نحوه تعیین اینکه آیا بردارها به صورت خطی وابسته یا مستقل هستند؟ وابستگی خطی بردارها

وابستگی خطی و استقلال خطی بردارها.
اساس بردارها. سیستم مختصات افین

یک گاری با شکلات در سالن وجود دارد و هر بازدید کننده امروز یک زوج شیرین دریافت می کند - هندسه تحلیلی با جبر خطی. این مقاله به طور همزمان به دو بخش از ریاضیات عالی می پردازد و خواهیم دید که چگونه آنها در یک بسته بندی وجود دارند. استراحت کن، توئیکس بخور! ... لعنتی، چه چیز مزخرفی. هر چند باشه، گل نمیزنم، اما در نهایت، شما باید نگرش مثبتی نسبت به مطالعه داشته باشید.

وابستگی خطی بردارها, استقلال بردار خطی, اساس بردارهاو اصطلاحات دیگر نه تنها تفسیر هندسی دارند، بلکه بیش از همه معنای جبری دارند. خود مفهوم "بردار" از دیدگاه جبر خطی همیشه بردار "معمولی" نیست که بتوانیم آن را در یک صفحه یا در فضا به تصویر بکشیم. برای اثبات نیازی به جستجوی دور ندارید، سعی کنید بردار فضای پنج بعدی را ترسیم کنید . یا بردار آب و هوا که همین الان به Gismeteo رفتم: دما و فشار اتمسفر. مثال، البته، از نقطه نظر ویژگی های فضای برداری نادرست است، اما، با این وجود، هیچ کس رسمی کردن این پارامترها را به عنوان یک بردار ممنوع نمی کند. نفس پاییزی...

نه، من شما را با تئوری خسته نمی کنم، فضاهای برداری خطی، وظیفه این است که فهمیدنتعاریف و قضایا اصطلاحات جدید (وابستگی خطی، استقلال، ترکیب خطی، مبنا و ...) برای همه بردارها از نظر جبری اعمال می شود، اما مثال های هندسی آورده می شود. بنابراین، همه چیز ساده، در دسترس و روشن است. علاوه بر مسائل هندسه تحلیلی، برخی از مسائل جبر معمولی را نیز در نظر خواهیم گرفت. برای تسلط بر مطالب، توصیه می شود با درس ها آشنا شوید وکتور برای آدمکو چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

وابستگی و استقلال خطی بردارهای صفحه.
سیستم مختصات پایه و افین

بیایید صفحه میز کامپیوتر شما را در نظر بگیریم (فقط یک میز، میز کنار تخت، کف، سقف، هر چیزی که دوست دارید). وظیفه شامل اقدامات زیر خواهد بود:

1) پایه هواپیما را انتخاب کنید. به طور کلی، یک میز دارای طول و عرض است، بنابراین شهودی است که دو بردار برای ساختن پایه مورد نیاز است. واضح است که یک بردار کافی نیست، سه بردار زیاد است.

2) بر اساس مبنای انتخاب شده تنظیم سیستم مختصات(شبکه مختصات) برای اختصاص مختصات به تمام اشیاء روی جدول.

تعجب نکنید، در ابتدا توضیحات روی انگشتان خواهد بود. علاوه بر این، در مال شما. لطفا قرار دهید انگشت اشاره چپروی لبه میز به طوری که به مانیتور نگاه کند. این یک بردار خواهد بود. اکنون قرار دهید انگشت کوچک راستروی لبه میز به همین ترتیب - به طوری که به صفحه نمایشگر هدایت شود. این یک بردار خواهد بود. لبخند بزنید، عالی به نظر می رسید! در مورد بردارها چه می توانیم بگوییم؟ بردارهای داده خطی، که به معنی خطیاز طریق یکدیگر بیان می شود:
، خوب یا برعکس: ، جایی که عددی با صفر متفاوت است.

می توانید تصویری از این عمل را در کلاس مشاهده کنید. وکتور برای آدمک، جایی که قانون ضرب بردار در عدد را توضیح دادم.

آیا انگشتان شما اساس میز کامپیوتر را تعیین می کنند؟ بدیهی است که نه. بردارهای خطی به سمت جلو و عقب حرکت می کنند تنهاجهت، و یک هواپیما طول و عرض دارد.

چنین بردارهایی نامیده می شوند وابسته به خط.

ارجاع: کلمات "خطی"، "خطی" بیانگر این واقعیت است که در معادلات و عبارات ریاضی مربع، مکعب، توان های دیگر، لگاریتم، سینوس و غیره وجود ندارد. فقط عبارات و وابستگی های خطی (درجه 1) وجود دارد.

دو بردار صفحه وابسته به خطاگر و فقط در صورتی که هم خط باشند.

انگشتان خود را روی میز ضربدری کنید تا هر زاویه ای بین آنها به جز 0 یا 180 درجه وجود داشته باشد. دو بردار صفحهخطی نهاگر و فقط اگر هم خطی نباشند وابسته هستند. بنابراین، اساس به دست می آید. نیازی به خجالت نیست که مبنا با بردارهای غیر عمود با طول های مختلف "کج" شده است. به زودی خواهیم دید که نه تنها زاویه 90 درجه برای ساخت آن مناسب است و نه تنها بردارهای واحد با طول مساوی.

هربردار هواپیما تنها راهبر اساس این اساس گسترش می یابد:
، اعداد واقعی کجا هستند. اعداد نامیده می شوند مختصات برداریدر این پایه

همچنین گفته می شود که برداربه عنوان ارائه شده است ترکیب خطیبردارهای پایه. یعنی عبارت نامیده می شود تجزیه برداربه صورتیا ترکیب خطیبردارهای پایه.

