सिद्ध कीजिए कि सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं। सदिशों की प्रणाली की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता

होने देना एल - मैदान के ऊपर रैखिक स्थान आर . होने देना А1, а2, …, а (*) सदिशों की परिमित प्रणाली एल . वेक्टर में = a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक (16) कहा जाता है सदिशों का रैखिक संयोजन ( *), या वे कहते हैं कि यह एक वेक्टर है में वैक्टर (*) की एक प्रणाली के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया गया।

परिभाषा 14. सदिशों की प्रणाली (*) कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर , यदि और केवल यदि गुणांक a1, a2, … का एक गैर-शून्य सेट मौजूद है, तो a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक = 0. यदि a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, तो सिस्टम (*) कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र।

रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के गुण।

10. यदि सदिशों के किसी निकाय में शून्य सदिश हो तो यह रैखिकतः आश्रित होता है।

दरअसल, यदि सिस्टम में (*) वेक्टर है ए1 = 0, वह 1× है 0 + 0× ए2 +… + 0 × एएन = 0 .

20. यदि सदिशों के किसी निकाय में दो आनुपातिक सदिश हों तो यह रैखिकतः आश्रित होता है।

होने देना ए 1 = एल×a2. फिर 1× ए 1 –एल× ए2 + 0× ए3 + … + 0× ए एन= 0.

30. n ³ 2 के लिए सदिशों (*) की एक परिमित प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि इसका कम से कम एक सदिश इस प्रणाली के शेष सदिशों का रैखिक संयोजन हो।

Þ मान लीजिए (*) रैखिक रूप से निर्भर है। फिर गुणांक a1, a2, …, an का एक गैर-शून्य सेट होता है, जिसके लिए a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक = 0 . व्यापकता की हानि के बिना, हम यह मान सकते हैं कि a1 ¹ 0. तब अस्तित्व है ए1= ×a2× ए2 + … + ×एक× ए एन. तो, वेक्टर ए 1 शेष सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

Ü मान लीजिए कि एक सदिश (*) अन्य सदिशों का रैखिक संयोजन है। हम मान सकते हैं कि यह पहला वेक्टर है, यानी। ए1= बी2 ए2+ … + बी.एन ए एन, इसलिए (-1)× ए 1 + बी2 ए2+ … + बी.एन ए एन= 0 , यानी (*) रैखिक रूप से निर्भर है।

टिप्पणी। अंतिम संपत्ति का उपयोग करके, हम वैक्टर की अनंत प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता को परिभाषित कर सकते हैं।

परिभाषा 15. वेक्टर प्रणाली А1, а2, …, а , … (**) कहा जाता है रैखिक रूप से निर्भर, यदि इसका कम से कम एक सदिश अन्य सदिशों की कुछ सीमित संख्या का रैखिक संयोजन है। अन्यथा, सिस्टम (**) को कॉल किया जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र।

40. सदिशों की एक परिमित प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल तभी जब इसके किसी भी सदिश को उसके शेष सदिशों के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता हो।

50. यदि सदिशों की कोई प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, तो उसका कोई उपप्रणाली भी रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

60. यदि सदिशों की दी गई प्रणाली का कुछ उपतंत्र रैखिक रूप से निर्भर है, तो संपूर्ण प्रणाली भी रैखिक रूप से निर्भर है।

मान लीजिए सदिशों की दो प्रणालियाँ दी गई हैं А1, а2, …, а , …(16) और बी1, बी2,…, बीएस,… (17). यदि सिस्टम (16) के प्रत्येक वेक्टर को सिस्टम (17) के सीमित संख्या में वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो सिस्टम (17) को सिस्टम (16) के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

परिभाषा 16. दो वेक्टर सिस्टम कहलाते हैं समकक्ष , यदि उनमें से प्रत्येक को दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

प्रमेय 9 (बुनियादी रैखिक निर्भरता प्रमेय)।

जाने भी दो – सदिशों की दो परिमित प्रणालियाँ एल . यदि पहली प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है और दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त की जाती है एन£s.

सबूत।चलिए ऐसा दिखावा करते हैं एन> एस।प्रमेय की शर्तों के अनुसार

संयुक्त चूँकि समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या से अधिक है, सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं। इसलिए, इसमें एक गैर-शून्य है X10, x20,…, xन0. इन मूल्यों के लिए, समानता (18) सत्य होगी, जो इस तथ्य का खंडन करती है कि वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। तो हमारी धारणा गलत है. इस तरह, एन£s.

