جدول همه انتگرال ها روش های ادغام اولیه

جدول ضد مشتقات ("انتگرال"). جدول انتگرال ها انتگرال های نامعین جدولی. (ساده ترین انتگرال ها و انتگرال ها با پارامتر). فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات فرمول نیوتن لایب نیتس

فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات قوانین یکپارچه سازی

جدول مشتقات. مشتقات جدولی مشتق از محصول. مشتق از ضریب. مشتق تابع مختلط

اگر x یک متغیر مستقل است، آنگاه:

خواص لگاریتم ها فرمول های اصلی لگاریتم ها اعشاری (lg) و لگاریتم طبیعی (ln).

لگاریتم طبیعی ln (لگاریتم به پایه e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

سریال تیلور بسط یک تابع سری تیلور.

معلوم می شود که اکثریت عملا مواجه شدتوابع ریاضی را می توان با هر دقتی در مجاورت یک نقطه معین به صورت سری توانی حاوی توان های یک متغیر به ترتیب افزایشی نشان داد. به عنوان مثال، در مجاورت نقطه x=1:

هنگام استفاده از سری به نام ردیف های تیلور،توابع مختلط شامل توابع جبری، مثلثاتی و نمایی را می توان به صورت توابع جبری صرف بیان کرد. با استفاده از سری، اغلب می توانید به سرعت تمایز و ادغام را انجام دهید.

سری تیلور در همسایگی نقطه a به شکل زیر است:

1) ، که در آن f(x) تابعی است که مشتقات تمام مرتبه ها را در x = a دارد. R n - عبارت باقی مانده در سری تیلور با عبارت تعیین می شود

2)

ضریب k-امین (در x k) سری با فرمول تعیین می شود

3) یک مورد خاص از سری تیلور، سری Maclaurin (=McLaren) است (انبساط حول نقطه a=0 رخ می دهد)

در a=0

اعضای سری با فرمول تعیین می شوند

شرایط استفاده از سری تیلور

1. برای اینکه تابع f(x) به یک سری تیلور در بازه (-R;R) بسط داده شود، لازم و کافی است که عبارت باقیمانده در فرمول تیلور (Maclaurin (=McLaren)) برای این کار باشد. تابع به صورت k →∞ در بازه مشخص شده (-R;R) به صفر تمایل دارد.

2. لازم است مشتقاتی برای یک تابع معین در نقطه ای که قرار است سری تیلور را در مجاورت آن بسازیم وجود داشته باشد.

ویژگی های سری تیلور.

اگر f یک تابع تحلیلی باشد، آنگاه سری تیلور آن در هر نقطه a در حوزه تعریف f به f در محله ای از a همگرا می شود.

توابع بی نهایت قابل تمایز وجود دارند که سری تیلور آنها همگرا هستند، اما در عین حال با تابع در هر همسایگی a متفاوت هستند. مثلا:

سری های تیلور در تقریب (تقریب یک روش علمی است که شامل جایگزینی برخی از اشیاء با موارد دیگر است، به یک معنا نزدیک به موارد اصلی، اما ساده تر) یک تابع توسط چند جمله ای استفاده می شود. به طور خاص، خطی سازی ((از خطی - خطی)، یکی از روش های نمایش تقریبی سیستم های غیرخطی بسته، که در آن مطالعه یک سیستم غیر خطی با تجزیه و تحلیل یک سیستم خطی، به نوعی معادل با سیستم اصلی جایگزین می شود. .) معادلات با گسترش به یک سری تیلور و قطع همه عبارت های بالاتر از مرتبه اول رخ می دهد.

بنابراین، تقریباً هر تابعی را می توان به صورت چند جمله ای با دقت معین نشان داد.

نمونه هایی از برخی بسط های متداول توابع توان در سری مکلارین (= مک لارن، تیلور در مجاورت نقطه 0) و تیلور در مجاورت نقطه 1. اولین اصطلاحات بسط توابع اصلی در سری تیلور و مک لارن.

نمونه هایی از برخی بسط های رایج توابع توان در سری Maclaurin (= مک لارن، تیلور در مجاورت نقطه 0)

نمونه هایی از بسط های متداول سری تیلور در مجاورت نقطه 1

تابع پاد مشتق و انتگرال نامعین

واقعیت 1. ادغام عمل معکوس تمایز است، یعنی بازیابی یک تابع از مشتق شناخته شده این تابع. بنابراین عملکرد بازیابی شد اف(ایکس) نامیده میشود ضد مشتقبرای عملکرد f(ایکس).

