قضایای تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی. اصل حرکات ممکن

سیستم مورد بحث در قضیه می تواند هر سیستم مکانیکی متشکل از هر جسمی باشد.

بیان قضیه

مقدار حرکت (ضربه) یک سیستم مکانیکی مقداری است برابر با مجموع مقادیر حرکت (تکانه) تمام اجسام موجود در سیستم. تکانه نیروهای خارجی که بر روی بدنه سیستم وارد می شوند، مجموع تکانه های تمام نیروهای خارجی وارد بر بدنه سیستم است.

( کیلوگرم متر بر ثانیه)

قضیه تغییر حرکت یک سیستم بیان می کند

تغییر در تکانه سیستم در یک بازه زمانی معین برابر است با تکانه نیروهای خارجی که در همان بازه زمانی بر سیستم وارد می شوند.

قانون بقای تکانه یک سیستم

اگر مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، مقدار حرکت (ممنتوم) سیستم یک کمیت ثابت است.

, ما بیان قضیه تغییر تکانه سیستم را به صورت دیفرانسیل به دست می آوریم:

با ادغام هر دو طرف برابری حاصل در یک دوره زمانی دلخواه بین برخی و ما بیان قضیه تغییر تکانه سیستم را به صورت انتگرال بدست می آوریم:

قانون بقای حرکت (قانون بقای حرکت) بیان می کند که مجموع بردار تکانه های تمام اجسام سیستم یک مقدار ثابت است اگر مجموع بردار نیروهای خارجی وارد بر سیستم برابر با صفر باشد.

(لحظه تکانه m 2 kg s-1)

قضیه تغییر تکانه زاویه ای نسبت به مرکز

مشتق زمانی ممان تکانه (لمان جنبشی) یک نقطه مادی نسبت به هر مرکز ثابت برابر است با گشتاور نیروی وارد بر نقطه نسبت به همان مرکز.

dk 0 /dt = M 0 (اف ) .

قضیه تغییر تکانه زاویه ای نسبت به یک محور

مشتق زمانی ممان تکانه (لمان جنبشی) یک نقطه مادی نسبت به هر محور ثابت برابر است با گشتاور نیروی وارد بر این نقطه نسبت به همان محور.

dk ایکس /dt = M ایکس (اف ); dk y /dt = M y (اف ); dk z /dt = M z (اف ) .

یک نکته مادی را در نظر بگیرید م جرم متر ، تحت تأثیر نیرو حرکت می کند اف (شکل 3.1). بیایید بردار تکانه زاویه ای (تکانه جنبشی) را بنویسیم و بسازیم. م 0 نقطه مادی نسبت به مرکز O :

اجازه دهید بیان را برای تکانه زاویه ای (لمان جنبشی) متمایز کنیم ک 0) بر اساس زمان:

زیرا دکتر /dt = V ، سپس محصول برداری V ⊗ متر ⋅ V (بردارهای خطی V و متر ⋅ V ) برابر با صفر است. در همان زمان d(m ⋅ V) /dt = F با توجه به قضیه تکانه نقطه مادی. بنابراین ما آن را دریافت می کنیم

dk 0 /dt = r ⊗اف , (3.3)

جایی که r ⊗اف = م 0 (اف ) - بردار - لحظه نیرو اف نسبت به یک مرکز ثابت O . بردار ک 0 ⊥ هواپیما ( r , متر ⊗V و بردار م 0 (اف ) ⊥ هواپیما ( r ,اف ) بالاخره داریم

dk 0 /dt = M 0 (اف ) . (3.4)

معادله (3.4) قضیه تغییر تکانه زاویه ای (تکانه زاویه ای) یک نقطه مادی را نسبت به مرکز بیان می کند: مشتق زمانی ممان تکانه (لمان جنبشی) یک نقطه مادی نسبت به هر مرکز ثابت برابر است با گشتاور نیروی وارد بر نقطه نسبت به همان مرکز.

با طرح برابری (3.4) بر روی محورهای مختصات دکارتی، به دست می آوریم

dk ایکس /dt = M ایکس (اف ); dk y /dt = M y (اف ); dk z /dt = M z (اف ) . (3.5)

تساوی (3.5) قضیه تغییر تکانه زاویه ای (تکانه جنبشی) یک نقطه مادی را نسبت به محور بیان می کند: مشتق زمانی ممان تکانه (لمان جنبشی) یک نقطه مادی نسبت به هر محور ثابت برابر است با گشتاور نیروی وارد بر این نقطه نسبت به همان محور.

اجازه دهید پیامدهای حاصل از قضایای (3.4) و (3.5) را در نظر بگیریم.

نتیجه 1.بیایید موردی را در نظر بگیریم که نیرو اف در طول کل حرکت نقطه از مرکز ثابت عبور می کند O (مورد نیروی مرکزی)، یعنی. چه زمانی م 0 (اف ) = 0. سپس از قضیه (3.4) نتیجه می شود که ک 0 = پایان ,

آن ها در مورد نیروی مرکزی، تکانه زاویه ای (لمان جنبشی) یک نقطه مادی نسبت به مرکز این نیرو از نظر بزرگی و جهت ثابت می ماند (شکل 3.2).

شکل 3.2

از شرایط ک 0 = پایان نتیجه این است که مسیر یک نقطه متحرک یک منحنی صاف است که صفحه آن از مرکز این نیرو می گذرد.

