बिखरने की विशेषताएँ। प्रकीर्णन की विशेषताएँ प्रकीर्णन और उसके गुण चेबीशेव की असमानता स्थिति और प्रकीर्णन की विशेषताएँ

कोई फर्क नहीं पड़ता कि औसत विशेषताएँ कितनी महत्वपूर्ण हैं, संख्यात्मक डेटा की एक सरणी की एक समान रूप से महत्वपूर्ण विशेषता औसत के संबंध में सरणी के शेष सदस्यों का व्यवहार है, वे औसत से कितने भिन्न हैं, सरणी के कितने सदस्य भिन्न हैं औसत से उल्लेखनीय रूप से. शूटिंग प्रशिक्षण के दौरान वे परिणामों की सटीकता के बारे में बात करते हैं; आंकड़ों में वे फैलाव (प्रसार) की विशेषताओं का अध्ययन करते हैं।

x के किसी भी मान और x के औसत मान के बीच के अंतर को कहा जाता है विचलन और अंतर x, - x के रूप में गणना की गई। इस मामले में, यदि संख्या औसत से अधिक है तो विचलन सकारात्मक मान और यदि संख्या औसत से कम है तो नकारात्मक मान दोनों ले सकता है। हालाँकि, आंकड़ों में अक्सर एक संख्या के साथ काम करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण होता है जो डेटा सरणी के सभी संख्यात्मक तत्वों की "सटीकता" को दर्शाता है। सरणी सदस्यों के सभी विचलनों का कोई भी योग शून्य हो जाएगा, क्योंकि सकारात्मक और नकारात्मक विचलन एक दूसरे को रद्द कर देंगे। शून्यीकरण से बचने के लिए, वर्ग अंतर, या अधिक सटीक रूप से, वर्ग विचलन के अंकगणितीय माध्य का उपयोग प्रकीर्णन को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। इस प्रकीर्णन विशेषता को कहा जाता है नमूना विचरण।

विचरण जितना अधिक होगा, यादृच्छिक चर मानों का प्रकीर्णन उतना ही अधिक होगा। फैलाव की गणना करने के लिए, डेटा सरणी के सभी सदस्यों के संबंध में एक अंक के मार्जिन के साथ नमूना माध्य x का अनुमानित मान उपयोग किया जाता है। अन्यथा, बड़ी संख्या में अनुमानित मानों का योग करते समय, एक महत्वपूर्ण त्रुटि जमा हो जाएगी। संख्यात्मक मानों की आयामीता के संबंध में, नमूना फैलाव जैसे फैलाव संकेतक की एक कमी पर ध्यान दिया जाना चाहिए: फैलाव की माप की इकाई डी मानों की माप की इकाई का वर्ग है एक्स, जिसकी विशेषता फैलाव है. इस कमी से छुटकारा पाने के लिए, सांख्यिकी ने इस तरह की बिखरने वाली विशेषता पेश की नमूना मानक विचलन , जिसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है ए ("सिग्मा" पढ़ें) और सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है

आम तौर पर, डेटा सरणी के आधे से अधिक सदस्य मानक विचलन से कम औसत से भिन्न होते हैं, यानी। खंड से संबंधित हैं [एक्स - ए; एक्स + ए]। अन्यथा वे कहते हैं: औसत, डेटा के प्रसार को ध्यान में रखते हुए, x ± a के बराबर है।

एक अन्य प्रकीर्णन विशेषता का परिचय डेटा सरणी सदस्यों के आयाम से जुड़ा है। आंकड़ों में सभी संख्यात्मक विशेषताओं को अलग-अलग यादृच्छिक चर की विशेषता वाले विभिन्न संख्यात्मक सरणियों के अध्ययन के परिणामों की तुलना करने के उद्देश्य से पेश किया गया है। हालाँकि, विभिन्न डेटा सेटों के विभिन्न औसत मूल्यों से मानक विचलन की तुलना करना सांकेतिक नहीं है, खासकर यदि इन मात्राओं के आयाम भी भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, यदि सूक्ष्म और स्थूल उत्पादों के निर्माण में किसी वस्तु की लंबाई और वजन या बिखराव की तुलना की जाती है। उपरोक्त विचारों के संबंध में, एक सापेक्ष प्रकीर्णन विशेषता प्रस्तुत की जाती है, जिसे कहा जाता है गुणांक का परिवर्तनऔर सूत्र द्वारा गणना की जाती है

यादृच्छिक चर मानों के प्रकीर्णन की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करने के लिए, तालिका (तालिका 6.9) का उपयोग करना सुविधाजनक है।

तालिका 6.9

यादृच्छिक चर मानों के प्रकीर्णन की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना

नमूना माध्य इस तालिका को भरने की प्रक्रिया में है। एक्स,जिसका उपयोग भविष्य में दो रूपों में किया जाएगा। अंतिम औसत विशेषता के रूप में (उदाहरण के लिए, तालिका के तीसरे कॉलम में) नमूना औसत एक्ससंख्यात्मक डेटा सरणी के किसी भी सदस्य के सबसे छोटे अंक के अनुरूप अंक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए एक्स जीहालाँकि, इस सूचक का उपयोग आगे की गणना के लिए तालिका में किया जाता है, और इस स्थिति में, अर्थात् तालिका के चौथे कॉलम में गणना करते समय, नमूना औसत एक्ससंख्यात्मक डेटा सरणी के किसी भी सदस्य के सबसे छोटे अंक के सापेक्ष एक अंक के मार्जिन के साथ गोल किया जाना चाहिए एक्स ( ।

तालिका की तरह तालिका का उपयोग करके गणना का परिणाम। 6.9 नमूना फैलाव का मूल्य प्राप्त करेगा, और उत्तर रिकॉर्ड करने के लिए, नमूना फैलाव के मूल्य के आधार पर, मानक विचलन के मूल्य की गणना करना आवश्यक है।

उत्तर इंगित करता है: ए) फॉर्म में डेटा के प्रसार को ध्यान में रखते हुए औसत परिणाम x±o; बी) डेटा स्थिरता विशेषता वीउत्तर में भिन्नता के गुणांक की गुणवत्ता का मूल्यांकन किया जाना चाहिए: अच्छा या बुरा।

खेल अनुसंधान में परिणामों की एकरूपता या स्थिरता के संकेतक के रूप में भिन्नता का स्वीकार्य गुणांक 10-15% माना जाता है। भिन्नता का गुणांक वी= किसी भी रिसर्च में 20% बहुत बड़ा आंकड़ा माना जाता है. यदि नमूना आकार पी> 25, तो वी> 32% बहुत बुरा सूचक है.

उदाहरण के लिए, एक असतत भिन्नता श्रृंखला 1 के लिए; 5; 4; 4; 5; 3; 3; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 3; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 3; 3; 3; 3; 3 टेबल 6.9 निम्नानुसार भरा जाएगा (तालिका 6.10)।

तालिका 6.10

मूल्यों के प्रकीर्णन की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना का एक उदाहरण

उत्तर: ए) डेटा के प्रसार को ध्यान में रखते हुए औसत विशेषता, के बराबर है एक्स± ए = = 3 ± 1.4; बी) भिन्नता के गुणांक के बाद से प्राप्त माप की स्थिरता निम्न स्तर पर है वी = 48% > 32%.

तालिका का एनालॉग 6.9 का उपयोग अंतराल भिन्नता श्रृंखला की प्रकीर्णन विशेषताओं की गणना के लिए भी किया जा सकता है। उसी समय, विकल्प एक्स जीअंतराल के प्रतिनिधियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा एक्स वी ja निरपेक्ष आवृत्तियों का विकल्प एफ(-अंतरालों की पूर्ण आवृत्तियों के लिए एफ.वी

उपरोक्त के आधार पर, निम्नलिखित किया जा सकता है: निष्कर्ष.

यदि सामूहिक घटनाओं के बारे में जानकारी संसाधित की जाती है तो गणितीय आंकड़ों के निष्कर्ष प्रशंसनीय हैं।

आमतौर पर, वस्तुओं की सामान्य आबादी से एक नमूने का अध्ययन किया जाता है, जो प्रतिनिधि होना चाहिए।

नमूना वस्तुओं की किसी भी संपत्ति के अध्ययन के परिणामस्वरूप प्राप्त प्रायोगिक डेटा एक यादृच्छिक चर के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि शोधकर्ता पहले से अनुमान नहीं लगा सकता है कि कौन सी संख्या किसी विशेष वस्तु के अनुरूप होगी।

प्रयोगात्मक डेटा का वर्णन करने और प्रारंभिक रूप से संसाधित करने के लिए एक या दूसरे एल्गोरिदम का चयन करने के लिए, यादृच्छिक चर के प्रकार को निर्धारित करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है: असतत, निरंतर या मिश्रित।

असतत यादृच्छिक चर को एक असतत भिन्नता श्रृंखला और उसके ग्राफिकल रूप - एक आवृत्ति बहुभुज द्वारा वर्णित किया जाता है।

मिश्रित और निरंतर यादृच्छिक चर का वर्णन एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला और उसके ग्राफिकल रूप - एक हिस्टोग्राम द्वारा किया जाता है।

एक निश्चित संपत्ति के उत्पन्न स्तर के अनुसार कई नमूनों की तुलना करते समय, औसत संख्यात्मक विशेषताओं और औसत के संबंध में एक यादृच्छिक चर के बिखरने की संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है।

औसत विशेषता की गणना करते समय, औसत विशेषता के प्रकार का सही ढंग से चयन करना महत्वपूर्ण है जो इसके आवेदन के क्षेत्र के लिए पर्याप्त है। संरचनात्मक औसत मान, मोड और माध्यिका, प्रयोगात्मक डेटा के क्रमबद्ध सरणी में वेरिएंट के स्थान की संरचना की विशेषता बताते हैं। मात्रात्मक औसत विकल्प के औसत आकार (नमूना औसत) का आकलन करना संभव बनाता है।

