§7. نمونه هایی از فضاهای خطی

پوسته خطی نیز نامیده می شود فضای فرعی ایجاد شده است ایکس. معمولا نشان داده می شود. همچنین گفته می شود که پوسته خطی کشیده شده استیک دسته از ایکس .

خواص

همچنین ببینید

پیوندها

بنیاد ویکی مدیا 2010.

• جانگر
• مانده پرداخت

ببینید «پوسته خطی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

LINEAR SHELL- تقاطع M تمام زیرفضاهای حاوی مجموعه فضای برداری E. همچنین، مناز. همچنین یک فضای فرعی تولید شده توسط A. M. I. Voitsekhovsky... دایره المعارف ریاضی

بردارهای پوسته خطی

بردارهای پوسته خطی- مجموعه ای از ترکیبات خطی این بردارها ∑αiаi با تمام ضرایب ممکن (α1، …، αn) … فرهنگ لغت اقتصادی-ریاضی

بردارهای پوسته خطی- مجموعه ای از ترکیبات خطی این بردارها??iai با تمام ضرایب ممکن (?1، ...، ?n). موضوعات اقتصاد EN بدنه خطی …

جبر خطی- رشته ریاضی، بخشی از جبر، که به ویژه شامل نظریه معادلات خطی، ماتریس ها و عوامل تعیین کننده و همچنین نظریه فضاهای برداری (خطی) است. رابطه خطی «رابطه شکل: a1x1 + a2x2 + … +…… راهنمای مترجم فنی

وابستگی خطی- «رابطه شکل: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0، که در آن a1، a2، …، an اعدادی هستند که حداقل یکی از آنها غیر صفر است. x1، x2، ...، xn اشیاء ریاضی خاصی هستند که عملیات جمع برای آنها تعریف شده است. فرهنگ لغت اقتصادی-ریاضی

پوسته- پوسته خطی را ببینید ... فرهنگ لغت اقتصادی-ریاضی

وابستگی خطی

ترکیب خطی- فضای خطی یا فضای برداری، موضوع اصلی مطالعه جبر خطی است. مطالب 1 تعریف 2 ساده ترین ویژگی ها 3 تعاریف و ویژگی های مرتبط ... ویکی پدیا

گروه خطیگروهی از تبدیلات خطی یک فضای برداری V با بعد محدود n بر روی جسم معین K است. انتخاب یک مبنا در فضای V گروه خطی را به عنوان گروهی از ماتریس های مربع غیر زوال درجه n بر روی جسم K مشخص می کند. بنابراین، یک ایزومورفیسم ایجاد می شود ... دایره المعارف ریاضی

کتاب ها

• جبر خطی. کتاب درسی و کارگاه آموزشی برای آموزش متن باز خرید به قیمت 1471 UAH (فقط در اوکراین)
• جبر خطی. کتاب درسی و کارگاه کارشناسی دانشگاهی کرمر ن.ش.. این کتاب شامل تعدادی مفاهیم جدید و سوالات اضافی مانند هنجار یک ماتریس، روش تکمیل یک مبنا، هم شکلی فضاهای خطی، زیرفضاهای خطی، خطی است. ...

اجازه دهید سیستمی از بردارها از فضای برداری باشد Vبر فراز میدان پ.

تعریف 2:پوسته خطی Lسیستم های آمجموعه ای از تمام ترکیبات خطی بردارهای سیستم است آ. تعیین L(A).

می توان نشان داد که برای هر دو سیستم آو ب,

آبه صورت خطی بیان می شود باگر و تنها اگر . (1)

آمعادل بآن وقت و تنها زمانی که L(A)=L(B). (2)

اثبات از خاصیت قبلی حاصل می شود

3 گستره خطی هر سیستم بردار، زیرفضای فضا است V.

اثبات

هر دو بردار و از را بگیرید L(A)، دارای بسط های زیر در بردارهای از آ: . اجازه دهید امکان سنجی شرایط 1) و 2) معیار را بررسی کنیم:

از آنجایی که ترکیبی خطی از بردارهای سیستم است آ.

