Tabelle aller Integrale. Grundlegende Integrationsmethoden

Tabelle der Stammfunktionen („Integrale“). Tabelle der Integrale. Tabellarische unbestimmte Integrale. (Die einfachsten Integrale und Integrale mit einem Parameter). Formeln für die partielle Integration. Newton-Leibniz-Formel.

Formeln für die partielle Integration. Integrationsregeln.

Tabelle der Derivate. Tabellarische Ableitungen. Derivat des Produkts. Ableitung des Quotienten. Ableitung einer komplexen Funktion.

Wenn x eine unabhängige Variable ist, dann:

Eigenschaften von Logarithmen. Grundformeln für Logarithmen. Dezimal (lg) und natürlicher Logarithmus (ln).

Natürlicher Logarithmus ln (Logarithmus zur Basis e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor-Reihe. Taylorreihenentwicklung einer Funktion.

Es stellt sich heraus, dass die Mehrheit praktisch angetroffen Mathematische Funktionen können in der Nähe eines bestimmten Punktes mit beliebiger Genauigkeit in Form von Potenzreihen dargestellt werden, die Potenzen einer Variablen in aufsteigender Reihenfolge enthalten. Zum Beispiel in der Nähe des Punktes x=1:

Bei Verwendung von Serien namens Taylors Reihen, Gemischte Funktionen, die beispielsweise algebraische, trigonometrische und exponentielle Funktionen enthalten, können als rein algebraische Funktionen ausgedrückt werden. Mithilfe von Reihen können Sie häufig schnell eine Differenzierung und Integration durchführen.

Die Taylor-Reihe in der Umgebung von Punkt a hat die Form:

1) , wobei f(x) eine Funktion ist, die Ableitungen aller Ordnungen bei x=a hat. R n – der Restterm in der Taylor-Reihe wird durch den Ausdruck bestimmt

2)

Der k-te Koeffizient (bei x k) der Reihe wird durch die Formel bestimmt

3) Ein Sonderfall der Taylor-Reihe ist die Maclaurin-Reihe (= McLaren-Reihe). (Die Erweiterung erfolgt um den Punkt a=0)

bei a=0

Mitglieder der Reihe werden durch die Formel bestimmt

Bedingungen für die Verwendung von Taylor-Reihen.

1. Damit die Funktion f(x) zu einer Taylor-Reihe auf dem Intervall (-R;R) entwickelt werden kann, ist es notwendig und ausreichend, dass der Restterm in der Taylor-Formel (Maclaurin (=McLaren)) hierfür verwendet wird Die Funktion tendiert gegen Null, wenn k →∞ im angegebenen Intervall (-R;R) ist.

2. Es ist notwendig, dass es Ableitungen für eine gegebene Funktion an dem Punkt gibt, in dessen Nähe wir die Taylor-Reihe konstruieren werden.

Eigenschaften der Taylor-Reihe.

Wenn f eine analytische Funktion ist, dann konvergiert ihre Taylor-Reihe an jedem Punkt a im Definitionsbereich von f gegen f in einer Umgebung von a.

Es gibt unendlich differenzierbare Funktionen, deren Taylor-Reihe konvergiert, sich aber gleichzeitig von der Funktion in jeder Umgebung von a unterscheidet. Zum Beispiel:

Taylor-Reihen werden zur Approximation einer Funktion durch Polynome verwendet (Approximation ist eine wissenschaftliche Methode, die darin besteht, einige Objekte durch andere zu ersetzen, die auf die eine oder andere Weise den ursprünglichen Objekten nahe kommen, aber einfacher sind). Insbesondere die Linearisierung ((von linearis – linear), eine der Methoden zur Näherungsdarstellung geschlossener nichtlinearer Systeme, bei der die Untersuchung eines nichtlinearen Systems durch die Analyse eines linearen Systems ersetzt wird, das in gewissem Sinne dem ursprünglichen entspricht .) Gleichungen entstehen durch die Erweiterung zu einer Taylor-Reihe und das Abschneiden aller Terme oberhalb der ersten Ordnung.

Somit kann nahezu jede Funktion mit einer bestimmten Genauigkeit als Polynom dargestellt werden.