نتیجه 2.اجازه دهید م z (اف ) = 0، یعنی نیرو از محور عبور می کند z یا به موازات آن در این مورد، همانطور که از معادله سوم (3.5) مشاهده می شود، ک z = پایان ,

آن ها اگر گشتاور نیروی وارد بر یک نقطه نسبت به هر محور ثابت همیشه صفر باشد، تکانه زاویه ای (لمان جنبشی) نقطه نسبت به این محور ثابت می ماند.

اثبات قضیه تغییر تکانه

اجازه دهید سیستم از نقاط مادی با جرم و شتاب تشکیل شده باشد. ما تمام نیروهایی را که بر بدنه سیستم وارد می کنند به دو نوع تقسیم می کنیم:

نیروهای خارجی نیروهایی هستند که از اجسامی وارد می شوند که در سیستم مورد بررسی قرار ندارند. حاصل نیروهای خارجی وارد بر یک نقطه مادی با عدد منبیایید نشان دهیم

نیروهای درونی نیروهایی هستند که بدنه های خود سیستم با یکدیگر تعامل دارند. نیرویی که روی نقطه با عدد مننقطه با شماره معتبر است ک، نشان خواهیم داد و نیروی نفوذ مننقطه در کنقطه - . بدیهی است، زمانی که، پس

با استفاده از نماد معرفی شده، قانون دوم نیوتن را برای هر یک از نکات مادی مورد بررسی به شکل می نویسیم.

با توجه به اینکه و با جمع کردن تمام معادلات قانون دوم نیوتن، به دست می آوریم:

عبارت نشان دهنده مجموع تمام نیروهای داخلی فعال در سیستم است. طبق قانون سوم نیوتن، در این مجموع، هر نیرو با نیرویی مطابقت دارد که بنابراین، از آنجایی که کل مجموع از چنین جفت هایی تشکیل شده است، مجموع خود صفر است. بنابراین، ما می توانیم بنویسیم

با استفاده از نماد حرکت سیستم، به دست می آوریم

با توجه به تغییر در حرکت نیروهای خارجی ، بیان قضیه تغییر تکانه سیستم را به صورت دیفرانسیل بدست می آوریم:

بنابراین، هر یک از آخرین معادلات به دست آمده به ما اجازه می دهد بیان کنیم: تغییر در تکانه سیستم فقط در نتیجه عمل نیروهای خارجی رخ می دهد و نیروهای داخلی نمی توانند تأثیری بر این مقدار داشته باشند.

با ادغام هر دو طرف برابری حاصل در یک بازه زمانی دلخواه بین برخی و، بیان قضیه تغییر تکانه سیستم را به شکل انتگرال بدست می آوریم:

که در آن و مقادیر مقدار حرکت سیستم در لحظه های زمان و به ترتیب هستند و تکانه نیروهای خارجی در یک دوره زمانی است. مطابق با آنچه قبلاً گفته شد و نمادهای معرفی شده،

همانطور که برای یک نقطه مادی، یک قضیه در مورد تغییر تکانه برای سیستم به اشکال مختلف استخراج خواهیم کرد.

بیایید معادله را تبدیل کنیم (قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی)

به روش زیر:

;

;

معادله حاصل، قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی را به شکل دیفرانسیل بیان می کند: مشتق تکانه یک سیستم مکانیکی نسبت به زمان برابر است با بردار اصلی نیروهای خارجی وارد بر سیستم. .

در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات دکارتی:

; ; .

با در نظر گرفتن انتگرال های هر دو طرف آخرین معادلات در طول زمان، قضیه ای را در مورد تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی به صورت انتگرال به دست می آوریم: تغییر در تکانه یک سیستم مکانیکی برابر با تکانه بردار اصلی است. نیروهای خارجی بر روی سیستم اثر می گذارند .

.

یا در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات دکارتی:

; ; .

نتایج حاصل از قضیه (قوانین بقای حرکت)

قانون بقای تکانه به عنوان موارد خاصی از قضیه تغییر تکانه برای یک سیستم بسته به ویژگی های سیستم نیروهای خارجی به دست می آید. نیروهای داخلی می توانند هر کدام باشند، زیرا بر تغییرات حرکت تأثیر نمی گذارند.

دو مورد احتمالی وجود دارد:

1. اگر مجموع بردار تمام نیروهای خارجی وارد شده به سیستم برابر با صفر باشد، مقدار حرکت سیستم از نظر بزرگی و جهت ثابت است.

2. اگر طرح بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی هر محور مختصاتی و/یا و/یا برابر با صفر باشد، در این صورت برون‌تابی تکانه روی همین محورها یک مقدار ثابت است، یعنی. و/یا و/یا به ترتیب.

ورودی های مشابهی را می توان برای یک نقطه مادی و برای یک نقطه مادی ایجاد کرد.

وظیفه. از تفنگی که جرمش م، پرتابه ای با جرم در جهت افقی به بیرون پرواز می کند متربا سرعت v. سرعت را پیدا کنید Vاسلحه بعد از شلیک

راه حل. تمام نیروهای خارجی که بر سیستم مکانیکی سلاح-پرتابه وارد می شوند عمودی هستند. به این معنی که بر اساس نتیجه قضیه تغییر تکانه سیستم داریم: .

