قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی. کمیت حرکت

§1. تکانه سیستم (تکانه سیستم)

کمیت حرکت (تکانه بدن) - کمیت فیزیکی برداری برابر با حاصل ضرب جرم یک جسم و سرعت آن:

تکانه (میزان حرکت) یکی از اساسی ترین ویژگی های حرکت بدن یا سیستم اجسام است.

بیایید بنویسیم II با توجه به این شتاب، قانون نیوتن به شکل دیگری استپس بنابراین

حاصل ضرب یک نیرو و زمان عمل آن برابر است با افزایش تکانه بدن:

جایی که- یک تکانه نیرو، که نشان می دهد نتیجه نیرو نه تنها به مقدار آن، بلکه به مدت زمان عمل آن نیز بستگی دارد.

مقدار حرکت سیستم (تکانه) کمیت برداری نامیده خواهد شد , برابر با مجموع هندسی (بردار اصلی) مقادیر حرکت (تکانه) تمام نقاط سیستم (شکل 2):

از رسم مشخص است که صرف نظر از مقادیر سرعت نقاط سیستم (مگر اینکه این سرعت ها موازی باشند)، بردارهنگامی که یک چند ضلعی از بردارها ساخته می شود، می تواند هر مقداری را بگیرد و حتی برابر با صفر باشد، بسته خواهد شد. بنابراین، در اندازهقضاوت کامل درباره ماهیت حرکت سیستم غیرممکن است.

شکل 2.کمیت حرکت سیستم

§2. قضیه تغییر تکانه (تکانه)

اجازه دهید نیرویی به جرم m برای مدت زمان معینی Δt تحت تأثیر این نیرو، سرعت جسم تغییر کند در نتیجه، در طول مدت Δt بدن با شتاب حرکت کرد:

از قانون اساسی دینامیک(قانون دوم نیوتن) به شرح زیر است:

§3. قانون بقای تکانه (قانون بقای تکانه)

از قضیه تغییر تکانه یک سیستم، پیامدهای مهم زیر را می توان به دست آورد:

1) مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر یک سیستم بسته برابر با صفر باشد:

سپس از معادلهنتیجه می شود که Q = = پایان. بنابراین، اگر مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر یک سیستم بسته برابر با صفر باشد، بردار تکانه (تکانه) سیستم از نظر بزرگی و جهت ثابت خواهد بود.

2) بگذارید نیروهای خارجی وارد بر سیستم به گونه ای باشد که مجموع برآمدگی های آنها بر روی یک محور (مثلاً در باره ایکس ) برابر با صفر است:

سپس از معادلهنتیجه می شود که در این موردQx= پایان. بنابراین، اگر مجموع برآمدگی‌های تمام نیروهای خارجی فعال بر روی هر محوری برابر با صفر باشد، در این صورت میزان حرکت (ممنتوم) سیستم بر روی این محور یک مقدار ثابت است.

این نتایج بیان می کند قانون بقای تکانه سیستم:برای هر نوع برهمکنش بین اجسامی که یک سیستم بسته را تشکیل می دهند، بردار تکانه کل این سیستم همیشه ثابت می ماند.

از آنها نتیجه می شود که نیروهای داخلی نمی توانند مقدار کل حرکت سیستم را تغییر دهند.

قانون بقای تکانه کل یک سیستم منزوی یک قانون جهانی طبیعت است. در حالت کلی تر، زمانی که سیستم بسته نیست، ازنتیجه این است که تکانه کل یک سیستم حلقه باز ثابت نمی ماند. تغییر آن در واحد زمان برابر است با مجموع هندسی تمام نیروهای خارجی.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

الف) پدیده پس زدن یا پس زدن. اگر تفنگ و گلوله را یک سیستم در نظر بگیریم، فشار گازهای پودر در هنگام شلیک یک نیروی داخلی خواهد بود. این نیرو نمی تواند تکانه کل سیستم را تغییر دهد. اما از آنجایی که گازهای پودری که بر روی گلوله اثر می‌گذارند، مقدار مشخصی حرکت به سمت جلو را به آن می‌دهند، باید به طور همزمان همان مقدار حرکت را در جهت مخالف به تفنگ وارد کنند. این باعث می شود تفنگ به سمت عقب حرکت کند، یعنی. به اصطلاح بازگشت پدیده مشابهی در هنگام شلیک تفنگ (بازگشت به عقب) رخ می دهد.

