ناهمگونی سیستم معرفی

امتحان سوال 1

1. روش تجزیه و تحلیل سیستم. مفهوم یک سیستم. خواص استاتیکی سیستم باز بودن. مشکلات در ساخت مدل جعبه سیاه. ناهمگونی ترکیب. مشکلات در ساخت مدل ترکیب. ساختار. مشکلات در ساخت مدل سازه.

خواص استاتیک اجازه دهید ویژگی های یک حالت خاص از سیستم را نام ببریم. این چیزی است که سیستم در هر مقطع زمانی ثابتی دارد.

باز بودن - ویژگی دوم سیستم. سیستم ایزوله که از هر چیز دیگری قابل تشخیص است، از محیط جدا نیست. برعکس، آنها به هم متصل هستند و هر نوع منبعی (ماده، انرژی، اطلاعات و ...) را با یکدیگر مبادله می کنند. به یاد داشته باشیم که ارتباطات بین سیستم و محیط جهت دار است. به عقیده برخی، محیط بر سیستم تأثیر می گذارد (به آنها ورودی های سیستم می گویند)، به عقیده برخی دیگر، سیستم بر محیط تأثیر می گذارد، کاری در محیط انجام می دهد، چیزی را در محیط تولید می کند (به این گونه اتصالات، خروجی های سیستم می گویند). لیست ورودی و خروجی سیستم نامیده می شود مدل جعبه سیاه . این مدل فاقد اطلاعات در مورد ویژگی های داخلی سیستم است. با وجود سادگی (ظاهری) و فقر محتوای مدل جعبه سیاه، این مدل اغلب برای کار با سیستم کاملاً کافی است.

مشکلات در ساخت مدل جعبه سیاه . همه آنها از این واقعیت ناشی می شوند که مدل همیشه حاوی لیست محدودی از اتصالات است، در حالی که تعداد آنها در یک سیستم واقعی نامحدود است. این سوال مطرح می شود: کدام یک از آنها باید در مدل گنجانده شود و کدام نه؟ ما قبلاً پاسخ را می دانیم: مدل باید همه اتصالاتی را که برای آنها طبیعی است منعکس کند

رسیدن به هدف

چهار نوع خطا در ساخت مدل جعبه سیاه:

خطای نوع اول زمانی رخ می‌دهد که آزمودنی ارتباطی را مهم ارزیابی کند و تصمیم بگیرد آن را در مدل لحاظ کند، در حالی که در واقع نسبت به هدف ناچیز است و نمی‌توان آن را در نظر گرفت. این منجر به ظهور عناصر "اضافی" در مدل می شود که اساساً غیر ضروری هستند.

برعکس، یک خطای نوع دوم توسط آزمودنی زمانی رخ می دهد که او تصمیم می گیرد که یک ارتباط معین ناچیز است و سزاوار آن نیست که در مدل گنجانده شود، در حالی که در واقع، بدون آن، هدف ما به طور کامل محقق نمی شود یا حتی اصلا

خطای نوع سوم از پیامدهای جهل شمرده می شود. برای ارزیابی اهمیت یک ارتباط خاص، باید بدانید که اصلاً وجود دارد. اگر این ناشناخته است، سؤال درج یا عدم گنجاندن آن در مدل به هیچ وجه مطرح نمی شود: مدل ها فقط حاوی آن چیزی هستند که ما می دانیم. اما از آنجا که ما به وجود یک ارتباط خاص مشکوک نیستیم، وجود آن متوقف نمی شود و خود را در واقعیت نشان می دهد. و سپس همه چیز به این بستگی دارد که چقدر برای دستیابی به هدف ما مهم است. اگر ناچیز باشد، در عمل متوجه حضور آن در واقعیت و عدم حضور آن در مدل نخواهیم شد. اگر قابل توجه باشد، همان مشکلاتی را که با خطای نوع دوم وجود دارد، تجربه خواهیم کرد. تفاوت این است که تصحیح خطای نوع سوم دشوارتر است: دانش جدید باید کسب شود.

خطای نوع چهارم زمانی رخ می دهد که یک اتصال قابل توجه شناخته شده و شناخته شده به اشتباه به تعداد ورودی ها یا خروجی ها اختصاص داده شود.

ناهمگونی درونی: قابلیت تشخیص قطعات (ویژگی سوم سیستم). اگر به داخل "جعبه سیاه" نگاه کنید، معلوم می شود که سیستم یکدست نیست، یکپارچه نیست. ممکن است فرد متوجه شود که کیفیت های مختلف از مکانی به مکان دیگر متفاوت است. توصیف ناهمگونی درونی سیستم به جداسازی مناطق نسبتاً همگن و ترسیم مرزهای بین آنها خلاصه می شود. اینگونه است که مفهوم اجزای سیستم ظاهر می شود. با بررسی دقیق تر، معلوم می شود که قطعات بزرگ انتخاب شده نیز همگن نیستند، که نیاز به شناسایی قطعات حتی کوچکتر دارد. نتیجه یک لیست سلسله مراتبی از قطعات سیستم است که آن را مدل ترکیب سیستم می نامیم.

مشکلات در ساخت یک مدل ترکیب که هر کس باید بر آن غلبه کند را می توان در سه موقعیت نشان داد:

اولین. کل را می توان به روش های مختلف به قطعات تقسیم کرد (مانند برش نان به برش هایی با اندازه ها و شکل های مختلف). و دقیقا چقدر لازم است؟ پاسخ: راهی که برای رسیدن به هدف خود نیاز دارید.

دومین. تعداد قطعات در مدل ترکیب نیز بستگی به سطحی دارد که در آن قطعه قطعه شدن سیستم متوقف شده است. قسمت های روی شاخه های انتهایی درخت سلسله مراتبی حاصل نامیده می شوند عناصر .

سوم. هر سیستم بخشی از یک سیستم بزرگتر است (و اغلب بخشی از چندین سیستم به طور همزمان). و این متاسیستم را نیز می توان به روش های مختلف به زیرسیستم ها تقسیم کرد. این بدان معنی است که مرز خارجی سیستم نسبی و مشروط است. حتی مرز "بدیهی" سیستم (پوست انسان، حصار یک شرکت و غیره) تحت شرایط خاص برای تعیین مرز در این شرایط کافی نیست.

ساختاری بودن چهارمین خاصیت ایستا این است که اجزای سیستم از یکدیگر مستقل یا مجزا نیستند. آنها به هم مرتبط هستند و با یکدیگر تعامل دارند. علاوه بر این، ویژگی های سیستم به طور کلی به طور قابل توجهی به نحوه تعامل قطعات آن بستگی دارد. به همین دلیل است که اطلاعات در مورد اتصالات بین قطعات اغلب بسیار مهم است. لیستی از ارتباطات ضروری بین عناصر سیستم را مدل ساختار سیستم می نامند. تقسیم ناپذیری هر سیستم توسط یک ساختار خاص، چهارمین خاصیت ایستا سیستم ها - ساختارمندی نامیده می شود.

مشکلات در ساخت مدل سازه . ما تأکید می کنیم که بسیاری از مدل های ساختاری مختلف را می توان برای یک سیستم معین پیشنهاد کرد. واضح است که برای رسیدن به یک هدف معین، یک مدل خاص و مناسب از آنها لازم است. دشواری انتخاب از بین مدل‌های موجود یا ساخت یک مدل به‌طور خاص برای مورد ما از این واقعیت ناشی می‌شود که، طبق تعریف، یک مدل ساختار فهرستی از اتصالات ضروری است.

اولین مشکل به این واقعیت مربوط می شود که مدل ساختار پس از انتخاب مدل ترکیب تعیین می شود و بستگی به این دارد که ترکیب سیستم دقیقاً چگونه باشد. اما حتی با یک ترکیب ثابت، مدل ساختار متغیر است - به دلیل امکان تعریف متفاوت اهمیت اتصالات.

مشکل دوم از این واقعیت ناشی می شود که هر عنصر سیستم یک "جعبه سیاه کوچک" است. بنابراین هر چهار نوع خطا هنگام تعیین ورودی و خروجی هر عنصر موجود در مدل ساختار ممکن است.

2. روش تجزیه و تحلیل سیستم. مفهوم یک سیستم. ویژگی های دینامیکی سیستم: عملکرد، تحریک، تغییرپذیری سیستم در طول زمان، وجود در یک محیط متغیر. ویژگی های ترکیبی سیستم: ظهور، تفکیک ناپذیری به قطعات، ذات، مصلحت.

ویژگی های دینامیکی سیستم:

عملکرد - پنجمین ویژگی سیستم. فرآیندهای Y(t) که در خروجی های سیستم (Y(1)^(уi(t)، Ур(1)، -، Ун(0) به عنوان توابع آن در نظر گرفته می شوند. توابع سیستم - این رفتار آن در محیط خارجی است. تغییرات ایجاد شده توسط سیستم در محیط؛ نتایج فعالیت های آن؛ محصولات تولید شده توسط سیستم از تعدد خروجی ها، تعدد توابع به دست می آید که هر کدام می تواند توسط کسی و برای چیزی استفاده شود. بنابراین، یک سیستم می تواند اهداف متفاوتی را انجام دهد.