प्रकीर्णन की संख्यात्मक विशेषताओं - नमूना विचरण, मानक विचलन और भिन्नता के गुणांक की गणना करने के लिए - सारणीबद्ध विधि प्रभावी है।

स्थिति विशेषताएँ वितरण के केंद्र का वर्णन करती हैं। साथ ही, विकल्प के अर्थों को इसके चारों ओर एक विस्तृत और संकीर्ण बैंड दोनों में समूहीकृत किया जा सकता है। इसलिए, वितरण का वर्णन करने के लिए, विशेषता के मूल्यों में परिवर्तनों की सीमा को चिह्नित करना आवश्यक है। किसी विशेषता की भिन्नता की सीमा का वर्णन करने के लिए बिखरने वाली विशेषताओं का उपयोग किया जाता है। भिन्नता की सीमा, फैलाव, मानक विचलन और भिन्नता के गुणांक का सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

भिन्नता की सीमाअध्ययन की जा रही जनसंख्या में किसी विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्य के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

आर=एक्सअधिकतम - एक्समि.

विचाराधीन सूचक का स्पष्ट लाभ गणना की सरलता है। हालाँकि, चूँकि भिन्नता का दायरा केवल विशेषता के चरम मूल्यों के मूल्यों पर निर्भर करता है, इसलिए इसके अनुप्रयोग का दायरा काफी सजातीय वितरण तक सीमित है। अन्य मामलों में, इस सूचक की सूचना सामग्री बहुत छोटी है, क्योंकि ऐसे कई वितरण हैं जो आकार में बहुत भिन्न हैं, लेकिन उनकी सीमा समान है। व्यावहारिक अध्ययनों में, भिन्नता की सीमा का उपयोग कभी-कभी छोटे (10 से अधिक नहीं) नमूना आकारों के साथ किया जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्नता की सीमा से यह आकलन करना आसान है कि एथलीटों के समूह में सबसे अच्छे और सबसे खराब परिणाम कितने भिन्न हैं।

इस उदाहरण में:

आर=16.36 – 13.04=3.32 (एम).

प्रकीर्णन की दूसरी विशेषता है फैलाव.फैलाव किसी यादृच्छिक चर के माध्य से विचलन का औसत वर्ग है। फैलाव प्रकीर्णन की एक विशेषता है, किसी मात्रा के मूल्यों का उसके औसत मूल्य के आसपास प्रसार। "फैलाव" शब्द का अर्थ ही "बिखराव" है।

नमूना अध्ययन करते समय, भिन्नता के लिए एक अनुमान स्थापित करना आवश्यक है। नमूना डेटा से गणना किए गए विचरण को नमूना विचरण कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है एस 2 .

पहली नज़र में, विचरण के लिए सबसे स्वाभाविक अनुमान सांख्यिकीय विचरण है, जिसकी गणना सूत्र का उपयोग करके परिभाषा के आधार पर की जाती है:

इस सूत्र में - विशेषता मानों के वर्ग विचलन का योग एक्स मैंअंकगणित माध्य से . माध्य वर्ग विचलन प्राप्त करने के लिए, इस योग को नमूना आकार से विभाजित किया जाता है पी.

हालाँकि, ऐसा अनुमान निष्पक्ष नहीं है। यह दिखाया जा सकता है कि नमूना अंकगणितीय माध्य के लिए विशेषता मानों के वर्ग विचलन का योग वास्तविक माध्य (गणितीय अपेक्षा) सहित किसी भी अन्य मूल्य से वर्ग विचलन के योग से कम है। इसलिए, उपरोक्त सूत्र से प्राप्त परिणाम में एक व्यवस्थित त्रुटि होगी, और विचरण का अनुमानित मूल्य कम आंका जाएगा। पूर्वाग्रह को खत्म करने के लिए, सुधार कारक पेश करना पर्याप्त है। परिणाम अनुमानित भिन्नता के लिए निम्नलिखित संबंध है:

बड़े मूल्यों के लिए एनस्वाभाविक रूप से, दोनों अनुमान - पक्षपातपूर्ण और निष्पक्ष - बहुत कम भिन्न होंगे और सुधार कारक का परिचय अर्थहीन हो जाता है। एक नियम के रूप में, विचरण का अनुमान लगाने के सूत्र को कब परिष्कृत किया जाना चाहिए एन<30.

समूहीकृत डेटा के मामले में, गणना को सरल बनाने के लिए अंतिम सूत्र को निम्न रूप में घटाया जा सकता है:

कहाँ क- समूहीकरण अंतराल की संख्या;

एन मैं- संख्या के साथ अंतराल आवृत्ति मैं;

एक्स मैं- संख्या के साथ अंतराल का माध्य मान मैं.