از آنجایی که آن نیز ترکیبی خطی از بردارهای سیستم است آ.

حال بیایید ماتریس را در نظر بگیریم. دهانه خطی ردیف های ماتریس آفضای ردیف ماتریس نامیده می شود و نشان داده می شود Lr(A). دهانه خطی ستون های ماتریسی آفضای ستون نامیده می شود و نشان داده می شود Lc(A). لطفا توجه داشته باشید که وقتی فضای سطر و ستون ماتریس آزیرفضاهای فضاهای حسابی مختلف هستند Pnو بعد از ظهربه ترتیب. با استفاده از عبارت (2) می توان به این نتیجه رسید:

قضیه 3:اگر یک ماتریس از ماتریس دیگری توسط زنجیره ای از تبدیلات اولیه به دست آید، فضای ردیف این ماتریس ها منطبق است.

مجموع و تقاطع فضاهای فرعی

اجازه دهید Lو م- دو زیرفضای فضا آر.

میزان L+ممجموعه ای از بردارها نامیده می شود x+y ، جایی که ایکس ∈Lو y ∈م. بدیهی است که هر ترکیب خطی از بردارها از L+Mمتعلق است L+M، از این رو L+Mزیرفضای فضا است آر(ممکن است با فضا همخوانی داشته باشد آر).

با عبور L∩مفضاهای فرعی Lو ممجموعه بردارهایی است که به طور همزمان به زیر فضاها تعلق دارند Lو م(فقط می تواند از یک بردار صفر تشکیل شود).

قضیه 6.1. مجموع ابعاد زیرفضاهای دلخواه Lو مفضای خطی بعد محدود آربرابر با بعد مجموع این زیرفضاها و بعد تقاطع این زیرفضاها:

کم نور L + کم نور M = کم نور (L + M) + کم نور (L∩M).

اثبات بیایید نشان دهیم F=L+Mو G=L∩M. اجازه دهید جی جی-فضای فرعی بعدی بیایید مبنایی را در آن انتخاب کنیم. زیرا جی⊂Lو جی⊂مبنابراین اساس جیرا می توان به پایه اضافه کرد Lو به پایه م. اجازه دهید اساس زیرفضا Lو اجازه دهید اساس زیرفضا م. اجازه دهید نشان دهیم که بردارها

(6.1) اساس را تشکیل می دهند F=L+M. برای اینکه بردارهای (6.1) اساس فضا را تشکیل دهند افآنها باید مستقل خطی و هر بردار فضا باشند افرا می توان با ترکیب خطی بردارها (6.1) نشان داد.

اجازه دهید استقلال خطی بردارها را ثابت کنیم (6.1). بردار صفر فضا را بگذارید افبا ترکیبی خطی از بردارها (6.1) با برخی ضرایب نشان داده می شود:

سمت چپ (6.3) بردار زیرفضا است L، و سمت راست بردار زیرفضا است م. بنابراین بردار

(6.4) متعلق به فضای فرعی است G=L∩M. از سوی دیگر، بردار v را می توان با ترکیب خطی بردارهای پایه زیرفضا نشان داد جی:

(6.5) از معادلات (6.4) و (6.5) داریم:

اما بردارها اساس زیرفضا هستند مبنابراین به صورت خطی مستقل هستند و . سپس (6.2) به شکل زیر در می آید:

به دلیل استقلال خطی پایه زیرفضا Lما داریم:

از آنجایی که تمام ضرایب در رابطه (6.2) صفر شد، پس بردارها

مستقل خطی اما هر بردار z از جانب اف(با تعریف مجموع فضاهای فرعی) را می توان با مجموع نشان داد x+y ، جایی که ایکس ∈ L،y ∈ م. در نوبتش ایکس با ترکیب خطی بردارهای a نشان داده می شود y - ترکیب خطی بردارها. بنابراین، بردارهای (6.10) فضای فرعی را ایجاد می کنند اف. ما دریافتیم که بردارهای (6.10) یک پایه را تشکیل می دهند F=L+M.

