Der Satz zur Änderung des Impulses eines materiellen Punktes ist eine Folgerung. Sätze über die Impulsänderung eines Punktes und eines Systems

Lassen Sie einen materiellen Punkt sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F. Es ist erforderlich, die Bewegung dieses Punktes relativ zum bewegten System zu bestimmen Oxyz(siehe komplexe Bewegung eines materiellen Punktes), der sich in bekannter Weise relativ zu einem stationären System bewegt Ö 1 X 1 j 1 z 1 .

Grundgleichung der Dynamik in einem stationären System

Schreiben wir die absolute Beschleunigung eines Punktes mit dem Coriolis-Theorem auf

Wo A Abs– absolute Beschleunigung;

A rel– relative Beschleunigung;

A Fahrbahn– tragbare Beschleunigung;

A Kern– Coriolis-Beschleunigung.

Schreiben wir (25) unter Berücksichtigung von (26) um.

Lassen Sie uns die Notation einführen
- tragbare Trägheitskraft,
- Coriolis-Trägheitskraft. Dann nimmt Gleichung (27) die Form an

Die Grundgleichung der Dynamik zur Untersuchung relativer Bewegungen (28) wird auf die gleiche Weise wie für absolute Bewegungen geschrieben, nur dass zu den auf einen Punkt wirkenden Kräften die Übertragungs- und Corioliskräfte der Trägheit addiert werden müssen.

Allgemeine Sätze zur Dynamik eines materiellen Punktes

Bei der Lösung vieler Probleme können Sie vorgefertigte Rohlinge verwenden, die auf der Grundlage des zweiten Newtonschen Gesetzes erstellt wurden. Solche Problemlösungsmethoden werden in diesem Abschnitt zusammengefasst.

Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes

Lassen Sie uns die folgenden dynamischen Eigenschaften einführen:

1. Impuls eines materiellen Punktes– Vektorgröße gleich dem Produkt aus der Masse eines Punktes und seinem Geschwindigkeitsvektor

. (29)

2. Kraftimpuls

Elementarer Kraftimpuls– Vektorgröße gleich dem Produkt des Kraftvektors und eines elementaren Zeitintervalls

(30).

Dann Voller Schwung

. (31)

Bei F=const erhalten wir S=Ft.

Der Gesamtimpuls über einen endlichen Zeitraum kann nur in zwei Fällen berechnet werden, wenn die auf einen Punkt wirkende Kraft konstant ist oder von der Zeit abhängt. In anderen Fällen ist es notwendig, die Kraft als Funktion der Zeit auszudrücken.

Die Gleichheit der Dimensionen Impuls (29) und Impuls (30) ermöglicht es uns, einen quantitativen Zusammenhang zwischen ihnen herzustellen.

Betrachten wir die Bewegung eines materiellen Punktes M unter Einwirkung einer willkürlichen Kraft F entlang einer beliebigen Flugbahn.

UM UD:
. (32)

Wir trennen die Variablen in (32) und integrieren

. (33)

Als Ergebnis erhalten wir unter Berücksichtigung von (31).

. (34)

Gleichung (34) drückt den folgenden Satz aus.

Satz: Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft, die im gleichen Zeitintervall auf den Punkt einwirkt.

Bei der Lösung von Problemen muss Gleichung (34) auf die Koordinatenachsen projiziert werden

Dieser Satz ist praktisch anzuwenden, wenn zu den gegebenen und unbekannten Größen die Masse eines Punktes, seine Anfangs- und Endgeschwindigkeit, Kräfte und Bewegungszeit gehören.

Satz über die Drehimpulsänderung eines materiellen Punktes

M
Impulsmoment eines materiellen Punktes relativ zur Mitte ist gleich dem Produkt des Impulsmoduls des Punktes und der Schulter, d.h. der kürzeste Abstand (senkrecht) vom Mittelpunkt zur Linie, die mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammenfällt

, (36)

. (37)

Der Zusammenhang zwischen dem Kraftmoment (Ursache) und dem Impulsmoment (Wirkung) wird durch den folgenden Satz hergestellt.

Sei der Punkt M einer gegebenen Masse M bewegt sich unter Krafteinwirkung F.

,
,

, (38)

. (39)

Berechnen wir die Ableitung von (39)

. (40)

Durch die Kombination von (40) und (38) erhalten wir schließlich

. (41)

Gleichung (41) drückt den folgenden Satz aus.

