عناصر تئوری تعیین کننده ها و ماتریس ها. چکیده: نظریه ماتریس ها و تعیین کننده ها

ارسال کار خوب خود در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

عناصر نظریه تعیین کننده

دترمینان عددی است که به شکل جدول مربعی از اعداد نوشته می شود و طبق قوانین خاصی محاسبه می شود.

به عنوان مثال، هر یک از جداول (1.1) از تعداد مساوی سطر و ستون تشکیل شده و نشان دهنده یک عدد است که قوانین محاسبه آن در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

تعداد سطرها و ستون ها ترتیب تعیین کننده را تعیین می کند. بنابراین، تعیین کننده 1.1a) از مرتبه سوم است، تعیین کننده 1.1b) از مرتبه دوم، 1.1c) از مرتبه اول است. همانطور که می بینید، تعیین کننده مرتبه اول خود عدد است.

براکت های عمودی مستقیم در لبه های جدول علامت و نماد تعیین کننده هستند. آیا تعیین کننده با حروف بزرگ الفبای یونانی نشان داده می شود؟ (دلتا).

به طور کلی، تعیین کننده مرتبه n به صورت زیر نوشته می شود:

هر عنصر آ ijتعیین کننده دو شاخص دارد: شاخص اول منشماره خط، دوم را نشان می دهد j- شماره ستونی که عنصر در تقاطع آن قرار دارد. بنابراین برای عناصر تعیین کننده 1.1a). آ 11 , آ 22 , آ 23 , آ 32 به ترتیب برابر با 2، 5، 4، 3 هستند.

تعیین کننده مرتبه دوم با استفاده از فرمول محاسبه می شود

تعیین مرتبه دوم برابر است با حاصلضرب عناصر روی مورب اصلی منهای حاصلضرب عناصر روی قطر ثانویه.

برای محاسبه دترمینان مرتبه سوم از روش مثلث و روش ساروس استفاده می شود. اما معمولا در عمل برای محاسبه تعیین کننده مرتبه 3 از روش به اصطلاح کاهش سفارش موثر استفاده می شود که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

روش مثلثی

هنگام محاسبه تعیین کننده با استفاده از این روش، استفاده از نمایش گرافیکی آن راحت است. در شکل 1.1 و 1.2، عناصر تعیین کننده مرتبه 3 به صورت شماتیک با نقطه نشان داده می شوند.

برنج. 1.1 شکل. 1.2

هنگام محاسبه دترمینانت، حاصل ضرب المان هایی که با خطوط مستقیم به هم متصل شده اند از نمودار شکل 1 پیروی می کند. 1.1، با علامت بعلاوه و حاصل ضرب عناصر متصل شده مطابق نمودار در شکل. 1.2، با علامت منفی بگیرید. در نتیجه این اقدامات، فرمول مورد استفاده برای محاسبه به شکل زیر است:

تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنید.

روش ساروس

برای پیاده سازی آن، باید دو ستون اول را در سمت راست تعیین کننده اختصاص دهید، محصولات عناصر واقع در مورب اصلی و روی خطوط موازی با آن را ترکیب کنید و آنها را با علامت مثبت بگیرید. سپس محصولات عناصر واقع در مورب جانبی و موازی با آن را با علامت منفی ترکیب کنید.

طرحی برای محاسبه دترمینانت با استفاده از روش ساروس.

تعیین کننده داده شده در مثال 1.2 را با استفاده از روش ساروس محاسبه کنید.

متمم جزئی و جبری عنصر تعیین کننده

جزئی م ijعنصر آ ijتعیین کننده نامیده می شود ( n-1) -امین مرتبه به دست آمده از تعیین کننده n-ام سفارش با خط زدن من-خط و jستون هفتم (یعنی با خط زدن سطر و ستونی که در تقاطع آنها عنصر قرار دارد آ ij).

جزئی عناصر را پیدا کنید آ 23 و آ 34 تعیین کننده مرتبه 4

عنصر آ 23 در ردیف 2 و ستون 3 قرار دارد. در این مثال آ 23 =4. با عبور از ردیف 2 و ستون 3 در تقاطع این عنصر (برای اهداف روش شناختی با خطوط نقطه چین عمودی و افقی نشان داده شده است)، M 23 جزئی این عنصر را به دست می آوریم. این در حال حاضر یک تعیین کننده مرتبه سوم خواهد بود.

هنگام محاسبه مینورها، عملیات خط زدن یک ردیف و ستون به صورت ذهنی انجام می شود. با انجام این کار، دریافت می کنیم

متمم جبری آ ijعنصر آ ijتعیین کننده nمرتبه ثانویه این عنصر است که با علامت (-1) گرفته می شود. من + j، جایی که من+ j- مجموع اعداد سطر و ستونی که عنصر به آن تعلق دارد آ ij. آن ها اولی آ ij=(-1) من + jم ij

واضح است که اگر مقدار من+ j- پس عدد زوج است آ ij=م ij، اگر من+ j- پس عدد فرد است آ ij= - م ij.

برای تعیین کننده، مکمل های جبری عناصر را پیدا کنید آ 23 و آ 31 .

برای عنصر آ 23 من=2, j=3 و من+ j=5 عددی فرد است، بنابراین

برای عنصر آ 31 من=3, j=1 و من+ j=4 یک عدد زوج است که به این معنی است

خواص عوامل تعیین کننده

1. اگر هر دو سطر موازی (دو سطر یا دو ستون) در دترمینان جابجا شوند، علامت دترمینان به سمت مقابل تغییر می کند.

2 ستون موازی (1 و 2) را تعویض کنید.

2 خط موازی (1 و 3) را با هم عوض کنید.

2. ضریب مشترک عناصر هر سطر (ردیف یا ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

ویژگی های یک دترمینال برابر با صفر است

3. اگر همه عناصر یک سری معین در یک تعیین کننده برابر با صفر باشند، چنین تعیین کننده ای برابر با صفر است.

4. اگر در یک تعیین کننده عناصر هر سری با عناصر یک سری موازی متناسب باشند، تعیین کننده برابر با صفر است.

خواص تغییر ناپذیری (تغییرناپذیری) تعیین کننده.

5. اگر سطرها و ستون های تعیین کننده با هم عوض شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند.

6. اگر عناصر هر سری موازی به عناصر هر سری اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد، ابتدا در یک عدد معین ضرب شود.

خاصیت 6 به طور گسترده در محاسبه عوامل تعیین کننده با استفاده از روش به اصطلاح کاهش سفارش موثر استفاده می شود. هنگام اعمال این روش، لازم است همه عناصر به جز یک را در یک سطر (یک سطر یا ستون) به صفر برسانید. یک عنصر غیر صفر از دترمینال اگر به تعدادی با قدر مساوی اما علامت مخالف اضافه شود برابر با صفر خواهد بود.

بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

با استفاده از خصوصیات 2 و 6، دترمینان را به تعیین کننده ای کاهش دهید که در هر ردیف دو صفر دارد.

با استفاده از خاصیت 2، با حذف 2 از ردیف 1، 4 از ردیف 2 و 2 از ردیف 3 به عنوان فاکتورهای مشترک، تعیین کننده را ساده می کنیم.

زیرا عنصر آ 22 برابر با صفر است، سپس برای حل مسئله کافی است هر عنصری را در ردیف دوم یا ستون دوم به صفر برسانیم. راه های مختلفی برای این کار وجود دارد.

به عنوان مثال، بیایید عنصر را در نظر بگیریم آ 21 =2 به صفر برای این کار بر اساس خاصیت 6 کل ستون سوم را در (2-) ضرب کرده و به ستون اول اضافه کنید. پس از انجام این عملیات، دریافت می کنیم

این امکان وجود دارد که یک عنصر را null کنید آ 12 =2، سپس در ستون دوم دو عنصر برابر با صفر بدست می آوریم. برای انجام این کار، باید خط سوم را در (-2) ضرب کنید و مقادیر حاصل را به خط اول اضافه کنید.

محاسبه تعیین کننده هر ترتیب

قاعده محاسبه تعیین کننده هر مرتبه بر اساس قضیه لاپلاس است.

قضیه لاپلاس

دترمینان برابر است با مجموع حاصل ضربات زوجی عناصر هر سطر (ردیف یا ستون) توسط مکمل های جبری آنها.

بر اساس این قضیه، تعیین کننده را می توان با تجزیه آن بر روی عناصر هر ردیف یا هر ستون محاسبه کرد.

به طور کلی، تعیین کننده مرتبه n را می توان به روش های زیر بسط و محاسبه کرد:

دترمینان را با استفاده از قضیه لاپلاس با تجزیه آن به عناصر سطر 3 و عناصر ستون 1 محاسبه کنید.

ما تعیین کننده را با گسترش آن در امتداد خط 3 محاسبه می کنیم

بیایید با بسط دادن آن بر روی ستون اول، تعیین کننده را محاسبه کنیم

روش کاهش سفارش موثر

پیچیدگی محاسبه دترمینان با استفاده از قضیه لاپلاس به میزان قابل توجهی کمتر خواهد بود اگر فقط یک جمله در بسط آن در یک ردیف یا در یک ستون وجود داشته باشد. اگر در سطر (یا ستون) که تعیین کننده در امتداد آن گسترش یافته است، همه عناصر به جز یک برابر با صفر باشند، چنین بسطی به دست می آید. روش "صفر کردن" عناصر تعیین کننده قبلاً مورد بحث قرار گرفت.

تعیین کننده را با استفاده از روش کاهش سفارش موثر محاسبه کنید.

