ثابت کنید که بردارها مستقل خطی هستند. وابستگی خطی و استقلال خطی یک سیستم از بردارها

اجازه دهید L - فضای خطی روی زمین آر . اجازه دهید A1, a2,…, an (*) سیستم محدود بردارها از L . بردار که در = a1× A1 + a2× A2 + … + an× یک (16) نامیده می شود ترکیب خطی بردارها ( *), یا می گویند بردار است که در به صورت خطی از طریق سیستمی از بردارها (*) بیان می شود.

تعریف 14. سیستم بردارها (*) نامیده می شود وابسته به خط ، اگر و فقط اگر مجموعه ای غیر صفر از ضرایب a1، a2، … وجود داشته باشد، به طوری که a1× A1 + a2× A2 + … + an× یک = 0. اگر a1× A1 + a2× A2 + … + an× یک = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0، سپس سیستم (*) فراخوانی می شود مستقل خطی

ویژگی های وابستگی و استقلال خطی.

10. اگر سیستمی از بردارها دارای بردار صفر باشد، آنگاه به صورت خطی وابسته است.

در واقع، اگر در سیستم (*) بردار A1 = 0، یعنی 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. اگر سیستمی از بردارها دارای دو بردار متناسب باشد، به صورت خطی وابسته است.

اجازه دهید A1 = L×a2. سپس 1× A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× آ N= 0.

30. یک سیستم محدود از بردارها (*) برای n ³ 2 به صورت خطی وابسته است اگر و فقط اگر حداقل یکی از بردارهای آن ترکیبی خطی از بردارهای باقیمانده این سیستم باشد.

Þ فرض کنید (*) به صورت خطی وابسته باشد. سپس مجموعه ای غیر صفر از ضرایب a1، a2، …، an وجود دارد که برای آنها a1× A1 + a2× A2 + … + an× یک = 0 . بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که a1 ¹ 0. پس وجود دارد A1 = ×a2× A2 + … + ×an× آ N. بنابراین، بردار A1 ترکیبی خطی از بردارهای باقی مانده است.

Ü بگذارید یکی از بردارها (*) ترکیبی خطی از بقیه باشد. می توانیم فرض کنیم که این اولین بردار است، i.e. A1 = B2 A2+ … + bn آ N، بنابراین (-1)× A1 + b2 A2+ … + bn آ N= 0 ، یعنی (*) به صورت خطی وابسته است.

اظهار نظر. با استفاده از آخرین ویژگی، می توانیم وابستگی و استقلال خطی یک سیستم نامتناهی از بردارها را تعریف کنیم.

تعریف 15. سیستم برداری A1, a2,…, an ، … (**) نامیده میشود وابسته به خط، اگر حداقل یکی از بردارهای آن ترکیبی خطی از تعداد محدودی از بردارهای دیگر باشد. در غیر این صورت سیستم (**) فراخوانی می شود مستقل خطی

40. یک سیستم محدود از بردارها به صورت خطی مستقل است اگر و تنها در صورتی که هیچ یک از بردارهای آن را نتوان به صورت خطی بر حسب بردارهای باقیمانده آن بیان کرد.

50. اگر سیستمی از بردارها مستقل خطی باشد، هر یک از زیرسیستم های آن نیز مستقل خطی است.

60. اگر برخی از سیستم های فرعی از یک سیستم معین از بردارها به صورت خطی وابسته باشد، کل سیستم نیز به صورت خطی وابسته است.

اجازه دهید دو سیستم از بردارها داده شود A1, a2,…, an ، … (16) و B1، B2، …، Вs، … (17). اگر هر بردار سیستم (16) را بتوان به صورت ترکیبی خطی از تعداد محدودی از بردارهای سیستم (17) نشان داد، سیستم (17) به صورت خطی از طریق سیستم (16) بیان می شود.

تعریف 16. دو سیستم برداری نامیده می شوند معادل ، اگر هر یک از آنها به صورت خطی از طریق دیگری بیان شود.

قضیه 9 (قضیه وابستگی خطی پایه).

