रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता. रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता, गुण, रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन, उदाहरण और समाधान रैखिक स्वतंत्रता प्रमेय

लेम्मा 1 : यदि n n आकार के मैट्रिक्स में कम से कम एक पंक्ति (स्तंभ) शून्य है, तो मैट्रिक्स की पंक्तियाँ (स्तंभ) रैखिक रूप से निर्भर होती हैं।

सबूत:मान लीजिए कि पहली पंक्ति शून्य है

कहाँ एक 1 0. यही तो आवश्यक था.

परिभाषा: एक मैट्रिक्स जिसके मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित तत्व शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं त्रिकोणीय:

और आईजे = 0, मैं>जे.

लेम्मा 2: त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

मैट्रिक्स के आयाम पर प्रेरण द्वारा प्रमाण देना आसान है।

प्रमेय सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता पर.

ए)ज़रूरत: रैखिक रूप से निर्भर डी=0 .

सबूत:उन्हें रैखिक रूप से निर्भर होने दें, जे=,

अर्थात्, ऐसे j हैं, सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, जे= ,क्या ए 1 ए 1 + ए 2 ए 2 + ... ए एन ए एन =, ए जे –मैट्रिक्स कॉलम एक।उदाहरण के लिए, चलो एक n¹0.

हमारे पास है ए जे * = ए जे / ए एन, जे£ एन-1ए 1 * ए 1 + ए 2 * ए 2 + ... ए एन -1 * ए एन -1 + ए एन =।

आइए मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को बदलें एपर

ए एन * = ए 1 * ए 1 + ए 2 * ए 2 + ... ए एन -1 ए एन -1 + ए एन =।

निर्धारक की उपरोक्त सिद्ध संपत्ति के अनुसार (यदि मैट्रिक्स में किसी अन्य कॉलम को किसी संख्या से गुणा करके किसी कॉलम में जोड़ा जाता है तो यह नहीं बदलेगा), नए मैट्रिक्स का निर्धारक निर्धारक के बराबर है मूल एक. लेकिन नए मैट्रिक्स में एक कॉलम शून्य है, जिसका अर्थ है कि, इस कॉलम पर निर्धारक का विस्तार करने पर, हमें मिलता है डी=0,क्यू.ई.डी.

बी)पर्याप्तता:आकार मैट्रिक्स एन एनरैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों के साथइसे हमेशा उन परिवर्तनों का उपयोग करके त्रिकोणीय रूप में कम किया जा सकता है जो निर्धारक के पूर्ण मूल्य को नहीं बदलते हैं। इसके अलावा, मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों की स्वतंत्रता से, यह पता चलता है कि इसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

1. यदि आकार मैट्रिक्स में एन एनरैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों वाले तत्व के साथ एक 11शून्य के बराबर है, तो वह स्तंभ जिसका तत्व ए 1 जे ¹ 0. लेम्मा 1 के अनुसार, ऐसा तत्व मौजूद है। परिवर्तित मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक से केवल संकेत में भिन्न हो सकता है।

2. संख्याओं वाली रेखाओं से मैं>1भिन्न से गुणा की गई पहली पंक्ति को घटाएँ ए आई 1 /ए 11. इसके अलावा, संख्याओं के साथ पंक्तियों के पहले कॉलम में मैं>1आपको शून्य तत्व मिलेंगे.

3. आइए पहले कॉलम को विघटित करके परिणामी मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना शुरू करें। चूँकि इसमें पहले को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं,

डी नया = ए 11 नया (-1) 1+1 डी 11 नया,

कहाँ डी 11 नयाछोटे आकार के मैट्रिक्स का निर्धारक है।

अगला, निर्धारक की गणना करने के लिए डी 11चरण 1, 2, 3 को तब तक दोहराएँ जब तक कि अंतिम निर्धारक आकार मैट्रिक्स का निर्धारक न बन जाए 1 1. चूँकि चरण 1 केवल रूपांतरित होने वाले मैट्रिक्स के निर्धारक के चिह्न को बदलता है, और चरण 2 निर्धारक के मान को बिल्कुल भी नहीं बदलता है, तो, चिह्न तक, हम अंततः मूल मैट्रिक्स के निर्धारक को प्राप्त करेंगे। इस मामले में, चूंकि मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों की रैखिक स्वतंत्रता के कारण, चरण 1 हमेशा संतुष्ट होता है, मुख्य विकर्ण के सभी तत्व शून्य के बराबर नहीं होंगे। इस प्रकार, वर्णित एल्गोरिदम के अनुसार अंतिम निर्धारक, मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य तत्वों के उत्पाद के बराबर है। इसलिए, मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। क्यू.ई.डी.