زیرا تعیین کننده مرتبه 3، سپس هر 2 عنصر تعیین کننده را "صفر" می کنیم. برای این منظور گرفتن ستون 2 که عنصر آن است راحت است آ 22 = - 1. به منظور عنصر آ 21 برابر با صفر بود، ستون 1 باید به ستون 2 اضافه شود. به منظور عنصر آ 23 برابر با صفر بود، باید ستون 2 را در 2 ضرب کنید و آن را به 3 اضافه کنید. پس از انجام این عملیات، دترمینانت داده شده به دترمینانت تبدیل می شود

اکنون این تعیین کننده را در امتداد خط 2 گسترش می دهیم

محاسبه تعیین کنندهبرش آن به شکل مثلثی

تعیین کننده ای که تمام عناصر آن در بالا یا پایین قطر اصلی برابر با صفر باشد، تعیین کننده مثلثی نامیده می شود. در این حالت، تعیین کننده برابر است با حاصل ضرب عناصر آن از قطر اصلی.

کاهش دترمینان به شکل مثلثی همیشه بر اساس خواص آن امکان پذیر است.

تعیین کننده داده می شود. آن را به شکل مثلثی کاهش دهید و حساب کنید.

به عنوان مثال، تمام عناصر واقع در بالای مورب اصلی را "صفر" می کنیم. برای انجام این کار، شما باید سه عملیات را انجام دهید: عملیات 1 - اولین خط را با آخرین خط اضافه کنید، دریافت می کنیم آ 13 = 0. عملیات دوم - با ضرب آخرین خط در (-2) و جمع کردن با 2، به دست می آید. آ 23 = 0. اجرای متوالی این عملیات در زیر نشان داده شده است.

برای تنظیم مجدد یک عنصر آ 12 خطوط 1 و 2 را اضافه کنید

عناصر نظریه ماتریس

ماتریس جدولی از اعداد یا هر عنصر دیگری است که حاوی آن است مترخطوط و nستون ها.

نمای کلی ماتریس

ماتریس مانند دترمینان دارای عناصر مجهز به شاخص دوگانه است. منظور از شاخص ها همان است که برای تعیین کننده است.

اگر دترمینان برابر با یک عدد باشد، ماتریس با هیچ شیء ساده تری برابر نیست.

پرانتز در طرفین ماتریس علامت یا نماد آن است (اما نه پرانتزهای مستقیم که تعیین کننده را نشان می دهند). برای اختصار، ماتریس با حروف بزرگ نشان داده می شود الف، ب، جو غیره.

یک ماتریس دارای اندازه ای است که با تعداد سطرها و ستون های آن تعیین می شود که به صورت - نوشته می شود. آ متر n.

به عنوان مثال، یک ماتریس عددی با اندازه 23 دارای فرم، اندازه 31 دارای فرم، اندازه 14 دارای فرم و غیره است.

ماتریسی که در آن تعداد سطرها برابر با تعداد ستون ها باشد مربع نامیده می شود. در این مورد، در مورد عوامل تعیین کننده، ما در مورد ترتیب ماتریس صحبت می کنیم.

به عنوان مثال، یک ماتریس عددی مرتبه 3 دارای فرم است

انواع ماتریس ها

ماتریسی متشکل از یک ردیف را ماتریس ردیف می نامند

ماتریسی که از یک ستون تشکیل شده باشد، ماتریس ستونی نامیده می شود

ماتریس مربع نامیده می شود nمرتبه -ام اگر تعداد سطرهای آن برابر با تعداد ستون ها و برابر باشد n.

به عنوان مثال، یک ماتریس مربع از مرتبه 3.

ماتریس مورب یک ماتریس مربع است که در آن همه عناصر به جز عناصر روی قطر اصلی صفر هستند. مورب اصلی قطری است که از گوشه بالا سمت چپ به گوشه پایین سمت راست کشیده می شود.

به عنوان مثال، یک ماتریس مورب مرتبه سوم.

یک ماتریس مورب که همه عناصر آن برابر با یک هستند هویت نامیده می شود و با حرف نشان داده می شود. Eیا شماره 1

ماتریس تهی ماتریسی است که در آن همه عناصر برابر با صفر هستند.

ماتریس مثلثی بالا ماتریسی است که در آن تمام عناصر واقع در زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند.

یک ماتریس مثلثی پایین ماتریسی است که در آن تمام عناصر واقع در بالای مورب اصلی برابر با صفر هستند.

مثلا

ماتریس مثلثی بالا

ماتریس مثلثی پایینی

اگر در ماتریس آسطرها را با ستون ها عوض کنید، یک ماتریس جابجا شده دریافت می کنیم که با نماد نشان داده می شود آ*.

به عنوان مثال، با توجه به یک ماتریس،

ماتریس با توجه به آن جابجا شده است آ*

ماتریس مربع آدارای یک تعیین کننده است که با det نشان داده می شود آ(دت یک کلمه کوتاه شده فرانسوی برای "تعیین کننده" است).

به عنوان مثال، برای ماتریس آ

تعیین کننده آن را می نویسیم

تمام عملیات با تعیین کننده یک ماتریس همان است که قبلاً مورد بحث قرار گرفت.

ماتریسی که دترمینان آن برابر با صفر است خاص یا منحط یا مفرد نامیده می شود. ماتریسی که دترمینان آن برابر با صفر نباشد، غیر مفرد یا غیر مفرد نامیده می شود.

ماتریس اتحادیه یا ضمیمه

اگر برای یک ماتریس مربع معین آمکمل های جبری همه عناصر آن را تعیین کنید و سپس آنها را جابجا کنید، سپس ماتریس به دست آمده را متحد یا الحاق به ماتریس می نامند. آو با علامت نشان داده می شود آ

برای یافتن ماتریس آ.

کامپایل دترمینان ماتریس آ

ما مکمل های جبری همه عناصر تعیین کننده را با استفاده از فرمول تعیین می کنیم

با جابجایی مکمل های جبری حاصل، ماتریس متحد یا الحاق را به دست می آوریم آدر رابطه با یک ماتریس معین آ.

اقدامات روی ماتریس ها

برابری ماتریسی

دو ماتریس آو که دربرابر در نظر گرفته می شوند اگر:

الف) اندازه هر دو یکسان است.

ب) عناصر متناظر این ماتریس ها با یکدیگر برابر باشند. عناصر متناظر عناصری با شاخص های یکسان هستند.

جمع و تفریق ماتریس ها

شما فقط می توانید ماتریس هایی از یک بعد را اضافه و کم کنید. مجموع (تفاوت) دو ماتریس آو که درماتریس سوم وجود خواهد داشت با، که عناصر آن با ijبرابر با مجموع (تفاوت) عناصر ماتریس مربوطه آو که در. طبق تعریف، عناصر ماتریس باطبق قاعده هستند.

به عنوان مثال، اگر

مفهوم مجموع (تفاوت) ماتریس ها به هر تعداد محدودی از ماتریس ها گسترش می یابد. در این حالت مجموع ماتریس ها از قوانین زیر تبعیت می کند:

الف) جابجایی A + B = B + A;

ب) انجمنی با + (A + B) = (B + C)+ A.

ضرب یک ماتریس در یک عدد

برای ضرب یک ماتریس در یک عدد، باید هر عنصر ماتریس را در آن عدد ضرب کنید.

نتیجه. عامل مشترک همه عناصر ماتریس را می توان از علامت ماتریس خارج کرد.

مثلا، .

همانطور که می بینید، اعمال جمع، تفریق ماتریس ها و ضرب یک ماتریس در عدد مشابه اعمال روی اعداد است. ضرب ماتریس یک عملیات خاص است.

محصول دو ماتریس

همه ماتریس ها را نمی توان ضرب کرد. محصول دو ماتریس آو که دربه ترتیب ذکر شده آ که درتنها زمانی امکان پذیر است که تعداد ستون های عامل اول باشد آبرابر با تعداد ردیف های عامل دوم است که در.

مثلا، .

اندازه ماتریس آ 33، اندازه ماتریس که در 23. کار کنید آ که درغیر ممکن، کار که در آشاید.

حاصل ضرب دو ماتریس A و B سومین ماتریس C است که عنصر C ij آن برابر است با مجموع حاصلضرب های زوجی عناصر ردیف i عامل اول و ستون j ضریب دوم. عامل.

نشان داده شد که در این حالت حاصل ضرب ماتریس ها امکان پذیر است که در آ

از قاعده وجود حاصل ضرب دو ماتریس چنین برمی‌آید که حاصل ضرب دو ماتریس در حالت کلی از قانون جابجایی تبعیت نمی‌کند. آ که در؟ که در آ. اگر در یک مورد خاص معلوم شود که آ B = B آ،در این صورت چنین ماتریس هایی قابل تغییر یا جابجایی نامیده می شوند.

در جبر ماتریسی، حاصلضرب دو ماتریس می تواند یک ماتریس صفر باشد حتی زمانی که هیچ یک از ماتریس های عاملی بر خلاف جبر معمولی صفر نباشد.

به عنوان مثال، بیایید حاصل ضرب ماتریس ها را پیدا کنیم آ که در، اگر

می توانید چندین ماتریس را ضرب کنید. اگر می توانید ماتریس ها را ضرب کنید آ, که درو حاصلضرب این ماتریس ها را می توان در ماتریس ضرب کرد با، سپس می توان محصول را تهیه کرد ( آ که در) باو آ(که در با). در این حالت، قانون ترکیبی در مورد ضرب صورت می گیرد ( آ که در) با = آ(که در با).

ماتریس معکوس

اگر دو ماتریس آو که درهمان اندازه، و محصول آنها آ که درماتریس هویت E است، سپس ماتریس B معکوس A نامیده می شود و نشان داده می شود آ -1 ، یعنی آ آ -1 = E.

