Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems. Bewegungsmenge

§1. Systemimpuls (Systemimpuls)

Bewegungsmenge (Körperimpuls) – vektorielle physikalische Größe, die dem Produkt aus der Masse eines Körpers und seiner Geschwindigkeit entspricht:

Der Impuls (Ausmaß der Bewegung) ist eines der grundlegendsten Merkmale der Bewegung eines Körpers oder eines Körpersystems.

Schreiben wir II Newtons Gesetz in einer anderen Form, angesichts dieser Beschleunigung Dann also

Das Produkt einer Kraft und der Zeit ihrer Wirkung ist gleich der Impulszunahme des Körpers:

Wo- ein Kraftimpuls, der zeigt, dass das Ergebnis einer Kraft nicht nur von ihrem Wert, sondern auch von der Dauer ihrer Wirkung abhängt.

Die Bewegungsgröße des Systems (Impuls) wird als Vektorgröße bezeichnet , gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) der Bewegungsbeträge (Impulse) aller Punkte des Systems (Abb.2):

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass unabhängig von den Werten der Geschwindigkeiten der Punkte des Systems (es sei denn, diese Geschwindigkeiten sind parallel) der Vektorkann beliebige Werte annehmen und sogar gleich Null sein, wenn ein Polygon aus Vektoren aufgebaut ist, wird schließen. Daher in der GrößeEs ist unmöglich, die Art der Bewegung des Systems vollständig zu beurteilen.

Abb.2. Systembewegungsmenge

§2. Satz über die Impulsänderung (Impuls)

Auf einen Körper der Masse m soll für eine bestimmte kurze Zeitspanne Δt eine Kraft einwirken. Unter dem Einfluss dieser Kraft ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers um Folglich bewegte sich der Körper während der Zeit Δt mit Beschleunigung:

Aus dem Grundgesetz der Dynamik(Newtons zweites Gesetz) folgt:

§3. Impulserhaltungssatz (Impulserhaltungssatz)

Aus dem Satz über die Impulsänderung eines Systems lassen sich folgende wichtige Folgerungen ableiten:

1) Die Summe aller auf ein geschlossenes System wirkenden äußeren Kräfte sei gleich Null:

Dann aus Gl. Daraus folgt Q = = const. Wenn also die Summe aller auf ein geschlossenes System wirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist der Impulsvektor (Impuls) des Systems in Größe und Richtung konstant.

2) Die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte seien so, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B UM X ) ist gleich Null:

Dann aus Gl.Daraus folgt in diesem FallQx= const. Wenn also die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Bewegungsbetrags (Impuls) des Systems auf diese Achse ein konstanter Wert.

Diese Ergebnisse drücken aus Gesetz der Impulserhaltung des Systems: Bei jeder Art von Wechselwirkung zwischen Körpern, die ein geschlossenes System bilden, bleibt der Vektor des Gesamtimpulses dieses Systems stets konstant.

Daraus folgt, dass innere Kräfte den Gesamtbetrag der Bewegung des Systems nicht verändern können.

Der Erhaltungssatz des Gesamtimpulses eines isolierten Systems ist ein universelles Naturgesetz. Im allgemeineren Fall, wenn das System nicht geschlossen ist, vonDaraus folgt, dass der Gesamtimpuls eines Systems mit offenem Regelkreis nicht konstant bleibt. Seine Änderung pro Zeiteinheit ist gleich der geometrischen Summe aller äußeren Kräfte.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

a) Das Phänomen des Rückstoßes oder Rückstoßes. Wenn wir das Gewehr und das Geschoss als ein System betrachten, dann ist der Druck der Pulvergase während eines Schusses eine innere Kraft. Diese Kraft kann den Gesamtimpuls des Systems nicht verändern. Da aber die Pulvergase, die auf das Geschoss einwirken, ihm eine bestimmte nach vorne gerichtete Bewegung verleihen, müssen sie dem Gewehr gleichzeitig die gleiche Bewegung in die entgegengesetzte Richtung verleihen. Dadurch bewegt sich das Gewehr rückwärts, d.h. die sogenannte Rückkehr. Ein ähnliches Phänomen tritt beim Abfeuern einer Waffe auf (Rollback).

