نمونه هایی از چگونگی پیدا کردن احتمال یک رویداد تعریف کلاسیک و آماری احتمال

در اقتصاد، مانند سایر حوزه‌های فعالیت انسانی یا در طبیعت، ما دائماً باید با رویدادهایی سر و کار داشته باشیم که نمی‌توان آن‌ها را به درستی پیش‌بینی کرد. بنابراین، حجم فروش یک محصول به تقاضا بستگی دارد که می تواند به طور قابل توجهی متفاوت باشد، و به تعدادی از عوامل دیگر که در نظر گرفتن آنها تقریبا غیرممکن است. بنابراین، هنگام سازماندهی تولید و انجام فروش، باید نتیجه چنین فعالیت هایی را بر اساس تجربه قبلی خود یا تجربه مشابه سایر افراد یا شهود پیش بینی کنید که تا حد زیادی نیز بر داده های تجربی متکی است.

برای ارزیابی رویداد مورد نظر به نحوی باید شرایط ثبت این رویداد را در نظر گرفت یا به طور ویژه سازماندهی کرد.

اجرای شرایط یا اقدامات خاصی برای شناسایی رویداد مورد نظر نامیده می شود تجربهیا آزمایش.

رویداد نامیده می شود تصادفی، اگر در نتیجه تجربه ممکن است رخ دهد یا نباشد.

رویداد نامیده می شود قابل اعتماد، اگر لزوماً در نتیجه یک تجربه معین ظاهر شود و غیر ممکن، اگر نتواند در این تجربه ظاهر شود.

به عنوان مثال، بارش برف در مسکو در 30 نوامبر یک رویداد تصادفی است. طلوع روزانه خورشید را می توان یک رویداد قابل اعتماد در نظر گرفت. بارش برف در خط استوا را می توان یک رویداد غیرممکن در نظر گرفت.

یکی از وظایف اصلی در نظریه احتمال، تعیین یک معیار کمی از امکان وقوع یک رویداد است.

جبر حوادث

رویدادها در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که نتوان آنها را با هم در یک تجربه مشاهده کرد. بنابراین حضور دو و سه خودرو در یک فروشگاه برای فروش همزمان دو اتفاق ناسازگار است.

میزانرویدادها رویدادی است متشکل از وقوع حداقل یکی از این رویدادها

نمونه ای از مجموع رویدادها وجود حداقل یکی از دو محصول در فروشگاه است.

کاررویدادها رویدادی است که از وقوع همزمان همه این رویدادها تشکیل شده است

رویدادی متشکل از ظاهر شدن دو کالا در یک فروشگاه به طور همزمان محصول رویدادها است: - ظاهر یک کالا، - ظاهر یک محصول دیگر.

رویدادها گروه کاملی از رویدادها را تشکیل می دهند اگر حداقل یکی از آنها در تجربه رخ دهد.

مثال.این بندر دارای دو اسکله برای پذیرش کشتی ها می باشد. سه رویداد را می توان در نظر گرفت: - عدم حضور کشتی در اسکله، - حضور یک کشتی در یکی از اسکله ها، - حضور دو کشتی در دو اسکله. این سه رویداد یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

در مقابلدو رویداد ممکن منحصر به فرد که یک گروه کامل را تشکیل می دهند نامیده می شوند.

اگر یکی از رویدادهایی که مخالف است با نشان داده شود، معمولاً رویداد مخالف را با نشان می دهند.

تعاریف کلاسیک و آماری احتمال رویداد

هر یک از نتایج به همان اندازه ممکن از آزمون ها (آزمایش ها) یک نتیجه ابتدایی نامیده می شود. آنها معمولاً با حروف مشخص می شوند. مثلا یک قالب پرتاب می شود. بر اساس تعداد امتیازات طرفین، در مجموع می توان شش نتیجه ابتدایی داشت.

از نتایج ابتدایی می توانید رویداد پیچیده تری ایجاد کنید. بنابراین، رویداد تعداد نقاط زوج توسط سه نتیجه تعیین می شود: 2، 4، 6.

یک معیار کمی برای احتمال وقوع رویداد مورد نظر، احتمال است.

پرکاربردترین تعاریف احتمال یک رویداد عبارتند از: کلاسیکو آماری.

تعریف کلاسیک احتمال با مفهوم نتیجه مطلوب همراه است.

نتیجه نامیده می شود مطلوبدر صورتی که وقوع آن مستلزم وقوع این رویداد باشد.

در مثال بالا، رویداد مورد بحث - تعداد زوج نقاط در سمت نورد - سه نتیجه مطلوب دارد. در این مورد، ژنرال
تعداد نتایج ممکن این بدان معنی است که تعریف کلاسیک احتمال یک رویداد را می توان در اینجا استفاده کرد.

تعریف کلاسیکبرابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب به تعداد کل نتایج ممکن

جایی که احتمال رویداد است، تعداد نتایج مطلوب برای رویداد، تعداد کل نتایج ممکن است.

در مثال مورد نظر

تعریف آماری احتمال با مفهوم فراوانی نسبی وقوع یک رویداد در آزمایشات مرتبط است.

فراوانی نسبی وقوع یک رویداد با استفاده از فرمول محاسبه می شود

تعداد وقوع یک رویداد در یک سری آزمایش (آزمون) کجاست.

تعریف آماری. احتمال یک رویداد عددی است که فرکانس نسبی حول آن تثبیت می شود (مجموعه) با افزایش نامحدود در تعداد آزمایش ها.

در مسائل عملی، احتمال یک رویداد به عنوان فرکانس نسبی برای تعداد به اندازه کافی زیاد آزمایش در نظر گرفته می شود.

از این تعاریف از احتمال یک رویداد روشن است که نابرابری همیشه برآورده می شود.

برای تعیین احتمال یک رویداد بر اساس فرمول (1.1)، اغلب از فرمول های ترکیبی استفاده می شود که برای یافتن تعداد نتایج مطلوب و تعداد کل نتایج ممکن استفاده می شود.

هنگامی که یک سکه پرتاب می شود، می توانیم بگوییم که سر به بالا فرود می آید، یا احتمال این 1/2 است. البته این بدان معنا نیست که اگر یک سکه 10 بار پرتاب شود، لزوماً 5 بار روی سر می افتد. اگر سکه "عادلانه" باشد و اگر بارها پرتاب شود، نیمی از زمان سرها بسیار نزدیک فرود می آیند. بنابراین، دو نوع احتمال وجود دارد: تجربی و نظری .

احتمال تجربی و نظری

اگر یک سکه را چندین بار - مثلاً 1000 بار - بچرخانیم و تعداد دفعات فرود آن را بشماریم، می‌توانیم احتمال فرود آمدن آن روی سر را تعیین کنیم. اگر سرها 503 بار پرتاب شوند، می‌توانیم احتمال فرود آن را محاسبه کنیم:
503/1000 یا 0.503.

این تجربی تعیین احتمال این تعریف از احتمال از مشاهده و مطالعه داده ها به دست می آید و کاملا رایج و بسیار مفید است. برای مثال، برخی از احتمالاتی که به صورت تجربی تعیین شده اند در اینجا آمده است:

1. احتمال ابتلای یک زن به سرطان سینه 1/11 است.