Beispiele einiger häufiger Entwicklungen von Potenzfunktionen in Maclaurin-Reihen (=McLaren, Taylor in der Nähe von Punkt 0) und Taylor in der Nähe von Punkt 1. Die ersten Terme von Entwicklungen der Hauptfunktionen in Taylor- und McLaren-Reihen.

Beispiele für einige gängige Entwicklungen von Potenzfunktionen in Maclaurin-Reihen (=McLaren, Taylor in der Nähe von Punkt 0)

Beispiele für einige gängige Taylor-Reihenentwicklungen in der Nähe von Punkt 1

Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Fakt 1. Integration ist die umgekehrte Aktion der Differentiation, nämlich die Wiederherstellung einer Funktion aus der bekannten Ableitung dieser Funktion. Die Funktion ist somit wiederhergestellt F(X) wird genannt Stammfunktion für Funktion F(X).

Definition 1. Funktion F(X F(X) in einem bestimmten Intervall X, wenn für alle Werte X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit F "(X)=F(X), also diese Funktion F(X) ist die Ableitung der Stammfunktion F(X). .

Zum Beispiel die Funktion F(X) = Sünde X ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = cos X auf dem gesamten Zahlenstrahl, da für jeden Wert von x (Sünde X)" = (cos X) .

Definition 2. Unbestimmtes Integral einer Funktion F(X) ist die Menge aller seiner Stammfunktionen. In diesem Fall wird die Notation verwendet

∫

F(X)dx

Wo ist das Schild? ∫ nennt man das Integralzeichen, die Funktion F(X) – Integrandenfunktion und F(X)dx – Integrandenausdruck.

Also, wenn F(X) – eine Stammfunktion für F(X) , Das

∫

F(X)dx = F(X) +C

Wo C - beliebige Konstante (Konstante).

Um die Bedeutung der Menge der Stammfunktionen einer Funktion als unbestimmtes Integral zu verstehen, ist die folgende Analogie angemessen. Es soll eine Tür geben (traditionelle Holztür). Seine Funktion besteht darin, „eine Tür zu sein“. Woraus besteht die Tür? Aus Holz gemacht. Das bedeutet, dass die Menge der Stammfunktionen des Integranden der Funktion „eine Tür sein“, also ihr unbestimmtes Integral, die Funktion „ein Baum sein + C“ ist, wobei C eine Konstante ist, was in diesem Zusammenhang möglich ist bezeichnen beispielsweise die Baumart. So wie eine Tür mit einigen Werkzeugen aus Holz hergestellt wird, wird mit Hilfe einer Stammfunktion eine Ableitung einer Funktion „erstellt“. Formeln, die wir beim Studium der Ableitung gelernt haben .

Dann ähnelt die Funktionstabelle allgemeiner Objekte und ihrer entsprechenden Stammfunktionen („eine Tür sein“ – „ein Baum sein“, „ein Löffel sein“ – „metall sein“ usw.) der Tabelle der Grundfunktionen unbestimmte Integrale, die weiter unten angegeben werden. Die Tabelle der unbestimmten Integrale listet häufig vorkommende Funktionen mit Angabe der Stammfunktionen auf, aus denen diese Funktionen „erstellt“ sind. In einem Teil der Probleme zur Bestimmung des unbestimmten Integrals werden Integranden angegeben, die ohne großen Aufwand direkt, also über die Tabelle der unbestimmten Integrale, integriert werden können. Bei komplexeren Problemen muss zunächst der Integrand transformiert werden, damit Tabellenintegrale verwendet werden können.

Fakt 2. Bei der Wiederherstellung einer Funktion als Stammfunktion müssen wir eine beliebige Konstante (Konstante) berücksichtigen. C, und um keine Liste von Stammfunktionen mit verschiedenen Konstanten von 1 bis unendlich zu schreiben, müssen Sie eine Menge von Stammfunktionen mit einer beliebigen Konstante schreiben C, zum Beispiel so: 5 X³+C. Im Ausdruck der Stammfunktion ist also eine beliebige Konstante (Konstante) enthalten, da die Stammfunktion eine Funktion sein kann, zum Beispiel 5 X³+4 oder 5 X³+3 und bei der Differenzierung gehen 4 oder 3 oder jede andere Konstante auf Null.