مطالعه پایگاه های زیرفضایی Lو مو اساس زیرفضا F=L+M(6.10)، ما داریم: کم نور L=g+l، کم نور M=g+m، کم نور (L+M)=g+l+m. از این رو:

کم نور L+Dim M−Dim(L∩M)=Dim(L+M). ■

مجموع مستقیم فضاهای فرعی

تعریف 6.2. فضا افنشان دهنده مجموع مستقیم فضاهای فرعی است Lو م، اگر هر بردار ایکس فضا اففقط می تواند به عنوان یک جمع نمایش داده شود x=y+z ، جایی که y ∈L و z ∈م.

مقدار مستقیم مشخص شده است L⊕م. می گویند که اگر F=L⊕م، آن افبه مجموع مستقیم زیرفضاهای خود تجزیه می شود Lو م.

قضیه 6.2. به منظور. واسه اینکه. برای اینکه n-فضای بعدی آرمجموع مستقیم زیرفضاها بود Lو م، برای تقاطع کافی است Lو مفقط حاوی عنصر صفر بود و بعد R برابر با مجموع ابعاد زیرفضاها بود. Lو م.

اثبات اجازه دهید یک پایه در زیر فضای L و یک پایه در زیر فضای M انتخاب کنیم. اجازه دهید آن را ثابت کنیم

(6.11) اساس فضا است آر. با توجه به شرایط قضیه، بعد فضا Rnبرابر مجموع زیرفضاها Lو م (n=l+m). برای اثبات استقلال خطی عناصر کافی است (6.11). بردار صفر فضا را بگذارید آربا ترکیبی خطی از بردارها (6.11) با برخی ضرایب نشان داده می شود:

(6.13) از آنجایی که سمت چپ (6.13) بردار فضای فرعی است L، و سمت راست بردار زیرفضا است مو L∩م=0 ، آن

(6.14) اما بردارها پایه های زیرفضاها هستند Lو مبه ترتیب. بنابراین آنها به صورت خطی مستقل هستند. سپس

(6.15) مشخص شد که (6.12) فقط تحت شرط (6.15) معتبر است و این استقلال خطی بردارها را ثابت می کند (6.11). بنابراین پایه و اساس را تشکیل می دهند آر.

اجازه دهید x∈R. بیایید آن را بر اساس مبنای (6.11) گسترش دهیم:

(6.16) از (6.16) داریم:

(6.18) از (6.17) و (6.18) چنین بر می آید که هر بردار از آررا می توان به صورت مجموع بردارها نشان داد ایکس 1 ∈Lو ایکس 2 ∈م. باید ثابت کنیم که این نمایش منحصر به فرد است. اجازه دهید، علاوه بر بازنمایی (6.17)، نمایش زیر نیز وجود داشته باشد:

(6.19) با تفریق (6.19) از (6.17)، به دست می آوریم

(6.20) از آنجایی که، و L∩م=0 ، سپس و . بنابراین و. ■

قضیه 8.4 در مورد بعد مجموع فضاهای فرعی. اگر و زیرفضاهای یک فضای خطی با بعد محدود باشند، بعد مجموع زیرفضاها برابر است با مجموع ابعاد آنها بدون بعد تقاطع آنها ( فرمول گراسمن):

در واقع، اجازه دهید اساس تقاطع باشد. اجازه دهید آن را با یک مجموعه مرتب از بردارها تا پایه زیرفضا و یک مجموعه مرتب از بردارها تا پایه زیرفضا تکمیل کنیم. چنین جمعی با قضیه 8.2 امکان پذیر است. از این سه مجموعه بردار، یک مجموعه مرتب از بردارها ایجاد می کنیم. اجازه دهید نشان دهیم که این بردارها مولد فضا هستند. در واقع، هر بردار این فضا به صورت ترکیبی خطی از بردارها از یک مجموعه مرتب نشان داده می شود

از این رو، . اجازه دهید ثابت کنیم که ژنراتورها به صورت خطی مستقل هستند و بنابراین اساس فضا هستند. در واقع، بیایید یک ترکیب خطی از این بردارها ایجاد کنیم و آن را با بردار صفر برابر کنیم: . همه ضرایب این بسط صفر هستند: زیرفضاهای یک فضای برداری با فرم دوخطی مجموعه همه بردارهای متعامد به هر بردار از . این مجموعه یک زیرفضای برداری است که معمولا با نشان داده می شود.

