कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम बनाइये। §2

गतिज ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के नियम लंबे समय तक एक दूसरे के साथ प्रतिस्पर्धा करते रहे, अग्रणी भूमिका का दावा करते रहे, क्योंकि न तो किसी एक और न ही दूसरे कानून का कोई सख्त औचित्य है। हालाँकि, वैज्ञानिकों को लंबे समय से उनके बीच किसी संबंध के अस्तित्व पर संदेह है, जैसा कि एच. ह्यूजेंस (1629-1695) ने कहा था। ह्यूजेन्स के अनुसार, इस संबंध का अर्थ है कि किसी भी समान रूप से चलती प्रणाली में यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण गति के संरक्षण पर जोर देता है। इसलिए, लंबी बहस के बाद वैज्ञानिक इस नतीजे पर पहुंचे हैं कि ये कानून समतुल्य हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, डी'अलेम्बर्ट ने इस मामले पर निम्नलिखित बयान दिया: “प्रत्येक व्यक्ति को अपने विवेक से इस मुद्दे को हल करने की स्वतंत्रता दी जानी चाहिए। इसके अलावा, उठाया गया प्रश्न शब्दों के बारे में पूरी तरह से निरर्थक आध्यात्मिक विवाद से ज्यादा कुछ नहीं है, जो दार्शनिकों के ध्यान के योग्य नहीं है।
गतिज ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के नियमों के बीच संबंध डब्ल्यू. पॉली (1900-1958) द्वारा स्थापित किया गया था। इस संबंध को सिद्ध करने के लिए वह ह्यूजेन्स के विचार का उपयोग करता है। हम उद्धृत करते हैं: “एक प्रणाली में द्रव्यमान के साथ टकराने वाले कण होते हैं, कणों के वेग प्रभाव के बाद वेग में बदल जाते हैं। ऊर्जा का संरक्षण समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:

सिस्टम को अतिरिक्त गति प्राप्त करने दें वी. प्रभाव से पहले कण वेग अब बराबर होंगे, और प्रभाव के बाद, और ऊर्जा का संरक्षण अब संबंध द्वारा व्यक्त किया गया है:
,

इस तरह:

रफ़्तार वी- मनमाना है, इसलिए लिखित समानता तभी मान्य होगी जब:

दूसरे शब्दों में, कणों की टक्कर से पहले सिस्टम की गति, बाईं ओर की अभिव्यक्ति के बराबर, टक्कर के बाद संरक्षित रहती है।
हम गेंदों की टक्कर के उदाहरण का उपयोग करके इसके विशेष महत्व को देखते हुए इस मुद्दे पर भी विचार करेंगे, लेकिन थोड़ी अलग व्याख्या में (चित्र 1)।
गेंदों को एक मनमाने ढंग से जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में चलने दें एक्स-यएक ही दिशा में (चित्र 1, ए) गति के साथ और। प्रभाव के बाद, गेंदों का वेग मूल्यों पर ले जाएगा और। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार निम्नलिखित अभिव्यक्ति मान्य होगी:
, (1)

अब गेंदों में से एक को संदर्भ तंत्र के रूप में लेते हुए, सापेक्ष गति पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हम गति उत्क्रमण के सिद्धांत का उपयोग करते हैं, अर्थात, हम दोनों गेंदों को समान गति देते हैं, उदाहरण के लिए, जिससे पहली गेंद रुक जाएगी, क्योंकि इसकी कुल गति शून्य होगी। दूसरी गेंद की गति सापेक्ष गति के बराबर होगी:
(2)
इस मामले में गतिज ऊर्जा के संरक्षण का नियम इस प्रकार होगा:
(3)

(4)
समीकरण (1) और (4) को एक साथ हल करने पर, हमें अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:
, (5)

(7)
इस प्रकार, एक दिलचस्प परिणाम प्राप्त होता है: संवेग के संरक्षण का नियम ऊर्जा के संरक्षण के नियम का पालन करता है। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्राप्त परिणाम संदर्भ प्रणाली की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।
यदि हम गेंदों की प्रति-गति (चित्र 1, बी) पर विचार करें, तो सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, गति को गति से घटाया जाना चाहिए, अर्थात सापेक्ष गति अभिव्यक्ति (2) के अनुसार पाई जानी चाहिए हालाँकि, जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, इन गतियों को जोड़ा जाना चाहिए। यह परिस्थिति इस तथ्य के कारण है कि सभी निकायों की गति की गति वेक्टर हैं, जिसका अर्थ है कि उनके मूल्यों को घटाने पर भी उन्हें सारांशित किया जा सकता है।
इस प्रकार, अभिव्यक्ति (2), (5) और (7) को सदिश माना जाना चाहिए।
अभिव्यक्ति (1) और (5) को एक साथ, साथ ही (3) और (7) को हल करते हुए, हम प्रभाव के बाद गेंदों के वेग का पता लगाते हैं, उन्हें वैक्टर के रूप में मानते हुए:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करके, हम प्रभाव के बाद गेंदों के सापेक्ष वेग पाते हैं:
; (12)
(13)
इस प्रकार, एक लोचदार प्रभाव के दौरान, गेंदों के सापेक्ष वेग केवल उनकी दिशा बदल देंगे।
अभिव्यक्ति (1), जो ऊर्जा संरक्षण के नियम को दर्शाती है, को दूसरे रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पहली गेंद द्वारा अर्जित ऊर्जा दूसरी गेंद द्वारा दी गई ऊर्जा के बराबर है।

गति के मानों को भाव (7) और (8) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
; (19)
(20)
आइए अब देखें कि प्रभाव के अधिक जटिल मामले के लिए ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के नियमों के बीच संबंध कैसे पूरा होगा - एक तिरछा प्रभाव, जब चलती गेंदों के वेग एक दूसरे के कोण पर निर्देशित होते हैं (चित्र 2) . चित्र में, गेंदों को उनके वेग पैटर्न को बेहतर ढंग से दिखाने के लिए अलग किया गया है। हम मानते हैं कि गति अक्ष की दिशा से मेल खाती है एक्स.
समस्या को हल करने के लिए, हम गति उत्क्रमण की विधि का उपयोग करते हैं, दोनों गेंदों को एक गति देते हैं, अर्थात, सापेक्ष गति में संदर्भ के एक फ्रेम के रूप में, हम पहली गेंद का चयन करते हैं, जिसकी कुल गति शून्य के बराबर होगी। समस्या को सरल बनाने के लिए, आइए यह भी मान लें कि परिणामी गति गेंदों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के साथ निर्देशित होगी। फिर, दूसरी गेंद के वेगों के ज्ञात मानों का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण किया जाता है, जिसकी सहायता से इन वेगों और सापेक्ष गति में गति के बीच संबंध स्थापित किया जाता है, और कोण भी पाया जा सकता है, क्योंकि कोण दिया गया है.
समांतर चतुर्भुज का उपयोग करते हुए, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
(21)

• जिसे हम इस रूप में बदलते हैं:

(22)
इस समीकरण से हम प्रभाव शुरू होने से पहले सापेक्ष गति में गति का पता लगाते हैं -:
(23)
वेक्टर की दिशा को दर्शाने वाला कोण कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त अभिव्यक्ति से पाया जाता है:
, (24)

• हमें कहां से मिलता है:

(25)
इस प्रकार, किए गए ऑपरेशनों के परिणामस्वरूप, हम प्रारंभिक सापेक्ष गति के साथ उनके केंद्रों की रेखा की दिशा में चलती और स्थिर गेंद की सामान्य टक्कर प्राप्त करते हैं।
टक्कर के बाद गेंदों का वेग निर्धारित करने से पहले, आइए हम गेंदों की निरपेक्ष और सापेक्ष गति में गतिज ऊर्जा के बीच संबंध स्थापित करें:
; (26)
(27)
क्योंकि
(28)