Stellen wir das Integrationsproblem: für diese Funktion F(X) Finde eine solche Funktion F(X), deren Ableitung gleich F(X).

Beispiel 1. Finden Sie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion

Lösung. Für diese Funktion ist die Stammfunktion die Funktion

Funktion F(X) heißt Stammfunktion der Funktion F(X), wenn die Ableitung F(X) ist gleich F(X) oder, was dasselbe ist, Differential F(X) ist gleich F(X) dx, d.h.

(2)

Daher ist die Funktion eine Stammfunktion der Funktion. Es ist jedoch nicht die einzige Stammfunktion für . Sie dienen auch als Funktionen

Wo MIT- Willkürliche Konstante. Dies kann durch Differenzierung überprüft werden.

Wenn es also eine Stammfunktion für eine Funktion gibt, dann gibt es für sie unendlich viele Stammfunktionen, die sich um einen konstanten Term unterscheiden. Alle Stammfunktionen einer Funktion werden in der obigen Form geschrieben. Dies folgt aus dem folgenden Satz.

Satz (formale Tatsachenfeststellung 2). Wenn F(X) – Stammfunktion für die Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall X, dann jede andere Stammfunktion für F(X) im gleichen Intervall können in der Form dargestellt werden F(X) + C, Wo MIT- Willkürliche Konstante.

Im nächsten Beispiel wenden wir uns der Tabelle der Integrale zu, die in Absatz 3 nach den Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben wird. Wir tun dies, bevor wir die gesamte Tabelle lesen, damit das Wesentliche des oben Gesagten klar wird. Und nach der Tabelle und den Eigenschaften werden wir sie bei der Integration vollständig verwenden.

Beispiel 2. Finden Sie Mengen von Stammfunktionen:

Lösung. Wir finden Mengen von Stammfunktionen, aus denen diese Funktionen „gemacht“ werden. Wenn wir Formeln aus der Tabelle der Integrale erwähnen, akzeptieren wir vorerst einfach, dass es dort solche Formeln gibt, und wir werden die Tabelle der unbestimmten Integrale selbst etwas genauer studieren.

1) Anwendung der Formel (7) aus der Integraltabelle für N= 3, wir erhalten

2) Verwendung der Formel (10) aus der Integraltabelle für N= 1/3, wir haben

3) Seitdem

dann nach Formel (7) mit N= -1/4 finden wir

Unter dem Integralzeichen wird nicht die Funktion selbst geschrieben F und sein Produkt durch das Differential dx. Dies geschieht in erster Linie, um anzugeben, nach welcher Variablen die Stammfunktion gesucht wird. Zum Beispiel,

, ;

hier ist der Integrand in beiden Fällen gleich , aber seine unbestimmten Integrale in den betrachteten Fällen erweisen sich als unterschiedlich. Im ersten Fall wird diese Funktion als Funktion der Variablen betrachtet X und im zweiten - als Funktion von z .

Der Vorgang, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird als Integrieren dieser Funktion bezeichnet.

Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals

Angenommen, wir müssen eine Kurve finden y=F(x) und wir wissen bereits, dass der Tangens des Tangentenwinkels an jedem seiner Punkte eine gegebene Funktion ist f(x) Abszisse dieses Punktes.

Gemäß der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist der Tangens der Neigungswinkel der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve y=F(x) gleich dem Wert der Ableitung F"(x). Wir müssen also eine solche Funktion finden F(x), wofür F"(x)=f(x). In der Aufgabe erforderliche Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Die Bedingungen des Problems werden nicht von einer Kurve, sondern von einer Kurvenschar erfüllt. y=F(x)- eine dieser Kurven, und jede andere Kurve kann daraus durch Parallelverschiebung entlang der Achse erhalten werden Oy.

Nennen wir den Graphen der Stammfunktion von f(x) Integralkurve. Wenn F"(x)=f(x), dann der Graph der Funktion y=F(x) Es gibt eine Integralkurve.

Fakt 3. Das unbestimmte Integral wird geometrisch durch die Familie aller Integralkurven dargestellt , wie im Bild unten. Der Abstand jeder Kurve vom Koordinatenursprung wird durch eine beliebige Integrationskonstante bestimmt C.

