प्रणाली की विषमता. परिचय

पहला प्रश्न परीक्षा

1. सिस्टम विश्लेषण पद्धति. एक प्रणाली की अवधारणा. सिस्टम के स्थैतिक गुण. खुलापन. ब्लैक बॉक्स मॉडल के निर्माण में कठिनाइयाँ। रचना की विविधता. रचना मॉडल के निर्माण में कठिनाइयाँ। संरचना। संरचना मॉडल के निर्माण में कठिनाइयाँ।

स्थैतिक गुण आइए सिस्टम की एक विशिष्ट स्थिति की विशेषताओं का नाम बताएं। किसी भी निश्चित समय पर सिस्टम में यही होता है।

खुलापन - सिस्टम की दूसरी संपत्ति। एक अलग प्रणाली, जो हर चीज से अलग है, पर्यावरण से अलग नहीं है। इसके विपरीत, वे किसी भी प्रकार के संसाधनों (पदार्थ, ऊर्जा, सूचना, आदि) से जुड़े हुए हैं और एक दूसरे के साथ आदान-प्रदान करते हैं। आइए याद रखें कि सिस्टम और पर्यावरण के बीच संबंध दिशात्मक हैं; कुछ के अनुसार, पर्यावरण सिस्टम को प्रभावित करता है (इन्हें सिस्टम इनपुट कहा जाता है), दूसरों के अनुसार, सिस्टम पर्यावरण को प्रभावित करता है, पर्यावरण में कुछ करता है, पर्यावरण में कुछ उत्पन्न करता है (ऐसे कनेक्शन को सिस्टम आउटपुट कहा जाता है)। सिस्टम इनपुट और आउटपुट की सूची को कहा जाता है ब्लैक बॉक्स मॉडल . इस मॉडल में सिस्टम की आंतरिक विशेषताओं के बारे में जानकारी का अभाव है। ब्लैक बॉक्स मॉडल की (स्पष्ट) सादगी और सामग्री की गरीबी के बावजूद, यह मॉडल अक्सर सिस्टम के साथ काम करने के लिए काफी पर्याप्त होता है।

ब्लैक बॉक्स मॉडल बनाने में कठिनाइयाँ . ये सभी इस तथ्य से उपजे हैं कि मॉडल में हमेशा कनेक्शन की एक सीमित सूची होती है, जबकि वास्तविक प्रणाली में उनकी संख्या असीमित होती है। प्रश्न उठता है कि इनमें से किसे मॉडल में शामिल किया जाना चाहिए और किसे नहीं? हम पहले से ही उत्तर जानते हैं: मॉडल को उन सभी कनेक्शनों को प्रतिबिंबित करना चाहिए जो इसके लिए स्वाभाविक हैं

लक्ष्य प्राप्त करना.

ब्लैक बॉक्स मॉडल बनाते समय चार प्रकार की त्रुटियाँ:

पहले प्रकार की त्रुटि तब होती है जब कोई विषय किसी कनेक्शन को महत्वपूर्ण मानता है और इसे मॉडल में शामिल करने का निर्णय लेता है, जबकि वास्तव में यह लक्ष्य के संबंध में महत्वहीन है और इसे ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। इससे मॉडल में "अतिरिक्त" तत्वों की उपस्थिति होती है, जो अनिवार्य रूप से अनावश्यक हैं।

इसके विपरीत, दूसरे प्रकार की त्रुटि, विषय द्वारा की जाती है जब वह निर्णय लेता है कि दिया गया कनेक्शन महत्वहीन है और मॉडल में शामिल होने के लायक नहीं है, जबकि वास्तव में, इसके बिना, हमारा लक्ष्य पूरी तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता है या यहाँ तक कि बिल्कुल भी.

तीसरे प्रकार की त्रुटि को अज्ञानता का परिणाम माना जाता है। किसी निश्चित कनेक्शन के महत्व का आकलन करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि यह वास्तव में मौजूद है। यदि यह अज्ञात है, तो इसे मॉडल में शामिल करने या न करने का सवाल ही नहीं उठता: मॉडल में केवल वही होता है जो हम जानते हैं। लेकिन चूँकि हमें एक निश्चित संबंध के अस्तित्व पर संदेह नहीं है, इसलिए इसका अस्तित्व समाप्त नहीं होता है और यह वास्तविकता में प्रकट होता है। और फिर सब कुछ इस बात पर निर्भर करता है कि यह हमारे लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए कितना महत्वपूर्ण है। यदि यह महत्वहीन है, तो व्यवहार में हम वास्तविकता में इसकी उपस्थिति और मॉडल में अनुपस्थिति पर ध्यान नहीं देंगे। यदि यह महत्वपूर्ण है, तो हमें दूसरे प्रकार की त्रुटि के समान ही कठिनाइयों का अनुभव होगा। अंतर यह है कि तीसरे प्रकार की त्रुटि को ठीक करना अधिक कठिन है: नया ज्ञान प्राप्त करना होगा।

चौथे प्रकार की त्रुटि तब हो सकती है जब किसी ज्ञात और मान्यता प्राप्त महत्वपूर्ण कनेक्शन को गलत तरीके से इनपुट या आउटपुट की संख्या सौंपी जाती है।

आंतरिक विविधता: भागों की विशिष्टता (सिस्टम की तीसरी संपत्ति)। यदि आप "ब्लैक बॉक्स" के अंदर देखते हैं, तो पता चलता है कि सिस्टम सजातीय नहीं है, अखंड नहीं है; कोई यह पा सकता है कि भिन्न-भिन्न गुण अलग-अलग स्थानों पर भिन्न-भिन्न होते हैं। प्रणाली की आंतरिक विविधता का वर्णन अपेक्षाकृत सजातीय क्षेत्रों को अलग करने और उनके बीच सीमाएँ खींचने तक सीमित है। इस प्रकार सिस्टम के भागों की अवधारणा प्रकट होती है। बारीकी से जांच करने पर, यह पता चलता है कि चयनित बड़े हिस्से भी सजातीय नहीं हैं, जिसके लिए छोटे हिस्सों की पहचान करने की भी आवश्यकता होती है। परिणाम सिस्टम भागों की एक पदानुक्रमित सूची है, जिसे हम सिस्टम संरचना मॉडल कहेंगे।

रचना मॉडल बनाने में कठिनाइयाँ हर किसी को जिस पर काबू पाना है उसे तीन स्थितियों में दर्शाया जा सकता है:

पहला। संपूर्ण को अलग-अलग तरीकों से भागों में विभाजित किया जा सकता है (जैसे कि एक पाव रोटी को अलग-अलग आकार और आकार के स्लाइस में काटना)। और यह वास्तव में कितना आवश्यक है? उत्तर: जिस तरह से आपको अपने लक्ष्य को प्राप्त करने की आवश्यकता है।

दूसरा। कंपोजीशन मॉडल में भागों की संख्या उस स्तर पर भी निर्भर करती है जिस पर सिस्टम का विखंडन रोका जाता है। परिणामी पदानुक्रमित वृक्ष की अंतिम शाखाओं के हिस्सों को कहा जाता है तत्वों .

तीसरा। कोई भी सिस्टम किसी बड़े सिस्टम का हिस्सा होता है (और अक्सर एक साथ कई सिस्टम का हिस्सा होता है)। और इस मेटासिस्टम को अलग-अलग तरीकों से सबसिस्टम में भी विभाजित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम की बाहरी सीमा सापेक्ष, सशर्त है। यहां तक ​​कि कुछ शर्तों के तहत सिस्टम की "स्पष्ट" सीमा (मानव त्वचा, किसी उद्यम की बाड़, आदि) भी इन स्थितियों में सीमा निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त साबित होती है।

संरचना चौथा स्थैतिक गुण यह है कि सिस्टम के हिस्से एक दूसरे से स्वतंत्र या पृथक नहीं हैं; वे आपस में जुड़े हुए हैं और एक-दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। इसके अलावा, समग्र रूप से सिस्टम के गुण इस बात पर काफी हद तक निर्भर करते हैं कि इसके हिस्से वास्तव में कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। यही कारण है कि भागों के बीच कनेक्शन के बारे में जानकारी अक्सर महत्वपूर्ण होती है। सिस्टम तत्वों के बीच आवश्यक कनेक्शनों की सूची को सिस्टम संरचना मॉडल कहा जाता है। एक निश्चित संरचना द्वारा किसी भी प्रणाली की अविभाज्यता को सिस्टम की चौथी स्थैतिक संपत्ति - संरचना कहा जाएगा।

संरचना मॉडल बनाने में कठिनाइयाँ . हम इस बात पर जोर देते हैं कि किसी दिए गए सिस्टम के लिए कई अलग-अलग संरचना मॉडल प्रस्तावित किए जा सकते हैं। यह स्पष्ट है कि किसी निश्चित लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए उनमें से एक विशिष्ट, सबसे उपयुक्त मॉडल की आवश्यकता होती है। मौजूदा मॉडलों में से चुनने या विशेष रूप से हमारे मामले के लिए एक मॉडल बनाने की कठिनाई इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि, परिभाषा के अनुसार, एक संरचना मॉडल आवश्यक कनेक्शनों की एक सूची है।