• तदनुसार, सापेक्ष गति में अन्य गति निर्धारित की जाएंगी:

; (29)
(30)
सापेक्ष वेगों के इन मानों को अभिव्यक्ति (27) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
(31)
दो से घटाकर और गति अंतर को वर्गित करके, हम अभिव्यक्ति (31) को इस रूप में बदलते हैं:
, (32)

अभिव्यक्ति के दाईं ओर पहले पद को जोड़कर, आप अभिव्यक्ति (26) के अनुरूप शब्दों को हटा सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति (32) का रूप ले लेगा:
(33)
इस अभिव्यक्ति को कम करके और पदों को समूहीकृत करके, हम पाते हैं:
(34)
गति निर्धारित करने के बाद, और अभिव्यक्तियों के अनुसार (28) - (32):
(35)

• और उन्हें अभिव्यक्ति (34) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम इसे इस रूप में बदलते हैं:

(36)
इस प्रकार, हमने तिरछे प्रभाव के दौरान गेंदों की पूर्ण और सापेक्ष गति में ऊर्जा और गति के संरक्षण के नियमों के बीच एक संबंध स्थापित किया है।
समीकरण (27) और (36) को एक साथ हल करने पर, हम उनकी सापेक्ष गति में गेंदों के वेग पाते हैं:
; (37)
, (38)

वेक्टर रूप में समाधान प्राप्त करने के लिए समीकरणों को हल करते समय, वेगों के वर्गों को दो समान वैक्टरों के अदिश उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।
निरपेक्ष गति में गेंदों का वेग चित्र 2 में प्रस्तुत समांतर चतुर्भुजों से कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है।
पहली गेंद के लिए, वेग मॉड्यूल अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:
, (39)

• हमें कहां से मिलता है:

(40)
दूसरी गेंद के लिए, वेग मापांक बराबर होगा:
, (41)

• हम इसे कहां पा सकते हैं:

(42)
कोण और, सदिशों की दिशाओं को दर्शाने वाले और सदिशों तथा के संबंध में, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके भी पाए जाते हैं:
; (43)
(44)
इन व्यंजकों में सूत्र (39) और (41) से वेगों के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
; (45)
(46)
प्राप्त समाधानों की जांच करने के लिए, आप प्रभाव के बाद गेंदों की गतिज ऊर्जा का मान पा सकते हैं, क्योंकि प्रभाव से पहले उनकी ऊर्जा बराबर थी:
, (47)

• और हिट के बाद यह होगा:

(48)
वर्ग वेगों के मानों को अभिव्यक्ति (48) में और अभिव्यक्ति (39) और (41) से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
(49)
अब हम वेग मॉड्यूल के मूल्यों का उपयोग करते हैं और अभिव्यक्तियों (37) और (38) से:
(50)
सूत्र (23) के अनुसार इस अभिव्यक्ति में वेग मापांक के मान को प्रतिस्थापित करने और परिवर्तन करने पर, हम अंततः यह प्राप्त करते हैं, अर्थात, ऊर्जा के संरक्षण का नियम पूरा हो जाएगा।
आइए अब हम दो गेंदों की बेलोचदार टक्कर पर विचार करें। इस मामले में, ऊर्जा का एक हिस्सा संरचनात्मक परिवर्तनों (गेंदों में बेलोचदार विकृति) और उनके हीटिंग पर, यानी आंतरिक ऊर्जा में बदलाव पर खर्च किया जाएगा। इसलिए, दो संदर्भ प्रणालियों में ऊर्जा संरक्षण के नियमों की अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी:
; (51)
(52)

समीकरणों की इस प्रणाली को एक साथ हल करने पर, हम संवेग के संरक्षण का नियम इसके सामान्य रूप में प्राप्त करते हैं:
, (53)

• अर्थात्, पिंडों की परस्पर क्रिया के दौरान ऊर्जा हानि इस नियम के स्वरूप को प्रभावित नहीं करती है।

समीकरण (51) और (53) का उपयोग करके, हम गेंदों की बेलोचदार टक्कर के बाद उनका वेग ज्ञात करते हैं:
; (54)
(55)
जाहिर है, अभिव्यक्ति (54) और (55) का भौतिक अर्थ तभी होगा जब मूल अभिव्यक्ति का सकारात्मक मूल्य हो। इस स्थिति से, आप वह मान ज्ञात कर सकते हैं जिस पर मूल अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करके संवेग के संरक्षण का नियम अभी भी संतुष्ट होगा:
(56)

, (57)

(58)
अभिव्यक्ति (54) और (56), सूत्र (57) को ध्यान में रखते हुए, इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
; (59)
, (60)

(61)
सापेक्ष गति में, वेगों के लिए अभिव्यक्तियाँ इस प्रकार होंगी:
; (62)
(63)
उपरोक्त भावों से यह निष्कर्ष निकलता है कि गेंदों की गति समान होगी और वे एक साथ एक होकर चलेंगी।
यदि गुणांक एक से अधिक है, तो मूल अभिव्यक्ति नकारात्मक होगी और वेग के लिए अभिव्यक्ति अपना भौतिक अर्थ खो देगी। चूँकि गेंदें एक इकाई के रूप में चलेंगी, उनकी गति की गति निर्धारित करने के लिए एक समीकरण पर्याप्त है। जब आप अभी भी संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग कर सकते हैं, जब आपको केवल ऊर्जा के संरक्षण के नियम का उपयोग करना चाहिए, हालाँकि गणितीय शब्दों में इस मामले में संवेग के संरक्षण का नियम संतुष्ट होगा। इस प्रकार, संवेग संरक्षण के नियम के उपयोग की सीमाएँ हैं। यह एक बार फिर गति के संरक्षण के नियम के संबंध में ऊर्जा के संरक्षण के नियम की प्राथमिकता भूमिका की पुष्टि करता है। हालाँकि, सिद्धांत रूप में, यह संभव है कि गुणांक का मान एक से अधिक नहीं हो सकता है, तो दोनों कानून हमेशा मान्य होंगे, लेकिन इस कथन के लिए प्रयोगात्मक सत्यापन की आवश्यकता है।
चूँकि गेंदें एक ही गति से एक साथ घूमेंगी, ऊर्जा संरक्षण का नियम इस प्रकार बनेगा:
, (64)

• जहां, अभिव्यक्ति (61) के अनुसार,

(65)
समीकरण (64) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
(66)

• या सापेक्ष गति में:

(67)
यदि सारी प्रभाव ऊर्जा घाटे पर खर्च हो जाती है, अर्थात, जब संबंध संतुष्ट हो जाता है:
, (68)

(69)
सच है, इस बात पर संदेह बना हुआ है कि क्या ऐसा मामला वास्तव में संभव है।
पहले अध्याय के §5 में, यह दिखाया गया था कि गति की मात्रा किसी पिंड की जड़ता को दर्शाती है और अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन और उसकी गति में परिवर्तन का अनुपात . किसी पिंड की जड़ता की इस परिभाषा के संबंध में, संवेग के संरक्षण के नियम का एक और निष्कर्ष दिया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति (15), (17) और (18) का उपयोग करते हैं, उन्हें पहले शरीर की गति में परिवर्तन से विभाजित करते हैं: :
(70)
आइए परिणामी अभिव्यक्ति को इस रूप में बदलें:
(71)
गति अनुपात (12) का उपयोग इस रूप में करें:
, (72)