تحریک پذیری - ششمین ویژگی سیستم. در ورودی های سیستم، فرآیندهای خاصی X(t) = (x^(t)، X2 (t)، x^(t)) نیز رخ می دهد که بر سیستم تأثیر می گذارد، چرخش (پس از یک سری تبدیل در سیستم) به Y(t). اجازه دهید تأثیرات را محرک X(t) بنامیم و حساسیت هر سیستم به تأثیرات خارجی و تغییر رفتار آن تحت این تأثیرات را تحریک پذیری می نامند.

تنوع سیستم در طول زمان - هفتمین ویژگی سیستم. در هر سیستمی، تغییراتی رخ می دهد که باید در نظر گرفته شود. فراهم کردن و گنجاندن در طراحی سیستم آینده؛ ترویج یا مقابله با آنها، افزایش سرعت یا کاهش سرعت آنها هنگام کار با سیستم موجود. هر چیزی می تواند در سیستم تغییر کند، اما از نظر مدل های ما می توانیم یک طبقه بندی بصری از تغییرات ارائه دهیم: مقادیر متغیرهای داخلی (پارامترها) Z(t)، ترکیب و ساختار سیستم و هر ترکیبی از آنها می تواند تغییر دادن.

وجود در یک محیط در حال تغییر - هشتمین ویژگی سیستم. نه تنها این سیستم، بلکه سایر سیستم ها نیز در حال تغییر است. برای یک سیستم معین، این به نظر یک تغییر مداوم در محیط است. اجتناب ناپذیر بودن وجود در محیطی که دائماً در حال تغییر است، پیامدهای زیادی برای خود سیستم دارد، از نیاز به انطباق آن با تغییرات بیرونی برای نابود نشدن گرفته تا واکنش های مختلف دیگر سیستم. هنگام در نظر گرفتن یک سیستم خاص برای یک هدف خاص، توجه به برخی ویژگی های خاص پاسخ آن معطوف می شود.

خواص مصنوعی سیستم:

مصنوعی . این اصطلاح به ویژگی‌های کلی، جمعی و یکپارچه اشاره می‌کند که آنچه قبلاً گفته شد را در نظر می‌گیرد، اما بر تعامل سیستم با محیط، بر یکپارچگی در کلی‌ترین معنای تأکید دارد.

خروج، اورژانس - نهمین ویژگی سیستم. شاید این ویژگی بیش از هر چیز دیگری در مورد ماهیت سیستم ها صحبت کند. ترکیب قطعات در یک سیستم باعث ایجاد ویژگی‌های کیفی جدیدی در سیستم می‌شود که قابل تقلیل به خصوصیات قطعات نیستند، از ویژگی‌های قطعات ناشی نمی‌شوند، فقط در خود سیستم ذاتی هستند و فقط در زمانی وجود دارند که سیستم یک کل است یک سیستم چیزی بیش از مجموعه ای ساده از قطعات است. ویژگی های سیستم که مختص آن است اضطراری نامیده می شوند (از انگلیسی "به وجود آمدن").

جدایی ناپذیری به قطعات - دهمین ویژگی سیستم. اگرچه این خاصیت یک پیامد ساده ظهور است، اما اهمیت عملی آن به قدری زیاد و دست کم گرفتن آن به قدری رایج است که توصیه می شود به طور جداگانه بر آن تأکید شود. اگر به خود سیستم نیاز داشته باشیم، نه چیز دیگری، آنگاه نمی توان آن را به بخش تقسیم کرد. هنگامی که یک قطعه از سیستم حذف می شود، دو رویداد مهم رخ می دهد.

اولاً، این ترکیب سیستم و در نتیجه ساختار آن را تغییر می دهد. این یک سیستم متفاوت با ویژگی های متفاوت خواهد بود. از آنجایی که سیستم قبلی دارای ویژگی های زیادی است، برخی از ویژگی های مرتبط با این بخش خاص به طور کلی ناپدید می شوند (ممکن است ظاهر شود یا نباشد. برخی از ویژگی ها تغییر می کنند، اما تا حدی حفظ می شوند. و برخی از ویژگی های سیستم به طور کلی بی اهمیت هستند و با اجازه دهید یک بار دیگر تاکید کنیم که آیا خروج یک قطعه از سیستم تاثیر قابل توجهی خواهد داشت یا خیر، موضوع ارزیابی عواقب آن است.

دومین پیامد مهم حذف بخشی از سیستم این است که آن قسمت در سیستم و خارج از آن یکسان نیست. خواص آن به این دلیل تغییر می کند که ویژگی های یک شی در تعامل با اشیاء اطراف آن آشکار می شود و هنگامی که از سیستم حذف می شود، محیط عنصر کاملاً متفاوت می شود.

بی غیرتی - یازدهمین ویژگی سیستم. ما خواهیم گفت که سیستم هر چه ذاتی تر باشد (از انگلیسی ذاتی - بخشی جدایی ناپذیر از چیزی است) ، بهتر هماهنگ است ، با محیط سازگار است و با آن سازگار است. درجه ذاتی متفاوت است و می تواند تغییر کند (یادگیری، فراموشی، تکامل، اصلاح، توسعه، تنزل، و غیره). این واقعیت که همه سیستم ها باز هستند به این معنی نیست که همه آنها به یک اندازه با محیط سازگار هستند.

امکان پذیری - ویژگی دوازدهم سیستم در سیستم‌هایی که انسان ایجاد می‌کند، تبعیت همه چیز (اعم از ترکیب و ساختار) به هدف تعیین‌شده آنقدر بدیهی است که باید به عنوان ویژگی اساسی هر سیستم مصنوعی شناخته شود. هدفی که سیستم برای آن ایجاد می شود تعیین می کند که کدام ویژگی اضطراری اجرای هدف را تضمین می کند و این به نوبه خود انتخاب ترکیب و ساختار سیستم را دیکته می کند. یکی از تعاریف سیستم این است بیان می کند: یک سیستم وسیله ای برای رسیدن به هدف است. قابل درک است که اگر نتوان با استفاده از قابلیت های موجود به هدف ارائه شده دست یافت، آنگاه آزمودنی یک سیستم جدید را از اشیاء اطراف خود جمع آوری می کند که به ویژه برای کمک به دستیابی به این هدف ایجاد شده است. شایان ذکر است که هدف به ندرت به طور واضح ترکیب و ساختار سیستم ایجاد شده را تعیین می کند: مهم است که عملکرد مورد نظر اجرا شود و اغلب می توان به روش های مختلف به آن دست یافت.

3. روش تجزیه و تحلیل سیستم. مدل ها و شبیه سازی مفهوم یک مدل به عنوان یک سیستم. تجزیه و تحلیل و سنتز به عنوان روش هایی برای ساخت مدل ها. طبقه بندی مصنوعی و طبیعی مدل ها. سازگاری مدل ها با فرهنگ موضوع.

بسته به آنچه باید بدانیم، توضیح دهیم - سیستم چگونه ساختار یافته است یا چگونه با محیط تعامل می کند، دو روش شناخت متمایز می شود: 1) تحلیلی؛ 2) مصنوعی

روش تجزیه و تحلیل شامل انجام متوالی سه عملیات زیر است. 1) یک کل پیچیده را به قطعات کوچکتر تقسیم کنید، احتمالاً ساده تر. 2) توضیح واضحی از قطعات دریافتی ارائه دهید. 3) توضیح اجزا را در توضیح کل ترکیب کنید. اگر بخشی از سیستم نامشخص بماند، عملیات تجزیه تکرار می شود و ما دوباره سعی می کنیم قطعات جدید و حتی کوچکتر را توضیح دهیم.

اولین محصول تجزیه و تحلیل، همانطور که از نمودار مشاهده می شود، لیستی از عناصر سیستم است. . مدل ترکیب سیستم . محصول دوم تحلیل مدلی از ساختار سیستم است . سومین محصول تجزیه و تحلیل است مدل جعبه سیاه برای هر عنصر سیستم

روش مصنوعی شامل انجام متوالی سه عملیات است: 1) شناسایی یک سیستم بزرگتر (متاسیستم) که سیستم مورد علاقه ما به عنوان بخشی از آن گنجانده شده است. 2) در نظر گرفتن ترکیب و ساختار متاسیستم (تحلیل آن): 3) توضیح نقشی که سیستم ما در متاسیستم از طریق ارتباط با سایر زیر سیستم های متاسیستم ایفا می کند. محصول نهایی سنتز، آگاهی از اتصالات سیستم ما با سایر بخش‌های متاسیستم است، یعنی. مدل جعبه سیاه اما برای ساختن آن، مجبور شدیم به طور همزمان مدل هایی از ترکیب و ساختار متاسیستم را به عنوان محصولات جانبی ایجاد کنیم.

تجزیه و تحلیل و سنتز متضاد نیستند، بلکه مکمل یکدیگر هستند. علاوه بر این، در تجزیه و تحلیل یک جزء مصنوعی وجود دارد، و در سنتز تجزیه و تحلیل متاسیستم وجود دارد.

دو نوع طبقه بندی وجود دارد: مصنوعی و طبیعی . با طبقه بندی مصنوعی تقسیم به کلاس ها "آنطور که باید باشد" انجام می شود، یعنی. بر اساس هدف تعیین شده - برای طبقات مختلف و با چنین مرزهایی که توسط هدف دیکته شده است. زمانی که مجموعه مورد نظر به وضوح ناهمگن باشد، طبقه‌بندی تا حدودی متفاوت انجام می‌شود. گروه بندی های طبیعی (در آمار به آنها خوشه گفته می شود) به نظر می رسد که می خواهند به عنوان کلاس ها تعریف شوند ، (از این رو نام طبقه بندی طبیعی است) . با این حال، باید در نظر داشت که طبقه بندی طبیعی فقط یک مدل ساده شده و خشن از واقعیت است .