ماتریس معکوس آ -1 برابر با نسبت ماتریس اتحادیه آبه تعیین کننده ماتریس آ

از اینجا مشخص می شود که برای اینکه ماتریس معکوس وجود داشته باشد آ -1 لازم و کافی است که ماتریس det آ? 0، یعنی به طوری که ماتریس آغیر منحط بود

برای یافتن ماتریس آ -1 .

تعیین مقدار تعیین کننده ماتریس آ

زیرا det آ? 0، ماتریس معکوس وجود دارد. در مثال 2.1. برای یک تعیین کننده، ماتریس متحد پیدا شد

الف - مقدماتی

رتبه ماتریسی

برای حل و مطالعه تعدادی از مسائل ریاضی و کاربردی، مفهوم رتبه ماتریسی حائز اهمیت است.

ماتریس را در نظر بگیرید آاندازه متر n

به صورت تصادفی در ماتریس انتخاب کنید آکخطوط و کستون ها. عناصر واقع در تقاطع سطرها و ستون های انتخاب شده یک ماتریس مربع را تشکیل می دهند ک-از آن نظم تعیین کننده این ماتریس مینور نامیده می شود کترتیب ماتریس A. انتخاب کنید کخطوط و کستون ها را می توان به روش های مختلف مورد استفاده قرار داد که در نتیجه ماینرهای متفاوتی ایجاد می شود ک-از آن نظم مینورهای مرتبه اول خود عناصر هستند. بدیهی است که بزرگ ترین ترتیب ممکن مینورها برابر با کوچکترین اعداد است مترو n. در میان مینورهای تشکیل‌شده از ردیف‌های مختلف مواردی وجود خواهند داشت که برابر با صفر هستند و برابر با صفر نیستند.

بالاترین ترتیب مینورهای ماتریس غیر صفر آرتبه ماتریس نامیده می شود.

رتبه ماتریسی آبا رتبه نشان داده شده است آیا r( آ).

اگر رتبه ماتریس آبرابر است r، پس این بدان معنی است که ماتریس دارای مرتبه جزئی غیر صفر است r، اما هر صغیر از مرتبه بالاتری برخوردار است rبرابر با صفر

از تعریف رتبه ماتریسی چنین است که:

الف) رتبه ماتریسی آ متر nاز اندازه های کوچکتر آن تجاوز نمی کند، یعنی. r(آ)؟ min(m, n);

ب) r(آ) = 0 اگر و فقط اگر همه عناصر ماتریس برابر با صفر باشند، یعنی. آ = 0;

ج) برای یک ماتریس مربع n- مرتبه r(آ) = n، اگر ماتریس غیر مفرد باشد.

بیایید به مثالی از تعیین رتبه یک ماتریس با استفاده از روش مرزبندی مینورها نگاه کنیم. ماهیت آن در شمارش متوالی مینورهای ماتریس و یافتن بالاترین مرتبه جزئی غیر صفر است.

رتبه ماتریس را محاسبه کنید.

برای ماتریس آ 3 4 r(آ)؟ دقیقه (3،4) = 3. بیایید بررسی کنیم که آیا رتبه ماتریس برابر با 3 است یا خیر؛ برای انجام این کار، ما همه مینورهای مرتبه سوم را محاسبه می کنیم (فقط 4 مورد وجود دارد، آنها با حذف یکی به دست می آیند. از ستون های ماتریس).

از آنجایی که تمام مینورهای مرتبه سوم صفر هستند، r(آ)؟ 2. از آنجایی که مثلاً یک مینور از مرتبه دوم صفر وجود دارد

که r(آ) = 2.

هر مینور غیر صفر یک ماتریس که ترتیب آن برابر با رتبه آن باشد، مینور پایه این ماتریس نامیده می شود.

یک ماتریس می تواند بیش از یک پایه جزئی داشته باشد، اما چندین. با این حال، دستورات همه ماینرهای پایه یکسان و برابر با رتبه ماتریس است.

سطرها و ستون هایی که یک پایه کوچک را تشکیل می دهند، پایه نامیده می شوند.

هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از ردیف های پایه (ستون ها) است.

اسناد مشابه

مفهوم و جوهر تعیین کننده های مرتبه دوم. در نظر گرفتن مبانی یک سیستم دو معادله خطی در دو مجهول. مطالعه تعیین کننده های مرتبه n و روش های محاسبه آنها. ویژگی های یک سیستم n معادله خطی با n مجهول.

ارائه، اضافه شده در 11/14/2014

تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم. جایگشت و جایگزینی. صغیر و متمم های جبری. استفاده از روش‌های کاهش دترمینان به شکل مثلثی، نمایش دترمینان به صورت مجموع دترمینان و جداسازی عوامل خطی.

کار دوره، اضافه شده در 2013/07/19

مفهوم ماتریس و اقدامات خطی روی آنها. ویژگی های عملیات جمع ماتریس. تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم. کاربرد قاعده ساروس. روش های اساسی برای حل عوامل. تبدیلات ماتریس ابتدایی ویژگی های یک ماتریس معکوس

آموزش، اضافه شده در 03/04/2010

مسائل و روش های جبر خطی. خواص عوامل تعیین کننده و ترتیب محاسبه آنها. یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش گاوسی. توسعه یک الگوریتم محاسباتی در برنامه پاسکال ABC برای محاسبه عوامل تعیین کننده و یافتن ماتریس معکوس.

کار دوره، اضافه شده در 02/01/2013

مفهوم و هدف عوامل تعیین کننده، ویژگی های کلی آنها، روش های محاسبه و خواص. جبر ماتریسی. سیستم معادلات خطی و حل آنها. جبر برداری، قوانین و اصول آن. خواص و کاربردهای یک محصول متقاطع

تست، اضافه شده در 01/04/2012

عناصر جبر خطی انواع ماتریس ها و عملیات روی آنها. خواص عوامل ماتریس و محاسبه آنها. حل سیستم های معادلات خطی به صورت ماتریسی با استفاده از فرمول های کرامر و روش گاوس. عناصر حساب دیفرانسیل و انتگرال.

آموزش، اضافه شده در 11/06/2011

عددی که یک ماتریس مربع را مشخص می کند. محاسبه دترمینان مرتبه اول و دوم یک ماتریس. با استفاده از قانون مثلث متمم جبری برخی از عناصر تعیین کننده. تنظیم مجدد دو سطر یا ستون از یک تعیین کننده.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/21

مفهوم رتبه ماتریسی. مدل لئونتیف از یک اقتصاد متنوع خواص محصول اسکالر تجزیه یک بردار در امتداد محورهای مختصات. متمم جزئی و جبری. تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم. صفحه و خط مستقیم در فضا.

دوره سخنرانی ها، اضافه شده در 10/30/2013

نظریه تعیین کننده ها در آثار پی لاپلاس، او کوشی و سی ژاکوبی. تعیین کننده های مرتبه دوم و سیستم های دو معادله خطی در دو مجهول. تعیین کننده های مرتبه سوم و ویژگی های تعیین کننده ها. حل یک سیستم معادلات با استفاده از قانون کرامر.

ارائه، اضافه شده در 10/31/2016

تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم، ویژگی های تعیین کننده ها. دو روش برای محاسبه دترمینان مرتبه سوم. قضیه تجزیه. قضیه کرامر، که روشی عملی برای حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از دترمینان ارائه می دهد.

تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم.

اعداد m و n نامیده می شوند ابعادماتریس ها

ماتریس نامیده می شود مربع، اگر m = n باشد. عدد n در این حالت نامیده می شود به ترتیبماتریس مربع

هر ماتریس مربع را می توان با عددی مرتبط دانست که با استفاده از تمام عناصر ماتریس به طور منحصر به فرد تعیین می شود. این عدد را تعیین کننده می نامند.

تعیین کننده مرتبه دومعددی است که با استفاده از عناصر یک ماتریس مربع مرتبه 2 به صورت زیر بدست می آید: .

در این حالت، از حاصل ضرب عناصر واقع در به اصطلاح مورب اصلی ماتریس (از سمت چپ بالا به گوشه پایین سمت راست) حاصل ضرب عناصر واقع در مورب دوم یا ثانویه کم می شود. .

تعیین کننده مرتبه سومعددی است که با استفاده از عناصر یک ماتریس مربع مرتبه 3 به شرح زیر تعیین می شود:

اظهار نظر. برای سهولت در به خاطر سپردن این فرمول، می توانید از قانون به اصطلاح Cramer (مثلث) استفاده کنید. به شرح زیر است: عناصری که محصولات آنها با علامت "+" در تعیین کننده قرار می گیرند به شرح زیر مرتب می شوند:

تشکیل دو مثلث، متقارن در مورد قطر اصلی. عناصری که محصولات آنها در تعیین کننده با علامت "-" گنجانده شده است به روشی مشابه نسبت به قطر ثانویه قرار دارند:

14. تعیین کننده مرتبه هفتم. (تعیین کننده های مرتبه بالاتر)

تعیین کننده nمرتبه من مربوط به ماتریس نه،شماره نامیده می شود:

روش های اساسی برای محاسبه عوامل تعیین کننده:

1) روش کاهش سفارش تعیین کننده بر اساس رابطه است: (1)

جایی که مکمل جبری عنصر ام نامیده می شود. جزئیعنصر ام تعیین کننده نامیده می شود n-1ترتیب، از تعیین کننده اصلی با حذف به دست می آید من-آن خط و jستون هفتم

رابطه (1) را بسط دترمینان در می گویند من-اون خط به طور مشابه، ما می توانیم بسط تعیین کننده را در امتداد یک ستون بنویسیم:

قضیه:برای هر ماتریس مربع تساوی برقرار است ,

نماد کرونکر کجا و است

2) روش کاهش به شکل مثلثی بر اساس هفتمین خاصیت تعیین کننده ها.

