Напряжения при внецентренном растяжении сжатии. Внецентренное сжатие

Рассмотрим прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох. Равнодействующая этих сил F приложена в точке С. В локальной правосторонней системе координат yOz , совпадающей с главными центральными осями сечения, координаты точки С равны а и b (рис. 5.18).

Заменим приложенную нагрузку статически эквивалентной ей системой сил и моментов. Для этого перенесем равнодействующую силу F в центр тяжести сечения О и догрузим стержень двумя изгибающими моментами, равными произведению силы Т^на ее плечи относительно осей координат: M ff = Fa и M z = Fb.

Отметим, что по правилу правосторонней системы координат для точки С, лежащей в первой четверти, изгибающие моменты формально получат сле-

Рис. 5.18. Прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох

дующие знаки: М у = Fa и М 7 = -Fb. При этом в элементарной площадке, лежащей в первой четверти, оба момента вызывают растягивающее напряжение.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения в текущей точке сечения с координатами у и z от каждого силового фактора отдельно. Общее напряжение получим суммированием всех трех составляющих напряжений:

Определим положение нейтральной оси. Для этого в соответствии с формулой (5.69) приравняем к нулю значение нормального напряжения в текущей точке:

В результате простых преобразований получим уравнение нейтральной линии

где i y и i z - главные радиусы инерции , определяемые по формулам (3.14).

Таким образом, в случае внецентренного растяжения-сжатия нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.19), на что указывает наличие в уравнении (5.70) отличающегося от нуля свободного члена.

Максимальные напряжения возникают в точках сечения А и В, наиболее удаленных от нейтральной линии. Установим соотношение между координатами точки приложения силы и положением нейтральной линии. Для этого определим точки пересечения этой линией координатных осей:

Рис. 5.19.

Полученные формулы показывают, что координата точки приложения силы а и координата точки пересечения нейтральной линией оси координат Oz (точка г 0) имеют противоположные знаки. То же самое можно сказать о величинах b и у 0 . Таким образом, точка приложения равнодействующей силы и нейтральная линия находятся по разные стороны относительно начала координат.

Согласно полученным формулам при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения нейтральная линия отдаляется от центральной зоны. В предельном случае (а = b = 0) приходим к случаю центрального растяжения-сжатия.

Представляет интерес определение зоны приложения силы, при котором напряжения в сечении будут иметь одинаковый знак. В частности, для материалов, плохо сопротивляющихся растяжению, сжимающую силу рационально прилагать именно в этой зоне, чтобы в сечении действовали только сжимающие напряжения. Такая зона вокруг центра тяжести сечения называется ядром сечения.

Если сила приложена в ядре сечения, то нейтральная линия не пересекает сечение. В случае приложения силы по границе ядра сечения нейтральная линия касается контура сечения. Для определения ядра сечения можно использовать формулу (5.71).

Если нейтральную линию представить как касательную к контуру сечения и рассмотреть все возможные положения касательной и соответствующие этим положениям точки приложения силы, то точки приложения силы очертят ядро сечения.

Рис. 5.20.

а - эллипс; 6 - прямоугольник

Сила Р приложена в точке с координатами – х р, у р.

В этом случае говорят, что нагрузка по отношению к продольной оси z приложена с эксцентриситетом е (рис.8.2).

Напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле (8.3):

(8.3)

(+) перед выражением (8.3) соответствует внецентренному растяжению,

(–) - сжатию.

х, y – координаты точки, в которой определяются нормальные напряжения.

Условие прочности при внецентренном приложении нагрузки записывается для опасных точек А и В , наиболее удаленных от нейтральной линии.

(8.4)

Здесь - квадраты радиусов инерции.

R – расчетное сопротивление материала растяжения или сжатия.

8.2.2. Уравнение нейтральной линии

На нейтральной линии нормальные напряжения равны нулю.

Приравняв нулю выражение (8.3) получим уравнения нейтральной линии

(8.5)

x N , y N – координаты точек, лежащих на нейтральной линии.