به عنوان مثال، می توان گفت که بردار در امتداد یک پایه متعامد از صفحه تجزیه می شود، یا می توانیم بگوییم که به صورت ترکیب خطی از بردارها نشان داده می شود.

فرمول بندی کنیم تعریف پایهبه طور رسمی: اساس هواپیمابه یک جفت بردار مستقل خطی (غیر خطی) می گویند، ، که در آن هربردار صفحه ترکیبی خطی از بردارهای پایه است.

نکته اساسی در تعریف این واقعیت است که بردارها گرفته شده اند به ترتیب خاصی. پایه ها - این دو پایه کاملا متفاوت هستند! همانطور که می گویند، شما نمی توانید انگشت کوچک دست چپ خود را به جای انگشت کوچک دست راست خود قرار دهید.

ما اساس را مشخص کرده‌ایم، اما تنظیم یک شبکه مختصات و اختصاص مختصات به هر آیتم روی میز کامپیوتر شما کافی نیست. چرا کافی نیست؟ بردارها آزاد هستند و در کل صفحه سرگردان هستند. پس چگونه مختصات را به آن نقاط کوچک کثیف روی میز به جا مانده از یک آخر هفته وحشی اختصاص دهید؟ یک نقطه شروع مورد نیاز است. و چنین نقطه عطفی یک نقطه آشنا برای همه است - منشاء مختصات. بیایید سیستم مختصات را درک کنیم:

من با سیستم "مدرسه" شروع می کنم. در حال حاضر در درس مقدماتی وکتور برای آدمکمن برخی از تفاوت‌ها را بین سیستم مختصات مستطیلی و پایه متعارف برجسته کردم. این هم تصویر استاندارد:

وقتی صحبت می کنند سیستم مختصات مستطیلی، سپس اغلب آنها به معنای مبدا، محورهای مختصات و مقیاس در امتداد محورها هستند. سعی کنید "سیستم مختصات مستطیل شکل" را در یک موتور جستجو تایپ کنید و خواهید دید که بسیاری از منابع در مورد محورهای مختصات آشنا از کلاس 5 تا 6 و نحوه ترسیم نقاط در هواپیما به شما می گویند.

از سوی دیگر، به نظر می رسد که یک سیستم مختصات مستطیلی را می توان به طور کامل بر اساس یک پایه متعارف تعریف کرد. و این تقریباً درست است. جمله بندی به شرح زیر است:

اصل و نسب، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات صفحه مستطیلی دکارتی . یعنی سیستم مختصات مستطیلی قطعابا یک نقطه و دو بردار متعامد واحد تعریف می شود. به همین دلیل است که نقشه ای را که در بالا ارائه کردم مشاهده می کنید - در مسائل هندسی، هم بردارها و هم محورهای مختصات اغلب (اما نه همیشه) ترسیم می شوند.

من فکر می کنم همه می دانند که استفاده از یک نقطه (منشا) و یک مبنای متعارف هر نقطه در هواپیما و هر بردار در هواپیمامختصات را می توان اختصاص داد. به بیان تصویری، "همه چیز در یک هواپیما را می توان شماره گذاری کرد."

آیا باید بردارهای مختصات واحد باشند؟ نه، آنها می توانند یک طول غیر صفر دلخواه داشته باشند. یک نقطه و دو بردار متعامد با طول غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید:

چنین مبنایی نامیده می شود قائم. منشأ مختصات با بردارها توسط یک شبکه مختصات تعریف شده است و هر نقطه در هواپیما ، هر بردار مختصات خود را به صورت خاص دارد. به عنوان مثال، یا. ناراحتی آشکار این است که بردارهای مختصات به طور کلیطول های متفاوتی غیر از وحدت دارند. اگر طول ها برابر با واحد باشند، مبنای متعارف معمولی به دست می آید.

! توجه داشته باشید : در پایه متعامد و همچنین در زیر در پایه های افین صفحه و فضا، واحدهایی در امتداد محورها در نظر گرفته می شود. مشروط. به عنوان مثال، یک واحد در امتداد محور x شامل 4 سانتی‌متر و یک واحد در امتداد محور مختصات حاوی 2 سانتی‌متر است. این اطلاعات برای تبدیل مختصات «غیر استاندارد» به «سانتی‌مترهای معمول» در صورت لزوم کافی است.

و سوال دوم که در واقع قبلا پاسخ داده شده این است که آیا زاویه بین بردارهای پایه باید برابر با 90 درجه باشد؟ نه! همانطور که در تعریف آمده است، بردارهای پایه باید باشند فقط غیر خطی. بر این اساس، زاویه می تواند هر چیزی به جز 0 و 180 درجه باشد.

یک نقطه در هواپیما به نام اصل و نسب، و غیر خطیبردارها، ، تنظیم سیستم مختصات هواپیمای وابسته :

گاهی اوقات چنین سیستم مختصاتی نامیده می شود موربسیستم. به عنوان مثال، نقاشی نقاط و بردارها را نشان می دهد:

همانطور که می دانید، سیستم مختصات افین حتی راحت تر است؛ فرمول های طول بردارها و بخش ها که در قسمت دوم درس مورد بحث قرار گرفتیم، در آن کار نمی کنند. وکتور برای آدمک، بسیاری از فرمول های خوشمزه مربوط به حاصل ضرب اسکالر بردارها. اما قوانین جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد، فرمول های تقسیم یک قطعه در این رابطه و همچنین برخی از انواع دیگر مسائل که به زودی در نظر خواهیم گرفت معتبر هستند.