مثال: تعیین کننده را محاسبه کنید: خط اول را از تمام سطرهای دیگر کم کنید.

3) روش رابطه عود به شخص اجازه می دهد تا یک تعیین کننده را از طریق یک تعیین کننده از همان نوع، اما از مرتبه پایین تر بیان کند.

جایگشت ها، وارونگی ها.

هر ترتیب اعداد 1، 2، ...، nبه ترتیب خاص، نامیده می شود تنظیم مجدد از جانب nکاراکترها (اعداد).

نمای کلی جایگشت: .

هیچ یک از آنها دو بار در یک جایگشت رخ نمی دهد.

جایگشت نامیده می شود زوج ، اگر عناصر آن تعداد وارونگی زوج را تشکیل دهند، و فرد در غیر این صورت.

اعداد k و p در جایگشت هستند وارونگی (بی نظمی)، اگر k > p باشد، اما k در این جایگشت قبل از p آمده است.

سه ویژگی جایگشت.

خاصیت 1:تعداد جایگشت های مختلف برابر است با (، می گوید: nفاکتوریل").

اثباتتعداد جایگشت‌ها با تعداد روش‌هایی که می‌توان جایگشت‌های مختلف را ایجاد کرد، مطابقت دارد. هنگام نوشتن جایگشت به عنوان j 1 می توانید هر یک از اعداد 1، 2، ... را بگیرید، n، آنچه می دهد nفرصت ها. اگر j 1 قبلا انتخاب شده است، سپس به عنوان j 2 می توانید یکی از بقیه را بردارید n- 1 عدد و تعداد راه هایی که می توانید انتخاب کنید j 1 و j 2 برابر خواهد شد و غیره آخرین عدد در جایگشت را فقط می توان به یک روش انتخاب کرد، که می دهد راه ها و در نتیجه جایگشت ها.

خاصیت 2:هر جابجایی، برابری جایگشت را تغییر می دهد.

اثباتمورد 1.اعداد جابجا شده در یک جایگشت در کنار یکدیگر قرار دارند، یعنی. به نظر می رسد (... ک,پ، ...)، در اینجا بیضی (...) اعدادی را که در حین جابجایی در جای خود باقی می مانند، مشخص می کند. جابجایی آن را به جایگشتی از شکل (...، پ, ک،...). در این جایگشت ها هر یک از اعداد ک,آرهمان وارونگی ها را با اعداد باقی مانده در جای خود انجام می دهد. اگر اعداد کو پقبلاً وارونگی کامپایل نکرده اند (یعنی ک < آر، سپس وارونگی دیگری در جایگشت جدید ظاهر می شود و تعداد وارونگی ها یک عدد افزایش می یابد. اگر کو آریک وارونگی را تشکیل می دهد، سپس پس از جابجایی، تعداد وارونگی ها یک عدد کاهش می یابد. در هر صورت، برابری جایگشت تغییر می کند.

خاصیت 3:هنگامی که تنظیم مجدد می شود، علامت تعیین کننده تغییر علامت می دهد.

17. خصوصیات دترمینان: تعیین کننده یک ماتریس جابجا شده، جابجایی ردیف ها در تعیین کننده، تعیین کننده یک ماتریس با ردیف های یکسان.

ملک 1.تعیین کننده در طول انتقال تغییر نمی کند، یعنی.

اثبات

اظهار نظر. ویژگی های زیر تعیین کننده ها فقط برای رشته ها فرموله می شوند. علاوه بر این، از ویژگی 1 نتیجه می شود که ستون ها دارای ویژگی های یکسان خواهند بود.

ملک 6. هنگام تنظیم مجدد دو ردیف از یک تعیین کننده، آن را در -1 ضرب می کنیم.

اثبات

ملک 4.دترمینان دارای دو رشته مساوی 0 است:

اثبات:

18. خواص دترمینان: تجزیه یک دترمینان به رشته.

جزئیعنصر یک تعیین کننده، تعیین کننده ای است که از یک عنصر معین با خط زدن ردیف و ستونی که عنصر انتخاب شده در آن ظاهر می شود، به دست می آید.

تعیین: عنصر انتخاب شده از تعیین کننده، جزئی آن.

مثال. برای

متمم جبریاگر مجموع شاخص‌های این عنصر i+j یک عدد زوج باشد، عنصر تعیین‌کننده جزئی نامیده می‌شود، یا اگر i+j فرد باشد، عدد مقابل مینور نامیده می‌شود، یعنی.

بیایید روش دیگری را برای محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم در نظر بگیریم - به اصطلاح بسط سطر یا ستون. برای انجام این کار، قضیه زیر را اثبات می کنیم:

قضیه:تعیین کننده برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر هر یک از سطرها یا ستون های آن و مکمل های جبری آنها، یعنی: جایی که i=1،2،3.

اثبات

اجازه دهید قضیه را برای ردیف اول تعیین کننده ثابت کنیم، زیرا برای هر سطر یا ستون دیگری می توان استدلال مشابهی را انجام داد و همان نتیجه را به دست آورد.

بیایید مکمل های جبری عناصر ردیف اول را پیدا کنیم:

شما می توانید با مقایسه مقادیر سمت چپ و راست برابری که با استفاده از تعریف 1.5 پیدا شده است، این ویژگی را اثبات کنید.

دبیرستان شماره 45.

شهر مسکو.

دانش آموز کلاس دهم "B" گوروخوف اوگنی

کار درسی (پیش نویس).

مقدمه ای بر نظریه ماتریس ها و دترمینان ها .

1996

1. ماتریس.

1.1 مفهوم ماتریس.

ماتریس یک جدول مستطیل شکل از اعداد است که حاوی مقدار معینی است متر خطوط و تعداد معین n ستون ها. شماره متر و n نامیده می شوند سفارشات ماتریس ها اگر متر = n ، ماتریس مربع نامیده می شود و عدد m = n - او به ترتیب .

1.2 عملیات اساسی بر روی ماتریس ها.

عملیات اصلی حسابی روی ماتریس ها ضرب یک ماتریس در یک عدد، جمع و ضرب ماتریس ها است.

بیایید به تعریف عملیات اصلی روی ماتریس ها برویم.

اضافه کردن ماتریس : مجموع دو ماتریس، به عنوان مثال: آ و ب ، داشتن تعداد سطر و ستون یکسان و به عبارت دیگر ترتیبات یکسان متر و n ماتریس C = ( با ij )( i = 1، 2، …m; j = 1، 2، …n) همان دستورات متر و n ، عناصر Cij که برابر هستند.

Cij = Aij + Bij (i = 1، 2، ...، m؛ j = 1، 2، ...، n) ( 1.2 )

برای نشان دادن مجموع دو ماتریس از نماد استفاده می شود C = A + B. عمل جمع ماتریس ها آنها نامیده می شود علاوه بر این

پس طبق تعریف داریم:

+ =

از تعریف مجموع ماتریس ها یا به طور دقیق تر از فرمول ( 1.2 ) بلافاصله نتیجه می شود که عملیات جمع ماتریس ها دارای همان ویژگی های عمل جمع اعداد واقعی است، یعنی:

ویژگی جابجایی: A + B = B + A

ترکیب اموال: (A + B) + C = A + (B + C)

این ویژگی ها باعث می شود که در هنگام اضافه کردن دو یا چند ماتریس نگران ترتیب عبارت های ماتریس نباشید.

ضرب یک ماتریس در یک عدد :

محصول ماتریسی به یک عدد واقعی ماتریس نامیده می شود C = (Cij) (i = 1، 2، ...، m؛ j = 1، 2، ...، n) ، که عناصر آن برابر است

Cij = Aij (i = 1، 2، …، m؛ j = 1، 2، …، n). ( 1.3 )

برای نشان دادن حاصل ضرب یک ماتریس و یک عدد از علامت گذاری استفاده می شود C= آ یا C=A . عمل ترکیب حاصل ضرب یک ماتریس در یک عدد را ضرب ماتریس در این عدد می گویند.

مستقیما از فرمول ( 1.3 ) واضح است که ضرب یک ماتریس در عدد دارای ویژگی های زیر است:

ویژگی توزیعی با توجه به مجموع ماتریس ها:

( A + B) = A+ ب

ویژگی انجمنی در رابطه با یک عامل عددی:

( ) A= ( آ)

دارایی توزیعی با توجه به مجموع اعداد:

( + ) A= آ + آ .

اظهار نظر : تفاوت دو ماتریس آ و ب از ترتیبات یکسان، طبیعی است که چنین ماتریسی را بنامیم سی از همان دستورات، که در مجموع با ماتریس ب ماتریس را می دهد آ . برای نشان دادن تفاوت بین دو ماتریس، از نماد طبیعی استفاده می شود: C = A – B.

ضرب ماتریس :

محصول ماتریسی A = (Aij) (i = 1، 2، ...، m؛ j = 1، 2، ...، n) ، داشتن سفارشات به ترتیب برابر متر و n ، در هر ماتریس B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1، 2، …، p) ، داشتن سفارشات به ترتیب برابر n و پ ، ماتریس نامیده می شود C= (با ij) (i = 1، 2، …، m؛ j = 1، 2، …، p) ، داشتن سفارشات به ترتیب برابر متر و پ ، و عناصر Cij ، با فرمول تعریف شده است

Cij = (i = 1، 2، …، m؛ j = 1، 2، …، p) ( 1.4 )

برای نشان دادن حاصل ضرب یک ماتریس آ به ماتریس ب از ضبط استفاده کنید

C=AB . عملیات ترکیب یک محصول ماتریسی آ به ماتریس ب تماس گرفت ضرب این ماتریس ها از تعریفی که در بالا فرموله شد چنین برمی آید که ماتریس آ نمی توان در هیچ ماتریسی ضرب کرد ب : لازم است تعداد ستون های ماتریس آ بود برابر است تعداد ردیف های ماتریس ب . به منظور هر دو کار AB و بی.ا. نه تنها تعریف شده بودند، بلکه دارای ترتیب یکسانی بودند، لازم و کافی است که هر دو ماتریس آ و ب ماتریس های مربعی با همان ترتیب بودند.