परिणाम।यदि सदिशों की दो समतुल्य प्रणालियाँ परिमित और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उनमें सदिशों की संख्या समान होती है।

परिभाषा 17. वेक्टर प्रणाली कहलाती है सदिशों की अधिकतम रैखिकतः स्वतंत्र प्रणाली रैखिक स्थान एल , यदि यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन इसमें कोई भी वेक्टर जोड़ते समय एल , इस प्रणाली में शामिल नहीं होने पर, यह रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है।

प्रमेय 10. सदिशों की कोई दो परिमित अधिकतम रैखिकतः स्वतंत्र प्रणालियाँ एल सदिशों की संख्या समान हो।

सबूतइस तथ्य से पता चलता है कि सदिशों की कोई भी दो अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणालियाँ समतुल्य हैं .

यह साबित करना आसान है कि अंतरिक्ष वैक्टर की कोई भी रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली एल इस स्थान में सदिशों की अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली तक विस्तार किया जा सकता है।

उदाहरण:

1. सभी संरेख ज्यामितीय सदिशों के समुच्चय में, एक अशून्य सदिश से युक्त कोई भी प्रणाली अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

2. सभी समतलीय ज्यामितीय सदिशों के समुच्चय में, कोई भी दो असंरेखी सदिश एक अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का निर्माण करते हैं।

3. त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सभी संभावित ज्यामितीय वैक्टर के सेट में, तीन गैर-कॉप्लानर वैक्टर की कोई भी प्रणाली अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

4. सभी बहुपदों के समुच्चय में घात इससे अधिक नहीं होते एनवास्तविक (जटिल) गुणांकों के साथ, बहुपदों की एक प्रणाली 1, एक्स, एक्स2, … , एक्सएनअधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

5. वास्तविक (जटिल) गुणांक वाले सभी बहुपदों के सेट में, अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली के उदाहरण हैं

ए) 1, एक्स, एक्स2, ... , एक्सएन, ... ;

बी) 1, (1 - एक्स), (1 - एक्स)2, … , (1 - एक्स)एन, ...

6. आयाम मैट्रिक्स का सेट एम´ एनएक रैखिक स्थान है (इसे जांचें)। इस स्थान में अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का एक उदाहरण मैट्रिक्स प्रणाली है E11= , ई12 =, …, ईएम.एन. = .

मान लीजिए सदिशों की एक प्रणाली दी गई है सी1, सी2,…, सीएफ (*). (*) से सदिशों की उपप्रणाली कहलाती है अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टमसिस्टम ( *) , यदि यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन इस प्रणाली के किसी अन्य वेक्टर को इसमें जोड़ने पर, यह रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है। यदि सिस्टम (*) परिमित है, तो इसके किसी भी अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसिस्टम में वैक्टर की समान संख्या होती है। (इसे स्वयं सिद्ध करें)। सिस्टम के अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपप्रणाली में वैक्टर की संख्या (*) कहलाती है पद यह प्रणाली। जाहिर है, वैक्टर की समतुल्य प्रणालियों की रैंक समान होती है।

परिभाषा। सदिशों का रैखिक संयोजन a 1 , ..., a n गुणांक x 1 , ..., x n के साथ एक वेक्टर कहलाता है

एक्स 1 ए 1 + ... + एक्स एन ए एन।

मामूली, यदि सभी गुणांक x 1 , ..., x n शून्य के बराबर हैं।

परिभाषा। रैखिक संयोजन x 1 a 1 + ... + x n a n कहलाता है गैर तुच्छ, यदि गुणांक x 1, ..., x n में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है।

रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का कोई गैर-तुच्छ संयोजन नहीं है।

अर्थात्, सदिश a 1, ..., a n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 यदि और केवल यदि x 1 = 0, ..., x n = 0।

परिभाषा। सदिश a 1, ..., a n कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का एक गैर-तुच्छ संयोजन है।

रैखिकतः आश्रित सदिशों के गुण:

2 और 3 आयामी वैक्टर के लिए.

दो रैखिकतः आश्रित सदिश संरेख होते हैं। (संरेख सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।)

3-आयामी वैक्टर के लिए.