Решая полученное уравнение (8.5) в отрезках по осям координат, можно определить положение нейтральной линии.

(8.6)

8.2.3. Ядро сечения

Многие строительные материалы хорошо работают на сжатие и практически не воспринимают растягивающих деформаций: бетон, кирпичная кладка. Поэтому возникает задача определения такой области в поперечном сечении бруса, чтобы прикладываемая внутри нее нагрузка, вызывала по всему сечению напряжения одного знака. Такая область называется ядром сечения. Ядро сечения – область, расположенная вокруг центра тяжести сечения, приложенная внутри которой нагрузка, вызывает по всему поперечному сечению напряжения одного знака.

Для построения ядра сечения задаются положениями нейтральной линии, совпадающей со сторонами сечения N i (х N и у N ) и в соответствии с формулой (8.5) определяют две координаты точки приложения силы соответствующей этой линии

Проведя по всему контуру сечения нейтральные линии, получим n точек. На основании теоремы о вращении нейтральной линии, соединив последовательно полученные точки, получим ядро сечения (рис. 8.3). Для прямоугольного поперечного сечения ядром сечения является ромб.

Устойчивость сжатых стержней

Общие положения

Явление потери устойчивости сжатого стержня наблюдается в том случае, когда при известной форме и размерах поперечного сечения его длина превышает определенное значение.

При потере устойчивости элемента происходит нарушение первоначальной прямолинейной формы равновесия.

Различают устойчивое (а ), безразличное (b ) и не устойчивое (с ) состояние равновесия (рис. 9.1).

Продольный изгиб опасен тем, что происходит большое нарастание прогибов при малом росте сжимающей нагрузки.

Потеря устойчивости гибких стержней наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, которые с точки зрения прочности материала являются не опасными.

Рис. 12.3. Внецентренное растяжение бруса

Напряжения в произвольной точке сечения с координатами (x, y) на основании принципа независимости действия сил можно вычислить следующим образом (сумма алгебраическая)

Их уравнения (12.4) следует, что эпюра напряжений в рассматриваемом сечении образует плоскость. Уравнение нейтральной линии, в точках которой нормальные напряжения равны нулю, получим из (12.4), приравняв выражение нулю, т.е.

(12.5)

Из полученного уравнения следует, что нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения, который совпадает с началом координат. Кроме того, если координаты точки приложения силы (x 0 , y 0) положительны, то по крайней мере одна из координат x или y уравнения (12.4) должна быть отрицательной и следовательно, если точка приложения силы находится в первом квадранте, то нейтральная линия должна проходить через квадранты 2,3 и 4 (рис. 12.4).

Известно (аналитическая геометрия), что если прямая задана уравнением вида

то расстояние от начала координат до прямой будет равно

В рассматриваемом случае (12.5) получаем (рис. 12.4)

(12.5а)

Из полученного выражения следует, что при приближении точки приложения силы Р к центру тяжести сечения, т.е. при уменьшении значения координат x 0 , y 0 , расстояние ρ от центра тяжести сечения до нейтральной линии увеличивается.

Рис.12.4. Распределение напряжений при внецентренном растяжении

В пределе при x 0 =y 0 =0, т.е. когда сила Р приложена в центре тяжести сечения, нейтральная линия находится в бесконечности. При этом имеет место простое (центральное) растяжение или сжатие, все напряжения в сечении одного знака и равны между собой.

Если нейтральная линия пересекает сечение, то с одной стороны от нее возникает зона растяжения, а с другой – зона сжатия (рис.12.4). Проводя линии, параллельные нейтральной и касательные к контуру сечения, можно найти наиболее удаленные точки от нейтральной линии, в которых нормальные напряжения достигают своих максимальных значений. В рассмотренном случае это точки C и D.