فرمول ( 1.4 ) یک قانون برای ترکیب عناصر ماتریس است سی ,

که حاصل ضرب ماتریس است آ به ماتریس ب . این قانون را می توان به صورت شفاهی فرموله کرد: عنصر Cij ، ایستاده در تقاطع من خط هفتم و j- ستون ماتریس ام C=AB ، برابر است مجموع محصولات زوجی عناصر مربوطه من خط هفتم ماتریس ها آ و j- ستون ماتریس ام ب . به عنوان نمونه ای از کاربرد این قانون، فرمول ضرب ماتریس های مربع مرتبه دوم را ارائه می کنیم

از فرمول ( 1.4 ) خواص زیر محصول ماتریس به شرح زیر است: آ به ماتریس ب :

دارایی تداعی: ( AB)C = A(BC)؛

ویژگی توزیعی با توجه به مجموع ماتریس ها:

(A + B) C = AC + BC یا A (B + C) = AB + AC.

منطقی است که سوال خاصیت جایگشت حاصلضرب ماتریس ها را فقط برای ماتریس های مربعی هم مرتبه مطرح کنیم. مثال های ابتدایی این را نشان می دهد محصول دو ماتریس مربعی با ترتیب یکسان، به طور کلی دارای خاصیت کموتاسیون نیست. در واقع اگر قرار دهیم

A= ، B = , که AB = ، آ BA =

معمولاً همان ماتریس هایی که محصول دارای خاصیت جابجایی است نامیده می شوند رفت و آمد

در میان ماتریس های مربعی، کلاس به اصطلاح را برجسته می کنیم مورب ماتریس هایی که هر کدام دارای عناصری هستند که در خارج از قطر اصلی برابر با صفر قرار دارند. در بین همه ماتریس های مورب با عناصر منطبق بر مورب اصلی، دو ماتریس نقش مهمی دارند. اولین مورد از این ماتریس ها زمانی به دست می آید که تمام عناصر قطر اصلی برابر با یک باشند و ماتریس هویت نامیده می شود. n- E . ماتریس دوم با همه عناصر برابر با صفر به دست می آید و ماتریس صفر نامیده می شود n- ترتیب و با علامت نشان داده می شود O . اجازه دهید فرض کنیم که یک ماتریس دلخواه وجود دارد آ ، سپس

AE=EA=A , AO=OA=O .

اولین فرمول نقش ویژه ماتریس هویت را مشخص می کند E ، مشابه نقشی که عدد بازی می کند 1 هنگام ضرب اعداد واقعی در مورد نقش ویژه ماتریس صفر در باره ، سپس نه تنها با فرمول دوم، بلکه با یک برابری قابل تأیید اولیه نیز آشکار می شود: A+O=O+A=A . مفهوم ماتریس صفر را می توان نه برای ماتریس های مربعی معرفی کرد.

2. عوامل تعیین کننده.

2.1 مفهوم تعیین کننده.

اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که تعیین کننده ها فقط برای ماتریس های مربعی وجود دارند، زیرا هیچ تعیین کننده ای برای ماتریس های انواع دیگر وجود ندارد. در نظریه سیستم های معادلات خطی و در برخی مسائل دیگر، استفاده از مفهوم راحت است تعیین کننده ، یا تعیین کننده .

2.2 محاسبه عوامل تعیین کننده.

هر چهار عددی را که به شکل ماتریس نوشته شده اند در نظر بگیرید دو در خط و هر کدام دو ستون , تعیین کننده یا تعیین کننده ، که از اعداد این جدول تشکیل شده است، عدد است ad-BC , به صورت زیر مشخص می شود: . چنین تعیین کننده ای نامیده می شود تعیین کننده مرتبه دوم ، از آنجایی که یک جدول دو سطر و دو ستون برای کامپایل آن گرفته شده است. به اعدادی که تعیین کننده را تشکیل می دهند، آن می گویند عناصر ; در عین حال می گویند که عناصر آ و د آرایش مورب اصلی تعیین کننده و عناصر ب و ج خود مورب جانبی . مشاهده می شود که دترمینان برابر است با اختلاف حاصل از جفت عناصر واقع در مورب اصلی و فرعی آن. تعیین کننده ترتیب سوم و هر ترتیب دیگر تقریباً یکسان است، یعنی: فرض کنید ماتریس مربع داریم . تعیین کننده ماتریس زیر عبارت زیر است: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . همانطور که می بینید، اگر دنباله خاصی را به خاطر بسپارید، به راحتی محاسبه می شود. با علامت مثبت مورب اصلی و مثلث های تشکیل شده از عناصر هستند که ضلعی موازی با مورب اصلی دارند، در این مورد اینها مثلث هستند. a12a23a31 , a13a21a32 .

ضلع مورب و مثلث های موازی با آن علامت منفی دارند، یعنی. a11a23a32، a12a21a33 . از این طریق می توان عوامل تعیین کننده هر ترتیبی را یافت. اما مواردی وجود دارد که این روش کاملاً پیچیده می شود، به عنوان مثال، زمانی که عناصر زیادی در ماتریس وجود دارد و برای محاسبه تعیین کننده باید زمان و توجه زیادی را صرف کنید.

روش ساده تری برای محاسبه تعیین کننده وجود دارد n- اوه دستور، کجا n 2 . بیایید موافقت کنیم که هر عنصری را جزئی بنامیم آیج ماتریس ها n- تعیین کننده مرتبه اول مربوط به ماتریسی که در نتیجه حذف از ماتریس به دست می آید من خط هفتم و j- ستون هفتم (آن سطر و آن ستونی که در تقاطع آنها یک عنصر وجود دارد آیج ). عنصر جزئی آیج ما با نماد نشان خواهیم داد . در این نماد، نمایه بالا نشان دهنده شماره ردیف، شاخص پایین شماره ستون و نوار بالا است. م به این معنی است که سطر و ستون مشخص شده خط کشیده شده است. تعیین کننده نظم n ، مطابق با ماتریس، عدد را برابر می نامیم و با علامت مشخص می شود .

قضیه 1.1 شماره خط هر چه باشد من ( i = 1، 2...، n) ، برای تعیین کننده n- فرمول مرتبه اول معتبر است

= det A =

تماس گرفت من- خط هفتم . تاکید می کنیم که در این فرمول توانی که عدد به آن افزایش می یابد (-1) برابر است با مجموع اعداد سطر و ستونی که عنصر در محل تقاطع آنها قرار دارد. آیج .

قضیه 1.2 شماره ستون هر چه باشد j ( j = 1، 2...، n) ، برای تعیین کننده n فرمول مرتبه هفتم معتبر است

= det A =

تماس گرفت بسط این تعیین کننده در j- ستون هفتم .

2.3 خواص اساسی عوامل تعیین کننده.

تعیین کننده ها نیز دارای ویژگی هایی هستند که کار محاسبه آنها را آسان می کند. بنابراین، در زیر تعدادی از ویژگی‌هایی را که یک تعیین‌کننده دلخواه دارد مشخص می‌کنیم n - مرتبه

1 . ویژگی برابری سطر-ستون . جابجایی هر ماتریس یا تعیین کننده، عملیاتی است که در نتیجه آن سطرها و ستون ها با حفظ ترتیب خود مبادله می شوند. در نتیجه جابجایی ماتریس آ ماتریس حاصل یک ماتریس نامیده می شود که با توجه به ماتریس جابجا می شود آ و با علامت نشان داده می شود آ .

اولین ویژگی تعیین کننده به صورت زیر فرموله می شود: در حین جابجایی، مقدار تعیین کننده حفظ می شود، یعنی. = .

2 . خاصیت ضد تقارن هنگام تنظیم مجدد دو ردیف (یا دو ستون) . هنگامی که دو ردیف (یا دو ستون) با هم عوض می شوند، تعیین کننده مقدار مطلق خود را حفظ می کند، اما علامت را به عکس تغییر می دهد. برای یک تعیین کننده مرتبه دوم، این ویژگی را می توان به روشی ابتدایی تأیید کرد (از فرمول محاسبه تعیین کننده مرتبه دوم بلافاصله نتیجه می شود که تعیین کننده ها فقط در علامت متفاوت هستند).

3 . ویژگی خطی تعیین کننده. خواهیم گفت که مقداری رشته ( آ) ترکیبی خطی از دو رشته دیگر است ( ب و ج ) با ضرایب و . ویژگی خطی را می توان به صورت زیر فرمول بندی کرد: اگر در تعیین کننده باشد n - مرتبه مقداری من ردیف -ام ترکیبی خطی از دو ردیف با ضرایب است و ، آن = + ، جایی که

– تعیین کننده ای که دارد من سطر -ام برابر با یکی از دو ردیف ترکیب خطی است و بقیه سطرها مانند , آ - تعیین کننده ای که دارد من- رشته i برابر است با دومین رشته از دو رشته و تمام رشته های دیگر همان است .

این سه ویژگی، ویژگی های اصلی تعیین کننده هستند که ماهیت آن را آشکار می کنند. پنج ویژگی زیر هستند پیامدهای منطقی سه ویژگی اصلی

نتیجه 1. یک تعیین کننده با دو ردیف (یا ستون) یکسان برابر با صفر است.