तीन रैखिकतः आश्रित सदिश समतलीय हैं। (तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं।)

• एन-आयामी वैक्टर के लिए।

  n + 1 सदिश हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

सदिशों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता पर समस्याओं के उदाहरण:

उदाहरण 1. जांचें कि क्या सदिश a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं .

समाधान:

सदिश रैखिक रूप से निर्भर होंगे, क्योंकि सदिशों का आयाम सदिशों की संख्या से कम है।

उदाहरण 2. जांचें कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

समाधान:

पहली पंक्ति से दूसरी घटाएँ; तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें:

यह समाधान दर्शाता है कि सिस्टम में कई समाधान हैं, यानी, संख्याओं x 1, x 2, x 3 के मानों का एक गैर-शून्य संयोजन है जैसे कि वैक्टर ए, बी, सी का रैखिक संयोजन बराबर है उदाहरण के लिए, शून्य वेक्टर:

ए+बी+सी=0

और इसका मतलब है कि वेक्टर ए, बी, सी रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उत्तर:सदिश a, b, c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उदाहरण 3. जांचें कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

समाधान:आइए उन गुणांकों के मान ज्ञात करें जिन पर इन वैक्टरों का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर होगा।

इस सदिश समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

आइए गॉस विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें

दूसरी पंक्ति से पहली को घटाएँ; तीसरी पंक्ति से पहली घटाएँ:

पहली पंक्ति से दूसरी घटाएँ; तीसरी पंक्ति में दूसरा जोड़ें.

दूसरे शब्दों में, सदिशों के एक समूह की रैखिक निर्भरता का अर्थ है कि उनके बीच एक सदिश है जिसे इस समूह में अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है।

हम कहते हैं। तब

इसलिए वेक्टर एक्सइस समूह के सदिशों पर रैखिक रूप से निर्भर।

वैक्टर एक्स, य, ..., जेडरैखिक कहलाते हैं स्वतंत्र सदिश, यदि यह समानता (0) से अनुसरण करता है

α=β= ...= γ=0.

अर्थात्, सदिशों के समूह रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि इस समूह में किसी भी सदिश को अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है।

सदिशों की रैखिक निर्भरता का निर्धारण

मान लीजिए n क्रम के m स्ट्रिंग सदिश दिए गए हैं:

गॉसियन अपवाद बनाने के बाद, हम मैट्रिक्स (2) को ऊपरी त्रिकोणीय रूप में कम करते हैं। अंतिम कॉलम के तत्व तभी बदलते हैं जब पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। एम उन्मूलन चरणों के बाद हमें मिलता है:

कहाँ मैं 1 , मैं 2 , ..., मैंएम - संभावित पंक्ति पुनर्व्यवस्था से प्राप्त पंक्ति सूचकांक। पंक्ति सूचकांकों से परिणामी पंक्तियों पर विचार करते हुए, हम उन पंक्तियों को बाहर कर देते हैं जो शून्य पंक्ति वेक्टर के अनुरूप हैं। शेष रेखाएँ रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश बनाती हैं। ध्यान दें कि मैट्रिक्स (2) बनाते समय, पंक्ति वैक्टर के अनुक्रम को बदलकर, आप रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक और समूह प्राप्त कर सकते हैं। लेकिन सदिशों के ये दोनों समूह जो उप-स्थान बनाते हैं, वह मेल खाता है।

हमारे द्वारा परिचय सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँके लिए विभिन्न अभिव्यक्तियाँ बनाना संभव बनाएँ वेक्टर मात्राएँऔर इन परिचालनों के लिए निर्धारित गुणों का उपयोग करके उन्हें रूपांतरित करें।

वैक्टरों के दिए गए सेट a 1, ..., a n के आधार पर, आप फॉर्म की अभिव्यक्ति बना सकते हैं

जहाँ a 1, ..., और n मनमानी वास्तविक संख्याएँ हैं। इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है सदिशों का रैखिक संयोजनए 1, ..., ए एन। संख्याएँ α i, i = 1, n, दर्शाती हैं रैखिक संयोजन गुणांक. सदिशों के समुच्चय को भी कहा जाता है वैक्टर की प्रणाली.