Satz: Die zeitliche Ableitung des Drehimpulsvektors eines materiellen Punktes relativ zu einem bestimmten Mittelpunkt ist gleich dem Moment der Kraft, die auf den Punkt relativ zu demselben Mittelpunkt wirkt.

Bei der Lösung von Problemen muss Gleichung (41) auf die Koordinatenachsen projiziert werden

In den Gleichungen (42) werden die Impuls- und Kraftmomente relativ zu den Koordinatenachsen berechnet.

Aus (41) folgt Gesetz der Drehimpulserhaltung (Keplersches Gesetz).

Wenn das Kraftmoment, das auf einen materiellen Punkt relativ zu einem beliebigen Zentrum wirkt, Null ist, behält der Drehimpuls des Punktes relativ zu diesem Zentrum seine Größe und Richtung bei.

Wenn
, Das
.

Der Satz und das Erhaltungsgesetz werden bei Problemen mit krummliniger Bewegung verwendet, insbesondere unter Einwirkung zentraler Kräfte.

Das im Satz diskutierte System kann jedes mechanische System sein, das aus beliebigen Körpern besteht.

Aussage des Theorems

Der Bewegungsbetrag (Impuls) eines mechanischen Systems ist eine Größe, die der Summe der Bewegungsbeträge (Impulse) aller im System enthaltenen Körper entspricht. Der Impuls äußerer Kräfte, die auf die Körper des Systems einwirken, ist die Summe der Impulse aller äußeren Kräfte, die auf die Körper des Systems wirken.

( kg m/s)

Der Satz über die Impulsänderung eines Systemzustandes

Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls äußerer Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf das System einwirken.

Gesetz der Impulserhaltung eines Systems

Wenn die Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte Null ist, dann ist der Bewegungsbetrag (Impuls) des Systems eine konstante Größe.

, Wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Differentialform:

Nachdem beide Seiten der resultierenden Gleichheit über einen willkürlich gewählten Zeitraum zwischen einigen und einigen integriert wurden, wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in integraler Form:

Gesetz der Impulserhaltung (Gesetz der Impulserhaltung) besagt, dass die Vektorsumme der Impulse aller Körper des Systems ein konstanter Wert ist, wenn die Vektorsumme der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist.

(Impulsmoment m 2 kg s −1)

Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zum Zentrum

Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft relativ zu demselben Mittelpunkt.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zu einer Achse

Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

dk X /dt = M X (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Betrachten Sie einen wesentlichen Punkt M Masse M , sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F (Abbildung 3.1). Schreiben wir den Vektor des Drehimpulses (kinetischer Impuls) auf und konstruieren ihn. M 0 Materialpunkt relativ zur Mitte Ö :

Differenzieren wir den Ausdruck für den Drehimpuls (kinetisches Moment). k 0) nach Zeit:

Als DR /dt = V , dann das Vektorprodukt V ⊗ M ⋅ V (kollineare Vektoren V Und M ⋅ V ) ist gleich Null. Gleichzeitig dm ⋅ V) /dt = F nach dem Satz über den Impuls eines materiellen Punktes. Deshalb verstehen wir das

dk 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Wo R ⊗F = M 0 (F ) – Vektormoment der Kraft F relativ zu einem festen Mittelpunkt Ö . Vektor k 0 ⊥ Ebene ( R , M ⊗V ) und der Vektor M 0 (F ) ⊥ Ebene ( R ,F ), haben wir endlich

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Gleichung (3.4) drückt den Satz über die Änderung des Drehimpulses (Drehimpuls) eines materiellen Punktes relativ zum Mittelpunkt aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft relativ zu demselben Mittelpunkt.

Wenn wir die Gleichung (3.4) auf die Achsen der kartesischen Koordinaten projizieren, erhalten wir

dk X /dt = M X (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Gleichungen (3.5) drücken den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetischer Impuls) eines materiellen Punktes relativ zur Achse aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

Betrachten wir die Konsequenzen, die sich aus den Sätzen (3.4) und (3.5) ergeben.

Folgerung 1. Betrachten wir den Fall, wenn die Kraft F Während der gesamten Bewegung verläuft der Punkt durch das stationäre Zentrum Ö (Fall zentraler Kraft), d.h. Wann M 0 (F ) = 0. Dann folgt aus Satz (3.4). k 0 = const ,

diese. Bei einer Zentralkraft bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum dieser Kraft in Betrag und Richtung konstant (Abbildung 3.2).

Abbildung 3.2

Vom Zustand her k 0 = const Daraus folgt, dass die Flugbahn eines sich bewegenden Punktes eine flache Kurve ist, deren Ebene durch den Mittelpunkt dieser Kraft verläuft.