نتیجه 2. ضرب تمام عناصر یک ردیف (یا برخی از ستون‌ها) یک دترمینال در یک عدد آ معادل ضرب دترمینان در این عدد است آ . به عبارت دیگر، ضریب مشترک همه عناصر یک ردیف خاص (یا برخی از ستون‌ها) یک تعیین‌کننده را می‌توان از علامت این تعیین‌کننده خارج کرد.

نتیجه 3. اگر همه عناصر یک ردیف خاص (یا برخی از ستون ها) برابر با صفر باشند، خود تعیین کننده برابر با صفر است.

نتیجه 4. اگر عناصر دو سطر (یا دو ستون) یک دترمینال متناسب باشند، دترمینان برابر با صفر است.

نتیجه 5. اگر به عناصر یک ردیف خاص (یا برخی از ستون‌ها) از تعیین کننده، عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون دیگر) را اضافه کنیم، در یک عامل دلخواه ضرب می‌کنیم. ، سپس مقدار تعیین کننده تغییر نمی کند. نتیجه 5، مانند ویژگی خطی، امکان فرمول بندی کلی تری را فراهم می کند، که من برای رشته ها ارائه خواهم کرد: اگر به عناصر یک ردیف معین از یک تعیین کننده، عناصر متناظر یک رشته را اضافه کنیم که ترکیبی خطی از چندین ردیف دیگر است. از این تعیین کننده (با هر ضرایبی)، آنگاه مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. نتیجه 5 به طور گسترده در محاسبه بتن تعیین کننده ها استفاده می شود.

3. سیستم های معادلات خطی.

3.1 تعاریف اساسی.

…….

3.2 شرایط برای سازگاری سیستم های معادلات خطی.

…….

3.3 حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

مشخص است که با استفاده از ماتریس ها می توان سیستم های مختلف معادلات را حل کرد و این سیستم ها می توانند در هر اندازه و هر تعداد متغیر باشند. با چند مشتق و فرمول، حل سیستم های عظیم معادلات بسیار سریع و آسان تر می شود.

به طور خاص روش های کرامر و گاوس را شرح خواهم داد. ساده ترین راه روش کرامر است (برای من) یا همانطور که به آن فرمول کرامر نیز گفته می شود. بنابراین، بیایید بگوییم که ما یک سیستم معادلات داریم . تعیین کننده اصلی، همانطور که قبلاً متوجه شدید، ماتریسی است که از ضرایب متغیرها تشکیل شده است. آنها همچنین به ترتیب ستون ظاهر می شوند، یعنی ستون اول شامل ضرایبی است که در آنها یافت می شود ایکس ، در ستون دوم در y ، و غیره. این بسیار مهم است، زیرا در مراحل بعدی هر ستون ضرایب را برای یک متغیر با ستونی از پاسخ معادلات جایگزین می کنیم. بنابراین، همانطور که گفتم، ما ستون را در متغیر اول با ستون پاسخ جایگزین می کنیم، سپس در دوم، البته همه چیز بستگی به این دارد که چند متغیر باید پیدا کنیم.

1 = , 2 = , 3 = .

سپس باید عوامل تعیین کننده را پیدا کنید تعیین کننده سیستم .

3.4 حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.

…….

4. ماتریس معکوس.

4.1 مفهوم ماتریس معکوس.

4.2 محاسبه ماتریس معکوس.

کتابشناسی - فهرست کتب.

V. A. Ilyin، E. G. Poznyak "جبر خطی"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin "تبدیل های ابتدایی در جبر خطی"

مبحث 1. ماتریس ها و عوامل ماتریسی

آنچه می آموزیم:

مفاهیم اساسی جبر خطی: ماتریس، دترمینان.

آنچه خواهیم آموخت:

انجام عملیات بر روی ماتریس ها؛

با تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم محاسبه کنید.

مبحث 1.1. مفهوم ماتریس. اقدامات روی ماتریس ها

∆ ماتریس یک جدول مستطیل شکل متشکل از ردیف ها و ستون ها است که با تعدادی اشیاء ریاضی پر شده است.

ماتریس ها با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند، خود جدول در پرانتز قرار می گیرد (کمتر به شکل مربع یا اشکال دیگر).

عناصر آ ijتماس گرفت عناصر ماتریس . شاخص اول من– شماره خط، دومj- شماره ستون اغلب عناصر اعداد هستند.

ورودی "ماتریس" آاندازه دارد متر× n» به این معنی است که ما در مورد ماتریسی صحبت می کنیم که ازمترخطوط و nستون ها.

اگر متر = 1، a n > 1، سپس ماتریس استماتریس - ردیف . اگر متر > 1، a n = 1، سپس ماتریس استماتریس - ستون .

ماتریسی که در آن تعداد سطرها با تعداد ستون ها (m= n) نامیده شد مربع .

عناصر آ 11 , آ 22 ,…, آ nn ماتریس مربعآ (اندازه n× n) فرم مورب اصلی ، عناصر آ 1 n , آ 2 n -1 ,…, آ n 1 - مورب جانبی .

در ماتریس
عناصر 5; 7 مورب اصلی را تشکیل می دهند، عناصر -5. 8 - مورب جانبی.

ماتریس ها آ و ب نامیده می شوند برابر (آ= ب) ، اگر اندازه یکسانی داشته باشند و عناصر آنها در موقعیت های یکسان منطبق باشند ، یعنی.آ ij = ب ij .

ماتریس هویت یک ماتریس مربع است که در آن عناصر قطر اصلی برابر با یک و بقیه عناصر برابر با صفر هستند. ماتریس هویت معمولاً E نشان داده می شود.

ماتریس جابجا شد به اندازه ماتریس Aمتر× n، ماتریس A نامیده می شوداندازه T n× متر, از ماتریس A بدست می آید، اگر سطرهای آن به صورت ستون و ستون های آن به سطر نوشته شوند.

عملیات حسابی روی ماتریس ها

برای پیدا کردن مجموع ماتریس ها آ و ب با همان ابعاد، لازم است عناصری با شاخص های یکسان (ایستاده در مکان های مشابه) اضافه شوند:

جمع ماتریس جابجایی است، یعنی A + B = B + A.

برای پیدا کردن تفاوت ماتریسی آ و ب از یک بعد، لازم است تفاوت عناصر با شاخص های یکسان را پیدا کنید:

به ماتریس ضرب آدر هر عدد ک, لازم است هر عنصر ماتریس را در این عدد ضرب کنیم:

کار کنید ماتریس ها AB فقط برای ماتریس ها قابل تعریف استآ اندازه متر× n و ب اندازه n× پ، یعنی تعداد ستون های ماتریسآ باید برابر با تعداد ردیف های ماتریس باشدکه در. که در آن آ· ب= سی، ماتریس سیاندازه دارد متر× پ, و عنصر آن ج ij به عنوان یک محصول اسکالر یافت می شودمنهفتمردیف های ماتریسی آبر jهفتم ستون ماتریسب: ( من=1,2,…, متر; j=1,2,…, پ).

!! در واقع هر خط مورد نیاز استماتریس ها آ (ایستاده در سمت چپ) به صورت اسکالر در هر ستون ماتریس ضرب کنید ب (ایستاده در سمت راست).

حاصلضرب ماتریس ها جابجایی نیست، یعنیА·В ≠ В·А . ▲

☺ برای تجمیع مطالب نظری لازم است نمونه هایی را تحلیل کرد.

مثال 1. تعیین اندازه ماتریس ها.

مثال 2. تعریف عناصر ماتریس.

در عنصر ماتریس آ 11 = 2, آ 12 = 5, آ 13 = 3.

در عنصر ماتریس آ 21 = 2, آ 13 = 0.

مثال 3: انجام جابجایی ماتریس.

مثال 4. انجام عملیات روی ماتریس ها.

پیدا کردن 2 آ- ب، اگر , .

راه حل. .

مثال 5. حاصل ضرب ماتریس ها را بیابید و .

راه حل. اندازه ماتریسآ – 3 × 2 ، ماتریس ها که در – 2 × 2 . بنابراین محصولA·B می توانید آن را پیدا کنید. ما گرفتیم:

کار کنید VAپیدا نمی شود

مثال 6. پیدا کنید آ 3 اگر آ =
.

راه حل. آ 2 = ·=
=
,

آ 3 = ·=
=
.

مثال 6. 2 را پیدا کنید آ 2 + 3 آ + 5 Eدر
,
.

راه حل. ،

,
,

,
.

وظایف برای تکمیل

1. جدول را پر کنید.

ماتریس	اندازه	نوع ماتریسی	عناصر ماتریسی
ماتریس	اندازه	نوع ماتریسی		یک 12	یک 23	یک 32	یک 33

2. انجام عملیات بر روی ماتریس ها
و
:

3. ضرب ماتریس را انجام دهید:

4. جابجایی ماتریس ها:

? 1. ماتریس چیست؟

2. چگونه یک ماتریس را از سایر عناصر جبر خطی تشخیص دهیم؟

3. چگونه اندازه ماتریس را تعیین کنیم؟ چرا این لازم است؟

4. مدخل به چه معناست؟ آ ij ?

5. در مورد مفاهیم زیر توضیح دهید: قطر اصلی، قطر فرعی ماتریس.

6. چه عملیاتی را می توان روی ماتریس ها انجام داد؟

7. اصل عمل ضرب ماتریس را توضیح دهید؟

8. آیا هر ماتریس را می توان ضرب کرد؟ چرا؟

مبحث 1.2. تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم : م روش های محاسبه آنها

∆ اگر A یک ماتریس مربع باشد nمرتبه -ام، سپس می توانیم عددی به نام با آن مرتبط کنیم تعیین کننده مرتبه نهمو با |A| نشان داده می شود. یعنی دترمینان به صورت ماتریس نوشته می شود اما به جای پرانتز در پرانتز قرار می گیرد.

