यह कैसे निर्धारित करें कि सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं या स्वतंत्र। सदिशों की रैखिक निर्भरता

सदिशों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता।
सदिशों का आधार. एफ़िन समन्वय प्रणाली

सभागार में चॉकलेटों से भरी एक गाड़ी है, और आज प्रत्येक आगंतुक को एक प्यारी जोड़ी मिलेगी - रैखिक बीजगणित के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति। यह आलेख एक साथ उच्च गणित के दो खंडों को स्पर्श करेगा, और हम देखेंगे कि वे एक आवरण में कैसे सह-अस्तित्व में हैं। एक ब्रेक लें, एक ट्विक्स खाएं! ...धिक्कार है, कितनी बकवास है। हालाँकि, ठीक है, मैं स्कोर नहीं करूँगा, अंत में, आपको पढ़ाई के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण रखना चाहिए।

सदिशों की रैखिक निर्भरता, रैखिक वेक्टर स्वतंत्रता, वैक्टर का आधारऔर अन्य शब्दों की न केवल ज्यामितीय व्याख्या होती है, बल्कि सबसे बढ़कर, बीजगणितीय अर्थ होता है। रैखिक बीजगणित के दृष्टिकोण से "वेक्टर" की अवधारणा हमेशा "सामान्य" वेक्टर नहीं होती है जिसे हम किसी समतल या अंतरिक्ष में चित्रित कर सकते हैं। आपको प्रमाण के लिए दूर तक देखने की ज़रूरत नहीं है, पाँच-आयामी अंतरिक्ष का एक वेक्टर बनाने का प्रयास करें . या मौसम वेक्टर, जिसके लिए मैं अभी-अभी Gismeteo गया था: क्रमशः तापमान और वायुमंडलीय दबाव। उदाहरण, निश्चित रूप से, वेक्टर स्पेस के गुणों के दृष्टिकोण से गलत है, लेकिन, फिर भी, कोई भी इन मापदंडों को वेक्टर के रूप में औपचारिक रूप देने से मना नहीं करता है। शरद ऋतु की साँसें...

नहीं, मैं आपको सिद्धांत, रैखिक सदिश समष्टि से बोर नहीं करने जा रहा हूँ, कार्य यह है समझनापरिभाषाएँ और प्रमेय. नए शब्द (रैखिक निर्भरता, स्वतंत्रता, रैखिक संयोजन, आधार, आदि) बीजगणितीय दृष्टिकोण से सभी वैक्टरों पर लागू होते हैं, लेकिन ज्यामितीय उदाहरण दिए जाएंगे। इस प्रकार, सब कुछ सरल, सुलभ और स्पष्ट है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के अलावा, हम कुछ विशिष्ट बीजगणित समस्याओं पर भी विचार करेंगे। सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, अपने आप को पाठों से परिचित कराने की सलाह दी जाती है डमी के लिए वेक्टरऔर निर्धारक की गणना कैसे करें?

समतल सदिशों की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।
समतल आधार और एफ़िन समन्वय प्रणाली

आइए आपके कंप्यूटर डेस्क के तल पर विचार करें (सिर्फ एक मेज, बेडसाइड टेबल, फर्श, छत, जो भी आपको पसंद हो)। कार्य में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल होंगी:

1) समतल आधार का चयन करें. मोटे तौर पर कहें तो, एक टेबलटॉप की लंबाई और चौड़ाई होती है, इसलिए यह सहज है कि आधार बनाने के लिए दो वैक्टर की आवश्यकता होगी। एक वेक्टर स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं है, तीन वेक्टर बहुत अधिक हैं।

2) चयनित आधार पर समन्वय प्रणाली सेट करें(समन्वय ग्रिड) मेज पर सभी वस्तुओं को निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए।

चौंकिए मत, पहले स्पष्टीकरण उंगलियों पर होंगे। इसके अलावा, आप पर. कृपया स्थान दें बायीं तर्जनीटेबलटॉप के किनारे पर ताकि वह मॉनिटर को देख सके। यह एक वेक्टर होगा. अब जगह दाहिनी छोटी उंगलीउसी तरह टेबल के किनारे पर - ताकि यह मॉनिटर स्क्रीन पर निर्देशित हो। यह एक वेक्टर होगा. मुस्कुराओ, तुम बहुत अच्छे लग रहे हो! हम सदिशों के बारे में क्या कह सकते हैं? डेटा वैक्टर समरेख, मतलब रेखीयएक दूसरे के माध्यम से व्यक्त:
, ठीक है, या इसके विपरीत: , कुछ संख्या शून्य से भिन्न कहां है।

आप कक्षा में इस क्रिया की तस्वीर देख सकते हैं। डमी के लिए वेक्टर, जहां मैंने एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करने का नियम समझाया।

क्या आपकी उंगलियाँ कंप्यूटर डेस्क के तल पर आधार स्थापित करेंगी? स्पष्टः नहीं। संरेख सदिश आगे और पीछे यात्रा करते हैं अकेलादिशा, और एक विमान की लंबाई और चौड़ाई होती है।

ऐसे वेक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर.

संदर्भ: शब्द "रैखिक", "रैखिक" इस तथ्य को दर्शाते हैं कि गणितीय समीकरणों और अभिव्यक्तियों में कोई वर्ग, घन, अन्य घात, लघुगणक, ज्या आदि नहीं होते हैं। केवल रैखिक (प्रथम डिग्री) अभिव्यक्तियाँ और निर्भरताएँ हैं।

दो समतल सदिश रैखिक रूप से निर्भरयदि और केवल यदि वे संरेख हैं.

अपनी उंगलियों को मेज पर क्रॉस करें ताकि उनके बीच 0 या 180 डिग्री के अलावा कोई कोण हो। दो समतल सदिशरेखीय नहींआश्रित यदि और केवल यदि वे संरेख नहीं हैं. तो, आधार प्राप्त होता है. शर्मिंदा होने की कोई जरूरत नहीं है कि आधार अलग-अलग लंबाई के गैर-लंबवत वैक्टर के साथ "तिरछा" निकला। बहुत जल्द हम देखेंगे कि इसके निर्माण के लिए न केवल 90 डिग्री का कोण उपयुक्त है, और न केवल समान लंबाई के इकाई वैक्टर

कोईसमतल सदिश एक ही रास्ताआधार के अनुसार विस्तारित किया गया है:
, वास्तविक संख्याएँ कहाँ हैं। नंबरों को बुलाया जाता है वेक्टर निर्देशांकइस आधार पर.