و نتیجه این است که راحت‌ترین حالت خاص یک سیستم مختصات افین، سیستم مستطیلی دکارتی است. به همین دلیل است که شما اغلب باید او را ببینید، عزیز من. با این حال، همه چیز در این زندگی نسبی است - موقعیت های زیادی وجود دارد که در آنها یک زاویه مایل (یا یک زاویه دیگر، برای مثال، قطبی) دستگاه مختصات. و انسان نماها ممکن است چنین سیستم هایی را دوست داشته باشند =)

بیایید به بخش عملی آن برویم. تمام اشکالات این درس هم برای سیستم مختصات مستطیلی و هم برای حالت افین کلی معتبر است. در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد؛ همه مطالب حتی برای یک دانش آموز در دسترس است.

چگونه می توان هم خطی بردارهای صفحه را تعیین کرد؟

چیز معمولی به منظور دو بردار صفحه خطی بودند، لازم و کافی است که مختصات متناظر آنها متناسب باشداساساً، این یک تفصیل مختص به مختصات از رابطه آشکار است.

مثال 1

الف) بررسی کنید که آیا بردارها خطی هستند یا خیر .
ب) آیا بردارها مبنایی را تشکیل می دهند؟ ?

راه حل:
الف) اجازه دهید دریابیم که آیا برای بردارها وجود دارد یا خیر ضریب تناسب، به طوری که برابری ها برآورده شوند:

من مطمئناً در مورد نسخه "foppish" اعمال این قانون به شما خواهم گفت که در عمل بسیار خوب عمل می کند. ایده این است که فوراً نسبت را بسازید و ببینید درست است یا خیر:

بیایید نسبتی از نسبت مختصات مربوط به بردارها ایجاد کنیم:

کوتاه کنیم:
بنابراین، مختصات مربوطه متناسب هستند، بنابراین،

رابطه را می توان برعکس ایجاد کرد؛ این یک گزینه معادل است:

برای خودآزمایی، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که بردارهای خطی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. در این صورت برابری ها صورت می گیرد . اعتبار آنها را می توان به راحتی از طریق عملیات ابتدایی با بردارها تأیید کرد:

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. ما بردارها را برای همخطی بودن بررسی می کنیم . بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

از معادله اول نتیجه می شود که , از معادله دوم نتیجه می شود که یعنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، مختصات متناظر بردارها متناسب نیستند.

نتیجه: بردارها به صورت خطی مستقل هستند و پایه را تشکیل می دهند.

نسخه ساده شده راه حل به این صورت است:

بیایید از مختصات مربوطه بردارها نسبتی درست کنیم :
، به این معنی که این بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

معمولاً این گزینه توسط داوران رد نمی شود، اما در مواردی که برخی مختصات برابر با صفر هستند مشکل ایجاد می شود. مثل این: . یا مثل این: . یا مثل این: . چگونه می توان از طریق نسبت در اینجا کار کرد؟ (در واقع، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید). به همین دلیل است که من راه حل ساده شده را "فروغ" نامیدم.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

یک مثال خلاقانه کوچک برای راه حل خودتان:

مثال 2

بردارها در چه مقدار پارامتر هستند آیا آنها خطی خواهند بود؟

در حل نمونه، پارامتر از طریق نسبت پیدا می شود.

یک روش جبری ظریف برای بررسی بردارها برای همخطی بودن وجود دارد. بیایید دانش خود را نظام‌مند کنیم و آن را به عنوان نقطه پنجم اضافه کنیم:

برای دو بردار صفحه عبارات زیر معادل هستند:

2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها خطی نیستند.

+ 5) تعیین کننده متشکل از مختصات این بردارها غیر صفر است.

به ترتیب، عبارات مقابل زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی وابسته هستند.
2) بردارها مبنایی را تشکیل نمی دهند.
3) بردارها خطی هستند.
4) بردارها را می توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
+ 5) دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر است.

من واقعاً، واقعاً امیدوارم که تا به حال همه اصطلاحات و عباراتی را که با آن روبرو شده اید درک کرده باشید.

بیایید نگاهی دقیق تر به نکته جدید، پنجم بیندازیم: دو بردار صفحه خطی هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد.: البته برای اعمال این ویژگی باید بتوانید تعیین کننده ها را پیدا کنید.

بیا تصمیم بگیریممثال 1 به روش دوم:

الف) دترمینان تشکیل شده از مختصات بردارها را محاسبه کنیم :
یعنی این بردارها هم خط هستند.

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم :
، به این معنی که بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

این بسیار فشرده تر و زیباتر از یک راه حل با نسبت به نظر می رسد.

با کمک مواد در نظر گرفته شده، می توان نه تنها همخطی بردارها را تعیین کرد، بلکه موازی بودن قطعات و خطوط مستقیم را نیز اثبات کرد. بیایید چند مشکل با اشکال هندسی خاص را در نظر بگیریم.

مثال 3

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات: نیازی به ایجاد نقشه در مسئله نیست، زیرا راه حل صرفاً تحلیلی خواهد بود. بیایید تعریف متوازی الاضلاع را به خاطر بسپاریم:
متوازی الاضلاع چهار ضلعی که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند نامیده می شود.

بنابراین لازم است ثابت شود:
1) موازی بودن اضلاع مقابل و;
2) موازی بودن اضلاع مقابل و.