ب) عملکرد ملخ (پروانه). پروانه به توده معینی از هوا (یا آب) در امتداد محور ملخ حرکت می کند و این جرم را به عقب پرتاب می کند. اگر جرم پرتاب شده و هواپیما (یا کشتی) را یک سیستم در نظر بگیریم، نیروهای برهمکنش ملخ و محیط، به عنوان نیروهای داخلی، نمی توانند مقدار کل حرکت این سیستم را تغییر دهند. بنابراین، هنگامی که جرمی از هوا (آب) به عقب پرتاب می شود، هواپیما (یا کشتی) یک سرعت رو به جلوی متناظر را دریافت می کند، به طوری که کل مقدار حرکت سیستم مورد نظر برابر با صفر باقی می ماند، زیرا قبل از این صفر بود. جنبش آغاز شد

اثر مشابهی با عمل پاروها یا چرخ های پارویی به دست می آید.

ج) رانش جت. در موشک، محصولات احتراق گازی سوخت با سرعت زیاد از دهانه دم موشک (از نازل موتور جت) خارج می شود. نیروهای فشاری که در این مورد عمل می کنند نیروهای داخلی خواهند بود و نمی توانند مقدار کل حرکت سیستم موشک - محصولات احتراق سوخت را تغییر دهند. اما از آنجایی که گازهای خارج شده دارای مقدار معینی حرکت به سمت عقب هستند، موشک سرعت رو به جلوی مربوطه را دریافت می کند.

سوالات خودآزمایی:

قضیه تغییر تکانه یک سیستم چگونه فرموله می شود؟

بیان ریاضی قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی را به صورت دیفرانسیل و انتگرال بنویسید.

در چه صورت تکانه یک سیستم مکانیکی تغییر نمی کند؟

چگونه یک تکانه نیروی متغیر در یک دوره زمانی محدود تعیین می شود؟ چه چیزی یک تکانه نیرو را مشخص می کند؟

تکانه های نیروی ثابت و متغیر بر روی محورهای مختصات چگونه است؟

انگیزه حاصل چیست؟

تکانه نقطه ای که به طور یکنواخت به دور یک دایره حرکت می کند چگونه تغییر می کند؟

حرکت یک سیستم مکانیکی چقدر است؟

تکانه چرخش چرخ طیار حول محور ثابتی که از مرکز ثقل آن می گذرد چقدر است؟

در چه شرایطی تکانه یک سیستم مکانیکی تغییر نمی کند؟ تحت چه شرایطی برجستگی آن بر روی یک محور مشخص تغییر نمی کند؟