میزان حرکت سیستم مکانیکی قبل از شلیک:

میزان حرکت سیستم مکانیکی پس از شلیک:

.

با برابر کردن سمت راست عبارات، آن را به دست می آوریم

.

علامت "-" در فرمول به دست آمده نشان می دهد که پس از شلیک اسلحه در جهت مخالف محور به عقب می چرخد. گاو نر.

مثال 2. جریانی از مایع با چگالی با سرعت V از لوله ای با سطح مقطع F جریان می یابد و با زاویه ای به دیوار عمودی برخورد می کند. فشار سیال روی دیوار را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید قضیه تغییر تکانه به شکل انتگرال را به حجم مایع با جرم اعمال کنیم متربرخورد با دیوار در مدت زمان معین تی.

معادله مشچرسکی

(معادله پایه دینامیک جسمی با جرم متغیر)

در تکنولوژی مدرن، مواردی به وجود می آید که جرم یک نقطه و یک سیستم در حین حرکت ثابت نمی ماند، بلکه تغییر می کند. بنابراین، به عنوان مثال، در طول پرواز موشک های فضایی، به دلیل پرتاب محصولات احتراق و تک تک قطعات غیر ضروری راکت ها، تغییر جرم به 90-95٪ از کل مقدار اولیه می رسد. اما نه تنها فناوری فضایی می تواند نمونه ای از دینامیک حرکت جرم متغیر باشد. در صنعت نساجی، تغییرات قابل توجهی در جرم انواع دوک ها، بوبین ها، رول ها در سرعت های کاری مدرن ماشین آلات و ماشین آلات وجود دارد.

اجازه دهید ویژگی های اصلی مرتبط با تغییرات جرم را با استفاده از مثال حرکت انتقالی جسمی با جرم متغیر در نظر بگیریم. قانون اساسی دینامیک را نمی توان مستقیماً برای جسمی با جرم متغیر اعمال کرد. بنابراین، با اعمال این قضیه بر روی تغییر تکانه سیستم، معادلات دیفرانسیل حرکت نقطه ای با جرم متغیر را به دست می آوریم.

بگذارید نقطه جرم داشته باشد m+dmبا سرعت حرکت می کند سپس یک ذره خاص با جرم از نقطه جدا می شود dmبا سرعت حرکت می کند

میزان حرکت بدن قبل از جدا شدن ذره:

میزان حرکت یک سیستم متشکل از یک جسم و یک ذره جدا شده پس از جدا شدن:

سپس تغییر در حرکت:

بر اساس قضیه تغییر تکانه سیستم:

اجازه دهید کمیت - سرعت نسبی ذره را نشان دهیم:

بیایید نشان دهیم

اندازه آرنیروی واکنشی نامیده می شود. نیروی واکنشی نیروی رانش موتور است که در اثر خروج گاز از نازل ایجاد می شود.

بالاخره می رسیم

-

این فرمول معادله پایه دینامیک جسمی با جرم متغیر (فرمول مشچرسکی) را بیان می کند. از آخرین فرمول چنین برمی‌آید که معادلات دیفرانسیل حرکت نقطه‌ای با جرم متغیر مانند نقطه‌ای با جرم ثابت است، به جز نیروی واکنش اضافی اعمال شده به نقطه به دلیل تغییر جرم.

معادله اصلی برای دینامیک جسمی با جرم متغیر نشان می دهد که شتاب این جسم نه تنها به دلیل نیروهای خارجی، بلکه به دلیل نیروی واکنشی نیز ایجاد می شود.

نیروی واکنشی نیرویی است مشابه نیرویی که فرد شلیک می کند - هنگام شلیک از تپانچه، با دست احساس می شود. هنگام شلیک از تفنگ، توسط شانه درک می شود.

اولین فرمول Tsiolkovsky (برای موشک تک مرحله ای)

اجازه دهید یک نقطه با جرم متغیر یا یک موشک در یک خط مستقیم تحت تأثیر تنها یک نیروی واکنشی حرکت کند. از آنجایی که برای بسیاری از موتورهای جت مدرن، حداکثر نیروی واکنشی (تراست موتور) توسط طراحی موتور مجاز است. - نیروی گرانش وارد بر موتور واقع در سطح زمین. آن ها موارد فوق به ما این امکان را می دهد که جزء معادله مشچرسکی را نادیده بگیریم و این معادله را برای تجزیه و تحلیل بیشتر به شکل زیر بپذیریم:

بیایید نشان دهیم:

ذخیره سوخت (برای موتورهای جت مایع - جرم خشک موشک (جرم باقی مانده آن پس از سوزاندن تمام سوخت).

جرم ذرات جدا شده از موشک؛ به عنوان یک مقدار متغیر در نظر گرفته می شود که از تا تغییر می کند.

اجازه دهید معادله حرکت مستقیم یک نقطه با جرم متغیر را به شکل زیر بنویسیم:

از آنجایی که فرمول تعیین جرم متغیر یک موشک است

بنابراین معادلات حرکت یک نقطه با گرفتن انتگرال های هر دو طرف به دست می آوریم

جایی که - سرعت مشخصه- این سرعتی است که موشک تحت تأثیر رانش پس از فوران همه ذرات از موشک به دست می آورد (برای موتورهای جت مایع - پس از سوختن تمام سوخت).