سازگاری مدل ها با فرهنگ موضوع . برای اینکه یک مدل به عملکرد مدل خود پی ببرد، حضور خود مدل کافی نیست. ضروری است که مدل سازگار و سازگار با محیطی بود که برای مدل فرهنگ (دنیای مدل‌ها) کاربر است. این شرایط، هنگام در نظر گرفتن ویژگی‌های سیستم‌ها، ذاتی نامیده می‌شود: ذات یک مدل به فرهنگ، شرط لازم برای مدل‌سازی است.درجه ذاتی مدل می تواند تغییر کند: افزایش (آموزش کاربر، ظاهر یک آداپتور مانند سنگ روزتا و غیره) یا کاهش (فراموشی، تخریب فرهنگ) به دلیل تغییرات در محیط یا خود مدل. بنابراین، یک عنصر دیگر باید در فراسیستم مدلسازی گنجانده شود - فرهنگ.

4. روش تجزیه و تحلیل سیستم. کنترل. پنج جزء کنترلی هفت نوع کنترل

کنترل - تاثیر هدفمند بر روی سیستم

پنج جزء کنترلی:

اولین مؤلفه کنترلی، خود شیء کنترل، یعنی سیستم مدیریت شده است.

دومین جزء الزامی سیستم مدیریت، هدف مدیریت است.

عمل کنترلی U(t) سومین جزء کنترلی است . این واقعیت که ورودی‌ها و خروجی‌های سیستم توسط یک رابطه Y(t)=S به هم مرتبط هستند، به ما این امکان را می‌دهد که امیدوار باشیم که یک عمل کنترلی وجود داشته باشد که در آن هدف V*(t) در خروجی محقق شود.

مدل سیستم به چهارمین جزء فرآیند مدیریت تبدیل می شود.

تمام اقدامات لازم برای کنترل باید انجام شود. این تابع معمولاً به سیستمی که مخصوصاً برای این منظور ایجاد شده است اختصاص داده می شود. (پنجمین جزء فرآیند مدیریت). واحد کنترل یا سیستم کنترل (زیر سیستم)، دستگاه کنترل نامیده می شودو غیره در واقع بلوک کنترل می تواند یک سیستم فرعی از یک سیستم کنترل شده (مانند avodouiravle1gae - بخشی از یک کارخانه، یک خلبان خودکار - بخشی از یک هواپیما) باشد، اما همچنین می تواند یک سیستم خارجی باشد (مانند یک وزارتخانه برای یک شرکت زیرمجموعه، مانند یک توزیع کننده فرودگاه برای فرود هواپیما).

هفت نوع کنترل:

اولین نوع کنترل، کنترل ساده سیستم یا کنترل برنامه است.

نوع دوم کنترل، کنترل یک سیستم پیچیده است.

نوع سوم کنترل، کنترل توسط پارامترها یا تنظیم است.

نوع چهارم مدیریت، مدیریت بر اساس ساختار است.

نوع پنجم مدیریت، مدیریت بر اساس اهداف است.

ششمین نوع مدیریت، مدیریت سیستم های بزرگ است.

نوع هفتم کنترل علاوه بر کنترل نوع اول، زمانی که همه چیز لازم برای دستیابی به هدف در دسترس باشد، انواع دیگر کنترل در نظر گرفته شده با غلبه بر عواملی که مانع از دستیابی به هدف می شود همراه است: عدم اطلاعات در مورد هدف کنترل (نوع دوم). تداخل جزئی خارجی که سیستم را اندکی از مسیر هدف منحرف می کند (نوع سوم)، عدم تطابق بین ویژگی های نوظهور سیستم و هدف تعیین شده (نوع چهارم)، کمبود منابع مادی، دست نیافتنی کردن هدف و نیاز به جایگزینی آن (نوع پنجم) ) کمبود وقت برای یافتن بهترین راه حل (نوع ششم).

5. فن آوری تجزیه و تحلیل سیستم. شرایط موفقیت تحقیقات سیستمی مراحل تحقیق سیستمی: رفع مشکل، تشخیص مشکل، تهیه فهرستی از ذینفعان، شناسایی ترکیب مشکل.

شرایط موفقیت تحقیقات سیستمی :

تضمین دسترسی به هرگونه اطلاعات لازم (در عین حال، تحلیلگر به نوبه خود محرمانه بودن را تضمین می کند).

تضمین مشارکت شخصی مقامات عالی سازمان ها - شرکت کنندگان اجباری در یک موقعیت مشکل (مدیران سیستم های حل مسئله و حل مشکل).

امتناع از الزام به تدوین نتیجه لازم از قبل ("مشخصات فنی")، زیرا مداخلات بهبود دهنده زیادی وجود دارد و از قبل ناشناخته هستند، به ویژه اینکه کدام یک برای اجرا انتخاب می شود.

رفع مشکل - وظیفه این است که مسئله را فرموله کرده و آن را مستند کنید. فرمول مشکل توسط خود مشتری ایجاد می شود. کار تحلیلگر این است که بفهمد مشتری از چه چیزی شکایت می کند، از چه چیزی ناراضی است. این مشکل مشتری است که او آن را می بیند. در عین حال باید سعی کنید نظر او را تحت تأثیر قرار ندهید و آن را تحریف نکنید.

تشخیص مشکل . اینکه کدام یک از روش های حل مسئله برای حل یک مشکل معین استفاده شود بستگی به این دارد که آیا ما انتخاب می کنیم که روی ناراضی ترین موضوع تأثیر بگذاریم یا در واقعیتی که او از آن ناراضی است مداخله کنیم (ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ترکیبی از هر دو تأثیر توصیه شود). وظیفه این مرحله تشخیص است - تعیین نوع مشکل.

تهیه فهرستی از ذینفعان .هدف نهایی ما اجرای مداخلات بهبود است. هر مرحله باید ما را یک قدم به آن نزدیکتر کند، اما باید مراقب باشیم که این گام در جهت درست باشد نه در جهت دیگر. برای اینکه متعاقباً منافع همه شرکت کنندگان در وضعیت مشکل در نظر گرفته شود (و این دقیقاً همان چیزی است که مفهوم بهبود مداخله مبتنی بر آن است) ، ابتدا لازم است بدانید چه کسی در موقعیت مشکل دخیل است و لیستی تهیه کنید. از آنها در عین حال، مهم است که کسی را از دست ندهید. به هر حال، در نظر گرفتن منافع فردی که برای ما ناشناخته است غیرممکن است و در نظر نگرفتن کسی تهدیدی برای عدم بهبود مداخله ما می کند. بنابراین، فهرست شرکت کنندگان در وضعیت مشکل باید کامل باشد.

شناسایی آشفتگی مشکل . ذینفعان منافعی دارند که ما باید آنها را در نظر بگیریم. اما برای این باید آنها را بشناسید. در حال حاضر، ما فقط لیستی از دارندگان علاقه داریم. اولین اطلاعاتی که باید در مورد یک ذینفع به دست آید، ارزیابی خود او از وضعیتی است که برای مشتری ما مشکل ساز است. ممکن است متفاوت باشد: برخی از ذینفعان ممکن است مشکلات خاص خود را داشته باشند (ارزیابی منفی)، برخی کاملاً راضی هستند (ارزیابی مثبت)، برخی دیگر ممکن است در مورد واقعیت بی طرف باشند. اینجوری واضح تر میشه<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. فن آوری تجزیه و تحلیل سیستم. عملیات تجزیه و تحلیل سیستم مراحل تحقیق سیستم: تعیین پیکربندی، شناسایی هدف، تعیین معیارها، تحقیقات تجربی.

عملیات تجزیه و تحلیل سیستم . در صورت موافقت مشتری با شرایط قرارداد، تحلیلگر با تکمیل مرحله اول، مرحله دوم را شروع می کند و تا آخرین مرحله ادامه می یابد که در پایان آن مداخله بهبود دهنده اجرا شده باید به دست آید.

تعریف پیکربندی . شرط لازم برای یک راه حل موفقیت آمیز برای یک مشکل وجود یک مدل مناسب از وضعیت مشکل است که با کمک آن می توان گزینه ها را برای اقدامات پیشنهادی آزمایش و مقایسه کرد. این مدل (یا مجموعه ای از مدل ها) ناگزیر باید با استفاده از ابزار برخی از زبان ها (یا زبان ها) ساخته شود. این سوال مطرح می شود که برای کار بر روی این مشکل به چند زبان و چه زبانی نیاز است و چگونه آنها را انتخاب کنیم. به آن پیکربندی کننده می گویند. حداقل مجموعه ای از زبان های حرفه ای که به شما امکان می دهد توصیف کامل (کافی) از وضعیت مشکل و تحولات آن ارائه دهید. تمام کارها در حین حل مسئله به زبان های پیکربندی کننده انجام می شود. و فقط روی آنها. تعریف پیکربندی وظیفه این مرحله است. ما تأکید می کنیم که پیکربندی اختراع مصنوعی تحلیلگران سیستم نیست که برای تسهیل کار آنها اختراع شده است.. از یک طرف، پیکربندی بر اساس ماهیت مشکل تعیین می شود. از سوی دیگر، پیکربندی را می توان به عنوان یکی دیگر از ویژگی های سیستم ها در نظر گرفت، به عنوان وسیله ای که سیستم به وسیله آن مشکل خود را حل می کند.

