§7. Beispiele für lineare Räume

L- Kreuzung M alle Unterräume L enthaltend X .

Es wird auch eine lineare Schale genannt Unterraum erzeugt X. Normalerweise bezeichnet. Man sagt auch, dass die lineare Schale überspannt ein Haufen X .

Eigenschaften

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Sei ein System von Vektoren aus dem Vektorraum Vüber das Feld P.

Definition 2: Lineare Schale L Systeme A ist die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren des Systems A. Bezeichnung L(A).

Das lässt sich für zwei beliebige Systeme zeigen A Und B,

A linear ausgedrückt durch B dann und nur dann, wenn . (1)

AÄquivalent B dann und nur wann L(A)=L(B). (2)

Der Beweis folgt aus der vorherigen Eigenschaft

3 Die lineare Spanne jedes Vektorsystems ist ein Unterraum des Raums V.

Nachweisen

Nehmen Sie zwei beliebige Vektoren und von L(A), mit den folgenden Erweiterungen in Vektoren von A: . Überprüfen wir die Machbarkeit der Bedingungen 1) und 2) des Kriteriums:

Da es sich um eine Linearkombination von Systemvektoren handelt A.

Da es sich auch um eine Linearkombination von Systemvektoren handelt A.

Betrachten wir nun die Matrix. Linearer Bereich von Matrixzeilen A wird als Zeilenraum der Matrix bezeichnet und bezeichnet Lr(A). Linearer Bereich von Matrixspalten A wird als Spaltenraum bezeichnet und bezeichnet Lc(A). Bitte beachten Sie, dass beim Zeilen- und Spaltenraum der Matrix A sind Teilräume verschiedener arithmetischer Räume P n Und Uhr jeweils. Mit Aussage (2) können wir zu folgendem Schluss kommen:

Satz 3: Wenn eine Matrix aus einer anderen durch eine Kette elementarer Transformationen gewonnen wird, dann fallen die Zeilenräume solcher Matrizen zusammen.

Summe und Schnittmenge von Unterräumen

Lassen L Und M- zwei Unterräume des Raumes R.

Menge L+M heißt eine Menge von Vektoren x+y , Wo X ∈L Und j ∈M. Offensichtlich jede lineare Kombination von Vektoren aus L+M gehört L+M, somit L+M ist ein Unterraum des Raumes R(kann mit Leerzeichen zusammenfallen R).

Durch Überqueren L∩M Unterräume L Und M ist die Menge der Vektoren, die gleichzeitig zu Unterräumen gehören L Und M(kann nur aus einem Nullvektor bestehen).

Satz 6.1. Summe der Dimensionen beliebiger Unterräume L Und M endlichdimensionaler linearer Raum R gleich der Dimension der Summe dieser Unterräume und der Dimension des Schnittpunkts dieser Unterräume:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Nachweisen. Bezeichnen wir F=L+M Und G=L∩M. Lassen G g-dimensionaler Unterraum. Wählen wir darin eine Grundlage. Als G⊂L Und G⊂M, also Basis G können zur Basis hinzugefügt werden L und zur Basis M. Lassen Sie die Basis des Unterraums L und sei die Basis des Unterraums M. Zeigen wir, dass die Vektoren

(6.1) bilden die Basis F=L+M. Damit die Vektoren (6.1) die Basis des Raumes bilden F Sie müssen linear unabhängig und von jedem beliebigen Raumvektor sein F kann durch eine lineare Kombination von Vektoren dargestellt werden (6.1).



