संवेग में परिवर्तन के बारे में प्रमेय लिखिए। सापेक्ष गति की गतिशीलता

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संक्षिप्त समीक्षा

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संचलन की मात्रा

किसी भौतिक बिंदु का संवेग - एक बिंदु के द्रव्यमान और उसके वेग वेक्टर के उत्पाद के बराबर एक वेक्टर मात्रा।

संवेग के माप की इकाई (किलो मी/सेकेंड) है।

यांत्रिक प्रणाली गति - एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग के ज्यामितीय योग (प्रधान वेक्टर) के बराबर एक वेक्टर मात्रा पूरे सिस्टम के द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र की गति के उत्पाद के बराबर होती है।

जब कोई पिंड (या निकाय) इस प्रकार गति करता है कि उसका द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है, तो पिंड की गति की मात्रा शून्य के बराबर होती है (उदाहरण के लिए, पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली एक निश्चित धुरी के चारों ओर पिंड का घूमना ).

जटिल गति के मामले में, द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमते समय सिस्टम की गति की मात्रा गति के घूर्णी भाग की विशेषता नहीं बताएगी। अर्थात्, गति की मात्रा केवल सिस्टम की अनुवादात्मक गति (द्रव्यमान के केंद्र सहित) की विशेषता बताती है।

आवेग बल

किसी बल का आवेग एक निश्चित अवधि में किसी बल की कार्रवाई को दर्शाता है।

समय की एक सीमित अवधि में बलपूर्वक आवेग इसे संबंधित प्राथमिक आवेगों के अभिन्न योग के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

(विभिन्न रूपों में इ ):

किसी भौतिक बिंदु के संवेग का समय व्युत्पन्न बिंदुओं पर कार्य करने वाले बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

(वी अभिन्न रूप ):

एक निश्चित अवधि में किसी भौतिक बिंदु की गति में परिवर्तन, इस अवधि के दौरान बिंदु पर लागू बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

(विभेदक रूप में ):

सिस्टम की गति का समय व्युत्पन्न सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

(अभिन्न रूप में ):

एक निश्चित अवधि में किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन, इस अवधि के दौरान प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

प्रमेय स्पष्ट रूप से अज्ञात आंतरिक शक्तियों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है।

किसी यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय और द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय एक ही प्रमेय के दो अलग-अलग रूप हैं।

किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम

1. यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति का वेक्टर दिशा और परिमाण में स्थिर होगा।
2. यदि किसी मनमाना अक्ष पर सभी कार्यरत बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर संवेग का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

निष्कर्ष:

1. संरक्षण कानूनों से संकेत मिलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते हैं।
2. एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय एक यांत्रिक प्रणाली की घूर्णी गति की विशेषता नहीं बताता है, बल्कि केवल अनुवादात्मक गति की विशेषता बताता है।

एक उदाहरण दिया गया है: एक निश्चित द्रव्यमान की डिस्क का संवेग निर्धारित करें यदि उसका कोणीय वेग और आकार ज्ञात हो।

स्पर गियर का गणना उदाहरण
स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण. सामग्री का चयन, अनुमेय तनाव की गणना, संपर्क और झुकने की ताकत की गणना की गई है।

बीम झुकने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
उदाहरण में, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाए गए, एक खतरनाक खंड पाया गया और एक आई-बीम का चयन किया गया। समस्या ने विभेदक निर्भरता का उपयोग करके आरेखों के निर्माण का विश्लेषण किया और बीम के विभिन्न क्रॉस सेक्शन का तुलनात्मक विश्लेषण किया।

शाफ्ट मरोड़ समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य किसी दिए गए व्यास, सामग्री और स्वीकार्य तनाव पर स्टील शाफ्ट की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, टॉर्क, कतरनी तनाव और मोड़ कोण के आरेख बनाए जाते हैं। शाफ्ट के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

किसी छड़ के तनाव-संपीड़न की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य निर्दिष्ट अनुमेय तनाव पर स्टील बार की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, अनुदैर्ध्य बलों, सामान्य तनाव और विस्थापन के आरेख बनाए जाते हैं। छड़ के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का अनुप्रयोग
किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

गति के दिए गए समीकरणों का उपयोग करके एक बिंदु की गति और त्वरण का निर्धारण करना
गति के दिए गए समीकरणों का उपयोग करके किसी बिंदु की गति और त्वरण निर्धारित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण

समतल-समानांतर गति के दौरान किसी कठोर पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण
समतल-समानांतर गति के दौरान किसी कठोर पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण को निर्धारित करने के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण

एक फ्लैट ट्रस की सलाखों में बलों का निर्धारण
रिटर विधि और नोड्स काटने की विधि का उपयोग करके एक फ्लैट ट्रस की छड़ों में बलों को निर्धारित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण

कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय का अनुप्रयोग
एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले पिंड के कोणीय वेग को निर्धारित करने के लिए गतिज गति में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करके समस्या को हल करने का एक उदाहरण।

बल के प्रभाव में किसी भौतिक बिंदु की गति का विभेदक समीकरण एफनिम्नलिखित वेक्टर रूप में दर्शाया जा सकता है:

चूंकि एक बिंदु का द्रव्यमान एमको स्थिरांक के रूप में स्वीकार किया जाता है, तो इसे व्युत्पन्न चिह्न के अंतर्गत दर्ज किया जा सकता है। तब

सूत्र (1) एक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय को विभेदक रूप में व्यक्त करता है: किसी बिंदु के संवेग के समय के संबंध में पहला व्युत्पन्न बिंदु पर कार्य करने वाले बल के बराबर होता है.

समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपणों में (1) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

यदि दोनों पक्षों को (1) से गुणा किया जाए डीटी, तो हमें उसी प्रमेय का दूसरा रूप मिलता है - विभेदक रूप में संवेग प्रमेय:

वे। किसी बिंदु के संवेग का अंतर उस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के प्राथमिक आवेग के बराबर होता है।

(2) के दोनों भागों को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(2) के दोनों भागों को शून्य से टी (चित्र 1) तक एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

इस वक्त बिंदु की गति कहां है टी; - गति पर टी = 0;

एस- समय के साथ बल का आवेग टी.

(3) रूप में एक अभिव्यक्ति को अक्सर परिमित (या अभिन्न) रूप में संवेग प्रमेय कहा जाता है: किसी भी समयावधि में किसी बिंदु के संवेग में परिवर्तन उसी समयावधि में बल के आवेग के बराबर होता है।

समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण में, इस प्रमेय को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

किसी भौतिक बिंदु के लिए, किसी भी रूप में गति में परिवर्तन पर प्रमेय अनिवार्य रूप से किसी बिंदु की गति के अंतर समीकरणों से अलग नहीं है।

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय

निकाय की गति की मात्रा सदिश राशि कहलाएगी क्यू, सिस्टम के सभी बिंदुओं की गति की मात्रा के ज्यामितीय योग (मुख्य वेक्टर) के बराबर।

से मिलकर बनी एक प्रणाली पर विचार करें एन भौतिक बिंदु. आइए हम इस प्रणाली के लिए गति के विभेदक समीकरण बनाएं और उन्हें पद दर पद जोड़ें। तब हमें मिलता है:

आंतरिक बलों के गुण के कारण अंतिम योग शून्य के बराबर है। अलावा,

अंततः हम पाते हैं:

समीकरण (4) प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय को विभेदक रूप में व्यक्त करता है: सिस्टम की गति का समय व्युत्पन्न सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

आइए प्रमेय के लिए एक और अभिव्यक्ति खोजें। फिलहाल आने दो टी= सिस्टम की गति की मात्रा 0 है प्र0, और समय के क्षण में टी 1बराबर हो जाता है प्रश्न 1.फिर, समानता के दोनों पक्षों (4) को गुणा करें डीटीऔर एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:

या जहां:

(एस- बल आवेग)

चूँकि दाहिनी ओर का अभिन्न अंग बाहरी ताकतों का आवेग देता है,

समीकरण (5) प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय को अभिन्न रूप में व्यक्त करता है: एक निश्चित अवधि में सिस्टम की गति में परिवर्तन उसी अवधि में सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के आवेगों के योग के बराबर होता है।

निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपणों में हमारे पास होगा:

संवेग संरक्षण का नियम

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय से, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं:

1. मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (4) से यह पता चलता है कि इस मामले में क्यू = स्थिरांक.

इस प्रकार, यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति का वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर होगा।

2. 01 मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतें ऐसी हैं कि कुछ अक्ष (उदाहरण के लिए ऑक्स) पर उनके प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (4`) से यह इस मामले में निम्नानुसार है क्यू = स्थिरांक.