این مقاله اصول جبر خطی را شرح می دهد: فضای خطی، ویژگی های آن، مفهوم مبنا، ابعاد فضا، بدنه خطی، ارتباط بین فضاهای خطی و رتبه ماتریس ها.

فضای خطی

یک دسته از Lتماس گرفت فضای خطی،اگر برای تمام عناصر آن عملیات جمع دو عنصر و ضرب یک عنصر در عددی راضی کننده باشد منگروه بدیهیات ویل. عناصر فضای خطی نامیده می شوند بردارها. این یک تعریف کامل است؛ به طور خلاصه می توان گفت که فضای خطی مجموعه ای از عناصر است که برای آنها عملیات جمع دو عنصر و ضرب یک عنصر در یک عدد تعریف شده است.

بدیهیات ویل

هرمان ویلپیشنهاد کرد که در هندسه دو نوع جسم داریم ( بردارها و نقاط)، که ویژگی های آن با بدیهیات زیر که اساس بخش را تشکیل می دهد، توضیح داده شده است جبر خطی. به راحتی می توان بدیهیات را به 3 گروه تقسیم کرد.

گروه I

1. برای هر بردار x و y برابری x+y=y+x برقرار است.
2. برای هر بردار x، y و z برابری x+(y+z)=(x+y)+z برقرار است.
3. بردار o وجود دارد به طوری که برای هر بردار x برابری x+o=x برقرار است.
4. برای هر بردار ایکسیک بردار (-x) وجود دارد که x+(-x)=o;
5. برای هر بردار ایکسبرابری 1x=x برقرار است.
6. برای هر بردار ایکسو درو هر عدد λ برابری λ( ایکس+در)=λ ایکس+λ در;
7. برای هر بردار ایکسو هر عدد λ و μ تساوی برقرار است (λ+μ) ایکس=λ ایکس+μ ایکس;
8. برای هر بردار ایکسو هر عدد λ و μ برابری λ(μ ایکس)=(λμ) ایکس;

گروه دوم

گروه I مفهوم را تعریف می کند ترکیب خطی بردارها، وابستگی خطی و استقلال خطی.این به ما امکان می دهد دو اصل دیگر را فرموله کنیم:

1. n بردار مستقل خطی وجود دارد.
2. هر بردار (n+1) به صورت خطی وابسته هستند.

برای پلان سنجی n=2، برای استریومتری n=3.

گروه III

این گروه فرض می کند که یک عملیات ضرب اسکالر وجود دارد که یک جفت بردار را اختصاص می دهد ایکسو درعدد ( x، y). که در آن:

1. برای هر بردار ایکسو دربرابری برقرار است ( x، y)=(y، x);
2. برای هر بردار ایکس , درو zبرابری برقرار است ( x+y،z)=(x، z)+(y، z);
3. برای هر بردار ایکسو درو هر عدد λ برابری (λ x، y)=λ( x، y);
4. برای هر بردار x نابرابری برقرار است ( x، x)≥0 و ( x، x)=0 اگر و فقط اگر ایکس=0.

ویژگی های فضای خطی

بیشتر خصوصیات فضای خطی بر اساس بدیهیات ویل است:

1. بردار O، که وجود آن توسط اصل 3 تضمین شده است، به روشی منحصر به فرد تعیین شده است.
2. بردار (- ایکس) که وجود آن توسط اصل 4 تضمین شده است، به روشی منحصر به فرد تعیین شده است.
3. برای هر دو بردار آو بمتعلق به فضا L، تنها یک بردار وجود دارد ایکس، همچنین متعلق به فضا است L، که حل معادله است a+x=بو اختلاف برداری را نامید b-a.

