Elemente der Determinanten- und Matrizentheorie. Zusammenfassung: Theorie der Matrizen und Determinanten

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Elemente der Determinantentheorie

Eine Determinante ist eine in Form einer quadratischen Zahlentabelle geschriebene Zahl, die nach bestimmten Regeln berechnet wird.

Beispielsweise besteht jede der Tabellen (1.1) aus einer gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten und stellt eine Zahl dar, deren Berechnungsregeln im Folgenden erläutert werden.

Die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt die Reihenfolge der Determinante. Somit ist Determinante 1.1a) von dritter Ordnung, Determinante 1.1b) von zweiter Ordnung, 1.1c) von erster Ordnung. Wie Sie sehen, ist die Determinante erster Ordnung die Zahl selbst.

Gerade vertikale Klammern an den Tabellenrändern sind Zeichen und Symbol der Determinante. Wird die Determinante durch einen Großbuchstaben des griechischen Alphabets angegeben? (Delta).

Im Allgemeinen wird die Determinante n-ter Ordnung wie folgt geschrieben:

Jedes Element A ij Die Determinante hat zwei Indizes: den ersten Index ich gibt die Zeilennummer an, Sekunde J- Nummer der Spalte, an deren Schnittpunkt sich das Element befindet. Also für Determinantenelemente 1.1a). A 11 , A 22 , A 23 , A 32 sind jeweils gleich 2, 5, 4, 3.

Die Determinante 2. Ordnung wird nach der Formel berechnet

Die Determinante 2. Ordnung ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale minus dem Produkt der Elemente auf der Nebendiagonale.

Zur Berechnung der Determinante 3. Ordnung werden die „Dreiecksmethode“ und die Sarrus-Methode verwendet. In der Praxis wird jedoch üblicherweise zur Berechnung der Determinante 3. Ordnung die sogenannte Methode der effektiven Ordnungsreduktion verwendet, auf die weiter unten eingegangen wird.

Dreiecksmethode

Bei der Berechnung der Determinante mit dieser Methode ist es zweckmäßig, deren grafische Darstellung zu verwenden. In Abb. In den Abb. 1.1 und 1.2 sind die Elemente der Determinante 3. Ordnung schematisch durch Punkte dargestellt.

Reis. 1.1 Abb. 1.2

Bei der Berechnung der Determinante folgt das Produkt der durch Geraden verbundenen Elemente dem Diagramm in Abb. 1.1, nehmen Sie mit einem Pluszeichen und dem Produkt der Elemente, die gemäß dem Diagramm in Abb. verbunden sind. 1.2, nimm mit einem Minuszeichen. Als Ergebnis dieser Aktionen hat die für die Berechnung verwendete Formel die Form:

Berechnen Sie die Determinante 3. Ordnung.

Sarrus-Methode

Um es umzusetzen, müssen Sie die ersten beiden Spalten rechts von der Determinante zuweisen, die Produkte der Elemente auf der Hauptdiagonale und auf dazu parallelen Geraden zusammensetzen und diese mit einem Pluszeichen versehen. Bilden Sie dann die Produkte der auf der Seitendiagonale und parallel dazu liegenden Elemente mit einem Minuszeichen.

Schema zur Berechnung der Determinante nach der Sarrus-Methode.

Berechnen Sie die in Beispiel 1.2 angegebene Determinante mit der Sarrus-Methode.

Moll- und algebraisches Komplement des Determinantenelements

Unerheblich M ij Element A ij heißt Determinante ( N-1) -te Ordnung, erhalten aus der Determinante N-te Ordnung durch Durchstreichen ich-te Zeile und J Spalte (d. h. durch Durchstreichen der Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt sich das Element befindet). A ij).

Finden Sie das Nebenelement der Elemente A 23 Und A 34 Determinante 4. Ordnung.

Element A 23 steht in der 2. Zeile und 3. Spalte. In diesem Beispiel A 23 =4. Durch Streichen der 2. Zeile und 3. Spalte am Schnittpunkt dieses Elements (aus methodischen Gründen durch vertikale und horizontale gestrichelte Linien dargestellt) erhalten wir das Moll-M 23 dieses Elements. Dies wird bereits eine Determinante 3. Ordnung sein.

Bei der Berechnung von Minderjährigen wird das Durchstreichen einer Zeile und Spalte im Kopf durchgeführt. Nachdem wir dies getan haben, erhalten wir

Algebraisches Komplement A ij Element A ij bestimmend N Die te Ordnung ist das Moll dieses Elements, genommen mit dem Vorzeichen (-1) ich + J, Wo ich+ J- die Summe der Zeilen- und Spaltennummern, zu denen das Element gehört A ij. Diese. a-priorat A ij=(-1) ich + JM ij

Es ist klar, dass, wenn der Betrag ich+ J- Die Zahl ist also gerade A ij=M ij, Wenn ich+ J- Die Zahl ist also ungerade A ij= - M ij.

Finden Sie für die Determinante die algebraischen Komplemente der Elemente A 23 Und A 31 .

Für Element A 23 ich=2, J=3 und ich+ J=5 ist daher eine ungerade Zahl

Für Element A 31 ich=3, J=1 und ich+ J=4 ist eine gerade Zahl, das heißt

Eigenschaften von Determinanten

1. Wenn zwei beliebige parallele Zeilen (zwei Zeilen oder zwei Spalten) in der Determinante vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante in das Gegenteil

Tauschen Sie 2 parallele Spalten (1. und 2.) aus.

Tauschen Sie 2 parallele Linien (1. und 3.) aus.

2. Der gemeinsame Faktor der Elemente einer beliebigen Zeile (Zeile oder Spalte) kann aus dem Determinantenzeichen entnommen werden.

Eigenschaften einer Determinante, die gleich Null sind

3. Wenn alle Elemente einer bestimmten Reihe in einer Determinante gleich Null sind, ist eine solche Determinante gleich Null.

4. Wenn in einer Determinante die Elemente einer Reihe proportional zu den Elementen einer parallelen Reihe sind, ist die Determinante gleich Null.

Eigenschaften der Invarianz (Unveränderlichkeit) der Determinante.

5. Wenn die Zeilen und Spalten in der Determinante vertauscht werden, ändert sich die Determinante nicht.

6. Die Determinante ändert sich nicht, wenn Elemente einer parallelen Reihe zu den Elementen einer beliebigen Reihe addiert und zunächst mit einer bestimmten Zahl multipliziert werden.

Eigenschaft 6 wird häufig bei der Berechnung von Determinanten mithilfe der sogenannten effektiven Ordnungsreduktionsmethode verwendet. Bei der Anwendung dieser Methode ist es notwendig, alle Elemente außer einem in einer Zeile (einer Zeile oder Spalte) auf Null zu bringen. Ein von Null verschiedenes Element der Determinante ist gleich Null, wenn es zu einer Zahl gleicher Größe, aber entgegengesetztem Vorzeichen addiert wird.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Reduzieren Sie mithilfe der Eigenschaften 2 und 6 die Determinante auf eine Determinante, die in jeder Zeile zwei Nullen enthält.

Mit Eigenschaft 2 vereinfachen wir die Determinante, indem wir 2 aus der 1. Zeile, 4 aus der 2. Zeile und 2 aus der 3. Zeile als gemeinsame Faktoren entfernen.

Weil Element A 22 gleich Null ist, reicht es zur Lösung des Problems aus, ein beliebiges Element in der 2. Zeile oder 2. Spalte auf Null zu reduzieren. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten.