Beweisen wir die lineare Unabhängigkeit von Vektoren (6.1). Sei der Nullvektor des Raumes F wird durch eine lineare Kombination von Vektoren (6.1) mit einigen Koeffizienten dargestellt:

Die linke Seite von (6.3) ist der Unterraumvektor L und die rechte Seite ist der Unterraumvektor M. Daher der Vektor

(6.4)gehört zum Unterraum G=L∩M. Andererseits der Vektor v kann durch eine lineare Kombination von Basisvektoren des Unterraums dargestellt werden G:

(6.5) Aus den Gleichungen (6.4) und (6.5) ergibt sich:

Aber Vektoren sind die Basis des Unterraums M, daher sind sie linear unabhängig und . Dann hat (6.2) die Form:

Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basis des Unterraums L wir haben:

Da sich herausstellte, dass alle Koeffizienten in Gleichung (6.2) Null waren, dann sind die Vektoren

linear unabhängig. Aber jeder Vektor z aus F(per Definition der Summe der Unterräume) kann durch die Summe dargestellt werden x+y , Wo X ∈ L,j ∈ M. Wiederum X wird durch eine lineare Kombination von Vektoren a dargestellt j - Linearkombination von Vektoren. Daher entstehen Vektoren (6.10) im Unterraum F. Wir haben herausgefunden, dass Vektoren (6.10) eine Basis bilden F=L+M.

Subraumbasen studieren L Und M und Subraumbasis F=L+M(6.10) gilt: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Somit:

dim L+dim M − dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Direkte Summe von Unterräumen

Definition 6.2. Raum F stellt die direkte Summe der Unterräume dar L Und M, wenn jeder Vektor X Raum F kann nur als Summe dargestellt werden x=y+z , Wo j ∈L und z ∈M.



Der direkte Betrag ist angegeben L⊕M. Sie sagen das, wenn F=L⊕M, Das F zerfällt in die direkte Summe seiner Unterräume L Und M.

Satz 6.2. Damit N-dimensionaler Raum R war die direkte Summe der Unterräume L Und M, es reicht für den Schnittpunkt L Und M enthielt nur das Nullelement und die Dimension R war gleich der Summe der Dimensionen der Unterräume L Und M.

Nachweisen. Wählen wir eine Basis im Unterraum L und eine Basis im Unterraum M. Beweisen wir das

(6.11) ist die Basis des Raumes R. Nach den Bedingungen des Satzes ist die Dimension des Raumes Rn gleich der Summe der Unterräume L Und M (n=l+m). Es reicht aus, die lineare Unabhängigkeit der Elemente (6.11) zu beweisen. Sei der Nullvektor des Raumes R wird durch eine lineare Kombination von Vektoren (6.11) mit einigen Koeffizienten dargestellt:

(6.13) Da die linke Seite von (6.13) ein Vektor des Unterraums ist L, und die rechte Seite ist der Unterraumvektor M Und L∩M=0 , Das

(6.14) Aber Vektoren sind die Basen von Unterräumen L Und M jeweils. Daher sind sie linear unabhängig. Dann

(6.15) Es wurde festgestellt, dass (6.12) nur unter der Bedingung (6.15) gültig ist, und dies beweist die lineare Unabhängigkeit der Vektoren (6.11). Daher bilden sie eine Grundlage in R.

Sei x∈R. Erweitern wir es gemäß Basis (6.11):

(6.16)Aus (6.16) ergibt sich:

(6.18)Aus (6.17) und (6.18) folgt, dass jeder Vektor aus R kann als Summe von Vektoren dargestellt werden X 1 ∈L Und X 2 ∈M. Es bleibt zu beweisen, dass diese Darstellung einzigartig ist. Zusätzlich zur Darstellung (6.17) gäbe es folgende Darstellung:

(6.19) Wenn wir (6.19) von (6.17) subtrahieren, erhalten wir

(6.20) Da , und L∩M=0 , dann und . Deshalb und. ■

Satz 8.4 über die Dimension der Summe der Teilräume. Wenn und Teilräume eines endlichdimensionalen linearen Raums sind, dann ist die Dimension der Summe der Teilräume gleich der Summe ihrer Dimensionen ohne die Dimension ihres Schnittpunkts ( Grassmanns Formel):

(8.13)

Tatsächlich sei die Basis der Schnittmenge. Ergänzen wir es mit einer geordneten Menge von Vektoren bis zur Basis des Unterraums und einer geordneten Menge von Vektoren bis zur Basis des Unterraums. Eine solche Addition ist nach Satz 8.2 möglich. Erstellen wir aus diesen drei Vektorsätzen einen geordneten Vektorsatz. Zeigen wir, dass diese Vektoren Generatoren des Raums sind. Tatsächlich wird jeder Vektor dieses Raums als lineare Kombination von Vektoren aus einer geordneten Menge dargestellt