b) Betrieb des Propellers (Propeller). Der Propeller versetzt eine bestimmte Luft- (oder Wassermasse) entlang der Propellerachse in Bewegung und wirft diese Masse zurück. Wenn wir die geschleuderte Masse und das Flugzeug (oder Schiff) als ein System betrachten, können die Wechselwirkungskräfte zwischen dem Propeller und der Umgebung als interne Kräfte die Gesamtbewegung dieses Systems nicht verändern. Wenn also eine Luftmasse (Wasser) zurückgeschleudert wird, erhält das Flugzeug (oder Schiff) eine entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit, so dass die Gesamtbewegungsmenge des betrachteten Systems gleich Null bleibt, da sie vor dem Zurückwerfen Null war Bewegung begann.

Ein ähnlicher Effekt wird durch die Wirkung von Rudern oder Schaufelrädern erzielt.

c) Strahlantrieb. Bei einer Rakete werden die gasförmigen Verbrennungsprodukte des Treibstoffs mit hoher Geschwindigkeit aus einer Öffnung im Heck der Rakete (aus der Düse des Strahltriebwerks) ausgestoßen. Die in diesem Fall wirkenden Druckkräfte sind innere Kräfte und können den Gesamtbetrag der Bewegung des Raketensystems – der Treibstoffverbrennungsprodukte – nicht verändern. Da aber die austretenden Gase eine gewisse Rückwärtsbewegung haben, erhält die Rakete eine entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit.

Fragen zum Selbsttest:

Wie ist der Satz über die Impulsänderung eines Systems formuliert?

Schreiben Sie den mathematischen Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Differential- und Integralform auf.

In welchem Fall ändert sich der Impuls eines mechanischen Systems nicht?

Wie wird ein Impuls variabler Kraft über einen endlichen Zeitraum bestimmt? Was zeichnet einen Kraftimpuls aus?

Wie lauten die Projektionen konstanter und variabler Kraftimpulse auf die Koordinatenachsen?

Was ist der Impuls der Resultierenden?

Wie ändert sich der Impuls eines Punktes, der sich gleichmäßig auf einem Kreis bewegt?

Was ist der Impuls eines mechanischen Systems?

Wie groß ist der Impuls eines Schwungrads, das sich um eine feste Achse dreht, die durch seinen Schwerpunkt verläuft?

Unter welchen Bedingungen ändert sich der Impuls eines mechanischen Systems nicht? Unter welchen Bedingungen ändert sich seine Projektion auf eine bestimmte Achse nicht?

Warum rollt die Waffe beim Abfeuern zurück?

Können innere Kräfte den Impuls eines Systems oder den Impuls eines Teils davon verändern?

Welche Faktoren bestimmen die Geschwindigkeit der freien Bewegung einer Rakete?

Hängt die Endgeschwindigkeit einer Rakete von der Verbrennungszeit des Treibstoffs ab?

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Kurze Review

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Mechanisches System materieller Punkte oder Körper ist eine solche Ansammlung von ihnen, in der die Position und Bewegung jedes Punktes (oder Körpers) von der Position und Bewegung der anderen abhängt.
Ein materieller Körper wird als ein System materieller Punkte (Teilchen) betrachtet, die diesen Körper bilden.
Durch äußere Kräfte sind Kräfte, die von Punkten oder Körpern, die nicht zu diesem System gehören, auf Punkte oder Körper eines mechanischen Systems einwirken.
Durch innere Kräfte, sind die Kräfte, die von Punkten oder Körpern desselben Systems auf Punkte oder Körper eines mechanischen Systems einwirken, d.h. mit dem die Punkte oder Körper eines bestimmten Systems miteinander interagieren.
Äußere und innere Kräfte des Systems können wiederum aktiv und reaktiv sein
Systemgewicht entspricht der algebraischen Summe der Massen aller Punkte oder Körper des Systems in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld, wobei das Gewicht eines beliebigen Körperteilchens proportional zu seiner Masse ist. Daher kann die Massenverteilung in einem Körper durch die Lage seines Schwerpunkts – des geometrischen Punktes – bestimmt werden MIT, deren Koordinaten als Massenschwerpunkt oder Trägheitszentrum eines mechanischen Systems bezeichnet werden
Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems: Der Massenschwerpunkt eines mechanischen Systems bewegt sich als materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des Systems ist und auf den alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte wirken
Schlussfolgerungen:

Ein mechanisches System oder ein starrer Körper kann aufgrund der Art seiner Bewegung und nicht aufgrund seiner Größe als materieller Punkt betrachtet werden.
Innere Kräfte werden im Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts nicht berücksichtigt.
Der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes charakterisiert nicht die Rotationsbewegung eines mechanischen Systems, sondern nur die translatorische

Gesetz zur Bewegungserhaltung des Massenschwerpunkts des Systems:
1. Wenn die Summe der äußeren Kräfte (der Hauptvektor) ständig gleich Null ist, dann ruht der Schwerpunkt des mechanischen Systems oder bewegt sich gleichmäßig und geradlinig.
2. Wenn die Summe der Projektionen aller äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems auf dieselbe Achse ein konstanter Wert.

Satz über die Impulsänderung.

Das Ausmaß der Bewegung eines materiellen Punktes und ist eine Vektorgröße, die gleich dem Produkt aus der Masse eines Punktes und seinem Geschwindigkeitsvektor ist.
Die Maßeinheit für den Impuls ist (kg m/s).
Impuls des mechanischen Systems- eine Vektorgröße, die der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses aller Punkte des Systems entspricht. Oder der Impuls des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts
Wenn sich ein Körper (oder ein System) so bewegt, dass sein Massenschwerpunkt stationär ist, dann ist der Betrag der Bewegung des Körpers gleich Null (z. B. Drehung des Körpers um eine feste Achse, die durch den Massenschwerpunkt verläuft). Körper).
Wenn die Bewegung des Körpers komplex ist, wird der Rotationsteil der Bewegung bei der Drehung um den Massenschwerpunkt nicht charakterisiert. Das heißt, der Bewegungsbetrag charakterisiert nur die Translationsbewegung des Systems (zusammen mit dem Massenschwerpunkt).
Impulskraft charakterisiert die Wirkung einer Kraft über einen bestimmten Zeitraum.
Der Kraftimpuls für einen endlichen Zeitraum ist definiert als die Integralsumme der entsprechenden Elementarimpulse
Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes:
(in Differentialform): Die zeitliche Ableitung des Impulses eines materiellen Punktes ist gleich der geometrischen Summe der auf die Punkte wirkenden Kräfte
(in Integralform): Die Impulsänderung über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der im gleichen Zeitraum auf einen Punkt ausgeübten Kraftimpulse.

Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems
(in Differentialform): Die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.
(in Integralform): Die Impulsänderung des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der im gleichen Zeitraum auf das System wirkenden Impulse äußerer Kräfte.
Der Satz ermöglicht es, offensichtlich unbekannte Schnittgrößen von der Betrachtung auszuschließen.
Der Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems und der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts sind zwei verschiedene Formen desselben Satzes.
Gesetz der Impulserhaltung eines Systems.

Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ist der Impulsvektor des Systems in Richtung und Größe konstant.
Wenn die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses auf diese Achse ein konstanter Wert.

Erhaltungssätze besagen, dass innere Kräfte den gesamten Bewegungsumfang des Systems nicht verändern können.

Klassifizierung der Kräfte, die auf ein mechanisches System wirken
Eigenschaften der Schnittgrößen
Systemmasse. Massezentrum
Differentialgleichungen der Bewegung eines mechanischen Systems
Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems
Gesetz über die Bewegungserhaltung des Massenschwerpunkts eines Systems
Impulsänderungssatz
Gesetz der Impulserhaltung eines Systems

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Berechnungsbeispiel eines Stirnradgetriebes
Ein Beispiel für die Berechnung eines Stirnradgetriebes. Die Materialauswahl, die Berechnung der zulässigen Spannungen, die Berechnung der Kontakt- und Biegefestigkeit wurden durchgeführt.

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Anwendung des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes anhand vorgegebener Bewegungsgleichungen
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes anhand gegebener Bewegungsgleichungen

Bestimmung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers bei planparalleler Bewegung
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Bestimmung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers bei planparalleler Bewegung

Das Ausmaß der Bewegung des Systems nennen wir die geometrische Summe der Bewegungsgrößen aller materiellen Punkte des Systems

Um die physikalische Bedeutung von (70) zu klären, berechnen wir die Ableitung von (64)

. (71)

Wenn wir (70) und (71) zusammen lösen, erhalten wir

. (72)

Auf diese Weise, Der Impulsvektor eines mechanischen Systems wird durch das Produkt aus der Masse des Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts bestimmt.