परिशिष्ट 2

निम्नलिखित रैखिक निर्भरता के लिए कई मानदंड देते हैं और, तदनुसार, वेक्टर प्रणालियों की रैखिक स्वतंत्रता।

प्रमेय. (वेक्टर की रैखिक निर्भरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त।)

सदिशों की एक प्रणाली तभी निर्भर होती है जब प्रणाली का एक सदिश इस प्रणाली के अन्य सदिशों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

सबूत। आवश्यकता. सिस्टम को रैखिक रूप से निर्भर होने दें। फिर, परिभाषा के अनुसार, यह शून्य वेक्टर को गैर-तुच्छ रूप से दर्शाता है, अर्थात। शून्य वेक्टर के बराबर वैक्टर की इस प्रणाली का एक गैर-तुच्छ संयोजन है:

जहां इस रैखिक संयोजन का कम से कम एक गुणांक शून्य के बराबर नहीं है। होने देना , ।

आइए पिछली समानता के दोनों पक्षों को इस गैर-शून्य गुणांक से विभाजित करें (अर्थात इससे गुणा करें:

आइए निरूपित करें: , कहां .

वे। सिस्टम के वैक्टरों में से एक को इस सिस्टम के अन्य वैक्टरों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, आदि।

पर्याप्तता. मान लीजिए कि सिस्टम के एक वेक्टर को इस सिस्टम के अन्य वैक्टर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है:

आइए वेक्टर को इस समानता के दाईं ओर ले जाएं:

चूँकि सदिश का गुणांक बराबर है, तो हमारे पास सदिशों की एक प्रणाली द्वारा शून्य का एक गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व है, जिसका अर्थ है कि सदिशों की यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, आदि।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम।

1. एक सदिश समष्टि में सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल तभी यदि इस प्रणाली का कोई भी सदिश इस प्रणाली के अन्य सदिशों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जाता है।

2. शून्य सदिश या दो समान सदिशों वाले सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

सबूत।

1)आवश्यकता. सिस्टम को रैखिक रूप से स्वतंत्र होने दें। आइए हम इसके विपरीत मान लें और सिस्टम का एक वेक्टर है जो इस सिस्टम के अन्य वैक्टर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। फिर, प्रमेय के अनुसार, प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है और हम एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं।

पर्याप्तता. सिस्टम के किसी भी वेक्टर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त न करें। आइए इसके विपरीत मान लें। मान लीजिए कि सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है, लेकिन फिर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि सिस्टम का एक वेक्टर है जो इस सिस्टम के अन्य वैक्टरों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त होता है, और हम फिर से एक विरोधाभास पर आते हैं।

2ए) मान लीजिए कि सिस्टम में शून्य वेक्टर है। आइए हम निश्चितता के लिए मान लें कि वेक्टर :. तब समानता स्पष्ट है

वे। सिस्टम के वैक्टरों में से एक को इस सिस्टम के अन्य वैक्टरों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिशों की ऐसी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है, आदि।

ध्यान दें कि इस तथ्य को वैक्टर की रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली से सीधे सिद्ध किया जा सकता है।

चूँकि, निम्नलिखित समानता स्पष्ट है

यह शून्य वेक्टर का एक गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व है, जिसका अर्थ है कि सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है।

2बी) मान लीजिए कि सिस्टम में दो समान वेक्टर हैं। के लिए चलो. तब समानता स्पष्ट है

वे। पहला वेक्टर उसी प्रणाली के शेष वैक्टर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, आदि।

पिछले कथन के समान, इस कथन को एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली की परिभाषा द्वारा सीधे सिद्ध किया जा सकता है। फिर यह प्रणाली शून्य वेक्टर को गैर-तुच्छ रूप से दर्शाती है

जहां से सिस्टम की रैखिक निर्भरता का अनुसरण होता है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम। एक वेक्टर से युक्त प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल तभी जब यह वेक्टर शून्येतर हो।

होने देना एल - मैदान के ऊपर रैखिक स्थान आर . होने देना А1, а2, …, а (*) सदिशों की परिमित प्रणाली एल . वेक्टर में = a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक (16) कहा जाता है सदिशों का रैखिक संयोजन ( *), या वे कहते हैं कि यह एक वेक्टर है में वैक्टर (*) की एक प्रणाली के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया गया।

परिभाषा 14. सदिशों की प्रणाली (*) कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर , यदि और केवल यदि गुणांक a1, a2, … का एक गैर-शून्य सेट मौजूद है, तो a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक = 0. यदि a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, तो सिस्टम (*) कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र।

रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के गुण।

10. यदि सदिशों के किसी निकाय में शून्य सदिश हो तो यह रैखिकतः आश्रित होता है।

दरअसल, यदि सिस्टम में (*) वेक्टर है ए1 = 0, वह 1× है 0 + 0× ए2 +… + 0 × एएन = 0 .