ऐसा भी कहा जाता है वेक्टरके रूप में प्रस्तुत किया गया रैखिक संयोजनआधार वैक्टर. अर्थात् अभिव्यक्ति कहलाती है वेक्टर अपघटनआधार सेया रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि वेक्टर को समतल के लम्बवत् आधार पर विघटित किया जाता है, या हम कह सकते हैं कि इसे वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है।

आइए सूत्रबद्ध करें आधार की परिभाषाऔपचारिक रूप से: विमान का आधाररैखिकतः स्वतंत्र (असंरेखीय) सदिशों का युग्म कहलाता है, , जिसमें कोईएक समतल सदिश आधार सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

परिभाषा का एक आवश्यक बिंदु यह तथ्य है कि सदिशों को लिया जाता है एक निश्चित क्रम में. अड्डों - ये दो पूरी तरह से अलग आधार हैं! जैसा कि वे कहते हैं, आप अपने दाहिने हाथ की छोटी उंगली के स्थान पर अपने बाएं हाथ की छोटी उंगली को नहीं बदल सकते।

हमने आधार का पता लगा लिया है, लेकिन एक समन्वय ग्रिड सेट करना और आपके कंप्यूटर डेस्क पर प्रत्येक आइटम के लिए निर्देशांक निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यह पर्याप्त क्यों नहीं है? वेक्टर स्वतंत्र हैं और पूरे विमान में घूमते हैं। तो आप मेज़ पर एक जंगली सप्ताहांत के बाद बचे हुए उन छोटे गंदे स्थानों के लिए निर्देशांक कैसे निर्दिष्ट करते हैं? एक आरंभिक बिंदु की आवश्यकता है. और ऐसा मील का पत्थर हर किसी से परिचित एक बिंदु है - निर्देशांक की उत्पत्ति। आइए समन्वय प्रणाली को समझें:

मैं "स्कूल" प्रणाली से शुरुआत करूँगा। पहले से ही परिचयात्मक पाठ में डमी के लिए वेक्टरमैंने आयताकार समन्वय प्रणाली और लंबात्मक आधार के बीच कुछ अंतरों पर प्रकाश डाला। यहाँ मानक चित्र है:

जब वे बात करते हैं आयताकार समन्वय प्रणाली, तो अक्सर उनका मतलब मूल, समन्वय अक्ष और अक्षों के साथ पैमाने से होता है। एक खोज इंजन में "आयताकार समन्वय प्रणाली" टाइप करने का प्रयास करें, और आप देखेंगे कि कई स्रोत आपको 5वीं-6वीं कक्षा से परिचित समन्वय अक्षों के बारे में बताएंगे और एक विमान पर बिंदुओं को कैसे प्लॉट करें।

दूसरी ओर, ऐसा लगता है कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली को पूरी तरह से ऑर्थोनॉर्मल आधार के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। और यह लगभग सच है. शब्दांकन इस प्रकार है:

मूल, और ऑर्थोनॉर्मलआधार तय हो गया है कार्तीय आयताकार समतल समन्वय प्रणाली . अर्थात् आयताकार समन्वय प्रणाली निश्चित रूप सेएक एकल बिंदु और दो इकाई ऑर्थोगोनल वैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है। इसीलिए आप वह चित्र देखते हैं जो मैंने ऊपर दिया है - ज्यामितीय समस्याओं में, सदिश और निर्देशांक अक्ष दोनों अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) खींचे जाते हैं।

मुझे लगता है कि हर कोई इसे एक बिंदु (उत्पत्ति) और एक लंबात्मक आधार का उपयोग करके समझता है समतल पर कोई भी बिंदु और समतल पर कोई भी वेक्टरनिर्देशांक निर्दिष्ट किये जा सकते हैं। लाक्षणिक रूप से कहें तो, "हवाई जहाज़ पर हर चीज़ को क्रमांकित किया जा सकता है।"

क्या निर्देशांक सदिशों का इकाई होना आवश्यक है? नहीं, उनकी मनमानी गैर-शून्य लंबाई हो सकती है। एक बिंदु और मनमानी गैर-शून्य लंबाई के दो ऑर्थोगोनल वैक्टर पर विचार करें:

ऐसा आधार कहा जाता है ओर्थोगोनल. सदिशों के साथ निर्देशांक की उत्पत्ति एक समन्वय ग्रिड द्वारा परिभाषित की जाती है, और समतल पर किसी भी बिंदु पर, किसी भी सदिश के निर्देशांक एक दिए गए आधार पर होते हैं। उदाहरण के लिए, या. स्पष्ट असुविधा यह है कि निर्देशांक सदिश सामान्य रूप मेंएकता के अलावा अलग-अलग लंबाई होती है। यदि लंबाई एकता के बराबर है, तो सामान्य ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है।

! टिप्पणी : ऑर्थोगोनल आधार में, साथ ही नीचे समतल और स्थान के एफ़िन आधारों में, अक्षों के अनुदिश इकाइयों पर विचार किया जाता है सशर्त. उदाहरण के लिए, एक्स-अक्ष के साथ एक इकाई में 4 सेमी होता है, और कोटि अक्ष के साथ एक इकाई में 2 सेमी होता है। यदि आवश्यक हो, तो यह जानकारी "गैर-मानक" निर्देशांक को "हमारे सामान्य सेंटीमीटर" में बदलने के लिए पर्याप्त है।

और दूसरा प्रश्न, जिसका उत्तर वास्तव में पहले ही दिया जा चुका है, वह यह है कि क्या आधार सदिशों के बीच का कोण 90 डिग्री के बराबर होना चाहिए? नहीं! जैसा कि परिभाषा में कहा गया है, आधार वैक्टर होना चाहिए केवल असंरेखीय. तदनुसार, कोण 0 और 180 डिग्री को छोड़कर कुछ भी हो सकता है।

विमान पर एक बिंदु कहा जाता है मूल, और गैर समरेखवेक्टर, , तय करना एफ़िन विमान समन्वय प्रणाली :