• आइए अभिव्यक्ति (71) को इस रूप में बदलें:

(73)

• जहां से संवेग संरक्षण का नियम लागू होता है:

यांत्रिकी की विभिन्न समस्याओं को हल करने में ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के नियमों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालाँकि, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि ये कानून अभिन्न हैं, क्योंकि वे केवल अपनी बातचीत से पहले और बाद में निकायों की स्थिति को ध्यान में रखते हैं, लेकिन बातचीत के क्षण में नहीं, इसके भौतिक अर्थ को खोने का खतरा है स्वयं बातचीत करना, समझ की कमी के कारण इस भौतिक अर्थ की व्याख्या से बचना, हालाँकि अंतिम परिणाम सही होगा।
आइए हम नाव की गति के उदाहरण का उपयोग करके इस कथन को सिद्ध करें जब उसमें सवार एक व्यक्ति पानी में पत्थर फेंकता है (चित्र 3)। इसमें कोई संदेह नहीं है कि नाव फेंके जाने के विपरीत दिशा में चलेगी। समस्या को हल करने के लिए संवेग संरक्षण के नियम का प्रयोग किया जाता है, जो वेगों की दिशा को ध्यान में रखते हुए इस प्रकार होगा:
, (74)

, (75)

• यानी, पत्थर का द्रव्यमान और उसकी गति जितनी अधिक होगी, नाव की गति उतनी ही अधिक होगी।

यदि आप यांत्रिकी शिक्षकों से पूछें कि किस कारण से नाव चलती है, तो उनमें से अधिकांश उत्तर देंगे कि नाव चलेगी क्योंकि गति के संरक्षण के नियम को संतुष्ट होना चाहिए। वे ऐसा उत्तर इसलिए देते हैं क्योंकि वे आंदोलन का वास्तविक कारण नहीं बता सकते हैं, हालांकि वे अच्छी तरह से जानते हैं कि आंदोलन केवल बल के प्रभाव में ही हो सकता है। तो कौन सी शक्ति नाव को चलाएगी?
जाहिर है, यहां हमें फेंकने के समय इंसान के हाथों और पत्थर के बीच की बातचीत को समझने की जरूरत है। किसी व्यक्ति पर और उसके माध्यम से नाव पर कार्य करने वाले बल के प्रकट होने का एकमात्र कारण पत्थर का प्रभाव है। यदि फेंके जाने के समय पत्थर तेजी से आगे बढ़ता है तो यह बल प्रकट होगा। फिर यह विकृत हो जाएगा और इसमें लोचदार बल उत्पन्न होंगे, जो व्यक्ति के हाथों पर कार्य करेंगे। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, ये बल जड़ता के बल हैं और उनका परिमाण पत्थर के द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के बराबर होगा। आप ये भी कह सकते हैं कि एक शख्स पत्थर को धक्का देकर दूर ले जा रहा है. हालाँकि, न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके इस समस्या को हल करना लगभग असंभव है, क्योंकि हम फेंकने के समय पत्थर का त्वरण ज्ञात नहीं कर पाएंगे। गति के पहले क्षणों में इसकी गति की गति का पता लगाना बहुत आसान है। अतः गति के अभिन्न नियमों का उपयोग यांत्रिकी में कई समस्याओं के समाधान को काफी सरल बना देता है। सच है, किसी को विचाराधीन घटना के भौतिक सार के बारे में नहीं भूलना चाहिए। इस मामले में, अभिन्न संरक्षण कानूनों की गणितीय शक्ति और भी अधिक स्पष्ट रूप से सामने आएगी।
आइए अब एक गाड़ी की गति के बारे में अधिक जटिल समस्या पर विचार करें जिस पर दो भार स्थित हैं, जो समान कोणीय वेग के साथ अलग-अलग दिशाओं में घूम रहे हैं (चित्र 4)। इस समस्या को संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करके भी हल किया जाता है:
, (76)

अभिव्यक्ति (76) से यह इस प्रकार है:
, (77)

• यानी, कार्ट हार्मोनिक दोलन करेगा। लेकिन इन उतार-चढ़ावों का कारण क्या है? यह नहीं कहा जा सकता कि गाड़ी संवेग संरक्षण के नियम का पालन करती है। एक बल द्वारा गाड़ी को दोलन कराना आवश्यक है, लेकिन किस प्रकार का बल? इस भूमिका के लिए एकमात्र उम्मीदवार केवल घूर्णन भार पर कार्य करने वाला जड़ता का केन्द्रापसारक बल हो सकता है:

(78)
दो जड़त्व बलों के प्रभाव में गाड़ी धुरी के अनुदिश गति करेगी य. न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके गाड़ी की गति की प्रकृति का पता लगाया जा सकता है:
(79)
गाड़ी की गति इस अभिव्यक्ति को एकीकृत करके निर्धारित की जाती है:
, (80)

• कहाँ साथ– एकीकरण स्थिरांक.

गाड़ी की गति निर्धारित करने के लिए प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करना आवश्यक है। हालाँकि, यहाँ एक समस्या उत्पन्न होती है: गाड़ी की गति किसके बराबर होगी? आइए मान लें कि समय के शुरुआती क्षण में असुरक्षित गाड़ी और भार स्थिर थे, और फिर भार को तुरंत एक स्थिर कोणीय वेग पर रोटेशन में सेट किया गया था, यानी, गति का कोई संक्रमणकालीन मोड नहीं होगा। इस प्रकार, जड़ता बलों का परिमाण तुरंत अभिव्यक्ति (78) द्वारा निर्धारित अंतिम मान ले लेगा। जड़ शक्तियों के प्रभाव में गाड़ी को तुरंत सकारात्मक दिशा में चलना होगा। हालाँकि, यह ध्यान में रखना होगा कि भार की गति की तात्कालिक उपस्थिति के साथ, सैद्धांतिक रूप से अनंत, लेकिन व्यावहारिक रूप से अक्ष की दिशा में बहुत बड़ा त्वरण दिखाई देगा। य, यदि भार अक्ष के अनुदिश स्थित थे एक्स, और विपरीत दिशा में संबंधित जड़त्व बल, जो गाड़ी को अक्ष की नकारात्मक दिशा में अपनी कार्रवाई की दिशा में ले जाएगा ययानी असल में कार्ट पर असर पड़ेगा.
आइए मान लें कि गाड़ी की प्रारंभिक गति के बराबर होगी, तो समीकरण (80) से हम प्राप्त करते हैं:
,

• हमें एकीकरण का स्थिरांक कहां मिलता है साथ:

(81)
इसके अनुसार गाड़ी की गति होगी:
(82)
इस अभिव्यक्ति को एकीकृत करके, हम अक्ष के अनुदिश गाड़ी का विस्थापन पाते हैं य:
(83)
दी गई शर्तों के तहत, गाड़ी की गति हार्मोनिक होगी, इसलिए कोष्ठक में अभिव्यक्ति शून्य के बराबर होनी चाहिए। तब गाड़ी की गति का नियम इस प्रकार बनेगा:
, (84)

(85)
फिर घूर्णन कोण के फलन के रूप में ट्रॉली की गति अभिव्यक्ति (80) से निर्धारित की जाएगी:
,