20. यदि सदिशों के किसी निकाय में दो आनुपातिक सदिश हों तो यह रैखिकतः आश्रित होता है।

होने देना ए 1 = एल×a2. फिर 1× ए 1 –एल× ए2 + 0× ए3 + … + 0× ए एन= 0.

30. n ³ 2 के लिए सदिशों (*) की एक परिमित प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि इसका कम से कम एक सदिश इस प्रणाली के शेष सदिशों का रैखिक संयोजन हो।

Þ मान लीजिए (*) रैखिक रूप से निर्भर है। फिर गुणांक a1, a2, …, an का एक गैर-शून्य सेट होता है, जिसके लिए a1× ए 1 + a2× ए2 +… + एक× एक = 0 . व्यापकता की हानि के बिना, हम यह मान सकते हैं कि a1 ¹ 0. तब अस्तित्व है ए1= ×a2× ए2 + … + ×एक× ए एन. तो, वेक्टर ए 1 शेष सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

Ü मान लीजिए कि एक सदिश (*) अन्य सदिशों का रैखिक संयोजन है। हम मान सकते हैं कि यह पहला वेक्टर है, यानी। ए1= बी2 ए2+ … + बी.एन ए एन, इसलिए (-1)× ए 1 + बी2 ए2+ … + बी.एन ए एन= 0 , यानी (*) रैखिक रूप से निर्भर है।

टिप्पणी। अंतिम संपत्ति का उपयोग करके, हम वैक्टर की अनंत प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता को परिभाषित कर सकते हैं।

परिभाषा 15. वेक्टर प्रणाली А1, а2, …, а , … (**) कहा जाता है रैखिक रूप से निर्भर, यदि इसका कम से कम एक सदिश अन्य सदिशों की कुछ सीमित संख्या का रैखिक संयोजन है। अन्यथा, सिस्टम (**) को कॉल किया जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र।

40. सदिशों की एक परिमित प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल तभी जब इसके किसी भी सदिश को उसके शेष सदिशों के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता हो।

50. यदि सदिशों की कोई प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, तो उसका कोई उपप्रणाली भी रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

60. यदि सदिशों की दी गई प्रणाली का कुछ उपतंत्र रैखिक रूप से निर्भर है, तो संपूर्ण प्रणाली भी रैखिक रूप से निर्भर है।

मान लीजिए सदिशों की दो प्रणालियाँ दी गई हैं А1, а2, …, а , …(16) और बी1, बी2,…, बीएस,… (17). यदि सिस्टम (16) के प्रत्येक वेक्टर को सिस्टम (17) के सीमित संख्या में वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो सिस्टम (17) को सिस्टम (16) के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

परिभाषा 16. दो वेक्टर सिस्टम कहलाते हैं समकक्ष , यदि उनमें से प्रत्येक को दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

प्रमेय 9 (बुनियादी रैखिक निर्भरता प्रमेय)।

जाने भी दो – सदिशों की दो परिमित प्रणालियाँ एल . यदि पहली प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है और दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त की जाती है एन£s.

सबूत।चलिए ऐसा दिखावा करते हैं एन> एस।प्रमेय की शर्तों के अनुसार

संयुक्त चूँकि समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या से अधिक है, सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं। इसलिए, इसमें एक गैर-शून्य है X10, x20,…, xन0. इन मूल्यों के लिए, समानता (18) सत्य होगी, जो इस तथ्य का खंडन करती है कि वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। तो हमारी धारणा गलत है. इस तरह, एन£s.