इस प्रकार, यदि किसी अक्ष पर कार्यरत सभी बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर सिस्टम की गति की मात्रा का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

ये परिणाम व्यक्त करते हैं किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम.उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

· रोल की वापसी के बारे में घटना. यदि हम राइफल और गोली को एक प्रणाली मानते हैं, तो शॉट के दौरान पाउडर गैसों का दबाव एक आंतरिक बल होगा। यह बल प्रणाली की कुल गति को नहीं बदल सकता। लेकिन चूंकि पाउडर गैसें, गोली पर कार्य करते हुए, उसे आगे की दिशा में एक निश्चित मात्रा में गति प्रदान करती हैं, उन्हें एक साथ राइफल को विपरीत दिशा में समान मात्रा में गति प्रदान करनी चाहिए। इससे राइफल पीछे की ओर चली जाएगी, यानी। तथाकथित वापसी. इसी तरह की घटना बंदूक से फायरिंग (रोलबैक) करते समय होती है।

· प्रोपेलर (प्रोपेलर) का संचालन। प्रोपेलर प्रोपेलर की धुरी के साथ हवा (या पानी) के एक निश्चित द्रव्यमान को गति प्रदान करता है, इस द्रव्यमान को वापस फेंक देता है। यदि हम फेंके गए द्रव्यमान और विमान (या जहाज) को एक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो प्रोपेलर और पर्यावरण के बीच बातचीत की ताकतें, आंतरिक के रूप में, इस प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकती हैं। इसलिए, जब हवा (पानी) का एक द्रव्यमान वापस फेंका जाता है, तो विमान (या जहाज) को एक समान आगे की गति प्राप्त होती है, जैसे कि विचाराधीन प्रणाली की गति की कुल मात्रा शून्य के बराबर रहती है, क्योंकि आंदोलन शुरू होने से पहले यह शून्य थी .

एक समान प्रभाव चप्पुओं या पैडल पहियों की क्रिया से प्राप्त होता है।

· आर ई सी टी आई वी ई प्रोपल्शन। एक रॉकेट (रॉकेट) में, ईंधन दहन के गैसीय उत्पादों को रॉकेट की पूंछ में छेद से (जेट इंजन नोजल से) उच्च गति से बाहर निकाला जाता है। इस मामले में कार्य करने वाले दबाव बल आंतरिक बल होंगे और वे रॉकेट-पाउडर गैस प्रणाली की कुल गति को नहीं बदल सकते हैं। लेकिन चूँकि बाहर निकलने वाली गैसों की गति एक निश्चित मात्रा में पीछे की ओर निर्देशित होती है, इसलिए रॉकेट को आगे की गति के अनुरूप गति प्राप्त होती है।

एक अक्ष के बारे में क्षणों का प्रमेय.

द्रव्यमान के भौतिक बिंदु पर विचार करें एम, बल के प्रभाव में चल रहा है एफ. आइए इसके लिए सदिशों के क्षण के बीच संबंध खोजें एमवीऔर एफकुछ निश्चित Z अक्ष के सापेक्ष।

एम जेड (एफ) = एक्सएफ - वाईएफ (7)

इसी प्रकार मूल्य के लिए एम(एमवी), यदि बाहर निकाला जाए एमकोष्ठक से बाहर हो जायेंगे

एम जेड (एमवी) = एम(एक्सवी - वाईवी)(7`)

इस समानता के दोनों पक्षों से समय के संबंध में व्युत्पन्नों को लेने पर, हम पाते हैं

परिणामी अभिव्यक्ति के दाईं ओर, पहला कोष्ठक 0 के बराबर है, क्योंकि dx/dt=V और dу/dt = V, सूत्र (7) के अनुसार दूसरा कोष्ठक बराबर है

एमजेड(एफ), चूँकि गतिकी के मूल नियम के अनुसार:

अंततः हमारे पास (8) होगा

परिणामी समीकरण अक्ष के बारे में क्षणों के प्रमेय को व्यक्त करता है: किसी भी अक्ष के सापेक्ष किसी बिंदु के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष कार्यशील बल के क्षण के बराबर होता है।एक समान प्रमेय किसी भी केंद्र O के बारे में क्षणों के लिए लागू होता है।

प्रमेय में चर्चा की गई प्रणाली किसी भी निकाय से बनी कोई भी यांत्रिक प्रणाली हो सकती है।

प्रमेय का कथन

एक यांत्रिक प्रणाली की गति (आवेग) की मात्रा प्रणाली में शामिल सभी निकायों की गति (आवेग) की मात्रा के योग के बराबर होती है। सिस्टम के निकायों पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का आवेग सिस्टम के निकायों पर कार्य करने वाली सभी बाहरी शक्तियों के आवेगों का योग है।

( किग्रा मी/से)

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय बताता है

एक निश्चित अवधि में सिस्टम की गति में परिवर्तन उसी अवधि में सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतों के आवेग के बराबर होता है।

किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम

यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य है, तो सिस्टम की गति (संवेग) की मात्रा एक स्थिर मात्रा है।

, हम प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति विभेदक रूप में प्राप्त करते हैं:

कुछ और के बीच मनमाने ढंग से ली गई समय अवधि में परिणामी समानता के दोनों पक्षों को एकीकृत करने के बाद, हम प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति अभिन्न रूप में प्राप्त करते हैं:

संवेग संरक्षण का नियम (संवेग संरक्षण का नियम) बताता है कि सिस्टम के सभी निकायों के आवेगों का वेक्टर योग एक स्थिर मान है यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है।

(संवेग का क्षण m 2 kg s −1)

केंद्र के सापेक्ष कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय

किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

डीके 0 /डीटी = एम 0 (एफ ) .