कभी-कभी ऐसी समन्वय प्रणाली को कहा जाता है परोक्षप्रणाली। उदाहरण के तौर पर, चित्र बिंदु और वैक्टर दिखाता है:

जैसा कि आप समझते हैं, एफ़िन समन्वय प्रणाली और भी कम सुविधाजनक है; वैक्टर और खंडों की लंबाई के सूत्र, जिनकी हमने पाठ के दूसरे भाग में चर्चा की थी, इसमें काम नहीं करते हैं डमी के लिए वेक्टर, से संबंधित कई स्वादिष्ट सूत्र सदिशों का अदिश गुणनफल. लेकिन सदिशों को जोड़ने और एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने के नियम, इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्र, साथ ही कुछ अन्य प्रकार की समस्याएं जिन पर हम जल्द ही विचार करेंगे, मान्य हैं।

और निष्कर्ष यह है कि एफ़िन समन्वय प्रणाली का सबसे सुविधाजनक विशेष मामला कार्टेशियन आयताकार प्रणाली है। इसीलिए तुम्हें अक्सर उसे देखना पड़ता है, मेरे प्रिय। ...हालाँकि, इस जीवन में सब कुछ सापेक्ष है - ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनमें एक तिरछा कोण (या कोई अन्य, उदाहरण के लिए, ध्रुवीय) निर्देशांक तरीका। और ह्यूमनॉइड्स को ऐसी प्रणालियाँ पसंद आ सकती हैं =)

चलिए व्यावहारिक भाग पर चलते हैं। इस पाठ की सभी समस्याएं आयताकार समन्वय प्रणाली और सामान्य एफ़िन मामले दोनों के लिए मान्य हैं। यहां कुछ भी जटिल नहीं है, सभी सामग्री एक स्कूली बच्चे के लिए भी उपलब्ध है।

समतल सदिशों की संरेखता कैसे निर्धारित करें?

विशिष्ट बात. दो समतल सदिशों के क्रम में संरेख थे, इसलिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक होंमूलतः, यह स्पष्ट संबंध का समन्वय-दर-समन्वय विवरण है।

उदाहरण 1

ए) जांचें कि क्या वेक्टर संरेख हैं .
ख) क्या सदिश आधार बनाते हैं? ?

समाधान:
ए) आइए जानें कि क्या वेक्टर के लिए कोई है आनुपातिकता गुणांक, जैसे कि समानताएं संतुष्ट हों:

मैं निश्चित रूप से आपको इस नियम को लागू करने के "फ़ॉपिश" संस्करण के बारे में बताऊंगा, जो व्यवहार में काफी अच्छा काम करता है। विचार यह है कि तुरंत अनुपात बनाया जाए और देखा जाए कि क्या यह सही है:

आइए सदिशों के संगत निर्देशांकों के अनुपातों से एक अनुपात बनाएं:

आइए छोटा करें:
, इस प्रकार संबंधित निर्देशांक आनुपातिक हैं, इसलिए,

रिश्ता दूसरे तरीके से भी बनाया जा सकता है; यह एक समतुल्य विकल्प है:

आत्म-परीक्षण के लिए, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि संरेख सदिश एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त होते हैं। इस मामले में, समानताएं होती हैं . उनकी वैधता को वैक्टर के साथ प्राथमिक संचालन के माध्यम से आसानी से सत्यापित किया जा सकता है:

बी) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेख (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। हम संरेखता के लिए सदिशों की जांच करते हैं . आइए एक सिस्टम बनाएं:

पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, दूसरे समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, जिसका अर्थ है प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं). इस प्रकार, सदिशों के संगत निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं और एक आधार बनाते हैं।

समाधान का एक सरलीकृत संस्करण इस तरह दिखता है:

आइए सदिशों के संगत निर्देशांकों से एक अनुपात बनाएं :
, जिसका अर्थ है कि ये वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और एक आधार बनाते हैं।

आमतौर पर इस विकल्प को समीक्षकों द्वारा अस्वीकार नहीं किया जाता है, लेकिन उन मामलों में समस्या उत्पन्न होती है जहां कुछ निर्देशांक शून्य के बराबर होते हैं। इस कदर: . या इस तरह: . या इस तरह: . यहां अनुपात के माध्यम से कैसे काम करें? (वास्तव में, आप शून्य से भाग नहीं दे सकते)। यही कारण है कि मैंने सरलीकृत समाधान को "फ़ॉपिश" कहा।

उत्तर:ए) , बी) फॉर्म।

आपके स्वयं के समाधान के लिए एक छोटा सा रचनात्मक उदाहरण:

उदाहरण 2

पैरामीटर के किस मान पर वेक्टर हैं क्या वे संरेख होंगे?

नमूना समाधान में, पैरामीटर अनुपात के माध्यम से पाया जाता है।

संरेखता के लिए सदिशों की जांच करने का एक शानदार बीजगणितीय तरीका है। आइए अपने ज्ञान को व्यवस्थित करें और इसे पांचवें बिंदु के रूप में जोड़ें:

दो समतल सदिशों के लिए निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:

2) सदिश एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश संरेख नहीं हैं;

+5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक अशून्य है.

क्रमश, निम्नलिखित विपरीत कथन समतुल्य हैं:
1) सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं;
2) सदिश कोई आधार नहीं बनाते;
3) सदिश संरेख हैं;
4) सदिशों को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है;
+5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक शून्य के बराबर है.

मैं वास्तव में, वास्तव में आशा करता हूं कि अब तक आप अपने सामने आए सभी नियमों और कथनों को समझ चुके होंगे।

आइए नए, पांचवें बिंदु पर करीब से नज़र डालें: दो समतल सदिश संरेख हैं यदि और केवल यदि दिए गए वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक शून्य के बराबर है:. इस सुविधा को लागू करने के लिए, निश्चित रूप से, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है निर्धारक खोजें.