چرا اسلحه هنگام شلیک به عقب برمی گردد؟

آیا نیروهای داخلی می توانند تکانه یک سیستم یا تکانه قسمتی از آن را تغییر دهند؟

چه عواملی سرعت حرکت آزاد راکت را تعیین می کند؟

آیا سرعت نهایی یک موشک به زمان احتراق سوخت بستگی دارد؟

چشم انداز:این مطلب 23264 بار خوانده شده است

پی دی اف انتخاب زبان ... روسی اوکراینی انگلیسی

بررسی کوتاه

پس از انتخاب زبان، کل مطالب در بالا دانلود می شود

سیستم مکانیکی نقاط مادییا اجسام مجموعه ای از آنهاست که موقعیت و حرکت هر نقطه (یا جسم) به موقعیت و حرکت سایر نقاط بستگی دارد.
جسم مادی را سیستمی از نقاط (ذرات) مادی می دانند که این جسم را تشکیل می دهند.
توسط نیروهای خارجینیروهایی هستند که از نقاط یا اجسامی که به این سیستم تعلق ندارند بر روی نقاط یا اجسام یک سیستم مکانیکی وارد می شوند.
توسط نیروهای داخلی، نیروهایی هستند که بر روی نقاط یا اجسام یک سیستم مکانیکی از نقاط یا اجسام همان سیستم وارد می شوند، یعنی. که نقاط یا اجسام یک سیستم معین با یکدیگر تعامل دارند.
نیروهای خارجی و داخلی سیستم نیز به نوبه خود می توانند فعال و واکنشی باشند
وزن سیستمبرابر است با مجموع جبری جرم تمام نقاط یا اجسام منظومه در یک میدان گرانشی یکنواخت که وزن هر ذره ای از جسم متناسب با جرم آن است. بنابراین، توزیع جرم ها در یک جسم را می توان با موقعیت مرکز ثقل آن - نقطه هندسی تعیین کرد. باکه مختصات آن مرکز جرم یا مرکز اینرسی یک سیستم مکانیکی نامیده می شود
قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی: مرکز جرم یک سیستم مکانیکی به عنوان یک نقطه مادی حرکت می کند که جرم آن برابر با جرم سیستم است و تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم به آن وارد می شود.
نتیجه گیری:

1. یک سیستم مکانیکی یا یک جسم صلب را بسته به ماهیت حرکت آن می توان به عنوان یک نقطه مادی در نظر گرفت نه به اندازه آن.
2. نیروهای داخلی توسط قضیه حرکت مرکز جرم در نظر گرفته نمی شوند.
3. قضیه حرکت مرکز جرم، حرکت چرخشی یک سیستم مکانیکی را مشخص نمی کند، بلکه فقط حرکت انتقالی را مشخص می کند.

قانون بقای حرکت مرکز جرم سیستم:
1. اگر مجموع نیروهای خارجی (بردار اصلی) دائماً برابر با صفر باشد، آنگاه مرکز جرم سیستم مکانیکی در حالت سکون است یا به صورت یکنواخت و مستطیل حرکت می کند.
2. اگر مجموع برآمدگی های تمام نیروهای خارجی بر روی هر محوری برابر با صفر باشد، آنگاه برآمدگی سرعت مرکز جرم سیستم بر روی همان محور یک مقدار ثابت است.

قضیه تغییر تکانه.

میزان حرکت یک نقطه مادیو کمیت برداری است که برابر حاصلضرب جرم یک نقطه و بردار سرعت آن است.
واحد اندازه گیری تکانه (kg m/s) است.
حرکت سیستم مکانیکی- کمیت برداری برابر با مجموع هندسی (بردار اصلی) تکانه تمام نقاط سیستم یا تکانه سیستم برابر است با حاصل ضرب جرم کل سیستم و سرعت مرکز جرم آن
وقتی یک جسم (یا سیستم) طوری حرکت می کند که مرکز جرم آن ساکن باشد، مقدار حرکت جسم برابر با صفر است (مثلاً چرخش جسم حول یک محور ثابت که از مرکز جرم می گذرد. بدن).
اگر حرکت جسم پیچیده باشد، هنگام چرخش به دور مرکز جرم، قسمت چرخشی حرکت را مشخص نخواهد کرد. یعنی مقدار حرکت فقط حرکت انتقالی سیستم (همراه با مرکز جرم) را مشخص می کند.
نیروی ضربهعملکرد یک نیرو را در یک دوره زمانی مشخص مشخص می کند.
ضربه نیرو برای یک دوره زمانی محدود به عنوان مجموع انتگرال تکانه های ابتدایی مربوطه تعریف می شود.
قضیه تغییر تکانه نقطه مادی:
(به صورت دیفرانسیل): مشتق در طول زمان تکانه نقطه مادی برابر است با مجموع هندسی نیروهای وارد بر نقاط.
(به صورت انتگرال): تغییر تکانه در یک بازه زمانی معین برابر است با مجموع هندسی تکانه های نیروها که در همان بازه زمانی به یک نقطه اعمال می شود.

قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی
(به صورت دیفرانسیل): مشتق زمانی تکانه سیستم برابر است با مجموع هندسی تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم.
(به صورت انتگرال): تغییر تکانه سیستم در یک بازه زمانی معین برابر است با مجموع هندسی تکانه های وارد بر سیستم نیروهای خارجی در مدت زمان مشابه.
این قضیه به فرد اجازه می دهد تا نیروهای داخلی آشکارا ناشناخته را از بررسی حذف کند.
قضیه تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی و قضیه حرکت مرکز جرم دو شکل متفاوت از یک قضیه هستند.
قانون بقای تکانه یک سیستم.

1. اگر مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم برابر با صفر باشد، بردار تکانه سیستم از نظر جهت و بزرگی ثابت خواهد بود.
2. اگر مجموع برآمدگی های تمام نیروهای خارجی فعال بر روی هر محور دلخواه برابر با صفر باشد، در این صورت پیش بینی تکانه روی این محور یک مقدار ثابت است.

قوانین حفاظتی نشان می دهد که نیروهای داخلی نمی توانند مقدار کل حرکت سیستم را تغییر دهند.

1. طبقه بندی نیروهای وارد بر یک سیستم مکانیکی
2. خواص نیروهای داخلی
3. جرم سیستم مرکز جرم
4. معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی
5. قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی
6. قانون بقای حرکت مرکز جرم یک سیستم
7. قضیه تغییر مومنتوم
8. قانون بقای تکانه یک سیستم

زبان: روسی، اوکراینی

حجم : 248K

مثال محاسبه چرخ دنده
نمونه ای از محاسبه چرخ دنده. انتخاب مواد، محاسبه تنش های مجاز، محاسبه تماس و مقاومت خمشی انجام شده است.

مثالی از حل مسئله خمش تیر
در مثال، نمودارهای نیروهای عرضی و لنگرهای خمشی ساخته شد، یک مقطع خطرناک پیدا شد و یک پرتو I انتخاب شد. این مشکل ساخت نمودارها را با استفاده از وابستگی های دیفرانسیل تجزیه و تحلیل کرد و تجزیه و تحلیل مقایسه ای از مقاطع مختلف تیر را انجام داد.

مثالی از حل مشکل پیچش شفت
وظیفه آزمایش استحکام شفت فولادی در یک قطر مشخص، ماده و تنش مجاز است. در طول حل، نمودارهای گشتاور، تنش های برشی و زوایای پیچش ساخته می شود. وزن خود شفت در نظر گرفته نمی شود

نمونه ای از حل مسئله کشش-فشردگی میله
وظیفه آزمایش استحکام یک میله فولادی در تنش های مجاز مشخص شده است. در حین حل، نمودارهای نیروهای طولی، تنش ها و جابجایی های نرمال ساخته می شود. وزن خود میله در نظر گرفته نمی شود

کاربرد قضیه بقای انرژی جنبشی
مثالی از حل مسئله با استفاده از قضیه بقای انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی

تعیین سرعت و شتاب یک نقطه با استفاده از معادلات حرکت داده شده
مثالی از حل مسئله برای تعیین سرعت و شتاب یک نقطه با استفاده از معادلات حرکت داده شده

تعیین سرعت و شتاب نقاط یک جسم صلب در حین حرکت صفحه موازی
مثالی از حل مسئله برای تعیین سرعت و شتاب نقاط یک جسم صلب در حین حرکت صفحه موازی

میزان حرکت سیستممجموع هندسی کمیت های حرکت تمام نقاط مادی سیستم را می گویند

برای روشن شدن معنای فیزیکی (70)، اجازه دهید مشتق (64) را محاسبه کنیم.

. (71)

با حل (70) و (71) با هم به دست می آوریم

. (72)

بدین ترتیب، بردار تکانه یک سیستم مکانیکی با حاصل ضرب جرم سیستم و سرعت مرکز جرم آن تعیین می شود..

بیایید مشتق (72) را محاسبه کنیم.

. (73)

با حل (73) و (67) با هم به دست می آوریم

. (74)

معادله (74) قضیه زیر را بیان می کند.

قضیه: مشتق زمانی بردار تکانه سیستم برابر است با مجموع هندسی تمام نیروهای خارجی سیستم.