تعریف.زیرمجموعه L'فضای خطی Lتماس گرفت زیرفضای خطیفضا L، اگر خود یک فضای خطی باشد که در آن مجموع بردارها و حاصلضرب یک بردار و یک عدد به همان شکلی که در آن تعریف شده است. L.

تعریف. پوسته خطی L(x1، x2، x3، …، xk) بردارها x1، x2، x3،و xkمجموعه تمام ترکیبات خطی این بردارها نامیده می شود. در مورد پوسته خطی می توان گفت که

-دهانه خطی یک زیرفضای خطی است.

- بدنه خطی حداقل زیر فضای خطی حاوی بردارها است x1، x2، x3،و xk.

تعریف.یک فضای خطی در صورتی n بعدی نامیده می شود که گروه دوم از سیستم بدیهیات Weyl را برآورده کند. عدد n نامیده می شود بعد، ابعاد، اندازهفضای خطی و بنویس dimL=n.

اساس- هر سیستم سفارش داده شده از nبردارهای مستقل خطی فضا معنی مبنا این است که از بردارهایی که پایه را تشکیل می دهند می توان برای توصیف هر بردار در فضا استفاده کرد.

قضیه.هر n بردار مستقل خطی در فضای L یک پایه را تشکیل می دهد.

ایزومورفیسم.

تعریف. فضاهای خطی Lو L'اگر بتوان چنین تناظر یک به یک را بین عناصر آنها برقرار کرد، هم شکل نامیده می شوند x↔x، چی:

1. اگر x↔x, y↔y، آن x+y↔x’+y’;
2. اگر x↔x, سپس λ x↔λ ایکس'.

خود این مکاتبات نامیده می شود ایزومورفیسم. ایزومورفیسم به ما این امکان را می دهد که عبارات زیر را بیان کنیم:

• اگر دو فضا هم شکل باشند، ابعاد آنها برابر است.
• هر دو فضای خطی روی یک میدان و با یک بعد هم شکل هستند.

1. مجموعه ای از چند جمله ای ها پ n (ایکس) درجه بالاتر نیست n.

2. یک دسته از nدنباله های ترم (با جمع ترم به ترم و ضرب در اسکالر).

3 . بسیاری از ویژگی ها سی [ آ , ب ] پیوسته در [ آ, ب] و با جمع نقطه ای و ضرب در یک اسکالر.

4. بسیاری از توابع مشخص شده در [ آ, ب] و در یک نقطه داخلی ثابت ناپدید می شود ج: f (ج) = 0 و با عملیات نقطه ای جمع و ضرب در یک اسکالر.

5. R+ را تنظیم کنید، اگر ایکس ⊕ y  ایکس  y, ⊙ایکس ایکس  .

§8. تعریف زیرفضا

اجازه دهید مجموعه دبلیوزیر مجموعه ای از فضای خطی است V (دبلیو  V) و چنین است که

الف)  ایکس, yدبلیو  ایکس ⊕ yدبلیو;

ب)  ایکسدبلیو,    ⊙ ایکسدبلیو.

عملیات جمع و ضرب در اینجا مانند فضا است V(به آنها فضای القا شده می گویند V).

خیلی زیاد دبلیوزیرفضای فضا نامیده می شود V.

7  . فضای فرعی دبلیوخودش فضاست

◀ برای اثبات آن کافی است وجود عنصر خنثی و مخالف آن را ثابت کنیم. مساوات 0⊙ ایکس=  و (–1)⊙ ایکس = –ایکسآنچه لازم است را ثابت کند

یک فضای فرعی که فقط از یک عنصر خنثی () و یک زیرفضای منطبق با خود فضا تشکیل شده است. V، زیرفضاهای بی اهمیت فضا نامیده می شوند V.

§9. ترکیب خطی بردارها گستره خطی سیستم برداری

اجازه دهید بردارها ه 1 ,ه 2 , …ه n Vو  1،  2 , …  n .

بردار x =  1 ه 1 +  2 ه 2 + … +  n ه n = خطی نامیده می شودترکیبی از بردارها ه 1 , ه 2 , … , ه nبا ضرایب  1،  2 , …  n .