परिणाम।यदि सदिशों की दो समतुल्य प्रणालियाँ परिमित और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उनमें सदिशों की संख्या समान होती है।

परिभाषा 17. वेक्टर प्रणाली कहलाती है सदिशों की अधिकतम रैखिकतः स्वतंत्र प्रणाली रैखिक स्थान एल , यदि यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन इसमें कोई भी वेक्टर जोड़ते समय एल , इस प्रणाली में शामिल नहीं होने पर, यह रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है।

प्रमेय 10. सदिशों की कोई दो परिमित अधिकतम रैखिकतः स्वतंत्र प्रणालियाँ एल सदिशों की संख्या समान हो।

सबूतइस तथ्य से पता चलता है कि सदिशों की कोई भी दो अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणालियाँ समतुल्य हैं .

यह साबित करना आसान है कि अंतरिक्ष वैक्टर की कोई भी रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली एल इस स्थान में सदिशों की अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली तक विस्तार किया जा सकता है।

उदाहरण:

1. सभी संरेख ज्यामितीय सदिशों के समुच्चय में, एक अशून्य सदिश से युक्त कोई भी प्रणाली अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

2. सभी समतलीय ज्यामितीय सदिशों के समुच्चय में, कोई भी दो असंरेखी सदिश एक अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का निर्माण करते हैं।

3. त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सभी संभावित ज्यामितीय वैक्टर के सेट में, तीन गैर-कॉप्लानर वैक्टर की कोई भी प्रणाली अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

4. सभी बहुपदों के समुच्चय में घात इससे अधिक नहीं होते एनवास्तविक (जटिल) गुणांकों के साथ, बहुपदों की एक प्रणाली 1, एक्स, एक्स2, … , एक्सएनअधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

5. वास्तविक (जटिल) गुणांक वाले सभी बहुपदों के सेट में, अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली के उदाहरण हैं

ए) 1, एक्स, एक्स2, ... , एक्सएन, ... ;

बी) 1, (1 - एक्स), (1 - एक्स)2, … , (1 - एक्स)एन, ...

6. आयाम मैट्रिक्स का सेट एम´ एनएक रैखिक स्थान है (इसे जांचें)। इस स्थान में अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का एक उदाहरण मैट्रिक्स प्रणाली है E11= , ई12 =, …, ईएम.एन. = .

मान लीजिए सदिशों की एक प्रणाली दी गई है सी1, सी2,…, सीएफ (*). (*) से सदिशों की उपप्रणाली कहलाती है अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टमसिस्टम ( *) , यदि यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन इस प्रणाली के किसी अन्य वेक्टर को इसमें जोड़ने पर, यह रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है। यदि सिस्टम (*) परिमित है, तो इसके किसी भी अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसिस्टम में वैक्टर की समान संख्या होती है। (इसे स्वयं सिद्ध करें)। सिस्टम के अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपप्रणाली में वैक्टर की संख्या (*) कहलाती है पद यह प्रणाली। जाहिर है, वैक्टर की समतुल्य प्रणालियों की रैंक समान होती है।

प्रमेय 1. (ऑर्थोगोनल वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता पर)। मान लीजिए तब सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

आइए एक रैखिक संयोजन बनाएं ∑λ i x i =0 और अदिश गुणनफल पर विचार करें (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, परंतु ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

परिभाषा 1. वेक्टर प्रणालीया (e i ,e j)=δ ij - क्रोनकर प्रतीक, ऑर्थोनॉर्मल (ONS) कहा जाता है।

परिभाषा 2. एक मनमाना अनंत-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक मनमाना तत्व x और तत्वों की एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली के लिए, सिस्टम पर एक तत्व x की फूरियर श्रृंखला को औपचारिक रूप से गठित अनंत योग (श्रृंखला) कहा जाता है , जिसमें वास्तविक संख्या λ i को सिस्टम में तत्व x का फूरियर गुणांक कहा जाता है, जहां λ i =(x,e i)।

एक टिप्पणी। (स्वाभाविक रूप से, इस श्रृंखला के अभिसरण पर सवाल उठता है। इस मुद्दे का अध्ययन करने के लिए, हम एक मनमानी संख्या n तय करते हैं और पता लगाते हैं कि फूरियर श्रृंखला के nवें आंशिक योग को ऑर्थोनॉर्मल सिस्टम के पहले n तत्वों के किसी अन्य रैखिक संयोजन से क्या अलग करता है।)

प्रमेय 2. किसी भी निश्चित संख्या n के लिए, फॉर्म के सभी योगों के बीच, तत्व की फूरियर श्रृंखला के n वें आंशिक योग में दिए गए यूक्लिडियन स्थान के मानदंड के अनुसार तत्व x से सबसे छोटा विचलन होता है