Somit, . Beweisen wir, dass die Generatoren linear unabhängig sind und daher die Basis des Raums bilden. Lassen Sie uns tatsächlich eine lineare Kombination dieser Vektoren erstellen und sie dem Nullvektor gleichsetzen: . Alle Koeffizienten dieser Entwicklung sind Null: Unterräume eines Vektorraums mit bilinearer Form sind die Menge aller Vektoren, die zu jedem Vektor von orthogonal sind. Diese Menge ist ein Vektorunterraum, der normalerweise mit bezeichnet wird.

Der Artikel beschreibt die Grundlagen der linearen Algebra: linearer Raum, seine Eigenschaften, Basisbegriff, Raumdimensionen, lineare Hülle, Zusammenhang zwischen linearen Räumen und der Rang von Matrizen.

Linearer Raum

Ein Haufen L angerufen linearer Raum, wenn für alle seine Elemente die Operationen der Addition zweier Elemente und der Multiplikation eines Elements mit einer Zahl zufriedenstellend sind ICH Gruppe Weyls Axiome. Die Elemente des linearen Raums heißen Vektoren. Dies ist eine vollständige Definition; Kurz gesagt können wir sagen, dass ein linearer Raum eine Menge von Elementen ist, für die die Operationen der Addition zweier Elemente und der Multiplikation eines Elements mit einer Zahl definiert sind.

Weyls Axiome.

Hermann Weil schlug vor, dass es in der Geometrie zwei Arten von Objekten gibt ( Vektoren und Punkte), deren Eigenschaften durch die folgenden Axiome beschrieben werden, die die Grundlage des Abschnitts bildeten Lineare Algebra. Es ist zweckmäßig, die Axiome in drei Gruppen einzuteilen.

Gruppe I

  1. für alle Vektoren x und y ist die Gleichung x+y=y+x erfüllt;
  2. für alle Vektoren x, y und z ist die Gleichung x+(y+z)=(x+y)+z erfüllt;
  3. Es gibt einen Vektor o, so dass für jeden Vektor x die Gleichheit x+o=x gilt;
  4. für jeden Vektor X es gibt einen Vektor (-x), so dass x+(-x)=o;
  5. für jeden Vektor X es gilt die Gleichheit 1x=x;
  6. für beliebige Vektoren X Und bei und jede Zahl λ die Gleichheit λ( X+bei)=λ X+λ bei;
  7. für jeden Vektor X und für alle Zahlen λ und μ gilt die Gleichheit (λ+μ) X=λ X+μ X;
  8. für jeden Vektor X und alle Zahlen λ und μ die Gleichheit λ(μ X)=(λμ) X;

Gruppe II

Gruppe I definiert das Konzept lineare Kombination von Vektoren, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit. Dies ermöglicht es uns, zwei weitere Axiome zu formulieren:

  1. es gibt n linear unabhängige Vektoren;
  2. Alle (n+1) Vektoren sind linear abhängig.

Für Planimetrie ist n=2, für Stereometrie ist n=3.

Gruppe III

Diese Gruppe geht davon aus, dass es eine Skalarmultiplikationsoperation gibt, die ein Vektorpaar zuordnet X Und bei Nummer ( x,y). Dabei:

  1. für beliebige Vektoren X Und bei Gleichheit gilt ( x,y)=(y, x);
  2. für beliebige Vektoren X , bei Und z Gleichheit gilt ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
  3. für beliebige Vektoren X Und bei und jede Zahl λ die Gleichheit (λ x,y)=λ( x,y);
  4. Für jeden Vektor x gilt die Ungleichung ( x, x)≥0 und ( x, x)=0 genau dann, wenn X=0.