بگذار باشد - دو سیستم محدود بردار از L . اگر سیستم اول به صورت خطی مستقل و خطی از طریق سیستم دوم بیان شود، پس نپوند

اثباتبیایید وانمود کنیم که ن> اس.با توجه به شرایط قضیه

مفصل از آنجایی که تعداد معادلات از تعداد مجهولات بیشتر است، این سیستم بی نهایت راه حل دارد. بنابراین یک غیر صفر دارد X10، x20، …، xN0. برای این مقادیر، برابری (18) صادق خواهد بود، که با این واقعیت که سیستم بردارها به طور خطی مستقل است، در تضاد است. پس فرض ما اشتباه است. از این رو، نپوند

نتیجه.اگر دو سیستم معادل از بردارها متناهی و مستقل خطی باشند، آنگاه تعداد بردارهای یکسانی دارند.

تعریف 17. سیستم برداری نامیده می شود حداکثر سیستم خطی مستقل از بردارها فضای خطی L ، اگر به صورت خطی مستقل باشد، اما هنگام اضافه کردن هر بردار از L ، در این سیستم گنجانده نشده است، به صورت خطی وابسته می شود.

قضیه 10. هر دو سیستم محدود حداکثر خطی مستقل از بردارها از L شامل همان تعداد بردار است.

اثباتاز این واقعیت ناشی می شود که هر دو حداکثر سیستم خطی مستقل از بردارها معادل هستند .

اثبات اینکه هر سیستم خطی مستقل از بردارهای فضایی آسان است L را می توان به حداکثر سیستم مستقل خطی از بردارها در این فضا گسترش داد.

مثال ها:

1. در مجموعه تمام بردارهای هندسی خطی، هر سیستمی که از یک بردار غیرصفر تشکیل شده باشد، حداکثر به صورت خطی مستقل است.

2. در مجموعه تمام بردارهای هندسی همسطح، هر دو بردار غیر خطی، حداکثر سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند.

3. در مجموعه تمام بردارهای هندسی ممکن فضای اقلیدسی سه بعدی، هر سیستمی از سه بردار غیرهمسطح حداکثر به صورت خطی مستقل است.

4. در مجموعه همه چند جمله ای ها، درجات بالاتر از نبا ضرایب واقعی (مختلط)، سیستمی از چندجمله ای ها 1، x، x2، …، xnحداکثر به صورت خطی مستقل است.

5. در مجموعه همه چند جمله ای ها با ضرایب واقعی (مختلط)، نمونه هایی از حداکثر سیستم مستقل خطی هستند.

آ) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

ب) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)ن،...

6. مجموعه ای از ماتریس های ابعاد م´ نیک فضای خطی است (این را بررسی کنید). نمونه ای از حداکثر سیستم مستقل خطی در این فضا، سیستم ماتریسی است E11= , E12 =، …، Eمنگنز = .

اجازه دهید سیستمی از بردارها داده شود C1، c2، …، ر.ک (*). زیر سیستم بردارهای (*) نامیده می شود حداکثر مستقل خطی زیر سیستمسیستم های ( *) ، اگر به صورت خطی مستقل باشد، اما هنگام اضافه کردن هر بردار دیگری از این سیستم به آن، به صورت خطی وابسته می شود. اگر سیستم (*) محدود باشد، هر یک از حداکثر زیرسیستم های مستقل خطی آن دارای همان تعداد بردار است. (خودت ثابت کن). تعداد بردارها در حداکثر زیرسیستم مستقل خطی سیستم (*) نامیده می شود رتبه این سیستم بدیهی است که سیستم های معادل بردارها دارای رتبه های یکسانی هستند.

تعریف. ترکیب خطی بردارها a 1، ...، a n با ضرایب x 1، ...، x n بردار نامیده می شود.

x 1 a 1 + ... + x n a n .

ناچیز، اگر همه ضرایب x 1 , ..., x n برابر با صفر باشند.

تعریف. ترکیب خطی x 1 a 1 + ... + x n a n نامیده می شود غیر پیش پا افتاده، اگر حداقل یکی از ضرایب x 1, ..., x n برابر با صفر نباشد.

مستقل خطی، در صورتی که ترکیبی از این بردارها برابر با بردار صفر نباشد.

یعنی بردارهای a 1، ...، a n به صورت خطی مستقل هستند اگر x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 اگر و فقط اگر x 1 = 0، ...، x n = 0 باشد.

تعریف. بردارهای a 1، ...، a n نامیده می شوند وابسته به خط، اگر ترکیبی غیر پیش پا افتاده از این بردارها برابر با بردار صفر باشد.

ویژگی های بردارهای وابسته به خط:

برای بردارهای 2 و 3 بعدی.