पहली कठिनाई इस तथ्य से संबंधित है कि संरचना मॉडल का चयन संरचना मॉडल के चयन के बाद किया जाता है, और यह इस बात पर निर्भर करता है कि सिस्टम की संरचना वास्तव में क्या है। लेकिन एक निश्चित संरचना के साथ भी, संरचना मॉडल परिवर्तनशील है - कनेक्शन के महत्व को अलग ढंग से परिभाषित करने की संभावना के कारण।

दूसरी कठिनाई इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि सिस्टम का प्रत्येक तत्व एक "छोटा ब्लैक बॉक्स" है। इसलिए संरचना मॉडल में शामिल प्रत्येक तत्व के इनपुट और आउटपुट का निर्धारण करते समय सभी चार प्रकार की त्रुटियां संभव हैं।

2. सिस्टम विश्लेषण पद्धति। एक प्रणाली की अवधारणा. सिस्टम के गतिशील गुण: कार्यक्षमता, उत्तेजना, समय के साथ सिस्टम की परिवर्तनशीलता, बदलते परिवेश में अस्तित्व। प्रणाली के सिंथेटिक गुण: उद्भव, भागों में अविभाज्यता, अंतर्निहितता, समीचीनता।

सिस्टम के गतिशील गुण:

कार्यक्षमता - सिस्टम की पांचवीं संपत्ति। सिस्टम के आउटपुट (Y(1)^(уi(t), Ур(1), -, Ун(0) पर होने वाली प्रक्रियाओं Y(t) को इसके कार्य माना जाता है। सिस्टम कार्य - यह बाहरी वातावरण में इसका व्यवहार है; पर्यावरण में सिस्टम द्वारा किए गए परिवर्तन; इसकी गतिविधियों के परिणाम; सिस्टम द्वारा उत्पादित उत्पाद. आउटपुट की बहुलता से फ़ंक्शंस की बहुलता आती है, जिनमें से प्रत्येक का उपयोग किसी के द्वारा और किसी चीज़ के लिए किया जा सकता है। इसलिए, एक ही प्रणाली विभिन्न उद्देश्यों की पूर्ति कर सकती है।

उत्तेजना - सिस्टम की छठी संपत्ति। सिस्टम के इनपुट पर, कुछ प्रक्रियाएं X(t) = (x^(t), X2 (t), x^(t)) भी होती हैं, जो सिस्टम को प्रभावित करती हैं, बदल जाती हैं (सिस्टम में परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद) Y(t) में. आइए हम प्रभावों को एक्स(टी) उत्तेजना कहते हैं, और बाहरी प्रभावों के प्रति किसी भी प्रणाली की संवेदनशीलता और इन प्रभावों के तहत उसके व्यवहार में परिवर्तन को उत्तेजना कहा जाएगा।

समय के साथ सिस्टम परिवर्तनशीलता - सिस्टम की सातवीं संपत्ति। किसी भी प्रणाली में, परिवर्तन होते रहते हैं जिन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए; भविष्य की प्रणाली के डिज़ाइन में प्रावधान करना और शामिल करना; मौजूदा सिस्टम के साथ काम करते समय उन्हें बढ़ावा देना या उनका प्रतिकार करना, उन्हें तेज़ करना या धीमा करना। सिस्टम में कुछ भी बदल सकता है, लेकिन हमारे मॉडल के संदर्भ में हम परिवर्तनों का एक दृश्य वर्गीकरण दे सकते हैं: आंतरिक चर (पैरामीटर) Z(t) के मान, सिस्टम की संरचना और संरचना, और उसके किसी भी संयोजन परिवर्तन।

बदलते परिवेश में अस्तित्व - सिस्टम की आठवीं संपत्ति। न केवल यह व्यवस्था बदल रही है, बल्कि अन्य सभी व्यवस्थाएं भी बदल रही हैं। किसी दिए गए सिस्टम के लिए, यह पर्यावरण में निरंतर परिवर्तन जैसा दिखता है। लगातार बदलते परिवेश में अस्तित्व की अनिवार्यता के सिस्टम के लिए कई परिणाम होते हैं, नष्ट न होने के लिए बाहरी परिवर्तनों के अनुकूल होने की आवश्यकता से लेकर सिस्टम की विभिन्न अन्य प्रतिक्रियाओं तक। किसी विशिष्ट उद्देश्य के लिए किसी विशिष्ट प्रणाली पर विचार करते समय, उसकी प्रतिक्रिया की कुछ विशिष्ट विशेषताओं पर ध्यान केंद्रित किया जाता है।

सिस्टम के सिंथेटिक गुण:

कृत्रिम . यह शब्द सामान्यीकरण, सामूहिक, अभिन्न गुणों को दर्शाता है जो पहले कही गई बातों को ध्यान में रखते हैं, लेकिन पर्यावरण के साथ सिस्टम की बातचीत पर, सबसे सामान्य अर्थ में अखंडता पर जोर देते हैं।

उद्भव - सिस्टम की नौवीं संपत्ति। शायद यह संपत्ति किसी अन्य की तुलना में सिस्टम की प्रकृति के बारे में अधिक बताती है। किसी सिस्टम में भागों का संयोजन सिस्टम में गुणात्मक रूप से नए गुणों को जन्म देता है, जो भागों के गुणों में कम नहीं होते हैं, भागों के गुणों से प्राप्त नहीं होते हैं, केवल सिस्टम में ही अंतर्निहित होते हैं और केवल तब तक मौजूद रहते हैं जब तक सिस्टम एक संपूर्ण है. एक प्रणाली भागों के एक साधारण संग्रह से कहीं अधिक है। सिस्टम के गुण जो इसके लिए अद्वितीय हैं आपात्काल कहलाते हैं (अंग्रेजी से "टू एरेज़")।

भागों में अविभाज्यता - सिस्टम की दसवीं संपत्ति। यद्यपि यह संपत्ति उद्भव का एक सरल परिणाम है, इसका व्यावहारिक महत्व इतना महान है, और इसका कम आंकलन इतना सामान्य है कि इस पर अलग से जोर देना उचित है। अगर हमें सिस्टम की ही जरूरत है, किसी और चीज की नहीं, तो उसे हिस्सों में नहीं बांटा जा सकता. जब कोई भाग सिस्टम से हटा दिया जाता है, तो दो महत्वपूर्ण घटनाएँ घटित होती हैं।

सबसे पहले, यह सिस्टम की संरचना और इसलिए इसकी संरचना को बदलता है। यह अलग-अलग गुणों वाली एक अलग प्रणाली होगी। चूंकि पिछली प्रणाली में कई गुण हैं, इसलिए इस विशेष भाग से जुड़ी कुछ संपत्ति पूरी तरह से गायब हो जाएगी (यह उभर सकती है या नहीं भी हो सकती है। कुछ संपत्ति बदल जाएगी, लेकिन आंशिक रूप से संरक्षित की जाएगी। और सिस्टम के कुछ गुण आम तौर पर महत्वहीन हैं। वापस लिया गया हिस्सा। आइए हम एक बार फिर इस बात पर जोर दें कि सिस्टम से किसी हिस्से को हटाने का महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ेगा या नहीं, यह परिणामों का आकलन करने का विषय है।

सिस्टम से किसी हिस्से को हटाने का दूसरा महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि सिस्टम के अंदर और उसके बाहर के हिस्से एक ही चीज़ नहीं हैं। इसके गुण इस तथ्य के कारण बदलते हैं कि किसी वस्तु के गुण उसके आस-पास की वस्तुओं के साथ बातचीत में प्रकट होते हैं, और जब सिस्टम से हटा दिया जाता है, तो तत्व का वातावरण पूरी तरह से अलग हो जाता है।

असंवेदनशीलता - सिस्टम की ग्यारहवीं संपत्ति। हम कहेंगे कि व्यवस्था जितनी अधिक अंतर्निहित (अंग्रेज़ी में अंतर्निहित - किसी चीज़ का अभिन्न अंग होना) होती है, वह उतनी ही बेहतर ढंग से समन्वित, पर्यावरण के अनुकूल, उसके अनुकूल होती है। अंतर्निहितता की डिग्री भिन्न होती है और बदल सकती है (सीखना, भूलना, विकास, सुधार, विकास, गिरावट, आदि)। तथ्य यह है कि सभी प्रणालियाँ खुली हैं इसका मतलब यह नहीं है कि वे सभी पर्यावरण के साथ समान रूप से अनुकूल हैं।