تعریف 1. تابع اف(ایکس f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، اگر برای همه مقادیر ایکساز این فاصله برابری برقرار است اف "(ایکس)=f(ایکس) یعنی این تابع f(ایکس) مشتق تابع ضد مشتق است اف(ایکس). .

به عنوان مثال، تابع اف(ایکس) = گناه ایکس ضد مشتق تابع است f(ایکس) = cos ایکس در کل خط اعداد، زیرا برای هر مقدار x (گناه ایکس)" = (cos ایکس) .

تعریف 2. انتگرال نامعین یک تابع f(ایکس) مجموعه تمام ضد مشتقات آن است. در این مورد از علامت گذاری استفاده می شود

∫

f(ایکس)dx

علامت کجاست ∫ علامت انتگرال، تابع نامیده می شود f(ایکس) - تابع یکپارچه، و f(ایکس)dx - بیان یکپارچه

بنابراین، اگر اف(ایکس) – مقداری ضد مشتق برای f(ایکس) ، آن

∫

f(ایکس)dx = اف(ایکس) +سی

جایی که سی - ثابت دلخواه (ثابت).

برای درک معنای مجموعه ضد مشتقات یک تابع به عنوان یک انتگرال نامعین، قیاس زیر مناسب است. بگذار یک در (در چوبی سنتی) باشد. عملکرد آن «دری بودن» است. درب از چه چیزی ساخته شده است؟ ساخته شده از چوب. این بدان معنی است که مجموعه ضد مشتقات انتگرال تابع "دری بودن"، یعنی انتگرال نامعین آن، تابع "درخت بودن + C" است، که در آن C یک ثابت است، که در این زمینه می تواند به عنوان مثال، نوع درخت را نشان می دهد. همانطور که یک در با استفاده از برخی ابزارها از چوب ساخته می شود، یک مشتق از یک تابع نیز از یک تابع ضد مشتق ساخته می شود. فرمول هایی که در حین مطالعه مشتق یاد گرفتیم .

سپس جدول توابع اشیاء رایج و ضد مشتقات مربوط به آنها ("در بودن" - "درخت بودن" ، "قاشق بودن" - "فلزی بودن" و غیره) شبیه جدول پایه است. انتگرال های نامعین که در زیر آورده خواهند شد. جدول انتگرال های نامعین، توابع رایج را با نشان دادن پاد مشتق هایی که این توابع از آنها ساخته شده اند، فهرست می کند. در بخشی از مسائل مربوط به یافتن انتگرال نامعین، انتگرال هایی آورده شده است که می توان آنها را مستقیماً بدون تلاش زیاد، یعنی با استفاده از جدول انتگرال های نامعین، ادغام کرد. در مسائل پیچیده تر، ابتدا باید انتگرال را تبدیل کرد تا بتوان از انتگرال های جدول استفاده کرد.

واقعیت 2. هنگام بازیابی یک تابع به عنوان یک پاد مشتق، باید یک ثابت دلخواه (ثابت) را در نظر بگیریم. سیو برای اینکه لیستی از پاد مشتق ها با ثابت های مختلف از 1 تا بی نهایت ننویسید، باید مجموعه ای از پاد مشتق ها را با ثابت دلخواه بنویسید. سیمثلاً به این صورت: 5 ایکس³+C. بنابراین، یک ثابت دلخواه (ثابت) در بیان ضد مشتق گنجانده شده است، زیرا ضد مشتق می تواند یک تابع باشد، به عنوان مثال، 5 ایکس³+4 یا 5 ایکس³+3 و وقتی متمایز شد، 4 یا 3 یا هر ثابت دیگری به صفر می رسد.

اجازه دهید مشکل ادغام را مطرح کنیم: برای این تابع f(ایکس) چنین تابعی را پیدا کنید اف(ایکس), مشتق آنمساوی با f(ایکس).

مثال 1.مجموعه پاد مشتق های یک تابع را بیابید

راه حل. برای این تابع، ضد مشتق تابع است

تابع اف(ایکس) یک ضد مشتق برای تابع نامیده می شود f(ایکس) اگر مشتق باشد اف(ایکس) برابر است با f(ایکس)، یا، که همان چیزی است، دیفرانسیل اف(ایکس) برابر است f(ایکس) dx، یعنی

(2)

بنابراین، تابع ضد مشتق تابع است. با این حال، این تنها ضد مشتق برای . آنها همچنین به عنوان توابع عمل می کنند

جایی که با- ثابت دلخواه این را می توان با تمایز تأیید کرد.