دو بردار وابسته خطی هم خط هستند. (بردارهای خطی به صورت خطی وابسته هستند.)

برای بردارهای 3 بعدی.

سه بردار وابسته خطی همسطح هستند. (سه بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند.)

• برای بردارهای n بعدی.

  بردارهای n + 1 همیشه به صورت خطی وابسته هستند.

نمونه هایی از مسائل مربوط به وابستگی خطی و استقلال خطی بردارها:

مثال 1. بررسی کنید که آیا بردارهای a = (3؛ 4؛ 5)، b = (3-؛ 0؛ 5)، c = (4؛ 4؛ 4)، d = (3؛ 4؛ 0) به صورت خطی مستقل هستند یا خیر. .

راه حل:

بردارها به صورت خطی وابسته خواهند بود، زیرا ابعاد بردارها کمتر از تعداد بردارها است.

مثال 2. بررسی کنید که آیا بردارهای a = (1; 1; 1)، b = (1; 2; 0)، c = (0; -1; 1) به صورت خطی مستقل هستند یا خیر.

راه حل:

دومی را از خط اول کم کنید؛ یک خط دوم به خط سوم اضافه کنید:

این راه حل نشان می دهد که سیستم راه حل های زیادی دارد، یعنی ترکیبی غیر صفر از مقادیر اعداد x 1، x 2، x 3 وجود دارد به طوری که ترکیب خطی بردارهای a، b، c برابر است. بردار صفر، به عنوان مثال:

A+b+c=0

و این بدان معنی است که بردارهای a، b، c به صورت خطی وابسته هستند.

پاسخ:بردارهای a، b، c به صورت خطی وابسته هستند.

مثال 3. بررسی کنید که آیا بردارهای a = (1؛ 1؛ 1)، b = (1؛ 2؛ 0)، c = (0؛ -1؛ 2) به صورت خطی مستقل هستند یا خیر.

راه حل:اجازه دهید مقادیر ضرایبی را پیدا کنیم که در آنها ترکیب خطی این بردارها برابر با بردار صفر خواهد بود.

این معادله برداری را می توان به صورت سیستمی از معادلات خطی نوشت

بیایید این سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنیم

خط اول را از خط دوم کم کنید؛ خط اول را از خط سوم کم کنید:

دومی را از خط اول کم کنید؛ یک دوم به خط سوم اضافه کنید.

به عبارت دیگر، وابستگی خطی گروهی از بردارها به این معنی است که در میان آنها بردار وجود دارد که می توان آن را با ترکیب خطی بردارهای دیگر این گروه نشان داد.

بیایید بگوییم. سپس

بنابراین بردار ایکسبه طور خطی به بردارهای این گروه وابسته است.

بردارها ایکس, y, ..., zخطی نامیده می شوند بردارهای مستقل، اگر از برابری (0) برآید که

α=β= ...= γ=0.

یعنی گروهی از بردارها به صورت خطی مستقل هستند اگر هیچ بردار را نتوان با ترکیب خطی از بردارهای دیگر این گروه نشان داد.

تعیین وابستگی خطی بردارها

فرض کنید m بردارهای رشته ای از مرتبه n داده شوند:

پس از ایجاد یک استثنای گاوسی، ماتریس (2) را به شکل مثلث بالایی کاهش می دهیم. عناصر آخرین ستون تنها زمانی تغییر می‌کنند که ردیف‌ها مرتب شوند. پس از مراحل حذف m دریافت می کنیم:

جایی که من 1 , من 2 , ..., من m - شاخص های ردیف به دست آمده از بازآرایی ردیف احتمالی. با در نظر گرفتن ردیف های به دست آمده از شاخص های ردیف، آن هایی را که با بردار ردیف صفر مطابقت دارند حذف می کنیم. خطوط باقیمانده بردارهای مستقل خطی را تشکیل می دهند. توجه داشته باشید که هنگام نوشتن ماتریس (2)، با تغییر دنباله بردارهای ردیف، می توانید گروه دیگری از بردارهای مستقل خطی را بدست آورید. اما فضای فرعی که هر دو گروه از بردارها تشکیل می دهند منطبق است.

توسط ما معرفی شد عملیات خطی روی بردارهاایجاد عبارات مختلف برای کمیت های برداریو آنها را با استفاده از ویژگی های تنظیم شده برای این عملیات تبدیل کنید.