!! گاهی اوقات تعیین کننده ها را به زبان انگلیسی دترمینان می نامند، یعنی = دت ا.

تعیین کننده مرتبه اول (تعیین کننده اندازه ماتریس A1 × 1 ) خود عنصری است که ماتریس A حاوی آن است، یعنی.

تعیین کننده مرتبه دوم (تعیین کننده ماتریسیک اندازه 2 × 2 ) عددی است که با استفاده از قانون پیدا می شود:

( حاصل ضرب عناصر روی قطر اصلی ماتریس منهای حاصلضرب عناصر روی قطر ثانویه).

تعیین کننده مرتبه سوم (تعیین کننده ماتریسیک اندازه 3 × 3 ) عددی است که می توان آن را با استفاده از قانون "مثلث" پیدا کرد:

برای محاسبه تعیین کننده های مرتبه 3، می توانید از یک قانون ساده تر استفاده کنید - قانون جهت ها (خطوط موازی).

قانون مسیرها : با سمت راست تعیین کننده به دو ستون اول اضافه می شود، محصولات عناصر در مورب اصلی و در مورب های موازی با آن با علامت مثبت گرفته می شوند. و حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه و مورب های موازی با آن با علامت منفی است.

!! برای محاسبه دترمیناتورها می‌توانید از ویژگی‌های آن‌ها استفاده کنید که برای تعیین‌کننده‌های هر مرتبه معتبر است.

خواص عوامل تعیین کننده:

1 درجه . تعیین کننده ماتریس A در حین جابجایی تغییر نمی کند، یعنی. |الف| = |Aتی |. این ویژگی برابری سطرها و ستون ها را مشخص می کند.

2 درجه . هنگام تنظیم مجدد دو ردیف (دو ستون)، تعیین کننده مقدار قبلی خود را حفظ می کند، اما علامت معکوس می شود.

4 درجه . اگر هر سطر یا ستونی حاوی یک عامل مشترک باشد، می توان آن را از علامت تعیین کننده خارج کرد.

نتیجه 4.1. اگر همه عناصر هر سری از یک دترمینان برابر با صفر باشند، دترمینان برابر با صفر است.

نتیجه 4.2. اگر عناصر هر سری از یک دترمینال با عناصر متناظر یک سری موازی با آن متناسب باشند، دترمینان برابر با صفر است.▲

☺ لازم است قوانین محاسبه عوامل تعیین کننده را تجزیه و تحلیل کرد.

مثال 1: محاسبهتعیین کننده های مرتبه دوم,
.

راه حل.

دبیرستان شماره 45.

شهر مسکو.

دانش آموز کلاس دهم "B" گوروخوف اوگنی

کار درسی (پیش نویس).

مقدمه ای بر نظریه ماتریس ها و دترمینان ها .

1. ماتریس ها ...................................... .......................................................... ...................................................... ......................

1.1 مفهوم ماتریس ...................................................... .......................................................... ..........................................................

1.2 عملیات اساسی بر روی ماتریس ها ...................................... .......................................................... .............

2. عوامل تعیین کننده ..................................... .......................................................... ...................................................... ........

2.1 مفهوم یک تعیین کننده ...................................... .......................................................... ............................

2.2 محاسبه عوامل تعیین کننده................................................ .......................................................... ...........................

2.3 ویژگی های اساسی عوامل تعیین کننده ...................................... .......................................................... .............

3. سیستم معادلات خطی................................................ .......................................................... ..............

3.1 تعاریف اساسی ..................................................... .................................................... ............................

3.2 شرط سازگاری برای سیستم های معادلات خطی .......................................... ............................

3.3 حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر .............................. ........... ..........

3.4 حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی................................ ...........................

4. ماتریس معکوس ...................................... .......................................................... ..........................................................

4.1 مفهوم ماتریس معکوس ...................................... .......................................................... ................................

4.2 محاسبه ماتریس معکوس ...................................... .......................................................... ............................

کتابشناسی - فهرست کتب................................................ . ................................................ .....................................

ماتریس یک جدول مستطیل شکل از اعداد است که حاوی مقدار معینی است متر خطوط و تعداد معین n ستون ها. شماره متر و n نامیده می شوند سفارشاتماتریس ها اگر متر = n ، ماتریس مربع نامیده می شود و عدد m = n -- او به ترتیب .

عملیات اصلی حسابی روی ماتریس ها ضرب یک ماتریس در یک عدد، جمع و ضرب ماتریس ها است.

بیایید به تعریف عملیات اصلی روی ماتریس ها برویم.

اضافه کردن ماتریس: مجموع دو ماتریس، به عنوان مثال: آ و ب ، داشتن تعداد سطر و ستون یکسان و به عبارت دیگر ترتیبات یکسان متر و n ماتریس C = ( با ij )( i = 1، 2، …m; j = 1، 2، …n) همان دستورات متر و n ، عناصر Cij که برابر هستند.

Cij = Aij + Bij (i = 1، 2، ...، m؛ j = 1، 2، ...، n) (1.2 )

برای نشان دادن مجموع دو ماتریس از نماد استفاده می شود C = A + B. عمل جمع ماتریس ها آنها نامیده می شود علاوه بر این

پس طبق تعریف داریم:

+ =

از تعریف مجموع ماتریس ها یا به طور دقیق تر از فرمول ( 1.2 ) بلافاصله نتیجه می شود که عملیات جمع ماتریس ها دارای همان ویژگی های عمل جمع اعداد واقعی است، یعنی:

1) ویژگی جابجایی: A + B = B + A

2) ترکیب اموال: (A + B) + C = A + (B + C)

این ویژگی ها باعث می شود که در هنگام اضافه کردن دو یا چند ماتریس نگران ترتیب عبارت های ماتریس نباشید.

ضرب یک ماتریس در یک عدد :

محصول ماتریسی برای یک عدد واقعی ماتریس نامیده می شود C = (Cij) (i = 1، 2، ...، m؛ j = 1، 2، ...، n) ، که عناصر آن برابر است

Cij = Aij (i = 1، 2، …، m؛ j = 1، 2، …، n). (1.3 )

مستقیما از فرمول ( 1.3 ) واضح است که ضرب یک ماتریس در عدد دارای ویژگی های زیر است:

1) ویژگی توزیعی با توجه به مجموع ماتریس ها:

( A + B) = A+ ب

2) ویژگی انجمنی در رابطه با یک عامل عددی:

() A= ( آ)

3) دارایی توزیعی با توجه به مجموع اعداد:

( + ) A= آ + آ .

اظهار نظر :تفاوت دو ماتریس آ و ب از ترتیبات یکسان، طبیعی است که چنین ماتریسی را بنامیم سی از همان دستورات، که در مجموع با ماتریس ب ماتریس را می دهد آ . برای نشان دادن تفاوت بین دو ماتریس، از نماد طبیعی استفاده می شود: C = A – B.

ضرب ماتریس :

محصول ماتریسی A = (Aij) (i = 1، 2، ...، m؛ j = 1، 2، ...، n) ، داشتن سفارشات به ترتیب برابر متر و n ، در هر ماتریس B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1، 2، …، p) ، داشتن سفارشات به ترتیب برابر n و پ ، ماتریس نامیده می شود C= (با ij) (i = 1، 2، …، m؛ j = 1، 2، …، p) ، داشتن سفارشات به ترتیب برابر متر و پ ، و عناصر Cij ، با فرمول تعریف شده است

Cij = (i = 1، 2، …، m؛ j = 1، 2، …، p) (1.4 )

برای نشان دادن حاصل ضرب یک ماتریس آ به ماتریس ب از ضبط استفاده کنید

C=AB . عملیات ترکیب یک محصول ماتریسی آ به ماتریس ب تماس گرفت ضرباین ماتریس ها از تعریفی که در بالا فرموله شد چنین برمی آید که ماتریس آ نمی توان در هیچ ماتریسی ضرب کرد ب : لازم است تعداد ستون های ماتریس آ بود برابر استتعداد ردیف های ماتریس ب . به منظور هر دو کار AB و بی.ا. نه تنها تعریف شده بودند، بلکه دارای ترتیب یکسانی بودند، لازم و کافی است که هر دو ماتریس آ و ب ماتریس های مربعی با همان ترتیب بودند.

فرمول ( 1.4 ) یک قانون برای ترکیب عناصر ماتریس است سی ,

که حاصل ضرب ماتریس است آ به ماتریس ب . این قانون را می توان به صورت شفاهی فرموله کرد: عنصر Cij ، ایستاده در تقاطع من خط هفتم و j- ستون ماتریس ام C=AB ، برابر است مجموع محصولات زوجی عناصر مربوطه من خط هفتم ماتریس ها آ و j- ستون ماتریس ام ب . به عنوان نمونه ای از کاربرد این قانون، فرمول ضرب ماتریس های مربع مرتبه دوم را ارائه می کنیم

از فرمول ( 1.4 ) خواص زیر محصول ماتریس به شرح زیر است: آ به ماتریس ب :

1) دارایی تداعی: ( AB)C = A(BC)؛

2) ویژگی توزیعی با توجه به مجموع ماتریس ها:

(A + B) C = AC + BC یا A (B + C) = AB + AC.