بنابراین، اگر یک پاد مشتق برای یک تابع وجود داشته باشد، تعداد نامتناهی ضد مشتق برای آن وجود دارد که با یک جمله ثابت تفاوت دارند. تمام آنتی مشتق های یک تابع به شکل بالا نوشته می شوند. این از قضیه زیر حاصل می شود.

قضیه (گزاره رسمی واقعیت 2).اگر اف(ایکس) - ضد مشتق برای تابع f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، سپس هر ضد مشتق دیگری برای f(ایکس) در همان بازه را می توان در فرم نشان داد اف(ایکس) + سی، جایی که با- ثابت دلخواه

در مثال بعدی به جدول انتگرال ها می پردازیم که بعد از خصوصیات انتگرال نامعین در بند 3 آورده خواهد شد. این کار را قبل از خواندن کل جدول انجام می دهیم تا اصل مطلب بالا مشخص شود. و بعد از جدول و خصوصیات، در حین ادغام از آنها به طور کامل استفاده خواهیم کرد.

مثال 2.مجموعه ای از توابع ضد مشتق را بیابید:

راه حل. ما مجموعه‌ای از توابع ضد مشتق را پیدا می‌کنیم که این توابع از آنها «ساخته شده‌اند». هنگام ذکر فرمول ها از جدول انتگرال ها، فعلاً بپذیرید که چنین فرمول هایی در آنجا وجود دارد و ما خود جدول انتگرال های نامعین را کمی بیشتر مطالعه خواهیم کرد.

1) استفاده از فرمول (7) از جدول انتگرال ها برای n= 3، می گیریم

2) با استفاده از فرمول (10) از جدول انتگرال ها برای n= 1/3، داریم

3) از آنجایی که

سپس طبق فرمول (7) با n= -1/4 پیدا می کنیم

این خود تابع نیست که زیر علامت انتگرال نوشته می شود. f، و محصول آن توسط دیفرانسیل dx. این کار در درجه اول به این منظور انجام می شود که مشخص شود آنتی مشتق توسط کدام متغیر جستجو می شود. مثلا،

, ;

در اینجا در هر دو مورد انتگرال برابر است با ، اما انتگرالهای نامعین آن در موارد در نظر گرفته شده متفاوت هستند. در حالت اول این تابع به عنوان تابعی از متغیر در نظر گرفته می شود ایکس، و در دوم - به عنوان تابعی از z .

فرآیند یافتن انتگرال نامعین یک تابع را یکپارچه سازی آن تابع می نامند.

معنای هندسی انتگرال نامعین

فرض کنید باید یک منحنی پیدا کنیم y=F(x)و ما قبلاً می دانیم که مماس زاویه مماس در هر یک از نقاط آن یک تابع معین است f(x)ابسیس این نقطه

با توجه به معنای هندسی مشتق، مماس زاویه میل مماس در یک نقطه معین از منحنی y=F(x)برابر با مقدار مشتق است F"(x). بنابراین ما باید چنین تابعی را پیدا کنیم F(x)، برای کدام F"(x)=f(x). عملکرد مورد نیاز در کار F(x)ضد مشتق است f(x). شرایط مسئله نه با یک منحنی، بلکه توسط خانواده ای از منحنی ها برآورده می شود. y=F(x)- یکی از این منحنی ها و هر منحنی دیگری را می توان از طریق انتقال موازی در امتداد محور به دست آورد. اوه.

بیایید نمودار تابع ضد مشتق را نام ببریم f(x)منحنی انتگرال اگر F"(x)=f(x)، سپس نمودار تابع y=F(x)یک منحنی انتگرال وجود دارد.

واقعیت 3. انتگرال نامعین از نظر هندسی با خانواده همه منحنی های انتگرال نشان داده می شود. ، مانند تصویر زیر. فاصله هر منحنی از مبدا مختصات توسط یک ثابت یکپارچه سازی دلخواه تعیین می شود سی.

خواص انتگرال نامعین

واقعیت 4. قضیه 1. مشتق یک انتگرال نامعین برابر با انتگرال و دیفرانسیل آن برابر با انتگرال است.

واقعیت 5. قضیه 2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع f(ایکس) برابر تابع است f(ایکس) تا یک مدت ثابت ، یعنی

(3)

قضایای 1 و 2 نشان می دهد که تمایز و ادغام عملیات معکوس متقابل هستند.