व्यवहार्यता - सिस्टम की बारहवीं संपत्ति. मनुष्य द्वारा बनाई गई प्रणालियों में, निर्धारित लक्ष्य के लिए हर चीज (रचना और संरचना दोनों) का अधीनता इतना स्पष्ट है कि इसे किसी भी कृत्रिम प्रणाली की मौलिक संपत्ति के रूप में मान्यता दी जानी चाहिए। जिस लक्ष्य के लिए सिस्टम बनाया गया है वह निर्धारित करता है कि कौन सी उभरती संपत्ति लक्ष्य के कार्यान्वयन को सुनिश्चित करेगी, और यह बदले में, सिस्टम की संरचना और संरचना की पसंद को निर्धारित करती है। सिस्टम की परिभाषाओं में से एक है कहता है: एक प्रणाली अंत का एक साधन है। यह समझा जाता है कि यदि मौजूदा क्षमताओं का उपयोग करके आगे रखा गया लक्ष्य हासिल नहीं किया जा सकता है, तो विषय अपने आस-पास की वस्तुओं से एक नई प्रणाली को इकट्ठा करता है, जो विशेष रूप से इस लक्ष्य को प्राप्त करने में मदद करने के लिए बनाई गई है। यह ध्यान देने योग्य है कि लक्ष्य शायद ही कभी बनाई जा रही प्रणाली की संरचना और संरचना को स्पष्ट रूप से निर्धारित करता है: यह महत्वपूर्ण है कि वांछित कार्य लागू किया जाए, और इसे अक्सर विभिन्न तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है।

3. सिस्टम विश्लेषण पद्धति। मॉडल और अनुकरण. एक प्रणाली के रूप में एक मॉडल की अवधारणा। मॉडलों के निर्माण के तरीकों के रूप में विश्लेषण और संश्लेषण। मॉडलों का कृत्रिम और प्राकृतिक वर्गीकरण। विषय की संस्कृति के साथ मॉडलों की संगति।

हमें जो जानने, समझाने की आवश्यकता है उसके आधार पर - सिस्टम कैसे संरचित है या यह पर्यावरण के साथ कैसे इंटरैक्ट करता है, अनुभूति के दो तरीके प्रतिष्ठित हैं: 1) विश्लेषणात्मक; 2) सिंथेटिक।

विश्लेषण प्रक्रिया में क्रमिक रूप से निम्नलिखित तीन ऑपरेशन करना शामिल है; 1) एक जटिल संपूर्ण को छोटे भागों में विभाजित करें, संभवतः सरल; 2) प्राप्त अंशों की स्पष्ट व्याख्या दें; 3) भागों की व्याख्या को संपूर्ण की व्याख्या में संयोजित करें। यदि सिस्टम का कुछ हिस्सा अस्पष्ट रहता है, तो अपघटन ऑपरेशन दोहराया जाता है और हम फिर से नए, यहां तक ​​​​कि छोटे टुकड़ों को समझाने का प्रयास करते हैं।

विश्लेषण का पहला उत्पाद, जैसा कि आरेख से देखा जा सकता है, सिस्टम तत्वों की एक सूची है, अर्थात। . सिस्टम संरचना मॉडल . विश्लेषण का दूसरा उत्पाद सिस्टम संरचना का एक मॉडल है . विश्लेषण का तीसरा उत्पाद है ब्लैक बॉक्स मॉडल सिस्टम के प्रत्येक तत्व के लिए.

सिंथेटिक विधि इसमें क्रमिक रूप से तीन ऑपरेशन करना शामिल है: 1) एक बड़े सिस्टम (मेटासिस्टम) की पहचान करना, जिसमें हमारे लिए रुचि की प्रणाली एक भाग के रूप में शामिल है; 2) मेटासिस्टम की संरचना और संरचना पर विचार (इसका विश्लेषण): 3) मेटासिस्टम के अन्य उप-प्रणालियों के साथ अपने कनेक्शन के माध्यम से मेटासिस्टम में हमारी प्रणाली की भूमिका की व्याख्या। संश्लेषण का अंतिम उत्पाद मेटासिस्टम के अन्य भागों के साथ हमारे सिस्टम के कनेक्शन का ज्ञान है, अर्थात। ब्लैक बॉक्स मॉडल. लेकिन इसे बनाने के लिए, हमें एक साथ उप-उत्पादों के रूप में मेटासिस्टम की संरचना और संरचना के मॉडल बनाने होंगे।

विश्लेषण और संश्लेषण एक दूसरे के विपरीत नहीं बल्कि एक दूसरे के पूरक हैं। इसके अलावा, विश्लेषण में एक सिंथेटिक घटक होता है, और संश्लेषण में मेटासिस्टम का विश्लेषण होता है।

वर्गीकरण दो प्रकार के होते हैं: कृत्रिम और प्राकृतिक . कृत्रिम वर्गीकरण के साथ कक्षाओं में विभाजन "जैसा होना चाहिए" किया जाता है, अर्थात। निर्धारित लक्ष्य के आधार पर - जितनी कक्षाओं के लिए और लक्ष्य द्वारा निर्धारित सीमाओं के साथ। जब विचाराधीन सेट स्पष्ट रूप से विषम हो तो वर्गीकरण कुछ अलग तरीके से किया जाता है। प्राकृतिक समूह (सांख्यिकी में उन्हें क्लस्टर कहा जाता है) वर्गों के रूप में परिभाषित करने के लिए कह रहे हैं , (इसलिए वर्गीकरण का नाम प्राकृतिक) . हालाँकि, यह बात ध्यान में रखनी चाहिए प्राकृतिक वर्गीकरण वास्तविकता का एक सरलीकृत, खुरदुरा मॉडल मात्र है .

विषय की संस्कृति के साथ मॉडलों की संगति . किसी मॉडल को अपने मॉडल फ़ंक्शन का एहसास करने के लिए, मॉडल की उपस्थिति ही पर्याप्त नहीं है। यह जरूरी है कि मॉडल अनुकूल था, पर्यावरण के अनुरूप था, जो मॉडल के लिए उपयोगकर्ता की संस्कृति (मॉडल की दुनिया) है। सिस्टम के गुणों पर विचार करते समय इस स्थिति को अंतर्निहितता कहा जाता है: संस्कृति के लिए एक मॉडल की अंतर्निहितता मॉडलिंग के लिए एक आवश्यक आवश्यकता है।मॉडल की अंतर्निहितता की डिग्री बदल सकती है: पर्यावरण या मॉडल में परिवर्तन के कारण वृद्धि (उपयोगकर्ता प्रशिक्षण, रोसेटा पत्थर जैसे एडाप्टर की उपस्थिति, आदि) या कमी (भूलना, संस्कृति का विनाश)। इस प्रकार, मॉडलिंग मेटासिस्टम में एक और तत्व को शामिल किया जाना चाहिए - संस्कृति।

4. सिस्टम विश्लेषण पद्धति. नियंत्रण। पांच नियंत्रण घटक. नियंत्रण के सात प्रकार.

नियंत्रण - सिस्टम पर लक्षित प्रभाव।

पांच नियंत्रण घटक:

पहला नियंत्रण घटक स्वयं नियंत्रण वस्तु, प्रबंधित प्रणाली है।

प्रबंधन प्रणाली का दूसरा अनिवार्य घटक प्रबंधन लक्ष्य है।

नियंत्रण क्रिया U(t) तीसरा नियंत्रण घटक है . तथ्य यह है कि सिस्टम के इनपुट और आउटपुट एक निश्चित संबंध Y(t)=S द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं, हमें यह आशा करने की अनुमति देता है कि एक नियंत्रण कार्रवाई है जिसमें आउटपुट पर लक्ष्य V*(t) का एहसास होता है।

सिस्टम मॉडल प्रबंधन प्रक्रिया का चौथा घटक बन जाता है।

नियंत्रण के लिए आवश्यक सभी कार्रवाइयां पूरी की जानी चाहिए. यह फ़ंक्शन आमतौर पर इस उद्देश्य के लिए विशेष रूप से बनाए गए सिस्टम को सौंपा जाता है। (प्रबंधन प्रक्रिया का पांचवां घटक)। नियंत्रण इकाई या नियंत्रण प्रणाली (उपप्रणाली), नियंत्रण उपकरण कहा जाता हैऔर इसी तरह। सच में नियंत्रण खंड एक नियंत्रित प्रणाली का एक उपप्रणाली हो सकता है (जैसे avodouiravle1gae - एक संयंत्र का हिस्सा, एक ऑटोपायलट - एक हवाई जहाज का एक हिस्सा), लेकिन यह एक बाहरी प्रणाली भी हो सकती है (एक अधीनस्थ उद्यम के लिए एक मंत्रालय की तरह, एक हवाई क्षेत्र डिस्पैचर की तरह) एक हवाई जहाज उतरना)।

सात नियंत्रण प्रकार:

पहले प्रकार का नियंत्रण सरल सिस्टम नियंत्रण या प्रोग्राम नियंत्रण है।

दूसरे प्रकार का नियंत्रण एक जटिल प्रणाली का नियंत्रण है।

तीसरे प्रकार का नियंत्रण पैरामीटर या विनियमन द्वारा नियंत्रण है।

चौथे प्रकार का प्रबंधन संरचना द्वारा प्रबंधन है।

पांचवें प्रकार का प्रबंधन उद्देश्यों द्वारा प्रबंधन है।

छठे प्रकार का प्रबंधन बड़ी प्रणालियों का प्रबंधन है।

सातवें प्रकार का नियंत्रण. पहले प्रकार के नियंत्रण के अलावा, जब लक्ष्य प्राप्त करने के लिए आवश्यक सभी चीजें उपलब्ध होती हैं, तो अन्य प्रकार के नियंत्रण उन कारकों पर काबू पाने से जुड़े होते हैं जो किसी को लक्ष्य प्राप्त करने से रोकते हैं: नियंत्रण वस्तु के बारे में जानकारी की कमी (दूसरा प्रकार), बाहरी मामूली हस्तक्षेप जो सिस्टम को लक्ष्य प्रक्षेपवक्र से थोड़ा विचलित करता है (तीसरे प्रकार), सिस्टम के उभरते गुणों और निर्धारित लक्ष्य (चौथे प्रकार) के बीच विसंगति, भौतिक संसाधनों की कमी, लक्ष्य को अप्राप्य बनाना और इसके प्रतिस्थापन की आवश्यकता (पांचवें प्रकार) ), सर्वोत्तम समाधान खोजने के लिए समय की कमी (छठा प्रकार)।

5. सिस्टम विश्लेषण तकनीक। सिस्टम अनुसंधान की सफलता के लिए शर्तें. प्रणालीगत अनुसंधान के चरण: समस्या को ठीक करना, समस्या का निदान करना, हितधारकों की सूची संकलित करना, समस्या मिश्रण की पहचान करना।

सिस्टम अनुसंधान की सफलता के लिए शर्तें :

किसी भी आवश्यक जानकारी तक पहुंच की गारंटी (उसी समय, विश्लेषक, अपनी ओर से गोपनीयता की गारंटी देता है);

संगठनों के शीर्ष अधिकारियों की व्यक्तिगत भागीदारी की गारंटी - समस्या की स्थिति में अनिवार्य भागीदार (समस्या युक्त और समस्या निवारण प्रणालियों के प्रबंधक);

आवश्यक परिणाम पहले से तैयार करने की आवश्यकता से इनकार ("तकनीकी विनिर्देश"), क्योंकि कई सुधारात्मक हस्तक्षेप हैं और वे पहले से अज्ञात हैं, विशेष रूप से कार्यान्वयन के लिए किसे चुना जाएगा।

समस्या का समाधान - कार्य समस्या को तैयार करना और उसका दस्तावेजीकरण करना है। समस्या का सूत्रीकरण ग्राहक द्वारा स्वयं विकसित किया जाता है; विश्लेषक का काम यह पता लगाना है कि ग्राहक किस बारे में शिकायत कर रहा है, वह किस बात से असंतुष्ट है। जैसा कि वह देखता है, यह ग्राहक की समस्या है। साथ ही, आपको उसकी राय को प्रभावित करने या उसे विकृत करने की कोशिश नहीं करनी चाहिए।

समस्या का निदान . किसी समस्या को हल करने के लिए समस्या समाधान के कौन से तरीकों का उपयोग किया जाए, यह इस पर निर्भर करता है कि हम सबसे असंतुष्ट विषय को प्रभावित करना चुनते हैं या उस वास्तविकता में हस्तक्षेप करना चुनते हैं जिससे वह असंतुष्ट है (ऐसे मामले भी हो सकते हैं जब दोनों प्रभावों के संयोजन की सलाह दी जाती है)। इस चरण का कार्य निदान करना है - यह निर्धारित करना कि यह किस प्रकार की समस्या है।

हितधारकों की एक सूची संकलित करना .हमारा अंतिम लक्ष्य सुधार हस्तक्षेपों को लागू करना है। प्रत्येक चरण को हमें इसके एक कदम करीब लाना चाहिए, लेकिन हमें इस बात का विशेष ध्यान रखना चाहिए कि यह कदम सही दिशा में हो, न कि दूसरी दिशा में। बाद में समस्या की स्थिति में सभी प्रतिभागियों के हितों को ध्यान में रखने के लिए (और हस्तक्षेप में सुधार की अवधारणा ठीक इसी पर आधारित है), पहले यह पता लगाना आवश्यक है कि समस्या की स्थिति में कौन शामिल है और एक सूची बनाएं उनमें से। साथ ही, यह महत्वपूर्ण है कि किसी को भी याद न किया जाए; आख़िरकार, किसी ऐसे व्यक्ति के हितों को ध्यान में रखना असंभव है जो हमारे लिए अज्ञात है, और किसी को भी ध्यान में न रखने से यह खतरा है कि हमारे हस्तक्षेप से सुधार नहीं होगा। इस प्रकार, समस्या की स्थिति में प्रतिभागियों की सूची पूरी होनी चाहिए।

समस्या गड़बड़ी की पहचान करना . हितधारकों के हित हैं जिन्हें हमें ध्यान में रखना होगा। लेकिन इसके लिए आपको उन्हें जानना होगा. अभी, हमारे पास केवल ब्याज धारकों की एक सूची है। किसी हितधारक के बारे में प्राप्त की जाने वाली पहली जानकारी उस स्थिति का उसका अपना आकलन है जो हमारे ग्राहक के लिए समस्याग्रस्त है। यह अलग हो सकता है: कुछ हितधारकों की अपनी समस्याएं हो सकती हैं (नकारात्मक मूल्यांकन), कुछ पूरी तरह से संतुष्ट हैं (सकारात्मक मूल्यांकन), अन्य वास्तविकता के बारे में तटस्थ हो सकते हैं। इस तरह यह और स्पष्ट हो जायेगा<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. सिस्टम विश्लेषण तकनीक। सिस्टम विश्लेषण संचालन. सिस्टम अनुसंधान के चरण: विन्यासकर्ता का निर्धारण, लक्ष्य की पहचान, मानदंड का निर्धारण, प्रयोगात्मक अनुसंधान।

सिस्टम विश्लेषण संचालन . यदि ग्राहक अनुबंध की शर्तों से सहमत होता है, तो विश्लेषक पहले चरण पर आगे बढ़ता है, जिसे पूरा करने के बाद, दूसरा चरण शुरू करता है और इसी तरह अंतिम चरण तक चलता है, जिसके अंत में कार्यान्वित सुधारात्मक हस्तक्षेप प्राप्त किया जाना चाहिए।

विन्यासकर्ता परिभाषा . किसी समस्या के सफल समाधान के लिए एक आवश्यक शर्त समस्या की स्थिति के पर्याप्त मॉडल की उपस्थिति है, इसकी मदद से प्रस्तावित कार्यों के विकल्पों का परीक्षण और तुलना करना संभव होगा। यह मॉडल (या मॉडलों का एक सेट) अनिवार्य रूप से कुछ भाषा (या भाषाओं) के माध्यम से बनाया जाना चाहिए। सवाल उठता है कि इस समस्या पर काम करने के लिए कितनी और कौन सी भाषाओं की जरूरत है और उनका चयन कैसे किया जाए। इसे विन्यासकर्ता कहा जाता है। पेशेवर भाषाओं का एक न्यूनतम सेट जो आपको समस्या की स्थिति और उसके परिवर्तनों का संपूर्ण (पर्याप्त) विवरण देने की अनुमति देता है। समस्या समाधान के दौरान सभी कार्य विन्यासकर्ता की भाषाओं में होंगे। और केवल उन पर. विन्यासकर्ता को परिभाषित करना इस चरण का कार्य है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि विन्यासकर्ता सिस्टम विश्लेषकों का एक कृत्रिम आविष्कार नहीं है, जिसका आविष्कार उनके काम को सुविधाजनक बनाने के लिए किया गया है. एक ओर, विन्यासकर्ता समस्या की प्रकृति से निर्धारित होता है। दूसरी ओर, विन्यासकर्ता को सिस्टम की एक अन्य संपत्ति के रूप में माना जा सकता है, एक साधन के रूप में जिसके द्वारा सिस्टम अपनी समस्या का समाधान करता है।

लक्ष्य का पता लगाना . सुधार हस्तक्षेप लागू करने की मांग करते समय, हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि कोई भी हितधारक इसे नकारात्मक रूप से न देखे। लोग किसी बदलाव का मूल्यांकन सकारात्मक रूप से करते हैं यदि यह उन्हें उनके लक्ष्य के करीब लाता है, और नकारात्मक रूप से यदि यह उन्हें इससे दूर ले जाता है। इसलिए, किसी हस्तक्षेप को डिज़ाइन करने के लिए सभी हितधारकों के लक्ष्यों को जानना आवश्यक है। बेशक, जानकारी का मुख्य स्रोत हितधारक स्वयं है।