تشخیص هدف . هنگامی که به دنبال اجرای یک مداخله بهبود هستیم، باید اطمینان حاصل کنیم که هیچ یک از ذینفعان آن را منفی نبینند. افراد یک تغییر را اگر آنها را به هدفشان نزدیک کند، مثبت ارزیابی می کنند و اگر آنها را از آن دور کند، منفی ارزیابی می کنند. بنابراین برای طراحی یک مداخله، شناخت اهداف همه ذینفعان ضروری است. البته منبع اصلی اطلاعات خود ذینفع است.

تعریف معیارها . در مسیر حل یک مشکل، مقایسه گزینه های پیشنهادی، ارزیابی میزان دستیابی به هدف یا انحراف از آن و نظارت بر پیشرفت رویدادها ضروری خواهد بود. این امر با برجسته کردن برخی از ویژگی های اشیاء و فرآیندهای مورد بررسی به دست می آید. این نشانه‌ها باید با ویژگی‌های اشیاء یا فرآیندهای مورد بررسی که به ما علاقه دارند مرتبط باشند و باید برای مشاهده و اندازه‌گیری قابل دسترسی باشند. سپس بر اساس نتایج اندازه گیری به دست آمده، قادر خواهیم بود کنترل لازم را انجام دهیم. چنین ویژگی هایی معیار نامیده می شود. هر مطالعه (از جمله مطالعه ما) به معیارهایی نیاز دارد. چند، چه و چگونه معیارها را انتخاب کنیم؟ اول، در مورد تعداد معیارها. بدیهی است که هر چه معیارهای کمتری نیاز داشته باشید، مقایسه آسان‌تر خواهد بود. یعنی مطلوب است که تعداد معیارها را به حداقل برسانیم؛ خوب است که آن را به یک کاهش دهیم. انتخاب معیارها . معیارها مدل های کمی اهداف کیفی هستند. در واقع معیارهای شکل گرفته در آینده به یک معنا معرف و جایگزین اهداف هستند: بهینه سازی بر اساس معیارها باید حداکثر تقریب را به هدف تضمین کند. البته، معیارها با هدف یکسان نیستند، آنها ظاهری از هدف، مدل آن هستند. تعیین مقدار معیار برای یک جایگزین معین اساساً اندازه گیری درجه مناسب بودن آن به عنوان وسیله ای برای رسیدن به هدف است.

مطالعه تجربی سیستم ها آزمایش و مدل. اغلب، اطلاعات از دست رفته در مورد یک سیستم را می توان تنها با انجام آزمایشی که مخصوص این منظور طراحی شده است، از خود سیستم به دست آورد. اطلاعات موجود در پروتکل آزمایشی استخراج می‌شود و داده‌های حاصل را در معرض پردازش و تبدیل به شکلی مناسب برای گنجاندن در مدل سیستم قرار می‌دهد. مرحله نهایی اصلاح مدل است و اطلاعات دریافتی را در مدل گنجانده است. به راحتی می توان دریافت که برای بهبود مدل نیاز به آزمایش است. همچنین درک این نکته مهم است که آزمایش بدون مدل غیرممکن است. آنها در یک چرخه هستند. با این حال، چرخش در این چرخه شبیه یک چرخ چرخان نیست، بلکه شبیه یک گلوله برفی است - با هر چرخش آن بزرگتر و سنگین تر می شود.

7. فن آوری تجزیه و تحلیل سیستم. مراحل تحقیق سیستم: ساخت و بهبود مدل ها، تولید جایگزین، تصمیم گیری، +.

ساخت و بهسازی مدل ها. در تجزیه و تحلیل سیستم ها، به یک مدل مسئله و یک موقعیت نیاز است "از دست دادن" ممکن است گزینه‌هایی برای مداخلات به منظور قطع نه تنها مواردی که بهبود نمی‌یابند، بلکه همچنین از بین مواردی که بیشترین بهبود را دارند (طبق معیارهای ما) مواردی را که بهبود می‌یابند انتخاب کنید. باید تاکید کرد که در ساخت یک مدل موقعیت در هر مرحله قبلی و در تمام مراحل بعدی (هم با مشارکت خود و هم با تصمیم برای بازگشت به مراحل اولیه برای پر کردن مدل با اطلاعات) مشارکت صورت می‌گیرد. بنابراین، در واقع، "مرحله ساخت یک مدل" جداگانه و ویژه ای وجود ندارد و با این حال ارزش آن را دارد که بر ویژگی های مدل های ساختمانی یا به عبارت بهتر، آنها تمرکز کنیم. "تکمیل ساخت و ساز" (یعنی اضافه کردن عناصر جدید یا حذف موارد غیر ضروری).

ایجاد گزینه های جایگزین . در فناوری توصیف شده، این عمل در دو مرحله انجام می شود:

شناسایی اختلاف بین مشکل و مخلوط های هدف. تفاوت‌های بین وضعیت فعلی (و نامطلوب) سازمان و آینده، مطلوب‌ترین و ایده‌آل‌ترین حالتی که قرار است برای رسیدن به آن تلاش کند، باید به وضوح تدوین شود. این تفاوت ها شکاف هایی هستند که رفع آنها باید برنامه ریزی شود.

پیشنهاد گزینه های ممکن برای حذف یا کاهش اختلافات شناسایی شده. اقدامات، رویه‌ها، قوانین، پروژه‌ها، برنامه‌ها و سیاست‌ها - همه اجزای مدیریت - باید برای اجرا طراحی شوند.

ناهمگونی داخلی سیستم ها: قابلیت تشخیص قطعات اگر به درون "جعبه سیاه" نگاه کنید، معلوم می شود که سیستم یکدست و یکپارچه نیست: می توانید متوجه شوید که کیفیت های مختلف در مکان های مختلف متفاوت است. توصیف ناهمگونی درونی سیستم به جداسازی مناطق نسبتاً همگن و ترسیم مرزهای بین آنها خلاصه می شود. اینگونه است که مفهوم اجزای سیستم ظاهر می شود. با بررسی دقیق تر، معلوم می شود که قطعات بزرگ انتخاب شده نیز همگن نیستند، که نیاز به شناسایی قطعات حتی کوچکتر دارد. نتیجه یک لیست سلسله مراتبی از قطعات سیستم است که آن را مدل ترکیب سیستم می نامیم.

اطلاعات مربوط به ترکیب سیستم را می توان برای کار با سیستم استفاده کرد. اهداف تعامل با سیستم ها ممکن است متفاوت باشد و بنابراین مدل های ترکیب یک سیستم نیز ممکن است متفاوت باشد. ایجاد یک مدل مفید و قابل اجرا آسان نیست.

مشکلات در ساخت یک مدل ترکیب

در نگاه اول، تشخیص قطعات سیستم دشوار نیست؛ آنها "چشم را جلب می کنند". برخی از سیستم ها به طور خود به خود در فرآیند رشد و نمو طبیعی به قطعات متمایز می شوند (جانداران، جوامع، سیستم های سیاره ای، مولکول ها، ذخایر معدنی و غیره). سیستم های مصنوعی بدیهی است که از قسمت های قبلی مجزا (مکانیسم ها، ساختمان ها، متون، ملودی ها و غیره) مونتاژ می شوند. انواع مختلفی از سیستم ها نیز وجود دارد (ذخایر، سیستم های کشاورزی، سازمان های تحقیقاتی طبیعت، پیش نویس حمل و نقل).

از طرف دیگر، از رئیس، یک دانشجو، یک حسابدار یا یک مدیر تجاری بپرسید که یک دانشگاه از چه بخش هایی تشکیل شده است و هر کدام مدل ترکیبی خود را متفاوت از بقیه به شما ارائه می دهند. خلبان، مهماندار و مسافر نیز ترکیب هواپیما را متفاوت تعیین می کنند. می توان گفت که بدن از نیمه راست و چپ تشکیل شده است و یا می توان گفت از نیمه بالایی و پایینی تشکیل شده است. بنابراین "واقعا" از چه چیزی تشکیل شده است؟

مشکلات ساخت یک مدل ترکیب بندی که همه باید بر آن غلبه کنند را می توان در سه موقعیت نشان داد.

1. کل را می توان به روش های مختلف به اجزا تقسیم کرد

کل را می توان به روش های مختلف به قطعات تقسیم کرد (مانند برش نان به برش هایی با اندازه ها و شکل های مختلف). و دقیقا چقدر لازم است؟ پاسخ: راهی که برای رسیدن به هدف خود نیاز دارید. به عنوان مثال، ترکیب یک خودرو به طور متفاوتی برای علاقه مندان به خودروهای تازه کار، رانندگان حرفه ای آینده، مکانیک هایی که برای کار در تعمیرگاه های خودرو آماده می شوند و فروشندگان در فروشگاه های خودرو ارائه می شود.

سپس طبیعی است که به این سوال برگردیم: آیا واقعاً قطعات وجود دارند؟ به فرمول دقیق ویژگی مورد نظر توجه کنید: قابل تشخیص بودن قطعات، نه قابل تفکیک به قطعات. ما رویکرد دیگری را برای مشکل یکپارچگی سیستم در پیش گرفته‌ایم: شما می‌توانید بین بخش‌هایی از سیستم که برای هدف خود به آن نیاز دارید تمایز قائل شوید و از اطلاعات موجود در مورد آنها استفاده کنید، اما نباید آنها را از هم جدا کنید. بعداً این موقعیت را تعمیق و توسعه خواهیم داد.