واقعیت 6. قضیه 3. عامل ثابت در انتگرال را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد. ، یعنی

ادغام یکی از عملیات اصلی در تحلیل ریاضی است. جداول ضد مشتقات شناخته شده می توانند مفید باشند، اما اکنون، پس از ظهور سیستم های جبری رایانه ای، اهمیت خود را از دست می دهند. در زیر لیستی از رایج ترین بدوی ها آورده شده است.

جدول انتگرال های پایه

یکی دیگر از گزینه های جمع و جور

جدول انتگرال توابع مثلثاتی

از توابع عقلی

از کارکردهای غیرمنطقی

انتگرال توابع ماورایی

"C" یک ثابت یکپارچه سازی دلخواه است که اگر مقدار انتگرال در هر نقطه مشخص باشد تعیین می شود. هر تابع دارای بی نهایت ضد مشتق است.

اکثر دانش آموزان و دانش آموزان در محاسبه انتگرال ها مشکل دارند. این صفحه شامل جداول انتگرالاز توابع مثلثاتی، عقلانی، غیرمنطقی و ماورایی که در حل کمک خواهند کرد. جدول مشتقات نیز به شما کمک خواهد کرد.

ویدئو - نحوه پیدا کردن انتگرال

>>روش های ادغام

روش های ادغام اولیه

تعریف انتگرال انتگرال معین و نامعین جدول انتگرال فرمول نیوتن لایب نیتس انتگرال بر اساس نمونه هایی از محاسبه انتگرال.

انتگرال نامعین

تابع F(x) متمایز پذیر در بازه معین X فراخوانی می شود ضد مشتق تابع f(x)، یا انتگرال f(x)، اگر برای هر x ∈X برابری زیر برقرار باشد:

F" (x) = f(x). (8.1)

یافتن تمام پاد مشتق ها برای یک تابع معین، آن نامیده می شود ادغام. تابع انتگرال نامعین f(x) در یک بازه معین X مجموعه ای از تمام توابع ضد مشتق برای تابع f(x) است. تعیین -

اگر F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد، ∫ f(x)dx = F(x) + C، (8.2)

که در آن C یک ثابت دلخواه است.

جدول انتگرال ها

مستقیماً از تعریف، ویژگی های اصلی انتگرال نامعین و لیستی از انتگرال های جدولی را به دست می آوریم:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) 🔻(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

فهرست انتگرال های جدولی

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0، a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = آرکتان x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

جایگزینی متغیر

برای ادغام بسیاری از توابع، از روش جایگزینی متغیر یا تعویض ها،به شما امکان می دهد انتگرال ها را به شکل جدولی کاهش دهید.

اگر تابع f(z) روی [α,β] پیوسته باشد، تابع z =g(x) مشتق پیوسته و α ≤ g(x) ≤ β دارد، سپس

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz، (8.3)

علاوه بر این، پس از ادغام در سمت راست، جایگزینی z=g(x) باید انجام شود.

برای اثبات آن کافی است انتگرال اصلی را به شکل زیر بنویسید:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

مثلا:

1)

2) .

روش ادغام توسط قطعات

فرض کنید u = f(x) و v = g(x) توابعی باشند که پیوسته دارند. سپس با توجه به کار،

d(uv))= udv + vdu یا udv = d(uv) - vdu.

برای عبارت d(uv)، ضد مشتق بدیهی است که uv خواهد بود، بنابراین فرمول برقرار است:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

این فرمول بیانگر قاعده است یکپارچه سازی توسط قطعات. ادغام عبارت udv=uv"dx را به ادغام عبارت vdu=vu"dx هدایت می کند.

اجازه دهید، برای مثال، شما می خواهید ∫xcosx dx را پیدا کنید. اجازه دهید u = x، dv = cosxdx، پس du=dx، v=sinx قرار دهیم. سپس

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

قاعده ادغام توسط قطعات نسبت به جایگزینی متغیرها دامنه محدودتری دارد. اما کلاس های کاملی از انتگرال ها وجود دارد، برای مثال،

∫x k ln m xdx، ∫x k sinbxdx، ∫ x k cosbxdx، ∫x k e ax و موارد دیگر که دقیقاً با استفاده از ادغام توسط قطعات محاسبه می‌شوند.