2. اگر فردی را که سرماخورده است ببوسید، احتمال اینکه شما هم سرما بخورید 0.07 است.

3. فردی که به تازگی از زندان آزاد شده است 80 درصد شانس بازگشت به زندان دارد.

اگر پرتاب سکه را در نظر بگیریم و در نظر بگیریم که به همان اندازه احتمال دارد که سر یا دم بالا بیاید، می‌توانیم احتمال به دست آوردن سر را محاسبه کنیم: 1/2. این یک تعریف نظری از احتمال است. در اینجا چند احتمال دیگر وجود دارد که به صورت نظری با استفاده از ریاضیات تعیین شده اند:

1. اگر در یک اتاق 30 نفر باشند، احتمال اینکه دو نفر از آنها تولد یکسانی داشته باشند (به استثنای سال) 0.706 است.

2. در طول سفر با شخصی آشنا می شوید و در حین گفتگو متوجه می شوید که یک دوست مشترک دارید. واکنش معمولی: "این نمی تواند باشد!" در واقع، این عبارت مناسب نیست، زیرا احتمال چنین رویدادی بسیار زیاد است - کمی بیش از 22٪.

بنابراین، احتمالات تجربی از طریق مشاهده و جمع آوری داده ها تعیین می شوند. احتمالات نظری از طریق استدلال ریاضی تعیین می شوند. نمونه هایی از احتمالات تجربی و نظری، مانند مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، و به ویژه آنهایی که ما انتظار نداریم، ما را به اهمیت مطالعه احتمال می رساند. ممکن است بپرسید "احتمال واقعی چیست؟" در واقع چنین چیزی وجود ندارد. احتمالات در محدوده های معین را می توان به صورت تجربی تعیین کرد. آنها ممکن است با احتمالاتی که ما از لحاظ نظری به دست می آوریم منطبق باشند یا نباشند. موقعیت هایی وجود دارد که در آنها تعیین یک نوع احتمال بسیار آسان تر از نوع دیگر است. برای مثال، یافتن احتمال سرماخوردگی با استفاده از احتمالات نظری کافی است.

محاسبه احتمالات تجربی

اجازه دهید ابتدا تعریف تجربی احتمال را در نظر بگیریم. اصل اساسی که برای محاسبه چنین احتمالاتی استفاده می کنیم به شرح زیر است.

اصل P (تجربی)

اگر در آزمایشی که در آن n مشاهده انجام شده است، یک موقعیت یا رویداد E m بار در n مشاهده اتفاق بیفتد، آنگاه احتمال تجربی رویداد P (E) = m/n گفته می شود.

مثال 1 بررسی جامعه شناختی یک مطالعه تجربی برای تعیین تعداد افراد چپ دست، افراد راست دست و افرادی که هر دو دست آنها به یک اندازه رشد کرده است انجام شد که نتایج در نمودار نشان داده شده است.

الف) احتمال راست دست بودن فرد را مشخص کنید.

ب) احتمال چپ دست بودن فرد را مشخص کنید.

ج) احتمال تسلط یک فرد به هر دو دست را تعیین کنید.

د) بیشتر مسابقات انجمن بولینگ حرفه ای به 120 بازیکن محدود می شود. بر اساس داده های این آزمایش، چند بازیکن می توانند چپ دست باشند؟

راه حل

الف) تعداد افرادی که راست دست هستند 82 نفر، تعداد چپ دست ها 17 نفر و تعداد کسانی که به هر دو دست مسلط هستند 1 نفر است. تعداد کل مشاهدات 100 است. بنابراین احتمال وجود دارد. اینکه یک شخص راست دست است P است
P = 82/100، یا 0.82، یا 82٪.

ب) احتمال چپ دست بودن شخص P است که در آن
P = 17/100، یا 0.17، یا 17٪.

ج) احتمال اینکه یک فرد در هر دو دست به یک اندازه مسلط باشد P است که در آن
P = 1/100، یا 0.01، یا 1٪.

د) 120 بولر، و از (ب) می توان انتظار داشت که 17٪ چپ دست باشند. از اینجا
17% از 120 = 0.17.120 = 20.4،
یعنی می توان انتظار داشت حدود 20 بازیکن چپ دست باشند.

مثال 2 کنترل کیفیت . برای یک تولید کننده بسیار مهم است که کیفیت محصولات خود را در سطح بالایی نگه دارد. در واقع، شرکت ها برای اطمینان از این فرآیند، بازرسان کنترل کیفیت را استخدام می کنند. هدف تولید حداقل تعداد ممکن محصولات معیوب است. اما از آنجایی که این شرکت روزانه هزاران محصول تولید می کند، نمی تواند هر محصولی را آزمایش کند تا مشخص شود که آیا معیوب است یا خیر. برای اینکه بفهمد چند درصد از محصولات معیوب هستند، این شرکت محصولات بسیار کمتری را آزمایش می کند.
USDA ایجاب می کند که 80 درصد بذرهای فروخته شده توسط پرورش دهندگان باید جوانه بزنند. برای تعیین کیفیت بذری که یک شرکت کشاورزی تولید می کند، 500 بذر از بذرهایی که تولید شده کاشته می شود. پس از این محاسبه شد که 417 بذر جوانه زد.

الف) احتمال جوانه زدن بذر چقدر است؟

ب) آیا بذرها مطابق با استانداردهای دولتی هستند؟

راه حلالف) می دانیم که از 500 بذری که کاشته شد، 417 بذر جوانه زد. احتمال جوانه زنی بذر P، و
P = 417/500 = 0.834، یا 83.4%.

ب) از آنجایی که درصد بذرهای جوانه زده در حد نیاز از 80 درصد فراتر رفته است، بذرها مطابق با استانداردهای دولتی هستند.

مثال 3 رتبه بندی تلویزیون طبق آمار، 105500000 خانوار دارای تلویزیون در ایالات متحده هستند. هر هفته اطلاعات مربوط به مشاهده برنامه ها جمع آوری و پردازش می شود. در یک هفته، 7,815,000 خانوار با سریال کمدی پرطرفدار "همه ریموند را دوست دارند" در CBS و 8،302،000 خانواده با سریال موفق "قانون و نظم" در NBC کوک کردند (منبع: تحقیقات رسانه ای نیلسن). احتمال اینکه تلویزیون یک خانواده در طول یک هفته معین روی «همه ریموند را دوست دارند» تنظیم شود چقدر است؟ روی «قانون و نظم»؟

راه حلاحتمال اینکه تلویزیون در یک خانواده روی «همه ریموند را دوست دارند» تنظیم شود P است، و
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
احتمال اینکه تلویزیون خانواده روی قانون و نظم تنظیم شده باشد P است و
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
این درصدها را رتبه بندی می نامند.