सिस्टम की ऑर्थोनॉर्मलिटी और फूरियर गुणांक की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हम लिख सकते हैं

इस अभिव्यक्ति का न्यूनतम मान c i = λ i पर प्राप्त होता है, क्योंकि इस मामले में दाईं ओर का गैर-नकारात्मक पहला योग हमेशा गायब हो जाता है, और शेष पद c i पर निर्भर नहीं होते हैं।

उदाहरण। त्रिकोणमितीय प्रणाली पर विचार करें

खंड [-π,π] पर सभी रीमैन इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस f(x) के स्थान में। यह जांचना आसान है कि यह एक ONS है, और फिर फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला का रूप है जहां।

एक टिप्पणी। (त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला आमतौर पर फॉर्म में लिखी जाती है तब )

अतिरिक्त मान्यताओं के बिना अनंत-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक मनमाना ओएनएस, आम तौर पर बोलना, इस स्थान का आधार नहीं है। सहज स्तर पर, सख्त परिभाषा दिए बिना, हम मामले के सार का वर्णन करेंगे। एक मनमाना अनंत-आयामी यूक्लिडियन स्थान E में, ONS पर विचार करें, जहां (e i ,e j)=δ ij क्रोनकर प्रतीक है। मान लीजिए कि M यूक्लिडियन समष्टि का एक उपसमष्टि है, और k=M ⊥ M का एक उपसमष्टि ऑर्थोगोनल है जैसे कि यूक्लिडियन समष्टि E=M+M ⊥ । उप-स्थान M पर वेक्टर x∈E का प्रक्षेपण वेक्टर ∈M है, जहां

हम विस्तार गुणांक α k के उन मानों की तलाश करेंगे जिनके लिए अवशिष्ट (वर्ग अवशिष्ट) h 2 =||x-|| 2 न्यूनतम होगा:

एच 2 =||एक्स-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

यह स्पष्ट है कि यह अभिव्यक्ति α k =0 पर न्यूनतम मान लेगी, जो कि तुच्छ है, और α k =(x,e k) पर। फिर ρ मिनट =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. यहां से हमें बेसेल की असमानता ∑α k 2 ||x|| प्राप्त होती है 2. ρ=0 पर वेक्टरों की एक ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली (ONS) को स्टेक्लोव अर्थ (PONS) में एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली कहा जाता है।यहां से हम स्टेक्लोव-पारसेवल समानता ∑α k 2 =||x|| प्राप्त कर सकते हैं। 2 - अनंत-आयामी यूक्लिडियन स्थानों के लिए "पाइथागोरस प्रमेय" जो स्टेक्लोव के अर्थ में पूर्ण हैं। अब यह साबित करना आवश्यक होगा कि अंतरिक्ष में किसी भी वेक्टर को फूरियर श्रृंखला के रूप में विशिष्ट रूप से प्रदर्शित करने के लिए, स्टेक्लोव-पारसेवल समानता को बनाए रखना आवश्यक और पर्याप्त है। सदिशों की प्रणाली pic=''> ONB रूपों? सदिशों की प्रणाली श्रृंखला के आंशिक योग के लिए विचार करें तब एक अभिसारी श्रृंखला की पूँछ की तरह। इस प्रकार, सदिशों की प्रणाली एक PONS है और एक ONB बनाती है।

उदाहरण।त्रिकोणमितीय प्रणाली

खंड पर सभी रीमैन-अभिन्न कार्यों f(x) के स्थान में [-π,π] एक PONS है और एक ONB बनाता है।

फ़ंक्शन कहलाते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र,अगर

(केवल फ़ंक्शंस का एक तुच्छ रैखिक संयोजन जो शून्य के बराबर है, की अनुमति है)। सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता के विपरीत, यहां रैखिक संयोजन शून्य के समान है, समानता नहीं। यह समझ में आने योग्य है, क्योंकि तर्क के किसी भी मूल्य के लिए शून्य के रैखिक संयोजन की समानता को संतुष्ट किया जाना चाहिए।

फ़ंक्शन कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर,यदि स्थिरांकों का एक गैर-शून्य सेट है (सभी स्थिरांक शून्य के बराबर नहीं हैं) जैसे कि (शून्य के बराबर कार्यों का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है)।

प्रमेय.कार्यों के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनमें से कोई भी अन्य के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाए (उनके रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया गया है)।

इस प्रमेय को स्वयं सिद्ध करें; यह उसी प्रकार सिद्ध होता है जैसे सदिशों की रैखिक निर्भरता के बारे में एक समान प्रमेय।

व्रोन्स्की का निर्धारक.