2. تعداد قطعات در مدل ترکیب

تعداد قطعات در مدل ترکیب نیز بستگی به سطحی دارد که در آن قطعه قطعه شدن سیستم متوقف شده است. قطعات روی شاخه های انتهایی درخت سلسله مراتبی حاصل را عناصر می نامند. در شرایط مختلف، تجزیه در سطوح مختلف خاتمه می یابد. به عنوان مثال، هنگام توصیف کار آینده، لازم است به یک کارگر با تجربه و یک تازه کار دستورالعمل هایی با درجات مختلف جزئیات داده شود. بنابراین، مدل ترکیب بستگی به آنچه ابتدایی تلقی می شود، دارد و از آنجایی که این کلمه ارزشی است، مفهومی مطلق نیست، بلکه یک مفهوم نسبی است. با این حال، مواردی وجود دارد که یک عنصر ماهیت طبیعی و مطلق دارد (سلول ساده ترین عنصر یک موجود زنده است، فرد آخرین عنصر جامعه است، واج ها کوچکترین بخش های گفتار شفاهی هستند) یا توسط ما تعیین می شود. قابلیت ها (به عنوان مثال، می توانیم فرض کنیم که یک الکترون نیز از چیزی تشکیل شده است، اما تاکنون فیزیکدانان قادر به تشخیص قطعات آن با بار کسری نبوده اند).

3. مرز خارجی سیستم

هر سیستم بخشی از یک سیستم بزرگتر است (و اغلب بخشی از چندین سیستم به طور همزمان). و این متاسیستم را نیز می توان به روش های مختلف به زیرسیستم ها تقسیم کرد. این بدان معنی است که مرز خارجی سیستم نسبی و مشروط است. حتی مرز "بدیهی" سیستم (پوست انسان، حصار یک شرکت و غیره) تحت شرایط خاص برای تعیین مرز در این شرایط کافی نیست. مثلاً در حین غذا یک کتلت را با چنگال از بشقاب برمی دارم، گاز می گیرم، می جوم، قورت می دهم و هضم می کنم. کجاست مرزی که از آن کتلت بخشی از من می شود؟ مثال دیگر با مرز شرکت است. کارگر روی پله ها افتاد و پایش شکست. پس از درمان، هنگام پرداخت صورتحساب، این سوال مطرح می شود: چه نوع آسیبی بوده است - خانگی یا صنعتی (پرداخت آنها متفاوت است)؟ شکی نیست که این پلکان شرکت بوده است. اما اگر این پله‌های خانه‌ای بود که کارگر در آن زندگی می‌کرد، پس همه چیز به نحوه راه رفتن او به خانه بستگی دارد. اگر مستقیم از محل کار هستید و هنوز به درب آپارتمان نرسیده اید، آسیب ناشی از کار محسوب می شود. اما اگر در راه به مغازه یا سینما رفت، آسیب خانگی است. همانطور که می بینیم قانون حدود بنگاه را مشروط تعریف می کند.

متعارف بودن مرزهای سیستم دوباره ما را به مشکل یکپارچگی باز می گرداند، اکنون یکپارچگی کل جهان. مرز سیستم با در نظر گرفتن اهداف آزمودنی که از مدل های سیستم استفاده خواهد کرد، تعیین می شود.

تاراسنکو F.P. تحلیل سیستم های کاربردی (علم و هنر حل مسئله): کتاب درسی. - تومسک؛ انتشارات دانشگاه تومسک، 2004. ISBN 5-7511-1838-3

2.4.1. تعریف.اجازه دهید یک سیستم ناهمگن از معادلات خطی به ما داده شود

یک سیستم همگن را در نظر بگیرید

که ماتریس ضرایب آن با ماتریس ضرایب سیستم (2.4.1) منطبق است. سپس سیستم (2.4.2) فراخوانی می شود کاهش سیستم همگن (2.4.1).

2.4.2. قضیه. حل کلی یک سیستم ناهمگن برابر است با مجموع یک راه حل خاص از سیستم ناهمگن و حل کلی سیستم همگن کاهش یافته..

بنابراین، برای یافتن یک راه حل کلی برای سیستم ناهمگن (2.4.1) کافی است:

1) برای سازگاری آن را تحقیق کنید. در صورت سازگاری:

2) جواب کلی سیستم همگن کاهش یافته را بیابید.

3) راه حل خاصی برای راه حل اصلی (ناهمگن) پیدا کنید.

4) با جمع کردن راه حل خاص یافت شده و راه حل کلی داده شده، راه حل کلی سیستم اصلی را بیابید.

2.4.3. ورزش.سیستم را برای سازگاری بررسی کنید و در صورت سازگاری، راه حل کلی آن را به صورت مجموع جزئی و کلی داده شده بیابید.

راه حل. الف) برای حل مشکل، طرح فوق را اعمال می کنیم:

1) ما سیستم را از نظر سازگاری بررسی می کنیم (با روش مرزبندی مینورها): رتبه ماتریس اصلی 3 است (راه حل تمرین 2.2.5، a را ببینید) و مینور غیر صفر درجه حداکثر از عناصر 1 تشکیل شده است، ردیف های 2، 4 و ستون های 1، 3، 4. برای یافتن رتبه ماتریس توسعه یافته، آن را با ردیف سوم و ستون ششم ماتریس توسعه یافته مرز می کنیم: =0. به معنای، rg آ =rg=3، و سیستم سازگار است. به ویژه، معادل سیستم است

2) بیایید یک راه حل کلی X پیدا کنیم 0 کاهش سیستم همگن

ایکس 0 ={(-2آ - ب ; آ ; ب ; ب ; ب ) | آ , ب Î آر}

(راه حل تمرین 2.2.5، a) را ببینید).

3) اجازه دهید هر راه حل خاصی x h از سیستم اصلی را پیدا کنیم . برای انجام این کار، در سیستم (2.4.3)، معادل اصلی، مجهولات رایگان است ایکس 2 و ایکس ما فرض می کنیم که 5 برابر است مثلاً با صفر (این راحت ترین داده است):

و سیستم حاصل را حل کنید: ایکس 1 =- , ایکس 3 =- , ایکس 4 =-5. بنابراین، (-؛ 0؛ - ؛ -5؛ 0) ¾ یک راه حل خاص از سیستم است.

4) جواب کلی X n سیستم اصلی را پیدا کنید :

X n={x ساعت }+ایکس 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2آ - ب ; آ ; ب ; ب ; ب )}=

={(- -2آ - ب ; آ ; - + ب ; -5+ب ; ب )}.

اظهار نظر. پاسخی را که دریافت کردید با پاسخ دوم مثال 1.2.1 ج مقایسه کنید. برای به دست آوردن پاسخ در شکل اول برای 1.2.1 ج) مجهولات اساسی گرفته شده است ایکس 1 , ایکس 3 , ایکس 5 (مینور که برای آن نیز برابر با صفر نیست) و به عنوان ¾ آزاد ایکس 2 و ایکس 4 .

§3. برخی از برنامه های کاربردی

3.1. در مورد معادلات ماتریسی.این را به شما یادآوری می کنیم معادله ماتریسی بر فراز میدان اف معادله ای است که در آن مجهول ماتریسی روی میدان است اف .

ساده ترین معادلات ماتریسی معادلات فرم هستند

تبر=ب , XA =ب (2.5.1)

جایی که آ , ب ¾ ماتریس داده شده (معلوم) روی یک میدان اف ، آ ایکس ¾ چنین ماتریس هایی که با جایگزینی معادلات (2.5.1) به برابری های ماتریس واقعی تبدیل می شوند. به طور خاص، روش ماتریسی سیستم های خاص به حل یک معادله ماتریسی کاهش می یابد.

در حالتی که ماتریس ها آ در معادلات (2.5.1) غیر منحط هستند، به ترتیب دارای راه حل هستند ایکس =A B و ایکس =بی.ا. .

در صورتی که حداقل یکی از ماتریس های سمت چپ معادلات (2.5.1) مفرد باشد، این روش دیگر مناسب نیست، زیرا ماتریس معکوس مربوطه است. آ وجود ندارد. در این حالت، یافتن راه حل برای معادلات (2.5.1) به حل سیستم ها تقلیل می یابد.

اما ابتدا به معرفی چند مفهوم می پردازیم.

اجازه دهید مجموعه تمام راه حل های سیستم را فراخوانی کنیم تصمیم کلی . اجازه دهید یک راه حل جداگانه از یک سیستم نامعین را نام ببریم راه حل خصوصی .

3.1.1. مثال.حل معادله ماتریس بر روی میدان آر.

آ) ایکس = ب) ایکس = V) ایکس = .

راه حل. الف) از آنجایی که =0، پس فرمول ایکس =A B برای حل این معادله مناسب نیست. اگر در کار است XA =ب ماتریس آ دارای 2 ردیف، سپس ماتریس ایکس دارای 2 ستون تعداد خطوط ایکس باید با تعداد خطوط مطابقت داشته باشد ب . از همین رو ایکس دارای 2 خط بدین ترتیب، ایکس ¾ مقداری ماتریس مربع از مرتبه دوم: ایکس = جایگزین کنیم ایکس به معادله اصلی:

با ضرب ماتریس های سمت چپ (2.5.2)، به برابری می رسیم.