هنگام حل مسائل، معادله (74) باید بر روی محورهای مختصات پیش بینی شود:

. (75)

از تجزیه و تحلیل (74) و (75) موارد زیر به دست می آید: قانون بقای تکانه یک سیستم: اگر مجموع تمام نیروهای سیستم صفر باشد، بردار تکانه آن مقدار و جهت خود را حفظ می کند.

اگر
، آن
,س = پایان . (76)

در یک مورد خاص، این قانون می تواند در یکی از محورهای مختصات اجرا شود.

اگر
، این س z = پایان. (77)

توصیه می شود در مواردی که سیستم شامل اجسام مایع و گاز است از قضیه تغییر حرکت استفاده شود.

قضیه تغییر در تکانه زاویه ای یک سیستم مکانیکی

مقدار حرکت فقط جزء انتقالی حرکت را مشخص می کند. برای توصیف حرکت چرخشی یک جسم، مفهوم تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به یک مرکز معین (گمان جنبشی) معرفی شده است.

گشتاور جنبشی سیستمنسبت به یک مرکز معین، مجموع هندسی لحظه های کمیت های حرکت تمام نقاط آن نسبت به همان مرکز است.

. (78)

با فرافکنی (22) بر روی محورهای مختصات، می‌توانیم بیانی برای گشتاور جنبشی نسبت به محورهای مختصات به دست آوریم.

. (79)

گشتاور جنبشی بدن نسبت به محورهابرابر حاصل ضرب ممان اینرسی بدن نسبت به این محور و سرعت زاویه ای جسم

. (80)

از (80) نتیجه می شود که گشتاور جنبشی فقط جزء چرخشی حرکت را مشخص می کند.

مشخصه عمل دورانی یک نیرو، گشتاور آن نسبت به محور چرخش است.

قضیه تغییر در تکانه زاویه ای رابطه بین مشخصه حرکت دورانی و نیروی ایجاد کننده این حرکت را برقرار می کند.

قضیه: مشتق زمانی بردار تکانه زاویه ای سیستم نسبت به یک مرکز برابر است با مجموع هندسی گشتاورهای تمام نیروهای خارجی سیستم نسبت بههمان مرکز

. (81)

هنگام حل مسائل مهندسی (81) باید بر روی محورهای مختصات طراحی شود

تحلیل آنها از (81) و (82) دلالت دارد قانون بقای تکانه زاویه ای: اگر مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی نسبت به مرکز (یا محور) برابر با صفر باشد، گشتاور جنبشی سیستم نسبت به این مرکز (یا محور) قدر و جهت خود را حفظ می کند.

,

یا

گشتاور جنبشی را نمی توان با عمل نیروهای داخلی سیستم تغییر داد، اما به دلیل این نیروها می توان ممان اینرسی و در نتیجه سرعت زاویه ای را تغییر داد.

همانطور که برای یک نقطه مادی، یک قضیه در مورد تغییر تکانه برای سیستم به اشکال مختلف استخراج خواهیم کرد.

بیایید معادله را تبدیل کنیم (قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی)

به روش زیر:

;

معادله حاصل، قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی را به شکل دیفرانسیل بیان می کند: مشتق تکانه یک سیستم مکانیکی نسبت به زمان برابر است با بردار اصلی نیروهای خارجی وارد بر سیستم. .

در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات دکارتی:

; ; .

با در نظر گرفتن انتگرال های هر دو طرف آخرین معادلات در طول زمان، قضیه ای را در مورد تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی به صورت انتگرال به دست می آوریم: تغییر در تکانه یک سیستم مکانیکی برابر با تکانه بردار اصلی است. نیروهای خارجی بر روی سیستم اثر می گذارند .

.

یا در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات دکارتی:

; ; .

نتایج حاصل از قضیه (قوانین بقای حرکت)

قانون بقای تکانه به عنوان موارد خاصی از قضیه تغییر تکانه برای یک سیستم بسته به ویژگی های سیستم نیروهای خارجی به دست می آید. نیروهای داخلی می توانند هر کدام باشند، زیرا بر تغییرات حرکت تأثیر نمی گذارند.