احتمال نظری

فرض کنید در حال انجام آزمایشی هستیم، مانند پرتاب یک سکه یا دارت، کشیدن کارت از روی عرشه، یا آزمایش کیفیت محصولات در خط مونتاژ. هر نتیجه ممکن از چنین آزمایشی نامیده می شود خروج . مجموعه تمام نتایج ممکن نامیده می شود فضای نتیجه . رویداد مجموعه ای از نتایج است، یعنی زیر مجموعه ای از فضای پیامدها.

مثال 4 پرتاب دارت. فرض کنید در آزمایش پرتاب دارت، یک دارت به هدف برخورد کند. هر یک از موارد زیر را بیابید:

ب) فضای نتیجه

راه حل
الف) نتایج عبارتند از: ضربه زدن به سیاهی (B)، ضربه زدن به قرمز (R) و ضربه زدن به سفید (B).

ب) فضای پیامدها ( ضربه زدن به سیاهی، ضربه زدن به قرمز، ضربه زدن به سفید) است که می توان آن را به سادگی به صورت (H، K، B) نوشت.

مثال 5 پرتاب تاس. قالب مکعبی با شش ضلع است که هر کدام یک تا شش نقطه روی آن قرار دارد.


فرض کنید در حال پرتاب یک قالب هستیم. پیدا کردن
الف) نتایج
ب) فضای نتیجه

راه حل
الف) نتایج: 1، 2، 3، 4، 5، 6.
ب) فضای نتیجه (1، 2، 3، 4، 5، 6).

احتمال وقوع یک رویداد E را به صورت P(E) نشان می دهیم. به عنوان مثال، "سکه روی سرها فرود خواهد آمد" را می توان با H نشان داد. سپس P(H) نشان دهنده احتمال فرود سکه روی سر است. زمانی که همه نتایج یک آزمایش احتمال وقوع یکسانی داشته باشند، گفته می شود که به یک اندازه احتمال دارند. برای مشاهده تفاوت بین رویدادهایی که به یک اندازه محتمل هستند و رویدادهایی که چنین نیستند، هدف نشان داده شده در زیر را در نظر بگیرید.

برای هدف A، رویدادهای برخورد سیاه، قرمز و سفید به یک اندازه محتمل است، زیرا بخش های سیاه، قرمز و سفید یکسان هستند. با این حال، برای هدف B، مناطق دارای این رنگ ها یکسان نیستند، یعنی احتمال برخورد با آنها به یک اندازه نیست.

اصل P (نظری)

اگر یک رویداد E بتواند در m راه خارج از n نتیجه احتمالی مساوی از فضای نتیجه S رخ دهد، آنگاه احتمال نظری رویدادها، P(E) است
P(E) = m/n.

مثال 6احتمال چرخاندن قالب برای گرفتن 3 چقدر است؟

راه حلروی یک تاس 6 نتیجه به یک اندازه محتمل وجود دارد و تنها یک امکان برای انداختن عدد 3 وجود دارد. سپس احتمال P خواهد بود P(3) = 1/6.

مثال 7احتمال چرخاندن عدد زوج روی قالب چقدر است؟

راه حلرویداد پرتاب یک عدد زوج است. این می تواند به 3 روش اتفاق بیفتد (اگر 2، 4 یا 6 رول کنید). تعداد پیامدهای با احتمال مساوی 6 است. سپس احتمال P( زوج) = 3/6 یا 1/2 است.

ما از تعدادی مثال استفاده خواهیم کرد که شامل یک دسته کارت استاندارد 52 می باشد. این عرشه شامل کارت هایی است که در شکل زیر نشان داده شده است.

مثال 8احتمال کشیدن یک آس از یک دسته کارتی که به خوبی در هم ریخته شده است چقدر است؟

راه حل 52 نتیجه وجود دارد (تعداد کارت‌های موجود در عرشه)، احتمال آن‌ها به همان اندازه است (اگر عرشه به خوبی به هم ریخته باشد)، و 4 راه برای کشیدن یک آس وجود دارد، بنابراین طبق اصل P، احتمال وجود دارد.
P (یک آس بکشید) = 4/52 یا 1/13.

مثال 9فرض کنید بدون نگاه کردن، یک توپ از یک کیسه با 3 توپ قرمز و 4 توپ سبز انتخاب می کنیم. احتمال انتخاب توپ قرمز چقدر است؟

راه حلبرای کشیدن هر توپ 7 نتیجه به یک اندازه محتمل وجود دارد، و از آنجایی که تعداد روش های کشیدن یک توپ قرمز 3 است، به دست می آوریم.
P (انتخاب توپ قرمز) = 3/7.

عبارات زیر حاصل اصل P هستند.

خواص احتمال

الف) اگر رویداد E نمی تواند اتفاق بیفتد، P(E) = 0.
ب) اگر رویداد E قطعی باشد، P(E) = 1.
ج) احتمال وقوع رویداد E عددی از 0 تا 1 است: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

به عنوان مثال، در پرتاب سکه، احتمال اینکه سکه روی لبه خود بیفتد، صفر است. احتمال اینکه یک سکه سر یا دم باشد، احتمال 1 دارد.

مثال 10بیایید فرض کنیم که 2 کارت از یک عرشه 52 کارتی کشیده شده است. احتمال اینکه هر دو اوج باشند چقدر است؟

راه حلتعداد n روش برای کشیدن 2 کارت از یک دسته 52 کارتی که به خوبی در هم ریخته شده اند، 52 C 2 است. از آنجایی که 13 کارت از 52 کارت بیل هستند، تعداد روش های m برای کشیدن 2 پیک، 13 C 2 است. سپس،
P (کشیدن 2 قله) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

مثال 11فرض کنید 3 نفر به طور تصادفی از یک گروه 6 مرد و 4 زن انتخاب شده اند. احتمال انتخاب 1 مرد و 2 زن چقدر است؟

راه حلتعداد راه های انتخاب سه نفر از یک گروه 10 نفره 10 C 3 است. یک مرد را می توان به 6 روش C 1 و 2 زن را به 4 روش C 2 انتخاب کرد. بر اساس اصل اساسی شمارش، تعداد راه های انتخاب 1 مرد و 2 زن 6 C 1 است. 4 C 2 . سپس، احتمال انتخاب 1 مرد و 2 زن است
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

مثال 12 پرتاب تاس. احتمال انداختن مجموعاً 8 روی دو تاس چقدر است؟

راه حلهر تاس دارای 6 نتیجه ممکن است. نتایج دو برابر می شوند، به این معنی که 6.6 یا 36 روش ممکن وجود دارد که در آن اعداد روی دو تاس می توانند ظاهر شوند. (بهتر است اگر مکعب ها متفاوت باشند، مثلاً یکی قرمز و دیگری آبی باشد - این به تجسم نتیجه کمک می کند.)

جفت اعدادی که جمع آنها 8 می شود در شکل زیر نشان داده شده است. 5 راه ممکن برای بدست آوردن مجموع 8 وجود دارد، بنابراین احتمال آن 5/36 است.

در تکالیف آزمون یکپارچه در ریاضیات، مسائل احتمالی پیچیده تری نیز وجود دارد (از آنچه در قسمت 1 در نظر گرفتیم)، که در آن باید قانون جمع، ضرب احتمالات و تمایز بین رویدادهای سازگار و ناسازگار را اعمال کنیم.