एक अक्ष के सापेक्ष कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष इस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

डीके एक्स /डीटी = एम एक्स (एफ ); डीके य /डीटी = एम य (एफ ); डीके जेड /डीटी = एम जेड (एफ ) .

एक भौतिक बिंदु पर विचार करें एम द्रव्यमान एम , बल के प्रभाव में चल रहा है एफ (चित्र 3.1)। आइए लिखें और कोणीय गति (गतिज गति) के वेक्टर का निर्माण करें एम केंद्र के सापेक्ष 0 भौतिक बिंदु हे :

आइए हम कोणीय गति (गतिज क्षण) के लिए अभिव्यक्ति को अलग करें क 0) समय के अनुसार:

क्योंकि डॉ. /डीटी = वी , फिर वेक्टर उत्पाद वी ⊗ एम ⋅ वी (संरेख सदिश वी और एम ⋅ वी ) शून्य के बराबर है. एक ही समय में डी(एम ⋅ वी) /डीटी = एफ किसी भौतिक बिंदु के संवेग पर प्रमेय के अनुसार। अत: हमें वह प्राप्त होता है

डीके 0 /डीटी = आर ⊗एफ , (3.3)

कहाँ आर ⊗एफ = एम 0 (एफ ) – वेक्टर-बल का क्षण एफ एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष हे . वेक्टर क 0 ⊥ समतल ( आर , एम ⊗वी ), और वेक्टर एम 0 (एफ ) ⊥ विमान ( आर ,एफ ), आखिरकार हमारे पास है

डीके 0 /डीटी = एम 0 (एफ ) . (3.4)

समीकरण (3.4) केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग (कोणीय संवेग) में परिवर्तन के बारे में प्रमेय व्यक्त करता है: किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

कार्तीय निर्देशांक के अक्षों पर समानता (3.4) प्रक्षेपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

डीके एक्स /डीटी = एम एक्स (एफ ); डीके य /डीटी = एम य (एफ ); डीके जेड /डीटी = एम जेड (एफ ) . (3.5)

समानताएं (3.5) अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के कोणीय गति (गतिज गति) में परिवर्तन के बारे में प्रमेय व्यक्त करती हैं: किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष इस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

आइए प्रमेय (3.4) और (3.5) से निम्नलिखित परिणामों पर विचार करें।

परिणाम 1.उस मामले पर विचार करें जब बल एफ संपूर्ण गति के दौरान बिंदु स्थिर केंद्र से होकर गुजरता है हे (केंद्रीय बल का मामला), यानी कब एम 0 (एफ ) = 0. फिर प्रमेय (3.4) से यह निष्कर्ष निकलता है क 0 = कॉन्स्ट ,

वे। केंद्रीय बल के मामले में, इस बल के केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग (गतिज क्षण) परिमाण और दिशा में स्थिर रहता है (चित्र 3.2)।

चित्र 3.2

हालत से क 0 = कॉन्स्ट इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी गतिमान बिंदु का प्रक्षेप पथ एक समतल वक्र होता है, जिसका तल इस बल के केंद्र से होकर गुजरता है।

परिणाम 2.होने देना एम जेड (एफ ) = 0, यानी बल अक्ष को पार करता है जेड या उसके समानांतर. इस मामले में, जैसा कि तीसरे समीकरण (3.5) से देखा जा सकता है, क जेड = कॉन्स्ट ,

वे। यदि किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी बिंदु पर लगने वाले बल का आघूर्ण सदैव शून्य हो, तो इस अक्ष के सापेक्ष बिंदु का कोणीय संवेग (गतिज आघूर्ण) स्थिर रहता है।

संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय का प्रमाण

मान लीजिए कि सिस्टम में द्रव्यमान और त्वरण वाले भौतिक बिंदु शामिल हैं। हम सिस्टम के निकायों पर कार्य करने वाले सभी बलों को दो प्रकारों में विभाजित करते हैं:

बाहरी ताकतें उन निकायों से कार्य करने वाली ताकतें हैं जो विचाराधीन प्रणाली में शामिल नहीं हैं। संख्या के साथ किसी भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का परिणाम मैंचलो निरूपित करें

आंतरिक बल वे बल हैं जिनके साथ सिस्टम के निकाय स्वयं एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। वह बल जिसके साथ संख्या वाले बिंदु पर मैंसंख्या वाला बिंदु वैध है क, हम निरूपित करेंगे , और प्रभाव की शक्ति मैंवें बिंदु पर कवां बिंदु - . जाहिर है, जब, तब