Folgerung 2. Lassen M z (F ) = 0, d.h. Kraft kreuzt die Achse z oder parallel dazu. In diesem Fall gilt, wie aus der dritten Gleichung (3.5) hervorgeht, k z = const ,

diese. Wenn das auf einen Punkt relativ zu einer festen Achse wirkende Kraftmoment immer Null ist, bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) des Punktes relativ zu dieser Achse konstant.

Beweis des Satzes über die Impulsänderung

Das System bestehe aus materiellen Punkten mit Massen und Beschleunigungen. Wir unterteilen alle auf die Körper des Systems wirkenden Kräfte in zwei Typen:

Äußere Kräfte sind Kräfte, die von Körpern ausgehen, die nicht zum betrachteten System gehören. Die Resultierende äußerer Kräfte, die auf einen materiellen Punkt mit Zahl wirken ich bezeichnen wir

Innere Kräfte sind die Kräfte, mit denen die Körper des Systems selbst miteinander interagieren. Die Kraft, mit der man auf den Punkt mit der Zahl einwirkt ich Der Punkt mit der Nummer ist gültig k, wir bezeichnen , und die Kraft des Einflusses ich Punkt auf k Punkt - . Offensichtlich, wann dann

Unter Verwendung der eingeführten Notation schreiben wir das zweite Newtonsche Gesetz für jeden der betrachteten materiellen Punkte im Formular

Bedenkt, dass und wenn wir alle Gleichungen des zweiten Newtonschen Gesetzes zusammenfassen, erhalten wir:

Der Ausdruck stellt die Summe aller im System wirkenden Schnittgrößen dar. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz entspricht in dieser Summe jeder Kraft eine Kraft, so dass sie gilt Da die gesamte Summe aus solchen Paaren besteht, ist die Summe selbst Null. So können wir schreiben

Unter Verwendung der Notation für den Impuls des Systems erhalten wir

Durch Berücksichtigung der Änderung des Impulses äußerer Kräfte , erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Differentialform:

Somit lässt sich aus jeder der zuletzt erhaltenen Gleichungen feststellen: Eine Impulsänderung des Systems erfolgt nur durch die Einwirkung äußerer Kräfte, innere Kräfte können diesen Wert jedoch nicht beeinflussen.

Nachdem wir beide Seiten der resultierenden Gleichheit über ein willkürlich genommenes Zeitintervall zwischen einigen und integriert haben, erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in Integralform:

wobei und die Werte des Bewegungsumfangs des Systems zu bestimmten Zeitpunkten bzw. der Impuls äußerer Kräfte über einen bestimmten Zeitraum sind. In Übereinstimmung mit dem zuvor Gesagten und den eingeführten Notationen,

Für einen materiellen Punkt lässt sich das Grundgesetz der Dynamik darstellen als

Multipliziert man beide Seiten dieser Beziehung auf der linken Seite vektoriell mit dem Radiusvektor (Abb. 3.9), erhält man

(3.32)

Auf der rechten Seite dieser Formel steht das Kraftmoment relativ zum Punkt O. Die linke Seite transformieren wir, indem wir die Formel für die Ableitung eines Vektorprodukts anwenden

Aber als Vektorprodukt paralleler Vektoren. Danach bekommen wir

(3.33)

Die erste zeitliche Ableitung des Impulsmoments eines Punktes relativ zu einem beliebigen Mittelpunkt ist gleich dem Kraftmoment relativ zu demselben Mittelpunkt.

Abbildung 3.12

; ;

Für gegebene Eingabedaten der Drehimpuls des Systems

Satz über die Änderung des Drehimpulses eines Systems. Wir wenden die resultierenden äußeren und inneren Kräfte auf jeden Punkt des Systems an. Für jeden Punkt des Systems kann man den Satz über die Drehimpulsänderung anwenden, beispielsweise in der Form (3.33)

Wenn wir über alle Punkte des Systems summieren und berücksichtigen, dass die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist, erhalten wir

Durch die Bestimmung des kinetischen Moments des Systems und der Eigenschaften äußerer und innerer Kräfte

Daher kann die resultierende Beziehung dargestellt werden als:

Die erste zeitliche Ableitung des Drehimpulses eines Systems relativ zu einem beliebigen Punkt ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte, die relativ zu demselben Punkt auf das System wirken.