• जो अभिव्यक्ति (77) से मेल खाता है।

हालाँकि, इस समस्या का दूसरा समाधान भी संभव है, यदि हम यह मान लें कि सबसे पहले गाड़ी स्थिर है और भार एक स्थिर गति से घूमता है। फिर, जब भार अक्ष के अनुदिश एक स्थिति लेता है एक्स, ट्रॉली को छोड़ दिया गया है। ऐसी परिस्थितियों में, जड़त्वीय बल अक्ष की दिशा में यअनुपस्थित होगा, चूँकि भार के घूमने की गति का मान नहीं बदलेगा, इसलिए धुरी की नकारात्मक दिशा में गाड़ी पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा यऔर इसकी प्रारंभिक गति शून्य होगी. फिर समीकरण (80) से यह निष्कर्ष निकलता है कि एकीकरण स्थिरांक साथइसके बराबर होगा:
, (86)

• इसलिए, समय के फलन के रूप में गाड़ी की गति का रूप इस प्रकार होगा:

(87)
समय के साथ इस अभिव्यक्ति को एकीकृत करते हुए, हम y-अक्ष के साथ गाड़ी की गति पाते हैं:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
इस प्रकार, धुरी पर भार की जड़ता बलों का समय-समय पर बदलता प्रक्षेपण यगाड़ी को हार्मोनिक दोलन करने और यहां तक ​​कि धुरी के साथ चलने में सक्षम बनाता है यप्रारंभिक ड्राइविंग स्थितियों पर निर्भर करता है। एक असुरक्षित कार्ट केवल हार्मोनिक दोलन करेगा, जबकि एक कार्ट जिसे स्थिर किया जाएगा और फिर छोड़ा जाएगा, एक सीधी रेखा गति करेगा, जिस पर हार्मोनिक दोलन आरोपित होंगे।
हमने जो विश्लेषण किया वह गाड़ी पर काम करने वाली ताकतों को ध्यान में रखे बिना असंभव होता, जो इस मामले में जड़त्वीय ताकतें हैं। यदि गाड़ी की गति को संवेग के संरक्षण के नियम को पूरा करने की आवश्यकता से समझाया जाता है, तो इसका मतलब मामले के गुण-दोष पर कुछ भी नहीं कहना है। इसलिए, विचाराधीन समस्या के विस्तृत बल विश्लेषण के साथ संरक्षण कानूनों के उपयोग को संयोजित करने की सलाह दी जाती है।

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय से, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।

1. मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (20) से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस मामले में, यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम का संवेग वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर रहेगा।

2. मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतें ऐसी हैं कि किसी अक्ष पर उनके प्रक्षेपणों का योग (उदाहरण के लिए, ) शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (20) से यह पता चलता है कि इस मामले में, यदि किसी अक्ष पर सभी कार्यशील बाहरी बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर सिस्टम की गति का प्रक्षेपण एक स्थिर मूल्य है।

ये परिणाम प्रणाली के संवेग के संरक्षण के नियम को व्यक्त करते हैं। उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की मात्रा को नहीं बदल सकते। आइए कुछ उदाहरण देखें.

पीछे हटने या पीछे हटने की घटना। यदि हम राइफल और गोली को एक प्रणाली मानते हैं, तो शॉट के दौरान पाउडर गैसों का दबाव एक आंतरिक बल होगा। यह बल स्लग के शॉट के बराबर सिस्टम की गति की मात्रा को नहीं बदल सकता है। लेकिन चूंकि पाउडर गैसें, गोली पर कार्य करते हुए, उसे आगे की दिशा में एक निश्चित मात्रा में गति प्रदान करती हैं, उन्हें एक साथ राइफल को विपरीत दिशा में समान मात्रा में गति प्रदान करनी चाहिए। इससे राइफल पीछे की ओर खिसक जाएगी, जिसे रिकॉइल कहा जाता है। इसी तरह की घटना बंदूक से फायरिंग (रोलबैक) करते समय होती है।

प्रोपेलर (प्रोपेलर) का संचालन। प्रोपेलर प्रोपेलर की धुरी के साथ हवा (या पानी) के एक निश्चित द्रव्यमान को गति प्रदान करता है, इस द्रव्यमान को वापस फेंक देता है। यदि हम फेंके गए द्रव्यमान और विमान (या जहाज) को एक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो प्रोपेलर और पर्यावरण के बीच आंतरिक के रूप में बातचीत की ताकतें, इस प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकती हैं। इसलिए, जब हवा (पानी) का एक द्रव्यमान वापस फेंका जाता है, तो विमान (या जहाज) को एक समान आगे की गति प्राप्त होती है, जैसे कि विचाराधीन प्रणाली की गति की कुल मात्रा शून्य के बराबर रहती है, क्योंकि आंदोलन शुरू होने से पहले यह शून्य थी .

एक समान प्रभाव चप्पुओं या पैडल पहियों की क्रिया से प्राप्त होता है।

जेट इंजन। एक रॉकेट (रॉकेट) में, ईंधन के गैसीय दहन उत्पादों को रॉकेट की पूंछ में एक छेद (रॉकेट इंजन नोजल से) से उच्च गति से बाहर निकाला जाता है। इस मामले में कार्य करने वाले दबाव बल आंतरिक बल होंगे और रॉकेट प्रणाली - ईंधन दहन उत्पादों की गति को नहीं बदल सकते। लेकिन चूँकि बाहर निकलने वाली गैसों की गति एक निश्चित मात्रा में पीछे की ओर निर्देशित होती है, रॉकेट को आगे की ओर निर्देशित एक समान गति प्राप्त होती है। इस गति का परिमाण 114 में निर्धारित किया जाएगा।

कृपया ध्यान दें कि एक प्रोपेलर इंजन (पिछला उदाहरण) किसी वस्तु, जैसे कि हवाई जहाज, को उस माध्यम के कणों को वापस फेंककर गति प्रदान करता है जिसमें वह घूम रहा है। वायुहीन अंतरिक्ष में ऐसी गति असंभव है। एक जेट इंजन इंजन में उत्पन्न द्रव्यमान (दहन उत्पादों) को वापस फेंककर गति प्रदान करता है। यह गति हवा और वायुहीन अंतरिक्ष दोनों में समान रूप से संभव है।

समस्याओं को हल करते समय, प्रमेय का अनुप्रयोग हमें सभी आंतरिक शक्तियों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है। इसलिए, हमें विचाराधीन प्रणाली को इस तरह से चुनने का प्रयास करना चाहिए कि पहले से अज्ञात सभी (या उसके कुछ हिस्से) बलों को आंतरिक बना दिया जाए।

संवेग संरक्षण का नियम उन मामलों में लागू करना सुविधाजनक होता है, जहां सिस्टम के एक हिस्से की अनुवादिक गति को बदलकर, दूसरे हिस्से की गति निर्धारित करना आवश्यक होता है। विशेष रूप से, प्रभाव सिद्धांत में इस कानून का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

समस्या 126. द्रव्यमान की एक गोली, गति के साथ क्षैतिज रूप से उड़ती हुई, एक ट्रॉली पर लगे रेत के बक्से से टकराती है (चित्र 289)। टक्कर के बाद गाड़ी किस गति से चलना शुरू करेगी, यदि डिब्बे सहित गाड़ी का द्रव्यमान बराबर हो

समाधान। हम बुलेट और कार्ट को एक प्रणाली के रूप में मानेंगे। यह हमें समस्या का समाधान करते समय बॉक्स से टकराने पर उत्पन्न होने वाली ताकतों को खत्म करने की अनुमति देगा। क्षैतिज अक्ष ऑक्स पर सिस्टम पर लागू बाहरी बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है। इसलिए, या प्रभाव से पहले सिस्टम की गति की मात्रा कहां है; - झटका के बाद.