प्रस्तुत संकेतन का उपयोग करते हुए, हम फॉर्म में विचाराधीन प्रत्येक भौतिक बिंदु के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखते हैं

ध्यान में रख कर और न्यूटन के दूसरे नियम के सभी समीकरणों का योग करने पर, हम पाते हैं:

अभिव्यक्ति प्रणाली में कार्यरत सभी आंतरिक बलों के योग का प्रतिनिधित्व करती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, इस योग में, प्रत्येक बल एक बल से मेल खाता है, इसलिए, यह धारण करता है चूँकि संपूर्ण योग में ऐसे जोड़े शामिल हैं, इसलिए योग स्वयं शून्य है। इस प्रकार, हम लिख सकते हैं

सिस्टम की गति के लिए संकेतन का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

बाह्य शक्तियों के संवेग में परिवर्तन को ध्यान में रखकर , हम सिस्टम की गति में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति को विभेदक रूप में प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, प्राप्त अंतिम समीकरणों में से प्रत्येक हमें यह बताने की अनुमति देता है: सिस्टम की गति में परिवर्तन केवल बाहरी ताकतों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप होता है, और आंतरिक ताकतें इस मूल्य पर कोई प्रभाव नहीं डाल सकती हैं।

कुछ और के बीच मनमाने ढंग से लिए गए समय अंतराल पर परिणामी समानता के दोनों पक्षों को एकीकृत करने के बाद, हम सिस्टम की गति में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति को अभिन्न रूप में प्राप्त करते हैं:

समय के क्षणों में प्रणाली की गति की मात्रा के मान क्रमशः कहां और हैं, और समय की अवधि में बाहरी ताकतों का आवेग है। पहले जो कहा गया था और प्रस्तुत किए गए नोटेशन के अनुसार,

चूँकि एक बिंदु का द्रव्यमान स्थिर है, और उसका त्वरण, गतिकी के मूल नियम को व्यक्त करने वाले समीकरण को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

समीकरण एक बिंदु के संवेग में परिवर्तन के बारे में प्रमेय को एक साथ विभेदक रूप में व्यक्त करता है: समय व्युत्पन्न किसी बिंदु का संवेग उस बिंदु पर कार्यरत बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

आइए इस समीकरण को एकीकृत करें। द्रव्यमान को इंगित करें एम, बल के प्रभाव में चल रहा है (चित्र 15), इस समय है टी=0 गति, और इस समय टी 1-स्पीड.

चित्र.15

फिर हम समानता के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं और उनसे निश्चित अभिन्न अंग लेते हैं। इस मामले में, दाईं ओर, जहां समय के साथ एकीकरण होता है, अभिन्नों की सीमाएं 0 और होंगी टी 1, और बाईं ओर, जहां गति एकीकृत है, अभिन्न की सीमाएं गति के संबंधित मान होंगी और . चूँकि का समाकलन बराबर है , तो परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:

.

दाईं ओर के अभिन्न अंग सक्रिय बलों के आवेगों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, अंततः हमारे पास होगा:

.

समीकरण किसी बिंदु के संवेग में परिवर्तन के बारे में प्रमेय को अंतिम रूप में व्यक्त करता है: किसी निश्चित समयावधि में किसी बिंदु के संवेग में परिवर्तन उसी समयावधि में बिंदु पर कार्य करने वाले सभी बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है (चावल। 15).

समस्याओं को हल करते समय, वेक्टर समीकरणों के बजाय अक्सर अनुमानों में समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

अक्ष के अनुदिश होने वाली सीधीरेखीय गति के मामले में ओहप्रमेय इन समीकरणों में से पहले द्वारा व्यक्त किया गया है।

स्व-परीक्षण प्रश्न

यांत्रिकी के बुनियादी नियम तैयार करें।

किस समीकरण को गतिकी का मूलभूत समीकरण कहा जाता है?

स्थानांतरणीय गति के दौरान ठोस पिंडों की जड़त्व की माप क्या है?

क्या किसी पिंड का वजन पृथ्वी पर उसके स्थान पर निर्भर करता है?

किस संदर्भ प्रणाली को जड़त्वीय कहा जाता है?

किसी भौतिक बिंदु का जड़त्व बल किस पिंड पर लगाया जाता है और इसका मापांक और दिशा क्या है?

"जड़त्व" और "जड़त्व के बल" की अवधारणाओं के बीच अंतर स्पष्ट करें?

जड़त्वीय बल किन पिंडों पर लगाया जाता है, इसे कैसे निर्देशित किया जाता है और इसकी गणना किस सूत्र से की जा सकती है?