Nehmen wir zum Beispiel das Element A 21 =2 auf Null. Multiplizieren Sie dazu basierend auf Eigenschaft 6 die gesamte dritte Spalte mit (-2) und addieren Sie sie zur ersten. Nachdem wir diese Operation durchgeführt haben, erhalten wir

Es ist möglich, ein Element auf Null zu setzen A 12 =2, dann erhalten wir in der zweiten Spalte zwei Elemente gleich Null. Dazu müssen Sie die 3. Zeile mit (-2) multiplizieren und die resultierenden Werte zur ersten Zeile addieren

Berechnung der Determinante beliebiger Ordnung

Die Regel zur Berechnung der Determinante jeder Ordnung basiert auf dem Satz von Laplace.

Satz von Laplace

Die Determinante ist gleich der Summe der paarweisen Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Zeile oder Spalte) mit ihren algebraischen Komplementen.

Nach diesem Theorem kann die Determinante berechnet werden, indem man sie entweder über die Elemente einer beliebigen Zeile oder einer beliebigen Spalte zerlegt.

Im Allgemeinen kann die Determinante n-ter Ordnung auf folgende Weise erweitert und berechnet werden:

Berechnen Sie die Determinante mithilfe des Satzes von Laplace, indem Sie sie in die Elemente der 3. Zeile und die Elemente der 1. Spalte zerlegen.

Wir berechnen die Determinante, indem wir sie entlang der 3. Zeile entwickeln

Berechnen wir die Determinante, indem wir sie über die erste Spalte erweitern

Effektive Methode zur Auftragsreduzierung

Die Komplexität der Berechnung der Determinante mithilfe des Satzes von Laplace wird deutlich geringer sein, wenn in ihrer Entwicklung nur ein Term entweder in einer Zeile oder in einer Spalte vorhanden ist. Eine solche Entwicklung erhält man, wenn in der Zeile (oder Spalte), entlang derer die Determinante entwickelt wird, alle Elemente außer einem gleich Null sind. Die Methode, die Elemente der Determinante auf Null zu setzen, wurde bereits früher besprochen.

Berechnen Sie die Determinante mithilfe der Methode der effektiven Ordnungsreduktion.

Weil Determinante 3. Ordnung, dann „nullen“ wir zwei beliebige Elemente der Determinante. Zu diesem Zweck ist es praktisch, die 2. Spalte zu verwenden, deren Element A 22 = - 1. Damit das Element A 21 gleich Null war, sollte die 1. Spalte zur 2. hinzugefügt werden. Damit das Element A 23 gleich Null war, müssen Sie die 2. Spalte mit 2 multiplizieren und zur 3. addieren. Nach Durchführung dieser Operationen wird die gegebene Determinante in die Determinante umgewandelt

Nun erweitern wir diese Determinante entlang der 2. Zeile

Berechnung der Determinantein eine dreieckige Form schneiden

Eine Determinante, bei der alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, wird Dreiecksdeterminante genannt. In diesem Fall ist die Determinante gleich dem Produkt ihrer Elemente der Hauptdiagonale.

Aufgrund ihrer Eigenschaften ist es immer möglich, die Determinante auf die Dreiecksform zu reduzieren.

Eine Determinante ist angegeben. Reduziere es auf die Dreiecksform und berechne.

Lassen Sie uns zum Beispiel alle Elemente, die sich oberhalb der Hauptdiagonale befinden, auf Null setzen. Dazu müssen Sie drei Operationen ausführen: 1. Operation – Addieren Sie die erste Zeile mit der letzten, wir erhalten A 13 = 0. 2. Operation – Multiplizieren der letzten Zeile mit (-2) und Addieren mit der 2., wir erhalten A 23 = 0. Die sequentielle Ausführung dieser Operationen ist unten dargestellt.

Um ein Element zurückzusetzen A 12 Fügen Sie die 1. und 2. Zeile hinzu

Elemente der Matrixtheorie

Eine Matrix ist eine Tabelle mit Zahlen oder anderen Elementen M Linien und N Säulen.

Gesamtansicht der Matrix

Die Matrix verfügt wie die Determinante über Elemente, die mit einem Doppelindex ausgestattet sind. Die Bedeutung von Indizes ist dieselbe wie für Determinanten.

Wenn die Determinante einer Zahl entspricht, wird die Matrix keinem anderen einfacheren Objekt gleichgesetzt.

Die Klammern an den Seiten der Matrix sind ihr Vorzeichen oder Symbol (aber nicht die geraden Klammern, die die Determinante bezeichnen). Der Kürze halber wird die Matrix mit Großbuchstaben bezeichnet A, B, C usw.

Die Größe einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt, die wie folgt geschrieben wird: A M N.

Beispielsweise hat eine numerische Matrix der Größe 23 die Form, Größe 31 hat die Form, Größe 14 hat die Form usw.

Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist, heißt quadratisch. In diesem Fall sprechen wir wie bei den Determinanten von der Ordnung der Matrix.

Beispielsweise hat eine numerische Matrix 3. Ordnung die Form

Arten von Matrizen

Eine Matrix, die aus einer Zeile besteht, wird Zeilenmatrix genannt

Eine Matrix, die aus einer Spalte besteht, wird Spaltenmatrix genannt

Die Matrix heißt Quadrat N-te Ordnung, wenn die Anzahl seiner Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist und gleich ist N.

Zum Beispiel eine quadratische Matrix 3. Ordnung.

Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente außer denen auf der Hauptdiagonale Null sind. Die Hauptdiagonale ist die Diagonale, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verläuft.

Zum Beispiel eine Diagonalmatrix dritter Ordnung.

Eine Diagonalmatrix, deren Elemente alle gleich eins sind, wird Identität genannt und mit dem Buchstaben bezeichnet E oder Nummer 1

Eine Nullmatrix ist eine Matrix, in der alle Elemente gleich Null sind.

Eine obere Dreiecksmatrix ist eine Matrix, in der alle unterhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind.

Eine untere Dreiecksmatrix ist eine Matrix, in der alle über der Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind.

Zum Beispiel

Obere Dreiecksmatrix

Untere Dreiecksmatrix

Wenn in der Matrix A Wenn wir Zeilen mit Spalten vertauschen, erhalten wir eine transponierte Matrix, die durch das Symbol gekennzeichnet ist A*.

Zum Beispiel eine gegebene Matrix:

dazu transponierte Matrix A*

Quadratische Matrix A hat eine Determinante, die mit det bezeichnet wird A(det ist ein verkürztes französisches Wort für „Bestimmender“).

Zum Beispiel für die Matrix A

Wir schreiben seine Determinante auf

Alle Operationen mit der Determinante einer Matrix sind die gleichen wie zuvor besprochen.

Eine Matrix, deren Determinante gleich Null ist, heißt speziell, entartet oder singulär. Eine Matrix, deren Determinante ungleich Null ist, heißt nicht singulär oder nicht singulär.

Union oder angehängte Matrix.

Wenn für eine gegebene quadratische Matrix A Bestimmen Sie die algebraischen Komplemente aller ihrer Elemente und transponieren Sie sie dann. Dann wird die so erhaltene Matrix als mit der Matrix verbündet oder adjungiert bezeichnet A und wird durch das Symbol angezeigt A

Für einen Matrixfund A.

Zusammenstellen der Determinante der Matrix A

Wir ermitteln die algebraischen Komplemente aller Elemente der Determinante anhand der Formel

Wenn wir die resultierenden algebraischen Additionen umsetzen, erhalten wir die alliierte oder adjungierte Matrix A in Bezug auf eine gegebene Matrix A.

Aktionen auf Matrizen

Matrixgleichheit

Zwei Matrizen A Und IN gelten als gleich, wenn:

a) beide haben die gleiche Größe;

b) die entsprechenden Elemente dieser Matrizen sind einander gleich. Korrespondierende Elemente sind Elemente mit den gleichen Indizes.

Addition und Subtraktion von Matrizen

Sie können nur Matrizen derselben Dimension addieren und subtrahieren. Die Summe (Differenz) zweier Matrizen A Und IN Es wird eine dritte Matrix geben MIT, dessen Elemente MIT ij gleich der Summe (Differenz) der entsprechenden Matrixelemente A Und IN. Laut Definition Matrixelemente MIT sind der Regel entsprechend.