सदिशों के रैखिक संयोजन की प्रस्तुत अवधारणा के संबंध में, सदिशों के एक सेट का वर्णन करने में समस्या उत्पन्न होती है जिसे सदिशों की दी गई प्रणाली a 1, ..., a n के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। इसके अलावा, उन स्थितियों के बारे में स्वाभाविक प्रश्न हैं जिनके तहत एक रैखिक संयोजन के रूप में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व होता है, और ऐसे प्रतिनिधित्व की विशिष्टता के बारे में।

परिभाषा 2.1.सदिश a 1, ..., और n कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि गुणांकों का एक सेट है α 1 , ... , α n ऐसा है कि

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

और इनमें से कम से कम एक गुणांक गैर-शून्य है। यदि गुणांकों का निर्दिष्ट सेट मौजूद नहीं है, तो वैक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र.

यदि α 1 = ... = α n = 0, तो, जाहिर है, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. इसे ध्यान में रखते हुए, हम यह कह सकते हैं: वैक्टर a 1, ..., और n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि समानता (2.2) से यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी गुणांक α 1 , ... , α n शून्य के बराबर हैं।

निम्नलिखित प्रमेय बताता है कि नई अवधारणा को "निर्भरता" (या "स्वतंत्रता") शब्द क्यों कहा जाता है, और रैखिक निर्भरता के लिए एक सरल मानदंड प्रदान करता है।

प्रमेय 2.1.सदिश a 1, ..., और n, n > 1 के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनमें से एक अन्य का रैखिक संयोजन हो।

◄आवश्यकता. आइए मान लें कि सदिश a 1, ..., और n रैखिक रूप से निर्भर हैं। रैखिक निर्भरता की परिभाषा 2.1 के अनुसार, बाईं ओर समानता (2.2) में कम से कम एक गैर-शून्य गुणांक है, उदाहरण के लिए α 1। पहले पद को समानता के बाईं ओर छोड़कर, हम बाकी को हमेशा की तरह, उनके चिह्न बदलते हुए, दाईं ओर ले जाते हैं। परिणामी समानता को α 1 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

ए 1 =-α 2 /α 1 ⋅ ए 2 - ... - α एन /α 1 ⋅ ए एन

वे। शेष सदिशों a 2, ..., a n के रैखिक संयोजन के रूप में सदिश a 1 का निरूपण।

पर्याप्तता. उदाहरण के लिए, पहले वेक्टर a 1 को शेष वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n। सभी पदों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करने पर, हमें 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 प्राप्त होता है, अर्थात। वैक्टर का एक रैखिक संयोजन a 1, ..., a n गुणांक α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, के बराबर शून्य वेक्टर.इस रैखिक संयोजन में, सभी गुणांक शून्य नहीं हैं। परिभाषा 2.1 के अनुसार, सदिश a 1, ..., और n रैखिक रूप से निर्भर हैं।

रैखिक निर्भरता की परिभाषा और मानदंड दो या दो से अधिक वैक्टर की उपस्थिति का संकेत देने के लिए तैयार किए गए हैं। हालाँकि, हम एक वेक्टर की रैखिक निर्भरता के बारे में भी बात कर सकते हैं। इस संभावना को समझने के लिए, "वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं" के बजाय, आपको यह कहना होगा कि "वेक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।" यह देखना आसान है कि अभिव्यक्ति "एक वेक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है" का अर्थ है कि यह एकल वेक्टर शून्य है (एक रैखिक संयोजन में केवल एक गुणांक होता है, और यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए)।

रैखिक निर्भरता की अवधारणा की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है। निम्नलिखित तीन कथन इस व्याख्या को स्पष्ट करते हैं।

प्रमेय 2.2.दो सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं यदि और केवल यदि वे संरेख.

◄ यदि सदिश a और b रैखिक रूप से आश्रित हैं, तो उनमें से एक, उदाहरण के लिए a, दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, अर्थात। किसी वास्तविक संख्या λ के लिए a = λb। परिभाषा 1.7 के अनुसार काम करता हैप्रति संख्या सदिश, सदिश a और b संरेख हैं।

मान लीजिए कि अब सदिश a और b संरेख हैं। यदि वे दोनों शून्य हैं, तो यह स्पष्ट है कि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि उनमें से कोई भी रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर है। मान लीजिए कि इनमें से एक वेक्टर 0 के बराबर नहीं है, उदाहरण के लिए वेक्टर बी। आइए हम सदिश लंबाई के अनुपात को λ से निरूपित करें: λ = |a|/|b| संरेख सदिश हो सकते हैं दिशाहीनया विपरीत दिशा में निर्देशित. बाद वाले मामले में, हम λ का चिह्न बदलते हैं। फिर, परिभाषा 1.7 की जाँच करते हुए, हम आश्वस्त हैं कि a = λb। प्रमेय 2.1 के अनुसार, सदिश a और b रैखिक रूप से निर्भर हैं।