आइये निर्णय करेंदूसरे तरीके से उदाहरण 1:

ए) आइए हम सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें :
, जिसका अर्थ है कि ये सदिश संरेख हैं।

बी) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेख (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। आइए वेक्टर निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें :
, जिसका अर्थ है कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और एक आधार बनाते हैं।

उत्तर:ए) , बी) फॉर्म।

यह अनुपात वाले समाधान की तुलना में कहीं अधिक कॉम्पैक्ट और सुंदर दिखता है।

विचाराधीन सामग्री की सहायता से न केवल सदिशों की संरेखता स्थापित करना संभव है, बल्कि खंडों और सीधी रेखाओं की समानता को भी सिद्ध करना संभव है। आइए विशिष्ट ज्यामितीय आकृतियों से जुड़ी कुछ समस्याओं पर विचार करें।

उदाहरण 3

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिये गये हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

सबूत: समस्या में कोई चित्र बनाने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि समाधान पूर्णतः विश्लेषणात्मक होगा। आइए समांतर चतुर्भुज की परिभाषा याद रखें:
चतुर्भुज वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समान्तर हों, कहलाता है।

इस प्रकार, यह साबित करना आवश्यक है:
1) विपरीत भुजाओं की समानता और;
2) विपरीत भुजाओं की समानता और।

हम साबित करते हैं:

1) सदिश खोजें:

2) सदिश खोजें:

परिणाम वही वेक्टर है ("स्कूल के अनुसार" - समान वेक्टर)। संरेखता काफी स्पष्ट है, लेकिन व्यवस्था के साथ निर्णय को स्पष्ट रूप से औपचारिक बनाना बेहतर है। आइए वेक्टर निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
, जिसका अर्थ है कि ये सदिश संरेख हैं, और।

निष्कर्ष: किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समानांतर होती हैं, जिसका अर्थ है कि परिभाषा के अनुसार यह एक समांतर चतुर्भुज है। क्यू.ई.डी.

अधिक अच्छे और अलग आंकड़े:

उदाहरण 4

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिये गये हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज है।

प्रमाण के अधिक कठोर सूत्रीकरण के लिए, निश्चित रूप से, एक ट्रेपेज़ॉइड की परिभाषा प्राप्त करना बेहतर है, लेकिन यह याद रखना पर्याप्त है कि यह कैसा दिखता है।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का कार्य है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान।

और अब धीरे-धीरे विमान से अंतरिक्ष में जाने का समय आ गया है:

अंतरिक्ष सदिशों की संरेखता कैसे निर्धारित करें?

नियम बहुत समान है. दो अंतरिक्ष सदिशों के संरेख होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक हों.

उदाहरण 5

पता लगाएँ कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:

ए) ;
बी)
वी)

समाधान:
ए) आइए जांचें कि क्या वैक्टर के संबंधित निर्देशांक के लिए आनुपातिकता का गुणांक है:

सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि वेक्टर संरेख नहीं हैं।

अनुपात की जाँच करके "सरलीकृत" को औपचारिक रूप दिया जाता है। इस मामले में:
- संगत निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख नहीं हैं।

उत्तर:सदिश संरेख नहीं हैं.

ख-ग) ये स्वतंत्र निर्णय के बिंदु हैं। इसे दो तरीकों से आज़माएं.

तीसरे क्रम के निर्धारक के माध्यम से संरेखता के लिए स्थानिक वैक्टर की जांच करने की एक विधि है; यह विधि लेख में शामिल है सदिशों का सदिश गुणनफल.

समतल मामले के समान, विचारित उपकरणों का उपयोग स्थानिक खंडों और सीधी रेखाओं की समानता का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

दूसरे खंड में आपका स्वागत है:

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।
स्थानिक आधार और एफ़िन समन्वय प्रणाली

हमने विमान पर जिन पैटर्नों की जांच की उनमें से कई पैटर्न अंतरिक्ष के लिए मान्य होंगे। मैंने सिद्धांत नोट्स को छोटा करने की कोशिश की, क्योंकि जानकारी का बड़ा हिस्सा पहले ही चबाया जा चुका है। हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप परिचयात्मक भाग को ध्यान से पढ़ें, क्योंकि नए नियम और अवधारणाएँ सामने आएंगी।

अब, कंप्यूटर डेस्क के समतल के बजाय, हम त्रि-आयामी स्थान का पता लगाते हैं। सबसे पहले, आइए इसका आधार बनाएं। कोई अभी घर के अंदर है, कोई बाहर है, लेकिन किसी भी स्थिति में, हम तीन आयामों से बच नहीं सकते: चौड़ाई, लंबाई और ऊंचाई। इसलिए, आधार बनाने के लिए तीन स्थानिक वैक्टर की आवश्यकता होगी। एक या दो वेक्टर पर्याप्त नहीं हैं, चौथा अतिश्योक्तिपूर्ण है।

और फिर से हम अपनी उंगलियों पर गर्म होते हैं। कृपया अपना हाथ ऊपर उठाएं और अलग-अलग दिशाओं में फैलाएं अंगूठा, तर्जनी और मध्यमा. ये सदिश होंगे, वे अलग-अलग दिशाओं में देखते हैं, उनकी लंबाई अलग-अलग होती है और उनके बीच अलग-अलग कोण होते हैं। बधाई हो, त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार तैयार है! वैसे, शिक्षकों को इसे प्रदर्शित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, चाहे आप कितनी भी उंगलियां घुमा लें, लेकिन परिभाषाओं से कोई बच नहीं सकता =)

आगे, आइए अपने आप से एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछें: क्या कोई तीन सदिश त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं?? कृपया कंप्यूटर डेस्क के शीर्ष पर तीन अंगुलियों को मजबूती से दबाएं। क्या हुआ? तीन वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं, और, मोटे तौर पर बोलते हुए, हमने आयामों में से एक खो दिया है - ऊंचाई। ऐसे वेक्टर हैं समतलीयऔर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार नहीं बनाया गया है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समतलीय सदिशों को एक ही तल में स्थित होने की आवश्यकता नहीं है, वे समानांतर तलों में हो सकते हैं (बस अपनी उंगलियों से ऐसा न करें, केवल साल्वाडोर डाली ने ऐसा किया =))।

परिभाषा:वेक्टर कहलाते हैं समतलीय, यदि कोई ऐसा तल है जिसके वे समानांतर हैं। यहां यह जोड़ना तर्कसंगत है कि यदि ऐसा कोई समतल मौजूद नहीं है, तो सदिश समतलीय नहीं होंगे।