بنابراین، نظریه.

رویدادهای مشترک و غیر مشترک

وقایع در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگر باشد. یعنی فقط یک رویداد خاص می تواند اتفاق بیفتد.

به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک قالب، می توانید بین رویدادهایی مانند بدست آوردن تعداد امتیاز زوج و گرفتن تعداد فرد امتیاز تشخیص دهید. این رویدادها ناسازگار هستند.

وقایع را در صورتی مشترک می گویند که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگری نباشد.

به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک قالب، می توانید رویدادهایی مانند چرخاندن تعداد فرد از نقاط و پرتاب تعدادی از نقاط که مضرب سه هستند را تشخیص دهید. هنگامی که یک سه رول می شود، هر دو رویداد رخ می دهد.

مجموع رویدادها

مجموع (یا ترکیب) چند رویداد رویدادی است که از وقوع حداقل یکی از این رویدادها تشکیل شده است.

که در آن مجموع دو رویداد ناسازگار مجموع احتمالات این رویدادها است:

به عنوان مثال، احتمال به دست آوردن 5 یا 6 امتیاز در یک قالب با یک پرتاب خواهد بود، زیرا هر دو رویداد (غلتیدن 5، پرتاب 6) ناهماهنگ هستند و احتمال وقوع یک یا آن رویداد به صورت زیر محاسبه می شود:

احتمالی مجموع دو رویداد مشترک برابر مجموع احتمالات این رویدادها بدون در نظر گرفتن وقوع مشترک آنها:

به عنوان مثال، در یک مرکز خرید، دو دستگاه یکسان قهوه می فروشند. احتمال تمام شدن قهوه دستگاه تا پایان روز 0.3 است. احتمال تمام شدن قهوه هر دو دستگاه 0.12 است. بیایید این احتمال را پیدا کنیم که تا پایان روز قهوه حداقل در یکی از دستگاه ها تمام شود (یعنی یکی، یا دیگری یا هر دو به طور همزمان).

احتمال رخداد اول «قهوه در دستگاه اول تمام می شود» و همچنین احتمال رخداد دوم «قهوه در دستگاه دوم تمام می شود» طبق شرط برابر با 3/0 است. رویدادها مشارکتی هستند.

احتمال وقوع مشترک دو رویداد اول با توجه به شرط 0.12 است.

این به این معنی است که احتمال اینکه در پایان روز قهوه در حداقل یکی از دستگاه ها تمام شود.

رویدادهای وابسته و مستقل

دو رویداد تصادفی A و B در صورتی مستقل نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد. در غیر این صورت رویدادهای A و B وابسته نامیده می شوند.

به عنوان مثال، وقتی دو تاس به طور همزمان ریخته می شوند، یکی از آنها، مثلاً 1، و دیگری، 5، رویدادهای مستقل هستند.

محصول احتمالات

حاصلضرب (یا تقاطع) چندین رویداد رویدادی است که از وقوع مشترک همه این رویدادها تشکیل شده است.

اگر دو اتفاق بیفتد رویدادهای مستقل A و B با احتمالات P(A) و P(B) به ترتیب، پس احتمال وقوع رویدادهای A و B به طور همزمان برابر است با حاصل ضرب احتمالات:

به عنوان مثال، ما علاقه مندیم که دو بار پشت سر هم یک شش روی یک قالب ظاهر شود. هر دو رویداد مستقل هستند و احتمال وقوع هر یک از آنها جداگانه است. احتمال وقوع هر دوی این رویدادها با استفاده از فرمول بالا محاسبه می شود: .

منتخبی از کارها را برای تمرین موضوع مشاهده کنید.

• احتمال، درجه (معیار نسبی، ارزیابی کمی) امکان وقوع یک رویداد است. هنگامی که دلایل وقوع برخی رویدادهای احتمالی در واقع از دلایل مخالف آن بیشتر باشد، این رویداد محتمل و در غیر این صورت - بعید یا غیر محتمل نامیده می شود. غلبه دلایل مثبت بر دلایل منفی، و بالعکس، می تواند به درجات مختلفی باشد، در نتیجه احتمال (و عدم احتمال) می تواند بیشتر یا کمتر شود. بنابراین، احتمال اغلب در سطح کیفی ارزیابی می شود، به ویژه در مواردی که ارزیابی کمی کم و بیش دقیق غیرممکن یا بسیار دشوار است. درجه بندی های مختلفی از "سطوح" احتمال ممکن است.

  مطالعه احتمالات از دیدگاه ریاضی یک رشته خاص - نظریه احتمال را تشکیل می دهد. در تئوری احتمال و آمار ریاضی، مفهوم احتمال به عنوان یک مشخصه عددی یک رویداد رسمیت می یابد - یک اندازه گیری احتمال (یا مقدار آن) - یک اندازه گیری بر روی مجموعه ای از رویدادها (زیر مجموعه های مجموعه ای از رویدادهای ابتدایی)، با گرفتن مقادیر. از

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  معنی

  (\displaystyle 1)

  مربوط به یک رویداد قابل اعتماد است. یک رویداد غیرممکن دارای احتمال 0 است (عموماً عکس آن همیشه درست نیست). اگر احتمال وقوع یک رویداد باشد

  (\displaystyle p)

  سپس احتمال عدم وقوع آن برابر است با

  (\displaystyle 1-p)

  به طور خاص، احتمال

  (\displaystyle 1/2)

  یعنی احتمال مساوی وقوع و عدم وقوع یک رویداد.

  تعریف کلاسیک احتمال مبتنی بر مفهوم احتمال برابر نتایج است. احتمال، نسبت تعداد پیامدهای مطلوب برای یک رویداد معین به تعداد کل نتایج ممکن است. به عنوان مثال، اگر فرض شود که فقط این دو احتمال رخ می دهند و آنها به یک اندازه ممکن هستند، احتمال به دست آوردن سر یا دم در یک پرتاب تصادفی سکه 1/2 است. این «تعریف» کلاسیک احتمال را می‌توان به تعداد نامتناهی از مقادیر ممکن تعمیم داد - برای مثال، اگر رویدادی با احتمال مساوی در هر نقطه (تعداد نقاط نامتناهی است) از یک منطقه محدود رخ دهد. فضا (صفحه)، پس احتمال وقوع آن در بخشی از این منطقه امکان پذیر برابر است با نسبت حجم (مساحت) این قسمت به حجم (مساحت) منطقه همه نقاط ممکن.

  "تعریف" تجربی احتمال با فراوانی یک رویداد مرتبط است، بر اساس این واقعیت که با تعداد کافی آزمایش‌ها، فرکانس باید به درجه عینی امکان این رویداد تمایل داشته باشد. در ارائه مدرن نظریه احتمال، احتمال به صورت بدیهی تعریف می شود، به عنوان یک مورد خاص از نظریه انتزاعی اندازه گیری مجموعه. با این حال، حلقه اتصال بین معیار انتزاعی و احتمال، که میزان امکان وقوع یک رویداد را بیان می کند، دقیقاً بسامد مشاهده آن است.