Berechnen wir die Ableitung von (72)

. (73)

Wenn wir (73) und (67) zusammen lösen, erhalten wir

. (74)

Gleichung (74) drückt den folgenden Satz aus.

Satz: Die zeitliche Ableitung des Impulsvektors des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller äußeren Kräfte des Systems.

Bei der Lösung von Problemen muss Gleichung (74) auf die Koordinatenachsen projiziert werden:

. (75)

Aus der Analyse von (74) und (75) folgt Folgendes: Gesetz der Impulserhaltung eines Systems: Wenn die Summe aller Kräfte des Systems Null ist, behält sein Impulsvektor seinen Betrag und seine Richtung.

Wenn
, Das
,Q = const . (76)

Im Einzelfall kann dieses Gesetz entlang einer der Koordinatenachsen erfüllt sein.

Wenn
, Das, Q z = const. (77)

Es empfiehlt sich, den Satz über die Impulsänderung anzuwenden, wenn das System flüssige und gasförmige Körper umfasst.

Satz über die Drehimpulsänderung eines mechanischen Systems

Das Ausmaß der Bewegung charakterisiert nur die translatorische Bewegungskomponente. Um die Rotationsbewegung eines Körpers zu charakterisieren, wurde das Konzept des Hauptdrehimpulses des Systems relativ zu einem gegebenen Mittelpunkt (kinetisches Moment) eingeführt.

Kinetisches Moment des Systems relativ zu einem gegebenen Mittelpunkt ist die geometrische Summe der Momente der Bewegungsgrößen aller seiner Punkte relativ zu demselben Mittelpunkt

. (78)

Durch die Projektion von (22) auf die Koordinatenachsen können wir einen Ausdruck für das kinetische Moment relativ zu den Koordinatenachsen erhalten

. (79)

Kinetisches Moment des Körpers relativ zu den Achsen gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment des Körpers relativ zu dieser Achse und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers

. (80)

Aus (80) folgt, dass das kinetische Moment nur die Rotationskomponente der Bewegung charakterisiert.

Ein Merkmal der Rotationswirkung einer Kraft ist ihr Moment relativ zur Rotationsachse.

Der Satz über die Drehimpulsänderung stellt den Zusammenhang zwischen der Charakteristik der Drehbewegung und der diese Bewegung verursachenden Kraft her.

Satz: Die zeitliche Ableitung des Vektors des Drehimpulses des Systems relativ zu einem Zentrum ist gleich der geometrischen Summe der Momente aller äußeren Kräfte des Systems relativ zudas gleiche Zentrum

. (81)

Bei der Lösung technischer Probleme (81) ist eine Konstruktion entlang der Koordinatenachsen erforderlich

Ihre Analyse von (81) und (82) impliziert Gesetz der Drehimpulserhaltung: Wenn die Summe der Momente aller äußeren Kräfte relativ zum Mittelpunkt (oder zur Achse) gleich Null ist, behält das kinetische Moment des Systems relativ zum Mittelpunkt (oder zur Achse) seine Größe und Richtung bei.

oder

Das kinetische Moment kann durch die Wirkung der inneren Kräfte des Systems nicht verändert werden, aber aufgrund dieser Kräfte ist es möglich, das Trägheitsmoment und damit die Winkelgeschwindigkeit zu verändern.

Auf die gleiche Weise wie für einen materiellen Punkt werden wir einen Satz über die Impulsänderung für das System in verschiedenen Formen ableiten.

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln (Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems)

auf die folgende Weise:

;

Die resultierende Gleichung drückt den Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Differentialform aus: Die Ableitung des Impulses eines mechanischen Systems nach der Zeit ist gleich dem Hauptvektor der auf das System wirkenden äußeren Kräfte .

Bei Projektionen auf kartesische Koordinatenachsen:

; ; .