Eigenschaften des linearen Raums

Die meisten Eigenschaften des linearen Raums basieren auf Weyls Axiomen:

  1. Vektor Ö, dessen Existenz durch Axiom 3 garantiert ist, wird auf einzigartige Weise bestimmt;
  2. Vektor (- X), dessen Existenz durch Axiom 4 garantiert ist, ist auf eindeutige Weise bestimmt;
  3. Für zwei beliebige Vektoren A Und B zum Weltraum gehörend L, es gibt nur einen Vektor X, gehört auch zum Weltraum L, was eine Lösung der Gleichung ist a+x=B und nannte die Vektordifferenz b-a.

Definition. Teilmenge L' linearer Raum L angerufen linearer Unterraum Raum L, wenn es sich selbst um einen linearen Raum handelt, in dem die Summe von Vektoren und das Produkt aus einem Vektor und einer Zahl auf die gleiche Weise wie in definiert sind L.

Definition. Lineare Schale L(x1, x2, x3, …, xk) Vektoren x1, x2, x3, Und xk heißt die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. Über die lineare Schale können wir das sagen

-die lineare Hülle ist ein linearer Unterraum;

– Die lineare Hülle ist der minimale lineare Unterraum, der die Vektoren enthält x1, x2, x3, Und xk.

Definition. Ein linearer Raum heißt n-dimensional, wenn er Gruppe II des Weyl-Axiomsystems erfüllt. Die Zahl n wird aufgerufen Abmessungen linearer Raum und schreiben dimL=n.

Basis– jedes geordnete System von N linear unabhängige Raumvektoren. Die Bedeutung der Basis besteht darin, dass die Vektoren, aus denen die Basis besteht, zur Beschreibung jedes Vektors im Raum verwendet werden können.

Satz. Alle n linear unabhängigen Vektoren im Raum L bilden eine Basis.

Isomorphismus.

Definition. Lineare Räume L Und L' heißen isomorph, wenn eine solche Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen ihren Elementen hergestellt werden kann x↔x’, Was:

  1. Wenn x↔x’, y↔y’, Das x+y↔x’+y’;
  2. Wenn x↔x’, dann λ x↔λ X'.

Diese Korrespondenz selbst heißt Isomorphismus. Durch den Isomorphismus können wir folgende Aussagen treffen:

  • wenn zwei Räume isomorph sind, dann sind ihre Abmessungen gleich;
  • Zwei beliebige lineare Räume über demselben Feld und derselben Dimension sind isomorph.

1. Menge von Polynomen P N (X) Abschlüsse nicht höher N.

2. Ein Haufen N-Termfolgen (mit termweiser Addition und Multiplikation mit einem Skalar).

3 . Viele Funktionen C [ A , B ] kontinuierlich auf [ A, B] und mit punktweiser Addition und Multiplikation mit einem Skalar.

4. Viele Funktionen sind auf [ angegeben A, B] und an einem festen inneren Punkt verschwinden C: F (C) = 0 und mit punktweisen Additions- und Multiplikationsoperationen mit einem Skalar.

5. Setze R+, wenn X ⊕ jXj, ⊙XX  .

§8. Definition von Unterraum

Lass das Set W ist eine Teilmenge des linearen Raums V (WV) und so

a)  X, jWX ⊕ jW;

b)  XW,    ⊙ XW.

Die Operationen der Addition und Multiplikation sind hier dieselben wie im Raum V(Sie werden rauminduziert genannt V).

So viele W wird als Unterraum des Raumes bezeichnet V.

7 . Unterraum W selbst ist Raum.

◀ Um dies zu beweisen, reicht es aus, die Existenz eines neutralen Elements und seines Gegenteils zu beweisen. Gleichheiten 0⊙ X=  und (–1)⊙ X = –X beweisen, was notwendig ist.

Ein Unterraum, der nur aus einem neutralen Element () und einem Unterraum besteht, der mit dem Raum selbst zusammenfällt V werden triviale Unterräume des Raumes genannt V.

§9. Linearkombination von Vektoren. Lineare Spanne des Vektorsystems

Lassen Sie die Vektoren e 1 ,e 2 , …e NV und  1,  2 , …  N .