चूंकि टक्कर से पहले गाड़ी गतिहीन है, तो।

टक्कर के बाद गाड़ी और गोली एक सामान्य गति से चलते हैं, जिसे हम v से दर्शाते हैं। तब ।

भावों के दाएँ पक्ष की बराबरी करने पर, हम पाते हैं

समस्या 127. बंदूक की मुक्त पुनरावृत्ति गति निर्धारित करें यदि पुनरावृत्ति भागों का वजन पी के बराबर है, प्रक्षेप्य का वजन है, और बैरल के सापेक्ष प्रक्षेप्य की गति प्रस्थान के समय के बराबर है।

समाधान। पाउडर गैसों के अज्ञात दबाव बलों को खत्म करने के लिए, प्रक्षेप्य और पीछे हटने वाले हिस्सों को एक प्रणाली के रूप में मानें।

आइए हम दो अलग-अलग निकायों की एक-दूसरे पर होने वाली कार्रवाई पर विचार करें जो अन्य निकायों के साथ बातचीत नहीं करते हैं। हम मान लेंगे कि पूरी बातचीत के दौरान बल स्थिर हैं। गतिकी के दूसरे नियम के अनुसार, पहले पिंड के संवेग में परिवर्तन होता है:

अंतःक्रिया समय अंतराल कहां है.

दूसरे पिंड की गति में परिवर्तन:

पहले पिंड से दूसरे पिंड पर लगने वाला बल कहां है।

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार

और इसके अलावा, जाहिर है

इस तरह,

अंतःक्रिया बलों की प्रकृति और उनकी कार्रवाई की अवधि के बावजूद, दो अलग-अलग निकायों की कुल गति स्थिर रहती है।

प्राप्त परिणाम को किसी भी संख्या में परस्पर क्रिया करने वाले निकायों और समय के साथ बदलने वाली ताकतों तक बढ़ाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम उस समय अंतराल को विभाजित करते हैं जिसके दौरान पिंडों की परस्पर क्रिया ऐसे छोटे अंतरालों में होती है, जिनमें से प्रत्येक के दौरान बल को सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ स्थिर माना जा सकता है। समय की प्रत्येक अवधि के दौरान, संबंध (1.8) संतुष्ट होगा। इसलिए, यह पूरे समय अंतराल के लिए मान्य होगा

अंतःक्रिया करने वाले निकायों के निष्कर्ष को सामान्य बनाने के लिए, हम एक बंद प्रणाली की अवधारणा का परिचय देते हैं।

बंद किया हुआपिंडों की एक प्रणाली है जिसके लिए परिणामी बाह्य बल शून्य के बराबर होते हैं।

मान लीजिए कि भौतिक बिंदुओं का द्रव्यमान एक बंद प्रणाली बनाता है। सिस्टम के अन्य सभी बिंदुओं के साथ इसकी अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप इनमें से प्रत्येक बिंदु की गति में परिवर्तन क्रमशः:

आइए हम किसी बिंदु पर कार्य करने वाले आंतरिक बलों को अन्य बिंदुओं से द्रव्यमान द्वारा, बिंदु द्वारा द्रव्यमान आदि द्वारा निरूपित करें। (पहला सूचकांक उस बिंदु को इंगित करता है जिस पर बल कार्य करता है; दूसरा सूचकांक उस बिंदु को इंगित करता है जिस अक्ष पर बल कार्य करता है कृत्य।)

आइए स्वीकृत संकेतन में प्रत्येक बिंदु के लिए गतिकी का दूसरा नियम अलग से लिखें:

समीकरणों की संख्या प्रणाली में निकायों की संख्या के बराबर है। सिस्टम की गति में कुल परिवर्तन का पता लगाने के लिए, आपको सिस्टम के सभी बिंदुओं की गति में परिवर्तन के ज्यामितीय योग की गणना करने की आवश्यकता है। समानताओं (1.9) को सारांशित करने के बाद, हम बाईं ओर समय के साथ सिस्टम की गति में परिवर्तन का पूरा वेक्टर प्राप्त करते हैं, और दाईं ओर - सिस्टम में कार्यरत सभी बलों के परिणामी का प्राथमिक आवेग। लेकिन चूंकि सिस्टम बंद है, परिणामी बल शून्य हैं। वास्तव में, गतिशीलता के तीसरे नियम के अनुसार, समानता में प्रत्येक बल (1.9) एक बल से मेल खाता है और

यानी आदि,

और इन बलों का परिणाम शून्य है। परिणामस्वरूप, संपूर्ण बंद प्रणाली में संवेग में परिवर्तन शून्य है:

किसी बंद प्रणाली का कुल संवेग संपूर्ण संचलन (संवेग के संरक्षण का नियम) के दौरान एक स्थिर मात्रा है।

संवेग के संरक्षण का नियम भौतिकी के मूलभूत नियमों में से एक है, जो स्थूल पिंडों की प्रणालियों और सूक्ष्म पिंडों: अणुओं, परमाणुओं आदि से बनी प्रणालियों दोनों के लिए मान्य है।

यदि बाहरी बल सिस्टम के बिंदुओं पर कार्य करते हैं, तो सिस्टम की गति की मात्रा बदल जाती है।

आइए हम समीकरण (1.9) लिखें, जिसमें पहले, दूसरे आदि पर क्रमशः कार्य करने वाली परिणामी बाहरी ताकतें शामिल हों। वें बिंदु तक:

समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़ने पर, हमें मिलता है: बाईं ओर - सिस्टम की गति में परिवर्तन का पूरा वेक्टर; दाईं ओर - परिणामी बाहरी ताकतों का आवेग:

या, परिणामी बाहरी ताकतों को दर्शाते हुए:

निकायों की एक प्रणाली की कुल गति में परिवर्तन परिणामी बाहरी ताकतों के आवेग के बराबर होता है।

समानता (1.13) को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है:

बिंदुओं की एक प्रणाली की गति की कुल मात्रा का समय व्युत्पन्न प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करने वाले परिणामी बाहरी बलों के बराबर है।

वेक्टर समानता (6.14) के बजाय, सिस्टम के संवेग के वैक्टर और बाहरी बलों को तीन परस्पर लंबवत अक्षों पर प्रक्षेपित करने पर, हमें फॉर्म के तीन अदिश समीकरण प्राप्त होते हैं:

यदि किसी अक्ष के अनुदिश, मान लीजिए, परिणामी बाह्य बलों का घटक शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष के अनुदिश गति की मात्रा नहीं बदलती है, अर्थात, आम तौर पर खुला होने के कारण, उस दिशा में सिस्टम को बंद माना जा सकता है।

हमने पदार्थ की गति के अन्य रूपों में संक्रमण के बिना एक शरीर से दूसरे शरीर में यांत्रिक गति के हस्तांतरण की जांच की।

मात्रा "एमवी आसानी से हस्तांतरित, यानी, चल रही, गति..." का एक माप बन जाती है।

पिंडों की एक प्रणाली की गति की समस्या के लिए संवेग में परिवर्तन के नियम का अनुप्रयोग हमें सभी आंतरिक शक्तियों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है, जो सैद्धांतिक अनुसंधान और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने को सरल बनाता है।

1. एक व्यक्ति को स्थिर गाड़ी पर स्थिर खड़ा रहने दें (चित्र 2.a)। मानव-गाड़ी प्रणाली की गति शून्य है। क्या यह सिस्टम बंद है? इस पर बाहरी ताकतों - गुरुत्वाकर्षण और गाड़ी के पहियों और फर्श के बीच घर्षण द्वारा कार्य किया जाता है। सामान्यतया, सिस्टम बंद नहीं है। हालाँकि, गाड़ी को पटरियों पर रखकर और पटरियों और पहियों की सतह को तदनुसार उपचारित करके, यानी, उनके बीच घर्षण को काफी कम करके, घर्षण बल को नजरअंदाज किया जा सकता है।

ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर निर्देशित गुरुत्वाकर्षण बल, विकृत रेलों की प्रतिक्रिया से संतुलित होता है, और इन बलों का परिणाम सिस्टम को क्षैतिज त्वरण प्रदान नहीं कर सकता है, अर्थात, गति को नहीं बदल सकता है, और इसलिए सिस्टम की गति को बदल सकता है। इस प्रकार, हम कुछ हद तक अनुमान के साथ इस प्रणाली को बंद मान सकते हैं।

आइए अब मान लें कि एक व्यक्ति गति रखते हुए गाड़ी को बाईं ओर छोड़ता है (चित्र 2.बी)। इस गति को प्राप्त करने के लिए, एक व्यक्ति को अपनी मांसपेशियों को सिकोड़कर, गाड़ी के प्लेटफॉर्म पर अपने पैरों से कार्य करना चाहिए और उसे विकृत करना चाहिए। व्यक्ति के पैरों पर विकृत मंच की ओर से कार्य करने वाला बल बाईं ओर के मानव शरीर को त्वरण प्रदान करता है, और व्यक्ति के विकृत पैरों की ओर से कार्य करने वाला बल (गतिकी के तीसरे नियम के अनुसार) त्वरण प्रदान करता है गाड़ी के दाहिनी ओर. परिणामस्वरूप, जब बातचीत रुक जाती है (व्यक्ति गाड़ी से उतर जाता है), तो गाड़ी कुछ गति पकड़ लेती है।

गतिशीलता के बुनियादी नियमों का उपयोग करके वेग खोजने के लिए, यह जानना आवश्यक होगा कि किसी व्यक्ति और गाड़ी के बीच परस्पर क्रिया की ताकतें समय के साथ कैसे बदलती हैं और ये ताकतें कहां लागू होती हैं। संवेग के संरक्षण का नियम आपको किसी व्यक्ति और गाड़ी की गति के अनुपात को तुरंत खोजने की अनुमति देता है, साथ ही यदि किसी व्यक्ति और गाड़ी के द्रव्यमान का मान ज्ञात हो तो उनकी पारस्परिक दिशा को भी इंगित करता है।

जब व्यक्ति गाड़ी पर गतिहीन खड़ा होता है, तो सिस्टम की गति की कुल मात्रा शून्य के बराबर रहती है:

किसी व्यक्ति और गाड़ी द्वारा अर्जित गति उनके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है। ऋण चिह्न उनकी विपरीत दिशा को दर्शाता है।

2. यदि कोई व्यक्ति, गति से चलते हुए, एक स्थिर गाड़ी पर दौड़ता है और उस पर रुक जाता है, तो गाड़ी चलना शुरू कर देती है, जिससे उसकी और व्यक्ति की गति की कुल मात्रा गति की मात्रा के बराबर हो जाती है अकेले व्यक्ति के पास पहले था:

3. एक व्यक्ति तेज गति से अपनी ओर बढ़ती हुई एक गाड़ी पर दौड़ता है और उस पर रुक जाता है। इसके बाद, मानव-गाड़ी प्रणाली एक सामान्य गति से चलती है, व्यक्ति और गाड़ी की गति की कुल मात्रा उन गति की मात्रा के योग के बराबर होती है जो उनमें से प्रत्येक के पास अलग-अलग होती है:

4. इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गाड़ी केवल रेल के साथ ही चल सकती है, हम गति में परिवर्तन की वेक्टर प्रकृति को प्रदर्शित कर सकते हैं। यदि कोई व्यक्ति पहले से स्थिर गाड़ी में एक बार उसकी संभावित गति की दिशा में प्रवेश करता है और रुकता है, दूसरी बार - 45° के कोण पर, और तीसरी बार - इस दिशा में 90° के कोण पर, तो दूसरी बार पहले की तुलना में गाड़ी द्वारा प्राप्त गति लगभग डेढ़ गुना कम है, और तीसरे मामले में गाड़ी गतिहीन है।

आइए संरक्षण के सबसे सामान्य नियमों पर विचार करें, जो संपूर्ण भौतिक संसार को नियंत्रित करते हैं और जो भौतिकी में कई मूलभूत अवधारणाओं का परिचय देते हैं: ऊर्जा, संवेग (संवेग), कोणीय गति, आवेश।

संवेग संरक्षण का नियम

जैसा कि ज्ञात है, गति या आवेग की मात्रा, गति और गतिमान पिंड के द्रव्यमान का उत्पाद है: पी = एमवीयह भौतिक मात्रा आपको एक निश्चित अवधि में किसी पिंड की गति में परिवर्तन का पता लगाने की अनुमति देती है। इस समस्या को हल करने के लिए, किसी को समय के सभी मध्यवर्ती क्षणों में, अनगिनत बार न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करना होगा। संवेग (संवेग) के संरक्षण का नियम न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। यदि हम दो (या अधिक) भौतिक बिंदुओं (निकायों) पर विचार करें जो एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं और बाहरी ताकतों की कार्रवाई से अलग एक प्रणाली बनाते हैं, तो आंदोलन के दौरान प्रत्येक बिंदु (शरीर) के आवेग बदल सकते हैं, लेकिन कुल आवेग सिस्टम अपरिवर्तित रहना चाहिए:

एम 1 वी+एम 1 वी 2 = स्थिरांक.

कुल आवेग को बनाए रखते हुए परस्पर क्रिया करने वाले निकाय आवेगों का आदान-प्रदान करते हैं।

सामान्य स्थिति में हमें मिलता है:

जहां P Σ सिस्टम का कुल, कुल आवेग है, एम मैं वी मैं- सिस्टम के व्यक्तिगत अंतःक्रियात्मक भागों के आवेग। आइए हम संवेग के संरक्षण का नियम बनाएं:

यदि बाहरी बलों का योग शून्य है, तो निकायों की प्रणाली में होने वाली किसी भी प्रक्रिया के दौरान गति स्थिर रहती है।

संवेग के संरक्षण के नियम के संचालन का एक उदाहरण एक व्यक्ति के साथ एक नाव की बातचीत की प्रक्रिया में माना जा सकता है, जिसने अपनी नाक को किनारे पर दबा दिया है, और नाव में मौजूद व्यक्ति तेजी से स्टर्न से चलते हुए एक दिशा में झुकता है। रफ़्तार वी 1 . ऐसे में नाव तेज गति से किनारे से दूर चली जाएगी वी 2 :

इसी तरह का उदाहरण एक प्रक्षेप्य के साथ दिया जा सकता है जो हवा में कई हिस्सों में फट गया। सभी टुकड़ों के आवेगों का वेक्टर योग विस्फोट से पहले प्रक्षेप्य के आवेग के बराबर है।

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम

कठोर पिंडों के घूर्णन को कोणीय गति नामक भौतिक मात्रा द्वारा चिह्नित करना सुविधाजनक है।

जब एक कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो शरीर का प्रत्येक कण एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त में घूमता है आर मैंकुछ रैखिक गति से वी मैं. रफ़्तार वी मैंऔर गति पी = एम मैं वी मैंत्रिज्या r i के लंबवत। आवेग का उत्पाद पी = एम मैं वी मैंप्रति त्रिज्या आर मैंकण का कोणीय संवेग कहलाता है:

एल मैं= एम मैं वी मैं आर मैं= पी मैं आर मैं·

संपूर्ण शरीर का कोणीय संवेग:

यदि हम रैखिक वेग को कोणीय वेग (v i = ωr i) से प्रतिस्थापित करें, तो

जहाँ J = mr 2 - जड़त्व आघूर्ण।

किसी बंद प्रणाली का कोणीय संवेग समय के साथ नहीं बदलता है, अर्थात् एल= स्थिरांक और Jω = स्थिरांक.