उदाहरण के तौर पर, आइए हम जिस उदाहरण का विश्लेषण कर रहे हैं उसके समूहीकृत डेटा के लिए भिन्नता की गणना करें (तालिका 4 देखें):

एस 2 =/ 28=0.5473 (एम2)।

यादृच्छिक चर के विचरण में यादृच्छिक चर के आयाम के वर्ग का आयाम होता है, जिससे इसकी व्याख्या करना मुश्किल हो जाता है और यह बहुत स्पष्ट नहीं होता है। प्रकीर्णन के अधिक दृश्य विवरण के लिए, उस विशेषता का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जिसका आयाम अध्ययन की जा रही विशेषता के आयाम से मेल खाता है। इसी उद्देश्य से यह अवधारणा प्रस्तुत की गई है मानक विचलन(या मानक विचलन).

मानक विचलनविचरण का धनात्मक वर्गमूल कहा जाता है:

हमारे उदाहरण में, मानक विचलन बराबर है

मानक विचलन में माप की वही इकाइयाँ होती हैं जो अध्ययन के तहत विशेषता को मापने के परिणाम के रूप में होती हैं और इस प्रकार, यह अंकगणितीय माध्य से विशेषता के विचलन की डिग्री को दर्शाती है। दूसरे शब्दों में, यह दर्शाता है कि विकल्प का मुख्य भाग अंकगणितीय माध्य के सापेक्ष कैसे स्थित है।

मानक विचलन और विचरण भिन्नता के सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले उपाय हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि वे संभाव्यता सिद्धांत के प्रमेयों के एक महत्वपूर्ण हिस्से में शामिल हैं, जो गणितीय आंकड़ों की नींव के रूप में कार्य करता है। इसके अलावा, भिन्नता को उसके घटक तत्वों में विघटित किया जा सकता है, जिससे अध्ययन के तहत विशेषता की भिन्नता पर विभिन्न कारकों के प्रभाव का आकलन करना संभव हो जाता है।

भिन्नता के पूर्ण संकेतकों के अलावा, जो फैलाव और मानक विचलन हैं, सापेक्ष संकेतकों को आंकड़ों में पेश किया जाता है। भिन्नता का गुणांक सबसे अधिक प्रयोग किया जाता है। भिन्नता का गुणांकमानक विचलन और अंकगणितीय माध्य के अनुपात के बराबर, प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया:

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि, इसके अर्थ में, भिन्नता का गुणांक किसी विशेषता के फैलाव का एक सापेक्ष माप है।

प्रश्नगत उदाहरण के लिए:

सांख्यिकीय अनुसंधान में भिन्नता के गुणांक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। एक सापेक्ष मूल्य होने के नाते, यह आपको उन दोनों विशेषताओं की परिवर्तनशीलता की तुलना करने की अनुमति देता है जिनमें माप की विभिन्न इकाइयाँ होती हैं, साथ ही अंकगणितीय माध्य के विभिन्न मूल्यों के साथ कई अलग-अलग आबादी में समान विशेषता होती है।

भिन्नता के गुणांक का उपयोग प्राप्त प्रयोगात्मक डेटा की एकरूपता को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। भौतिक संस्कृति और खेल के अभ्यास में, भिन्नता के गुणांक के मूल्य के आधार पर माप परिणामों का प्रसार छोटा माना जाता है (वी)<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).

भिन्नता के गुणांक के उपयोग पर प्रतिबंध इसकी सापेक्ष प्रकृति से जुड़े हैं - परिभाषा में अंकगणितीय माध्य का सामान्यीकरण शामिल है। इस संबंध में, अंकगणित माध्य के छोटे निरपेक्ष मूल्यों पर, भिन्नता का गुणांक अपनी सूचना सामग्री खो सकता है। अंकगणितीय माध्य शून्य के जितना करीब होता है, यह संकेतक उतना ही कम जानकारीपूर्ण हो जाता है। सीमित मामले में, अंकगणितीय माध्य शून्य हो जाता है (उदाहरण के लिए, तापमान) और भिन्नता का गुणांक विशेषता के प्रसार की परवाह किए बिना अनंत तक चला जाता है। त्रुटि के मामले के अनुरूप, निम्नलिखित नियम तैयार किया जा सकता है। यदि नमूने में अंकगणितीय माध्य का मान एक से अधिक है, तो भिन्नता के गुणांक का उपयोग कानूनी है; अन्यथा, प्रयोगात्मक डेटा के प्रसार का वर्णन करने के लिए फैलाव और मानक विचलन का उपयोग किया जाना चाहिए।

इस भाग के निष्कर्ष में, हम मूल्यांकन विशेषताओं के मूल्यों में भिन्नता के आकलन पर विचार करेंगे। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्रयोगात्मक डेटा से गणना की गई वितरण विशेषताओं के मूल्य सामान्य आबादी के लिए उनके वास्तविक मूल्यों से मेल नहीं खाते हैं। उत्तरार्द्ध को सटीक रूप से स्थापित करना संभव नहीं है, क्योंकि, एक नियम के रूप में, पूरी आबादी का सर्वेक्षण करना असंभव है। यदि हम वितरण मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एक ही जनसंख्या के विभिन्न नमूनों के परिणामों का उपयोग करते हैं, तो यह पता चलता है कि विभिन्न नमूनों के ये अनुमान एक दूसरे से भिन्न हैं। अनुमानित मूल्य उनके वास्तविक मूल्यों के आसपास उतार-चढ़ाव करते हैं।