Zum Beispiel, wenn

Das Konzept einer Summe (Differenz) von Matrizen erstreckt sich auf jede endliche Anzahl von Matrizen. In diesem Fall folgt die Summe der Matrizen den folgenden Gesetzen:

a) kommutativ A + B = B + A;

b) assoziativ MIT + (A + B) = (B + C)+ A.

Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren.

Um eine Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multiplizieren.

Folge. Aus dem Matrixzeichen kann der gemeinsame Faktor aller Matrixelemente entnommen werden.

Zum Beispiel, .

Wie Sie sehen, ähneln die Aktionen des Addierens, Subtrahierens von Matrizen und Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl den Aktionen für Zahlen. Die Matrixmultiplikation ist eine spezielle Operation.

Produkt zweier Matrizen.

Nicht alle Matrizen können multipliziert werden. Produkt zweier Matrizen A Und IN in der angegebenen Reihenfolge A IN nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors A gleich der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors IN.

Zum Beispiel, .

Matrixgröße A 33, Matrixgröße IN 23. Arbeit A IN unmöglich, Arbeit IN A Vielleicht.

Das Produkt zweier Matrizen A und B ist die dritte Matrix C, deren Element C ij gleich der Summe der paarweisen Produkte der Elemente der i-ten Zeile des ersten Faktors und der j-ten Spalte des zweiten ist Faktor.

Es wurde gezeigt, dass in diesem Fall das Produkt von Matrizen möglich ist IN A

Aus der Existenzregel des Produkts zweier Matrizen folgt, dass das Produkt zweier Matrizen im allgemeinen Fall nicht dem Kommutativgesetz gehorcht, d.h. A IN? IN A. Wenn sich im Einzelfall herausstellt, dass dies der Fall ist A B = B A, dann heißen solche Matrizen permutierbar oder kommutativ.

In der Matrixalgebra kann das Produkt zweier Matrizen im Gegensatz zur gewöhnlichen Algebra eine Nullmatrix sein, auch wenn keine der Faktormatrizen Null ist.

Lassen Sie uns zum Beispiel das Produkt von Matrizen ermitteln A IN, Wenn

Sie können mehrere Matrizen multiplizieren. Wenn Sie Matrizen multiplizieren können A, IN und das Produkt dieser Matrizen kann mit der Matrix multipliziert werden MIT, dann ist es möglich, das Produkt zusammenzustellen ( A IN) MIT Und A(IN MIT). In diesem Fall findet das Kombinationsgesetz bezüglich der Multiplikation statt ( A IN) MIT = A(IN MIT).

inverse Matrix

Wenn zwei Matrizen A Und IN die gleiche Größe und ihr Produkt A IN ist die Identitätsmatrix E, dann heißt Matrix B die Umkehrung von A und wird mit bezeichnet A -1 , d.h. A A -1 = E.

inverse Matrix A -1 gleich dem Verhältnis der Vereinigungsmatrix A zur Determinante der Matrix A

Daraus ist klar, dass damit die inverse Matrix existiert A -1 Es ist notwendig und ausreichend, dass die Matrix det A? 0, d. h. damit die Matrix A war nicht entartet.

Für einen Matrixfund A -1 .

Bestimmen des Wertes der Determinante der Matrix A

Weil det A? 0, die inverse Matrix existiert. Im Beispiel 2.1. Für eine bestimmte Determinante wurde die zugehörige Matrix gefunden

A-Priorat

Matrixrang

Für die Lösung und Untersuchung einer Reihe mathematischer und angewandter Probleme ist das Konzept des Matrixrangs wichtig.

Betrachten Sie die Matrix A Größe M N

Wählen Sie zufällig in der Matrix aus Ak Linien und k Säulen. Elemente am Schnittpunkt ausgewählter Zeilen und Spalten bilden eine quadratische Matrix k-in dieser Reihenfolge. Die Determinante dieser Matrix wird Moll genannt k-Reihenfolge der Matrix A. Auswählen k Linien und k Spalten können auf unterschiedliche Weise verwendet werden, was zu unterschiedlichen Nebenfächern führt k-in dieser Reihenfolge. Die Nebenelemente 1. Ordnung sind die Elemente selbst. Offensichtlich ist die größtmögliche Ordnung der Minderjährigen gleich der kleinsten der Zahlen M Und N. Unter den gebildeten Minderjährigen unterschiedlicher Ordnung wird es solche geben, die gleich Null und ungleich Null sind.

Höchste Ordnung von Nicht-Null-Matrix-Minderjährigen A wird der Rang der Matrix genannt.

Matrixrang A nach Rang bezeichnet A oder r( A).

Wenn der Matrixrang A gleicht R, dann bedeutet dies, dass die Matrix eine Nebenordnung ungleich Null hat R, aber jedes Moll ist von größerer Ordnung als R gleich Null.

Aus der Definition des Matrixrangs folgt Folgendes:

a) Matrixrang A M N die kleinere seiner Größen nicht überschreitet, d. h. R(A) ? min(m, n);

B) R(A) = 0 genau dann, wenn alle Elemente der Matrix gleich Null sind, d. h. A = 0;

c) für eine quadratische Matrix N-te Ordnung R(A) = N, wenn die Matrix nicht singulär ist.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Bestimmung des Rangs einer Matrix mithilfe der Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen an. Sein Wesen besteht darin, die Nebenwerte der Matrix nacheinander aufzuzählen und den Nebenwert höchster Ordnung ungleich Null zu finden.

Berechnen Sie den Rang der Matrix.

Für Matrix A 3 4 R(A) ? min (3,4) = 3. Überprüfen wir, ob der Rang der Matrix gleich 3 ist. Dazu berechnen wir alle Minderjährigen dritter Ordnung (es gibt nur 4 davon, sie werden durch Löschen eines erhalten). der Spalten der Matrix).

Da alle Minderjährigen dritter Ordnung Null sind, R(A) ? 2. Da es zum Beispiel ein Null-Moll zweiter Ordnung gibt

Das R(A) = 2.

Jeder Minor einer Matrix ungleich Null, dessen Ordnung seinem Rang entspricht, wird als Basisminor dieser Matrix bezeichnet.

Eine Matrix kann mehr als eine Basisminor haben, aber mehrere. Allerdings sind die Ordnungen aller Basisminderjährigen gleich und entsprechen dem Rang der Matrix.

Die Zeilen und Spalten, die eine Basis Minor bilden, werden Basis genannt.

Jede Zeile (Spalte) einer Matrix ist eine Linearkombination der Basiszeilen (Spalten).

1. Matrizen.

1.1 Das Konzept einer Matrix.

Matrix ist eine rechteckige Zahlentabelle, die eine bestimmte Menge enthält M Zeilen und eine bestimmte Anzahl N Säulen. Zahlen M Und N werden genannt Aufträge Matrizen. Wenn M = N , die Matrix heißt Quadrat und die Zahl m = n - ihr in Ordnung .

1.2 Grundlegende Operationen auf Matrizen.

Die grundlegenden arithmetischen Operationen an Matrizen sind das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, das Addieren und Multiplizieren von Matrizen.

Fahren wir mit der Definition der Grundoperationen für Matrizen fort.

Matrixaddition : Die Summe zweier Matrizen, zum Beispiel: A Und B , mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten, also mit den gleichen Reihenfolgen M Und N namens Matrix C = ( MIT ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) die gleichen Befehle M Und N , Elemente Cij die gleich sind.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Um die Summe zweier Matrizen zu bezeichnen, wird die Notation verwendet C = A + B. Die Operation zum Summieren von Matrizen wird als ihr bezeichnet Zusatz

Per Definition haben wir also:

+ =

Aus der Definition der Summe von Matrizen, genauer gesagt aus der Formel ( 1.2 ) Daraus folgt unmittelbar, dass die Operation zum Addieren von Matrizen dieselben Eigenschaften hat wie die Operation zum Addieren reeller Zahlen, nämlich:

Kommutativgesetz: A + B = B + A

Eigentum kombinieren: (A + B) + C = A + (B + C)

Diese Eigenschaften ermöglichen es, sich beim Hinzufügen von zwei oder mehr Matrizen keine Gedanken über die Reihenfolge der Matrixterme zu machen.

Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren :

Matrixprodukt zu einer reellen Zahl wird als Matrix bezeichnet C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , deren Elemente gleich sind

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Um das Produkt einer Matrix und einer Zahl zu bezeichnen, wird die Notation verwendet C= A oder C=A . Der Vorgang, das Produkt einer Matrix mit einer Zahl zusammenzusetzen, wird als Multiplikation der Matrix mit dieser Zahl bezeichnet.

Direkt aus der Formel ( 1.3 ) Es ist klar, dass die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl die folgenden Eigenschaften hat:

Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Matrizen:

( A + B) = A+ B

Assoziative Eigenschaft bezüglich eines numerischen Faktors:

( ) A= ( A)

Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Zahlen:

( + ) A= A + A .

Kommentar : Differenz zweier Matrizen A Und B von identischen Ordnungen ist es natürlich, eine solche Matrix zu nennen C der gleichen Ordnungen, die in Summe mit der Matrix B gibt die Matrix an A . Um den Unterschied zwischen zwei Matrizen zu bezeichnen, wird eine natürliche Notation verwendet: C = A – B.

Matrix-Multiplikation :

Matrixprodukt A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , mit jeweils gleichen Ordnungen M Und N , pro Matrix B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , mit jeweils gleichen Ordnungen N Und P , heißt Matrix C= (MIT ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , wobei die Befehle entsprechend gleich sind M Und P , und Elemente Cij , definiert durch die Formel

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Bezeichnet das Produkt einer Matrix A zur Matrix B Aufnahme verwenden

C=AB . Der Vorgang des Zusammenstellens eines Matrixprodukts A zur Matrix B angerufen Multiplikation diese Matrizen. Aus der oben formulierten Definition folgt dies Matrix A kann nicht mit einer Matrix multipliziert werden B : Es ist notwendig, dass die Anzahl der Matrixspalten A War gleicht Anzahl der Matrixzeilen B . Damit beides funktioniert AB Und B.A. nicht nur definiert waren, sondern auch die gleiche Reihenfolge hatten, ist es notwendig und ausreichend, dass beide Matrizen vorhanden sind A Und B waren quadratische Matrizen derselben Ordnung.

Formel ( 1.4 ) stellt die Regel zum Zusammensetzen von Matrixelementen dar C ,

welches das Produkt der Matrix ist A zur Matrix B . Diese Regel lässt sich verbal formulieren: Element Cij , steht an der Kreuzung ich te Linie und J- te Matrixspalte C=AB , ist gleich die Summe der paarweisen Produkte der entsprechenden Elemente ich Zeile Matrizen A Und J- te Matrixspalte B . Als Beispiel für die Anwendung dieser Regel stellen wir die Formel zur Multiplikation quadratischer Matrizen zweiter Ordnung vor

Aus der Formel ( 1.4 ) ergeben sich folgende Eigenschaften des Matrixprodukts: A zur Matrix B :

Assoziative Eigenschaft: ( AB) C = A(BC);

Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Matrizen:

(A + B) C = AC + BC oder A (B + C) = AB + AC.

Es ist sinnvoll, die Frage nach der Permutationseigenschaft eines Matrizenprodukts nur für quadratische Matrizen gleicher Ordnung zu stellen. Das zeigen elementare Beispiele Produkte zweier quadratischer Matrizen derselben Ordnung haben im Allgemeinen nicht die Kommutierungseigenschaft. In der Tat, wenn wir sagen

A= , B = , Das AB = , A BA =

Üblicherweise werden die gleichen Matrizen aufgerufen, für die das Produkt die Kommutierungseigenschaft besitzt pendeln.

Unter den quadratischen Matrizen heben wir die Klasse der sogenannten hervor Diagonale Matrizen, deren Elemente jeweils außerhalb der Hauptdiagonale liegen und gleich Null sind. Unter allen Diagonalmatrizen mit zusammenfallenden Elementen auf der Hauptdiagonale spielen zwei Matrizen eine besonders wichtige Rolle. Die erste dieser Matrizen entsteht, wenn alle Elemente der Hauptdiagonale gleich eins sind, und wird Identitätsmatrix genannt N- E . Die zweite Matrix wird erhalten, wenn alle Elemente gleich Null sind und wird Nullmatrix genannt N- Reihenfolge und wird durch das Symbol gekennzeichnet Ö . Nehmen wir an, dass es eine beliebige Matrix gibt A , Dann

AE=EA=A , AO=OA=O .

Die erste der Formeln charakterisiert die besondere Rolle der Identitätsmatrix E , ähnlich der Rolle, die die Zahl spielt 1 beim Multiplizieren reeller Zahlen. Was die besondere Rolle der Nullmatrix betrifft UM , dann ergibt sich nicht nur die zweite der Formeln, sondern auch eine elementare nachweisbare Gleichheit: A+O=O+A=A . Das Konzept einer Nullmatrix kann nicht für quadratische Matrizen eingeführt werden.

2. Determinanten.

2.1 Der Begriff einer Determinante.

Zunächst müssen Sie bedenken, dass Determinanten nur für Matrizen vom quadratischen Typ existieren, da es für Matrizen anderer Typen keine Determinanten gibt. In der Theorie linearer Gleichungssysteme und in einigen anderen Fragestellungen ist es zweckmäßig, das Konzept zu verwenden bestimmend , oder bestimmend .

2.2 Berechnung der Determinanten.

Betrachten Sie vier beliebige Zahlen, die in Form einer Matrix geschrieben sind zwei in Reihen und jeder zwei Spalten , Bestimmend oder bestimmend , bestehend aus den Zahlen in dieser Tabelle, ist die Zahl ad-bc , wie folgt bezeichnet: . Eine solche Determinante heißt Determinante zweiter Ordnung , da zum Kompilieren eine Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten verwendet wurde. Die Zahlen, aus denen die Determinante besteht, werden als it bezeichnet Elemente ; Gleichzeitig sagen sie, dass die Elemente A Und D bilden Hauptdiagonale Determinante und die Elemente B Und C sein Seitendiagonale . Es ist ersichtlich, dass die Determinante gleich der Differenz der Produkte von Elementpaaren ist, die sich auf ihrer Haupt- und Nebendiagonalen befinden. Die Determinante der dritten und jeder anderen Ordnung ist ungefähr dieselbe, nämlich: Nehmen wir an, wir haben eine quadratische Matrix . Die Determinante der folgenden Matrix ist der folgende Ausdruck: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Wie Sie sehen, ist die Berechnung recht einfach, wenn Sie sich eine bestimmte Reihenfolge merken. Mit positivem Vorzeichen sind die Hauptdiagonale und die aus den Elementen gebildeten Dreiecke, deren Seite parallel zur Hauptdiagonale liegt, in diesem Fall Dreiecke a12a23a31 , a13a21a32 .

Die Seitendiagonale und die dazu parallelen Dreiecke haben ein negatives Vorzeichen, d.h. a11a23a32, a12a21a33 . Auf diese Weise können Determinanten beliebiger Ordnung gefunden werden. Es gibt jedoch Fälle, in denen diese Methode recht kompliziert wird, beispielsweise wenn die Matrix viele Elemente enthält und Sie viel Zeit und Aufmerksamkeit aufwenden müssen, um die Determinante zu berechnen.