دو مورد احتمالی وجود دارد:

1. اگر مجموع بردار تمام نیروهای خارجی وارد شده به سیستم برابر با صفر باشد، مقدار حرکت سیستم از نظر بزرگی و جهت ثابت است.

2. اگر طرح بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی هر محور مختصاتی و/یا و/یا برابر با صفر باشد، در این صورت برون‌تابی تکانه روی همین محورها یک مقدار ثابت است، یعنی. و/یا و/یا به ترتیب.

ورودی های مشابهی را می توان برای یک نقطه مادی و برای یک نقطه مادی ایجاد کرد.

وظیفه. از تفنگی که جرمش م، پرتابه ای با جرم در جهت افقی به بیرون پرواز می کند متربا سرعت v. سرعت را پیدا کنید Vاسلحه بعد از شلیک

راه حل. تمام نیروهای خارجی که بر سیستم مکانیکی سلاح-پرتابه وارد می شوند عمودی هستند. به این معنی که بر اساس نتیجه قضیه تغییر تکانه سیستم داریم: .

میزان حرکت سیستم مکانیکی قبل از شلیک:

میزان حرکت سیستم مکانیکی پس از شلیک:

.

با برابر کردن سمت راست عبارات، آن را به دست می آوریم

.

علامت "-" در فرمول به دست آمده نشان می دهد که پس از شلیک اسلحه در جهت مخالف محور به عقب می چرخد. گاو نر.

مثال 2. جریانی از مایع با چگالی با سرعت V از لوله ای با سطح مقطع F جریان می یابد و با زاویه ای به دیوار عمودی برخورد می کند. فشار سیال روی دیوار را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید قضیه تغییر تکانه به شکل انتگرال را به حجم مایع با جرم اعمال کنیم متربرخورد با دیوار در مدت زمان معین تی.

معادله مشچرسکی

(معادله پایه دینامیک جسمی با جرم متغیر)

در تکنولوژی مدرن، مواردی به وجود می آید که جرم یک نقطه و یک سیستم در حین حرکت ثابت نمی ماند، بلکه تغییر می کند. بنابراین، به عنوان مثال، در طول پرواز موشک های فضایی، به دلیل پرتاب محصولات احتراق و تک تک قطعات غیر ضروری راکت ها، تغییر جرم به 90-95٪ از کل مقدار اولیه می رسد. اما نه تنها فناوری فضایی می تواند نمونه ای از دینامیک حرکت جرم متغیر باشد. در صنعت نساجی، تغییرات قابل توجهی در جرم انواع دوک ها، بوبین ها، رول ها در سرعت های کاری مدرن ماشین آلات و ماشین آلات وجود دارد.

اجازه دهید ویژگی های اصلی مرتبط با تغییرات جرم را با استفاده از مثال حرکت انتقالی جسمی با جرم متغیر در نظر بگیریم. قانون اساسی دینامیک را نمی توان مستقیماً برای جسمی با جرم متغیر اعمال کرد. بنابراین، با اعمال این قضیه بر روی تغییر تکانه سیستم، معادلات دیفرانسیل حرکت نقطه ای با جرم متغیر را به دست می آوریم.

بگذارید نقطه جرم داشته باشد m+dmبا سرعت حرکت می کند سپس یک ذره خاص با جرم از نقطه جدا می شود dmبا سرعت حرکت می کند

میزان حرکت بدن قبل از جدا شدن ذره:

میزان حرکت یک سیستم متشکل از یک جسم و یک ذره جدا شده پس از جدا شدن:

سپس تغییر در حرکت:

بر اساس قضیه تغییر تکانه سیستم:

اجازه دهید کمیت - سرعت نسبی ذره را نشان دهیم:

بیایید نشان دهیم

اندازه آرنیروی واکنشی نامیده می شود. نیروی واکنشی نیروی رانش موتور است که در اثر خروج گاز از نازل ایجاد می شود.

بالاخره می رسیم

-

این فرمول معادله پایه دینامیک جسمی با جرم متغیر (فرمول مشچرسکی) را بیان می کند. از آخرین فرمول چنین برمی‌آید که معادلات دیفرانسیل حرکت نقطه‌ای با جرم متغیر مانند نقطه‌ای با جرم ثابت است، به جز نیروی واکنش اضافی اعمال شده به نقطه به دلیل تغییر جرم.