بر اساس مجموعه ای از بردارهای a 1، ...، a n، می توانید یک عبارت از شکل ایجاد کنید.

که در آن 1، ...، و n اعداد واقعی دلخواه هستند. این عبارت نامیده می شود ترکیب خطی بردارها a 1، ...، a n. اعداد α i، i = 1، n نشان دهنده هستند ضرایب ترکیب خطی. مجموعه ای از بردارها نیز نامیده می شود سیستم بردارها.

در ارتباط با مفهوم معرفی شده از ترکیب خطی بردارها، مشکل توصیف مجموعه ای از بردارها مطرح می شود که می توان آنها را به صورت ترکیب خطی یک سیستم معین از بردارهای a 1, ..., a n نوشت. علاوه بر این، سؤالات طبیعی در مورد شرایطی وجود دارد که در آن یک بردار در قالب یک ترکیب خطی نمایش داده می شود، و در مورد منحصر به فرد بودن چنین نمایشی.

تعریف 2.1.بردارهای a 1 و ... و n نامیده می شوند وابسته به خط، اگر مجموعه ای از ضرایب α 1 , ... , α n وجود داشته باشد به طوری که

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

و حداقل یکی از این ضرایب غیر صفر است. اگر مجموعه ضرایب مشخص شده وجود نداشته باشد، بردارها فراخوانی می شوند مستقل خطی.

اگر α 1 = ... = α n = 0، پس بدیهی است α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. با در نظر گرفتن این موضوع، می توانیم بگوییم: بردارهای a 1، ...، و اگر از برابری (2.2) نتیجه بگیرد که تمام ضرایب α 1 , ... , α n برابر با صفر هستند n خطی مستقل هستند.

قضیه زیر توضیح می دهد که چرا مفهوم جدید اصطلاح "وابستگی" (یا "استقلال") نامیده می شود، و یک معیار ساده برای وابستگی خطی ارائه می دهد.

قضیه 2.1.برای اینکه بردارهای a 1، ...، و n، n > 1 به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که یکی از آنها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

◄ ضرورت. فرض کنید بردارهای a 1، ...، و n به صورت خطی وابسته هستند. طبق تعریف 2.1 وابستگی خطی، در برابری (2.2) در سمت چپ حداقل یک ضریب غیر صفر وجود دارد، برای مثال α 1. با ترک عبارت اول در سمت چپ برابری، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم و علائم آنها را مطابق معمول تغییر می دهیم. با تقسیم تساوی حاصل بر α 1، به دست می آید

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

آن ها نمایش بردار a 1 به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای باقی مانده a 2, ..., a n.

کفایت. به عنوان مثال، اجازه دهید اولین بردار a 1 را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارهای باقی مانده نشان داد: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. با انتقال تمام عبارت ها از سمت راست به چپ، یک 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 به دست می آوریم، یعنی. ترکیبی خطی از بردارهای a 1، ...، a n با ضرایب α 1 = 1، α 2 = - β 2، ...، α n = - β n، برابر بردار صفردر این ترکیب خطی، همه ضرایب صفر نیستند. طبق تعریف 2.1، بردارهای a 1، ...، و n به صورت خطی وابسته هستند.

تعریف و معیار وابستگی خطی برای دلالت بر وجود دو یا چند بردار فرموله شده است. با این حال، می توانیم در مورد وابستگی خطی یک بردار نیز صحبت کنیم. برای تحقق این امکان، به جای «بردارها به صورت خطی وابسته هستند»، باید بگویید «سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است». به راحتی می توان فهمید که عبارت "یک سیستم یک بردار به صورت خطی وابسته است" به این معنی است که این بردار واحد صفر است (در یک ترکیب خطی فقط یک ضریب وجود دارد و نباید برابر با صفر باشد).

مفهوم وابستگی خطی تفسیر هندسی ساده ای دارد. سه عبارت زیر این تفسیر را روشن می کند.

قضیه 2.2.دو بردار به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر آنها باشند خطی

◄ اگر بردارهای a و b به صورت خطی وابسته باشند، یکی از آنها، برای مثال a، از طریق دیگری بیان می شود، یعنی. a = λb برای تعدادی از عدد واقعی λ. طبق تعریف 1.7 آثاربردارها در هر عدد، بردارهای a و b هم خطی هستند.