Es gibt eine einfachere Möglichkeit, die Determinante zu berechnen N- oh Ordnung, wo N 2 . Lassen Sie uns vereinbaren, jedes Element als Moll zu bezeichnen Aij Matrizen N- Determinante erster Ordnung entsprechend der Matrix, die aus der Matrix als Ergebnis des Löschens erhalten wird ich te Linie und J- Spalte (die Zeile und die Spalte, an deren Schnittpunkt sich ein Element befindet). Aij ). Element Moll Aij wir werden es mit dem Symbol bezeichnen . In dieser Notation bezeichnet der obere Index die Zeilennummer, der untere Index die Spaltennummer und der Balken darüber M bedeutet, dass die angegebene Zeile und Spalte durchgestrichen sind. Determinante der Ordnung N , entsprechend der Matrix, nennen wir die Zahl gleich und durch das Symbol gekennzeichnet .

Satz 1.1 Unabhängig von der Zeilennummer ich ( i =1, 2…, n) , für die Determinante N- Es gilt die Formel erster Größenordnung

= det A =

angerufen ich- Zeile . Wir betonen, dass in dieser Formel der Exponent, auf den die Zahl erhöht wird (-1), gleich der Summe der Zeilen- und Spaltennummern ist, an deren Schnittpunkt sich das Element befindet Aij .

Satz 1.2 Unabhängig von der Spaltennummer J ( j =1, 2…, n) , für die Determinante N Es gilt die Formel th. Ordnung

= det A =

angerufen Erweiterung dieser Determinante in J- Spalte .

2.3 Grundlegende Eigenschaften von Determinanten.

Determinanten haben auch Eigenschaften, die ihre Berechnung erleichtern. Im Folgenden legen wir also eine Reihe von Eigenschaften fest, die eine beliebige Determinante hat N -te Ordnung.

1 . Eigenschaft für Zeilen-Spalten-Gleichheit . Transponieren einer Matrix oder Determinante ist eine Operation, bei der die Zeilen und Spalten unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge vertauscht werden. Als Ergebnis der Matrixtransposition A Die resultierende Matrix wird als Matrix bezeichnet und in Bezug auf die Matrix transponiert A und wird durch das Symbol angezeigt A .

Die erste Eigenschaft der Determinante wird wie folgt formuliert: Bei der Transposition bleibt der Wert der Determinante erhalten, d.h. = .

2 . Antisymmetrieeigenschaft beim Neuanordnen von zwei Zeilen (oder zwei Spalten) . Wenn zwei Zeilen (oder zwei Spalten) vertauscht werden, behält die Determinante ihren absoluten Wert, ändert jedoch das Vorzeichen in das Gegenteil. Für eine Determinante zweiter Ordnung kann diese Eigenschaft auf elementare Weise überprüft werden (aus der Formel zur Berechnung der Determinante zweiter Ordnung folgt sofort, dass sich die Determinanten nur im Vorzeichen unterscheiden).

3 . Lineare Eigenschaft der Determinante. Wir werden sagen, dass eine Zeichenfolge ( A) ist eine lineare Kombination der beiden anderen Strings ( B Und C ) mit Koeffizienten Und . Die lineare Eigenschaft lässt sich wie folgt formulieren: wenn in der Determinante N -te Ordnung manche ich Die -te Zeile ist eine Linearkombination zweier Zeilen mit Koeffizienten Und , Das = + , Wo

– Determinante, die hat ich Die -te Zeile entspricht einer der beiden Zeilen der Linearkombination und alle anderen Zeilen sind gleich , A - eine Determinante, die hat ich- Die i-Zeichenfolge ist gleich der zweiten der beiden Zeichenfolgen, und alle anderen Zeichenfolgen sind gleich .

Diese drei Eigenschaften sind die Haupteigenschaften der Determinante und offenbaren ihre Natur. Die folgenden fünf Eigenschaften sind logische Konsequenzen drei Haupteigenschaften.

Folgerung 1. Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen (oder Spalten) ist gleich Null.

Folgerung 2. Multiplikation aller Elemente einer Zeile (oder Spalte) einer Determinante mit einer Zahl A entspricht der Multiplikation der Determinante mit dieser Zahl A . Mit anderen Worten, der gemeinsame Faktor aller Elemente einer bestimmten Zeile (oder einer bestimmten Spalte) einer Determinante kann aus dem Vorzeichen dieser Determinante entnommen werden.

Folgerung 3. Wenn alle Elemente einer bestimmten Zeile (oder einer bestimmten Spalte) gleich Null sind, dann ist die Determinante selbst gleich Null.

Folgerung 4. Wenn die Elemente zweier Zeilen (oder zweier Spalten) einer Determinante proportional sind, dann ist die Determinante gleich Null.

Folgerung 5. Wenn wir zu den Elementen einer bestimmten Zeile (oder einer Spalte) der Determinante die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (einer anderen Spalte) hinzufügen, multiplizieren wir sie mit einem beliebigen Faktor , dann ändert sich der Wert der Determinante nicht. Korollar 5 ermöglicht, wie die lineare Eigenschaft, eine allgemeinere Formulierung, die ich für Zeichenfolgen geben werde: Wenn wir zu den Elementen einer bestimmten Zeile einer Determinante die entsprechenden Elemente einer Zeichenfolge hinzufügen, die eine lineare Kombination mehrerer anderer Zeilen ist dieser Determinante (mit beliebigen Koeffizienten) ändert sich der Wert der Determinante nicht. Korollar 5 wird häufig bei der konkreten Berechnung von Determinanten verwendet.

3. Systeme linearer Gleichungen.

3.1 Grundlegende Definitionen.

…….

3.2 Bedingung für die Kompatibilität linearer Gleichungssysteme.

…….

3.3 Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.

Es ist bekannt, dass wir mit Matrizen verschiedene Gleichungssysteme lösen können, und diese Systeme können beliebig groß sein und eine beliebige Anzahl von Variablen haben. Mit ein paar Ableitungen und Formeln wird das Lösen großer Gleichungssysteme recht schnell und einfacher.

Insbesondere werde ich die Cramer- und Gauss-Methoden beschreiben. Der einfachste Weg ist (für mich) die Cramer-Methode, oder wie sie auch genannt wird, die Cramer-Formel. Nehmen wir also an, dass wir ein Gleichungssystem haben . Die Hauptdeterminante ist, wie Sie bereits bemerkt haben, eine Matrix, die aus den Koeffizienten der Variablen besteht. Sie erscheinen auch in Spaltenreihenfolge, d. h. die erste Spalte enthält die Koeffizienten, die unter gefunden werden X , in der zweiten Spalte bei j , usw. Dies ist sehr wichtig, da wir in den folgenden Schritten jede Spalte mit Koeffizienten für eine Variable durch eine Spalte mit Gleichungsantworten ersetzen. Also, wie gesagt, wir ersetzen die Spalte bei der ersten Variablen durch die Antwortspalte, dann bei der zweiten, natürlich hängt alles davon ab, wie viele Variablen wir finden müssen.

1 = , 2 = , 3 = .

Dann müssen Sie Determinanten finden Determinante des Systems .

3.4 Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

…….

4. Inverse Matrix.

4.1 Das Konzept einer inversen Matrix.

4.2 Berechnung der inversen Matrix.

Referenzliste.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak „Lineare Algebra“

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Elementare Transformationen in der linearen Algebra“

Thema 1. Matrizen und Matrixdeterminanten

Was wir lernen:

Grundbegriffe der linearen Algebra: Matrix, Determinante.

Was wir lernen werden:

Operationen an Matrizen durchführen;

Berechnen Sie mit Determinanten zweiter und dritter Ordnung.

Thema 1.1. Das Konzept einer Matrix. Aktionen auf Matrizen

∆ Matrix ist eine rechteckige Tabelle, die aus Zeilen und Spalten besteht und mit einigen mathematischen Objekten gefüllt ist.

Matrizen werden in lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, die Tabelle selbst steht in Klammern (seltener in quadratischen oder anderen Formen).