دو ماتریس مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که ابعاد یکسانی داشته باشند و عناصر متناظر آنها برابر باشند. بنابراین (2.5.3) معادل سیستم است

این سیستم معادل سیستم است

با حل آن، به عنوان مثال، با استفاده از روش گاوسی، به مجموعه ای از راه حل ها می رسیم (5-2 ب , ب , -2د , د )، جایی که ب , د مستقل از یکدیگر اجرا کنند آر. بدین ترتیب، ایکس = .

ب) مشابه الف) داریم ایکس = و.

این سیستم ناسازگار است (آن را بررسی کنید!). بنابراین، این معادله ماتریسی هیچ راه حلی ندارد.

ج) این معادله را با نشان می دهیم تبر =ب . زیرا آ دارای 3 ستون و ب 2 ستون دارد، پس ایکس ¾ مقداری ماتریس از بعد 3´2: ایکس = بنابراین ما زنجیره معادل های زیر را داریم:

ما آخرین سیستم را با استفاده از روش گاوسی حل می کنیم (نظرات را حذف می کنیم)

بنابراین، به سیستم می رسیم

که راه حل آن (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) جایی که z , w مستقل از یکدیگر اجرا کنند آر.

پاسخ: الف) ایکس = , ب , د Î آر.

ب) راه حلی وجود ندارد.

V) ایکس = z , w Î آر.

3.2. در مورد بحث تغییرپذیری ماتریس ها.به طور کلی حاصل ضرب ماتریس ها غیر قابل تعویض است یعنی اگر آ و ب به طوری که AB و بی.ا. تعریف می شوند، پس، به طور کلی، AB ¹ بی.ا. . اما نمونه ای از ماتریس هویت E نشان می دهد که امکان جابجایی نیز وجود دارد A.E. =E.A. برای هر ماتریسی آ ، اگر فقط A.E. و E.A. مشخص شدند.

در این بخش، مسائل مربوط به یافتن مجموعه همه ماتریس‌هایی را که با یک ماتریس داده شده جابه‌جا می‌شوند، بررسی می‌کنیم. بدین ترتیب،

ناشناخته ایکس 1 , y 2 و z 3 می تواند هر مقداری داشته باشد: ایکس 1 =آ , y 2 =ب , z 3 =g . سپس

بدین ترتیب، ایکس = .

پاسخ. آ) ایکس د ¾ هر عددی

ب) ایکس ¾ مجموعه ای از ماتریس های شکل , Where آ , ب و g ¾ هر عدد

§6. سیستم ناهمگن معادلات خطی

اگر در سیستم معادلات خطی (7.1) حداقل یکی از جمله های آزاد V منبا صفر متفاوت است، پس چنین سیستمی نامیده می شود ناهمگون.

اجازه دهید یک سیستم غیر همگن از معادلات خطی ارائه شود که می تواند به صورت برداری به صورت

, من = 1,2,.. .,به, (7.13)

سیستم همگن مربوطه را در نظر بگیرید

من = 1,2,... ,به. (7.14)

اجازه دهید بردار
راه حلی برای سیستم ناهمگن (7.13) و بردار است
راه حلی برای سیستم همگن است (7.14). سپس به راحتی می توان دید که بردار
همچنین راه حلی برای سیستم ناهمگن است (7.13). واقعا

حال با استفاده از فرمول (7.12) برای حل کلی معادله همگن، داریم

جایی که
هر عددی از آر، آ
- راه حل های اساسی یک سیستم همگن.

بنابراین، راه حل یک سیستم ناهمگن ترکیبی از محلول خاص آن و حل کلی سیستم همگن مربوطه است.

راه حل (7.15) نامیده می شود حل کلی یک سیستم ناهمگن معادلات خطی. از (7.15) چنین استنباط می شود که یک سیستم ناهمگن معادلات خطی همزمان راه حل منحصر به فردی دارد اگر رتبه r(آ) ماتریس اصلی آبا عدد مطابقت دارد nسیستم های ناشناخته (سیستم Cramer)، اگر r(آ)  n، آنگاه سیستم دارای بی نهایت جواب است و این مجموعه راه حل ها معادل فضای فرعی جواب های سیستم همگن معادلات ابعاد مربوطه است. n– r.

مثال ها.

1. اجازه دهید یک سیستم غیر همگن از معادلات داده شود، که در آن تعداد معادلات به= 3 و تعداد مجهولات n = 4.

ایکس 1 – ایکس 2 + ایکس 3 –2ایکس 4 = 1,

ایکس 1 – ایکس 2 + 2ایکس 3 – ایکس 4 = 2,

5ایکس 1 – 5ایکس 2 + 8ایکس 3 – 7ایکس 4 = 3.

بیایید رتبه های ماتریس اصلی را تعیین کنیم آو گسترش یافت آ * از این سیستم از آنجا که آو آ * ماتریس های غیر صفر و k = 3  nبنابراین 1  r (آ), r * (آ * )  3. مینورهای مرتبه دوم ماتریس ها را در نظر بگیرید آو آ * :

بنابراین، در میان مینورهای مرتبه دوم ماتریس ها آو آ * یک جزئی غیر از صفر وجود دارد، بنابراین 2 r(آ),r * (آ * )  3. حالا بیایید به مینورهای مرتبه سوم نگاه کنیم

، از آنجایی که ستون اول و دوم متناسب هستند. برای جزئی هم همینطور
.

و به این ترتیب تمام مینورهای مرتبه سوم ماتریس اصلی آبنابراین برابر با صفر هستند r(آ) = 2. برای ماتریس توسعه یافته آ * خردسالان مرتبه سوم نیز وجود دارند

در نتیجه، در میان مینورهای مرتبه سوم ماتریس توسعه یافته آ * یک جزئی غیر از صفر وجود دارد، بنابراین r * (آ * ) = 3. این بدان معنی است که r(آ)  r * (آ * ) و سپس، بر اساس قضیه کورنکر-کاپلی، نتیجه می گیریم که این سیستم ناسازگار است.

2. حل سیستم معادلات

3ایکس 1 + 2ایکس 2 + ایکس 3 + ایکس 4 = 1,

3ایکس 1 + 2ایکس 2 – ایکس 3 – 2ایکس 4 = 2.

برای این سیستم
و بنابراین 1 r(آ),r * (آ * )  2. ماتریس ها را در نظر بگیرید آو آ * خردسالان مرتبه دوم

بدین ترتیب، r(آ)= r * (آ * ) = 2، و بنابراین، سیستم سازگار است. به عنوان متغیرهای پایه، هر دو متغیری را انتخاب می کنیم که مینور مرتبه دوم که از ضرایب این متغیرها تشکیل شده است، برابر با صفر نباشد. چنین متغیرهایی می توانند به عنوان مثال،

ایکس 3 و ایکس 4 چون
سپس ما داریم

ایکس 3 + ایکس 4 = 1 – 3ایکس 1 – 2ایکس 2 ,

– ایکس 3 – 2ایکس 4 = 2 – 3ایکس 1 – 2ایکس 2 .

بیایید یک راه حل خاص تعریف کنیم سیستم ناهمگن برای انجام این کار، بگذارید ایکس 1 = ایکس 2 = 0.

ایکس 3 + ایکس 4 = 1,

– ایکس 3 – 2ایکس 4 = 2.

راه حل این سیستم: ایکس 3 = 4, ایکس 4 = - 3، بنابراین، = (0,0,4, –3).

اکنون جواب کلی معادله همگن مربوطه را تعیین می کنیم

ایکس 3 + ایکس 4 = – 3ایکس 1 – 2ایکس 2 ,

–ایکس 3 – 2ایکس 4 = – 3ایکس 1 – 2ایکس 2 .

بگذاریم: ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 0

ایکس 3 + ایکس 4 = –3,

–ایکس 3 – 2ایکس 4 = –3.

راه حل این سیستم ایکس 3 = –9, ایکس 4 = 6.

بدین ترتیب

حالا بگذاریم ایکس 1 = 0, ایکس 2 = 1

ایکس 3 + ایکس 4 = –2,

–ایکس 3 – 2ایکس 4 = –2.

راه حل: ایکس 3 = – 6, ایکس 4 = 4 و سپس

بعد از اینکه راه حل خاصی مشخص شد ، معادلات ناهمگن و راه حل های اساسی
و از معادله همگن مربوطه، جواب کلی معادله ناهمگن را یادداشت می کنیم.

جایی که
هر عددی از آر.

حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAEs) بدون شک مهمترین موضوع در درس جبر خطی است. تعداد زیادی از مسائل از همه شاخه های ریاضیات به حل سیستم های معادلات خطی منتهی می شود. این عوامل دلیل این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله به گونه ای انتخاب و ساختار بندی شده است که با کمک آن بتوانید

• روش بهینه را برای حل سیستم معادلات جبری خطی خود انتخاب کنید،
• مطالعه تئوری روش انتخاب شده،
• سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن راه حل های دقیق برای مثال ها و مسائل معمولی حل کنید.

شرح مختصری از مطالب مقاله

ابتدا تمام تعاریف، مفاهیم لازم را ارائه می کنیم و نمادها را معرفی می کنیم.