कीनेटोस्टैटिक्स का सिद्धांत क्या है?

किसी भौतिक बिंदु की स्पर्शरेखा और सामान्य जड़त्व बलों के मॉड्यूल और दिशाएँ क्या हैं?

शरीर का वजन क्या कहलाता है? द्रव्यमान की SI इकाई क्या है?

किसी पिंड की जड़ता का माप क्या है?

गतिकी के मूल नियम को सदिश और अवकल रूप में लिखिए?

एक भौतिक बिंदु पर एक स्थिर बल कार्य करता है। बिंदु कैसे गति करता है?

यदि किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल के दोगुने के बराबर बल कार्य करता है तो उसे कितना त्वरण प्राप्त होगा?

द्रव्यमान के साथ दो भौतिक बिंदुओं की टक्कर के बाद एम 1 =6 किलो और एम 2 =24 किग्रा पहले बिंदु पर 1.6 मीटर/सेकेंड का त्वरण प्राप्त हुआ। दूसरे बिंदु द्वारा प्राप्त त्वरण क्या है?

किसी भौतिक बिंदु की किस गति पर उसका स्पर्शरेखीय जड़त्व बल शून्य के बराबर होता है और किस गति पर यह सामान्य होता है?

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर से संबंधित बिंदु की जड़ता के घूर्णी और केन्द्रापसारक बलों के मॉड्यूल की गणना करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?

बिंदु गतिकी का मूल नियम कैसे तैयार किया जाता है?

बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के नियम का सूत्रीकरण दीजिए।

किसी भौतिक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण सदिश और निर्देशांक रूप में लिखिए।

बिंदु गतिकी की पहली और दूसरी मुख्य समस्याओं का सार तैयार करें।

वे स्थितियाँ दीजिए जिनसे किसी भौतिक बिंदु की गति के विभेदक समीकरणों के एकीकरण स्थिरांक निर्धारित किए जाते हैं।

गतिकी के कौन से समीकरण किसी भौतिक बिंदु की गति के प्राकृतिक समीकरण कहलाते हैं?

बिंदु गतिकी की दो मुख्य समस्याएं क्या हैं जिन्हें किसी भौतिक बिंदु की विभेदक गतियों का उपयोग करके हल किया जाता है?

एक मुक्त भौतिक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण।

किसी भौतिक बिंदु की गति के अंतर समीकरणों को एकीकृत करते समय स्थिरांक कैसे निर्धारित किए जाते हैं?

किसी भौतिक बिंदु की गति के अंतर समीकरणों को एकीकृत करते समय प्रकट होने वाले मनमाने स्थिरांक के मूल्यों का निर्धारण।

किसी पिंड के मुक्त रूप से गिरने के नियम क्या हैं?

अंतरिक्ष में क्षितिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियाँ किस नियम के अनुसार होती हैं? इसकी गति का प्रक्षेप पथ क्या है और किस कोण पर पिंड की उड़ान सीमा सबसे अधिक है?

समय की एक सीमित अवधि में एक परिवर्तनशील बल के आवेग की गणना कैसे करें?

किसी भौतिक बिंदु का संवेग क्या कहलाता है?

किसी बल के प्राथमिक कार्य को बल के अनुप्रयोग बिंदु के प्रारंभिक पथ के माध्यम से कैसे व्यक्त किया जाए और कैसे - इस बिंदु के चाप निर्देशांक की वृद्धि के माध्यम से?

किस विस्थापन पर गुरुत्वाकर्षण का कार्य होता है: ए) सकारात्मक, बी) नकारात्मक, सी) शून्य?

कोणीय वेग के साथ एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले किसी भौतिक बिंदु पर लगाए गए बल की शक्ति की गणना कैसे करें?

किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन के बारे में एक प्रमेय तैयार करें।

किन परिस्थितियों में किसी भौतिक बिंदु का संवेग नहीं बदलता है? किन परिस्थितियों में एक निश्चित अक्ष पर इसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है?

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में विभेदक एवं परिमित रूप में परिवर्तन पर प्रमेय का सूत्रीकरण दीजिए।

a) केंद्र, b) अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग क्या कहलाता है?

केंद्र के सापेक्ष और अक्ष के सापेक्ष किसी बिंदु के कोणीय संवेग में परिवर्तन के बारे में प्रमेय कैसे तैयार किया जाता है?

किन परिस्थितियों में अक्ष के सापेक्ष किसी बिंदु का कोणीय संवेग अपरिवर्तित रहता है?

किसी भौतिक बिंदु का केंद्र के सापेक्ष और अक्ष के सापेक्ष कोणीय संवेग कैसे निर्धारित किया जाता है? उनके बीच क्या संबंध है?