मानदंड की परिभाषा . किसी समस्या को हल करने के दौरान, प्रस्तावित विकल्पों की तुलना करना, लक्ष्य किस हद तक हासिल किया गया है या उससे विचलन हुआ है, इसका आकलन करना और घटनाओं की प्रगति की निगरानी करना आवश्यक होगा। यह विचाराधीन वस्तुओं और प्रक्रियाओं की कुछ विशेषताओं को उजागर करके प्राप्त किया जाता है। ये संकेत विचाराधीन वस्तुओं या प्रक्रियाओं की उन विशेषताओं से संबंधित होने चाहिए जिनमें हमारी रुचि है, और अवलोकन और माप के लिए सुलभ होना चाहिए। फिर, प्राप्त माप परिणामों के आधार पर, हम आवश्यक नियंत्रण करने में सक्षम होंगे। ऐसी विशेषताओं को मानदंड कहा जाता है। प्रत्येक अध्ययन (हमारे अध्ययन सहित) को मानदंड की आवश्यकता होगी। कितने, क्या और कैसे मापदंड चुनें? सबसे पहले, मानदंडों की संख्या के बारे में। जाहिर है, आपको जितने कम मानदंडों की आवश्यकता होगी, तुलना करना उतना ही आसान होगा। अर्थात्, मानदंडों की संख्या को कम करना वांछनीय है; इसे घटाकर एक कर देना अच्छा होगा। मानदंड का चयन . मानदंड गुणात्मक लक्ष्यों के मात्रात्मक मॉडल हैं। वास्तव में, भविष्य में गठित मानदंड, एक अर्थ में, लक्ष्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं और प्रतिस्थापित करते हैं: मानदंडों के अनुसार अनुकूलन लक्ष्य के लिए अधिकतम सन्निकटन सुनिश्चित करना चाहिए। बेशक, मानदंड लक्ष्य के समान नहीं हैं, वे लक्ष्य, उसके मॉडल की झलक हैं। किसी दिए गए विकल्प के लिए मानदंड मूल्य निर्धारित करना अनिवार्य रूप से अंत के साधन के रूप में इसकी उपयुक्तता की डिग्री का माप है।

प्रणालियों का प्रायोगिक अध्ययन. प्रयोग और मॉडल. अक्सर, किसी सिस्टम के बारे में गुम जानकारी केवल इस उद्देश्य के लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए प्रयोग का संचालन करके ही सिस्टम से प्राप्त की जा सकती है। प्रायोगिक प्रोटोकॉल में निहित जानकारी को निकाला जाता है, परिणामी डेटा को सिस्टम मॉडल में शामिल करने के लिए उपयुक्त रूप में प्रसंस्करण और परिवर्तन के अधीन किया जाता है। अंतिम चरण मॉडल में प्राप्त जानकारी को शामिल करके मॉडल को सही करना है। यह समझना आसान है कि मॉडल को बेहतर बनाने के लिए प्रयोग की आवश्यकता है। यह समझना भी महत्वपूर्ण है कि मॉडल के बिना प्रयोग असंभव है। वे एक ही चक्र में हैं. हालाँकि, इस चक्र के माध्यम से घूमना एक घूमते हुए पहिये जैसा नहीं है, बल्कि एक लुढ़कता हुआ स्नोबॉल है - प्रत्येक क्रांति के साथ यह बड़ा और अधिक वजनदार हो जाता है।

7. सिस्टम विश्लेषण तकनीक। सिस्टम अनुसंधान के चरण: मॉडल बनाना और सुधारना, विकल्प तैयार करना, निर्णय लेना, +।

मॉडलों का निर्माण एवं सुधार. सिस्टम विश्लेषण में, एक समस्या मॉडल और एक स्थिति की आवश्यकता होती है "खोना" संभव है हस्तक्षेप के विकल्प न केवल उन लोगों को काटने के लिए जो सुधार नहीं करेंगे, बल्कि उन लोगों में से भी चयन करना है जो सबसे अधिक सुधार करते हैं (हमारे मानदंडों के अनुसार) जो सुधार करते हैं। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि किसी स्थिति मॉडल के निर्माण में योगदान प्रत्येक पिछले और सभी बाद के चरणों में किया जाता है (दोनों स्वयं के योगदान से और जानकारी के साथ मॉडल को फिर से भरने के लिए कुछ प्रारंभिक चरण में लौटने के निर्णय द्वारा)। इसलिए, वास्तव में, कोई अलग, विशेष "मॉडल बनाने का चरण" नहीं है और फिर भी यह बिल्डिंग मॉडल की विशेषताओं, या बल्कि, पर ध्यान देने योग्य है "निर्माण पूरा करना" (अर्थात् नए तत्व जोड़ना या अनावश्यक तत्वों को हटाना)।

विकल्प उत्पन्न करना . वर्णित तकनीक में, यह क्रिया दो चरणों में की जाती है:

समस्या और लक्ष्य मिश्रण के बीच विसंगतियों की पहचान करना। संगठन की वर्तमान (और असंतोषजनक) स्थिति और भविष्य की, सबसे वांछनीय, आदर्श स्थिति जिसके लिए इसे प्रयास करना चाहिए, के बीच अंतर स्पष्ट रूप से तैयार किया जाना चाहिए। ये अंतर वे अंतराल हैं जिनके उन्मूलन की योजना बनाने की आवश्यकता है;

पाई गई विसंगतियों को दूर करने या कम करने के लिए संभावित विकल्पों का प्रस्ताव करना। कार्रवाइयां, प्रक्रियाएं, नियम, परियोजनाएं, कार्यक्रम और नीतियां - प्रबंधन के सभी घटक - कार्यान्वयन के लिए डिज़ाइन किए जाने चाहिए।

प्रणालियों की आंतरिक विविधता: भागों की भिन्नता। यदि आप "ब्लैक बॉक्स" के अंदर देखते हैं, तो यह पता चलता है कि प्रणाली सजातीय नहीं है, अखंड नहीं है: आप पा सकते हैं कि अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग गुण भिन्न-भिन्न होते हैं। प्रणाली की आंतरिक विविधता का वर्णन अपेक्षाकृत सजातीय क्षेत्रों को अलग करने और उनके बीच सीमाएँ खींचने तक सीमित है। इस प्रकार सिस्टम के भागों की अवधारणा प्रकट होती है। बारीकी से जांच करने पर, यह पता चलता है कि चयनित बड़े हिस्से भी सजातीय नहीं हैं, जिसके लिए छोटे हिस्सों की पहचान करने की भी आवश्यकता होती है। परिणाम सिस्टम भागों की एक पदानुक्रमित सूची है, जिसे हम सिस्टम संरचना मॉडल कहेंगे।

सिस्टम की संरचना के बारे में जानकारी का उपयोग सिस्टम के साथ काम करने के लिए किया जा सकता है। प्रणालियों के साथ अंतःक्रिया के लक्ष्य भिन्न हो सकते हैं, और इसलिए एक ही प्रणाली के संरचना मॉडल भी भिन्न हो सकते हैं। एक उपयोगी, व्यावहारिक मॉडल बनाना आसान नहीं है।

रचना मॉडल बनाने में कठिनाइयाँ

पहली नज़र में, सिस्टम के हिस्सों को अलग करना मुश्किल नहीं है; वे "आकर्षक" होते हैं। कुछ प्रणालियाँ प्राकृतिक वृद्धि और विकास (जीव, समाज, ग्रह प्रणालियाँ, अणु, खनिज भंडार, आदि) की प्रक्रिया में अनायास ही भागों में विभेदित हो जाती हैं। कृत्रिम प्रणालियाँ स्पष्ट रूप से पहले से अलग-अलग हिस्सों (तंत्र, भवन, पाठ, धुन, आदि) से इकट्ठी की जाती हैं। मिश्रित प्रकार की प्रणालियाँ भी हैं (भंडार, कृषि प्रणालियाँ, प्रकृति अनुसंधान संगठन, मसौदा परिवहन)।

दूसरी ओर, रेक्टर, एक छात्र, एक अकाउंटेंट, या एक बिजनेस मैनेजर से पूछें कि विश्वविद्यालय में कौन से हिस्से शामिल हैं - और प्रत्येक आपको दूसरों से अलग, रचना का अपना मॉडल देगा। पायलट, फ्लाइट अटेंडेंट और यात्री विमान की संरचना भी अलग-अलग तरीके से निर्धारित करेंगे। हम कह सकते हैं कि शरीर दाएं और बाएं हिस्सों से बना है, या यह कहा जा सकता है कि यह ऊपरी और निचले हिस्सों से बना है। तो इसमें "वास्तव में" क्या शामिल है?