  توصیف احتمالی برخی پدیده ها در علم مدرن، به ویژه در اقتصاد سنجی، فیزیک آماری سیستم های ماکروسکوپی (ترمودینامیکی) گسترده شده است، جایی که حتی در مورد توصیف قطعی کلاسیک حرکت ذرات، توصیف قطعی کل سیستم است. ذرات عملاً ممکن یا مناسب به نظر نمی رسد. در فیزیک کوانتومی، فرآیندهای توصیف شده خود ماهیت احتمالی دارند.

احتمال چیست؟

اولین باری که با این اصطلاح روبرو شدم، نمی فهمیدم چیست. بنابراین، سعی می کنم به طور واضح توضیح دهم.

احتمال این است که رویدادی که می خواهیم اتفاق بیفتد.

به عنوان مثال، شما تصمیم گرفتید به خانه یک دوست بروید، ورودی و حتی طبقه ای که او در آن زندگی می کند را به یاد می آورید. اما شماره و محل آپارتمان را فراموش کردم. و اکنون روی راه پله ایستاده اید و در جلوی شما درهایی برای انتخاب وجود دارد.

چه شانسی (احتمال) وجود دارد که اگر اولین زنگ خانه را بزنید دوستتان در را به جای شما پاسخ دهد؟ فقط آپارتمان ها وجود دارد و یکی از دوستان تنها پشت یکی از آنها زندگی می کند. با شانس مساوی می توانیم هر دری را انتخاب کنیم.

اما این شانس چیست؟

در، درب راست. احتمال حدس زدن با زنگ در اول: . یعنی از هر سه بار یک بار دقیقا حدس میزنید.

می خواهیم بدانیم، با یک بار تماس، چند بار در را حدس می زنیم؟ بیایید همه گزینه ها را بررسی کنیم:

1. تو تلفن زدی 1در، درب
2. تو تلفن زدی 2در، درب
3. تو تلفن زدی 3در، درب

اکنون بیایید به همه گزینه هایی که یک دوست می تواند باشد نگاه کنیم:

آ. پشت 1در
ب پشت 2در
V. پشت 3در

بیایید همه گزینه ها را به شکل جدول مقایسه کنیم. علامت تیک گزینه‌هایی را نشان می‌دهد که انتخاب شما با موقعیت مکانی یک دوست منطبق باشد، علامت ضربدر - زمانی که منطبق نیست.

شما همه چیز را چگونه می بینید شاید گزینه هامکان دوست شما و انتخاب شما برای زنگ زدن کدام در.

آ نتایج مطلوب همه . یعنی یکبار با زدن زنگ در یکبار حدس میزنید یعنی. .

این احتمال است - نسبت یک نتیجه مطلوب (زمانی که انتخاب شما با موقعیت مکانی دوست شما مطابقت دارد) به تعداد رویدادهای ممکن.

تعریف فرمول است. احتمال معمولا با p نشان داده می شود، بنابراین:

نوشتن چنین فرمولی خیلی راحت نیست، بنابراین ما تعداد نتایج مطلوب و برای - تعداد کل نتایج را در نظر می گیریم.

احتمال را می توان به صورت درصد نوشت؛ برای انجام این کار، باید نتیجه حاصل را در:

احتمالاً کلمه "نتایج" توجه شما را به خود جلب کرده است. از آنجایی که ریاضیدانان اعمال مختلف (در مورد ما، چنین عملی زنگ در است) را آزمایش می نامند، نتیجه چنین آزمایشاتی معمولاً نتیجه نامیده می شود.

خوب، نتایج مطلوب و نامطلوب وجود دارد.

بیایید به مثال خود برگردیم. فرض کنید یکی از درها را زنگ زدیم، اما یک غریبه در را برایمان باز کرد. ما درست حدس نزدیم احتمال اینکه یکی از درهای باقی مانده را زنگ بزنیم چقدر است که دوستمان آن را برایمان باز کند؟

اگر فکر می کردید، پس این یک اشتباه است. بیایید آن را بفهمیم.

دو در باقی مانده است. بنابراین ما مراحل ممکن را داریم:

1) تماس بگیرید 1در، درب
2) تماس بگیرید 2در، درب

دوست، با همه اینها، قطعاً پشت یکی از آنهاست (بالاخره، او پشت آن کسی که ما زنگ زدیم نبود):

الف) دوست برای 1در
ب) دوست برای 2در

بیایید دوباره جدول را بکشیم:

همانطور که می بینید، تنها گزینه هایی وجود دارد که از بین آنها مطلوب است. یعنی احتمال برابر است.

چرا که نه؟

وضعیتی که ما در نظر گرفتیم این است نمونه ای از رویدادهای وابستهاولین رویداد زنگ اول است، رویداد دوم زنگ دوم است.

و به آنها وابسته می گویند زیرا بر اعمال زیر تأثیر می گذارند. بالاخره اگر بعد از اولین زنگ زنگ خانه توسط یکی از دوستان پاسخ داده شود، احتمال اینکه او پشت یکی از دو نفر دیگر باشد چقدر خواهد بود؟ درست، .

اما اگر رویدادهای وابسته وجود داشته باشد، پس باید نیز وجود داشته باشد مستقل? درست است، آنها اتفاق می افتد.

نمونه کتاب درسی پرتاب سکه است.

1. یک بار سکه پرتاب کنید. مثلا احتمال سر گرفتن چقدره؟ درست است - زیرا همه گزینه ها وجود دارد (یا سر یا دم، احتمال فرود سکه روی لبه آن را نادیده می گیریم)، ​​اما این فقط برای ما مناسب است.
2. اما سرها بالا آمد. باشه بیا دوباره پرتش کنیم الان احتمال سر گرفتن چقدره؟ هیچ چیز تغییر نکرده است، همه چیز همان است. چند گزینه؟ دو از چند نفر راضی هستیم؟ یکی

و اجازه دهید حداقل هزاران بار پشت سر هم بالا بیاید. احتمال به دست آوردن سر به یکباره یکسان خواهد بود. همیشه گزینه ها و گزینه های مطلوب وجود دارد.

تشخیص رویدادهای وابسته از مستقل آسان است:

1. اگر آزمایش یک بار انجام شود (یک بار یک سکه پرتاب کنند، یک بار زنگ در را بزنند، و غیره)، آنگاه رویدادها همیشه مستقل هستند.
2. اگر آزمایشی چندین بار انجام شود (یک سکه یک بار پرتاب شود، زنگ در چندین بار زده شود)، اولین رویداد همیشه مستقل است. و سپس، اگر تعداد موارد مطلوب یا تعداد همه پیامدها تغییر کند، رویدادها وابسته هستند و اگر نه، مستقل هستند.

بیایید کمی تعیین احتمال را تمرین کنیم.

مثال 1.