किसी भौतिक बिंदु के संवेग सदिश के किस स्थान पर अक्ष के सापेक्ष इसका आघूर्ण शून्य के बराबर होता है?

किसी केंद्रीय बल के प्रभाव में गतिमान किसी भौतिक बिंदु का प्रक्षेप पथ एक ही तल में क्यों होता है?

किसी बिंदु की कौन सी गति सीधीरेखीय कहलाती है? किसी भौतिक बिंदु की सरलरेखीय गति के लिए अवकल समीकरण लिखिए।

किसी भौतिक बिंदु की समतल गति के विभेदक समीकरण लिखिए।

प्रथम प्रकार के लैग्रेंज अंतर समीकरणों द्वारा किसी भौतिक बिंदु की किस गति का वर्णन किया गया है?

किन मामलों में किसी भौतिक बिंदु को गैर-मुक्त कहा जाता है और इस बिंदु की गति के अंतर समीकरण क्या हैं?

स्थिर और गैर-स्थिर, होलोनोमिक और गैर-होलोनोमिक कनेक्शन की परिभाषाएँ दें।

किस प्रकार के कनेक्शन को द्विपक्षीय कहा जाता है? एकतरफ़ा?

बंधनों से मुक्ति के सिद्धांत का सार क्या है?

लैग्रेंज रूप में एक गैर-मुक्त सामग्री बिंदु की गति के अंतर समीकरणों का क्या रूप होता है? लैग्रेंज गुणक किसे कहते हैं?

कोरिओलिस गतिशील प्रमेय का सूत्रीकरण दीजिए।

गैलीलियो-न्यूटन के सापेक्षता सिद्धांत का सार क्या है?

उन आंदोलनों का नाम बताइए जिनमें कोरिओलिस जड़त्व बल शून्य है।

स्थानांतरण और कोरिओलिस जड़त्वीय बलों में कौन सा मॉड्यूल और कौन सी दिशा है?

किसी भौतिक बिंदु की सापेक्ष और निरपेक्ष गति के अंतर समीकरणों के बीच क्या अंतर है?

स्थानांतरण गति के विभिन्न मामलों में स्थानांतरण और कोरिओलिस जड़त्व बल कैसे निर्धारित किए जाते हैं?

शास्त्रीय यांत्रिकी के सापेक्षता के सिद्धांत का सार क्या है?

किन संदर्भ प्रणालियों को जड़त्वीय कहा जाता है?

किसी भौतिक बिंदु के सापेक्ष विश्राम की स्थिति क्या है?

पृथ्वी की सतह पर किन बिंदुओं पर गुरुत्वाकर्षण का मान सबसे अधिक और सबसे कम होता है?

गिरते पिंडों का पूर्व की ओर विचलन क्या बताता है?

ऊर्ध्वाधर रूप से फेंका गया पिंड किस दिशा में विक्षेपित होता है?

एक बाल्टी को त्वरण के साथ शाफ्ट में उतारा जाता है ए=4 मी/से 2. बाल्टी गुरुत्वाकर्षण जी=2 केएन. टब को सहारा देने वाली रस्सी का तनाव बल निर्धारित करें?

दो भौतिक बिंदु 10 और 100 मीटर/सेकेंड की निरंतर गति के साथ एक सीधी रेखा में चलते हैं। क्या हम कह सकते हैं कि इन बिंदुओं पर बलों की समतुल्य प्रणाली लागू होती है?

1) यह असंभव है;

5 और 15 किग्रा द्रव्यमान के दो भौतिक बिंदुओं पर समान बल लगाए जाते हैं। इन बिंदुओं के त्वरण के संख्यात्मक मानों की तुलना करें?

1) त्वरण समान हैं;

2) 15 किग्रा द्रव्यमान वाले एक बिंदु का त्वरण 5 किग्रा द्रव्यमान वाले एक बिंदु के त्वरण से तीन गुना कम है।

क्या संतुलन समीकरणों का उपयोग करके गतिशीलता की समस्याओं को हल किया जा सकता है?

किसी भौतिक बिंदु को बल के प्रभाव में गति करने दें एफ. चलती प्रणाली के सापेक्ष इस बिंदु की गति को निर्धारित करना आवश्यक है ऑक्सीज़(किसी भौतिक बिंदु की जटिल गति देखें), जो एक स्थिर प्रणाली के संबंध में ज्ञात तरीके से चलती है हे 1 एक्स 1 य 1 जेड 1 .

एक स्थिर प्रणाली में गतिशीलता का बुनियादी समीकरण

आइए कोरिओलिस प्रमेय का उपयोग करके एक बिंदु का पूर्ण त्वरण लिखें

कहाँ ए पेट- पूर्ण त्वरण;

ए रिले– सापेक्ष त्वरण;

ए गली- पोर्टेबल त्वरण;

ए मुख्य– कोरिओलिस त्वरण.