انتگرال معین

مفهوم انتگرال معین به شرح زیر معرفی می شود. اجازه دهید یک تابع f(x) در یک بازه تعریف شود. اجازه دهید بخش [a,b] را به تقسیم کنیم nقسمت های نقطه a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. مجموع شکل f(ξ i)Δ x i نامیده می شود جمع انتگرال، و حد آن در λ = maxΔx i → 0، اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود. انتگرال معینتوابع f(x) از آقبل از بو تعیین شده است:

F(ξ i)Δx i (8.5).

تابع f(x) در این حالت فراخوانی می شود قابل ادغام در بازه، اعداد a و b نامیده می شوند حد پایین و بالایی انتگرال.

خواص زیر برای یک انتگرال معین صادق است:

4)، (k = const، k∈R)؛

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

آخرین خاصیت نامیده می شود قضیه ارزش میانگین.

فرض کنید f(x) روی . سپس روی این قطعه یک انتگرال نامعین وجود دارد

∫f(x)dx = F(x) + C

و صورت می گیرد فرمول نیوتن لایب نیتس، اتصال انتگرال معین به انتگرال نامعین:

F(b) - F(a). (8.6)

تفسیر هندسی: انتگرال معین مساحت ذوزنقه منحنی شکل است که از بالا با منحنی y=f(x)، خطوط مستقیم x=a و x=b و پاره ای از محور محدود شده است. گاو نر.

انتگرال های نامناسب

انتگرال با حد نامتناهی و انتگرال توابع ناپیوسته (نامحدود) نامیده می شوند. مال خودت نیست انتگرال های نادرست از نوع اول -این انتگرال ها در یک بازه بی نهایت هستند که به صورت زیر تعریف می شوند:

(8.7)

اگر این حد وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود انتگرال نادرست همگرا f(x)در بازه [a,+ ∞)، و تابع f(x) فراخوانی می شود قابل ادغام در یک بازه بی نهایت[a,+ ∞). در غیر این صورت، انتگرال گفته می شود وجود ندارد یا متفاوت است.

انتگرال های نامناسب در بازه های (-∞،b] و (-∞، + ∞) به طور مشابه تعریف می شوند:

اجازه دهید مفهوم انتگرال یک تابع نامحدود را تعریف کنیم. اگر f(x) برای همه مقادیر پیوسته باشد ایکسبخش، به جز نقطه c، که در آن f(x) ناپیوستگی نامتناهی دارد، پس انتگرال نادرست نوع دوم f(x) از a تا bمبلغ نامیده می شود:

اگر این حدود وجود داشته باشد و متناهی باشد. تعیین:

نمونه هایی از محاسبات انتگرال

مثال 3.30.∫dx/(x+2) را محاسبه کنید.

راه حل.بگذارید t = x+2 را نشان دهیم، سپس dx = dt، ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

مثال 3.31. ∫ tgxdx را پیدا کنید.

راه حل.🔻 tgxdx = 🔻sinx/cosxdx = - 🔻dcosx/cosx. بگذارید t=cosx، سپس ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

راه حل.

مثال3.33. پیدا کردن .

راه حل. =

.

مثال3.34 . ∫arctgxdx را پیدا کنید.

راه حل. بیایید با قطعات ادغام کنیم. اجازه دهید u=arctgx، dv=dx را نشان دهیم. سپس du = dx/(x 2 +1)، v=x، از آنجا ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; زیرا
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

مثال3.35 . ∫lnxdx را محاسبه کنید.

راه حل.با اعمال فرمول یکپارچه سازی قطعات، به دست می آوریم:
u=lnx، dv=dx، du=1/x dx، v=x. سپس ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

مثال3.36 . ∫e x sinxdx را محاسبه کنید.

راه حل.اجازه دهید u = e x، dv = sinxdx، سپس du = e x dx، v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx را نشان دهیم. ما همچنین انتگرال ∫e x cosxdx را با قطعات ادغام می کنیم: u = e x، dv = cosxdx، du=e x dx، v=sinx. ما داریم:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. رابطه ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx را به دست آوردیم که از آن 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

مثال 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x را محاسبه کنید.

راه حل.از آنجایی که dx/x = dlnx، پس J= ∫cos(lnx)d(lnx). با جایگزینی lnx تا t، به جدول انتگرال J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C می رسیم.

مثال 3.38 . J = را محاسبه کنید.

راه حل.با توجه به اینکه = d(lnx)، lnx = t را جایگزین می کنیم. سپس J = .