حالا بگذارید بردارهای a و b هم خط باشند. اگر هر دو صفر باشند، واضح است که به صورت خطی وابسته هستند، زیرا هر ترکیب خطی از آنها برابر با بردار صفر است. بگذارید یکی از این بردارها برابر با 0 نباشد، برای مثال بردار b. اجازه دهید نسبت طول بردارها را با λ نشان دهیم: λ = |a|/|b|. بردارهای خطی می توانند باشند یک طرفهیا خلاف جهت گیری شده است. در حالت دوم، علامت λ را تغییر می دهیم. سپس، با بررسی تعریف 1.7، متقاعد شدیم که a = λb. طبق قضیه 2.1، بردارهای a و b به صورت خطی وابسته هستند.

نکته 2.1.در مورد دو بردار، با در نظر گرفتن معیار وابستگی خطی، قضیه اثبات شده را می توان به صورت زیر فرموله کرد: دو بردار هم خط هستند اگر و فقط در صورتی که یکی از آنها به عنوان حاصلضرب دیگری با عددی نمایش داده شود. این یک معیار مناسب برای همخطی بودن دو بردار است.

قضیه 2.3.سه بردار به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر آنها باشند هم صفحه.

◄ اگر سه بردار a، b، c به صورت خطی وابسته باشند، طبق قضیه 2.1، یکی از آنها، برای مثال a، ترکیبی خطی از بقیه است: a = βb + γc. اجازه دهید مبدا بردارهای b و c را در نقطه A ترکیب کنیم. سپس بردارهای βb، γσ در نقطه A و در امتداد منشا مشترک خواهند داشت. بر اساس قانون متوازی الاضلاع، مجموع آنها برابر استآن ها بردار a یک بردار با مبدا A و خواهد بود پایان، که راس متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای جزء است. بنابراین، همه بردارها در یک صفحه قرار دارند، یعنی همسطح.

فرض کنید بردارهای a، b، c همسطح باشند. اگر یکی از این بردارها صفر باشد، واضح است که ترکیبی خطی از بقیه خواهد بود. کافی است تمام ضرایب یک ترکیب خطی را برابر با صفر بگیرید. بنابراین، می توان فرض کرد که هر سه بردار صفر نیستند. سازگار آغاز شدهاز این بردارها در نقطه مشترک O. بگذارید انتهای آنها به ترتیب نقاط A، B، C باشد (شکل 2.1). از طریق نقطه C خطوطی موازی با خطوطی ترسیم می کنیم که از جفت نقاط O، A و O، B می گذرند. با تعیین نقاط تقاطع A" و B، متوازی الاضلاع OA"CB" به دست می آوریم، بنابراین، OC" = OA" + OB". بردار OA" و بردار غیر صفر a = OA خطی هستند، و بنابراین اولین آنها را می توان با ضرب دومی در یک عدد واقعی α:OA" = αOA به دست آورد. به طور مشابه، OB" = βOB، β ∈ R. در نتیجه، به دست می آوریم که OC" = α OA. + βOB، یعنی بردار c ترکیبی خطی از بردارهای a و b است. طبق قضیه 2.1، بردارهای a، b، c به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 2.4.هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند.

◄ ما اثبات را طبق طرحی مشابه در قضیه 2.3 انجام می دهیم. چهار بردار دلخواه a، b، c و d را در نظر بگیرید. اگر یکی از چهار بردار صفر باشد یا در بین آنها دو بردار خطی وجود داشته باشد یا سه بردار از چهار بردار همسطح باشند، این چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند. به عنوان مثال، اگر بردارهای a و b هم خط باشند، می‌توانیم ترکیب خطی آنها αa + βb = 0 را با ضرایب غیرصفر ایجاد کنیم و سپس دو بردار باقی‌مانده را به این ترکیب اضافه کنیم و صفر را به عنوان ضرایب در نظر بگیریم. ما یک ترکیب خطی از چهار بردار برابر با 0 بدست می آوریم که در آن ضرایب غیر صفر وجود دارد.