फ़ंक्शंस के लिए व्रोन्स्की निर्धारक को एक निर्धारक के रूप में पेश किया गया है जिसके कॉलम शून्य (स्वयं फ़ंक्शन) से एन-प्रथम क्रम तक इन कार्यों के व्युत्पन्न हैं।

.

प्रमेय. यदि कार्य तो, रैखिक रूप से निर्भर हैं

सबूत। कार्यों के बाद से रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो उनमें से कोई भी दूसरों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए,

पहचान को अलग किया जा सकता है, इसलिए

फिर व्रोन्स्की निर्धारक का पहला स्तंभ शेष स्तंभों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, इसलिए व्रोन्स्की निर्धारक समान रूप से शून्य के बराबर होता है।

प्रमेय.nवें क्रम के रैखिक समांगी अवकल समीकरण के समाधानों को रैखिक रूप से निर्भर करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि.

सबूत। आवश्यकता पिछले प्रमेय से अनुसरण करती है।

पर्याप्तता. आइए कुछ बिंदु तय करें. चूंकि, इस बिंदु पर गणना किए गए निर्धारक के कॉलम रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर हैं।

, कि रिश्ते संतुष्ट हैं

चूँकि एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधानों का एक रैखिक संयोजन ही इसका समाधान है, हम प्रपत्र का एक समाधान प्रस्तुत कर सकते हैं

समान गुणांक वाले समाधानों का एक रैखिक संयोजन।

ध्यान दें कि यह समाधान शून्य प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है, जैसा कि ऊपर लिखे समीकरणों की प्रणाली से होता है। लेकिन एक रैखिक सजातीय समीकरण का तुच्छ समाधान भी उन्हीं शून्य प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करता है। इसलिए, कॉची के प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रस्तुत समाधान समान रूप से तुच्छ समाधान के बराबर है, इसलिए,

इसलिए समाधान रैखिक रूप से निर्भर हैं।

परिणाम।यदि एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधान पर निर्मित व्रोनस्की निर्धारक, कम से कम एक बिंदु पर गायब हो जाता है, तो यह शून्य के बराबर होता है।

सबूत। यदि, तो समाधान रैखिक रूप से निर्भर हैं, इसलिए,।

प्रमेय.1. समाधानों की रैखिक निर्भरता के लिए यह आवश्यक एवं पर्याप्त है(या )।

2. समाधानों की रैखिक स्वतंत्रता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है।

सबूत। पहला कथन ऊपर सिद्ध किए गए प्रमेय और परिणाम से अनुसरण करता है। दूसरे कथन को विरोधाभास द्वारा आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

मान लीजिए कि समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यदि, तो समाधान रैखिक रूप से निर्भर हैं। विरोधाभास। इस तरह, .

होने देना . यदि समाधान रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो , इसलिए, एक विरोधाभास। इसलिए, समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

परिणाम।कम से कम एक बिंदु पर व्रोनस्की निर्धारक का लुप्त होना एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधान की रैखिक निर्भरता के लिए एक मानदंड है।

व्रोनस्की निर्धारक और शून्य के बीच का अंतर एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधान की रैखिक स्वतंत्रता के लिए एक मानदंड है।

प्रमेय.nवें क्रम के एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधान के स्थान का आयाम n के बराबर है।

सबूत।

ए) आइए हम दिखाएं कि एनवें क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए एन रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान मौजूद हैं। आइए समाधानों पर विचार करें , निम्नलिखित प्रारंभिक शर्तों को पूरा करना:

...........................................................

ऐसे समाधान मौजूद हैं. दरअसल, कॉची के प्रमेय के अनुसार, बिंदु के माध्यम से एक एकल अभिन्न वक्र-समाधान से होकर गुजरता है। बिंदु के माध्यम से समाधान बिंदु से होकर गुजरता है

- समाधान, एक बिंदु के माध्यम से - समाधान ।

चूंकि, ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं .

बी) आइए हम दिखाएं कि एक रैखिक सजातीय समीकरण का कोई भी समाधान इन समाधानों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है (यह उनका रैखिक संयोजन है)।

आइए दो समाधानों पर विचार करें. एक - प्रारंभिक शर्तों के साथ एक मनमाना समाधान . उचित अनुपात