टिप्पणी 2.1.दो सदिशों के मामले में, रैखिक निर्भरता की कसौटी को ध्यान में रखते हुए, सिद्ध प्रमेय को निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है: दो सदिश संरेख होते हैं यदि और केवल तभी जब उनमें से एक को किसी संख्या द्वारा दूसरे के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है। यह दो सदिशों की संरेखता के लिए एक सुविधाजनक मानदंड है।

प्रमेय 2.3.तीन सदिश रैखिकतः आश्रित हैं यदि और केवल यदि वे समतलीय.

◄ यदि तीन सदिश a, b, c रैखिक रूप से आश्रित हैं, तो, प्रमेय 2.1 के अनुसार, उनमें से एक, उदाहरण के लिए a, अन्य का एक रैखिक संयोजन है: a = βb + γc। आइए हम सदिशों b और c के मूलों को बिंदु A पर संयोजित करें। तब सदिशों βb, γс का बिंदु A पर और साथ में एक उभयनिष्ठ मूल होगा समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार उनका योग हैवे। वेक्टर a मूल A और वाला एक वेक्टर होगा समाप्त, जो घटक सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का शीर्ष है। इस प्रकार, सभी सदिश एक ही समतल अर्थात् समतलीय में स्थित होते हैं।

मान लीजिए सदिश a, b, c समतलीय हैं। यदि इनमें से एक वेक्टर शून्य है, तो यह स्पष्ट है कि यह अन्य का एक रैखिक संयोजन होगा। यह एक रैखिक संयोजन के सभी गुणांकों को शून्य के बराबर लेने के लिए पर्याप्त है। इसलिए, हम मान सकते हैं कि तीनों सदिश शून्य नहीं हैं। अनुकूल शुरू कर दियाये सदिश एक उभयनिष्ठ बिंदु O पर हैं। मान लीजिए कि उनके सिरे क्रमशः बिंदु A, B, C हैं (चित्र 2.1)। बिंदु C से होकर हम बिंदु O, A और O, B के जोड़े से गुजरने वाली रेखाओं के समानांतर रेखाएँ खींचते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदुओं को A" और B" के रूप में निर्दिष्ट करते हुए, हमें एक समांतर चतुर्भुज OA"CB" प्राप्त होता है, इसलिए, OC" = OA" + OB"। वेक्टर OA" और गैर-शून्य वेक्टर a = OA संरेख हैं, और इसलिए उनमें से पहला दूसरे को वास्तविक संख्या α:OA" = αOA से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। इसी तरह, OB" = βOB, β ∈ R. परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है कि OC" = α OA. + βOB, यानी वेक्टर c, वैक्टर a और b का एक रैखिक संयोजन है। प्रमेय 2.1 के अनुसार, वैक्टर a, b, c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

प्रमेय 2.4.कोई भी चार सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।

◄ हम प्रमेय 2.3 की समान योजना के अनुसार प्रमाण देते हैं। मनमाने ढंग से चार वैक्टर ए, बी, सी और डी पर विचार करें। यदि चार सदिशों में से एक शून्य है, या उनमें से दो संरेख सदिश हैं, या चार सदिशों में से तीन समतलीय हैं, तो ये चार सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं। उदाहरण के लिए, यदि सदिश a और b संरेख हैं, तो हम उनके रैखिक संयोजन αa + βb = 0 को गैर-शून्य गुणांक के साथ बना सकते हैं, और फिर शून्य को गुणांक के रूप में लेते हुए, इस संयोजन में शेष दो सदिश जोड़ सकते हैं। हमें 0 के बराबर चार सदिशों का एक रैखिक संयोजन प्राप्त होता है, जिसमें गैर-शून्य गुणांक होते हैं।