इस मामले में, घूमते हुए पिंड के अलग-अलग कणों का कोणीय संवेग इच्छानुसार बदल सकता है, लेकिन कुल कोणीय संवेग (शरीर के अलग-अलग हिस्सों के कोणीय संवेग का योग) स्थिर रहता है। कोणीय गति के संरक्षण के नियम को एक स्केटर को स्केट्स पर घूमते हुए देखकर प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ बगल की ओर फैली हुई हैं और उसकी भुजाएँ उसके सिर के ऊपर उठी हुई हैं। चूँकि Jω = स्थिरांक, तो दूसरी स्थिति में जड़त्व आघूर्ण जेघट जाती है, जिसका अर्थ है कि कोणीय वेग बढ़ना चाहिए, क्योंकि Jω = स्थिरांक।

ऊर्जा संरक्षण का नियम

ऊर्जागति और अंतःक्रिया के विभिन्न रूपों का एक सार्वभौमिक माप है। एक शरीर द्वारा दूसरे शरीर को दी गई ऊर्जा हमेशा दूसरे शरीर द्वारा प्राप्त ऊर्जा के बराबर होती है। परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों के बीच ऊर्जा विनिमय की प्रक्रिया को मापने के लिए, यांत्रिकी एक बल के कार्य की अवधारणा का परिचय देता है जो गति का कारण बनता है।

किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा इस प्रणाली की यांत्रिक गति की ऊर्जा है। किसी पिंड को गति देने वाला बल कार्य करता है, और गतिशील पिंड की ऊर्जा खर्च किए गए कार्य की मात्रा से बढ़ती है। जैसा कि ज्ञात है, द्रव्यमान का एक पिंड एम,गति से चल रहा है वी,गतिज ऊर्जा है इ=एमवी 2 /2.

संभावित ऊर्जापिंडों की एक प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा है जो बल क्षेत्रों के माध्यम से बातचीत करती है, उदाहरण के लिए गुरुत्वाकर्षण बलों के माध्यम से। किसी पिंड को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाते समय इन बलों द्वारा किया गया कार्य गति के प्रक्षेप पथ पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि बल क्षेत्र में केवल पिंड की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है।

ऐसे बल क्षेत्रों को विभव कहा जाता है, और उनमें कार्य करने वाले बलों को कहा जाता है रूढ़िवादी।गुरुत्वाकर्षण बल रूढ़िवादी बल हैं, और द्रव्यमान के पिंड की संभावित ऊर्जा हैं एम,ऊंचाई तक उठाया गया एचपृथ्वी की सतह के ऊपर के बराबर है

ई पसीना = एमजीएच,

कहाँ जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण.

कुल यांत्रिक ऊर्जा गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर है:

इ= ई परिजन + ई पसीना

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम(1686, लीबनिज़) का कहना है कि निकायों की एक प्रणाली में जिसके बीच केवल रूढ़िवादी बल कार्य करते हैं, कुल यांत्रिक ऊर्जा समय में अपरिवर्तित रहती है। इस मामले में, गतिज ऊर्जा का संभावित ऊर्जा में परिवर्तन और इसके विपरीत समतुल्य मात्रा में हो सकता है।

एक अन्य प्रकार की प्रणाली है जिसमें यांत्रिक ऊर्जा को ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित करके कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब कोई प्रणाली घर्षण के साथ चलती है, तो यांत्रिक ऊर्जा का कुछ हिस्सा घर्षण के कारण कम हो जाता है। ऐसे सिस्टम कहलाते हैं विघटनकारी,अर्थात्, ऐसी प्रणालियाँ जो यांत्रिक ऊर्जा का अपव्यय करती हैं। ऐसी प्रणालियों में कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम मान्य नहीं है। हालाँकि, जब यांत्रिक ऊर्जा घटती है, तो एक अलग प्रकार की ऊर्जा की मात्रा हमेशा इस कमी के बराबर दिखाई देती है। इस प्रकार, ऊर्जा कभी गायब नहीं होती या दोबारा प्रकट नहीं होती, यह केवल एक प्रकार से दूसरे प्रकार में बदलती रहती है।यहां पदार्थ की अविनाशीता और उसकी गति का गुण प्रकट होता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में, दो संरक्षण कानून हैं: गति के संरक्षण का कानून और ऊर्जा के संरक्षण का कानून।

शरीर का आवेग

संवेग की अवधारणा सबसे पहले एक फ्रांसीसी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मैकेनिक द्वारा प्रस्तुत की गई थी। और दार्शनिक डेसकार्टेस, जिन्होंने आवेग कहा आंदोलन की मात्रा .

लैटिन से, "आवेग" का अनुवाद "धक्का, चाल" के रूप में किया जाता है।

जो भी वस्तु चलती है उसमें गति होती है।

आइए कल्पना करें कि एक गाड़ी स्थिर खड़ी है। इसका संवेग शून्य है. लेकिन जैसे ही गाड़ी चलने लगेगी, उसकी गति शून्य नहीं रहेगी। गति बदलते ही यह बदलना शुरू हो जाएगा।

किसी भौतिक बिंदु का संवेग, या आंदोलन की मात्रा - एक सदिश राशि जो किसी बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर होती है। बिंदु के संवेग वेक्टर की दिशा वेग वेक्टर की दिशा से मेल खाती है।

यदि हम किसी ठोस भौतिक पिंड की बात कर रहे हैं तो ऐसे पिंड के संवेग को इस पिंड के द्रव्यमान और द्रव्यमान के केंद्र की गति का गुणनफल कहा जाता है।

किसी पिंड की गति की गणना कैसे करें? कोई कल्पना कर सकता है कि एक शरीर में कई भौतिक बिंदु होते हैं, या भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली होती है।

अगर - एक भौतिक बिंदु का आवेग, फिर भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली का आवेग

वह है, भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली की गति सिस्टम में शामिल सभी भौतिक बिंदुओं के संवेग का सदिश योग है। यह इन बिंदुओं के द्रव्यमान और उनकी गति के गुणनफल के बराबर है।

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली एसआई में आवेग की इकाई किलोग्राम-मीटर प्रति सेकंड (किलो मी/सेकंड) है।

आवेग बल

यांत्रिकी में, किसी पिंड के संवेग और बल के बीच घनिष्ठ संबंध होता है। ये दोनों मात्राएँ एक मात्रा से जुड़ी होती हैं जिसे कहा जाता है बल का आवेग .

यदि किसी पिंड पर एक स्थिर बल कार्य करता हैएफ समय की अवधि में टी , तो न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार

यह सूत्र किसी पिंड पर कार्य करने वाले बल, इस बल की कार्रवाई के समय और पिंड की गति में परिवर्तन के बीच संबंध को दर्शाता है।

किसी पिंड पर लगने वाले बल और उसके कार्य करने के समय के गुणनफल के बराबर की मात्रा कहलाती है बल का आवेग .