एक रचना मॉडल के निर्माण की कठिनाइयों को हर किसी को दूर करना होता है जिसे तीन स्थितियों में दर्शाया जा सकता है।

1. संपूर्ण को अलग-अलग तरीकों से भागों में विभाजित किया जा सकता है

संपूर्ण को अलग-अलग तरीकों से भागों में विभाजित किया जा सकता है (जैसे कि एक पाव रोटी को अलग-अलग आकार और आकार के स्लाइस में काटना)। और यह वास्तव में कितना आवश्यक है? उत्तर: जिस तरह से आपको अपने लक्ष्य को प्राप्त करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, नौसिखिए कार उत्साही लोगों, भविष्य के पेशेवर ड्राइवरों, ऑटो मरम्मत की दुकानों में काम करने की तैयारी करने वाले मैकेनिकों और ऑटो स्टोर्स में सेल्सपर्सन के लिए कार की संरचना अलग-अलग तरीके से प्रस्तुत की जाती है।

फिर इस प्रश्न पर लौटना स्वाभाविक है: क्या हिस्से "वास्तव में" मौजूद हैं? प्रश्न में संपत्ति के सावधानीपूर्वक सूत्रीकरण पर ध्यान दें: भागों की अलग-अलगता, भागों में पृथक्करण नहीं। हमने सिस्टम अखंडता की समस्या के लिए एक और दृष्टिकोण अपनाया है: आप सिस्टम के उन हिस्सों के बीच अंतर कर सकते हैं जिनकी आपको अपने उद्देश्य के लिए आवश्यकता है और उनके बारे में आपके पास उपलब्ध जानकारी का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन आपको उन्हें अलग नहीं करना चाहिए। बाद में हम इस स्थिति को और गहरा और विकसित करेंगे।

2. रचना मॉडल में भागों की संख्या

कंपोजीशन मॉडल में भागों की संख्या उस स्तर पर भी निर्भर करती है जिस पर सिस्टम का विखंडन रोका जाता है। परिणामी पदानुक्रमित वृक्ष की अंतिम शाखाओं के हिस्सों को तत्व कहा जाता है। विभिन्न परिस्थितियों में, विघटन विभिन्न स्तरों पर समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, आगामी कार्य का वर्णन करते समय, एक अनुभवी कार्यकर्ता और नौसिखिए को अलग-अलग स्तर के विवरण के निर्देश देना आवश्यक है। इस प्रकार, रचना का मॉडल उस पर निर्भर करता है जिसे प्राथमिक माना जाता है, और चूंकि यह शब्द मूल्यांकनात्मक है, यह एक निरपेक्ष नहीं, बल्कि एक सापेक्ष अवधारणा है। हालाँकि, ऐसे मामले हैं जब कोई तत्व प्राकृतिक, पूर्ण प्रकृति का होता है (एक कोशिका जीवित जीव का सबसे सरल तत्व है; एक व्यक्ति समाज का अंतिम तत्व है; स्वर मौखिक भाषण के सबसे छोटे भाग हैं) या हमारे द्वारा निर्धारित किया जाता है क्षमताएं (उदाहरण के लिए, हम मान सकते हैं कि एक इलेक्ट्रॉन में भी कुछ होता है, लेकिन अभी तक भौतिक विज्ञानी आंशिक चार्ज वाले इसके हिस्सों का पता नहीं लगा पाए हैं)।

3. सिस्टम की बाहरी सीमा

कोई भी सिस्टम किसी बड़े सिस्टम का हिस्सा होता है (और अक्सर एक साथ कई सिस्टम का हिस्सा होता है)। और इस मेटासिस्टम को अलग-अलग तरीकों से सबसिस्टम में भी विभाजित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम की बाहरी सीमा सापेक्ष, सशर्त है। यहां तक ​​कि कुछ शर्तों के तहत सिस्टम की "स्पष्ट" सीमा (मानव त्वचा, किसी उद्यम की बाड़, आदि) भी इन स्थितियों में सीमा निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त साबित होती है। उदाहरण के लिए, भोजन के दौरान, मैं कांटे की मदद से प्लेट से एक कटलेट लेता हूं, उसे काटता हूं, चबाता हूं, निगलता हूं और पचाता हूं। वह सीमा कहां है, जिसे पार करके कटलेट मेरा हिस्सा बन जाता है? दूसरा उदाहरण उद्यम सीमा के साथ है। मजदूर सीढ़ियों पर गिर गया और उसका पैर टूट गया. उपचार के बाद, बिल का भुगतान करते समय, सवाल उठता है: यह किस प्रकार की चोट थी - घरेलू या औद्योगिक (उन्हें अलग-अलग भुगतान किया जाता है)? इसमें कोई संदेह नहीं कि यह उद्यम की सीढ़ी थी। लेकिन अगर यह उस घर की सीढ़ियाँ थीं जहाँ कार्यकर्ता रहता है, तो यह सब इस पर निर्भर करता है कि वह घर तक कैसे चला। यदि आप काम से सीधे हैं और अभी तक अपार्टमेंट के दरवाजे तक नहीं पहुंचे हैं, तो चोट को काम से संबंधित माना जाता है। लेकिन अगर वह रास्ते में किसी स्टोर या सिनेमा में चला गया, तो यह घरेलू चोट है। जैसा कि हम देखते हैं, कानून उद्यम की सीमाओं को सशर्त रूप से परिभाषित करता है।

सिस्टम की सीमाओं की पारंपरिकता हमें फिर से अखंडता की समस्या पर वापस लाती है, जो अब पूरी दुनिया की अखंडता है। सिस्टम सीमा का निर्धारण उस विषय के लक्ष्यों को ध्यान में रखकर किया जाता है जो सिस्टम मॉडल का उपयोग करेगा।

तारासेंको एफ.पी. एप्लाइड सिस्टम विश्लेषण (समस्या समाधान का विज्ञान और कला): पाठ्यपुस्तक। - टॉम्स्क; टॉम्स्क यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 2004। आईएसबीएन 5-7511-1838-3

2.4.1. परिभाषा।आइए हमें रैखिक समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली दी जाए

एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें

जिसके गुणांकों का मैट्रिक्स सिस्टम के गुणांकों के मैट्रिक्स (2.4.1) से मेल खाता है। फिर सिस्टम (2.4.2) को कॉल किया जाता है कम सजातीय प्रणाली (2.4.1).

2.4.2. प्रमेय. एक अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधान अमानवीय प्रणाली के कुछ विशेष समाधान और कम सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान के योग के बराबर होता है.

इस प्रकार, अमानवीय प्रणाली (2.4.1) का एक सामान्य समाधान खोजने के लिए यह पर्याप्त है:

1) अनुकूलता के लिए इस पर शोध करें। अनुकूलता के मामले में:

2) कम सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें।

3) मूल (असमान) समाधान का कोई विशेष समाधान खोजें।

4) पाए गए विशेष समाधान और दिए गए समाधान के सामान्य समाधान को जोड़कर, मूल प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें।

2.4.3. व्यायाम।अनुकूलता के लिए सिस्टम की जांच करें और अनुकूलता के मामले में, दिए गए विशेष और सामान्य के योग के रूप में इसका सामान्य समाधान खोजें।

समाधान। क) समस्या को हल करने के लिए, हम उपरोक्त योजना लागू करते हैं:

1) हम अनुकूलता के लिए सिस्टम की जांच करते हैं (सीमांत अवयस्कों की विधि द्वारा): मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 3 है (अभ्यास 2.2.5, ए का समाधान देखें), और अधिकतम क्रम का गैर-शून्य अवयस्क 1 के तत्वों से बना है, दूसरी, चौथी पंक्तियाँ और पहला, तीसरा, चौथा कॉलम। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए, हम इसे विस्तारित मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति और छठे कॉलम से सीमाबद्ध करते हैं: =0। मतलब, आरजी ए =आरजी=3, और सिस्टम सुसंगत है। विशेष रूप से, यह सिस्टम के समतुल्य है

2) आइए एक सामान्य समाधान खोजें एक्स 0 कम सजातीय प्रणाली

एक्स 0 ={(-2ए - बी ; ए ; बी ; बी ; बी ) | ए , बी Î आर}

(अभ्यास 2.2.5, ए का समाधान देखें))।

3) आइए हम मूल प्रणाली का कोई विशेष समाधान x h खोजें . ऐसा करने के लिए, सिस्टम (2.4.3) में, मूल के बराबर, मुक्त अज्ञात एक्स 2 और एक्स हम मानते हैं कि 5, उदाहरण के लिए, शून्य के बराबर है (यह सबसे सुविधाजनक डेटा है):

और परिणामी प्रणाली को हल करें: एक्स 1 =- , एक्स 3 =- , एक्स 4=-5. इस प्रकार, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ प्रणाली का एक विशेष समाधान है।

4) मूल प्रणाली का सामान्य समाधान X n खोजें :

एक्स एन={एक्स एच }+एक्स 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2ए - बी ; ए ; बी ; बी ; बी )}=

={(- -2ए - बी ; ए ; - + बी ; -5+बी ; बी )}.

टिप्पणी। आपको प्राप्त उत्तर की तुलना उदाहरण 1.2.1 में दिए गए दूसरे उत्तर से करें। 1.2.1 सी के लिए पहले फॉर्म में उत्तर प्राप्त करने के लिए बुनियादी अज्ञात को लिया जाता है एक्स 1 , एक्स 3 , एक्स 5 (जिसके लिए लघु भी शून्य के बराबर नहीं है), और मुफ़्त ¾ के रूप में एक्स 2 और एक्स 4 .