इन मापदंडों के वास्तविक मूल्यों से सामान्य मापदंडों के अनुमानों के विचलन को सांख्यिकीय त्रुटियां कहा जाता है। उनकी घटना का कारण सीमित नमूना आकार है - सामान्य जनसंख्या की सभी वस्तुएं इसमें शामिल नहीं हैं। सांख्यिकीय त्रुटियों की भयावहता का अनुमान लगाने के लिए नमूना विशेषताओं के मानक विचलन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के तौर पर, स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - अंकगणितीय माध्य पर विचार करें। यह दिखाया जा सकता है कि अंकगणितीय माध्य का मानक विचलन संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ σ - जनसंख्या के लिए मानक विचलन.

चूँकि मानक विचलन का सही मान ज्ञात नहीं है, इसलिए एक मात्रा कहलाती है अंकगणित माध्य की मानक त्रुटिऔर बराबर:

मान उस त्रुटि को दर्शाता है, जो सामान्य औसत को उसके नमूना अनुमान के साथ प्रतिस्थापित करते समय औसतन अनुमति दी जाती है। सूत्र के अनुसार, अध्ययन के दौरान नमूना आकार बढ़ाने से नमूना आकार के वर्गमूल के अनुपात में मानक त्रुटि में कमी आती है।

विचाराधीन उदाहरण के लिए, अंकगणित माध्य की मानक त्रुटि के बराबर है। हमारे मामले में, यह मानक विचलन से 5.4 गुना कम निकला।

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प्रकीर्णन बैंड- प्रयोगात्मक डेटा की सांख्यिकीय विशेषता, औसत मूल्य से उनके विचलन को दर्शाती है... धातुकर्म शब्दकोश

यादृच्छिक चर मानों के प्रकीर्णन की विशेषताएँ। एम. टी. एच वर्ग विचलन से संबंधित है (वर्ग विचलन देखें) σ सूत्र द्वारा बिखरने को मापने की इस विधि को इस तथ्य से समझाया गया है कि सामान्य के मामले में ... ... महान सोवियत विश्वकोश

भिन्नता आँकड़े- विविधता सांख्यिकी, एक शब्द जो मुख्य रूप से प्राकृतिक विज्ञान में उपयोग की जाने वाली सांख्यिकीय विश्लेषण तकनीकों के एक समूह को एकजुट करता है। 19वीं सदी के उत्तरार्ध में. क्वेटलेट, "एंथ्रो पोमेट्री ओउ मेसुरे डेस डिफरेंसेस फैकल्टेस डे 1... ... महान चिकित्सा विश्वकोश

अपेक्षित मूल्य- (जनसंख्या माध्य) गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, परिभाषा, असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, नमूना, सशर्त अपेक्षा, गणना, ... है। निवेशक विश्वकोश