Vektor x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N = heißt linear Kombination von Vektoren e 1 , e 2 , … , e N mit Koeffizienten  1,  2 , …  N .

Wenn alle Koeffizienten in einer Linearkombination gleich Null sind, dann ist die Linearkombination angerufen trivial.

Menge aller möglichen Linearkombinationen von Vektoren
wird als lineare Hülle bezeichnet dieses Vektorsystem und wird bezeichnet:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e N) = ℒ
.

8 . ℒ(e 1 , e 2 , …, e N

◀ Die Richtigkeit der Operationen der Addition und Multiplikation mit einem Skalar folgt aus der Tatsache, dass ℒ( e 1 , e 2 , …, e N) ist eine Menge aller möglichen Linearkombinationen. Das neutrale Element ist eine triviale Linearkombination. Für Element X=
das Gegenteil ist das Element - X =
. Die Axiome, die die Operationen erfüllen müssen, sind ebenfalls erfüllt. Also,ℒ( e 1 , e 2 , …, e N) ist ein linearer Raum.

Jeder lineare Raum enthält im Allgemeinen unendlich viele andere lineare Räume (Unterräume) – lineare Schalen

In Zukunft werden wir versuchen, die folgenden Fragen zu beantworten:

Wann bestehen lineare Schalen verschiedener Vektorsysteme aus den gleichen Vektoren (fallen also zusammen)?

2) Was ist die Mindestanzahl von Vektoren, die denselben linearen Bereich definieren?

3) Ist der ursprüngliche Raum eine lineare Spanne eines Vektorsystems?

§10. Komplette Vektorsysteme

Wenn im Weltraum V Es gibt eine endliche Menge von Vektoren
Na und,ℒ
V, dann das Vektorsystem
heißt ein vollständiges System in V, und der Raum heißt endlichdimensional. Also das Vektorsystem e 1 , e 2 , …, e NV genannt komplett in V System, d.h. Wenn

XV   1 ,  2 , …  N so dass x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N .

Wenn im Weltraum V Es gibt kein endliches vollständiges System (und es existiert immer ein vollständiges System – zum Beispiel die Menge aller Raumvektoren V), dann der Raum V heißt unendlichdimensional.

9 . Wenn
voll drin V System von Vektoren und jV, Das ( e 1 , e 2 , …, e N , j) ist ebenfalls ein vollständiges System.

◀ Bei Linearkombinationen liegt der Koeffizient vor j nimm gleich 0.

Sei ein System von Vektoren aus . Lineare Schale Vektorsysteme ist die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren eines gegebenen Systems, d.h.

Eigenschaften einer linearen Schale: Wenn , dann für und .

Die lineare Schale hat die Eigenschaft, in Bezug auf lineare Operationen (die Operationen der Addition und Multiplikation mit einer Zahl) geschlossen zu sein.

Eine Teilmenge eines Raumes, die die Eigenschaft hat, bezüglich der Operationen der Addition und Multiplikation mit Zahlen abgeschlossen zu sein, heißtlinearer Unterraum des Raumes .

Die lineare Hülle eines Vektorsystems ist ein linearer Unterraum des Raumes.

Das Vektorsystem aus heißt Basis ,Wenn

Jeder Vektor kann als lineare Kombination von Basisvektoren ausgedrückt werden:

2. Das Vektorsystem ist linear unabhängig.

Lemma-Vektor-Erweiterungskoeffizienten entsprechend der Basis eindeutig bestimmt sind.

Vektor , bestehend aus Vektorerweiterungskoeffizienten Entsprechend der Basis wird der Koordinatenvektor des Vektors genannt in der Basis .

Bezeichnung . Dieser Eintrag betont, dass die Koordinaten des Vektors von der Basis abhängen.