معادله اصلی برای دینامیک جسمی با جرم متغیر نشان می دهد که شتاب این جسم نه تنها به دلیل نیروهای خارجی، بلکه به دلیل نیروی واکنشی نیز ایجاد می شود.

نیروی واکنشی نیرویی است مشابه نیرویی که فرد شلیک می کند - هنگام شلیک از تپانچه، با دست احساس می شود. هنگام شلیک از تفنگ، توسط شانه درک می شود.

اولین فرمول Tsiolkovsky (برای موشک تک مرحله ای)

اجازه دهید یک نقطه با جرم متغیر یا یک موشک در یک خط مستقیم تحت تأثیر تنها یک نیروی واکنشی حرکت کند. از آنجایی که برای بسیاری از موتورهای جت مدرن حداکثر نیروی واکنشی مجاز توسط طراحی موتور کجاست (تراست موتور). - نیروی گرانش وارد بر موتور واقع در سطح زمین. آن ها موارد فوق به ما این امکان را می دهد که جزء معادله مشچرسکی را نادیده بگیریم و این معادله را برای تجزیه و تحلیل بیشتر به شکل زیر بپذیریم:

بیایید نشان دهیم:

ذخیره سوخت (برای موتورهای جت مایع - جرم خشک موشک (جرم باقی مانده آن پس از سوزاندن تمام سوخت).

جرم ذرات جدا شده از موشک؛ به عنوان یک مقدار متغیر در نظر گرفته می شود که از تا تغییر می کند.

اجازه دهید معادله حرکت مستقیم یک نقطه با جرم متغیر را به شکل زیر بنویسیم:

.

از آنجایی که فرمول تعیین جرم متغیر یک موشک است

بنابراین معادلات حرکت یک نقطه با گرفتن انتگرال های هر دو طرف به دست می آوریم

جایی که - سرعت مشخصه- این سرعتی است که موشک تحت تأثیر رانش پس از فوران همه ذرات از موشک به دست می آورد (برای موتورهای جت مایع - پس از سوختن تمام سوخت).

در خارج از علامت انتگرال (که می تواند بر اساس قضیه مقدار متوسط ​​شناخته شده از ریاضیات بالاتر انجام شود) میانگین سرعت ذرات پرتاب شده از موشک قرار دارد.

و سیستم مکانیکی

تکانه یک نقطه مادی یک اندازه گیری برداری از حرکت مکانیکی است که برابر با حاصلضرب جرم نقطه و سرعت آن است. واحد اندازه گیری تکانه در سیستم SI است
. مقدار حرکت یک سیستم مکانیکی برابر است با مجموع مقادیر حرکت تمام نقاط مادی تشکیل دهنده سیستم:

. (5.2)

بیایید فرمول حاصل را تبدیل کنیم

.

طبق فرمول (4.2)
، از همین رو

.

بنابراین، تکانه یک سیستم مکانیکی برابر است با حاصل ضرب جرم آن و سرعت مرکز جرم:

. (5.3)

از آنجایی که مقدار حرکت یک سیستم تنها با حرکت یکی از نقاط آن (مرکز جرم) تعیین می شود، نمی تواند مشخصه کامل حرکت سیستم باشد. در واقع، برای هر حرکتی از سیستم، زمانی که مرکز جرم آن ثابت بماند، تکانه سیستم صفر است. به عنوان مثال، این زمانی اتفاق می افتد که یک جسم صلب حول محور ثابتی که از مرکز جرم خود می گذرد می چرخد.

بیایید یک سیستم مرجع معرفی کنیم Cxyzکه منشاء آن در مرکز جرم سیستم مکانیکی است باو حرکت انتقالی نسبت به سیستم اینرسی
(شکل 5.1). سپس حرکت هر نقطه
را می توان پیچیده در نظر گرفت: حرکت قابل حمل همراه با محور Cxyzو حرکت نسبت به این محورها. به دلیل حرکت پیشرونده محورها Cxyzسرعت قابل حمل هر نقطه برابر است با سرعت مرکز جرم سیستم و مقدار حرکت سیستم که با فرمول (5.3) تعیین می شود، فقط حرکت قابل حمل انتقالی آن را مشخص می کند.