Elemente A ij angerufen Matrixelemente . Erster Index ich– Zeilennummer, SekundeJ– Spaltennummer. Am häufigsten sind die Elemente Zahlen.

Eintrag „Matrix“ A hat die Größe M× N» bedeutet, dass es sich um eine Matrix bestehend aus handeltM Linien und N Säulen.

Wenn M = 1, ein N > 1, dann ist die MatrixMatrix - Zeile . Wenn M > 1, a N = 1, dann ist die MatrixMatrix - Spalte .

Eine Matrix, in der die Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Spalten übereinstimmt (m= n), angerufen Quadrat .

Elemente A 11 , A 22 ,…, A nn quadratische MatrixA (Größe N× N) bilden Hauptdiagonale , Elemente A 1 N , A 2 N -1 ,…, A N 1 - Seitendiagonale .

In der Matrix
Elemente 5; 7 bilden die Hauptdiagonale, Elemente –5; 8 – Seitendiagonale.

Matrizen A Und B werden genannt gleich (A= B), wenn sie die gleiche Größe haben und ihre Elemente an den gleichen Positionen zusammenfallen, d. h.A ij = b ij .

Identitätsmatrix wird als quadratische Matrix bezeichnet, in der die Elemente der Hauptdiagonale gleich eins und die übrigen Elemente gleich null sind. Die Identitätsmatrix wird normalerweise mit E bezeichnet.

Matrix transponiert zur Matrix A der GrößeM× N, heißt Matrix A T-Größe N× M, erhält man aus Matrix A, wenn man ihre Zeilen in Spalten und ihre Spalten in Zeilen schreibt.

Arithmetische Operationen auf Matrizen.

Finden Summe der Matrizen A Und B von derselben Dimension müssen Elemente mit denselben Indizes hinzugefügt werden (die an denselben Stellen stehen):

Die Matrixaddition ist kommutativ, d. h. A + B = B + A.

Finden Matrixunterschied A Und B der gleichen Dimension ist es notwendig, die Differenz von Elementen mit den gleichen Indizes zu finden:

Zu Matrix multiplizieren Apro Nummer k, Es ist notwendig, jedes Element der Matrix mit dieser Zahl zu multiplizieren:

Arbeiten Matrizen AB kann nur für Matrizen definiert werdenA Größe M× N Und B Größe N× P, d.h. Anzahl der MatrixspaltenA muss gleich der Anzahl der Matrixzeilen seinIN. Dabei A· B= C, Matrix C hat die Größe M× P, und sein Element C ij wird als Skalarprodukt gefundenichTh Matrixzeilen A An JTh MatrixspalteB: ( ich=1,2,…, M; J=1,2,…, P).

!! Eigentlich wird jede Zeile benötigt Matrizen A (links stehend) Skalar mit jeder Matrixspalte multiplizieren B (rechts stehend).

Das Produkt von Matrizen ist nicht kommutativ, d. h.А·В ≠ В·А . ▲

☺ Um das theoretische Material zu festigen, ist es notwendig, Beispiele zu analysieren.

Beispiel 1. Bestimmung der Größe von Matrizen.

Beispiel 2. Definition von Matrixelementen.

Im Matrixelement A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

Im Matrixelement A 21 = 2, A 13 = 0.

Beispiel 3: Durchführen einer Matrixtransposition.

Beispiel 4. Durchführen von Operationen an Matrizen.

Finden 2 A- B, Wenn , .

Lösung. .

Beispiel 5. Finden Sie das Produkt von Matrizen Und .

Lösung. MatrixgrößeA – 3 × 2 , Matrizen IN – 2 × 2 . Daher das ProduktA·B du kannst es finden. Wir bekommen:

Arbeiten VA kann nicht gefunden werden.

Beispiel 6. Finden A 3 wenn A =
.

Lösung. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Beispiel 6. Finden Sie 2 A 2 + 3 A + 5 E bei
,
.

Lösung. ,

,
,

,
.

Zu erledigende Aufgaben

1. Füllen Sie die Tabelle aus.

Matrix	Größe	Matrixtyp	Matrixelemente
Matrix	Größe	Matrixtyp		eine 12	ein 23	eine 32	ein 33

2. Führen Sie Operationen an Matrizen durch
Und
:

3. Führen Sie eine Matrixmultiplikation durch:

4. Matrizen transponieren:

? 1. Was ist eine Matrix?

2. Wie unterscheidet man eine Matrix von anderen Elementen der linearen Algebra?

3. Wie bestimmt man die Matrixgröße? Warum ist das notwendig?

4. Was bedeutet der Eintrag? A ij ?

5. Erklären Sie die folgenden Konzepte: Hauptdiagonale, Nebendiagonale der Matrix.

6. Welche Operationen können an Matrizen durchgeführt werden?

7. Erklären Sie das Wesentliche der Operation der Matrixmultiplikation?

8. Können beliebige Matrizen multipliziert werden? Warum?

Thema 1.2. Determinanten zweiter und dritter Ordnung : M Methoden zu ihrer Berechnung

∆ Wenn A eine quadratische Matrix ist N-ten Ordnung, dann können wir ihr eine Nummer namens zuordnen bestimmend n-te Ordnung und mit |A| bezeichnet. Das heißt, die Determinante wird als Matrix geschrieben, aber statt in Klammern in eckige Klammern gesetzt.

!! Manchmal werden Determinanten im englischen Sinne als Determinanten bezeichnet = det A.

Determinante 1. Ordnung (Determinante der Matrix A der Größe1 × 1 ) ist das Element selbst, das Matrix A enthält.

Determinante 2. Ordnung (Matrixdeterminante Eine Größe 2 × 2 ) ist eine Zahl, die mithilfe der folgenden Regel ermittelt werden kann:

(das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale der Matrix minus das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonale).

Determinante 3. Ordnung (Matrixdeterminante Eine Größe 3 × 3 ) ist eine Zahl, die mithilfe der „Dreiecke“-Regel ermittelt werden kann:

Um Determinanten 3. Ordnung zu berechnen, können Sie eine einfachere Regel verwenden – die Richtungsregel (parallele Linien).

Wegbeschreibungsregel : Mit die rechte Seite der Determinante wird zu den ersten beiden Spalten addiert, die Produkte der Elemente auf der Hauptdiagonale und auf den dazu parallelen Diagonalen werden mit einem Pluszeichen genommen; und die Produkte der Elemente der Nebendiagonale und der dazu parallelen Diagonalen sind mit einem Minuszeichen versehen.

!! Zur Berechnung von Determinanten können Sie deren Eigenschaften nutzen, die für Determinanten beliebiger Ordnung gelten.

Eigenschaften von Determinanten:

1° . Die Determinante der Matrix A ändert sich während der Transposition nicht, d. h. |A| = |A T |. Diese Eigenschaft charakterisiert die Gleichheit von Zeilen und Spalten.

2° . Bei der Neuanordnung zweier Zeilen (zwei Spalten) behält die Determinante ihren vorherigen Wert, das Vorzeichen wird jedoch umgekehrt.

4° . Wenn eine Zeile oder Spalte einen gemeinsamen Faktor enthält, kann dieser aus dem Determinantenzeichen herausgenommen werden.

Folgerung 4.1. Wenn alle Elemente einer Reihe einer Determinante gleich Null sind, dann ist die Determinante gleich Null.

Folgerung 4.2. Wenn die Elemente einer beliebigen Reihe einer Determinante proportional zu den entsprechenden Elementen einer dazu parallelen Reihe sind, dann ist die Determinante gleich Null.▲

☺ Es ist notwendig, die Regeln zur Berechnung von Determinanten zu analysieren.

Beispiel 1: BerechnungDeterminanten zweiter Ordnung,
.

Lösung.

Sekundarschule Nr. 45.

Die Stadt Moskau.