इस प्रकार, हम मान सकते हैं कि चयनित चार वैक्टरों में से कोई भी वेक्टर शून्य नहीं है, कोई भी दो संरेख नहीं हैं, और कोई भी तीन समतलीय नहीं हैं। आइए बिंदु O को उनकी सामान्य शुरुआत के रूप में चुनें, फिर वैक्टर a, b, c, d के सिरे कुछ बिंदु A, B, C, D होंगे (चित्र 2.2)। बिंदु D के माध्यम से हम समतल BC, OCA, OAB के समानांतर तीन समतल बनाते हैं और क्रमशः A", B", C" को सीधी रेखाओं OA, OB, OS के साथ इन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु मानते हैं। हमें एक प्राप्त होता है समांतर चतुर्भुज OA" C "B" C" B"DA", और सदिश a, b, c शीर्ष O से निकलने वाले इसके किनारों पर स्थित हैं। चूंकि चतुर्भुज OC"DC" एक समांतर चतुर्भुज है, तो OD = OC" + OC " बदले में, खंड OC" एक विकर्ण OA"C"B" है, इसलिए OC" = OA" + OB" और OD = OA" + OB" + OC" है।

यह ध्यान रखना बाकी है कि वैक्टर OA ≠ 0 और OA" , OB ≠ 0 और OB" , OC ≠ 0 और OC" के जोड़े संरेख हैं, और इसलिए, गुणांक α, β, γ का चयन करना संभव है ताकि OA" = αOA , OB" = βOB और OC" = γOC. अंततः हमें OD = αOA + βOB + γOC प्राप्त होता है। नतीजतन, OD वेक्टर को अन्य तीन वैक्टर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, और प्रमेय 2.1 के अनुसार सभी चार वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

ए 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ए 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ए 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

समाधान।हम समीकरणों की प्रणाली का एक सामान्य समाधान ढूंढ रहे हैं

ए 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2 + ए 3 एक्स 3 = Θ

गॉस विधि. ऐसा करने के लिए, हम इस सजातीय प्रणाली को निर्देशांक में लिखते हैं:

सिस्टम मैट्रिक्स

अनुमत प्रणाली का रूप है: (आर ए = 2, एन=3). व्यवस्था सहयोगात्मक एवं अनिश्चित है। इसका सामान्य समाधान ( एक्स 2 - मुक्त चर): एक्स 3 = 13एक्स 2 ; 3एक्स 1 – 2एक्स 2 – 13एक्स 2 = 0 => एक्स 1 = 5एक्स 2 => एक्सओ = . उदाहरण के लिए, एक गैर-शून्य विशेष समाधान की उपस्थिति इंगित करती है कि सदिश ए 1 , ए 2 , ए 3 रैखिक रूप से निर्भर.

उदाहरण 2.

पता लगाएं कि सदिशों की दी गई प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है या रैखिक रूप से स्वतंत्र है:

1. ए 1 = { -20, -15, - 4 }, ए 2 = { –7, -2, -4 }, ए 3 = { 3, –1, –2 }.

समाधान।समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें ए 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2 + ए 3 एक्स 3 = Θ

या विस्तारित रूप में (निर्देशांक द्वारा)

प्रणाली सजातीय है. यदि वह अविकृत है तो उसका अनोखा समाधान है। एक सजातीय प्रणाली के मामले में, एक शून्य (तुच्छ) समाधान होता है। इसका मतलब यह है कि इस मामले में वैक्टर की प्रणाली स्वतंत्र है। यदि सिस्टम पतित है, तो इसमें गैर-शून्य समाधान हैं और इसलिए, यह निर्भर है।

हम विकृति के लिए सिस्टम की जाँच करते हैं:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

सिस्टम गैर-पतित है और, इस प्रकार, वैक्टर ए 1 , ए 2 , ए 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र।

कार्य.पता लगाएं कि सदिशों की दी गई प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है या रैखिक रूप से स्वतंत्र है:

1. ए 1 = { -4, 2, 8 }, ए 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ए 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ए 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ए 1 = { -7, 5, 19 }, ए 2 = { -5, 7 , -7 }, ए 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ए 1 = { 1, 2, -2 }, ए 2 = { 0, -1, 4 }, ए 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ए 1 = { 1, 8 , -1 }, ए 2 = { -2, 3, 3 }, ए 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ए 1 = { 1, 2 , 3 }, ए 2 = { 2, -1 , 1 }, ए 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ए 1 = {0, 1, 1 , 0}, ए 2 = {1, 1 , 3, 1}, ए 3 = {1, 3, 5, 1}, ए 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ए 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ए 2 = {2, 3 , 2, 1}, ए 3 = {4, 4, 4, -3}, ए 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. साबित करें कि वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी यदि इसमें शामिल है:

ए) दो समान वेक्टर;

बी) दो आनुपातिक वैक्टर।