तीन समतलीय सदिश सदैव रैखिकतः आश्रित होते हैं, अर्थात्, वे एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त होते हैं। सरलता के लिए, आइए हम फिर से कल्पना करें कि वे एक ही तल में हैं। सबसे पहले, सदिश न केवल समतलीय होते हैं, वे संरेख भी हो सकते हैं, फिर किसी भी सदिश को किसी भी सदिश के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे मामले में, उदाहरण के लिए, यदि सदिश संरेख नहीं हैं, तो तीसरे सदिश को उनके माध्यम से एक अनूठे तरीके से व्यक्त किया जाता है: (और पिछले अनुभाग की सामग्रियों से इसका अनुमान लगाना आसान क्यों है)।

इसका उलटा भी सच है: तीन गैर-समतलीय सदिश हमेशा रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, अर्थात्, वे किसी भी तरह से एक दूसरे के माध्यम से व्यक्त नहीं होते हैं। और, जाहिर है, केवल ऐसे वैक्टर ही त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बन सकते हैं।

परिभाषा: त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधाररैखिकतः स्वतंत्र (गैर-समतलीय) सदिशों का त्रिक कहा जाता है, एक निश्चित क्रम में लिया गया, और अंतरिक्ष का कोई भी वेक्टर एक ही रास्ताकिसी दिए गए आधार पर विघटित किया जाता है, इस आधार पर वेक्टर के निर्देशांक कहां हैं

मैं आपको याद दिला दूं कि हम यह भी कह सकते हैं कि वेक्टर को फॉर्म में दर्शाया जाता है रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा बिल्कुल उसी तरह से पेश की जाती है जैसे समतल मामले के लिए; एक बिंदु और कोई भी तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर पर्याप्त हैं:

मूल, और गैर समतलीयवेक्टर, एक निश्चित क्रम में लिया गया, तय करना त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एफ़िन समन्वय प्रणाली :

बेशक, समन्वय ग्रिड "तिरछा" और असुविधाजनक है, लेकिन, फिर भी, निर्मित समन्वय प्रणाली हमें इसकी अनुमति देती है निश्चित रूप सेकिसी भी वेक्टर के निर्देशांक और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें। समतल के समान, कुछ सूत्र जिनका मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अंतरिक्ष की एफ़िन समन्वय प्रणाली में काम नहीं करेंगे।

जैसा कि सभी का अनुमान है, एफ़िन समन्वय प्रणाली का सबसे परिचित और सुविधाजनक विशेष मामला है आयताकार अंतरिक्ष समन्वय प्रणाली:

अंतरिक्ष में एक बिंदु कहा जाता है मूल, और ऑर्थोनॉर्मलआधार तय हो गया है कार्टेशियन आयताकार अंतरिक्ष समन्वय प्रणाली . परिचित चित्र:

व्यावहारिक कार्यों पर आगे बढ़ने से पहले, आइए फिर से जानकारी को व्यवस्थित करें:

तीन अंतरिक्ष सदिशों के लिए निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
1) सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं;
2) सदिश एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश समतलीय नहीं हैं;
4) सदिशों को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता;
5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक, शून्य से भिन्न है।

मुझे लगता है कि विपरीत कथन समझ में आते हैं।

अंतरिक्ष वैक्टर की रैखिक निर्भरता/स्वतंत्रता को पारंपरिक रूप से एक निर्धारक (बिंदु 5) का उपयोग करके जांचा जाता है। शेष व्यावहारिक कार्य स्पष्ट बीजगणितीय प्रकृति के होंगे। अब ज्यामिति की छड़ी को लटकाने और रैखिक बीजगणित के बेसबॉल के बल्ले को चलाने का समय आ गया है:

अंतरिक्ष के तीन सदिशसमतलीय हैं यदि और केवल यदि दिए गए वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक शून्य के बराबर है: .

मैं आपका ध्यान एक छोटी तकनीकी बारीकियों की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: वैक्टर के निर्देशांक न केवल स्तंभों में, बल्कि पंक्तियों में भी लिखे जा सकते हैं (इसके कारण निर्धारक का मान नहीं बदलेगा - निर्धारकों के गुण देखें)। लेकिन यह कॉलम में बहुत बेहतर है, क्योंकि यह कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए अधिक फायदेमंद है।

उन पाठकों के लिए जो निर्धारकों की गणना करने की विधियों को थोड़ा भूल गए हैं, या शायद उनकी बिल्कुल भी कम समझ रखते हैं, मैं अपने सबसे पुराने पाठों में से एक की अनुशंसा करता हूं: निर्धारक की गणना कैसे करें?

उदाहरण 6

जांचें कि क्या निम्नलिखित वेक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं:

समाधान: वास्तव में, संपूर्ण समाधान निर्धारक की गणना करने के लिए नीचे आता है।

ए) आइए वेक्टर निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें (निर्धारक पहली पंक्ति में प्रकट होता है):

, जिसका अर्थ है कि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (समतलीय नहीं) और त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं।

उत्तर: ये वैक्टर एक आधार बनाते हैं

बी) यह स्वतंत्र निर्णय का बिंदु है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

रचनात्मक कार्य भी हैं:

उदाहरण 7

पैरामीटर के किस मान पर सदिश समतलीय होंगे?

समाधान: सदिश समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि इन सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक शून्य के बराबर हो:

मूलतः, आपको एक सारणिक वाले समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। हम जेरोबा पर पतंग की तरह शून्य पर झपटते हैं - दूसरी पंक्ति में निर्धारक को खोलना और तुरंत माइनस से छुटकारा पाना सबसे अच्छा है:

हम और सरलीकरण करते हैं और मामले को सरलतम रैखिक समीकरण में लाते हैं:

उत्तर: पर

यहां जांचना आसान है; ऐसा करने के लिए, आपको परिणामी मान को मूल निर्धारक में प्रतिस्थापित करना होगा और सुनिश्चित करना होगा कि , इसे फिर से खोलना।

निष्कर्ष में, हम एक और विशिष्ट समस्या पर विचार करेंगे, जो प्रकृति में अधिक बीजगणितीय है और पारंपरिक रूप से रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम में शामिल है। यह इतना सामान्य है कि इसका अपना विषय होना चाहिए:

सिद्ध करें कि 3 सदिश त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं
और इस आधार पर चौथे वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें

उदाहरण 8

वेक्टर दिए गए हैं. दिखाएँ कि सदिश त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैं और इस आधार पर सदिश के निर्देशांक ज्ञात करते हैं।