اگر همه ضرایب در یک ترکیب خطی برابر با صفر باشند، ترکیب خطی است تماس گرفتناچیز.

مجموعه ای از تمام ترکیبات خطی ممکن از بردارها
بدنه خطی نامیده می شوداین سیستم از بردارها و نشان داده می شود:

ℒ(ه 1 , ه 2 , …, ه n) = ℒ
.

8  . ℒ(ه 1 , ه 2 , …, ه n

◀ صحت عملیات جمع و ضرب در یک اسکالر از این واقعیت ناشی می شود که ℒ( ه 1 , ه 2 , …, ه n) مجموعه ای از تمام ترکیبات خطی ممکن است. عنصر خنثی یک ترکیب خطی بی اهمیت است. برای عنصر ایکس=
برعکس عنصر است - ایکس =
. بدیهیاتی که عملیات باید برآورده شود نیز برآورده می شود. بنابراین، ℒ( ه 1 , ه 2 , …, ه n) یک فضای خطی است.

هر فضای خطی، در حالت کلی، شامل تعداد نامتناهی فضاهای خطی دیگر (زیرزفضا) - پوسته های خطی است.

در آینده سعی خواهیم کرد به سوالات زیر پاسخ دهیم:

چه زمانی پوسته های خطی سیستم های برداری مختلف از بردارهای یکسانی تشکیل می شوند (یعنی منطبق می شوند)؟

2) حداقل تعداد بردارهایی که یک دهانه خطی یکسان را تعریف می کنند چقدر است؟

3) آیا فضای اصلی دهانه خطی برخی از سیستم بردارها است؟

§10. سیستم های برداری کامل

اگر در فضا Vمجموعه محدودی از بردارها وجود دارد
پس چی،ℒ
 V، سپس سیستم بردارها
یک سیستم کامل در نامیده می شود Vو فضا را بعد محدود می نامند. بنابراین، سیستم بردارها ه 1 , ه 2 , …, ه n Vبه نام کامل در Vسیستم، یعنی اگر

ایکسV   1 ,  2 , …  n طوری که x =  1 ه 1 +  2 ه 2 + … +  n ه n .

اگر در فضا Vهیچ سیستم کامل محدودی وجود ندارد (و یک سیستم کامل همیشه وجود دارد - به عنوان مثال، مجموعه تمام بردارهای فضا V) سپس فضا Vبی‌بعدی نامیده می‌شود.

9  . اگر
کامل در Vسیستم بردارها و y V، که ( ه 1 , ه 2 , …, ه n , y) نیز یک سیستم کامل است.

◀ در ترکیبات خطی ضریب قبل yبرابر 0 بگیرید.

اجازه دهید سیستمی از بردارها باشد. پوسته خطی سیستم های برداریمجموعه ای از تمام ترکیبات خطی بردارهای یک سیستم معین است، یعنی.

خواص یک پوسته خطی: اگر، سپس برای و.

پوسته خطی دارای ویژگی بسته بودن نسبت به عملیات خطی (عملیات جمع و ضرب در یک عدد) است.

زیر مجموعه ای از فضایی که دارای خاصیت بسته بودن نسبت به عملیات جمع و ضرب در اعداد است نامیده می شود.زیرفضای خطی فضا .

پوسته خطی یک سیستم از بردارها یک زیرفضای خطی از فضا است.

سیستم بردارها را پایه می نامند ، اگر

هر بردار را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارهای پایه بیان کرد:

2. سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است.

ضرایب بسط بردار لم با توجه به اساس به طور منحصر به فرد تعیین می شود.

بردار ، از ضرایب بسط برداری تشکیل شده است با توجه به مبنا، بردار مختصات بردار نامیده می شود در اساس .

تعیین . این مدخل تاکید می کند که مختصات بردار به مبنا بستگی دارد.

فضاهای خطی

تعاریف

اجازه دهید مجموعه ای از عناصر ماهیت دلخواه داده شود. اجازه دهید دو عمل برای عناصر این مجموعه تعریف شود: جمع و ضرب در هر واقعی شماره: و تنظیم کنید بستهدر مورد این عملیات: . اجازه دهید این عملیات از بدیهیات پیروی کنند:

3. یک بردار صفر با خاصیت برای وجود دارد.