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Fakt 4. Satz 1. Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden und sein Differential ist gleich dem Integranden.

Fakt 5. Satz 2. Unbestimmtes Integral des Differentials einer Funktion F(X) ist gleich der Funktion F(X) bis zu einem konstanten Begriff , d.h.

(3)

Die Sätze 1 und 2 zeigen, dass Differenzierung und Integration zueinander inverse Operationen sind.

Fakt 6. Satz 3. Der konstante Faktor im Integranden kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnommen werden , d.h.

Integration ist eine der Hauptoperationen in der mathematischen Analyse. Tabellen bekannter Stammfunktionen können nützlich sein, aber jetzt, nach dem Aufkommen von Computeralgebrasystemen, verlieren sie ihre Bedeutung. Nachfolgend finden Sie eine Liste der häufigsten Grundelemente.

Tabelle der Grundintegrale

Eine weitere, kompakte Option

Tabelle der Integrale trigonometrischer Funktionen

Aus rationalen Funktionen

Aus irrationalen Funktionen

Integrale transzendentaler Funktionen

„C“ ist eine beliebige Integrationskonstante, die bestimmt wird, wenn der Wert des Integrals an einem beliebigen Punkt bekannt ist. Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen.

Die meisten Schüler und Studenten haben Probleme mit der Berechnung von Integralen. Diese Seite enthält Integrale Tabellen aus trigonometrischen, rationalen, irrationalen und transzendenten Funktionen, die bei der Lösung helfen. Auch eine Tabelle mit Derivaten hilft Ihnen weiter.

Video – So finden Sie Integrale

>>Integrationsmethoden

Grundlegende Integrationsmethoden

Definition von Integral, bestimmtem und unbestimmtem Integral, Integraltabelle, Newton-Leibniz-Formel, partielle Integration, Beispiele für die Berechnung von Integralen.

Unbestimmtes Integral

Eine Funktion F(x), die in einem gegebenen Intervall X differenzierbar ist, wird aufgerufen Stammfunktion der Funktion f(x) oder das Integral von f(x), wenn für jedes x ∈X die folgende Gleichung gilt:

F " (x) = f(x). (8.1)

Das Finden aller Stammfunktionen für eine gegebene Funktion wird als it bezeichnet Integration. Unbestimmte Integralfunktion f(x) auf einem gegebenen Intervall X ist die Menge aller Stammfunktionen für die Funktion f(x); Bezeichnung -

Wenn F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x) ist, dann ist ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Tabelle der Integrale

Direkt aus der Definition erhalten wir die Haupteigenschaften des unbestimmten Integrals und eine Liste tabellarischer Integrale:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Liste tabellarischer Integrale

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Variablenersatz

Um viele Funktionen zu integrieren, verwenden Sie die Variablenersetzungsmethode oder Auswechslungen, So können Sie Integrale auf Tabellenform reduzieren.

Wenn die Funktion f(z) auf [α,β] stetig ist, die Funktion z =g(x) eine stetige Ableitung hat und α ≤ g(x) ≤ β, dann

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Außerdem sollte nach der Integration auf der rechten Seite die Substitution z=g(x) erfolgen.

Um dies zu beweisen, reicht es aus, das ursprüngliche Integral in der Form zu schreiben:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Zum Beispiel:

1)

2) .

Methode der partiellen Integration

Seien u = f(x) und v = g(x) Funktionen mit stetiger Funktion. Dann, je nach Arbeit,

d(uv))= udv + vdu oder udv = d(uv) - vdu.

Für den Ausdruck d(uv) wird die Stammfunktion offensichtlich uv sein, daher gilt die Formel:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Diese Formel drückt die Regel aus Integration in Teilstücken. Es führt die Integration des Ausdrucks udv=uv"dx zur Integration des Ausdrucks vdu=vu"dx.

Angenommen, Sie möchten ∫xcosx dx finden. Setzen wir u = x, dv = cosxdx, also du=dx, v=sinx. Dann

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Die Regel der partiellen Integration hat einen begrenzteren Anwendungsbereich als die Substitution von Variablen. Es gibt aber ganze Klassen von Integralen, zum Beispiel

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax und andere, die durch partielle Integration präzise berechnet werden.