در خارج از علامت انتگرال (که می تواند بر اساس قضیه مقدار متوسط ​​شناخته شده از ریاضیات بالاتر انجام شود) میانگین سرعت ذرات پرتاب شده از موشک قرار دارد.

چشم انداز:این مطلب 14066 بار خوانده شده است

پی دی اف انتخاب زبان ... روسی اوکراینی انگلیسی

بررسی کوتاه

پس از انتخاب زبان، کل مطالب در بالا دانلود می شود

کمیت حرکت

تکانه نقطه مادی - کمیت برداری برابر با حاصل ضرب جرم یک نقطه و بردار سرعت آن.

واحد اندازه گیری تکانه (kg m/s) است.

حرکت سیستم مکانیکی - یک کمیت برداری برابر با مجموع هندسی (بردار اصلی) تکانه یک سیستم مکانیکی برابر است با حاصل ضرب جرم کل سیستم و سرعت مرکز جرم آن.

وقتی یک جسم (یا سیستم) طوری حرکت می کند که مرکز جرم آن ساکن باشد، مقدار حرکت جسم برابر با صفر است (مثلاً چرخش جسم حول محور ثابتی که از مرکز جرم جسم می گذرد. ).

در مورد حرکت پیچیده، مقدار حرکت سیستم هنگام چرخش حول مرکز جرم، قسمت چرخشی حرکت را مشخص نمی کند. یعنی مقدار حرکت فقط حرکت انتقالی سیستم (همراه با مرکز جرم) را مشخص می کند.

نیروی ضربه

تکانه یک نیرو، عملکرد یک نیرو را در یک دوره زمانی مشخص مشخص می کند.

نیروی تکانه در یک دوره زمانی محدود به عنوان مجموع انتگرال تکانه های ابتدایی مربوطه تعریف می شود.

قضیه تغییر تکانه نقطه مادی

(در اشکال دیفرانسیل ه ):

مشتق زمانی تکانه یک نقطه مادی برابر است با مجموع هندسی نیروهای وارد بر نقاط.

(V فرم انتگرال ):

تغییر در تکانه یک نقطه مادی در یک بازه زمانی معین برابر است با مجموع هندسی تکانه های نیروهای وارد شده به نقطه در این بازه زمانی.

قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی

(به شکل دیفرانسیل ):

مشتق زمانی تکانه سیستم برابر است با مجموع هندسی تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم.

(به شکل یکپارچه ):

تغییر در تکانه یک سیستم در یک بازه زمانی معین برابر است با مجموع هندسی تکانه های نیروهای خارجی که در این بازه زمانی بر سیستم وارد می شوند.

این قضیه به فرد اجازه می دهد تا نیروهای داخلی آشکارا ناشناخته را از بررسی حذف کند.

قضیه تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی و قضیه حرکت مرکز جرم دو شکل متفاوت از یک قضیه هستند.

قانون بقای تکانه یک سیستم

1. اگر مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم برابر با صفر باشد، بردار تکانه سیستم از نظر جهت و بزرگی ثابت خواهد بود.
2. اگر مجموع برآمدگی های تمام نیروهای خارجی فعال بر روی هر محور دلخواه برابر با صفر باشد، در این صورت پیش بینی تکانه روی این محور یک مقدار ثابت است.

نتیجه گیری:

1. قوانین حفاظتی نشان می دهد که نیروهای داخلی نمی توانند مقدار کل حرکت سیستم را تغییر دهند.
2. قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی حرکت چرخشی یک سیستم مکانیکی را مشخص نمی کند، بلکه فقط حرکت انتقالی را مشخص می کند.

یک مثال آورده شده است: تکانه یک دیسک با جرم معین را در صورتی که سرعت و اندازه زاویه ای آن مشخص باشد، تعیین کنید.

مثال محاسبه چرخ دنده
نمونه ای از محاسبه چرخ دنده. انتخاب مواد، محاسبه تنش های مجاز، محاسبه تماس و مقاومت خمشی انجام شده است.

مثالی از حل مسئله خمش تیر
در مثال، نمودارهای نیروهای عرضی و لنگرهای خمشی ساخته شد، یک مقطع خطرناک پیدا شد و یک پرتو I انتخاب شد. این مشکل ساخت نمودارها را با استفاده از وابستگی های دیفرانسیل تجزیه و تحلیل کرد و تجزیه و تحلیل مقایسه ای از مقاطع مختلف تیر را انجام داد.

مثالی از حل مشکل پیچش شفت
وظیفه آزمایش استحکام شفت فولادی در یک قطر مشخص، ماده و تنش مجاز است. در طول حل، نمودارهای گشتاور، تنش های برشی و زوایای پیچش ساخته می شود. وزن خود شفت در نظر گرفته نمی شود

نمونه ای از حل مسئله کشش-فشردگی میله
وظیفه آزمایش استحکام یک میله فولادی در تنش های مجاز مشخص شده است. در حین حل، نمودارهای نیروهای طولی، تنش ها و جابجایی های نرمال ساخته می شود. وزن خود میله در نظر گرفته نمی شود

کاربرد قضیه بقای انرژی جنبشی
مثالی از حل مسئله با استفاده از قضیه بقای انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی

تعیین سرعت و شتاب یک نقطه با استفاده از معادلات حرکت داده شده
مثالی از حل مسئله برای تعیین سرعت و شتاب یک نقطه با استفاده از معادلات حرکت داده شده

تعیین سرعت و شتاب نقاط یک جسم صلب در حین حرکت صفحه موازی
مثالی از حل مسئله برای تعیین سرعت و شتاب نقاط یک جسم صلب در حین حرکت صفحه موازی

تعیین نیروها در میله های یک خرپا تخت
نمونه ای از حل مسئله تعیین نیرو در میله های خرپا تخت به روش ریتر و روش برش گره ها

استفاده از قضیه تغییر در تکانه زاویه ای
مثالی از حل مسئله با استفاده از قضیه تغییر تکانه جنبشی برای تعیین سرعت زاویه ای جسمی که حول یک محور ثابت می چرخد.

(قطعه هایی از یک سمفونی ریاضی)

ارتباط بین تکانه نیرو و معادله اصلی دینامیک نیوتنی با قضیه تغییر تکانه یک نقطه مادی بیان می شود.

قضیه.تغییر در تکانه نقطه مادی در یک دوره زمانی معین برابر است با ضربه نیروی () وارد شده بر نقطه مادی در همان بازه زمانی.اثبات ریاضی این قضیه را می توان قطعه ای از یک سمفونی ریاضی نامید. او اینجا است.

تکانه دیفرانسیل یک نقطه مادی برابر است با ضربه اولیه نیروی وارد بر نقطه مادی. یکپارچه سازی عبارت (128) برای تکانه دیفرانسیل یک نقطه مادی، داریم

(129)

این قضیه ثابت شده است و ریاضیدانان مأموریت خود را تکمیل شده می دانند، اما مهندسانی که سرنوشتشان اعتقاد مقدس به ریاضیدانان است، هنگام استفاده از معادله اثبات شده (129) سؤالاتی دارند. اما توالی و زیبایی عملیات ریاضی (128 و 129) که ما را مجذوب می‌کند و ما را تشویق می‌کند آنها را قطعه‌ای از یک سمفونی ریاضی بنامیم، کاملاً مسدود شده‌اند. چه بسیار نسل از مهندسان با ریاضیدانان موافق بودند و از رمز و راز نمادهای ریاضی آنها در هیبت بودند! اما بعد یک مهندس بود که با ریاضیدانان مخالفت کرد و از آنها سؤال کرد.

ریاضیدانان عزیز!چرا هیچ یک از کتاب‌های درسی شما در زمینه مکانیک نظری، به عنوان مثال، هنگام توصیف روند شتاب دادن به یک خودرو، در مورد فرآیند استفاده از نتیجه سمفونیک (129) در عمل بحث نمی‌کند؟ سمت چپ معادله (129) بسیار واضح است. خودرو شتاب گیری را از روی سرعت شروع می کند و مثلاً با سرعت به پایان می رساند. کاملا طبیعی است که معادله (129) تبدیل شود

و بلافاصله اولین سؤال مطرح می شود: چگونه می توان از رابطه (130) نیرویی را که تحت تأثیر آن اتومبیل تا سرعت 10 متر بر ثانیه شتاب می گیرد تعیین کرد؟ پاسخ این سوال در هیچ یک از کتاب های درسی بی شمار مکانیک نظری یافت نمی شود. بیایید جلوتر برویم. پس از شتاب گیری، خودرو با سرعت 10 متر بر ثانیه شروع به حرکت یکنواخت می کند. چه نیرویی ماشین را حرکت می دهد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ چاره ای جز سرخ شدن در کنار ریاضیدانان ندارم. قانون اول دینامیک نیوتنی بیان می کند که وقتی یک ماشین به طور یکنواخت حرکت می کند، هیچ نیرویی روی آن وارد نمی شود و ماشین، به طور مجازی، با این قانون عطسه می کند، بنزین مصرف می کند و کار می کند، مثلاً در مسافت 100 کیلومتر حرکت می کند. نیرویی که کار 100 کیلومتری ماشین را انجام داده کجاست؟ معادله ریاضی سمفونیک (130) ساکت است، اما زندگی ادامه دارد و پاسخ می طلبد. شروع به جستجوی او می کنیم.

از آنجایی که خودرو به صورت مستقیم و یکنواخت حرکت می کند، نیروی حرکت دهنده آن در قدر و جهت ثابت است و معادله (130) تبدیل می شود.

(131)

بنابراین، معادله (131) در این مورد، حرکت شتاب‌دار جسم را توصیف می‌کند. نیرو برابر با چه چیزی است؟ چگونه تغییر آن را در طول زمان بیان کنیم؟ ریاضیدانان ترجیح می دهند این سوال را دور بزنند و آن را به مهندسان بسپارند و معتقدند که باید به دنبال پاسخ این سوال بگردند. مهندسان فقط یک گزینه باقی می‌مانند - توجه داشته باشند که اگر پس از اتمام حرکت شتاب‌دار جسم، مرحله‌ای از حرکت یکنواخت آغاز شود که با عمل نیروی ثابت همراه است، معادله (131) برای لحظه گذار از حرکت شتاب گرفته به حرکت یکنواخت در این شکل

(132)