Wenn wir die Integrale beider Seiten der letzten Gleichungen über die Zeit nehmen, erhalten wir einen Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Integralform: Die Impulsänderung eines mechanischen Systems ist gleich dem Impuls des Hauptvektors von äußere Kräfte, die auf das System einwirken .

Oder in Projektionen auf kartesische Koordinatenachsen:

; ; .

Folgerungen aus dem Satz (Gesetze der Impulserhaltung)

Der Impulserhaltungssatz ergibt sich aus den Sonderfällen des Satzes über die Impulsänderung eines Systems in Abhängigkeit von den Eigenschaften des Systems äußerer Kräfte. Die inneren Kräfte können beliebig sein, da sie Impulsänderungen nicht beeinflussen.

Es gibt zwei mögliche Fälle:

1. Wenn die Vektorsumme aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist der Bewegungsbetrag des Systems in Größe und Richtung konstant

2. Wenn die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte auf eine beliebige Koordinatenachse und/oder und/oder gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses auf diese Achsen ein konstanter Wert, d. h. und/oder und/oder bzw.

Ähnliche Einträge können für einen Materialpunkt und für einen Materialpunkt vorgenommen werden.

Die Aufgabe. Von einer Waffe, deren Masse M, ein Masseprojektil fliegt in horizontaler Richtung heraus M mit Geschwindigkeit v. Geschwindigkeit finden V Waffen nach dem Abfeuern.

Lösung. Alle auf das mechanische Waffen-Geschoss-System wirkenden äußeren Kräfte sind vertikal. Das bedeutet, basierend auf der Folgerung des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems, haben wir: .

Der Bewegungsumfang des mechanischen Systems vor dem Abfeuern:

Der Bewegungsumfang des mechanischen Systems nach dem Schuss:

Das erhalten wir, indem wir die rechten Seiten der Ausdrücke gleichsetzen

Das „-“-Zeichen in der resultierenden Formel gibt an, dass die Waffe nach dem Abfeuern in die entgegengesetzte Richtung zur Achse zurückrollt Ochse.

BEISPIEL 2. Ein Flüssigkeitsstrom mit der Dichte strömt mit der Geschwindigkeit V aus einem Rohr mit der Querschnittsfläche F und trifft in einem Winkel auf eine vertikale Wand. Bestimmen Sie den Flüssigkeitsdruck an der Wand.

LÖSUNG. Wenden wir den Satz über die Impulsänderung in integraler Form auf ein Flüssigkeitsvolumen mit einer Masse an Müber einen längeren Zeitraum gegen eine Wand stoßen T.

MESHCHERSKY-GLEICHUNG

(Grundgleichung der Dynamik eines Körpers variabler Masse)

In der modernen Technik treten Fälle auf, in denen die Masse eines Punktes und eines Systems während der Bewegung nicht konstant bleibt, sondern sich ändert. So erreicht beispielsweise beim Flug von Weltraumraketen durch den Ausstoß von Verbrennungsprodukten und einzelnen unnötigen Teilen der Raketen die Massenänderung 90-95 % des Gesamtausgangswertes. Aber nicht nur die Raumfahrttechnik kann ein Beispiel für die Dynamik variabler Massenbewegungen sein. In der Textilindustrie kommt es bei modernen Betriebsgeschwindigkeiten von Maschinen und Maschinen zu erheblichen Massenveränderungen verschiedener Spindeln, Spulen und Rollen.

Betrachten wir die Hauptmerkmale von Massenänderungen am Beispiel der Translationsbewegung eines Körpers variabler Masse. Das Grundgesetz der Dynamik kann nicht direkt auf einen Körper variabler Masse angewendet werden. Daher erhalten wir Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes variabler Masse, indem wir den Satz über die Änderung des Impulses des Systems anwenden.

Der Punkt soll Masse haben m+dm bewegt sich mit Geschwindigkeit. Dann wird ein bestimmtes Teilchen mit einer Masse vom Punkt abgetrennt dm sich mit Geschwindigkeit bewegen.

Das Ausmaß der Bewegung des Körpers, bevor sich das Teilchen löst:

Das Ausmaß der Bewegung eines Systems bestehend aus einem Körper und einem abgetrennten Teilchen nach seiner Trennung:

Dann die Impulsänderung:

Basierend auf dem Satz über die Impulsänderung des Systems:

Bezeichnen wir die Größe – die Relativgeschwindigkeit des Teilchens:

Bezeichnen wir

Größe R sogenannte Reaktionskraft. Die Reaktionskraft ist der Triebwerksschub, der durch den Ausstoß von Gas aus der Düse verursacht wird.