ما ثابت می کنیم:

1) بردارها را بیابید:

2) بردارها را بیابید:

نتیجه همان بردار است ("بر اساس مدرسه" - بردارهای برابر). خطی بودن کاملاً واضح است، اما بهتر است تصمیم را به وضوح و با ترتیب رسمی رسمی کنیم. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:
، به این معنی که این بردارها خطی هستند و .

نتیجه: اضلاع مقابل یک چهار ضلعی به صورت جفت موازی هستند، یعنی طبق تعریف متوازی الاضلاع است. Q.E.D.

ارقام خوب و متفاوت تر:

مثال 4

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی ذوزنقه است.

برای فرمول دقیق تر اثبات، البته بهتر است تعریف ذوزنقه را بدست آوریم، اما کافی است به سادگی به یاد بیاوریم که چگونه به نظر می رسد.

این وظیفه ای است که شما باید خودتان آن را حل کنید. راه حل کامل در پایان درس.

و اکنون زمان آن است که به آرامی از هواپیما به فضا حرکت کنیم:

چگونه می توان همخطی بردارهای فضایی را تعیین کرد؟

قانون بسیار شبیه است. برای اینکه دو بردار فضایی به صورت هم خط باشند، کافی و ضروری است که مختصات متناظر آنها متناسب باشد..

مثال 5

دریابید که آیا بردارهای فضایی زیر هم خط هستند:

آ) ؛
ب)
V)

راه حل:
الف) بررسی کنیم که آیا ضریب تناسب برای مختصات مربوط به بردارها وجود دارد یا خیر:

سیستم هیچ راه حلی ندارد، به این معنی که بردارها خطی نیستند.

"ساده شده" با بررسی نسبت رسمی می شود. در این مورد:
- مختصات مربوطه متناسب نیستند، به این معنی که بردارها هم خط نیستند.

پاسخ:بردارها خطی نیستند.

ب-ج) نکاتی برای تصمیم گیری مستقل است. از دو طریق آن را امتحان کنید.

روشی برای بررسی بردارهای فضایی برای همخطی بودن از طریق یک تعیین کننده مرتبه سوم وجود دارد؛ این روش در مقاله پوشش داده شده است. حاصلضرب برداری بردارها.

همانند حالت صفحه، از ابزارهای در نظر گرفته شده می توان برای مطالعه موازی قطعات فضایی و خطوط مستقیم استفاده کرد.

به بخش دوم خوش آمدید:

وابستگی و استقلال خطی بردارها در فضای سه بعدی.
مبانی فضایی و سیستم مختصات وابسته

بسیاری از الگوهایی که در هواپیما بررسی کردیم برای فضا معتبر خواهند بود. من سعی کردم نکات تئوری را به حداقل برسانم، زیرا سهم شیر از اطلاعات قبلاً جویده شده است. با این حال، توصیه می کنم که قسمت مقدمه را با دقت مطالعه کنید، زیرا اصطلاحات و مفاهیم جدیدی ظاهر می شوند.

اکنون به جای صفحه میز کامپیوتر، فضای سه بعدی را بررسی می کنیم. ابتدا بیایید پایه آن را ایجاد کنیم. یک نفر الان در داخل خانه است، یک نفر بیرون است، اما به هر حال ما نمی توانیم از سه بعد: عرض، طول و ارتفاع فرار کنیم. بنابراین، برای ساخت یک پایه، سه بردار فضایی مورد نیاز خواهد بود. یک یا دو بردار کافی نیست، چهارمی اضافی است.

و دوباره روی انگشتانمان گرم می شویم. لطفا دست خود را بالا ببرید و در جهات مختلف باز کنید انگشت شست، اشاره و وسط. این ها بردار خواهند بود، در جهت های مختلف نگاه می کنند، طول های متفاوتی دارند و زوایای متفاوتی بین خود دارند. تبریک می گوییم، اساس فضای سه بعدی آماده است! به هر حال، نیازی به نشان دادن این به معلمان نیست، هر چقدر هم که انگشتان خود را بچرخانید، اما از تعاریف فراری نیست =)

بعد، بیایید یک سوال مهم از خود بپرسیم: آیا هر سه بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند؟? لطفا سه انگشت خود را محکم روی میز کامپیوتر فشار دهید. چی شد؟ سه بردار در یک صفحه قرار دارند و تقریباً یکی از ابعاد - ارتفاع را از دست داده ایم. چنین بردارهایی هستند هم صفحهو کاملاً بدیهی است که اساس فضای سه بعدی ایجاد نشده است.

لازم به ذکر است که بردارهای همسطح مجبور نیستند در یک صفحه قرار بگیرند، آنها می توانند در صفحات موازی باشند (فقط این کار را با انگشتان خود انجام ندهید، فقط سالوادور دالی این کار را انجام داد =)).

تعریف: بردارها نامیده می شوند هم صفحه، اگر صفحه ای وجود داشته باشد که با آن موازی باشند. منطقی است که در اینجا اضافه کنیم که اگر چنین صفحه ای وجود نداشته باشد، بردارها همسطح نخواهند بود.

سه بردار همسطح همیشه به صورت خطی وابسته هستند، یعنی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. برای سادگی، اجازه دهید دوباره تصور کنیم که آنها در یک صفحه قرار دارند. اولا، بردارها نه تنها همسطح هستند، بلکه می توانند هم خط باشند، سپس هر بردار را می توان از طریق هر بردار بیان کرد. در حالت دوم، اگر برای مثال، بردارها هم خط نباشند، بردار سوم از طریق آنها به روشی منحصر به فرد بیان می شود: (و چرا به راحتی می توان از مطالب بخش قبل حدس زد).