समाधान: सबसे पहले, आइए स्थिति से निपटें। शर्त के अनुसार, चार वेक्टर दिए गए हैं, और, जैसा कि आप देख सकते हैं, उनके पास पहले से ही कुछ आधारों पर निर्देशांक हैं। यह आधार क्या है, इसमें हमारी रुचि नहीं है। और निम्नलिखित बात दिलचस्प है: तीन वैक्टर एक नया आधार बना सकते हैं। और पहला चरण पूरी तरह से उदाहरण 6 के समाधान से मेल खाता है; यह जांचना आवश्यक है कि क्या वेक्टर वास्तव में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं:

आइए वेक्टर निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:

, जिसका अर्थ है कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं।

! महत्वपूर्ण : वेक्टर निर्देशांक अनिवार्य रूप सेलिखो स्तंभों मेंनिर्धारक, तारों में नहीं. अन्यथा, आगे के समाधान एल्गोरिदम में भ्रम होगा।

वेक्टर प्रणाली कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर, यदि ऐसी संख्याएँ हैं जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, जैसे कि समानता https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width='57' ऊँचाई='24 src= " >.

यदि यह समानता केवल उस स्थिति में संतुष्ट होती है जब सभी, तब सदिशों की प्रणाली कहलाती है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय.वेक्टर प्रणाली होगी रैखिक रूप से निर्भरयदि और केवल यदि इसका कम से कम एक वेक्टर अन्य का रैखिक संयोजन है।

उदाहरण 1।बहुपद बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width='88 ऊंचाई=24' ऊंचाई='24'>. बहुपद एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का गठन करते हैं, क्योंकि बहुपद https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif' width='129' ऊंचाई='24'>.

उदाहरण 2.मैट्रिक्स प्रणाली, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width='51' ऊंचाई=48 src='> रैखिक रूप से स्वतंत्र है, क्योंकि एक रैखिक संयोजन के बराबर है शून्य मैट्रिक्स केवल उस स्थिति में जब https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif' width='69' ऊंचाई='21'>, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width='40' ऊंचाई='21'> रैखिक रूप से निर्भर।

समाधान।

आइए इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन बनाएं https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width=”97″ ऊंचाई=”24”>=0..gif” width=”360” ऊंचाई='22'>.

समान सदिशों के समान निर्देशांकों की बराबरी करने पर, हमें https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" ऊंचाई="69"> मिलता है

अंततः हम पाते हैं

और

सिस्टम में एक अद्वितीय तुच्छ समाधान है, इसलिए इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन केवल उस स्थिति में शून्य के बराबर होता है जब सभी गुणांक शून्य के बराबर होते हैं। इसलिए, सदिशों की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उदाहरण 4.सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। वेक्टर सिस्टम कैसा होगा?

ए)।;

बी)।?

समाधान।

ए)।आइए एक रैखिक संयोजन बनाएं और इसे शून्य के बराबर करें

रैखिक अंतरिक्ष में वैक्टर के साथ संचालन के गुणों का उपयोग करते हुए, हम फॉर्म में अंतिम समानता को फिर से लिखते हैं

चूँकि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, इसलिए गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात..gif' width='12' ऊँचाई='23 src='>

समीकरणों की परिणामी प्रणाली में एक अद्वितीय तुच्छ समाधान होता है .

समानता के बाद से (*) केवल तभी निष्पादित किया जाता है जब https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width='115 ऊंचाई=20' ऊंचाई='20'> - रैखिक रूप से स्वतंत्र;

बी)।आइए एक समानता बनाएं https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width='265' ऊंचाई='24 src='> (**)

समान तर्क लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या

बाद वाली प्रणाली में समाधानों की अनंत संख्या है https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width='149' ऊंचाई='24 src='>. इस प्रकार, एक गैर है- गुणांकों का शून्य सेट जिसके लिए समानता रखता है (**) . इसलिए, वैक्टर की प्रणाली – रैखिक रूप से निर्भर.

उदाहरण 5सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है, और सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है..gif" width=”80” ऊँचाई=”24”>.gif” width=”149 ऊँचाई=24” ऊँचाई=”24”> (***)

समानता में (***) . दरअसल, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होगा।

रिश्ते से (***) हम पाते हैं या चलो निरूपित करें .

हम पाते हैं

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएं (कक्षा में)

1. शून्य वेक्टर वाला सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होता है।

2. एक वेक्टर से युक्त प्रणाली ए, रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि, ए=0.

3. दो सदिशों से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि सदिश आनुपातिक हों (अर्थात, उनमें से एक को दूसरे से किसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है)।

4. यदि आप एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली में एक वेक्टर जोड़ते हैं, तो आपको एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली मिलती है।

5. यदि एक वेक्टर को रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली से हटा दिया जाता है, तो वैक्टर की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

6. यदि सिस्टम एसरैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन वेक्टर जोड़ने पर रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है बी, फिर वेक्टर बीसिस्टम वैक्टर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया गया एस.

सी)।आव्यूहों की प्रणाली, दूसरे क्रम के आव्यूहों के स्थान पर।

10. चलो वैक्टर की प्रणाली ए,बी,सीसदिश समष्टि रैखिक रूप से स्वतंत्र है। निम्नलिखित वेक्टर प्रणालियों की रैखिक स्वतंत्रता सिद्ध करें:

ए)।ए+बी, बी, सी.

बी)।ए+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width=”15” ऊंचाई=”19”>–मनमानी संख्या

सी)।ए+बी, ए+सी, बी+सी.

11. होने देना ए,बी,सी– समतल पर तीन सदिश जिनसे एक त्रिभुज बनाया जा सकता है। क्या ये सदिश रैखिकतः आश्रित होंगे?

12. दो वेक्टर दिए गए हैं a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). दो और चार-आयामी वेक्टर खोजें ए3 औरए4ताकि सिस्टम ए1,ए2,ए3,ए4रैखिक रूप से स्वतंत्र था .

इस लेख में हम कवर करेंगे:

• संरेख सदिश क्या हैं;
• सदिशों की संरेखता के लिए शर्तें क्या हैं;
• संरेख सदिशों के कौन से गुण मौजूद हैं;
• संरेख सदिशों की रैखिक निर्भरता क्या है?