4. برای هر یک بردار معکوس با ویژگی ;

6. برای ;

7. برای ;

سپس چنین مجموعه ای نامیده می شود فضای خطی (بردار)، عناصر آن نامیده می شود بردارها، و - برای تأکید بر تفاوت آنها با اعداد از - دومی نامیده می شود اسکالرها 1) . فضایی که فقط از یک بردار صفر تشکیل شده باشد نامیده می شود ناچیز .

اگر در بدیهیات 6 - 8 ضرب را با اسکالرهای مختلط مجاز کنیم، چنین فضای خطی نامیده می شود. جامع. برای ساده کردن استدلال خود، در ادامه فقط فضاهای واقعی را در نظر خواهیم گرفت.

فضای خطی یک گروه با توجه به عمل جمع و یک گروه آبلی است.

منحصر به فرد بودن بردار صفر و منحصر به فرد بودن بردار معکوس با بردار به راحتی ثابت می شود: ، معمولاً تعیین می شود.

زیرمجموعه ای از فضای خطی که خود یک فضای خطی است (یعنی با جمع بردارها و ضرب در یک اسکالر دلخواه بسته شده است) نامیده می شود. زیرفضای خطیفضا. فضاهای فرعی بی اهمیتفضای خطی خود و فضایی که از یک بردار صفر تشکیل شده است نامیده می شود.

مثال.فضای سه برابری مرتب شده از اعداد حقیقی

عملیات تعریف شده توسط برابری:

تفسیر هندسی واضح است: یک بردار در فضا، "گره خورده" به مبدأ، می تواند در مختصات انتهای آن مشخص شود. شکل همچنین یک زیرفضای معمولی از فضا را نشان می دهد: صفحه ای که از مبدا می گذرد. به عبارت دقیق‌تر، عناصر بردارهایی هستند که منشأ خود را در مبدأ دارند و به نقاطی از صفحه ختم می‌شوند. بسته بودن چنین مجموعه ای با توجه به افزودن بردارها و اتساع آنها 2) آشکار است.

بر اساس این تفسیر هندسی، بردار یک فضای خطی دلخواه اغلب به عنوان نامیده می شود نقطه در فضا. گاهی به این نقطه «انتهای بردار» می گویند. جدا از راحتی ادراک انجمنی، به این کلمات هیچ معنای رسمی داده نمی شود: مفهوم "پایان یک بردار" در بدیهیات فضای خطی وجود ندارد.

مثال.بر اساس همان مثال، می توانیم تفسیر متفاوتی از فضای برداری ارائه دهیم (به هر حال، در اصل کلمه "بردار" 3 تعبیه شده است) - مجموعه ای از "تغییر" نقاط در فضا را تعریف می کند. این جابجایی ها - یا ترجمه های موازی هر شکل فضایی - موازی با صفحه انتخاب می شوند.

به طور کلی، با چنین تفسیرهایی از مفهوم بردار، همه چیز به این سادگی نیست. تلاش برای توسل به معنای فیزیکی آن - به عنوان یک شی که دارد اندازهو جهت- باعث سرزنش منصفانه ریاضیدانان سختگیر شود. تعریف بردار به عنوان عنصری از فضای برداری بسیار یادآور اپیزود با است سپولچامیاز داستان علمی تخیلی معروف استانیسلاو لم (اینجا ☞ را ببینید). بیایید به فرمالیسم معطل نشویم، بلکه این شی مبهم را در جلوه های خاص آن بررسی کنیم.

مثال.یک تعمیم طبیعی فضا است: فضای برداری ردیف یا ستون . یکی از راه‌های تعیین یک زیرفضا، تعیین مجموعه‌ای از محدودیت‌ها است.

مثال.مجموعه راه حل های یک سیستم معادلات همگن خطی:

یک زیرفضای خطی از فضا را تشکیل می دهد. در واقع اگر

پس راه حل سیستم

همان راه حل برای هر . اگر

پس راه حل دیگری برای سیستم

تصمیم او نیز خواهد بود.