3.3.5. Kraftarbeit

1) Die Elementararbeit einer Kraft ist gleich dem Skalarprodukt der Kraft und dem Differentialradius des Vektors des Kraftangriffspunktes (Abb. 3.13)

Abbildung 3.13

Ausdruck (3.36) kann auch in den folgenden äquivalenten Formen geschrieben werden

Dabei ist die Projektion der Kraft auf die Geschwindigkeitsrichtung des Kraftangriffspunkts.

2) Kraftarbeit bei endgültiger Verschiebung

Durch Integration der elementaren Kraftarbeit erhalten wir die folgenden Ausdrücke für die Kraftarbeit bei der endgültigen Verschiebung von Punkt A nach Punkt B

3) Arbeit mit konstanter Kraft

Wenn die Kraft konstant ist, folgt aus (3.38).

Die Arbeit einer konstanten Kraft hängt nicht von der Form der Flugbahn ab, sondern nur vom Verschiebungsvektor des Kraftangriffspunkts.

4) Arbeit der Gewichtskraft

Für die Gewichtskraft (Abb. 3.14) und aus (3.39) ergibt sich

Abbildung 3.14

Wenn die Bewegung von Punkt B nach Punkt A erfolgt, dann

Allgemein

Das „+“-Zeichen entspricht der Abwärtsbewegung des Kraftangriffspunktes, das „-“-Zeichen – nach oben.

4) Arbeit der elastischen Kraft

Lassen Sie die Achse der Feder entlang der x-Achse gerichtet sein (Abb. 3.15) und das Ende der Feder bewegt sich von Punkt 1 nach Punkt 2, dann erhalten wir aus (3.38).

Wenn die Federsteifigkeit ist Mit, also dann

A (3.41)

Wenn sich das Ende der Feder von Punkt 0 zu Punkt 1 bewegt, ersetzen wir in diesem Ausdruck , , dann nimmt die Arbeit der elastischen Kraft die Form an

(3.42)

Wo ist die Dehnung der Feder?

Abbildung 3.15

5) Die auf einen rotierenden Körper ausgeübte Kraftarbeit. Die Arbeit des Augenblicks.

In Abb. Abbildung 3.16 zeigt einen rotierenden Körper, auf den eine beliebige Kraft ausgeübt wird. Bei der Drehung bewegt sich der Angriffspunkt dieser Kraft kreisförmig.

Bestehend aus N materielle Punkte. Wählen wir einen bestimmten Punkt aus diesem System aus Mj mit Masse mj. An diesem Punkt wirken bekanntlich äußere und innere Kräfte.

Wenden wir es auf den Punkt an Mj Resultierende aller inneren Kräfte F j i und die Resultierende aller äußeren Kräfte F j e(Abbildung 2.2). Für einen ausgewählten Materialpunkt Mj(wie für einen freien Punkt) schreiben wir den Satz über die Impulsänderung in Differentialform (2.3):

Schreiben wir ähnliche Gleichungen für alle Punkte des mechanischen Systems (j=1,2,3,…,n).

Abbildung 2.2

Lassen Sie uns alles Stück für Stück zusammenzählen N Gleichungen:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Hier ∑m j ×V j =Q– das Ausmaß der Bewegung des mechanischen Systems;
∑F j e = R e– der Hauptvektor aller äußeren Kräfte, die auf das mechanische System einwirken;
∑F j i = R i =0– der Hauptvektor der Schnittgrößen des Systems (gemäß der Eigenschaft der Schnittgrößen ist er gleich Null).

Schließlich erhalten wir für das mechanische System

dQ/dt = R e. (2.11)

Ausdruck (2.11) ist ein Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Differentialform (im Vektorausdruck): Die zeitliche Ableitung des Impulsvektors eines mechanischen Systems ist gleich dem Hauptvektor aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

Wenn wir die Vektorgleichheit (2.11) auf die kartesischen Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir Ausdrücke für den Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems im Koordinatenausdruck (Skalar):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

diese. Die zeitliche Ableitung der Projektion des Impulses eines mechanischen Systems auf eine beliebige Achse ist gleich der Projektion des Hauptvektors aller auf dieses mechanische System wirkenden äußeren Kräfte auf diese Achse.