در ادامه روش‌هایی را برای حل سیستم‌های معادلات جبری خطی در نظر می‌گیریم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و دارای راه‌حل منحصربه‌فرد هستند. اولاً روی روش کرامر تمرکز می‌کنیم، ثانیاً روش ماتریسی را برای حل چنین سیستم‌هایی از معادلات نشان می‌دهیم و ثالثاً روش گاوس (روش حذف متوالی متغیرهای مجهول) را تجزیه و تحلیل می‌کنیم. برای تثبیت نظریه، قطعاً چندین SLAE را به روش های مختلف حل خواهیم کرد.

پس از این به حل سیستم های معادلات جبری خطی به شکل کلی می رویم که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نباشد یا ماتریس اصلی سیستم منفرد باشد. اجازه دهید قضیه کرونکر-کاپلی را فرموله کنیم، که به ما امکان می دهد سازگاری SLAE ها را تعیین کنیم. اجازه دهید راه حل سیستم ها را (در صورت سازگاری) با استفاده از مفهوم پایه ماتریس تحلیل کنیم. ما همچنین روش گاوس را در نظر خواهیم گرفت و راه حل های مثال ها را با جزئیات شرح خواهیم داد.

ما قطعاً به ساختار حل کلی سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی خواهیم پرداخت. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی از راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه جواب کلی یک SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.

در پایان، ما سیستم‌هایی از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که می‌توان آنها را به خطی تقلیل داد، و همچنین مشکلات مختلفی را که در حل آنها SLAE ایجاد می‌شود، در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف.

ما سیستم هایی از معادلات جبری خطی p را با n متغیر مجهول (p می تواند برابر با n باشد) در نظر خواهیم گرفت.

متغیرهای ناشناخته، - ضرایب (برخی اعداد حقیقی یا مختلط)، - اصطلاحات آزاد (همچنین اعداد حقیقی یا مختلط).

این شکل از ثبت SLAE نامیده می شود هماهنگ كردن.

که در فرم ماتریسینوشتن این سیستم معادلات به شکل زیر است:
جایی که - ماتریس اصلی سیستم، - ماتریس ستونی از متغیرهای مجهول، - ماتریس ستونی از عبارت‌های آزاد.

اگر ماتریس-ستون از عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n+1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس توسعه یافتهسیستم های معادلات خطی به طور معمول، یک ماتریس توسعه یافته با حرف T نشان داده می شود و ستون عبارت های آزاد با یک خط عمودی از ستون های باقی مانده جدا می شود، یعنی:

حل سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول نامیده می شود که تمام معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریسی برای مقادیر داده شده متغیرهای مجهول نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک جواب داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ جوابی نداشته باشد، آن را می نامند غیر مشترک.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی; اگر بیش از یک راه حل وجود دارد، پس - نا معلوم.

اگر عبارات آزاد تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد ، سپس سیستم فراخوانی می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

حل سیستم های ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات یک سیستم برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر با صفر نباشد، این گونه SLAE ها نامیده می شوند. ابتدایی. چنین سیستم‌هایی از معادلات راه‌حل منحصربه‌فردی دارند و در مورد یک سیستم همگن، همه متغیرهای مجهول برابر با صفر هستند.

ما مطالعه این گونه SLAE ها را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها، یک معادله را برداشتیم، یک متغیر مجهول را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را با معادلات باقیمانده جایگزین کردیم، سپس معادله بعدی را گرفتیم، متغیر مجهول بعدی را بیان کردیم و آن را با معادلات دیگر جایگزین کردیم و به همین ترتیب. یا از روش جمع استفاده کردند، یعنی دو یا چند معادله اضافه کردند تا برخی از متغیرهای مجهول را حذف کنند. ما در مورد این روش ها به طور مفصل صحبت نخواهیم کرد، زیرا آنها اساساً اصلاحات روش گاوس هستند.

روش های اصلی برای حل سیستم های ابتدایی معادلات خطی روش کرامر، روش ماتریسی و روش گاوس است. بیایید آنها را مرتب کنیم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

فرض کنید باید یک سیستم معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر، یعنی .

بگذارید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد، و - تعیین کننده های ماتریس هایی که با جایگزینی از A به دست می آیند 1، 2، ...، نهمستون به ترتیب به ستون اعضای آزاد:

با این نماد، متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول های روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند . به این صورت است که راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است . بیایید تعیین کننده آن را محاسبه کنیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که می توان آن را با روش کرامر پیدا کرد.

بیایید تعیین کننده های لازم را بسازیم و محاسبه کنیم (با جایگزینی ستون اول در ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را با جایگزینی ستون دوم با ستونی از عبارت های آزاد و با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را به دست می آوریم) :

یافتن متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول :

پاسخ:

عیب اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را نقطه ضعف نامید) پیچیدگی محاسبه دترمیناتورها در زمانی است که تعداد معادلات در سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی به صورت ماتریسی داده شود، که در آن ماتریس A دارای بعد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجایی که ماتریس A معکوس است، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. اگر هر دو طرف تساوی را در سمت چپ ضرب کنیم، فرمولی برای یافتن یک ماتریس-ستون از متغیرهای مجهول به دست می آید. به این صورت است که با استفاده از روش ماتریسی، جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی به دست آوردیم.

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:

زیرا

سپس SLAE را می توان با استفاده از روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس، راه حل این سیستم را می توان به صورت پیدا کرد .

بیایید با استفاده از یک ماتریس از جمع جبری عناصر ماتریس A یک ماتریس معکوس بسازیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

باقی مانده است که ماتریس متغیرهای مجهول را با ضرب ماتریس معکوس محاسبه کنیم به یک ماتریس-ستون از اعضای آزاد (در صورت لزوم، به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

مشکل اصلی هنگام یافتن راه‌حل برای سیستم‌های معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس است، به‌ویژه برای ماتریس‌های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.

فرض کنید باید برای سیستمی متشکل از n معادله خطی با n متغیر مجهول راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسمتشکل از حذف متوالی متغیرهای مجهول است: اول، x 1 از تمام معادلات سیستم حذف می شود، از معادلات دوم شروع می شود، سپس x 2 از تمام معادلات حذف می شود، از سوم شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول x n باقی بماند. در آخرین معادله این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل حرکت رو به جلو روش گاوسی، x n از آخرین معادله، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر، x n-1 محاسبه می شود و به همین ترتیب، x 1 از معادله اول به دست می آید. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. بیایید متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنیم و از دومی شروع کنیم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولین را با ضرب در، به معادله سوم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان می کردیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر می کردیم، به همان نتیجه می رسیدیم. بنابراین، متغیر x 1 از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده از x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. .

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوس

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به هر دو طرف معادله دوم و سوم، قسمت های مربوط به معادله اول را به ترتیب در و در ضرب اضافه می کنیم:

اکنون x 2 را از معادله سوم حذف می کنیم، با اضافه کردن سمت چپ و راست معادله دوم به سمت چپ و راست آن، ضرب در:

این کار حرکت رو به جلو روش گاوس را کامل می کند؛ ما حرکت معکوس را شروع می کنیم.

از آخرین معادله سیستم معادلات حاصل، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول، متغیر مجهول باقیمانده را پیدا می کنیم و در نتیجه معکوس روش گاوس را تکمیل می کنیم.

پاسخ:

X 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی.

به طور کلی، تعداد معادلات سیستم p با تعداد متغیرهای مجهول n منطبق نیست:

چنین SLAE هایی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، یک راه حل واحد داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. این عبارت برای سیستم های معادلاتی که ماتریس اصلی آنها مربع و مفرد است نیز صدق می کند.

قضیه کرونکر-کاپلی.

قبل از یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، لازم است سازگاری آن مشخص شود. پاسخ به این سوال که چه زمانی SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است توسط داده می شود قضیه کرونکر-کاپلی:
برای اینکه یک سیستم از معادلات p با n مجهول (p می تواند برابر با n باشد) سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد. , Rank(A)=Rank(T).

اجازه دهید، به عنوان مثال، کاربرد قضیه کرونکر-کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارد یا خیر راه حل ها

راه حل.

. بیایید از روش مرزبندی خردسالان استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم متفاوت از صفر بیایید به مینورهای مرتبه سوم همسایه آن نگاه کنیم:

از آنجایی که تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، رتبه ماتریس اصلی برابر با دو است.

به نوبه خود، رتبه ماتریس توسعه یافته برابر با سه است، زیرا جزئی درجه سوم است

متفاوت از صفر

بدین ترتیب، Rang(A)، بنابراین، با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

سیستم هیچ راه حلی ندارد.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که ناسازگاری یک سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مشخص کنیم.

اما چگونه می توان راه حلی برای SLAE در صورت وجود سازگاری آن پیدا کرد؟

برای انجام این کار، به مفهوم پایه ماتریس و یک قضیه در مورد رتبه یک ماتریس نیاز داریم.

مینور بالاترین مرتبه ماتریس A، متفاوت از صفر، نامیده می شود پایه ای.

از تعریف پایه مینور به دست می آید که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای یک ماتریس غیرصفر A می تواند چندین مینور پایه وجود داشته باشد؛ همیشه یک پایه مینور وجود دارد.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوط به ردیف اول و دوم هستند.

مینورهای مرتبه دوم زیر پایه هستند، زیرا غیر صفر هستند

خردسالان پایه نیستند، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس.