چرا راه حل های زیادی برای سیستم وجود دارد؟ ناهمگون معادلات یک زیرفضای خطی تشکیل نمی دهد؟

مثال.با تعمیم بیشتر، می توانیم فضای رشته های "بی نهایت" یا را در نظر بگیریم دنباله ها ، معمولاً موضوع تجزیه و تحلیل ریاضی - هنگام در نظر گرفتن دنباله ها و سری ها. شما می توانید خطوط (توالی) را "بی نهایت در هر دو جهت" در نظر بگیرید - آنها در نظریه سیگنال استفاده می شوند.

مثال.مجموعه ای از ماتریس ها با عناصر واقعی با عملیات جمع و ضرب ماتریس در اعداد واقعی یک فضای خطی را تشکیل می دهد.

در فضای ماتریس های مرتبه مربع، دو زیرفضا را می توان تشخیص داد: زیرفضای ماتریس های متقارن و زیر فضای ماتریس های متقارن. علاوه بر این، فضاهای فرعی هر یک از مجموعه ها را تشکیل می دهند: ماتریس های مثلثی بالا، ماتریس های مثلثی پایینی.

مثال.مجموعه ای از چند جمله ای ها با یک درجه متغیر دقیقاً برابر با ضرایب (هر کدام از مجموعه ها یا ) با عملیات معمول جمع چند جمله ای ها و ضرب در عددی از تشکیل نمی شود فضای خطی چرا؟ - چون در جمع بسته نمی شود: مجموع چند جمله ای ها چند جمله ای درجه هفتم نخواهد بود. اما در اینجا چند جمله ای های درجه زیادی وجود دارد بالاتر نیست

فرم های فضای خطی؛ فقط به این مجموعه باید یک چند جمله ای 4 را نیز به طور یکسان صفر اضافه کنیم. زیرفضاهای آشکار هستند. علاوه بر این، فضاهای فرعی مجموعه زوج و مجموعه چندجمله ای های فرد حداکثر درجه خواهند بود. مجموعه همه چند جمله ای های ممکن (بدون محدودیت در درجه) نیز یک فضای خطی را تشکیل می دهد.

مثال.تعمیم مورد قبلی فضای چندجمله ای از چندین متغیر درجه حداکثر با ضرایبی از . به عنوان مثال، مجموعه چند جمله ای های خطی

فضای خطی را تشکیل می دهد. مجموعه چند جمله ای های همگن (اشکال) درجه (با اضافه کردن یک چند جمله ای یکسان صفر به این مجموعه) نیز یک فضای خطی است.

با توجه به تعریف فوق، مجموعه رشته ها با اجزای عدد صحیح

با توجه به عملیات جمع و ضرب در جزء در نظر گرفته می شود اعداد صحیح اسکالر یک فضای خطی نیست. با این حال، تمام بدیهیات 1 - 8 برآورده خواهند شد اگر ضرب را فقط با اسکالرهای عدد صحیح مجاز کنیم. در این بخش ما روی این شی تمرکز نمی کنیم، اما در ریاضیات گسسته کاملاً مفید است، به عنوان مثال در ☞ نظریه کدگذاری. فضاهای خطی روی میدان های محدود ☞ اینجا در نظر گرفته می شوند.

متغیرها نسبت به فضای ماتریس های متقارن مرتبه هفتم هم شکل هستند. ایزومورفیسم با یک مکاتبه ایجاد می شود که ما برای این مورد توضیح خواهیم داد:

مفهوم ایزومورفیسم به منظور انجام مطالعه اشیایی که در مناطق مختلف جبر به وجود می آیند، اما با ویژگی های "مشابه" عملیات، با استفاده از مثال یک نمونه، به دست آوردن نتایجی بر روی آن معرفی شده است که می توان آن را به قیمت ارزان تکرار کرد. کدام فضای خطی را باید "به عنوان نمونه" در نظر بگیریم؟ - انتهای پاراگراف بعدی را ببینید