जैसा कि हम समीकरण से देखते हैं, बल का आवेग समय के प्रारंभिक और अंतिम क्षणों में शरीर के आवेगों के बीच के अंतर या कुछ समय में आवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।

गति के रूप में न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार तैयार किया गया है: किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन उस पर लगने वाले बल के संवेग के बराबर होता है। यह अवश्य कहा जाना चाहिए कि न्यूटन ने मूल रूप से अपना नियम बिल्कुल इसी प्रकार तैयार किया था।

बल आवेग भी एक सदिश राशि है।

संवेग संरक्षण का नियम न्यूटन के तीसरे नियम से चलता है।

यह याद रखना चाहिए कि यह कानून केवल एक बंद, या पृथक, भौतिक प्रणाली में ही लागू होता है। एक बंद प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जिसमें निकाय केवल एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं और बाहरी निकायों के साथ बातचीत नहीं करते हैं।

आइए हम दो भौतिक निकायों की एक बंद प्रणाली की कल्पना करें। पिंडों की एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया की शक्तियों को आंतरिक बल कहा जाता है।

पहले पिंड के लिए बल आवेग बराबर है

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, परस्पर क्रिया के दौरान पिंडों पर जो बल कार्य करते हैं वे परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।

इसलिए, दूसरे पिंड के लिए बल का संवेग बराबर है

सरल गणनाओं द्वारा हम संवेग के संरक्षण के नियम के लिए गणितीय अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

कहाँ मी 1 और मी 2 – शरीर द्रव्यमान,

वि 1 और वि 2 – अंतःक्रिया से पहले पहले और दूसरे शरीर का वेग,

वी 1" और वि 2" – अंतःक्रिया के बाद पहले और दूसरे पिंडों का वेग .

पी 1 = एम 1 · वी 1 - अंतःक्रिया से पहले पहले शरीर का संवेग;

पी 2 = एम 2 · वि 2 - अंतःक्रिया से पहले दूसरे शरीर का संवेग;

पी 1 "= एम 1 · वी 1" - अंतःक्रिया के बाद पहले शरीर का संवेग;

पी 2 "= एम 2 · वी 2" - अंतःक्रिया के बाद दूसरे शरीर का संवेग;

वह है

पी 1 + पी 2 = पी 1" + पी 2"

एक बंद प्रणाली में, निकाय केवल आवेगों का आदान-प्रदान करते हैं। और इन पिंडों की परस्पर क्रिया से पहले उनके संवेग का सदिश योग, अंतःक्रिया के बाद उनके संवेग के सदिश योग के बराबर होता है।

तो, बंदूक चलाने के परिणामस्वरूप, बंदूक की गति और गोली की गति बदल जाएगी। लेकिन गोली चलने से पहले बंदूक और उसमें मौजूद गोली के आवेगों का योग, गोली चलने के बाद बंदूक और उसमें उड़ती हुई गोली के आवेगों के योग के बराबर ही रहेगा।

तोप चलाते समय पीछे हटना होता है। प्रक्षेप्य आगे की ओर उड़ता है, और बंदूक स्वयं पीछे की ओर लुढ़क जाती है। प्रक्षेप्य और बंदूक एक बंद प्रणाली है जिसमें गति के संरक्षण का नियम संचालित होता है।

प्रत्येक शरीर की गति एक बंद प्रणाली में एक दूसरे के साथ उनकी बातचीत के परिणामस्वरूप परिवर्तन हो सकता है। लेकिन एक बंद प्रणाली में शामिल पिंडों के आवेगों का वेक्टर योग तब नहीं बदलता जब ये पिंड समय के साथ परस्पर क्रिया करते हैं, अर्थात् यह स्थिर रहता है। यह वही है संवेग के संरक्षण का नियम.

अधिक सटीक रूप से, संवेग के संरक्षण का नियम इस प्रकार तैयार किया गया है: किसी बंद प्रणाली के सभी पिंडों के आवेगों का सदिश योग एक स्थिर मान होता है यदि उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है, या उनका सदिश योग शून्य के बराबर है।

निकायों की एक प्रणाली की गति केवल प्रणाली पर बाहरी बलों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप बदल सकती है। और तब संवेग संरक्षण का नियम लागू नहीं होगा।

यह अवश्य कहा जाना चाहिए कि बंद प्रणालियाँ प्रकृति में मौजूद नहीं हैं। लेकिन, यदि बाहरी ताकतों की कार्रवाई का समय बहुत कम है, उदाहरण के लिए, विस्फोट, शॉट आदि के दौरान, तो इस स्थिति में सिस्टम पर बाहरी ताकतों के प्रभाव को नजरअंदाज कर दिया जाता है, और सिस्टम को ही बंद माना जाता है।

इसके अलावा, यदि बाहरी बल सिस्टम पर कार्य करते हैं, लेकिन समन्वय अक्षों में से एक पर उनके प्रक्षेपण का योग शून्य है (अर्थात, बल इस अक्ष की दिशा में संतुलित हैं), तो गति के संरक्षण का नियम संतुष्ट है इस दिशा में।

संवेग संरक्षण का नियम भी कहा जाता है संवेग के संरक्षण का नियम .

संवेग के संरक्षण के नियम के अनुप्रयोग का सबसे उल्लेखनीय उदाहरण जेट गति है।

जेट इंजन

प्रतिक्रियाशील गति किसी पिंड की वह गति है जो तब घटित होती है जब उसका कुछ भाग एक निश्चित गति से उससे अलग हो जाता है। शरीर स्वयं एक विपरीत निर्देशित आवेग प्राप्त करता है।

जेट प्रणोदन का सबसे सरल उदाहरण एक गुब्बारे की उड़ान है जिसमें से हवा बाहर निकलती है। यदि हम किसी गुब्बारे को फुलाकर छोड़ दें तो वह उसमें से निकलने वाली हवा की गति के विपरीत दिशा में उड़ने लगेगा।

प्रकृति में जेट प्रणोदन का एक उदाहरण पागल खीरे के फल के फटने पर उससे तरल पदार्थ का निकलना है। वहीं, खीरा खुद ही विपरीत दिशा में उड़ जाता है।

जेलीफ़िश, कटलफ़िश और गहरे समुद्र के अन्य निवासी पानी लेते हैं और फिर उसे बाहर फेंक देते हैं।

जेट थ्रस्ट संवेग के संरक्षण के नियम पर आधारित है। हम जानते हैं कि जब जेट इंजन वाला रॉकेट चलता है, तो ईंधन के दहन के परिणामस्वरूप, नोजल से तरल या गैस का एक जेट निकलता है ( जेट धारा ). निकलने वाले पदार्थ के साथ इंजन की अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप, प्रतिक्रियाशील बल . चूँकि रॉकेट, उत्सर्जित पदार्थ के साथ, एक बंद प्रणाली है, ऐसी प्रणाली की गति समय के साथ नहीं बदलती है।

प्रतिक्रियाशील बल प्रणाली के केवल भागों की परस्पर क्रिया से उत्पन्न होता है। इसके स्वरूप पर बाहरी ताकतों का कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

रॉकेट के चलने से पहले, रॉकेट और ईंधन के आवेगों का योग शून्य था। फलस्वरूप, संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, इंजन चालू करने के बाद इन आवेगों का योग भी शून्य होता है।

रॉकेट का द्रव्यमान कहां है

गैस प्रवाह दर

रॉकेट की गति बदलना

∆mf - ईंधन की खपत

मान लीजिए कि रॉकेट कुछ समय के लिए संचालित हुआ टी .

समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करने पर ∆ टी, हमें अभिव्यक्ति मिलती है

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार प्रतिक्रियाशील बल बराबर होता है

प्रतिक्रिया बल, या जेट थ्रस्ट, जेट इंजन और उससे जुड़ी वस्तु की जेट स्ट्रीम की दिशा के विपरीत दिशा में गति सुनिश्चित करता है।

जेट इंजन का उपयोग आधुनिक विमानों और विभिन्न मिसाइलों, सेना, अंतरिक्ष आदि में किया जाता है।