5.3. نیروی ضربه

برای مشخص کردن عملکرد یک نیرو در یک دوره زمانی معین، کمیتی نامیده می شود تکانه نیرو . ضربه اولیه یک نیرو، اندازه گیری برداری از عمل یک نیرو است که برابر با حاصل ضرب نیرو در فاصله زمانی اولیه عمل آن است:

. (5.4)

واحد SI ضربه نیرو است
، یعنی ابعاد ضربه و تکانه نیرو یکسان است.

نیروی تکانه در یک دوره زمانی محدود
برابر است با انتگرال معینی از تکانه ابتدایی:

. (5.5)

تکانه یک نیروی ثابت برابر است با حاصل ضرب نیرو و زمان عمل آن:

. (5.6)

به طور کلی، ضربه نیرو را می توان با پیش بینی آن بر روی محورهای مختصات تعیین کرد:

. (5.7)

5.4. قضیه تغییر مومنتوم

نقطه مادی

در معادله اصلی دینامیک (1.2)، جرم یک نقطه مادی یک مقدار ثابت است، شتاب آن.
، که نوشتن این معادله را به شکل زیر ممکن می سازد:

. (5.8)

رابطه حاصل به ما امکان می دهد فرمول بندی کنیم قضیه تغییر تکانه نقطه مادی به شکل دیفرانسیل: مشتق زمانی تکانه نقطه مادی برابر با مجموع هندسی (بردار اصلی) نیروهای وارد بر نقطه است..

حال شکل انتگرالی این قضیه را بدست می آوریم. از رابطه (5.8) نتیجه می شود که

.

بیایید هر دو طرف برابری را در محدوده های مربوط به لحظات زمان ادغام کنیم و ,

. (5.9)

انتگرال های سمت راست نشان دهنده تکانه های نیروهای وارد بر نقطه هستند، بنابراین پس از ادغام سمت چپ به دست می آوریم.

. (5.10)

بنابراین ثابت می شود قضیه تغییر تکانه نقطه مادی به صورت انتگرال: تغییر در تکانه یک نقطه مادی در یک بازه زمانی معین برابر است با مجموع هندسی تکانه های نیروهای وارد بر آن نقطه در مدت زمان مشابه..

معادله برداری (5.10) با سیستمی متشکل از سه معادله در پیش بینی بر روی محورهای مختصات مطابقت دارد:

;

; (5.11)

.

مثال 1. بدن به صورت انتقالی در امتداد یک صفحه شیبدار حرکت می کند که زاویه α را با افق تشکیل می دهد. در لحظه اول سرعت داشت ، در امتداد یک صفحه شیبدار به سمت بالا هدایت می شود (شکل 5.2).

اگر ضریب اصطکاک برابر باشد، پس از چه زمانی سرعت جسم برابر با صفر می شود f ?

اجازه دهید یک جسم متحرک انتقالی را به عنوان یک نقطه مادی در نظر بگیریم و نیروهای وارد بر آن را در نظر بگیریم. این جاذبه است
، واکنش عادی هواپیما و نیروی اصطکاک . بیایید محور را هدایت کنیم ایکسدر امتداد صفحه مایل به سمت بالا و معادله 1 سیستم را بنویسید (5.11)

که در آن برآمدگی‌های کمیت‌های حرکتی هستند، و پیش‌بینی‌های تکانه‌های نیروهای ثابت هستند
,و برابر حاصلضرب پیش بینی نیروها و زمان حرکت است:

از آنجایی که شتاب بدن در امتداد صفحه شیبدار هدایت می شود، مجموع برآمدگی ها روی محور yتمام نیروهای وارد بر جسم برابر با صفر است:
، که از آن نتیجه می شود که
. بیایید نیروی اصطکاک را پیدا کنیم

و از رابطه (5.12) بدست می آوریم

از جایی که زمان حرکت بدن را مشخص می کنیم

.