§3. कुछ अनुप्रयोग.

3.1. मैट्रिक्स समीकरणों के मुद्दे पर.हम आपको वह याद दिलाते हैं मैट्रिक्स समीकरण मैदान के ऊपर एफ एक समीकरण है जिसमें अज्ञात क्षेत्र पर एक मैट्रिक्स है एफ .

सबसे सरल मैट्रिक्स समीकरण फॉर्म के समीकरण हैं

कुल्हाड़ी=बी , एक्सए =बी (2.5.1)

कहाँ ए , बी ¾ किसी फ़ील्ड पर दिया गया (ज्ञात) मैट्रिक्स एफ , ए एक्स ¾ ऐसे मैट्रिक्स, जिनके प्रतिस्थापन पर समीकरण (2.5.1) वास्तविक मैट्रिक्स समानता में बदल जाते हैं। विशेष रूप से, कुछ प्रणालियों की मैट्रिक्स विधि मैट्रिक्स समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाती है।

मामले में जब मैट्रिक्स ए समीकरणों में (2.5.1) गैर-विघटित होते हैं, उनके क्रमशः समाधान होते हैं एक्स =ए बी और एक्स =बी ० ए। .

ऐसे मामले में जब समीकरणों (2.5.1) के बाईं ओर कम से कम एक मैट्रिक्स एकवचन है, यह विधि अब उपयुक्त नहीं है, क्योंकि संबंधित व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए मौजूद नहीं होना। इस मामले में, समीकरणों (2.5.1) का समाधान ढूंढना सिस्टम को हल करने तक कम हो गया है।

लेकिन पहले, आइए कुछ अवधारणाओं का परिचय दें।

आइए सिस्टम के सभी समाधानों के सेट को कॉल करें सामान्य निर्णय . आइए हम एक अनिश्चित प्रणाली का अलग से लिया गया समाधान कहते हैं निजी समाधान .

3.1.1. उदाहरण।फ़ील्ड पर मैट्रिक्स समीकरण हल करें आर.

ए) एक्स = ; बी) एक्स = ; वी) एक्स = .

समाधान। ए) चूँकि =0, तो सूत्र एक्स =ए बी इस समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है. अगर काम में एक्सए =बी आव्यूह ए इसमें 2 पंक्तियाँ हैं, फिर मैट्रिक्स एक्स 2 कॉलम हैं. पंक्तियों की संख्या एक्स पंक्तियों की संख्या से मेल खाना चाहिए बी . इसीलिए एक्स 2 पंक्तियाँ हैं. इस प्रकार, एक्स ¾ दूसरे क्रम का कुछ वर्ग मैट्रिक्स: एक्स = . आइए स्थानापन्न करें एक्स मूल समीकरण में:

(2.5.2) के बाईं ओर के आव्यूहों को गुणा करने पर, हम समानता पर पहुंचते हैं

दो मैट्रिक्स समान हैं यदि और केवल तभी जब उनके आयाम समान हों और उनके संबंधित तत्व समान हों। इसलिए (2.5.3) प्रणाली के समतुल्य है

यह सिस्टम सिस्टम के समतुल्य है

इसे हल करने पर, उदाहरण के लिए, गॉसियन विधि का उपयोग करके, हम समाधानों के एक सेट (5-2) पर आते हैं बी , बी , -2डी , डी ), कहाँ बी , डी एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से चलें आर. इस प्रकार, एक्स = .

बी) ए के समान) हमारे पास है एक्स = और.

यह प्रणाली असंगत है (इसे जांचें!)। इसलिए, इस मैट्रिक्स समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

ग) आइए हम इस समीकरण को इससे निरूपित करें कुल्हाड़ी =बी . क्योंकि ए इसमें 3 कॉलम हैं और बी तो इसमें 2 कॉलम हैं एक्स ¾ आयाम 3´2 के कुछ मैट्रिक्स: एक्स = . इसलिए हमारे पास समतुल्यताओं की निम्नलिखित श्रृंखला है:

हम गॉसियन पद्धति का उपयोग करके अंतिम प्रणाली को हल करते हैं (हम टिप्पणियाँ छोड़ देते हैं)

इस प्रकार, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

जिसका हल (11+8) है जेड , 14+10जेड , जेड , -49+8डब्ल्यू , -58+10डब्ल्यू ,डब्ल्यू ) कहाँ जेड , डब्ल्यू एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से चलें आर.

उत्तर: ए) एक्स = , बी , डी Î आर.

बी) कोई समाधान नहीं हैं.

वी) एक्स = जेड , डब्ल्यू Î आर.

3.2. आव्यूहों की क्रमपरिवर्तनशीलता के मुद्दे पर।सामान्य तौर पर, मैट्रिक्स का उत्पाद गैर-परिवर्तनीय होता है, अर्थात यदि ए और बी ऐसा है कि अब और बी ० ए। परिभाषित हैं, तो, आम तौर पर बोलते हुए, अब ¹ बी ० ए। . लेकिन एक पहचान मैट्रिक्स का एक उदाहरण इ दर्शाता है कि परिवर्तनशीलता भी संभव है ए.ई. =ई.ए. किसी भी मैट्रिक्स के लिए ए , काश ए.ई. और ई.ए. निर्धारित किया गया है।

इस अनुभाग में हम किसी दिए गए आव्यूह के साथ क्रमपरिवर्तित होने वाले सभी आव्यूहों के समुच्चय को खोजने की समस्याओं पर विचार करेंगे। इस प्रकार,

अज्ञात एक्स 1 , य 2 और जेड 3 कोई भी मान ले सकता है: एक्स 1 =ए , य 2 =बी , जेड 3 =जी . तब

इस प्रकार, एक्स = .

उत्तर। ए) एक्स डी ¾ कोई भी संख्या.

बी) एक्स ¾ फॉर्म के मैट्रिक्स का सेट, जहां ए , बी और जी ¾ कोई संख्या.

§6. रैखिक समीकरणों की अमानवीय प्रणाली

यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली (7.1) में कम से कम एक मुक्त पद है वी मैंशून्य से भिन्न है तो ऐसी प्रणाली कहलाती है विषमांगी

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक गैर-सजातीय प्रणाली दी गई है, जिसे वेक्टर रूप में दर्शाया जा सकता है

, मैं = 1,2,.. .,को, (7.13)

संगत सजातीय प्रणाली पर विचार करें

मैं = 1,2,... ,को. (7.14)

चलो वेक्टर
अमानवीय प्रणाली (7.13) और वेक्टर का एक समाधान है
सजातीय प्रणाली (7.14) का एक समाधान है। फिर यह देखना आसान है कि वेक्टर
अमानवीय प्रणाली (7.13) का भी एक समाधान है। वास्तव में

अब, सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान के लिए सूत्र (7.12) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

कहाँ
से कोई संख्या आर, ए
– एक सजातीय प्रणाली के मौलिक समाधान.

इस प्रकार, एक अमानवीय प्रणाली का समाधान उसके विशेष समाधान और संबंधित सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का संयोजन है।

समाधान (7.15) कहा जाता है रैखिक समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधान। (7.15) से यह निष्कर्ष निकलता है कि रैखिक समीकरणों की एक साथ-साथ अमानवीय प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है यदि रैंक आर(ए) मुख्य मैट्रिक्स एसंख्या से मेल खाता है एनअज्ञात सिस्टम (क्रैमर सिस्टम), यदि आर(ए)  एन, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होते हैं और समाधानों का यह सेट आयाम के समीकरणों की संबंधित सजातीय प्रणाली के समाधानों के उप-स्थान के बराबर होता है एन– आर.

उदाहरण।

1. मान लीजिए कि समीकरणों की एक गैर-सजातीय प्रणाली दी गई है, जिसमें समीकरणों की संख्या है को= 3, और अज्ञात की संख्या एन = 4.

एक्स 1 – एक्स 2 + एक्स 3 –2एक्स 4 = 1,

एक्स 1 – एक्स 2 + 2एक्स 3 – एक्स 4 = 2,

5एक्स 1 – 5एक्स 2 + 8एक्स 3 – 7एक्स 4 = 3.

आइए मुख्य मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करें एऔर विस्तारित किया गया ए * इस प्रणाली का. क्योंकि एऔर ए * गैर-शून्य मैट्रिक्स और क = 3  एन, इसलिए 1  आर (ए), आर * (ए * )  3. आव्यूहों के दूसरे क्रम के अवयस्कों पर विचार करें एऔर ए * :

इस प्रकार, मैट्रिक्स के दूसरे क्रम के नाबालिगों के बीच एऔर ए * शून्य के अलावा एक लघु है, इसलिए 2 आर(ए),आर * (ए * )  3. अब आइए तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नजर डालें

, चूँकि पहला और दूसरा कॉलम आनुपातिक हैं। इसी तरह नाबालिग के लिए भी
.