عکس آن نیز صادق است: سه بردار غیرهمسطح همیشه به صورت خطی مستقل هستند، یعنی به هیچ وجه از طریق یکدیگر بیان نمی شوند. و بدیهی است که تنها چنین بردارهایی می توانند اساس فضای سه بعدی را تشکیل دهند.

تعریف: اساس فضای سه بعدیسه بردار مستقل خطی (غیر همسطح) نامیده می شود، به ترتیب خاصی گرفته شده استو هر بردار فضا تنها راهبر اساس یک مبنای معین تجزیه می شود، جایی که مختصات بردار در این پایه است

به شما یادآوری می کنم که می توانیم بگوییم که بردار به صورت نمایش داده می شود ترکیب خطیبردارهای پایه.

مفهوم یک سیستم مختصات دقیقاً به همان شکلی که برای حالت صفحه معرفی شده است؛ یک نقطه و هر سه بردار مستقل خطی کافی است:

اصل و نسب، و غیر همسطحبردارها، به ترتیب خاصی گرفته شده است، تنظیم سیستم مختصات وابسته فضای سه بعدی :

البته، شبکه مختصات "مورب" و ناخوشایند است، اما، با این وجود، سیستم مختصات ساخته شده به ما اجازه می دهد قطعامختصات هر بردار و مختصات هر نقطه در فضا را تعیین کنید. مانند یک هواپیما، برخی از فرمول هایی که قبلاً ذکر کردم در سیستم مختصات نزدیک فضا کار نمی کنند.

همانطور که همه حدس می زنند، آشناترین و راحت ترین مورد خاص یک سیستم مختصات افین است سیستم مختصات فضایی مستطیلی:

نقطه ای در فضا به نام اصل و نسب، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات فضایی مستطیلی دکارتی . عکس آشنا:

قبل از حرکت به سمت کارهای عملی، اجازه دهید دوباره اطلاعات را سیستماتیک کنیم:

برای سه بردار فضایی عبارات زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی مستقل هستند.
2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها همسطح نیستند.
4) بردارها را نمی توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
5) تعیین کننده، متشکل از مختصات این بردارها، با صفر متفاوت است.

به نظر من جملات مخالف قابل درک است.

وابستگی/استقلال خطی بردارهای فضا به طور سنتی با استفاده از یک تعیین کننده بررسی می شود (نقطه 5). کارهای عملی باقیمانده ماهیت جبری مشخصی خواهند داشت. وقت آن است که چوب هندسه را آویزان کنید و چوب بیسبال جبر خطی را به کار بگیرید:

سه بردار فضاهمسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد: .

من می خواهم توجه شما را به یک نکته ظریف فنی جلب کنم: مختصات بردارها را می توان نه تنها در ستون ها، بلکه در ردیف ها نیز نوشت (مقدار تعیین کننده به این دلیل تغییر نمی کند - ویژگی های تعیین کننده ها را ببینید). اما در ستون ها بسیار بهتر است، زیرا برای حل برخی از مشکلات عملی مفیدتر است.

برای آن دسته از خوانندگانی که روش های محاسبه عوامل تعیین کننده را کمی فراموش کرده اند، یا شاید اصلاً درک کمی از آنها دارند، یکی از قدیمی ترین درس های خود را توصیه می کنم: چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مثال 6

بررسی کنید که آیا بردارهای زیر اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند:

راه حل: در واقع کل راه حل به محاسبه دترمینان می رسد.

الف) بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم (تعیین کننده در خط اول نشان داده شده است):

، به این معنی که بردارها مستقل خطی هستند (همسطح نیستند) و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

پاسخ: این بردارها اساس را تشکیل می دهند

ب) این نقطه ای برای تصمیم گیری مستقل است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

همچنین وظایف خلاقانه وجود دارد:

مثال 7

در چه مقدار از پارامتر بردارها همسطح خواهند بود؟

راه حل: بردارها همسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر باشد:

در اصل، شما باید یک معادله را با یک تعیین کننده حل کنید. ما مانند بادبادک‌ها روی ژربواها روی صفرها می‌چرخیم - بهتر است تعیین‌کننده را در خط دوم باز کنیم و فوراً از شر معایب خلاص شویم:

ما ساده سازی های بیشتری انجام می دهیم و ماده را به ساده ترین معادله خطی کاهش می دهیم:

پاسخ: در

بررسی اینجا آسان است؛ برای انجام این کار، باید مقدار حاصل را با تعیین کننده اصلی جایگزین کنید و مطمئن شوید که ، دوباره آن را باز می کند.

در پایان، یک مسئله معمولی دیگر را در نظر خواهیم گرفت که بیشتر ماهیت جبری دارد و به طور سنتی در یک دوره جبر خطی گنجانده شده است. آنقدر رایج است که سزاوار موضوع خاص خود است:

ثابت کنید که 3 بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند
و مختصات بردار 4 را در این مبنا پیدا کنید

مثال 8

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها در فضای سه بعدی یک پایه تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

راه حل: ابتدا ، بیایید با این شرط مقابله کنیم. بر اساس شرط، چهار بردار داده شده است، و همانطور که می بینید، آنها قبلاً مختصاتی دارند. آنچه این پایه است مورد توجه ما نیست. و نکته زیر جالب است: سه بردار ممکن است پایه جدیدی را تشکیل دهند. و مرحله اول کاملاً با حل مثال 6 منطبق است؛ باید بررسی شود که آیا بردارها واقعاً مستقل هستند یا خیر:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:

یعنی بردارها به صورت خطی مستقل هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

! مهم : مختصات برداری لزومابنویس به ستون هاتعیین کننده ، نه در رشته ها. در غیر این صورت، در الگوریتم حل بعدی سردرگمی وجود خواهد داشت.