Bestimmtes Integral

Der Begriff eines bestimmten Integrals wird wie folgt eingeführt. Es sei eine Funktion f(x) auf einem Intervall definiert. Teilen wir das Segment [a,b] in N Teile durch Punkte ein= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Man nennt eine Summe der Form f(ξ i)Δ x i Integralsumme, und sein Grenzwert bei λ = maxΔx i → 0, falls er existiert und endlich ist, heißt bestimmtes Integral Funktionen f(x) von A Vor B und trägt die Bezeichnung:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Die Funktion f(x) heißt in diesem Fall auf dem Intervall integrierbar, Zahlen a und b heißen untere und obere Grenze des Integrals.

Die folgenden Eigenschaften gelten für ein bestimmtes Integral:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Die letzte Eigenschaft wird aufgerufen Mittelwertsatz.

Sei f(x) stetig auf . Dann gibt es auf diesem Segment ein unbestimmtes Integral

∫f(x)dx = F(x) + C

und findet statt Newton-Leibniz-Formel, das bestimmte Integral mit dem unbestimmten Integral verbinden:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrische Interpretation: Das bestimmte Integral ist die Fläche eines krummlinigen Trapezes, das von oben durch die Kurve y=f(x), die Geraden x = a und x = b und ein Achsensegment begrenzt wird Ochse.

Uneigentliche Integrale

Man nennt Integrale mit unendlichen Grenzen und Integrale diskontinuierlicher (unbeschränkter) Funktionen nicht dein eigenes. Uneigentliche Integrale erster Art - Dies sind Integrale über ein unendliches Intervall, das wie folgt definiert ist:

(8.7)

Wenn dieser Grenzwert existiert und endlich ist, heißt er konvergentes uneigentliches Integral von f(x) auf dem Intervall [a,+ ∞) und die Funktion f(x) wird aufgerufen über ein unendliches Intervall integrierbar[a,+ ∞). Ansonsten heißt das Integral existiert nicht oder weicht ab.

Uneigentliche Integrale auf den Intervallen (-∞,b] und (-∞, + ∞) werden ähnlich definiert:

Definieren wir den Begriff eines Integrals einer unbeschränkten Funktion. Wenn f(x) für alle Werte stetig ist X Segment, mit Ausnahme des Punktes c, an dem f(x) dann eine unendliche Diskontinuität hat uneigentliches Integral der zweiten Art von f(x) von a bis b reichen der Betrag heißt:

wenn diese Grenzen existieren und endlich sind. Bezeichnung:

Beispiele für Integralrechnungen

Beispiel 3.30. Berechnen Sie ∫dx/(x+2).

Lösung. Bezeichnen wir t = x+2, dann dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Beispiel 3.31. Finden Sie ∫ tgxdx.

Lösung.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Sei t=cosx, dann ist ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Lösung.

Beispiel3.33. Finden .

Lösung. =

.

Beispiel3.34 . Finden Sie ∫arctgxdx.

Lösung. Lassen Sie uns nach Teilen integrieren. Bezeichnen wir u=arctgx, dv=dx. Dann ist du = dx/(x 2 +1), v=x, woraus ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; als
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Beispiel3.35 . Berechnen Sie ∫lnxdx.

Lösung. Unter Anwendung der partiellen Integrationsformel erhalten wir:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Dann ist ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Beispiel3.36 . Berechnen Sie ∫e x sinxdx.

Lösung. Bezeichnen wir u = e x, dv = sinxdx, dann du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Wir integrieren auch das Integral ∫e x cosxdx nach Teilen: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Wir haben:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Wir haben die Beziehung ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx erhalten, woraus 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Beispiel 3.37. Berechnen Sie J = ∫cos(lnx)dx/x.

Lösung. Da dx/x = dlnx, dann J= ∫cos(lnx)d(lnx). Wenn wir lnx durch t ersetzen, erhalten wir das Tabellenintegral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Beispiel 3.38 . Berechnen Sie J = .

Lösung. Unter Berücksichtigung von = d(lnx) ersetzen wir lnx = t. Dann ist J = .