संरेख सदिश वे सदिश होते हैं जो एक रेखा के समानांतर होते हैं या एक रेखा पर स्थित होते हैं।

उदाहरण 1

सदिशों की संरेखता के लिए शर्तें

यदि निम्नलिखित में से कोई भी स्थिति सत्य हो तो दो सदिश संरेख होते हैं:

• शर्त 1 . यदि कोई संख्या λ है तो सदिश a और b संरेख हैं जैसे कि a = λ b;
• शर्त 2 . सदिश a और b समान निर्देशांक अनुपात के साथ संरेख हैं:

ए = (ए 1 ; ए 2) , बी = (बी 1 ; बी 2) ⇒ ए ∥ बी ⇔ ए 1 बी 1 = ए 2 बी 2

• शर्त 3 . वेक्टर ए और बी संरेख हैं बशर्ते कि क्रॉस उत्पाद और शून्य वेक्टर बराबर हों:

ए ∥ बी ⇔ ए, बी = 0

नोट 1

शर्त 2 यदि वेक्टर निर्देशांकों में से एक शून्य है तो लागू नहीं होता है।

नोट 2

शर्त 3 केवल उन सदिशों पर लागू होता है जो अंतरिक्ष में निर्दिष्ट हैं।

सदिशों की संरेखता का अध्ययन करने के लिए समस्याओं के उदाहरण

हम संरेखता के लिए सदिश a = (1; 3) और b = (2; 1) की जांच करते हैं।

कैसे हल करें?

इस मामले में, दूसरी संरेखता स्थिति का उपयोग करना आवश्यक है। दिए गए वैक्टर के लिए यह इस तरह दिखता है:

समानता झूठी है. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सदिश a और b असंरेख हैं।

उत्तर : ए | | बी

उदाहरण 2

सदिशों के संरेख होने के लिए सदिश a = (1; 2) और b = (- 1; m) का कौन सा मान m आवश्यक है?

कैसे हल करें?

दूसरी संरेखता स्थिति का उपयोग करते हुए, यदि उनके निर्देशांक आनुपातिक हैं तो वेक्टर संरेख होंगे:

इससे पता चलता है कि m = - 2.

उत्तर: एम = - 2 .

वेक्टर प्रणालियों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता के लिए मानदंड

किसी सदिश समष्टि में सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से तभी निर्भर होती है जब उस प्रणाली के एक सदिश को इस प्रणाली के शेष सदिशों के रूप में व्यक्त किया जा सके।

सबूत

मान लीजिए सिस्टम e 1 , e 2 , . . . , e n रैखिक रूप से निर्भर है। आइए हम शून्य वेक्टर के बराबर इस प्रणाली का एक रैखिक संयोजन लिखें:

ए 1 ई 1 + ए 2 ई 2 +। . . + ए एन ई एन = 0

जिसमें कम से कम एक संयोजन गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।

मान लीजिए a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , एन।

हम समानता के दोनों पक्षों को गैर-शून्य गुणांक से विभाजित करते हैं:

ए के - 1 (ए के - 1 ए 1) ई 1 + (ए के - 1 ए के) ई के +। . . + (ए के - 1 ए एन) ई एन = 0

आइए निरूपित करें:

A k - 1 a m , जहां m ∈ 1 , 2 , . . . , के - 1 , के + 1 , एन

इस मामले में:

β 1 ई 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +। . . + β एन ई एन = 0

या ई के = (- β 1) ई 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +। . . + (- β एन) ई एन

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सिस्टम के एक वेक्टर को सिस्टम के अन्य सभी वैक्टर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है (आदि)।

पर्याप्तता

मान लीजिए कि किसी एक वेक्टर को सिस्टम के अन्य सभी वैक्टरों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है:

ई के = γ 1 ई 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 +। . . + γ एन ई एन

हम वेक्टर e k को इस समानता के दाईं ओर ले जाते हैं:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 +। . . + γ एन ई एन

चूँकि वेक्टर e k का गुणांक - 1 ≠ 0 के बराबर है, हमें वैक्टर e 1, e 2, की एक प्रणाली द्वारा शून्य का एक गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व मिलता है। . . , e n , और इसका, बदले में, मतलब है कि वैक्टर की यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है (आदि)।

परिणाम:

• सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है जब उसके किसी भी सदिश को प्रणाली के अन्य सभी सदिशों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
• सदिशों की एक प्रणाली जिसमें एक शून्य सदिश या दो समान सदिश होते हैं, रैखिक रूप से निर्भर होती है।

रैखिकतः आश्रित सदिशों के गुण

1. 2- और 3-आयामी वैक्टर के लिए, निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: दो रैखिक रूप से निर्भर वेक्टर संरेख होते हैं। दो संरेख सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।
2. त्रि-आयामी सदिशों के लिए, निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: तीन रैखिक रूप से आश्रित सदिश समतलीय होते हैं। (3 समतलीय सदिश रैखिकतः आश्रित हैं)।
3. एन-आयामी वैक्टर के लिए, निम्नलिखित शर्त संतुष्ट है: एन + 1 वेक्टर हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

रैखिक निर्भरता या सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता से संबंधित समस्याओं को हल करने के उदाहरण

आइए रैखिक स्वतंत्रता के लिए सदिश a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 की जाँच करें।

समाधान। सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं क्योंकि सदिशों का आयाम सदिशों की संख्या से कम होता है।

उदाहरण 4

आइए रैखिक स्वतंत्रता के लिए सदिश a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 की जाँच करें।

समाधान। हम उन गुणांकों के मान पाते हैं जिन पर रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर होगा:

एक्स 1 ए + एक्स 2 बी + एक्स 3 सी 1 = 0

हम वेक्टर समीकरण को रैखिक रूप में लिखते हैं:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

हम गॉस विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करते हैं:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

दूसरी पंक्ति से हम पहली को घटाते हैं, तीसरी से - पहली को:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

पहली पंक्ति से हम दूसरी घटाते हैं, तीसरी में हम दूसरी जोड़ते हैं:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

समाधान से यह निष्कर्ष निकलता है कि सिस्टम के पास कई समाधान हैं। इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं x 1, x 2, x 3 के मानों का एक गैर-शून्य संयोजन है जिसके लिए a, b, c का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर है। इसलिए, सदिश a, b, c हैं रैखिक रूप से निर्भर. ​​​​​​​

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

होने देना एलएक मनमाना रैखिक स्थान है, ए मैं Î एल,- इसके तत्व (वैक्टर)।

परिभाषा 3.3.1.अभिव्यक्ति , कहाँ , - मनमानी वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें रैखिक संयोजन कहा जाता है वैक्टरए 1 , ए 2 ,…, ए एन.