منطقی است که سوال خاصیت جایگشت حاصلضرب ماتریس ها را فقط برای ماتریس های مربعی هم مرتبه مطرح کنیم. مثال‌های ابتدایی نشان می‌دهند که حاصل ضرب دو ماتریس مربعی هم‌ترتیب، به‌طور کلی، خاصیت کموتاسیون را ندارد. در واقع اگر قرار دهیم

A =، B =، که AB = ، آ BA =

معمولاً همان ماتریس هایی که محصول دارای خاصیت جابجایی است نامیده می شوند رفت و آمد

در میان ماتریس های مربعی، کلاس به اصطلاح را برجسته می کنیم موربماتریس هایی که هر کدام دارای عناصری هستند که در خارج از قطر اصلی برابر با صفر قرار دارند. در بین همه ماتریس های مورب با عناصر منطبق بر مورب اصلی، دو ماتریس نقش مهمی دارند. اولین مورد از این ماتریس ها زمانی به دست می آید که تمام عناصر قطر اصلی برابر با یک باشند و ماتریس هویت نامیده می شود. n- E . ماتریس دوم با همه عناصر برابر با صفر به دست می آید و ماتریس صفر نامیده می شود n- ترتیب و با علامت نشان داده می شود O . اجازه دهید فرض کنیم که یک ماتریس دلخواه وجود دارد آ ، سپس

AE=EA=A , AO=OA=O .

اولین فرمول نقش ویژه ماتریس هویت را مشخص می کند E، مشابه نقشی که عدد بازی می کند 1 هنگام ضرب اعداد واقعی در مورد نقش ویژه ماتریس صفر در باره، سپس نه تنها با فرمول دوم، بلکه با یک برابری قابل تأیید اولیه نیز آشکار می شود: A+O=O+A=A . مفهوم ماتریس صفر را می توان نه برای ماتریس های مربعی معرفی کرد.

بیایید هر چهار عددی را که به شکل ماتریس دو در ردیف نوشته شده است در نظر بگیریم دو ستون , تعیین کننده یا تعیین کننده، که از اعداد این جدول تشکیل شده است، عدد است ad-BC , به صورت زیر مشخص می شود: .چنین تعیین کننده ای نامیده می شود تعیین کننده مرتبه دوم، از آنجایی که یک جدول دو سطر و دو ستون برای کامپایل آن گرفته شده است. به اعدادی که تعیین کننده را تشکیل می دهند، آن می گویند عناصر; در عین حال می گویند که عناصر آ و د آرایش مورب اصلیتعیین کننده و عناصر ب و ج خود مورب جانبی. مشاهده می شود که دترمینان برابر است با اختلاف حاصل از جفت عناصر واقع در مورب اصلی و فرعی آن. تعیین کننده ترتیب سوم و هر ترتیب دیگر تقریباً یکسان است، یعنی: فرض کنید ماتریس مربع داریم . تعیین کننده ماتریس زیر عبارت زیر است: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . همانطور که می بینید، اگر دنباله خاصی را به خاطر بسپارید، به راحتی محاسبه می شود. با علامت مثبت مورب اصلی و مثلث های تشکیل شده از عناصر هستند که ضلعی موازی با مورب اصلی دارند، در این مورد اینها مثلث هستند. a12a23a31، a13a21a32 .

روش ساده تری برای محاسبه تعیین کننده وجود دارد n- اوه دستور، کجا n2 . بیایید موافقت کنیم که هر عنصری را جزئی بنامیم آیج ماتریس ها n- تعیین کننده مرتبه اول مربوط به ماتریسی که در نتیجه حذف از ماتریس به دست می آید من خط هفتم و j- ستون هفتم (آن سطر و آن ستونی که در تقاطع آنها یک عنصر وجود دارد آیج ). عنصر جزئی آیج با نماد نشان داده خواهد شد. در این نماد، نمایه بالا نشان دهنده شماره ردیف، شاخص پایین شماره ستون و نوار بالا است. م به این معنی است که سطر و ستون مشخص شده خط کشیده شده است. تعیین کننده نظم n ، مطابق با ماتریس، عدد را برابر می نامیم و با علامت مشخص می شود .

قضیه 1.1 شماره خط هر چه باشد من ( i = 1، 2...، n) ، برای تعیین کننده n- فرمول مرتبه اول معتبر است

= det A =

تماس گرفت من- خط هفتم . تاکید می کنیم که در این فرمول توانی که عدد به آن افزایش می یابد (-1) برابر است با مجموع اعداد سطر و ستونی که عنصر در محل تقاطع آنها قرار دارد. آیج .

قضیه 1.2 شماره ستون هر چه باشد j ( j = 1، 2...، n) ، برای تعیین کننده n فرمول مرتبه هفتم معتبر است

= det A =

تماس گرفت بسط این تعیین کننده در j- ستون هفتم .

1. ویژگی برابری سطر-ستون . جابجاییهر ماتریس یا تعیین کننده، عملیاتی است که در نتیجه آن سطرها و ستون ها با حفظ ترتیب خود مبادله می شوند. در نتیجه جابجایی ماتریس آ ماتریس حاصل یک ماتریس نامیده می شود که با توجه به ماتریس جابجا می شود آ و با علامت نشان داده می شود آ .

اولین ویژگی تعیین کننده به صورت زیر فرموله می شود: هنگام جابجایی، مقدار تعیین کننده حفظ می شود، یعنی = .

2. خاصیت ضد تقارن هنگام تنظیم مجدد دو ردیف (یا دو ستون). هنگامی که دو ردیف (یا دو ستون) با هم عوض می شوند، تعیین کننده مقدار مطلق خود را حفظ می کند، اما علامت را به عکس تغییر می دهد. برای یک تعیین کننده مرتبه دوم، این ویژگی را می توان به روشی ابتدایی تأیید کرد (از فرمول محاسبه تعیین کننده مرتبه دوم بلافاصله نتیجه می شود که تعیین کننده ها فقط در علامت متفاوت هستند).

3. خاصیت خطی دترمینان. خواهیم گفت که مقداری رشته ( آ) ترکیبی خطی از دو رشته دیگر است ( ب و ج ) با ضرایب و . ویژگی خطی را می توان به صورت زیر فرمول بندی کرد: اگر در تعیین کننده باشد n مقداری سفارش من سطر هفتم ترکیبی خطی از دو سطر با ضرایب و سپس است = + ، کجا

- تعیین کننده ای که دارد من سطر -ام برابر با یکی از دو ردیف ترکیب خطی است و بقیه سطرها مانند , a تعیین کننده برای آن است من- رشته i برابر است با دومین رشته از دو رشته و تمام رشته های دیگر مانند .

این سه ویژگی، ویژگی های اصلی تعیین کننده هستند که ماهیت آن را آشکار می کنند. پنج ویژگی زیر هستند پیامدهای منطقیسه ویژگی اصلی

نتیجه 1. یک تعیین کننده با دو ردیف (یا ستون) یکسان برابر با صفر است.

نتیجه 2. ضرب تمام عناصر یک ردیف (یا برخی از ستون‌ها) یک دترمینال در یک عدد آ معادل ضرب دترمینان در این عدد است آ . به عبارت دیگر، ضریب مشترک همه عناصر یک ردیف خاص (یا برخی از ستون‌ها) یک تعیین‌کننده را می‌توان از علامت این تعیین‌کننده خارج کرد.

نتیجه 3. اگر همه عناصر یک ردیف خاص (یا برخی از ستون ها) برابر با صفر باشند، خود تعیین کننده برابر با صفر است.

نتیجه 4. اگر عناصر دو سطر (یا دو ستون) یک دترمینال متناسب باشند، دترمینان برابر با صفر است.

نتیجه 5. اگر به عناصر یک ردیف خاص (یا برخی از ستون‌ها) از یک تعیین کننده، عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون دیگر) را با ضرب در یک عامل دلخواه اضافه کنیم، آنگاه مقدار تعیین کننده تغییر نمی‌کند. نتیجه 5، مانند ویژگی خطی، امکان فرمول بندی کلی تری را فراهم می کند، که من برای رشته ها ارائه خواهم کرد: اگر به عناصر یک ردیف معین از یک تعیین کننده، عناصر متناظر یک رشته را اضافه کنیم که ترکیبی خطی از چندین ردیف دیگر است. از این تعیین کننده (با هر ضرایبی)، آنگاه مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. نتیجه 5 به طور گسترده در محاسبه بتن تعیین کننده ها استفاده می شود.

, به صورت ماتریسی می توان این سیستم را به صورت زیر نوشت: A= ، جایی که پاسخ معادلات در ستون آخر خواهد بود. اکنون مفهوم یک تعیین کننده اساسی را معرفی می کنیم. در این حالت به شکل زیر خواهد بود:

= تعیین کننده اصلی، همانطور که قبلاً متوجه شدید، ماتریسی است که از ضرایب متغیرها تشکیل شده است. آنها همچنین به ترتیب ستون ظاهر می شوند، یعنی ستون اول شامل ضرایبی است که در آنها یافت می شود ایکس ، در ستون دوم در y ، و غیره. این بسیار مهم است، زیرا در مراحل بعدی هر ستون ضرایب را برای یک متغیر با ستونی از پاسخ معادلات جایگزین می کنیم. بنابراین، همانطور که گفتم، ما ستون را در متغیر اول با ستون پاسخ جایگزین می کنیم، سپس در دوم، البته همه چیز بستگی به این دارد که چند متغیر باید پیدا کنیم.

1 = , 2 = , 3 = .

سپس باید عوامل تعیین کننده 1 را پیدا کنید، 2، 3. شما قبلاً می دانید که چگونه تعیین کننده مرتبه سوم را پیدا کنید. آ اینجاست که قانون کرامر را اعمال می کنیم. به نظر می رسد این است:

x1 =، x2 =، x3 = – برای این مورد، اما به طور کلی به این صورت است: ایکس من = . تعیین کننده ای که از ضرایب مجهول تشکیل شده است نامیده می شود تعیین کننده سیستم .

1. V. A. Ilyin، E. G. Poznyak "جبر خطی"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin "تبدیل های ابتدایی در جبر خطی"