आइए (25) को ध्यान में रखते हुए (26) को फिर से लिखें

आइए हम संकेतन का परिचय दें
- पोर्टेबल जड़ता बल,
- कोरिओलिस जड़त्वीय बल. तब समीकरण (27) का रूप लेता है

सापेक्ष गति का अध्ययन करने के लिए गतिशीलता का मूल समीकरण (28) उसी तरह लिखा जाता है जैसे निरपेक्ष गति के लिए, एक बिंदु पर कार्य करने वाले बलों में केवल जड़ता के स्थानांतरण और कोरिओलिस बलों को जोड़ा जाना चाहिए।

किसी भौतिक बिंदु की गतिशीलता पर सामान्य प्रमेय

कई समस्याओं को हल करते समय, आप न्यूटन के दूसरे नियम के आधार पर प्राप्त पूर्व-निर्मित रिक्त स्थान का उपयोग कर सकते हैं। इस अनुभाग में ऐसी समस्या समाधान विधियों को संयोजित किया गया है।

किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

आइए हम निम्नलिखित गतिशील विशेषताओं का परिचय दें:

1. किसी भौतिक बिंदु का संवेग– सदिश राशि एक बिंदु के द्रव्यमान और उसके वेग सदिश के गुणनफल के बराबर होती है

. (29)

2. बल आवेग

बल का प्राथमिक आवेग- वेक्टर मात्रा बल वेक्टर और प्रारंभिक समय अंतराल के उत्पाद के बराबर

(30).

तब पूर्ण आवेग

. (31)

पर एफ= स्थिरांक हमें मिलता है एस=फुट.

किसी सीमित अवधि के लिए कुल आवेग की गणना केवल दो मामलों में की जा सकती है, जब किसी बिंदु पर कार्य करने वाला बल स्थिर हो या समय पर निर्भर हो। अन्य मामलों में, बल को समय के फलन के रूप में व्यक्त करना आवश्यक है।

आवेग (29) और गति (30) के आयामों की समानता हमें उनके बीच एक मात्रात्मक संबंध स्थापित करने की अनुमति देती है।

आइए एक मनमाना बल की कार्रवाई के तहत एक भौतिक बिंदु एम की गति पर विचार करें एफएक मनमाना प्रक्षेपवक्र के साथ.

के बारे में यूडी:
. (32)

हम (32) में चरों को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं

. (33)

परिणामस्वरूप, (31) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

. (34)

समीकरण (34) निम्नलिखित प्रमेय को व्यक्त करता है।

प्रमेय: किसी निश्चित समयावधि में किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन उसी समय अंतराल में उस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के आवेग के बराबर होता है।

समस्याओं को हल करते समय, समीकरण (34) को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए

इस प्रमेय का उपयोग तब सुविधाजनक होता है जब दी गई और अज्ञात मात्राओं के बीच किसी बिंदु का द्रव्यमान, उसकी प्रारंभिक और अंतिम गति, बल और गति का समय होता है।

किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

एम
किसी भौतिक बिंदु के संवेग का क्षणकेंद्र के सापेक्ष बिंदु और कंधे की गति के मापांक के उत्पाद के बराबर है, अर्थात। वेग वेक्टर के साथ मेल खाने वाली रेखा से केंद्र तक की सबसे छोटी दूरी (लंबवत)।

, (36)

. (37)

बल के क्षण (कारण) और गति के क्षण (प्रभाव) के बीच संबंध निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया है।

मान लीजिए किसी दिए गए द्रव्यमान का बिंदु M है एमबल के प्रभाव में चलता है एफ.

,
,

, (38)

. (39)

आइए (39) के अवकलज की गणना करें

. (40)

(40) और (38) को मिलाने पर, हम अंततः प्राप्त करते हैं

. (41)

समीकरण (41) निम्नलिखित प्रमेय को व्यक्त करता है।

प्रमेय: किसी केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग वेक्टर का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

समस्याओं को हल करते समय, समीकरण (41) को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए

समीकरण (42) में, गति और बल के क्षणों की गणना निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष की जाती है।

(41) से यह अनुसरण करता है कोणीय गति के संरक्षण का नियम (केप्लर का नियम)।

यदि किसी केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु पर लगने वाले बल का क्षण शून्य है, तो इस केंद्र के सापेक्ष बिंदु का कोणीय संवेग अपना परिमाण और दिशा बनाए रखता है।

अगर
, वह
.

प्रमेय और संरक्षण कानून का उपयोग वक्रीय गति से जुड़ी समस्याओं में किया जाता है, खासकर केंद्रीय बलों की कार्रवाई के तहत।