سکه دو بار پرتاب می شود. احتمال دوبار پشت سر هم گرفتن سر چقدر است؟

راه حل:

بیایید همه گزینه های ممکن را در نظر بگیریم:

1. عقاب-عقاب
2. سر دم
3. Tails-Heads
4. دم-دم

همانطور که می بینید، فقط گزینه ها وجود دارد. از اینها فقط راضی هستیم. یعنی احتمال:

اگر شرط به سادگی از شما بخواهد که احتمال را بیابید، پاسخ باید به صورت کسری اعشاری داده شود. اگر مشخص می شد که پاسخ باید به صورت درصد داده شود، در آن صورت ضرب می کنیم.

پاسخ:

مثال 2.

در یک جعبه شکلات، همه شکلات ها در یک بسته بندی بسته بندی می شوند. با این حال، از شیرینی - با آجیل، با کنیاک، با گیلاس، با کارامل و با نوقا.

احتمال مصرف یک نبات و گرفتن یک نبات با آجیل چقدر است؟ پاسخ خود را به صورت درصد بیان کنید.

راه حل:

چند نتیجه ممکن وجود دارد؟ .

یعنی اگر یک آب نبات بردارید، یکی از آب نبات های موجود در جعبه خواهد بود.

چند نتیجه مطلوب؟

زیرا در جعبه فقط شکلات هایی با آجیل وجود دارد.

پاسخ:

مثال 3.

در یک جعبه بادکنک. که سفید و سیاه هستند.

1. احتمال رسم یک توپ سفید چقدر است؟
2. توپ های سیاه بیشتری به جعبه اضافه کردیم. حالا احتمال رسم یک توپ سفید چقدر است؟

راه حل:

الف) فقط توپ در جعبه وجود دارد. از آنها سفید هستند.

احتمال این است:

ب) حالا توپ های بیشتری در جعبه وجود دارد. و به همین تعداد سفیدپوست باقی مانده است - .

پاسخ:

احتمال کل

فرض کنید در یک جعبه توپ های قرمز و سبز وجود دارد. احتمال رسم یک توپ قرمز چقدر است؟ توپ سبز؟ توپ قرمز یا سبز؟

احتمال کشیدن یک توپ قرمز

توپ سبز:

توپ قرمز یا سبز:

همانطور که می بینید، مجموع همه رویدادهای ممکن برابر با () است. درک این نکته به شما کمک می کند تا بسیاری از مشکلات را حل کنید.

مثال 4.

در جعبه نشانگرهایی وجود دارد: سبز، قرمز، آبی، زرد، سیاه.

احتمال ترسیم یک نشانگر قرمز چقدر است؟

راه حل:

بیایید عدد را بشماریم نتایج مطلوب

نشانگر قرمز نیست، به معنای سبز، آبی، زرد یا سیاه است.

احتمال همه اتفاقات و احتمال اتفاقاتی که ما آنها را نامطلوب می دانیم (وقتی یک نشانگر قرمز را بیرون می آوریم) است.

بنابراین، احتمال بیرون کشیدن یک خودکار نوک قرمز NOT است.

پاسخ:

قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل

شما قبلاً می دانید که رویدادهای مستقل چیست.

اگر نیاز به یافتن احتمال وقوع دو (یا بیشتر) رویداد مستقل پشت سر هم داشته باشید، چه؟

فرض کنید می خواهیم بدانیم احتمال اینکه اگر یک سکه را یک بار ورق بزنیم، دو بار سر را ببینیم چقدر است؟

ما قبلا در نظر گرفته ایم - .

اگر یک بار سکه بیندازیم چه؟ احتمال اینکه یک عقاب را دو بار پشت سر هم ببینیم چقدر است؟

مجموع گزینه های ممکن:

1. عقاب-عقاب-عقاب
2. سر - سر - دم
3. سر - دم - سر
4. سر-دم-دم
5. دم - سر - سر
6. دم-سر-دم
7. دم-دم-سر
8. دم-دم-دم

من شما را نمی دانم، اما من چندین بار هنگام تهیه این لیست اشتباه کردم. وای! و تنها گزینه (اولین) برای ما مناسب است.

برای 5 پرتاب، می توانید لیستی از نتایج احتمالی را خودتان تهیه کنید. اما ریاضیدانان به اندازه شما سخت کوش نیستند.

بنابراین، آنها ابتدا متوجه شدند و سپس ثابت کردند که احتمال وقوع یک توالی خاص از رویدادهای مستقل هر بار با احتمال یک رویداد کاهش می یابد.

به عبارت دیگر،

بیایید به مثال همان سکه بدبخت نگاه کنیم.

احتمال به دست آوردن سر در یک چالش؟ . حالا یک بار سکه را برمی گردانیم.

احتمال اینکه سرها پشت سر هم قرار بگیرند چقدر است؟

این قانون تنها زمانی کار نمی کند که از ما خواسته شود احتمال وقوع یک رویداد را چندین بار متوالی پیدا کنیم.

اگر بخواهیم دنباله TAILS-HEADS-TAILS را برای پرتاب های متوالی پیدا کنیم، همین کار را می کنیم.

احتمال دم گرفتن است , سر - .

احتمال به دست آوردن دنباله TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

می توانید خودتان با تهیه جدول آن را بررسی کنید.

قانون اضافه کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار.

پس بس کن! تعریف جدید.

بیایید آن را بفهمیم. سکه فرسوده مان را برداریم و یک بار پرتاب کنیم.
گزینه های ممکن:

1. عقاب-عقاب-عقاب
2. سر - سر - دم
3. سر - دم - سر
4. سر-دم-دم
5. دم - سر - سر
6. دم-سر-دم
7. دم-دم-سر
8. دم-دم-دم

بنابراین، رویدادهای ناسازگار، توالی معینی از رویدادها هستند. - اینها رویدادهای ناسازگار هستند.

اگر بخواهیم تعیین کنیم که احتمال دو (یا چند) رویداد ناسازگار چقدر است، احتمالات این رویدادها را اضافه می کنیم.

شما باید درک کنید که سر یا دم دو رویداد مستقل هستند.

اگر بخواهیم احتمال وقوع یک دنباله (یا هر دنباله دیگری) را تعیین کنیم، از قانون ضرب احتمالات استفاده می کنیم.
احتمال اینکه در پرتاب اول سر و دم در پرتاب دوم و سوم قرار بگیرد چقدر است؟

اما اگر بخواهیم بدانیم احتمال به دست آوردن یکی از چندین دنباله چقدر است، مثلاً وقتی هدها دقیقاً یک بار بالا می آیند، یعنی. گزینه ها و سپس ما باید احتمالات این دنباله ها را جمع کنیم.

کل گزینه ها برای ما مناسب است.

ما می توانیم با جمع کردن احتمالات وقوع هر دنباله همان چیزی را بدست آوریم:

بنابراین، زمانی که می‌خواهیم احتمال توالی رویدادهای معین، ناسازگار را تعیین کنیم، احتمالات را اضافه می‌کنیم.

یک قانون عالی وجود دارد که به شما کمک می‌کند از سردرگمی در زمان ضرب و زمان جمع کردن جلوگیری کنید:

بیایید به مثالی برگردیم که یک بار سکه پرتاب کردیم و می خواستیم احتمال یک بار دیدن سرها را بدانیم.
چه اتفاقی خواهد افتاد؟

باید بیرون بیفتد:
(سرها و دم ها و دم ها) یا (دم ها و سرها و دم ها) یا (دم ها و دم ها و سرها).
اینجوری معلوم میشه:

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 5.