سیستم برداری نامیده می شود وابسته به خط، اگر اعدادی وجود داشته باشند که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت باشد، به طوری که برابری https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

اگر این برابری فقط در حالتی برآورده شود که همه، سیستم بردارها فراخوانی می شود مستقل خطی.

قضیه.سیستم برداری خواهد شد وابسته به خطاگر و فقط اگر حداقل یکی از بردارهای آن ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد.

مثال 1.چند جمله ای ترکیبی خطی از چند جمله ای ها است https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. چند جمله ای ها یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند، زیرا چند جمله ای https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

مثال 2.سیستم ماتریسی، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> خطی مستقل است، زیرا یک ترکیب خطی برابر است با ماتریس صفر فقط در مواردی که https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">، , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> به صورت خطی وابسته است.

راه حل.

بیایید یک ترکیب خطی از این بردارها ایجاد کنیم https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height=" 22">.

با معادل کردن مختصات یکسان بردارهای مساوی، https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> دریافت می کنیم.

بالاخره می رسیم

و

این سیستم یک راه حل بی اهمیت منحصر به فرد دارد، بنابراین ترکیب خطی این بردارها تنها در صورتی برابر است که همه ضرایب برابر با صفر باشند. بنابراین، این سیستم از بردارها به صورت خطی مستقل است.

مثال 4.بردارها به صورت خطی مستقل هستند. سیستم های برداری چگونه خواهند بود؟

آ).;

ب).?

راه حل.

آ).بیایید یک ترکیب خطی درست کنیم و آن را با صفر برابر کنیم

با استفاده از ویژگی های عملیات با بردارها در فضای خطی، آخرین برابری را به شکل بازنویسی می کنیم.

از آنجایی که بردارها به صورت خطی مستقل هستند، ضرایب در باید برابر با صفر باشد، یعنی gif" width="12" height="23 src=">

سیستم معادلات حاصل یک راه حل بی اهمیت منحصر به فرد دارد .

از برابری (*) فقط زمانی اجرا می شود که https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - مستقل خطی.

ب).بیایید برابری کنیم https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

با اعمال استدلال مشابه، به دست می آوریم

با حل سیستم معادلات به روش گاوس به دست می آوریم

یا

سیستم اخیر دارای بی نهایت راه حل است https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. بنابراین، یک غیر وجود دارد مجموعه صفر از ضرایبی که برابری برای آنها وجود دارد (**) . بنابراین، سیستم بردارها - وابسته خطی

مثال 5یک سیستم از بردارها به صورت خطی مستقل است و یک سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته است..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

نابرابری (***) . در واقع، در , سیستم به صورت خطی وابسته خواهد بود.

از رابطه (***) ما گرفتیم یا بیایید نشان دهیم .

ما گرفتیم

مسائل برای حل مستقل (در کلاس درس)

1. یک سیستم حاوی بردار صفر به صورت خطی وابسته است.

2. سیستم متشکل از یک بردار آ، به صورت خطی وابسته است اگر و فقط اگر، a=0.

3. سیستمی متشکل از دو بردار به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که بردارها متناسب باشند (یعنی یکی از آنها از دیگری با ضرب در یک عدد به دست می آید).

4. اگر یک بردار را به یک سیستم وابسته خطی اضافه کنید، یک سیستم وابسته خطی دریافت می کنید.

5. اگر یک بردار از یک سیستم مستقل خطی حذف شود، آنگاه سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است.

6. اگر سیستم اسبه صورت خطی مستقل است، اما با اضافه کردن یک بردار به صورت خطی وابسته می شود ب، سپس بردار ببه صورت خطی از طریق بردارهای سیستم بیان می شود اس.

ج).سیستم ماتریس ها، در فضای ماتریس های مرتبه دوم.

10. اجازه دهید سیستم بردارها آ،بجفضای برداری به صورت خطی مستقل است. استقلال خطی سیستم های برداری زیر را ثابت کنید:

آ).a+ب، ب، ج.

ب).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–شماره دلخواه

ج).a+b، a+c، b+c.

11. اجازه دهید آ،بج- سه بردار در صفحه ای که می توان از آنها یک مثلث تشکیل داد. آیا این بردارها به صورت خطی وابسته خواهند بود؟

12. دو بردار داده شده است a1=(1، 2، 3، 4)،a2=(0، 0، 0، 1). دو بردار چهار بعدی دیگر پیدا کنید a3 وa4به طوری که سیستم a1،a2،a3،a4مستقل خطی بود .

در این مقاله به موارد زیر خواهیم پرداخت:

• بردارهای خطی چیست؟
• شرایط همخطی بودن بردارها چیست؟
• چه ویژگی هایی از بردارهای خطی وجود دارد.
• وابستگی خطی بردارهای خطی چیست؟

بردارهای خطی بردارهایی هستند که موازی یک خط هستند یا روی یک خط قرار می گیرند.

مثال 1

شرایط همخطی بودن بردارها

اگر هر یک از شرایط زیر درست باشد دو بردار هم خط هستند:

• شرط 1 . اگر عدد λ وجود داشته باشد به طوری که a = λ b باشد، بردارهای a و b هم خط هستند.
• شرط 2 . بردارهای a و b با نسبتهای مختصات مساوی هستند:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ؛ b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• شرط 3 . بردارهای a و b هم خط هستند به شرطی که ضرب ضربدری و بردار صفر برابر باشند:

a ∥ b ⇔ a، b = 0

یادداشت 1

شرط 2 اگر یکی از مختصات برداری صفر باشد، قابل استفاده نیست.