	सांख्यिकीय विश्लेषण करने के कारणों में से एक अध्ययन के तहत संकेतक पर यादृच्छिक कारकों (गड़बड़ी) के प्रभाव को ध्यान में रखने की आवश्यकता है, जिससे डेटा का बिखराव (बिखराव) होता है। जिन समस्याओं में बिखरा हुआ डेटा होता है उन्हें हल करना जोखिम से जुड़ा होता है, क्योंकि यदि आप सभी उपलब्ध जानकारी का उपयोग करते हैं, तो भी आप ऐसा नहीं कर सकते बिल्कुलभविष्यवाणी करें कि भविष्य में क्या होगा. ऐसी स्थितियों से पर्याप्त रूप से निपटने के लिए, जोखिम की प्रकृति को समझने और डेटा सेट के फैलाव की डिग्री निर्धारित करने में सक्षम होने की सलाह दी जाती है। तीन संख्यात्मक विशेषताएं हैं जो फैलाव के माप का वर्णन करती हैं: मानक विचलन, सीमा और भिन्नता का गुणांक (परिवर्तनशीलता)। केंद्र को चिह्नित करने वाले विशिष्ट संकेतकों (माध्य, माध्य, मोड) के विपरीत, बिखरने की विशेषताएं दिखाई देती हैं कितना करीबडेटा सेट के व्यक्तिगत मान इस केंद्र की ओर स्थित होते हैं
मानक विचलन की परिभाषा	मानक विचलन(मानक विचलन) माध्य से डेटा मानों के यादृच्छिक विचलन का एक माप है। वास्तविक जीवन में, अधिकांश डेटा को बिखरने की विशेषता होती है, अर्थात। व्यक्तिगत मान औसत से कुछ दूरी पर स्थित होते हैं।
	मानक विचलन को केवल डेटा विचलन के औसत द्वारा प्रकीर्णन की एक सामान्य विशेषता के रूप में उपयोग करना असंभव है, क्योंकि विचलन का एक भाग सकारात्मक होगा, और दूसरा भाग नकारात्मक होगा, और, परिणामस्वरूप, औसत का परिणाम बराबर हो सकता है शून्य। नकारात्मक चिह्न से छुटकारा पाने के लिए, मानक तकनीक का उपयोग करें: पहले गणना करें फैलाववर्ग विचलनों के योग को (से विभाजित करने पर) एन-1), और फिर परिणामी मान से वर्गमूल लिया जाता है। मानक विचलन की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है: नोट 1: मानक विचलन की तुलना में भिन्नता कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं देती है, लेकिन इसकी व्याख्या करना अधिक कठिन है क्योंकि इसे "इकाइयों के वर्ग" में व्यक्त किया जाता है, जबकि मानक विचलन व्यक्त किया जाता है। हमारी परिचित इकाइयों में (उदाहरण के लिए, डॉलर)। नोट 2: उपरोक्त सूत्र एक नमूने के मानक विचलन की गणना के लिए है और इसे अधिक सटीक रूप से कहा जाता है नमूना मानक विचलन. मानक विचलन की गणना करते समय जनसंख्या(प्रतीक s द्वारा दर्शाया गया) से विभाजित करें एन. नमूना मानक विचलन का मान थोड़ा बड़ा है (क्योंकि इसे विभाजित किया गया है एन-1), जो नमूने की यादृच्छिकता के लिए सुधार प्रदान करता है। जब डेटा सेट सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो मानक विचलन एक विशेष अर्थ लेता है। नीचे दिए गए चित्र में माध्य के दोनों ओर क्रमशः एक, दो और तीन मानक विचलन की दूरी पर निशान बनाए गए हैं। आंकड़े से पता चलता है कि सभी मूल्यों का लगभग 66.7% (दो तिहाई) माध्य के दोनों ओर एक मानक विचलन के भीतर आते हैं, 95% मान माध्य के दो मानक विचलन के भीतर आते हैं, और लगभग सभी डेटा (99.7%) माध्य से तीन मानक विचलन के भीतर होगा। 66,7% सामान्य रूप से वितरित डेटा के लिए मानक विचलन की इस संपत्ति को "दो-तिहाई नियम" कहा जाता है। कुछ स्थितियों में, जैसे कि उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण विश्लेषण, सीमाएँ अक्सर इस तरह निर्धारित की जाती हैं कि वे अवलोकन (0.3%) जो माध्य से तीन से अधिक मानक विचलन हैं, एक योग्य समस्या मानी जाती हैं। दुर्भाग्य से, यदि डेटा सामान्य वितरण का पालन नहीं करता है, तो ऊपर वर्णित नियम लागू नहीं किया जा सकता है। वर्तमान में चेबीशेव नियम नामक एक बाधा है जिसे असममित (तिरछे) वितरणों पर लागू किया जा सकता है।
एसवी का प्रारंभिक डेटा सेट उत्पन्न करें	तालिका 1 31 जुलाई से 9 अक्टूबर 1987 की अवधि के लिए कार्य दिवसों पर दर्ज स्टॉक एक्सचेंज पर दैनिक लाभ में परिवर्तन की गतिशीलता को दर्शाती है। तालिका 1. स्टॉक एक्सचेंज पर दैनिक लाभ में परिवर्तन की गतिशीलता तारीख दैनिक लाभ तारीख दैनिक लाभ तारीख दैनिक लाभ -0,006 0,009 0,012 -0,004 -0,015 -0,004 0,008 -0,006 0,002 0,011 0,002 -0,008 -0,001 0,011 -0,010 0,017 0,013 -0,013 0,017 0,002 0,009 -0,004 -0,018 -0,020 0,008 -0,014 -0,003 -0,002 -0,001 -0,001 0,006 -0,001 0,017 -0,017 -0,013 0,001 0,004 0,030 -0,000 0,015 0,007 -0,035 0,001 -0,007 0,001 -0,005 0,001 -0,014
एक्सेल लॉन्च करें
फ़ाइल बनाएँ	मानक टूलबार पर सहेजें बटन पर क्लिक करें। दिखाई देने वाले संवाद बॉक्स में सांख्यिकी फ़ोल्डर खोलें और फ़ाइल को स्कैटरिंग कैरेक्टरिस्टिक्स.xls नाम दें।
लेबल सेट करें	6. शीट1 पर, सेल ए1 में, दैनिक लाभ लेबल सेट करें, 7. और रेंज ए2:ए49 में, तालिका 1 से डेटा दर्ज करें।
औसत मान फ़ंक्शन सेट करें	8. सेल D1 में, औसत लेबल दर्ज करें। सेल डी2 में, औसत सांख्यिकीय फ़ंक्शन का उपयोग करके औसत की गणना करें।
STANDARDEV फ़ंक्शन सेट करें	सेल D4 में, मानक विचलन लेबल दर्ज करें। सेल D5 में, सांख्यिकीय फ़ंक्शन STDEV का उपयोग करके मानक विचलन की गणना करें
परिणाम के बिट आकार को दशमलव के चौथे स्थान तक कम करें।
परिणामों की व्याख्या	गिरावटऔसत दैनिक लाभ 0.04% था (औसत दैनिक लाभ -0.0004 था)। इसका मतलब यह है कि विचाराधीन अवधि के लिए औसत दैनिक लाभ लगभग शून्य था, यानी। बाज़ार ने औसत दर बनाए रखी. मानक विचलन 0.0118 निकला। इसका मतलब यह है कि शेयर बाज़ार में निवेश किए गए एक डॉलर ($1) में प्रति दिन औसतन $0.0118 का बदलाव आया, यानी। उसके निवेश के परिणामस्वरूप $0.0118 का लाभ या हानि हो सकती है।
आइए जांचें कि तालिका 1 में दिए गए दैनिक लाभ मूल्य सामान्य वितरण के नियमों के अनुरूप हैं या नहीं	1. माध्य के दोनों ओर एक मानक विचलन के अनुरूप अंतराल की गणना करें। 2. सेल D7, D8 और F8 में, क्रमशः लेबल सेट करें: एक मानक विचलन, निचली सीमा, ऊपरी सीमा। 3. सेल D9 में, सूत्र = -0.0004 - 0.0118 दर्ज करें, और सेल F9 में, सूत्र = -0.0004 + 0.0118 दर्ज करें। 4. दशमलव के चौथे स्थान तक सटीक परिणाम प्राप्त करें।