در جعبه مداد وجود دارد. قرمز، سبز، نارنجی و زرد و سیاه. احتمال کشیدن مدادهای قرمز یا سبز چقدر است؟

راه حل:

چه اتفاقی خواهد افتاد؟ باید بکشیم (قرمز یا سبز).

اکنون واضح است، بیایید احتمالات این رویدادها را جمع کنیم:

پاسخ:

مثال 6.

اگر یک قالب دو بار پرتاب شود، احتمال اینکه مجموعاً 8 باشد چقدر است؟

راه حل.

چگونه می توانیم امتیاز بگیریم؟

(و) یا (و) یا (و) یا (و) یا (و).

احتمال به دست آوردن یک (هر) صورت است.

ما احتمال را محاسبه می کنیم:

پاسخ:

آموزش.

فکر می کنم اکنون متوجه شده اید که چه زمانی باید احتمالات را محاسبه کنید، چه زمانی آنها را جمع کنید و چه زمانی آنها را ضرب کنید. مگه نه؟ کمی تمرین کنیم.

وظایف:

بیایید یک عرشه کارتی حاوی کارتهایی از جمله بیل، قلب، 13 چماق و 13 الماس برداریم. از تا آس هر کت و شلوار.

1. احتمال ترسیم چماق ها پشت سر هم چقدر است (نخستین کارتی را که بیرون کشیده شده دوباره داخل عرشه می گذاریم و آن را به هم می زنیم)؟
2. احتمال کشیدن کارت سیاه (بیل یا چماق) چقدر است؟
3. احتمال ترسیم یک تصویر (جک، ملکه، شاه یا آس) چقدر است؟
4. احتمال ترسیم دو تصویر پشت سر هم چقدر است (اولین کارت کشیده شده را از روی عرشه حذف می کنیم)؟
5. با گرفتن دو کارت، احتمال جمع آوری یک ترکیب - (جک، ملکه یا شاه) و یک آس چقدر است؟ ترتیبی که کارت ها در آن کشیده می شوند مهم نیست.

پاسخ ها:

1. در یک دسته کارت با هر ارزش، به این معنی است:
2. رویدادها وابسته هستند، زیرا پس از بیرون کشیدن اولین کارت، تعداد کارت ها در عرشه کاهش یافت (همانطور که تعداد "تصاویر" کاهش یافت). در ابتدا کل جک‌ها، ملکه‌ها، شاه‌ها و آس‌ها در عرشه وجود دارد، که به معنای احتمال ترسیم یک "تصویر" با کارت اول است:

   از آنجایی که اولین کارت را از عرشه حذف می کنیم، به این معنی است که کارت هایی از جمله تصاویر از قبل در عرشه باقی مانده است. احتمال کشیدن تصویر با کارت دوم:

   از آنجایی که ما به موقعیتی علاقه مندیم که یک "تصویر" و یک "تصویر" را از عرشه بیرون بیاوریم، باید احتمالات را ضرب کنیم:

   پاسخ:

3. پس از بیرون کشیدن اولین کارت، تعداد کارت‌های موجود در عرشه کاهش می‌یابد. بنابراین، دو گزینه برای ما مناسب است:
   1) کارت اول آس، دومی جک، ملکه یا کینگ است
   2) با کارت اول یک جک، ملکه یا کینگ و با کارت دوم یک آس بیرون می آوریم. (آس و (جک یا ملکه یا شاه)) یا ((جک یا ملکه یا شاه) و آس). در مورد کاهش تعداد کارت های موجود در عرشه را فراموش نکنید!

اگر خودتان توانستید همه مشکلات را حل کنید، پس عالی هستید! حالا مثل آجیل مشکلات تئوری احتمال را در آزمون دولتی یکپارچه خواهید شکست!

نظریه احتمال. سطح متوسط

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. فرض کنید یک قالب پرتاب می کنیم. این چه نوع استخوانی است، می دانید؟ این همان چیزی است که آنها به آن مکعبی می گویند که اعداد روی صورت های آن وجود دارد. چند چهره، تعداد زیادی: از تا چند؟ قبل از.

بنابراین تاس می اندازیم و می خواهیم بالا بیاید یا. و ما آن را دریافت می کنیم.

در تئوری احتمال می گویند چه اتفاقی افتاده است رویداد فرخنده(با مرفه اشتباه نشود).

اگر این اتفاق می افتاد، رویداد نیز مطلوب بود. در مجموع، تنها دو رویداد مطلوب ممکن است رخ دهد.

چند نفر نامطلوب هستند؟ از آنجایی که کل رویدادهای ممکن وجود دارد، به این معنی است که موارد نامطلوب، رویدادها هستند (این اگر یا خارج می شود).

تعریف:

احتمال، نسبت تعداد رویدادهای مطلوب به تعداد همه رویدادهای ممکن است. یعنی احتمال نشان می دهد که چه نسبتی از همه رویدادهای ممکن مطلوب است.

آنها احتمال را با یک حرف لاتین نشان می دهند (ظاهراً از کلمه انگلیسی probability - probability).

مرسوم است که احتمال را به صورت درصد اندازه گیری می کنند (به موضوعات و مراجعه کنید). برای انجام این کار، مقدار احتمال باید ضرب شود. در مثال تاس، احتمال.

و به درصد: .

مثال ها (خودتان تصمیم بگیرید):

1. احتمال سر در آوردن هنگام پرتاب سکه چقدر است؟ احتمال فرود سرها چقدر است؟
2. احتمال بدست آوردن عدد زوج هنگام پرتاب قالب چقدر است؟ کدام یک عجیب است؟
3. در جعبه مداد ساده، آبی و قرمز. به طور تصادفی یک مداد می کشیم. احتمال گرفتن یک ساده چقدر است؟

راه حل ها:

1. چند گزینه وجود دارد؟ سر و دم - فقط دو. چه تعداد از آنها مطلوب هستند؟ فقط یکی عقاب است. بنابراین احتمال

   در مورد دم هم همینطور است: .

2. کل گزینه ها: (مکعب چند ضلع دارد، این همه گزینه مختلف). مطلوب: (اینها همه اعداد زوج هستند:).
   احتمال. البته در مورد اعداد فرد هم همینطور است.
3. جمع: . مطلوب: . احتمال: .

احتمال کل

تمام مدادهای داخل جعبه سبز هستند. احتمال کشیدن یک مداد قرمز چقدر است؟ هیچ شانسی وجود ندارد: احتمال (پس از همه، رویدادهای مطلوب -).

چنین رویدادی ناممکن است.

احتمال کشیدن مداد سبز چقدر است؟ دقیقاً به همان اندازه رویدادهای مطلوب وجود دارد که کل رویدادها وجود دارد (همه رویدادها مطلوب هستند). بنابراین احتمال برابر است با یا.

چنین رویدادی قابل اعتماد نامیده می شود.