Endlich bekommen wir

Diese Formel drückt die Grundgleichung der Dynamik eines Körpers variabler Masse aus (Meshchersky-Formel). Aus der letzten Formel folgt, dass die Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes variabler Masse die gleiche Form haben wie die eines Punktes konstanter Masse, mit Ausnahme der zusätzlichen Reaktionskraft, die aufgrund der Massenänderung auf den Punkt ausgeübt wird.

Die Grundgleichung für die Dynamik eines Körpers variabler Masse besagt, dass die Beschleunigung dieses Körpers nicht nur durch äußere Kräfte, sondern auch durch die Reaktionskraft entsteht.

Die Reaktionskraft ist eine Kraft, die der Kraft ähnelt, die die schießende Person empfindet – beim Schießen mit einer Pistole wird sie von der Hand gespürt; Beim Schießen mit einem Gewehr wird es an der Schulter wahrgenommen.

Tsiolkovskys erste Formel (für eine einstufige Rakete)

Lassen Sie einen Punkt variabler Masse oder eine Rakete sich unter dem Einfluss nur einer Reaktionskraft geradlinig bewegen. Da für viele moderne Strahltriebwerke , wobei die maximale Reaktionskraft ist, die das Triebwerksdesign zulässt (Triebwerksschub); - die Schwerkraft, die auf den auf der Erdoberfläche befindlichen Motor wirkt. Diese. Das oben Gesagte ermöglicht es uns, die Komponente in der Meshchersky-Gleichung zu vernachlässigen und diese Gleichung in der Form für die weitere Analyse zu akzeptieren: ,

Bezeichnen wir:

Treibstoffreserve (für Flüssigkeitsstrahltriebwerke – die Trockenmasse der Rakete (ihre verbleibende Masse nach dem Ausbrennen des gesamten Treibstoffs);

Die Masse der von der Rakete abgetrennten Partikel; wird als variabler Wert betrachtet, der von bis variiert.

Schreiben wir die Gleichung der geradlinigen Bewegung eines Punktes variabler Masse in der folgenden Form:

Denn die Formel zur Bestimmung der variablen Masse einer Rakete lautet

Daher sind die Bewegungsgleichungen eines Punktes Wenn wir die Integrale beider Seiten nehmen, erhalten wir

Wo - charakteristische Geschwindigkeit- Dies ist die Geschwindigkeit, die eine Rakete unter dem Einfluss von Schub erreicht, nachdem alle Partikel aus der Rakete ausgebrochen sind (bei Flüssigkeitsstrahltriebwerken - nachdem der gesamte Treibstoff ausgebrannt ist).

Außerhalb des Integralzeichens steht (was auf der Grundlage des aus der höheren Mathematik bekannten Mittelwertsatzes erfolgen kann) die mittlere Geschwindigkeit der aus der Rakete ausgestoßenen Teilchen.

und mechanisches System

Der Impuls eines materiellen Punktes ist ein Vektormaß der mechanischen Bewegung, gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und seiner Geschwindigkeit. Die Maßeinheit des Impulses im SI-System ist
. Der Bewegungsbetrag eines mechanischen Systems ist gleich der Summe der Bewegungsbeträge aller materiellen Punkte, die das System bilden:

. (5.2)

Lassen Sie uns die resultierende Formel umwandeln

Nach Formel (4.2)
, Deshalb

Somit ist der Impuls eines mechanischen Systems gleich dem Produkt aus seiner Masse und der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts:

. (5.3)

Da das Ausmaß der Bewegung eines Systems durch die Bewegung nur eines seiner Punkte (des Massenschwerpunkts) bestimmt wird, kann es kein vollständiges Merkmal der Bewegung des Systems sein. Tatsächlich ist bei jeder Bewegung des Systems, wenn sein Massenschwerpunkt stationär bleibt, der Impuls des Systems Null. Dies geschieht beispielsweise, wenn sich ein starrer Körper um eine feste Achse dreht, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft.