Условия прочности в данных точках запишем в виде

где x C , y C , x D , y D – координаты опасных точек. Знаки слагаемых в формулах (12.6) выбираются исходя из анализа направлений действия изгибающих моментов и нормальной силы. Если нейтральная линия не пересекает поперечное сечение, то все нормальные напряжения будут одного знака.

Область в окрестности центра тяжести сечения, обладающая тем свойством, что при приложении силы Р в пределах этой области, напряжения во всех точках сечения будут одного знака, называется ядром сечения .

Некоторые материалы (бетон, кирпич, серый чугун) сопротивляются растяжению значительно хуже, чем сжатию. Для соответствующих конструкций важно, чтобы в материале не возникали растягивающие напряжения, а значит сжимающая силы должна быть приложена в пределах ядра сечения.

Если сила при внецентренном растяжении (сжатии) приложена на границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения. Это условие используется для определения размеров ядра сечения. Например, для бруса круглого поперечного сечения из условия геометрической симметрии следует, что ядро сечения должно иметь форму круга (рис. 12.5). Пусть точка приложения силы Р находится на оси Oy на расстоянии от начала координат равном r (координаты точки приложения силы – x 0 =0, y 0 =r). Уравнение нейтральной линии в данном случае принимает вид (см. формулу 12.5)

Это уравнение прямой параллельной оси Ox. Так как ядро сечения представляет собой окружность радиуса r, то нейтральная линия должна касаться контура в точке А (рис. 12.5). Расстояние от начала координат да нейтральной линии равно радиусу окружности поперечного сечения бруса R. Тогда, с учетом выражения (12.5а), находим

Отсюда r=R/4, т.е. ядро бруса круглого поперечного сечения радиусом R представляет собой круг радиусом R/4.

Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид деформации получается при действии на стержень двух равных и прямопротивоположных сил Р , направленных по прямой АА , параллельной оси стержня (Рис.3 а). Расстояние точки А от центра тяжести сечения ОА=е называется эксцентриситетом .

Рассмотрим сначала случай внецентренного сжатия, как имеющий большее практическое значение.

Нашей задачей явится нахождение наибольших напряжений, материале стержня и проверка прочности. Для решения этой задачи приложим в точках О по две равные и противоположные силы Р (Рис.3 б). Это не нарушит равновесия стержня в целом и не изменит напряжений в его сечениях.

Силы Р , зачеркнутые один раз, вызовут осевое сжатие, а пары сил Р , зачеркнутые дважды, вызовут чистый изгиб моментами . Расчетная схема стержня показана на Рис.3 в. Так как плоскость действия изгибающих пар ОА может не совпадать ни с одной из главных плоскостей инерции стержня, то в общем случае имеет место комбинация продольного сжатия и чистого косого изгиба.

Так как при осевом сжатии и чистом изгибе напряжения во всех сечениях одинаковы, то проверку прочности можно произвести для любого сечения, хотя бы С—С (Рис.3 б, в).

Отбросим верхнюю часть стержня и оставим нижнюю (Рис.3 г). Пусть оси Оу и Oz будут главными осями инерции сечения.

Рис.3. а) расчетная схема б) преобразование нагрузок в)приведенная расчетная схема г) механизм исследования напряжений

Координаты точки А , — точки пересечения линии действия сил Р с плоскостью сечения, — пусть будут и . Условимся выбирать положительные направления осей Оу и Oz таким образом, чтобы точка А оказалась в первом квадранте. Тогда и будут положительны.

Для того чтобы отыскать наиболее опасную точку в выбранном сечении, найдем нормальное напряжение в любой точке В с координатами z и у . Напряжения в сечении С — С будут складываться из напряжений осевого сжатия силой Р и напряжений от чистого косого изгиба парами с моментом Ре , где . Сжимающие напряжения от осевых сил Р в любой точке равны , где — площадь поперечного сечения стержня; что касается косого изгиба, то заменим его действием изгибающих моментов в главных плоскостях. Изгиб в плоскости х Оу вокруг нейтральной оси Oz будет вызываться моментом и даст в точке В нормальное сжимающее напряжение

Точно так же нормальное напряжение в точке В от изгиба в главной плоскости х Oz , вызванное моментом , будет сжимающим и выразится формулой.