Multiplizieren beider Seiten der Gleichheit (2.12) mit dt erhalten wir den Satz in einer anderen Differentialform:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

diese. Der Differenzimpuls eines mechanischen Systems ist gleich dem Elementarimpuls des Hauptvektors (der Summe der Elementarimpulse) aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

Integration der Gleichheit (2.13) innerhalb der Zeitänderung von 0 auf T erhalten wir einen Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in endgültiger (integraler) Form (im Vektorausdruck):

Q - Q 0 = S e,

diese. Die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems über einen endlichen Zeitraum ist gleich dem Gesamtimpuls des Hauptvektors (der Summe der Gesamtimpulse) aller äußeren Kräfte, die während desselben Zeitraums auf das System einwirken.

Wenn wir die Vektorgleichheit (2.14) auf die kartesischen Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir Ausdrücke für den Satz in Projektionen (in einem Skalarausdruck):

diese. Die Änderung der Projektion des Impulses eines mechanischen Systems auf eine beliebige Achse über einen endlichen Zeitraum ist gleich der Projektion des Gesamtimpulses des Hauptvektors (der Summe der Gesamtimpulse) aller äußeren Kräfte auf dieselbe Achse im gleichen Zeitraum auf das mechanische System einwirken.

Aus dem betrachteten Satz (2.11) – (2.15) ergeben sich folgende Folgerungen:

1. Wenn R e = ∑F j e = 0, Das Q = konst– Wir haben das Gesetz der Erhaltung des Impulsvektors eines mechanischen Systems: wenn der Hauptvektor Re Wenn die Gesamtzahl aller auf ein mechanisches System wirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, bleibt der Impulsvektor dieses Systems in Betrag und Richtung konstant und gleich seinem Anfangswert Q 0, d.h. Q = Q 0.
2. Wenn R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Das Q x = konst– Wir haben das Gesetz der Erhaltung der Projektion des Impulses eines mechanischen Systems auf die Achse: Wenn die Projektion des Hauptvektors aller auf ein mechanisches System wirkenden Kräfte auf eine beliebige Achse Null ist, dann ist die Projektion auf dieselbe Achse von Der Impulsvektor dieses Systems wird ein konstanter Wert sein und gleich der Projektion auf diese Achse des ursprünglichen Impulsvektors sein, d.h. Q x = Q 0x.

Die Differentialform des Satzes über die Impulsänderung eines Materialsystems hat wichtige und interessante Anwendungen in der Kontinuumsmechanik. Aus (2.11) können wir den Satz von Euler erhalten.

Differentialgleichung der Bewegung eines materiellen Punktes unter Krafteinfluss F kann in der folgenden Vektorform dargestellt werden:

Da die Masse eines Punktes M als konstant angenommen wird, dann kann sie unter dem Ableitungszeichen eingegeben werden. Dann

Formel (1) drückt den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in Differentialform aus: Die erste zeitliche Ableitung des Impulses eines Punktes ist gleich der auf den Punkt wirkenden Kraft.

In Projektionen auf Koordinatenachsen kann (1) dargestellt werden als

Wenn beide Seiten (1) mit multipliziert werden dt, dann erhalten wir eine andere Form desselben Satzes – den Impulssatz in Differentialform:

diese. Das Differential des Impulses eines Punktes ist gleich dem Elementarimpuls der auf den Punkt wirkenden Kraft.

Wenn wir beide Teile von (2) auf die Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir

Wenn wir beide Teile von (2) von Null bis t integrieren (Abb. 1), erhalten wir

Wo ist die Geschwindigkeit des Punktes im Moment? T; - Geschwindigkeit bei T = 0;

S- Kraftimpuls im Laufe der Zeit T.

Ein Ausdruck in der Form (3) wird oft als Impulssatz in endlicher (oder integraler) Form bezeichnet: Die Änderung des Impulses eines Punktes über einen beliebigen Zeitraum ist gleich dem Kraftimpuls über denselben Zeitraum.

In Projektionen auf Koordinatenachsen lässt sich dieser Satz in folgender Form darstellen:

Für einen materiellen Punkt unterscheidet sich der Satz über die Impulsänderung in keiner der Formen im Wesentlichen nicht von den Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes.

Satz über die Impulsänderung eines Systems

Die Bewegungsgröße des Systems wird als Vektorgröße bezeichnet Q, gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) der Bewegungsgrößen aller Punkte des Systems.