اگر رتبه یک ماتریس از مرتبه p در n برابر با r باشد، آنگاه تمام عناصر سطر (و ستون) ماتریس که مینور پایه انتخابی را تشکیل نمی دهند، به صورت خطی بر حسب عناصر تشکیل دهنده ردیف (و ستون) مربوطه بیان می شوند. پایه جزئی

قضیه رتبه ماتریس به ما چه می گوید؟

اگر طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سازگاری سیستم را مشخص کرده باشیم، آنگاه هر پایه مینور از ماتریس اصلی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن برابر با r است) و تمام معادلات را از سیستم حذف می کنیم. پایه انتخابی جزئی را تشکیل نمی دهند. SLAE به‌دست‌آمده از این طریق معادل معادل اصلی خواهد بود، زیرا معادلات دور ریخته شده هنوز اضافی هستند (طبق قضیه رتبه ماتریس، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی‌مانده هستند).

در نتیجه پس از کنار گذاشتن معادلات غیر ضروری سیستم، دو حالت امکان پذیر است.

اگر تعداد معادلات r در سیستم حاصل با تعداد متغیرهای مجهول برابر باشد، قطعی خواهد بود و تنها راه حل را می توان با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

مثال.

.

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است، زیرا مینور مرتبه دوم است متفاوت از صفر رتبه ماتریس توسعه یافته همچنین برابر با دو است، زیرا تنها مرتبه سوم جزئی صفر است

و مینور مرتبه دوم در نظر گرفته شده در بالا با صفر متفاوت است. بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توانیم سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را اثبات کنیم، زیرا Rank(A)=Rank(T)=2.

ما به عنوان پایه جزئی در نظر می گیریم . از ضرایب معادله اول و دوم تشکیل می شود:


معادله سوم سیستم در تشکیل مبنا مینور شرکت نمی کند، بنابراین آن را بر اساس قضیه رتبه ماتریس از سیستم حذف می کنیم:


به این ترتیب ما یک سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی به دست آوردیم. بیایید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


پاسخ:

x 1 = 1، x 2 = 2.

اگر تعداد معادلات r در SLAE حاصل از تعداد متغیرهای مجهول n کمتر باشد، در سمت چپ معادلات، عبارت‌هایی را که پایه اصلی را تشکیل می‌دهند، رها می‌کنیم و عبارت‌های باقی‌مانده را به سمت راست معادله منتقل می‌کنیم. معادلات سیستم با علامت مخالف

متغیرهای مجهول (r از آنها) باقی مانده در سمت چپ معادلات نامیده می شوند اصلی.

متغیرهای ناشناخته (n - r قطعه وجود دارد) که در سمت راست قرار دارند فراخوانی می شوند رایگان.

اکنون ما معتقدیم که متغیرهای مجهول آزاد می توانند مقادیر دلخواه بگیرند، در حالی که متغیرهای مجهول اصلی r از طریق متغیرهای مجهول آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE حاصل با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

بیایید با یک مثال به آن نگاه کنیم.

مثال.

حل یک سیستم معادلات جبری خطی .

راه حل.

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم به روش مرزبندی خردسالان. بیایید 1 1 = 1 را به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول در نظر بگیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور غیر صفر درجه دوم در حاشیه این مینور کنیم:


به این ترتیب ما یک مینور غیر صفر درجه دوم را پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرزی غیر صفر از مرتبه سوم کنیم:


بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس توسعه یافته نیز برابر با سه است، یعنی سیستم سازگار است.

ما مینور غیر صفر یافت شده مرتبه سوم را به عنوان پایه یک در نظر می گیریم.

برای وضوح، ما عناصری را نشان می‌دهیم که پایه جزئی را تشکیل می‌دهند:


عبارات مربوط به مبنا مینور را در سمت چپ معادلات سیستم رها می کنیم و بقیه را با علائم مخالف به سمت راست منتقل می کنیم:


بیایید به متغیرهای مجهول مجهول x 2 و x 5 مقادیر دلخواه بدهیم، یعنی قبول می کنیم ، جایی که اعداد دلخواه هستند. در این صورت، SLAE شکل خواهد گرفت


اجازه دهید سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


از این رو، .

در پاسخ خود فراموش نکنید که متغیرهای مجهول رایگان را مشخص کنید.

پاسخ:

اعداد دلخواه کجا هستند

خلاصه کنید.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی عمومی، ابتدا سازگاری آن را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی تعیین می کنیم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد، یک پایه مینور را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در تشکیل ماتریس اصلی انتخابی شرکت نمی کنند، کنار می گذاریم.

اگر ترتیب پایه مینور برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد، SLAE یک راه حل منحصر به فرد دارد که می توان آن را با هر روشی که برای ما شناخته شده است پیدا کرد.

اگر ترتیب پایه مینور کمتر از تعداد متغیرهای مجهول باشد، در سمت چپ معادلات سیستم، عبارت ها را با متغیرهای مجهول اصلی رها می کنیم، عبارت های باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و مقادیر دلخواه را به آن می دهیم. متغیرهای مجهول رایگان از سیستم معادلات خطی حاصل، متغیرهای مجهول اصلی را با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس پیدا می کنیم.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی با فرم عمومی.

روش گاوس را می توان برای حل سیستم های معادلات جبری خطی از هر نوع بدون آزمایش اولیه آنها برای سازگاری استفاده کرد. فرآیند حذف متوالی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری در مورد سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می کند و در صورت وجود راه حل، یافتن آن را ممکن می سازد.

از دیدگاه محاسباتی، روش گاوسی ارجحیت دارد.

شرح مفصل و نمونه های تحلیل شده آن را در مقاله روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی عمومی ببینید.

نوشتن یک جواب کلی برای سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش در مورد سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی که تعداد بی نهایت جواب دارند صحبت خواهیم کرد.

اجازه دهید ابتدا به سیستم های همگن بپردازیم.

سیستم بنیادی راه حل هاسیستم همگن p معادلات جبری خطی با n متغیر مجهول مجموعه ای از (n – r) راه حل های مستقل خطی این سیستم است که r ترتیب مینور پایه ماتریس اصلی سیستم است.

اگر راه حل های مستقل خطی یک SLAE همگن را به صورت X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) نشان دهیم ماتریس های ستونی با بعد n هستند. با 1) ، سپس جواب کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با ضرایب ثابت دلخواه C 1 ، C 2 ، ... ، C (n-r) نشان داده می شود ، یعنی .

اصطلاح حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (اوروسلاو) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول تمام راه حل های ممکن SLAE اصلی را مشخص می کند، به عبارت دیگر، با گرفتن هر مجموعه ای از مقادیر ثابت دلخواه C 1، C 2، ...، C (n-r)، با استفاده از فرمولی که ما خواهیم کرد. یکی از محلول های SLAE همگن اصلی را بدست آورید.

بنابراین، اگر ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم، می توانیم تمام راه حل های این SLAE همگن را به عنوان تعریف کنیم.

اجازه دهید روند ساخت یک سیستم اساسی از راه حل ها را برای یک SLAE همگن نشان دهیم.

ما مینور اصلی سیستم اصلی معادلات خطی را انتخاب می کنیم، تمام معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم و تمام عبارت های حاوی متغیرهای مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. بیایید به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 1,0,0,...,0 بدهیم و مجهولات اصلی را با حل سیستم ابتدایی معادلات خطی به هر شکلی مثلاً با استفاده از روش کرامر محاسبه کنیم. این منجر به X (1) می شود - اولین راه حل سیستم بنیادی. اگر به مجهولات رایگان مقادیر 0,1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (2) به دست می آید. و غیره. اگر مقادیر 0.0،…،0.1 را به متغیرهای مجهول آزاد نسبت دهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (n-r) را به دست می آوریم. به این ترتیب، یک سیستم اساسی از راه حل های یک SLAE همگن ساخته می شود و جواب کلی آن را می توان به شکل نوشتار کرد.

برای سیستم‌های ناهمگن معادلات جبری خطی، جواب کلی به شکل نشان داده می‌شود، جایی که جواب کلی سیستم همگن مربوطه است، و حل خاص SLAE ناهمگن اصلی است که با دادن مقادیر مجهولات آزاد به دست می‌آییم. 0,0,...,0 و محاسبه مقادیر مجهولات اصلی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

سیستم اساسی راه حل ها و حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم های همگن معادلات خطی همیشه با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر است. بیایید رتبه ماتریس اصلی را با استفاده از روش مرزبندی مینورها پیدا کنیم. به عنوان مینور غیر صفر درجه اول، عنصر a 1 1 = 9 از ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. بیایید مینور غیر صفر مرزی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

یک مینور از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، پیدا شده است. بیایید در جست‌وجوی یک غیرصفر، از مینورهای مرتبه سوم که در حاشیه آن قرار دارند عبور کنیم:

همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس اصلی و توسعه یافته برابر با دو است. بگیریم. برای وضوح، اجازه دهید به عناصر سیستمی که آن را تشکیل می دهند توجه کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل پایه مینور شرکت نمی کند، بنابراین، می توان آن را حذف کرد:

عبارت‌های حاوی مجهولات اصلی را در سمت راست معادلات رها می‌کنیم و عبارت‌های مجهول آزاد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE از دو راه حل تشکیل شده است، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب پایه مینور آن برابر با دو است. برای یافتن X (1)، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 = 1، x 4 = 0 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات می یابیم.
.