فلش در این معادله به معنای نتیجه ادغام این معادله نیست، بلکه فرآیند انتقال از شکل انتگرال آن به شکل ساده شده است. نیروی موجود در این معادله معادل نیروی متوسطی است که تکانه جسم را از صفر به مقدار نهایی تغییر داده است. بنابراین، ریاضیدانان و فیزیکدانان نظری عزیز، عدم وجود روش شما برای تعیین بزرگی تکانه شما ما را مجبور می کند که روش تعیین نیرو را ساده کنیم و نبود روشی برای تعیین زمان عمل این نیرو ما را به طور کلی در یک وضعیت قرار می دهد. موقعیت ناامید کننده و ما مجبور به استفاده از یک عبارت برای تجزیه و تحلیل روند تغییر حرکت یک بدن هستیم. نتیجه این است که هر چه نیرو طولانی تر عمل کند، تکانه آن بیشتر می شود. این به وضوح با این ایده قدیمی تثبیت شده در تضاد است.

اجازه دهید توجه را به این واقعیت جلب کنیم که تغییر در تکانه یک نقطه مادی (ضربه نیرو) در طول حرکت شتاب دار آن تحت تأثیر نیروی نیوتنی و نیروهای مقاومت در برابر حرکت، به شکل نیروهای ایجاد شده توسط مقاومت های مکانیکی و نیروی اینرسی اما دینامیک نیوتنی در اکثریت قریب به اتفاق مسائل، نیروی اینرسی را نادیده می گیرد، و مکانودینامیک بیان می کند که تغییر در تکانه جسم در حین حرکت شتاب دار آن به دلیل مازاد نیروی نیوتنی بر نیروهای مقاومت در برابر حرکت، از جمله نیروی اینرسی

هنگامی که یک بدنه با حرکت آهسته حرکت می کند، مثلاً اتومبیلی با دنده خاموش، نیروی نیوتنی وجود ندارد و تغییر در حرکت اتومبیل به دلیل بیش از حد نیروهای مقاومت در برابر حرکت بر نیروی اینرسی که وقتی ماشین به آرامی حرکت می کند حرکت می کند.

اکنون چگونه می‌توانیم نتایج کنش‌های ریاضی «سمفونیک» (128) را به جریان اصلی روابط علت و معلولی برگردانیم؟ تنها یک راه وجود دارد - یافتن تعریف جدیدی از مفاهیم "تکانه نیرو" و "نیروی ضربه". برای انجام این کار، دو طرف معادله (132) را بر زمان t تقسیم کنید. در نتیجه خواهیم داشت

. (133)

توجه داشته باشیم که عبارت mV/t نرخ تغییر تکانه (mV/t) یک نقطه یا جسم مادی است. اگر در نظر بگیریم که V/t شتاب است، mV/t نیرویی است که تکانه بدن را تغییر می دهد. همین بعد در سمت چپ و راست علامت مساوی به ما این حق را می دهد که نیروی F را نیروی شوک بنامیم و آن را با نماد نشان دهیم و ضربه S - ضربه شوک و آن را با نماد نشان دهیم. این منجر به تعریف جدیدی از نیروی ضربه می شود. نیروی ضربه ای که بر یک نقطه یا جسم مادی وارد می شود برابر است با نسبت تغییر تکانه نقطه یا جسم مادی به زمان این تغییر.

اجازه دهید توجه ویژه ای به این واقعیت داشته باشیم که فقط نیروی نیوتنی در تشکیل ضربه شوک (134) شرکت می کند که سرعت ماشین را از صفر به حداکثر تغییر داد - بنابراین معادله (134) کاملاً به دینامیک نیوتنی تعلق دارد. از آنجایی که تعیین اندازه سرعت به صورت تجربی بسیار ساده تر از تعیین شتاب است، فرمول (134) برای محاسبات بسیار راحت است.

این نتیجه غیر معمول از معادله (134) به دست می آید.

به این نکته توجه کنیم که طبق قوانین جدید مکانودینامیک، مولد تکانه نیرو در حین حرکت شتابدار یک نقطه یا جسم مادی، نیروی نیوتنی است. این شتاب حرکت یک نقطه یا جسم را تشکیل می دهد که در آن یک نیروی اینرسی به طور خودکار ایجاد می شود که در مقابل نیروی نیوتنی قرار دارد و نیروی نیوتنی باید بر اثر نیروی اینرسی غلبه کند، بنابراین نیروی اینرسی باید در نیروی اینرسی نشان داده شود. تعادل نیروها در سمت چپ معادله (134). از آنجایی که نیروی اینرسی برابر است با جرم نقطه یا جسم ضرب در شتابی که ایجاد می کند، پس معادله (134) تبدیل می شود.

(136)

ریاضیدانان عزیز!شما می بینید که مدل ریاضی چه شکلی به خود گرفته است و تکانه ضربه را توصیف می کند که حرکت بدن ضربه خورده را از سرعت صفر به حداکثر V شتاب می دهد (11). حال بیایید عملکرد آن را در تعیین تکانه ضربه بررسی کنیم که برابر با نیروی ضربه ای است که واحد قدرت دوم SShG را شلیک کرده است (شکل 120) و معادله بی فایده (132) را به شما واگذار می کنیم. برای اینکه ارائه را پیچیده نکنیم، فعلاً فرمول (134) را به حال خود رها می کنیم و از فرمول هایی استفاده می کنیم که مقادیر متوسط ​​نیروها را ارائه می دهند. می بینید که یک مهندس را در چه موقعیتی قرار می دهید که می خواهد یک مشکل خاص را حل کند.