Lineare Räume

Definitionen

Gegeben sei eine Menge von Elementen beliebiger Natur. Für die Elemente dieser Menge seien zwei Operationen definiert: Addition und Multiplikation mit beliebigen real Zahl: , und gesetzt geschlossen zu diesen Operationen: . Lassen Sie diese Operationen den Axiomen gehorchen:

3. Es gibt einen Nullvektor mit der Eigenschaft für ;

4. Zu jedem gibt es einen Umkehrvektor mit der Eigenschaft ;

6. für , ;

7. für , ;

Dann heißt eine solche Menge linearer (Vektor-)Raum, seine Elemente heißen Vektoren, und – um ihren Unterschied zu den Zahlen hervorzuheben – werden letztere genannt Skalare 1) . Ein Raum, der nur aus einem Nullvektor besteht, heißt trivial .

Wenn wir in den Axiomen 6 - 8 die Multiplikation mit komplexen Skalaren zulassen, dann heißt ein solcher linearer Raum umfassend. Um unsere Überlegungen zu vereinfachen, betrachten wir im Folgenden nur reale Räume.

Ein linearer Raum ist hinsichtlich der Additionsoperation eine Gruppe und eine abelsche Gruppe.

Die Eindeutigkeit des Nullvektors und die Eindeutigkeit des zum Vektor inversen Vektors lassen sich leicht beweisen: , es wird normalerweise bezeichnet.

Eine Teilmenge eines linearen Raums, der selbst ein linearer Raum ist (d. h. geschlossen durch Addition von Vektoren und Multiplikation mit einem beliebigen Skalar), wird aufgerufen linearer Unterraum Raum. Triviale Unterräume Ein linearer Raum heißt er selbst und der Raum, der aus einem Nullvektor besteht.

Beispiel. Der Raum der geordneten Tripel reeller Zahlen

Durch die Gleichungen definierte Operationen:

Die geometrische Interpretation liegt auf der Hand: Ein an den Ursprung „gebundener“ Vektor im Raum kann in den Koordinaten seines Endes angegeben werden. Die Abbildung zeigt auch einen typischen Unterraum des Raumes: eine Ebene, die durch den Ursprung verläuft. Genauer gesagt handelt es sich bei den Elementen um Vektoren, die im Ursprung beginnen und an Punkten in der Ebene enden. Die Geschlossenheit einer solchen Menge hinsichtlich der Addition von Vektoren und deren Dilatation 2) ist offensichtlich.

Basierend auf dieser geometrischen Interpretation wird oft von einem Vektor eines beliebigen linearen Raums gesprochen Punkt im Raum. Manchmal wird dieser Punkt als „Ende des Vektors“ bezeichnet. Abgesehen von der Bequemlichkeit der assoziativen Wahrnehmung erhalten diese Wörter keine formale Bedeutung: Der Begriff „Ende eines Vektors“ fehlt in der Axiomatik des linearen Raums.

Beispiel. Basierend auf demselben Beispiel können wir eine andere Interpretation des Vektorraums geben (übrigens eingebettet in den Ursprung des Wortes „Vektor“ 3)) – er definiert eine Reihe von „Verschiebungen“ von Punkten im Raum. Diese Verschiebungen – oder Parallelverschiebungen einer Raumfigur – werden parallel zur Ebene gewählt.

Im Allgemeinen ist bei solchen Interpretationen des Vektorbegriffs nicht alles so einfach. Versucht, sich auf seine physische Bedeutung zu berufen – als ein Objekt, das hat Größe Und Richtung- eine gerechte Zurechtweisung strenger Mathematiker hervorrufen. Die Definition eines Vektors als Element des Vektorraums erinnert sehr an die Episode mit sepulchami aus der berühmten Science-Fiction-Geschichte von Stanislaw Lem (siehe ☞HIER). Lassen wir uns nicht auf den Formalismus ein, sondern erkunden wir dieses unscharfe Objekt in seinen besonderen Erscheinungsformen.

Beispiel. Eine natürliche Verallgemeinerung ist Raum: Zeilen- oder Spaltenvektorraum . Eine Möglichkeit, einen Unterraum anzugeben, besteht darin, eine Reihe von Einschränkungen anzugeben.