5. एक मानक विचलन के भीतर आने वाले दैनिक लाभ मूल्यों की संख्या निर्धारित करें। सबसे पहले, दैनिक लाभ मूल्यों को [-0.0121, 0.0114] की सीमा में छोड़कर, डेटा को फ़िल्टर करें। ऐसा करने के लिए, कॉलम ए में दैनिक लाभ मूल्यों के साथ किसी भी सेल का चयन करें और कमांड चलाएँ:

डेटा®फ़िल्टर®ऑटोफ़िल्टर

हेडर में तीर पर क्लिक करके मेनू खोलें दैनिक लाभ, और (स्थिति...) चुनें। कस्टम ऑटोफ़िल्टर संवाद बॉक्स में, नीचे दिखाए अनुसार विकल्प सेट करें। ओके पर क्लिक करें।

फ़िल्टर किए गए डेटा की संख्या की गणना करने के लिए, दैनिक लाभ मूल्यों की सीमा का चयन करें, स्टेटस बार में खाली जगह पर राइट-क्लिक करें और संदर्भ मेनू से मूल्यों की संख्या का चयन करें। परिणाम पढ़ें. अब कमांड चलाकर सभी मूल डेटा प्रदर्शित करें: Data®Filter®Display All और कमांड का उपयोग करके ऑटोफिल्टर बंद करें: Data®Filter®AutoFilter।

6. दैनिक लाभ मूल्यों के प्रतिशत की गणना करें जो माध्य से एक मानक विचलन दूर हैं। ऐसा करने के लिए, लेबल को सेल H8 में रखें प्रतिशत, और सेल H9 प्रोग्राम में प्रतिशत की गणना करने और दशमलव स्थान तक सटीक परिणाम प्राप्त करने का सूत्र।

7. माध्य से दो मानक विचलन के भीतर दैनिक लाभ मूल्यों की सीमा की गणना करें। सेल D11, D12 और F12 में, तदनुसार लेबल सेट करें: दो मानक विचलन, जमीनी स्तर, ऊपरी सीमा. सेल D13 और F13 में गणना सूत्र दर्ज करें और चौथे दशमलव स्थान तक सटीक परिणाम प्राप्त करें।

8. पहले डेटा को फ़िल्टर करके दो मानक विचलन के भीतर दैनिक लाभ मूल्यों की संख्या निर्धारित करें।

9. दैनिक लाभ मूल्यों के प्रतिशत की गणना करें जो माध्य से दो मानक विचलन दूर हैं। ऐसा करने के लिए, लेबल को सेल H12 में रखें प्रतिशत, और सेल H13 में प्रतिशत गणना सूत्र प्रोग्राम करें और परिणाम एक दशमलव स्थान तक सटीक प्राप्त करें।

10. माध्य से तीन मानक विचलन के भीतर दैनिक लाभ मूल्यों की सीमा की गणना करें। सेल D15, D16 और F16 में, तदनुसार लेबल सेट करें: तीन मानक विचलन, जमीनी स्तर, ऊपरी सीमा. सेल D17 और F17 में गणना सूत्र दर्ज करें और चौथे दशमलव स्थान तक सटीक परिणाम प्राप्त करें।

11. पहले डेटा को फ़िल्टर करके तीन मानक विचलन के भीतर दैनिक लाभ मूल्यों की संख्या निर्धारित करें। दैनिक लाभ मूल्यों के प्रतिशत की गणना करें। ऐसा करने के लिए, लेबल को सेल H16 में रखें प्रतिशत, और सेल H17 प्रोग्राम में प्रतिशत की गणना करने का सूत्र और परिणाम एक दशमलव स्थान तक सटीक प्राप्त करें।

13. स्टॉक एक्सचेंज पर दैनिक स्टॉक रिटर्न का एक हिस्टोग्राम बनाएं और इसे क्षेत्र J1:S20 में आवृत्ति वितरण तालिका के साथ रखें। हिस्टोग्राम पर माध्य से क्रमशः एक, दो और तीन मानक विचलनों के अनुरूप अनुमानित माध्य और अंतराल दिखाएँ।

बिखरने की विशेषताएँ

नमूना फैलाव के उपाय.