بنابراین، می توانیم فرض کنیم که از بین چهار بردار انتخاب شده، هیچ بردار صفر، هیچ دو بردار خطی و هیچ سه بردار همسطح نیستند. اجازه دهید نقطه O را به عنوان شروع مشترک آنها انتخاب کنیم سپس انتهای بردارهای a، b، c، d چند نقطه A، B، C، D خواهد بود (شکل 2.2). از طریق نقطه D سه صفحه موازی با صفحات OBC، OCA، OAB ترسیم می کنیم و اجازه دهید A، B، C، نقاط تلاقی این صفحات به ترتیب با خطوط مستقیم OA، OB، OS باشد. متوازی الاضلاع OA" C "B" C" B"DA"، و بردارهای a، b، c روی لبه های آن قرار دارند که از راس O بیرون می آیند. از آنجایی که چهار ضلعی OC"DC" متوازی الاضلاع است، پس OD = OC" + OC "به نوبه خود، بخش OC" یک موازی است OA"C"B، بنابراین OC" = OA" + OB" و OD = OA" + OB" + OC".

لازم به ذکر است که جفت بردارهای OA ≠ 0 و OA" ، OB ≠ 0 و OB" ، OC ≠ 0 و OC" هم خط هستند و بنابراین، می توان ضرایب α، β، γ را انتخاب کرد تا OA" = αOA، OB" = βOB و OC" = γOC. در نهایت OD = αOA + βOB + γOC را دریافت می کنیم. در نتیجه، بردار OD از طریق سه بردار دیگر بیان می شود و طبق قضیه 2.1، هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند.

آ 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, آ 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, آ 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

راه حل.ما به دنبال یک راه حل کلی برای سیستم معادلات هستیم

آ 1 ایکس 1 + آ 2 ایکس 2 + آ 3 ایکس 3 = Θ

روش گاوس برای انجام این کار، این سیستم همگن را به صورت مختصات می نویسیم:

ماتریس سیستم

سیستم مجاز به شکل زیر است: (r A = 2, n= 3). سیستم همکاری و نامطمئن است. راه حل کلی آن ( ایکس 2 – متغیر آزاد): ایکس 3 = 13ایکس 2 ; 3ایکس 1 – 2ایکس 2 – 13ایکس 2 = 0 => ایکس 1 = 5ایکس 2 => ایکس o = . وجود یک راه حل خاص غیر صفر، برای مثال، نشان می دهد که بردارها آ 1 , آ 2 , آ 3 وابسته به خط

مثال 2.

دریابید که آیا یک سیستم معین از بردارها به طور خطی وابسته است یا مستقل خطی:

1. آ 1 = { -20, -15, - 4 }, آ 2 = { –7, -2, -4 }, آ 3 = { 3, –1, –2 }.

راه حل.یک سیستم معادلات همگن را در نظر بگیرید آ 1 ایکس 1 + آ 2 ایکس 2 + آ 3 ایکس 3 = Θ

یا به صورت گسترش یافته (بر اساس مختصات)

سیستم همگن است. اگر غیر منحط باشد، پس راه حل منحصر به فردی دارد. در مورد یک سیستم همگن، یک راه حل صفر (بی اهمیت) وجود دارد. این بدان معناست که در این حالت سیستم بردارها مستقل است. اگر سیستم منحط است، پس راه حل های غیر صفر دارد و بنابراین، وابسته است.

ما سیستم را برای انحطاط بررسی می کنیم:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

سیستم غیر منحط است و بنابراین، بردارها آ 1 , آ 2 , آ 3 مستقل خطی

وظایفدریابید که آیا یک سیستم معین از بردارها به طور خطی وابسته است یا مستقل خطی:

1. آ 1 = { -4, 2, 8 }, آ 2 = { 14, -7, -28 }.

2. آ 1 = { 2, -1, 3, 5 }, آ 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. آ 1 = { -7, 5, 19 }, آ 2 = { -5, 7 , -7 }, آ 3 = { -8, 7, 14 }.

4. آ 1 = { 1, 2, -2 }, آ 2 = { 0, -1, 4 }, آ 3 = { 2, -3, 3 }.

5. آ 1 = { 1, 8 , -1 }, آ 2 = { -2, 3, 3 }, آ 3 = { 4, -11, 9 }.

6. آ 1 = { 1, 2 , 3 }, آ 2 = { 2, -1 , 1 }, آ 3 = { 1, 3, 4 }.

7. آ 1 = {0, 1, 1 , 0}, آ 2 = {1, 1 , 3, 1}, آ 3 = {1, 3, 5, 1}, آ 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. آ 1 = {-1, 7, 1 , -2}, آ 2 = {2, 3 , 2, 1}, آ 3 = {4, 4, 4, -3}, آ 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. ثابت کنید که سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته خواهد بود اگر حاوی:

الف) دو بردار مساوی؛

ب) دو بردار متناسب.