بیایید با دینامیک نیوتنی شروع کنیم. کارشناسان دریافتند که واحد قدرت 2 به ارتفاع 14 متر رسید. از آنجایی که در میدان گرانش بالا آمد، در ارتفاع h = 14 متر انرژی پتانسیل آن برابر بود با

و میانگین انرژی جنبشی برابر بود

برنج. 120. عکس اتاق توربین قبل از فاجعه

از برابری انرژی های جنبشی (138) و پتانسیل (137) نرخ متوسط ​​افزایش واحد قدرت به دست می آید (شکل 121، 122).

برنج. 121. فوتون اتاق توربین پس از فاجعه

طبق قوانین جدید مکانودینامیک، خیز واحد نیرو شامل دو فاز بود (شکل 123): فاز اول OA - خیز شتاب‌دار و فاز دوم AB - خیز آهسته، , .

زمان و فاصله عمل آنها تقریباً برابر است (). سپس معادله سینماتیک فاز تسریع بالا بردن واحد قدرت به صورت زیر نوشته می شود:

. (140)

برنج. 122. نمای چاه واحد برق و خود واحد برق پس از فاجعه

قانون تغییر در میزان افزایش واحد نیرو در فاز اول به شکلی است

. (141)

برنج. 123. منظم بودن تغییرات سرعت پرواز V یک واحد قدرت

با جایگزینی زمان از رابطه (140) به معادله (141)، داریم

. (142)

زمان بلند کردن بلوک در مرحله اول از فرمول (140) تعیین می شود.

. (143)

سپس مجموع زمان برای بالا بردن واحد قدرت تا ارتفاع 14 متر برابر با . جرم واحد قدرت و پوشش 2580 تن است. بر اساس دینامیک نیوتنی، نیرویی که واحد نیرو را بلند کرده است برابر است با

ریاضیدانان عزیز!ما نتایج ریاضی سمفونیک شما را دنبال می کنیم و فرمول (129) شما را با پیروی از دینامیک نیوتنی می نویسیم تا پالس ضربه ای را که واحد نیرو دوم را شلیک کرده است تعیین کنیم.

و یک سوال اساسی بپرسید: چگونه می توان مدت زمان ضربه ضربه ای که واحد برق 2 را شلیک کرد تعیین کرد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

عزیزم!!!به یاد داشته باشید که چند نسل از همکاران شما چه مقدار گچ روی تخته سیاه نوشته بودند و به دانش آموزان به طور نامفهوم یاد می دادند که چگونه ضربه شوک را تعیین کنند و هیچ کس نحوه تعیین مدت ضربه شوک را در هر مورد خاص توضیح نداد. شما خواهید گفت که مدت زمان ضربه ضربه برابر با فاصله زمانی تغییر سرعت واحد قدرت از صفر به حداکثر مقدار 16.75 متر بر ثانیه (139) است. در فرمول (143) و برابر با 0.84 ثانیه است. ما در حال حاضر با شما موافقیم و مقدار متوسط ​​ضربه شوک را تعیین می کنیم

بلافاصله این سؤال مطرح می شود: چرا بزرگی ضربه شوک (146) کمتر از نیروی نیوتنی 50600 تن است؟ شما ریاضیدانان عزیز جوابی ندارید. بیایید جلوتر برویم.

بر اساس دینامیک نیوتنی، نیروی اصلی که در برابر خیزش واحد قدرت مقاومت می کرد، گرانش بود. از آنجایی که این نیرو بر خلاف حرکت واحد نیرو هدایت می شود، کاهش سرعتی برابر با شتاب سقوط آزاد ایجاد می کند. سپس نیروی گرانشی وارد بر واحد نیرو که به سمت بالا پرواز می کند برابر است با

دینامیک نیوتن نیروهای دیگری را که مانع از عمل نیروی نیوتنی 50600 تنی می‌شوند در نظر نمی‌گیرد (144) و مکانودینامیک بیان می‌کند که خیزش واحد نیرو نیز با نیروی اینرسی برابر با

بلافاصله این سؤال مطرح می شود: چگونه می توان میزان کاهش سرعت حرکت واحد نیرو را پیدا کرد؟ دینامیک نیوتنی ساکت است، اما مکانودینامیک پاسخ می دهد: در لحظه عمل نیروی نیوتنی، که واحد نیرو را بلند کرد، در برابر آن مقاومت شد: نیروی گرانش و نیروی اینرسی، بنابراین معادله نیروهای وارد بر نیرو واحد در آن لحظه به صورت زیر نوشته می شود.

اگر حرکت مکانیکی به مکانیکی تبدیل شود، مقدار حرکت معیار حرکت مکانیکی است. به عنوان مثال، حرکت مکانیکی توپ بیلیارد (شکل 22) قبل از ضربه به حرکت مکانیکی توپ ها پس از ضربه تبدیل می شود. برای یک نقطه، تکانه برابر با حاصلضرب است.