اگر جعبه ای دارای مدادهای سبز و قرمز باشد، احتمال ترسیم سبز یا قرمز چقدر است؟ هنوز دوباره. بیایید به این توجه کنیم: احتمال بیرون کشیدن سبز برابر است و قرمز برابر است.

در مجموع، این احتمالات دقیقاً برابر هستند. به این معنا که، مجموع احتمالات همه رویدادهای ممکن برابر است با یا.

مثال:

در یک جعبه مداد، از جمله آنها آبی، قرمز، سبز، ساده، زرد و بقیه نارنجی هستند. احتمال سبز نشدن چقدر است؟

راه حل:

ما به یاد داریم که همه احتمالات با هم جمع می شوند. و احتمال سبز شدن برابر است. یعنی احتمال سبز نشدن مساوی است.

این ترفند را به خاطر بسپارید:احتمال رخ ندادن یک رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

رویدادهای مستقل و قانون ضرب

شما یک سکه را یک بار ورق می زنید و می خواهید هر دو بار آن را بالا بیاورید. احتمال این کار چقدر است؟

بیایید تمام گزینه های ممکن را مرور کنیم و تعداد آنها را تعیین کنیم:

سر - سر، دم - سر، سر - دم، دم - دم. چه چیز دیگری؟

کل گزینه ها از این میان، تنها یکی برای ما مناسب است: Eagle-Eagle. در کل، احتمال برابر است.

خوب. حالا بیایید یک بار سکه را برگردانیم. خودت حساب کن اتفاق افتاد؟ (پاسخ).

شاید متوجه شده باشید که با اضافه شدن هر پرتاب بعدی، احتمال به نصف کاهش می یابد. قاعده کلی نامیده می شود قانون ضرب:

احتمالات رویدادهای مستقل تغییر می کند.

رویدادهای مستقل چیست؟ همه چیز منطقی است: اینها آنهایی هستند که به یکدیگر وابسته نیستند. به عنوان مثال، وقتی یک سکه را چندین بار پرتاب می کنیم، هر بار یک پرتاب جدید ساخته می شود که نتیجه آن به تمام پرتاب های قبلی بستگی ندارد. به همین راحتی می توانیم دو سکه مختلف را همزمان پرتاب کنیم.

نمونه های بیشتر:

1. تاس ها دو بار پرتاب می شوند. احتمال ابتلای هر دو بار چقدر است؟
2. سکه یک بار پرتاب می شود. احتمال اینکه بار اول سر بالا بیاید و بعد دوبار دم بزند چقدر است؟
3. بازیکن دو تاس می اندازد. احتمال مساوی بودن مجموع اعداد روی آنها چقدر است؟

پاسخ ها:

1. رویدادها مستقل هستند، یعنی قانون ضرب کار می کند: .
2. احتمال سرها برابر است. احتمال دم یکسان است. تکثیر کردن:
3. 12 را فقط در صورتی می توان بدست آورد که دو -ki رول شوند: .

رویدادهای ناسازگار و قانون جمع

رویدادهایی که تا حد احتمال کامل یکدیگر را تکمیل می کنند، ناسازگار نامیده می شوند. همانطور که از نام آن پیداست، آنها نمی توانند به طور همزمان اتفاق بیفتند. به عنوان مثال، اگر یک سکه را برگردانیم، می تواند سر یا دم آن بالا بیاید.

مثال.

در یک جعبه مداد، از جمله آنها آبی، قرمز، سبز، ساده، زرد و بقیه نارنجی هستند. احتمال ترسیم سبز یا قرمز چقدر است؟

راه حل .

احتمال کشیدن یک مداد سبز برابر است. قرمز - .

رویدادهای مطلوب در همه: سبز + قرمز. یعنی احتمال ترسیم سبز یا قرمز برابر است.

همین احتمال را می توان به این شکل نشان داد: .

این قانون اضافه است:احتمال رویدادهای ناسازگار جمع می شود.

مشکلات نوع مختلط

مثال.

سکه دو بار پرتاب می شود. احتمال متفاوت بودن نتایج رول ها چقدر است؟

راه حل .

این بدان معنی است که اگر اولین نتیجه سر باشد، دومی باید دم باشد و بالعکس. معلوم می شود که دو جفت رویداد مستقل وجود دارد و این جفت ها با یکدیگر ناسازگار هستند. چگونه در مورد اینکه کجا ضرب کنیم و کجا اضافه کنیم گیج نشویم.

یک قانون ساده برای چنین شرایطی وجود دارد. سعی کنید آنچه را که قرار است اتفاق بیفتد با استفاده از حروف ربط "AND" یا "OR" توصیف کنید. به عنوان مثال، در این مورد:

باید بالا بیاید (سر و دم) یا (دم و سر).

در جایی که حرف ربط «و» باشد، ضرب و در جایی که «یا» باشد، جمع خواهد بود:

خودت آن را امتحان کن:

1. احتمال اینکه یک سکه دو بار پرتاب شود چقدر است، سکه هر دو بار روی یک طرف بیفتد؟
2. تاس ها دو بار پرتاب می شوند. احتمال کسب مجموع امتیاز چقدر است؟

راه حل ها:

1. (سر افتاد و دم افتاد) یا (دُم افتاد و دم): .
2. چه گزینه هایی وجود دارد؟ و. سپس:
   افتاد (و) یا (و) یا (و): .

مثالی دیگر:

یک بار سکه پرتاب کنید. احتمال اینکه سرها حداقل یک بار ظاهر شوند چقدر است؟

راه حل:

آه، چقدر دلم نمی‌خواهد از میان گزینه‌ها بگذرم... سر-دم-دم، عقاب-سر-دم،... اما نیازی نیست! بیایید در مورد احتمال کل به یاد داشته باشیم. یادت میاد؟ احتمال اینکه عقاب چقدر است هرگز بیرون نخواهد افتاد? ساده است: سرها همیشه پرواز می کنند، به همین دلیل است.

نظریه احتمال. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

احتمال، نسبت تعداد رویدادهای مطلوب به تعداد همه رویدادهای ممکن است.

رویدادهای مستقل

دو رویداد مستقل هستند اگر وقوع یکی احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد.

احتمال کل

احتمال همه رویدادهای ممکن برابر با () است.

احتمال رخ ندادن یک رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل

احتمال توالی معینی از رویدادهای مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات هر رویداد

رویدادهای ناسازگار

رویدادهای ناسازگار آنهایی هستند که ممکن است در نتیجه یک آزمایش به طور همزمان رخ ندهند. تعدادی از رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

احتمال رویدادهای ناسازگار جمع می شود.

پس از توصیف آنچه باید اتفاق بیفتد، با استفاده از حروف ربط "AND" یا "OR"، به جای "AND" علامت ضرب و به جای "OR" علامت جمع قرار می دهیم.

دانش آموز YouClever شوید،

برای آزمون دولتی واحد یا آزمون دولتی واحد در ریاضیات آماده شوید،

و همچنین بدون محدودیت به کتاب درسی YouClever دسترسی پیدا کنید...