यदि वेक्टर आर = , तो वे ऐसा कहते हैं आर वैक्टर में विघटितए 1 , ए 2 ,…, ए एन.

परिभाषा 3.3.2.सदिशों का रैखिक संयोजन कहलाता है गैर तुच्छ, यदि संख्याओं में कम से कम एक गैर-शून्य है। अन्यथा, रैखिक संयोजन कहा जाता है मामूली.

परिभाषा 3.3.3 . सदिश a 1 , a 2 ,…, a एनउन्हें रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि उनका कोई गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन मौजूद हो

= 0 .

परिभाषा 3.3.4. सदिश a 1 ,a 2 ,…, a एनसमानता होने पर रैखिकतः स्वतंत्र कहलाते हैं = 0 यह तभी संभव है जब सभी संख्याएँ एल 1, एल 2,…, एल एनएक साथ शून्य के बराबर हैं.

ध्यान दें कि किसी भी गैर-शून्य तत्व 1 को समानता के बाद से एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली के रूप में माना जा सकता है एलए 1= 0 तभी संभव है यदि एल= 0.

प्रमेय 3.3.1.रैखिक निर्भरता ए 1 , ए 2 ,…, ए के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त एनइनमें से कम से कम एक तत्व को बाकी तत्वों में विघटित करने की संभावना है।

सबूत। आवश्यकता. मान लीजिए कि तत्व a 1 , a 2 ,…, a हैं एनरैखिक रूप से निर्भर. यह मतलब है कि = 0 , और कम से कम एक संख्या एल 1, एल 2,…, एल एनशून्य से भिन्न. निश्चितता के लिए चलो एल 1 ¹ 0. फिर

यानी तत्व a 1 तत्वों a 2 , a 3 , …, a में विघटित हो जाता है एन.

पर्याप्तता. मान लीजिए कि तत्व a 1 को तत्वों a 2 , a 3 , …, a में विघटित किया जाता है एन, यानी ए 1 = . फिर = 0 , इसलिए, सदिशों का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है a 1 , a 2 ,…, a एन, बराबर 0 , इसलिए वे रैखिक रूप से निर्भर हैं .

प्रमेय 3.3.2. यदि तत्वों में से कम से कम एक 1 , ए 2 ,…, ए एनशून्य, तो ये सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।

सबूत . होने देना ए एन= 0 , फिर = 0 , जिसका अर्थ है इन तत्वों की रैखिक निर्भरता।

प्रमेय 3.3.3. यदि n सदिशों में से कोई p(p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

सबूत। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, तत्व a 1 , a 2 ,…, a हैं पीरैखिक रूप से निर्भर. इसका मतलब यह है कि ऐसा एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है = 0 . यदि हम तत्व को इसके दोनों भागों में जोड़ते हैं तो निर्दिष्ट समानता संरक्षित रहेगी। तब + = 0 , और कम से कम एक संख्या एल 1, एल 2,…, एल.पी.शून्य से भिन्न. इसलिए, सदिश a 1 , a 2 ,…, a एनरैखिक रूप से निर्भर हैं.

परिणाम 3.3.1.यदि n तत्व रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उनमें से कोई भी k रैखिक रूप से स्वतंत्र है (k)।< n).

प्रमेय 3.3.4. यदि सदिशए 1 , ए 2 ,…, ए एन- 1 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और तत्वए 1 , ए 2 ,…, ए एन- 1, ए n रैखिक रूप से निर्भर हैं, फिर वेक्टरए n को वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता हैए 1 , ए 2 ,…, ए एन- 1 .

सबूत।चूंकि शर्त के अनुसार ए 1 , ए 2 ,…,ए एन- 1, ए एन रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो उनका एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन होता है = 0 , और (अन्यथा, सदिश a 1 , a 2 ,…, a रैखिक रूप से निर्भर हो जाएंगे एन- 1). लेकिन फिर वेक्टर

क्यू.ई.डी.

दूसरे शब्दों में, वैक्टरों के एक समूह की रैखिक निर्भरता का मतलब है कि उनके बीच एक वेक्टर है जिसे इस समूह में अन्य वैक्टरों के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है।

हम कहते हैं। तब

इसलिए वेक्टर एक्सइस समूह के सदिशों पर रैखिक रूप से निर्भर।

वैक्टर एक्स, य, ..., जेडरैखिक कहलाते हैं स्वतंत्र वैक्टर, यदि यह समानता (0) से अनुसरण करता है

α=β= ...= γ=0.

अर्थात्, सदिशों के समूह रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि इस समूह में किसी भी सदिश को अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

सदिशों की रैखिक निर्भरता का निर्धारण

मान लीजिए n क्रम के m स्ट्रिंग सदिश दिए गए हैं:

गॉसियन अपवाद बनाने के बाद, हम मैट्रिक्स (2) को ऊपरी त्रिकोणीय रूप में कम करते हैं। अंतिम कॉलम के तत्व तभी बदलते हैं जब पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। एम उन्मूलन चरणों के बाद हमें मिलता है:

कहाँ मैं 1 , मैं 2 , ..., मैंएम - पंक्तियों के संभावित क्रमपरिवर्तन द्वारा प्राप्त पंक्ति सूचकांक। पंक्ति सूचकांकों से परिणामी पंक्तियों पर विचार करते हुए, हम उन पंक्तियों को बाहर कर देते हैं जो शून्य पंक्ति वेक्टर के अनुरूप हैं। शेष रेखाएँ रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश बनाती हैं। ध्यान दें कि मैट्रिक्स (2) बनाते समय, पंक्ति वैक्टर के अनुक्रम को बदलकर, आप रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक और समूह प्राप्त कर सकते हैं। लेकिन सदिशों के ये दोनों समूह जो उप-स्थान बनाते हैं, वह मेल खाता है।