Lassen Sie uns ein Referenzsystem einführen Cxyz, deren Ursprung im Massenschwerpunkt des mechanischen Systems liegt MIT und translatorisch relativ zum Inertialsystem bewegen
(Abb. 5.1). Dann die Bewegung jedes Punktes
kann als komplex angesehen werden: tragbare Bewegung zusammen mit Achsen Cxyz und Bewegung relativ zu diesen Achsen. Aufgrund der fortschreitenden Bewegung der Achsen Cxyz Die tragbare Geschwindigkeit jedes Punktes ist gleich der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems, und der Bewegungsbetrag des Systems, bestimmt durch Formel (5.3), charakterisiert nur seine translatorische tragbare Bewegung.

5.3. Impulskraft

Zur Charakterisierung der Wirkung einer Kraft über einen bestimmten Zeitraum wird eine Größe bezeichnet Kraftimpuls . Ein elementarer Kraftimpuls ist ein vektorielles Maß für die Wirkung einer Kraft, gleich dem Produkt der Kraft mit dem elementaren Zeitintervall ihrer Wirkung:

. (5.4)

Die SI-Einheit des Kraftimpulses ist
, d.h. Die Dimensionen von Kraftimpuls und Impuls sind gleich.

Kraftimpuls über einen endlichen Zeitraum
ist gleich einem bestimmten Integral des Elementarimpulses:

. (5.5)

Der Impuls einer konstanten Kraft ist gleich dem Produkt aus Kraft und Wirkungszeit:

. (5.6)

Im Allgemeinen kann der Kraftimpuls durch seine Projektionen auf die Koordinatenachsen bestimmt werden:

. (5.7)

5.4. Impulsänderungssatz

materieller Punkt

In der Grundgleichung der Dynamik (1.2) ist die Masse eines materiellen Punktes eine konstante Größe, seine Beschleunigung
, was es ermöglicht, diese Gleichung in der Form zu schreiben:

. (5.8)

Der resultierende Zusammenhang ermöglicht es uns zu formulieren Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes in Differentialform: Die zeitliche Ableitung des Impulses eines materiellen Punktes ist gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) der auf den Punkt wirkenden Kräfte.

Jetzt erhalten wir die Integralform dieses Satzes. Aus Beziehung (5.8) folgt das

Integrieren wir beide Seiten der Gleichheit innerhalb der Grenzen, die den Zeitmomenten entsprechen Und ,

. (5.9)

Die Integrale auf der rechten Seite stellen die Impulse der auf den Punkt wirkenden Kräfte dar, sodass wir nach der Integration der linken Seite erhalten

. (5.10)

Somit ist es bewiesen Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes in integraler Form: Die Impulsänderung eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der Impulse der Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf den Punkt einwirken.

Die Vektorgleichung (5.10) entspricht einem System aus drei Gleichungen in Projektionen auf die Koordinatenachsen:

;

; (5.11)

Beispiel 1. Der Körper bewegt sich translatorisch entlang einer schiefen Ebene, die mit dem Horizont einen Winkel α bildet. Im ersten Moment hatte es eine Geschwindigkeit , entlang einer schiefen Ebene nach oben gerichtet (Abb. 5.2).

Nach welcher Zeit wird die Geschwindigkeit des Körpers gleich Null, wenn der Reibungskoeffizient gleich ist F ?

Nehmen wir einen translatorisch bewegten Körper als materiellen Punkt und betrachten wir die auf ihn wirkenden Kräfte. Es ist die Schwerkraft
, normale ebene Reaktion und Reibungskraft . Richten wir die Achse aus X entlang der schiefen Ebene nach oben und schreiben Sie die 1. Gleichung des Systems (5.11)

Wo sind die Projektionen von Bewegungsgrößen und die Projektionen von Impulsen konstanter Kräfte?
,Und sind gleich den Produkten der Kraftprojektionen und der Bewegungszeit:

Da die Beschleunigung des Körpers entlang der schiefen Ebene gerichtet ist, ergibt sich die Summe der Projektionen auf die Achse j aller auf den Körper wirkenden Kräfte ist gleich Null:
, woraus folgt
. Finden wir die Reibungskraft

und aus Gleichung (5.12) erhalten wir

Von dort aus bestimmen wir den Zeitpunkt der Bewegung des Körpers