Betrachten Sie ein System bestehend aus N materielle Punkte. Lassen Sie uns Differentialgleichungen der Bewegung für dieses System aufstellen und sie Term für Term addieren. Dann erhalten wir:

Die letzte Summe ist aufgrund der Eigenschaft der Schnittgrößen gleich Null. Außerdem,

Schließlich finden wir:

Gleichung (4) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in Differentialform aus: Die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

Lassen Sie uns einen anderen Ausdruck für den Satz finden. Lass den Moment herein T= 0 ist die Bewegungsmenge des Systems Q 0, und im Moment der Zeit t 1 wird gleich F 1. Dann multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichheit (4) mit dt und durch Integration erhalten wir:

Oder wo:

(S-Kraftimpuls)

da die Integrale auf der rechten Seite Impulse äußerer Kräfte geben,

Gleichung (5) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in Integralform aus: Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der Summe der Impulse äußerer Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf das System einwirken.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen erhalten wir:

Gesetz der Impulserhaltung

Aus dem Satz über die Impulsänderung eines Systems lassen sich folgende wichtige Folgerungen ableiten:

1. Die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte sei gleich Null:

Dann folgt aus Gleichung (4) in diesem Fall Q = konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ist der Impulsvektor des Systems in Größe und Richtung konstant.

2. 01Die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte seien so, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B. Ox) gleich Null sei:

Aus den Gleichungen (4`) folgt dann in diesem Fall das Q = konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe der Projektionen aller einwirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Bewegungsbetrags des Systems auf diese Achse ein konstanter Wert.

Diese Ergebnisse drücken aus Gesetz der Impulserhaltung eines Systems. Daraus folgt, dass innere Kräfte den Gesamtbetrag der Bewegung des Systems nicht verändern können.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

· Phänomen über die Rückkehr der Rolle. Wenn wir das Gewehr und das Geschoss als ein System betrachten, dann ist der Druck der Pulvergase während eines Schusses eine innere Kraft. Diese Kraft kann den Gesamtimpuls des Systems nicht verändern. Da aber die Pulvergase, die auf das Geschoss einwirken, ihm eine bestimmte nach vorne gerichtete Bewegung verleihen, müssen sie dem Gewehr gleichzeitig die gleiche Bewegung in die entgegengesetzte Richtung verleihen. Dadurch bewegt sich das Gewehr rückwärts, d.h. die sogenannte Rückkehr. Ein ähnliches Phänomen tritt beim Abfeuern einer Waffe auf (Rollback).

· Bedienung des Propellers (Propeller). Der Propeller versetzt eine bestimmte Luft- (oder Wassermasse) entlang der Propellerachse in Bewegung und wirft diese Masse zurück. Wenn wir die geschleuderte Masse und das Flugzeug (oder Schiff) als ein System betrachten, können die Wechselwirkungskräfte zwischen dem Propeller und der Umgebung als interne Kräfte die Gesamtbewegung dieses Systems nicht verändern. Wenn also eine Masse Luft (Wasser) zurückgeschleudert wird, erhält das Flugzeug (oder Schiff) eine entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit, so dass die gesamte Bewegungsmenge des betrachteten Systems gleich Null bleibt, da sie vor Beginn der Bewegung Null war .

Ein ähnlicher Effekt wird durch die Wirkung von Rudern oder Schaufelrädern erzielt.

· R e c t i v e-Antrieb Bei einer Rakete werden gasförmige Produkte der Treibstoffverbrennung mit hoher Geschwindigkeit aus dem Loch im Heck der Rakete (aus der Strahltriebwerksdüse) ausgestoßen. Die in diesem Fall wirkenden Druckkräfte sind innere Kräfte und können den Gesamtimpuls des Raketen-Pulver-Gassystems nicht verändern. Da aber die austretenden Gase eine gewisse Rückwärtsbewegung haben, erhält die Rakete eine entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit.

Satz der Momente um eine Achse.

Betrachten Sie den materiellen Massenpunkt M, sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F. Finden wir dafür die Beziehung zwischen den Momenten der Vektoren mV Und F relativ zu einer festen Z-Achse.

m z (F) = xF - yF (7)

Ebenso für den Wert m(mV), wenn herausgenommen M wird außerhalb der Klammern stehen

M z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Wenn wir die Ableitungen nach der Zeit von beiden Seiten dieser Gleichheit bilden, finden wir

Auf der rechten Seite des resultierenden Ausdrucks ist die erste Klammer seitdem gleich 0 dx/dt=V und dó/dt = V, die zweite Klammer nach Formel (7) ist gleich

mz(F), denn nach dem Grundgesetz der Dynamik gilt:

Schließlich haben wir (8)

Die resultierende Gleichung drückt den Satz der Momente um die Achse aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments eines Punktes relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich dem Moment der wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse. Ein ähnlicher Satz gilt für Momente um jedes Zentrum O.