Schüler der 10. Klasse „B“ Gorokhov Evgeniy

Studienarbeit (Entwurf).

Einführung in die Theorie der Matrizen und Determinanten .

1. Matrizen................................................ ......... ......................................... ............... ................................... .................... ......

1.1 Konzept der Matrix................................................ ...... ................................................. ............ ....................................

1.2 Grundlegende Operationen auf Matrizen............................................. ....................................................... ............. .

2. Determinanten................................................ ......... ......................................... ............... ................................... ........

2.1 Der Begriff einer Determinante............................................ ........................................................ .............. .........................

2.2 Berechnung der Determinanten................................................ ...... ................................................. ............ ...............

2.3 Grundlegende Eigenschaften von Determinanten................................. ....................................................... .............

3. Systeme linearer Gleichungen............................................ ........................................................ .............. .

3.1 Grundlegende Definitionen................................................ .................................................... .......... ........................

3.2 Konsistenzbedingung für lineare Gleichungssysteme................................................. .......... ...............

3.3 Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode............................................. ........... ..........

3.4 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit der Gaußschen Methode............................................ ............ .............

4. Inverse Matrix................................................ ...... ................................................. ............ ...................................

4.1 Konzept der inversen Matrix................................................ ....................................................... ............. ................

4.2 Berechnung der inversen Matrix................................................ ........................................................ ........ ........

Referenzliste................................................ .................................................. ................................

Matrix ist eine rechteckige Zahlentabelle, die eine bestimmte Menge enthält M Zeilen und eine bestimmte Anzahl N Säulen. Zahlen M Und N werden genannt Aufträge Matrizen. Wenn M = N , die Matrix heißt Quadrat und die Zahl m = n -- ihr in Ordnung .

Die grundlegenden arithmetischen Operationen an Matrizen sind das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, das Addieren und Multiplizieren von Matrizen.

Fahren wir mit der Definition der Grundoperationen für Matrizen fort.

Matrixaddition: Die Summe zweier Matrizen, zum Beispiel: A Und B , mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten, also mit den gleichen Reihenfolgen M Und N namens Matrix C = ( MIT ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) die gleichen Befehle M Und N , Elemente Cij die gleich sind.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Um die Summe zweier Matrizen zu bezeichnen, wird die Notation verwendet C = A + B. Die Operation zum Summieren von Matrizen wird als ihr bezeichnet Zusatz

Per Definition haben wir also:

+ =

Aus der Definition der Summe von Matrizen, genauer gesagt aus der Formel ( 1.2 ) Daraus folgt unmittelbar, dass die Operation zum Addieren von Matrizen dieselben Eigenschaften hat wie die Operation zum Addieren reeller Zahlen, nämlich:

1) Kommutativgesetz: A + B = B + A

2) Eigentum kombinieren: (A + B) + C = A + (B + C)

Diese Eigenschaften ermöglichen es, sich beim Hinzufügen von zwei oder mehr Matrizen keine Gedanken über die Reihenfolge der Matrixterme zu machen.

Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren :

Matrixprodukt denn eine reelle Zahl heißt Matrix C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , deren Elemente gleich sind

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Direkt aus der Formel ( 1.3 ) Es ist klar, dass die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl die folgenden Eigenschaften hat:

1) Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Matrizen:

( A + B) = A+ B

2) Assoziative Eigenschaft bezüglich eines numerischen Faktors:

() A= ( A)

3) Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Zahlen:

( + ) A= A + A .

Kommentar :Differenz zweier Matrizen A Und B von identischen Ordnungen ist es natürlich, eine solche Matrix zu nennen C der gleichen Ordnungen, die in Summe mit der Matrix B gibt die Matrix an A . Um den Unterschied zwischen zwei Matrizen zu bezeichnen, wird eine natürliche Notation verwendet: C = A – B.

Matrix-Multiplikation :

Matrixprodukt A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , mit jeweils gleichen Ordnungen M Und N , pro Matrix B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Bezeichnet das Produkt einer Matrix A zur Matrix B Aufnahme verwenden

C=AB . Der Vorgang des Zusammenstellens eines Matrixprodukts A zur Matrix B angerufen Multiplikation diese Matrizen. Aus der oben formulierten Definition folgt dies Matrix A kann nicht mit einer Matrix multipliziert werden B : Es ist notwendig, dass die Anzahl der Matrixspalten A War gleicht Anzahl der Matrixzeilen B . Damit beides funktioniert AB Und B.A. nicht nur definiert waren, sondern auch die gleiche Reihenfolge hatten, ist es notwendig und ausreichend, dass beide Matrizen vorhanden sind A Und B waren quadratische Matrizen derselben Ordnung.

Formel ( 1.4 ) stellt die Regel zum Zusammensetzen von Matrixelementen dar C ,

welches das Produkt der Matrix ist A zur Matrix B . Diese Regel lässt sich verbal formulieren: Element Cij , steht an der Kreuzung ich te Linie und J- te Matrixspalte C=AB , ist gleich die Summe der paarweisen Produkte der entsprechenden Elemente ich Zeile Matrizen A Und J- te Matrixspalte B . Als Beispiel für die Anwendung dieser Regel stellen wir die Formel zur Multiplikation quadratischer Matrizen zweiter Ordnung vor

Aus der Formel ( 1.4 ) ergeben sich folgende Eigenschaften des Matrixprodukts: A zur Matrix B :

1) Assoziative Eigenschaft: ( AB) C = A(BC);

2) Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Matrizen:

(A + B) C = AC + BC oder A (B + C) = AB + AC.

Es ist sinnvoll, die Frage nach der Permutationseigenschaft eines Matrizenprodukts nur für quadratische Matrizen gleicher Ordnung zu stellen. Elementare Beispiele zeigen, dass das Produkt zweier quadratischer Matrizen gleicher Ordnung im Allgemeinen nicht die Kommutierungseigenschaft besitzt. In der Tat, wenn wir sagen

A = , B = , Das AB = , A BA =

Üblicherweise werden die gleichen Matrizen aufgerufen, für die das Produkt die Kommutierungseigenschaft besitzt pendeln.

Unter den quadratischen Matrizen heben wir die Klasse der sogenannten hervor Diagonale Matrizen, deren Elemente jeweils außerhalb der Hauptdiagonale liegen und gleich Null sind. Unter allen Diagonalmatrizen mit zusammenfallenden Elementen auf der Hauptdiagonale spielen zwei Matrizen eine besonders wichtige Rolle. Die erste dieser Matrizen entsteht, wenn alle Elemente der Hauptdiagonale gleich eins sind, und wird Identitätsmatrix genannt N- E . Die zweite Matrix wird erhalten, wenn alle Elemente gleich Null sind und wird Nullmatrix genannt N- Reihenfolge und wird durch das Symbol gekennzeichnet Ö . Nehmen wir an, dass es eine beliebige Matrix gibt A , Dann

AE=EA=A , AO=OA=O .

Die erste der Formeln charakterisiert die besondere Rolle der Identitätsmatrix E, ähnlich der Rolle, die die Zahl spielt 1 beim Multiplizieren reeller Zahlen. Was die besondere Rolle der Nullmatrix betrifft UM, dann ergibt sich nicht nur die zweite der Formeln, sondern auch eine elementare nachweisbare Gleichheit: A+O=O+A=A . Das Konzept einer Nullmatrix kann nicht für quadratische Matrizen eingeführt werden.