تبصره 2

شرایط 3 فقط برای آن دسته از بردارهایی که در فضا مشخص شده اند اعمال می شود.

نمونه هایی از مسائل برای مطالعه هم خطی بردارها

ما بردارهای a = (1; 3) و b = (2; 1) را برای همخطی بودن بررسی می کنیم.

چگونه حل کنیم؟

در این حالت لازم است از شرط هم خطی 2 استفاده شود. برای بردارهای داده شده به این صورت است:

برابری نادرست است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که بردارهای a و b غیر خطی هستند.

پاسخ : a | | ب

مثال 2

چه مقدار m از بردار a = (1; 2) و b = (- 1; m) برای هم خطی بودن بردارها لازم است؟

چگونه حل کنیم؟

با استفاده از شرط همخطی دوم، بردارها در صورتی هم خط خواهند بود که مختصات آنها متناسب باشد:

این نشان می دهد که m = - 2.

پاسخ: m = - 2 .

معیارهای وابستگی خطی و استقلال خطی سیستم های برداری

سیستمی از بردارها در یک فضای برداری فقط در صورتی به صورت خطی وابسته است که بتوان یکی از بردارهای سیستم را بر حسب بردارهای باقیمانده این سیستم بیان کرد.

اثبات

اجازه دهید سیستم e 1 , e 2 , . . . ، e n به صورت خطی وابسته است. اجازه دهید یک ترکیب خطی از این سیستم برابر با بردار صفر بنویسیم:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

که در آن حداقل یکی از ضرایب ترکیبی برابر با صفر نباشد.

بگذارید a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . ، n.

هر دو طرف تساوی را بر یک ضریب غیر صفر تقسیم می کنیم:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (A k - 1 a n) e n = 0

بیایید نشان دهیم:

A k - 1 a m , که در آن m ∈ 1 , 2 , . . . ، k - 1 ، k + 1 ، n

در این مورد:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

یا e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

نتیجه این است که یکی از بردارهای سیستم از طریق تمام بردارهای دیگر سیستم بیان می شود. چیزی که نیاز به اثبات داشت (و غیره).

کفایت

بگذارید یکی از بردارها به صورت خطی از طریق تمام بردارهای دیگر سیستم بیان شود:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ما بردار E K را به سمت راست این برابری منتقل می کنیم:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

از آنجا که ضریب بردار E k برابر است با - 1 ≠ 0 ، ما یک نمایش غیر واقعی از صفر توسط یک سیستم بردارهای E 1 ، E 2 ، دریافت می کنیم. . . ، e n ، و این به نوبه خود به این معنی است که این سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است. چیزی که نیاز به اثبات داشت (و غیره).

نتیجه:

• سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است که هیچ یک از بردارهای آن از نظر همه بردارهای دیگر سیستم قابل بیان نیست.
• سیستم بردارهایی که حاوی یک بردار صفر یا دو بردار مساوی است ، به صورت خطی وابسته است.

ویژگی های بردارهای وابسته به خط

1. برای بردارهای 2- و 3 بعدی ، شرایط زیر رعایت می شود: دو بردار وابسته به خطی خطی هستند. دو بردار خطی به صورت خطی وابسته هستند.
2. برای بردارهای 3 بعدی ، شرط زیر رضایت دارد: سه بردار وابسته به خطی کوپلانار هستند. (3 بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند).
3. برای بردارهای N بعدی ، شرط زیر راضی است: بردارهای N + 1 همیشه به صورت خطی وابسته هستند.

نمونه هایی از حل مشکلات مربوط به وابستگی خطی یا استقلال خطی بردارها

بیایید بردارهای A = 3 ، 4 ، 5 ، B = - 3 ، 0 ، 5 ، C = 4 ، 4 ، 4 ، D = 3 ، 4 ، 0 را برای استقلال خطی بررسی کنیم.

راه حل. بردارها به صورت خطی وابسته هستند زیرا ابعاد بردارها کمتر از تعداد بردارها است.

مثال 4

بیایید بردارهای A = 1 ، 1 ، 1 ، B = 1 ، 2 ، 0 ، C = 0 ، - 1 ، 1 را برای استقلال خطی بررسی کنیم.

راه حل. مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم که در آن ترکیب خطی با بردار صفر برابر خواهد بود:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

معادله برداری را به صورت خطی می نویسیم:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ما این سیستم را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

از خط 2 ما 1 را از 3 - 1 - 1 - جمع می کنیم:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

از خط 1، 2 را کم می کنیم، به خط 3، 2 را اضافه می کنیم:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

از راه حل نتیجه می شود که سیستم راه حل های زیادی دارد. این بدان معنی است که ترکیبی غیر صفر از مقادیر چنین اعداد x 1، x 2، x 3 وجود دارد که ترکیب خطی a، b، c برابر با بردار صفر است. بنابراین، بردارهای a، b، c هستند وابسته به خط ​​​​​​​

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اجازه دهید Lیک فضای خطی دلخواه است ، a من Î L،- عناصر آن (بردارها).

تعریف 3.3.1.اصطلاح ، جایی که ، - اعداد حقیقی دلخواه که ترکیب خطی نامیده می شوند بردارها a 1، a 2،…، a n.

اگر بردار آر = ، سپس آنها می گویند آر به بردارها تجزیه می شود a 1، a 2،…، a n.