Beispiel. Die Lösungsmenge eines Systems linearer homogener Gleichungen:

bildet einen linearen Unterraum des Raumes. Tatsächlich, wenn

Die Lösung des Systems also

Die gleiche Lösung für alle. Wenn

Eine andere Lösung für das System also

Es wird auch ihre Entscheidung sein.

Warum gibt es viele Lösungen für das System? heterogen Gleichungen bilden keinen linearen Unterraum?

Beispiel. Weiter verallgemeinernd können wir den Raum „unendlicher“ Zeichenfolgen oder betrachten Sequenzen , normalerweise Gegenstand der mathematischen Analyse – bei der Betrachtung von Folgen und Reihen. Sie können Linien (Sequenzen) als „unendlich in beide Richtungen“ betrachten – sie werden in der SIGNALTHEORIE verwendet.

Beispiel. Die Menge der -Matrizen mit reellen Elementen bildet mit den Operationen der Matrixaddition und der Multiplikation mit reellen Zahlen einen linearen Raum.

Im Raum der Matrizen quadratischer Ordnung lassen sich zwei Unterräume unterscheiden: der Unterraum symmetrischer Matrizen und der Unterraum schiefsymmetrischer Matrizen. Darüber hinaus bilden Unterräume jede der Mengen: obere dreieckige und untere dreieckige idiagonale Matrizen.

Beispiel. Eine Menge von Polynomen mit einem variablen Grad, die genau den Koeffizienten von (wo ist eine der Mengen oder ) entspricht, mit den üblichen Operationen der Addition von Polynomen und der Multiplikation mit einer Zahl von bildet sich nicht linearer Raum. Warum? - Weil es unter Addition nicht abgeschlossen ist: Die Summe der Polynome wird kein Polynom t-ten Grades sein. Aber hier gibt es viele Gradpolynome nicht höher

lineare Raumformen; nur zu dieser Menge müssen wir noch ein identisches Nullpolynom hinzufügen 4). Die offensichtlichen Unterräume sind. Darüber hinaus werden die Unterräume die Menge der geraden und die Menge der ungeraden Polynome höchstens Grades sein. Die Menge aller möglichen Polynome (ohne Gradbeschränkungen) bildet ebenfalls einen linearen Raum.

Beispiel. Eine Verallgemeinerung des vorherigen Falls wird der Raum von Polynomen mehrerer Variablen höchstens Grades mit Koeffizienten von sein. Zum Beispiel die Menge der linearen Polynome

bildet einen linearen Raum. Die Menge der homogenen Polynome (Formen) vom Grad (mit der Hinzufügung eines identischen Nullpolynoms zu dieser Menge) ist ebenfalls ein linearer Raum.

Im Sinne der obigen Definition die Menge der Zeichenfolgen mit ganzzahligen Komponenten

betrachtet im Hinblick auf die Operationen der komponentenweisen Addition und Multiplikation mit ganze Zahlen Skalare sind kein linearer Raum. Alle Axiome 1–8 werden jedoch erfüllt, wenn wir die Multiplikation nur mit ganzzahligen Skalaren zulassen. In diesem Abschnitt werden wir uns nicht auf dieses Objekt konzentrieren, aber es ist in der diskreten Mathematik sehr nützlich, zum Beispiel in der ☞ CODIERUNGSTHEORIE. Lineare Räume über endlichen Körpern werden betrachtet ☞ HIER.

Die Variablen sind isomorph zum Raum symmetrischer Matrizen dritter Ordnung. Der Isomorphismus wird durch eine Korrespondenz festgestellt, die wir für den Fall veranschaulichen wollen:

Das Konzept des Isomorphismus wird eingeführt, um die Untersuchung von Objekten durchzuführen, die in verschiedenen Bereichen der Algebra auftreten, jedoch „ähnliche“ Eigenschaften von Operationen aufweisen, am Beispiel einer Stichprobe, um daraus Ergebnisse zu erarbeiten, die dann kostengünstig repliziert werden können. Welchen linearen Raum sollten wir „als Beispiel“ nehmen? - Siehe das Ende des nächsten Absatzes