Суммируя напряжения от осевого сжатия и двух плоских изгибов и считая сжимающие напряжения отрицательными, получаем такую формулу для напряжения в точке В :

Эта формула годится для вычисления напряжений в любой точке любого сечения стержня, стоит только вместо у и z подставить координаты точки относительно главных осей с их знаками.

В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы получать правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно, кроме знаков координат у и z , учитывать также и знак силы Р ; при растяжении перед выражением

должен стоять знак плюс, при сжатии — минус.

Полученной формуле можно придать несколько иной вид; вынесем за скобку множитель ; получим:

Здесь и — радиусы инерции сечения относительно главных осей (вспомним, что и ).

Для отыскания точек с наибольшими напряжениями следует так выбирать у и z , чтобы достигло наибольшей величины. Переменными в формулах (1) и (2) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. А так как при изгибе наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то здесь, как и при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси.

Обозначим координаты точек этой линии через и ; так как в точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, то после подстановки в формулу (2) значений и получаем:

Это и будет уравнение нейтральной оси. Очевидно, мы получили уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях координат. Обозначим эти отрезки и . Чтобы найти отрезок , отсекаемый на оси Оу , надо в уравнении (3) положить

тогда мы получаем:

Если величины и положительны, то отрезки и будут отрицательны, т. е. нейтральная ось будет расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем точка А (Рис.3 г).

Нейтральная ось делит сечение на две части — сжатую и растянутую; на Рис.3 г растянутая часть сечения заштрихована. Проводя к контуру сечения касательные, параллельные нейтральной оси, получаем две точки и , в которых будут наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.

Измеряя координаты у и z этих точек и подставляя их значения в формулу (1), вычисляем величины наибольших напряжений в точках и :

Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности получает такой вид:

Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.) и Поэтому формула упрощается, и мы имеем

Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.

Однако может случиться, что и для таких материалов будет достаточно одной проверки прочности. Из формул (4) и (5) видно, что положение точки А приложения силы и положение нейтральной оси связаны: чем ближе подходит точка А к центру сечения, тем меньше величины и и тем больше отрезки и . Таким образом, с приближением точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. Поэтому при некоторых положениях точки А нейтральная ось будет проходить вне сечения и все сечение будет работать на напряжения одного знака. Очевидно в этом случае всегда достаточно проверить прочность материала в точке .

Разберем практически важный случай, когда к стержню прямоугольного сечения (Рис. 4) приложена внецентренно сила Р в точке А , лежащей на главной оси сечения Оу . Эксцентриситет ОА равен е , размеры сечения b и d . Применяя полученные выше формулы, имеем:

Рис.4. Расчетная схема бруса прямоугольного сечения.

Напряжение в любой точке В равно

Напряжения во всех точках линии, параллельной оси Oz , одинаковы. Положение нейтральной оси определяется отрезками

Нейтральная ось параллельна оси Oz ; точки с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями расположены на сторонах 1—1 и 3—3.

Значения и получатся, если подставить вместо у его значения . Тогда

Лекция № 28. Ядро сечения при внецентренном сжатии

При конструировании стержней из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (бетон), весьма желательно добиться того, чтобы все сечение работало лишь на сжатие. Этого можно достигнуть, не давая точке приложения силы Р слишком далеко отходить от центра тяжести сечения, ограничивая величину эксцентриситета.

Конструктору желательно заранее знать, какой эксцентриситет при выбранном типе сечения можно допустить, не рискуя вызвать в сечениях стержня напряжений разных знаков. Здесь вводится понятие о так называемом ядре сечения . Этим термином обозначается некоторая область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой можно располагать точку приложения силы Р, не вызывая в сечении напряжений разного знака.

