 120.

Ein Gyroskop, das sich um die drei angegebenen Achsen drehen kann, wird als Gyroskop mit drei Freiheitsgraden bezeichnet. Der Punkt, an dem sich diese Achsen schneiden, wird Aufhängepunkt des Gyroskops genannt. Man spricht von einem Kreisel mit drei Freiheitsgraden, bei dem der Schwerpunkt des Gesamtsystems, bestehend aus Rotor und Kardanringen, mit dem Aufhängepunkt zusammenfällt ausgewogen, oder Wechselstrom statisch, Gyroskop.

Man spricht von einem ausgeglichenen Kreisel, auf den keine äußeren Drehmomente wirken frei Gyroskop.

Dank seiner schnellen Rotation erhält ein freier Kreisel Eigenschaften, die in allen Kreiselgeräten weit verbreitet sind. Die Haupteigenschaften eines freien Kreisels sind die Eigenschaften Stabilität und Präzession.

Das erste ist, dass die Hauptachse eines freien Kreisels dazu neigt, die ihr ursprünglich gegebene Richtung relativ zum Weltraum beizubehalten. Die Stabilität der Hauptachse ist umso größer, je genauer der Schwerpunkt des Systems mit dem Aufhängepunkt übereinstimmt, je geringer die Reibungskraft in den Achsen des Kardanrings ist und je größer das Gewicht des Gyroskops, sein Durchmesser und seine Rotationsgeschwindigkeit sind . Die Größe, die den Gyroskop unter diesem qualitativen Gesichtspunkt charakterisiert, wird als kinetisches Moment des Gyroskops bezeichnet und wird durch das Produkt des Trägheitsmoments des Gyroskops und seiner Drehwinkelgeschwindigkeit bestimmt, d. h.

Q ist die Winkelgeschwindigkeit der Rotation.

Bei der Entwicklung von Gyroskopgeräten streben sie danach, einen signifikanten Wert des kinetischen Moments H zu erreichen, indem sie dem Gyroskoprotor ein spezielles Profil verleihen und die Winkelgeschwindigkeit seiner Drehung erhöhen. So haben Kreiselmotorrotoren in modernen Kreiselkompassen eine Rotationsgeschwindigkeit von 6.000 bis 30.000 U/min.

Reis. 121.

Diese Eigenschaft eines Gyroskops wurde erstmals 1852 vom berühmten französischen Physiker Leon Foucault demonstriert. Er kam auch auf die Idee, ein Gyroskop als Gerät zur Bestimmung der Bewegungsrichtung und zur Bestimmung der Breite eines Schiffes zu verwenden Auf dem Meer.

Die Eigenschaft der Präzession besteht darin, dass sich die Hauptachse des Kreisels unter Einwirkung einer auf die Kardanringe ausgeübten Kraft in einer Ebene senkrecht zur Kraftrichtung bewegt (Abb. 121).

Diese Bewegung des Gyroskops wird als Präzession bezeichnet. Die Präzessionsbewegung findet während der gesamten Einwirkungszeit der äußeren Kraft statt und endet, wenn ihre Einwirkung aufhört. Die Richtung der Präzessionsbewegung wird anhand der Polregel bestimmt, die wie folgt formuliert ist: Wenn ein äußeres Kraftmoment auf den Kreisel einwirkt, strebt der Kreiselpol auf dem kürzesten Weg zum Kraftpol. Der Pol eines Kreisels ist das Ende seiner Hauptachse, von dem aus beobachtet wird, dass die Drehung des Kreisels gegen den Uhrzeigersinn erfolgt. Der Kraftpol ist das Ende der Gyroskopachse, relativ zu dem eine äußere Kraft dazu neigt, den Gyroskop entgegen dem Uhrzeigersinn zu drehen.

In Abb. Die 121 Präzessionsbewegung des Gyroskops ist durch den Pfeil angedeutet.

Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession kann mit der Formel berechnet werden