नमूने का न्यूनतम और अधिकतम क्रमशः अध्ययन किए जा रहे चर का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान है। अधिकतम और न्यूनतम के बीच के अंतर को कहा जाता है दायरानमूने. सभी नमूना डेटा न्यूनतम और अधिकतम के बीच स्थित हैं। ये संकेतक नमूने की सीमाओं को रेखांकित करते प्रतीत होते हैं।

आर№1= 15.6-10=5.6

आर №2 =0.85-0.6=0.25

नमूना विचरण(अंग्रेज़ी) झगड़ा) और मानक विचलननमूने (अंग्रेजी) मानक विचलन) एक चर की परिवर्तनशीलता का माप है और केंद्र के चारों ओर डेटा के बिखरने की डिग्री को दर्शाता है। इस मामले में, मानक विचलन इस तथ्य के कारण अधिक सुविधाजनक संकेतक है कि इसका आयाम अध्ययन किए जा रहे वास्तविक डेटा के समान है। इसलिए, डेटा विश्लेषण के परिणामों का संक्षेप में वर्णन करने के लिए नमूने के अंकगणितीय माध्य के साथ मानक विचलन संकेतक का उपयोग किया जाता है।

सूत्र का उपयोग करके नमूना विचरण की गणना करना अधिक समीचीन है:

मानक विचलन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भिन्नता का गुणांक किसी गुण के फैलाव का एक सापेक्ष माप है।

भिन्नता के गुणांक का उपयोग नमूना अवलोकनों की एकरूपता के संकेतक के रूप में भी किया जाता है। ऐसा माना जाता है कि यदि भिन्नता का गुणांक 10% से अधिक नहीं है, तो नमूने को सजातीय माना जा सकता है, अर्थात, एक सामान्य जनसंख्या से प्राप्त किया गया।

चूँकि भिन्नता का गुणांक दोनों नमूनों में है, वे सजातीय हैं।

नमूना को वितरण फ़ंक्शन के रूप में, साथ ही दो पंक्तियों वाली आवृत्ति तालिका के रूप में विश्लेषणात्मक रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है। शीर्ष पंक्ति में चयन तत्व (विकल्प) हैं, जो आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं; विकल्प की आवृत्तियाँ नीचे की पंक्ति में लिखी गई हैं।

वैरिएंट आवृत्ति नमूने में दिए गए वैरिएंट की पुनरावृत्ति की संख्या के बराबर एक संख्या है।

नमूना नंबर 1 "माँ"

वितरण वक्र का प्रकार

विषमताया विषमता का गुणांक (पहली बार पियर्सन द्वारा गढ़ा गया शब्द, 1895) एक वितरण की विषमता का माप है। यदि तिरछापन 0 से स्पष्ट रूप से भिन्न है, तो वितरण असममित है, सामान्य वितरण का घनत्व माध्य के बारे में सममित है।

अनुक्रमणिका विषमता(अंग्रेज़ी) तिरछापन) का उपयोग केंद्र के चारों ओर डेटा वितरण की समरूपता की डिग्री को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। विषमता नकारात्मक और सकारात्मक दोनों मान ले सकती है। इस पैरामीटर के लिए एक सकारात्मक मान इंगित करता है कि डेटा केंद्र के बाईं ओर स्थानांतरित हो गया है, और एक नकारात्मक मान इंगित करता है कि डेटा दाईं ओर स्थानांतरित हो गया है। इस प्रकार, तिरछापन सूचकांक का चिह्न डेटा पूर्वाग्रह की दिशा को इंगित करता है, जबकि परिमाण इस पूर्वाग्रह की डिग्री को इंगित करता है। शून्य के बराबर तिरछापन इंगित करता है कि डेटा केंद्र के चारों ओर सममित रूप से केंद्रित है।

क्योंकि विषमता सकारात्मक है, इसलिए, वक्र का शीर्ष केंद्र के बाईं ओर चलता है।

कर्टोसिस गुणांक(अंग्रेज़ी) कुकुदता) इस बात की विशेषता है कि डेटा का बड़ा हिस्सा केंद्र के चारों ओर कितनी बारीकी से समूहीकृत है।

सकारात्मक कर्टोसिस के साथ, वक्र तेज हो जाता है, नकारात्मक कर्टोसिस के साथ, यह चिकना हो जाता है।

वक्र चपटा है;

वक्र तेज़ हो जाता है.