تعریف 3.3.2.ترکیبی خطی از بردارها نامیده می شود غیر پیش پا افتاده، اگر در بین اعداد حداقل یک غیر صفر وجود داشته باشد. در غیر این صورت ، ترکیب خطی نامیده می شود ناچیز.

تعریف 3.3.3 . بردارهای 1 ، 2 ، ... ، الف nدر صورتی که ترکیب خطی غیر اساسی از آنها وجود داشته باشد، وابسته خطی نامیده می شوند

= 0 .

تعریف 3.3.4. بردارهای a 1 , a 2 ,…, a nدر صورت برابری به صورت خطی مستقل خوانده می شوند = 0 تنها در صورتی امکان پذیر است که تمام اعداد ل 1, ل 2,…, لوگاریتمهمزمان برابر با صفر هستند.

توجه داشته باشید که هر عنصر غیر صفر a 1 را می توان به عنوان یک سیستم مستقل خطی در نظر گرفت، زیرا برابر است ل a 1 = 0 تنها در صورتی امکان پذیر است ل= 0.

قضیه 3.3.1.شرط لازم و کافی برای وابستگی خطی a 1 , a 2 ,…, a nامکان تجزیه حداقل یکی از این عناصر به بقیه است.

اثبات ضرورت. بگذارید عناصر 1 ، یک 2 ، ... ، الف nوابسته به خط این به آن معنا است = 0 ، و حداقل یکی از اعداد ل 1, ل 2,…, لوگاریتممتفاوت از صفر برای قطعیت بگذارید ل 1 ¹ 0. سپس

یعنی عنصر a 1 به عناصر a 2 , a 3 , …, a تجزیه می شود n.

کفایت. اجازه دهید عنصر a 1 به عناصر a 2 , a 3 , …, a تجزیه شود n، یعنی 1 = . سپس = 0 بنابراین، یک ترکیب خطی غیر ضروری از بردارهای a 1، a 2،…، a وجود دارد. n، برابر 0 ، بنابراین آنها به صورت خطی وابسته هستند .

قضیه 3.3.2. اگر حداقل یکی از عناصر a 1 , a 2 ,…, a nصفر ، سپس این بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات . اجازه دهید آ n= 0 ، سپس = 0 که به معنای وابستگی خطی این عناصر است.

قضیه 3.3.3. اگر در بین بردارهای n هر p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

اثبات اجازه دهید، برای قطعیت، عناصر a 1، a 2،…، a پوابسته به خط این بدان معنی است که یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده وجود دارد به طوری که = 0 . اگر عنصر را به هر دو قسمت آن اضافه کنیم، برابری مشخص شده حفظ خواهد شد. سپس + = 0 ، و حداقل یکی از اعداد ل 1, ل 2,…, lpمتفاوت از صفر بنابراین ، بردارهای 1 ، 2 ، ... ، الف nبه صورت خطی وابسته هستند.

نتیجه 3.3.1.اگر n عنصر مستقل خطی باشند، هر k از آنها مستقل خطی هستند (k< n).

قضیه 3.3.4. اگر بردارها a 1، a 2،…، a n- 1 به صورت خطی مستقل هستند و عناصر a 1، a 2،…، a n- 1، الف n به صورت خطی وابسته هستند، سپس بردارآ n را می توان به بردارها گسترش داد a 1، a 2،…، a n- 1 .

اثباتاز آنجایی که با شرط a 1، a 2 ،…، آ n- 1، الف n به صورت خطی وابسته هستند، سپس یک ترکیب خطی غیر ضروری از آنها وجود دارد = 0 ، و (در غیر این صورت، بردارهای a 1، a 2،…، a به صورت خطی وابسته هستند n- 1). اما پس از آن بردار

Q.E.D.

به عبارت دیگر، وابستگی خطی گروهی از بردارها به این معنی است که در میان آنها بردار وجود دارد که با ترکیب خطی از بردارهای دیگر این گروه قابل نمایش است.

بیایید بگوییم. سپس

بنابراین بردار ایکسبه طور خطی به بردارهای این گروه وابسته است.

بردارها ایکس, y, ..., zخطی نامیده می شوند بردارهای مستقل، اگر از تساوی (0) برآید که

α=β= ...= γ=0.

یعنی گروهی از بردارها به صورت خطی مستقل هستند اگر هیچ بردار را نتوان با ترکیب خطی از بردارهای دیگر این گروه نشان داد.

تعیین وابستگی خطی بردارها

فرض کنید m بردارهای رشته ای از مرتبه n داده شوند:

پس از ایجاد یک استثنای گاوسی، ماتریس (2) را به شکل مثلث بالایی کاهش می دهیم. عناصر آخرین ستون تنها زمانی تغییر می‌کنند که ردیف‌ها مرتب شوند. پس از مراحل حذف m دریافت می کنیم:

جایی که من 1 , من 2 , ..., من m - شاخص های ردیف به دست آمده از جایگشت احتمالی ردیف ها. با در نظر گرفتن ردیف های به دست آمده از شاخص های ردیف، آن هایی را که با بردار ردیف صفر مطابقت دارند حذف می کنیم. خطوط باقیمانده بردارهای مستقل خطی را تشکیل می دهند. توجه داشته باشید که هنگام نوشتن ماتریس (2)، با تغییر دنباله بردارهای ردیف، می توانید گروه دیگری از بردارهای مستقل خطی را بدست آورید. اما فضای فرعی که هر دو گروه از بردارها تشکیل می دهند منطبق است.