Betrachten wir vier beliebige Zahlen, die in Form einer Zweiermatrix in Zeilen und geschrieben sind zwei Spalten , Bestimmend oder bestimmend, bestehend aus den Zahlen in dieser Tabelle, ist die Zahl ad-bc , wie folgt bezeichnet: .Eine solche Determinante heißt Determinante zweiter Ordnung, da zum Kompilieren eine Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten verwendet wurde. Die Zahlen, aus denen die Determinante besteht, werden als it bezeichnet Elemente; Gleichzeitig sagen sie, dass die Elemente A Und D bilden Hauptdiagonale Determinante und die Elemente B Und C sein Seitendiagonale. Es ist ersichtlich, dass die Determinante gleich der Differenz der Produkte von Elementpaaren ist, die sich auf ihrer Haupt- und Nebendiagonalen befinden. Die Determinante der dritten und jeder anderen Ordnung ist ungefähr dieselbe, nämlich: Nehmen wir an, wir haben eine quadratische Matrix . Die Determinante der folgenden Matrix ist der folgende Ausdruck: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Wie Sie sehen, ist die Berechnung recht einfach, wenn Sie sich eine bestimmte Reihenfolge merken. Mit positivem Vorzeichen sind die Hauptdiagonale und die aus den Elementen gebildeten Dreiecke, deren Seite parallel zur Hauptdiagonale liegt, in diesem Fall Dreiecke a12a23a31, a13a21a32 .

Es gibt eine einfachere Möglichkeit, die Determinante zu berechnen N- oh Ordnung, wo n2 . Lassen Sie uns vereinbaren, jedes Element als Moll zu bezeichnen Aij Matrizen N- Determinante erster Ordnung entsprechend der Matrix, die aus der Matrix als Ergebnis des Löschens erhalten wird ich te Linie und J- Spalte (die Zeile und die Spalte, an deren Schnittpunkt sich ein Element befindet). Aij ). Element Moll Aij wird durch das Symbol gekennzeichnet. In dieser Notation bezeichnet der obere Index die Zeilennummer, der untere Index die Spaltennummer und der Balken darüber M bedeutet, dass die angegebene Zeile und Spalte durchgestrichen sind. Determinante der Ordnung N , entsprechend der Matrix, nennen wir die Zahl gleich und durch das Symbol gekennzeichnet .

Satz 1.1 Unabhängig von der Zeilennummer ich ( i =1, 2…, n) , für die Determinante N- Es gilt die Formel erster Größenordnung

= det A =

angerufen ich- Zeile . Wir betonen, dass in dieser Formel der Exponent, auf den die Zahl erhöht wird (-1), gleich der Summe der Zeilen- und Spaltennummern ist, an deren Schnittpunkt sich das Element befindet Aij .

Satz 1.2 Unabhängig von der Spaltennummer J ( j =1, 2…, n) , für die Determinante N Es gilt die Formel th. Ordnung

= det A =

angerufen Erweiterung dieser Determinante in J- Spalte .

Determinanten haben auch Eigenschaften, die ihre Berechnung erleichtern. Im Folgenden legen wir also eine Reihe von Eigenschaften fest, die eine beliebige Determinante hat N -te Ordnung.

1. Eigenschaft für Zeilen-Spalten-Gleichheit . Transponieren einer Matrix oder Determinante ist eine Operation, bei der die Zeilen und Spalten unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge vertauscht werden. Als Ergebnis der Matrixtransposition A Die resultierende Matrix wird als Matrix bezeichnet und in Bezug auf die Matrix transponiert A und wird durch das Symbol angezeigt A .

Die erste Eigenschaft der Determinante wird wie folgt formuliert: Bei der Transposition bleibt der Wert der Determinante erhalten, d.h. = .

2. Antisymmetrieeigenschaft beim Neuanordnen von zwei Zeilen (oder zwei Spalten). Wenn zwei Zeilen (oder zwei Spalten) vertauscht werden, behält die Determinante ihren absoluten Wert, ändert jedoch das Vorzeichen in das Gegenteil. Für eine Determinante zweiter Ordnung kann diese Eigenschaft auf elementare Weise überprüft werden (aus der Formel zur Berechnung der Determinante zweiter Ordnung folgt sofort, dass sich die Determinanten nur im Vorzeichen unterscheiden).

3. Lineare Eigenschaft der Determinante. Wir werden sagen, dass eine Zeichenfolge ( A) ist eine lineare Kombination der beiden anderen Strings ( B Und C ) mit Koeffizienten und . Die lineare Eigenschaft lässt sich wie folgt formulieren: wenn in der Determinante N etwas Ordnung ich Die te Zeile ist eine lineare Kombination aus zwei Zeilen mit den Koeffizienten und , dann = + , wo

- eine Determinante, die hat ich Die -te Zeile entspricht einer der beiden Zeilen der Linearkombination und alle anderen Zeilen sind gleich , a ist die Determinante dafür ich- Die Zeichenfolge i ist gleich der zweiten der beiden Zeichenfolgen, und alle anderen Zeichenfolgen sind identisch mit .

Diese drei Eigenschaften sind die Haupteigenschaften der Determinante und offenbaren ihre Natur. Die folgenden fünf Eigenschaften sind logische Konsequenzen drei Haupteigenschaften.

Folgerung 1. Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen (oder Spalten) ist gleich Null.

Folgerung 2. Multiplikation aller Elemente einer Zeile (oder Spalte) einer Determinante mit einer Zahl A entspricht der Multiplikation der Determinante mit dieser Zahl A . Mit anderen Worten, der gemeinsame Faktor aller Elemente einer bestimmten Zeile (oder einer bestimmten Spalte) einer Determinante kann aus dem Vorzeichen dieser Determinante entnommen werden.

Folgerung 3. Wenn alle Elemente einer bestimmten Zeile (oder einer bestimmten Spalte) gleich Null sind, dann ist die Determinante selbst gleich Null.

Folgerung 4. Wenn die Elemente zweier Zeilen (oder zweier Spalten) einer Determinante proportional sind, dann ist die Determinante gleich Null.

Folgerung 5. Wenn wir zu den Elementen einer bestimmten Zeile (oder einer Spalte) einer Determinante die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (einer anderen Spalte) hinzufügen und mit einem beliebigen Faktor multiplizieren, ändert sich der Wert der Determinante nicht. Korollar 5 ermöglicht, wie die lineare Eigenschaft, eine allgemeinere Formulierung, die ich für Zeichenfolgen geben werde: Wenn wir zu den Elementen einer bestimmten Zeile einer Determinante die entsprechenden Elemente einer Zeichenfolge hinzufügen, die eine lineare Kombination mehrerer anderer Zeilen ist dieser Determinante (mit beliebigen Koeffizienten) ändert sich der Wert der Determinante nicht. Korollar 5 wird häufig bei der konkreten Berechnung von Determinanten verwendet.

, In Matrixform lässt sich dieses System wie folgt schreiben: A= , wobei die Antworten auf die Gleichungen in der letzten Spalte stehen. Wir werden nun das Konzept einer fundamentalen Determinante einführen; in diesem Fall sieht es so aus:

= . Die Hauptdeterminante ist, wie Sie bereits bemerkt haben, eine Matrix, die aus den Koeffizienten der Variablen besteht. Sie erscheinen auch in Spaltenreihenfolge, d. h. die erste Spalte enthält die Koeffizienten, die unter gefunden werden X , in der zweiten Spalte bei j , usw. Dies ist sehr wichtig, da wir in den folgenden Schritten jede Spalte mit Koeffizienten für eine Variable durch eine Spalte mit Gleichungsantworten ersetzen. Also, wie gesagt, wir ersetzen die Spalte bei der ersten Variablen durch die Antwortspalte, dann bei der zweiten, natürlich hängt alles davon ab, wie viele Variablen wir finden müssen.

1 = , 2 = , 3 = .

Dann müssen Sie die Determinanten 1 finden, 2, 3. Sie wissen bereits, wie Sie die Determinante dritter Ordnung finden. A Hier wenden wir die Cramer-Regel an. Es sieht aus wie das:

x1 = , x2 = , x3 = – für diesen Fall, aber im Allgemeinen sieht es so aus: X ich = . Eine aus Koeffizienten für Unbekannte bestehende Determinante heißt Determinante des Systems .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak „Lineare Algebra“