Пока точка А располагается внутри ядра, нейтральная ось не пересекает контура сечения, все оно лежит по одну сторону от нейтральной оси и, стало быть, работает лишь на сжатие. При удалении точки А от центра тяжести сечения нейтральная ось будет приближаться к контуру; граница ядра определится тем, что при расположении точки А на этой границе нейтральная ось подойдет вплотную к сечению, коснется его.

Рис.1. Комбинации положения сжимающей силы и нейтральной линии

Таким образом, если мы будем перемещать точку А так, чтобы нейтральная ось катилась по контуру сечения, не пересекая его, то точка А обойдет по границе ядра сечения. Если контур сечения имеет «впадины», то нейтральная ось будет катиться по огибающей контура.

Чтобы получить очертание ядра, необходимо дать нейтральной оси несколько положений, касательных к контуру сечения, определить для этих положений отрезки и и вычислить координаты и точки приложения силы по формулам, вытекающим из известных зависимостей:

это и будут координаты точек контура ядра и .

При многоугольной форме контура сечения (Рис.2), совмещая последовательно нейтральную ось с каждой из сторон многоугольника, мы по отрезкам и определим координаты и точек границы ядра, соответствующих этим сторонам.

При переходе от одной стороны контура сечения к другой нейтральная ось будет вращаться вокруг вершины, разделяющей эти стороны; точка приложения силы будет перемещаться по границе ядра между полученными уже точками. Установим, как должна перемещаться сила Р , чтобы нейтральная ось проходила все время через одну и ту же точку В (,) — вращалась бы около нее. Подставляя координаты этой точки нейтральной оси в известное уравнение нейтральной оси (линии), получим:

Рис.2. Ядро сечения для многоугольной формы поперечного сечения

Таким образом координаты и точки приложения силы Р связаны линейно. При вращении нейтральной оси около постоянной точки В точка А приложения силы движется по прямой. Обратно, перемещение силы Р по прямой связано с вращением нейтральной оси около постоянной точки.

На Рис.3 изображены три положения точки приложения силы на этой прямой и соответственно три положения нейтральной оси. Таким образом, при многоугольной форме контура сечения очертание ядра между точками, соответствующими сторонам многоугольника, будет состоять из отрезков прямых линий.

Рис.3. Динамика построения ядра сечения

Если контур сечения целиком или частично ограничен кривыми линиями, то построение границы ядра можно вести по точкам. Рассмотрим несколько простых примеров построения ядра сечения.

При выполнении этого построения для прямоугольного поперечного сечения воспользуемся полученными формулами.

Для определения границ ядра сечения при движении точки А по оси Оу найдем то значение , при котором нейтральная ось займет положение Н 1 О 1

Рис.4. построение ядра для прямоугольного сечения.

Для этого сила должна двигаться по прямой 1 — 2. Точно так же можно доказать, что остальными границами ядра будут линии 2—3, 3—4 и 4—1.

Таким образом, для прямоугольного сечения ядро будет ромбом с диагоналями, равными одной трети соответствующей стороны сечения. Поэтому прямоугольное сечение при расположении силы по главной оси работает на напряжения одного знака, если точка приложения силы не выходит за пределы средней трети стороны сечения.

Рис.5. Динамика изменения напряжений при изменении эксцентриситета.

Эпюры распределения нормальных напряжений по прямоугольному сечению при эксцентриситете, равном нулю, меньшем, равном и большем одной шестой ширины сечения, изображены на Рис.5.

Отметим, что при всех положениях силы Р напряжение в центре тяжести сечения (точка О ABCD, описанного около двутавра (Рис.6а). Следовательно, очертание ядра для двутавра имеет форму ромба, как и для прямоугольника, но с другими размерами.

Для швеллера, как и для двутавра, точки 1, 2, 3, 4 контура ядра (Рис.6 б) соответствуют совпадению нейтральной оси со сторонами прямоугольника ABCD .

Лекция № 29. Совместные действия изгиба и кручения призматического стержня

Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 1).

Рис.1. Расчетная схема изогнутого и скрученного вала