اندازه گیری نیرو در این مورد، ضربه نیرو است

. (9.1)

تکانه عمل نیرو را تعیین می کند در یک دوره زمانی . برای یک نقطه مادی، قضیه تغییر تکانه را می توان به صورت دیفرانسیل استفاده کرد
فرم (9.2) یا انتگرال (متناهی).
. (9.3)

تغییر در تکانه یک نقطه مادی در یک بازه زمانی معین برابر است با ضربه تمام نیروهای وارد شده به نقطه در همان زمان.

شکل 22

هنگام حل مسائل، قضیه (9.3) بیشتر در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات استفاده می شود.
;

; (9.4)

.

با استفاده از قضیه تغییر در تکانه یک نقطه، می توان مسائلی را حل کرد که در آن یک نقطه یا جسمی که به صورت انتقالی حرکت می کند، توسط نیروهای ثابت یا متغیری که به زمان بستگی دارد، عمل می کند و کمیت های داده شده و جستجو شده شامل زمان می باشد. حرکت و سرعت در ابتدا و انتهای حرکت. مسائل با استفاده از قضیه به ترتیب زیر حل می شوند:

1. یک سیستم مختصات را انتخاب کنید.

2. تمام نیروها و واکنش های داده شده (فعال) را که روی یک نقطه عمل می کنند را به تصویر بکشید.

3. یک قضیه در مورد تغییر تکانه یک نقطه در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات انتخاب شده بنویسید.

4. تعیین مقادیر مورد نیاز.

مثال 12.

چکشی با وزن G=2t از ارتفاع h=1m در زمان t=0.01s روی قطعه کار می افتد و قطعه را مهر می کند (شکل 23). میانگین نیروی فشار چکش روی قطعه کار را تعیین کنید.

تغییر در تکانه یک سیستم مکانیکی در یک دوره زمانی معین برابر است با مجموع تکانه های نیروهای خارجی که در همان زمان عمل می کنند. گاهی اوقات استفاده از قضیه تغییر تکانه در طرح ریزی روی محورهای مختصات راحت تر است
; (9.8)
. (9.9)

قانون بقای حرکت بیان می کند که در غیاب نیروهای خارجی، تکانه یک سیستم مکانیکی ثابت می ماند. عمل نیروهای داخلی نمی تواند حرکت سیستم را تغییر دهد. از رابطه (9.6) مشخص می شود که وقتی
,
.

اگر
، آن
یا
.

D

ملخ یا ملخ، رانش جت. ماهی مرکب به صورت تند حرکت می کنند و آب را مانند یک توپ آب از کیسه عضلانی بیرون می اندازند (شکل 25). آب دفع شده دارای مقدار معینی حرکت به سمت عقب است. ماهی مرکب سرعت مربوطه را دریافت می کند حرکت رو به جلو به دلیل نیروی کشش واکنشی ، از آنجایی که قبل از اینکه ماهی مرکب از نیرو بپرد متعادل شده توسط گرانش .

اعمال قضیه در مورد تغییر در تکانه به ما اجازه می دهد تا تمام نیروهای داخلی را از بررسی حذف کنیم.

مثال 13.

یک وینچ A با یک درام به شعاع r بر روی یک سکوی راه‌آهن به صورت آزاد روی ریل نصب شده است (شکل 26). وینچ برای حرکت یک بار B با جرم m 1 در امتداد سکو طراحی شده است. وزن سکو با وینچ m 2. درام وینچ طبق قانون می چرخد
. در لحظه اولیه سیستم سیار بود. با غفلت از اصطکاک، قانون تغییر سرعت سکو را پس از روشن کردن وینچ پیدا کنید.

آر راه حل.

1. پلت فرم، وینچ و بار را به عنوان یک سیستم مکانیکی واحد در نظر بگیرید که توسط نیروهای خارجی بر روی آن تأثیر می گذارد: گرانش بار. و پلتفرم ها و واکنش ها و
.

2. از آنجایی که تمام نیروهای خارجی بر محور x عمود هستند، یعنی.
، قانون بقای تکانه یک سیستم مکانیکی را در طرح بر روی محور x اعمال می کنیم:
. در لحظه اولیه زمان، سیستم بی حرکت بود، بنابراین،

اجازه دهید میزان حرکت سیستم را در یک لحظه دلخواه در زمان بیان کنیم. سکو با سرعتی به جلو حرکت می کند ، بار تحت یک حرکت پیچیده متشکل از حرکت نسبی در طول سکو با سرعت قرار می گیرد و حرکت قابل حمل همراه با پلت فرم با سرعت .، جایی که
. سکو در جهت مخالف حرکت نسبی بار حرکت خواهد کرد.

مثال 14.

جایی که ,
- به ترتیب میزان حرکت صفحه و بار.

;
، جایی که - سرعت مطلق بار D. از برابری (1) نتیجه می شود که K 1x + K 2x =C 1 یا m 1 u x + m 2 V Dx = C 1. (2) برای تعیین V Dx، حرکت بار D را با در نظر گرفتن حرکت آن نسبت به صفحه نسبی، و حرکت خود صفحه قابل حمل را پیچیده در نظر بگیرید، سپس
, (3)
؛ یا در طرح ریزی بر روی محور x: . (4) بیایید (4) را به (2) جایگزین کنیم:
. (5) ثابت ادغام C 1 را از شرایط اولیه تعیین می کنیم: در t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1. (6) با جایگزینی مقدار ثابت C 1 به معادله (5)، به دست می آوریم

ام‌اس.