और इसलिए मुख्य मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के अवयस्क एइसलिए, शून्य के बराबर हैं आर(ए) = 2. विस्तारित मैट्रिक्स के लिए ए * तीसरे क्रम के अवयस्क भी हैं

नतीजतन, विस्तारित मैट्रिक्स के तीसरे क्रम के नाबालिगों के बीच ए * शून्य के अलावा कोई लघु है, इसलिए आर * (ए * ) = 3. इसका मतलब ये है आर(ए)  आर * (ए * ) और फिर, कोर्नेकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि यह प्रणाली असंगत है।

2. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

3एक्स 1 + 2एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 = 1,

3एक्स 1 + 2एक्स 2 – एक्स 3 – 2एक्स 4 = 2.

इस सिस्टम के लिए
और इसलिए 1 आर(ए),आर * (ए * )  2. मैट्रिक्स के लिए विचार करें एऔर ए * दूसरे क्रम के नाबालिग

इस प्रकार, आर(ए)= आर * (ए * ) = 2, और, इसलिए, सिस्टम सुसंगत है। आधार चर के रूप में, हम किन्हीं दो चरों को चुनते हैं जिनके लिए इन चरों के गुणांकों से बना दूसरे क्रम का लघु शून्य के बराबर नहीं है। ऐसे चर हो सकते हैं, उदाहरण के लिए,

एक्स 3 और एक्स 4 क्योंकि
तो हमारे पास हैं

एक्स 3 + एक्स 4 = 1 – 3एक्स 1 – 2एक्स 2 ,

– एक्स 3 – 2एक्स 4 = 2 – 3एक्स 1 – 2एक्स 2 .

आइए एक विशेष समाधान परिभाषित करें विषम प्रणाली. ऐसा करने के लिए, आइए डालते हैं एक्स 1 = एक्स 2 = 0.

एक्स 3 + एक्स 4 = 1,

– एक्स 3 – 2एक्स 4 = 2.

इस प्रणाली का समाधान: एक्स 3 = 4, एक्स 4 = – 3, अत:, = (0,0,4, –3).

अब हम संगत सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान निर्धारित करते हैं

एक्स 3 + एक्स 4 = – 3एक्स 1 – 2एक्स 2 ,

–एक्स 3 – 2एक्स 4 = – 3एक्स 1 – 2एक्स 2 .

चलो रखो: एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 0

एक्स 3 + एक्स 4 = –3,

–एक्स 3 – 2एक्स 4 = –3.

इस प्रणाली का समाधान एक्स 3 = –9, एक्स 4 = 6.

इस प्रकार

अब डालते हैं एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 1

एक्स 3 + एक्स 4 = –2,

–एक्स 3 – 2एक्स 4 = –2.

समाधान: एक्स 3 = – 6, एक्स 4 = 4, और फिर

एक विशेष समाधान निर्धारित होने के बाद , अमानवीय समीकरण और मौलिक समाधान
और संगत सजातीय समीकरण का, हम अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान लिखते हैं।

कहाँ
से कोई संख्या आर.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करना निस्संदेह रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण विषय है। गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आती हैं। ये कारक इस लेख का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री का चयन और संरचित किया गया है ताकि आप इसकी सहायता से कर सकें

• अपने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी गई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत समाधानों पर विचार करके अपने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

लेख सामग्री का संक्षिप्त विवरण.

सबसे पहले, हम सभी आवश्यक परिभाषाएँ, अवधारणाएँ देते हैं और संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और जिनका एक अद्वितीय समाधान है। सबसे पहले, हम क्रैमर विधि पर ध्यान केंद्रित करेंगे, दूसरे, हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि दिखाएंगे, और तीसरा, हम गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करेंगे। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को अलग-अलग तरीकों से हल करेंगे।

इसके बाद, हम सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या से मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एकवचन है। आइए हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय तैयार करें, जो हमें SLAEs की अनुकूलता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (यदि वे संगत हैं) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

हम निश्चित रूप से रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देंगे। आइए हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधानों की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

अंत में, हम समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे जिन्हें रैखिक में घटाया जा सकता है, साथ ही विभिन्न समस्याओं के समाधान में SLAE उत्पन्न होती हैं।

पेज नेविगेशन.

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम फॉर्म के n अज्ञात चर (p, n के बराबर हो सकते हैं) के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएँ), - मुक्त पद (वास्तविक या जटिल संख्याएँ भी)।

रिकॉर्डिंग के इस रूप को SLAE कहा जाता है कोआर्डिनेट.

में मैट्रिक्स फॉर्मसमीकरणों की इस प्रणाली को लिखने का रूप है,
कहाँ - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का एक कॉलम मैट्रिक्स, - मुक्त शर्तों का एक कॉलम मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n+1)वें कॉलम के रूप में मुक्त पदों का एक मैट्रिक्स-कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली. आमतौर पर, एक विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त शब्दों के कॉलम को शेष कॉलम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करनाअज्ञात चर के मानों का एक सेट कहा जाता है जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान बन जाता है।

यदि समीकरणों की एक प्रणाली का कम से कम एक समाधान हो, तो इसे कहा जाता है संयुक्त.

यदि समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है गैर संयुक्त.

यदि किसी SLAE के पास कोई अद्वितीय समाधान है, तो उसे कॉल किया जाता है निश्चित; यदि एक से अधिक समाधान हो तो - ढुलमुल.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हैं , फिर सिस्टम को कॉल किया जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करना।

यदि किसी सिस्टम के समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो ऐसे SLAE कहलाएंगे प्राथमिक. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अद्वितीय समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में, सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर होते हैं।

हमने हाई स्कूल में ऐसे SLAE का अध्ययन शुरू किया। उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को अन्य के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर अगला समीकरण लिया, अगला अज्ञात चर व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, इत्यादि। या उन्होंने जोड़ विधि का उपयोग किया, यानी, उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि ये अनिवार्य रूप से गॉस विधि के संशोधन हैं।

रैखिक समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उन्हें सुलझाएं.

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात।

मान लीजिए कि यह सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और - मैट्रिक्स के निर्धारक जो प्रतिस्थापन द्वारा ए से प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, ..., नवाँमुक्त सदस्यों के कॉलम में क्रमशः कॉलम:

इस अंकन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर विधि के सूत्रों का उपयोग करके की जाती है . इस प्रकार क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान पाया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर विधि .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है . आइए इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूँकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है, सिस्टम में एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आइए आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (हम मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके निर्धारक प्राप्त करते हैं, दूसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलकर निर्धारक प्राप्त करते हैं, और मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके निर्धारक प्राप्त करते हैं) :

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर ढूँढना :

उत्तर:

क्रैमर विधि का मुख्य नुकसान (यदि इसे नुकसान कहा जा सकता है) निर्धारकों की गणना करने की जटिलता है जब सिस्टम में समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होती है।

मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली मैट्रिक्स रूप में दी गई है, जहां मैट्रिक्स ए का आयाम n बटा n है और इसका निर्धारक गैर-शून्य है।

चूँकि, मैट्रिक्स A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के मैट्रिक्स-स्तंभ को खोजने का एक सूत्र मिलता है। इस प्रकार हमने मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त किया।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि.

समाधान।

आइए समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखें:

क्योंकि

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय जोड़ से एक मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर के मैट्रिक्स की गणना करने के लिए बनी हुई है मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-कॉलम में (यदि आवश्यक हो, लेख देखें):

उत्तर:

या किसी अन्य संकेतन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चर वाले n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की आवश्यकता है
जिसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

गॉस विधि का सारइसमें अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करना शामिल है: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, दूसरे से शुरू करके, फिर x 2 को तीसरे से शुरू करके, सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, और इसी तरह, जब तक कि केवल अज्ञात चर x n न रह जाए अंतिम समीकरण में. अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने के लिए सिस्टम समीकरणों को बदलने की इस प्रक्रिया को कहा जाता है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. गॉसियन विधि के फॉरवर्ड स्ट्रोक को पूरा करने के बाद, अंतिम समीकरण से x n पाया जाता है, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके, x n-1 की गणना की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

आइए हम अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन करें।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। आइए दूसरे से शुरू करते हुए, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां .

यदि हमने सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 को व्यक्त किया होता और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, चौथे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम अज्ञात x 3 को खत्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गॉसियन विधि का उलटा शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, x n के प्राप्त मान का उपयोग करके हम अंतिम समीकरण से x n-1 पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले समीकरण से x 1 पाते हैं .

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गॉस विधि.

समाधान।

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों में हम पहले समीकरण के संगत भागों को क्रमशः और से गुणा करके जोड़ते हैं:

अब हम तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़कर, x 2 को इससे गुणा करके हटा देते हैं:

यह गॉस विधि का फॉरवर्ड स्ट्रोक पूरा करता है; हम रिवर्स स्ट्रोक शुरू करते हैं।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली के अंतिम समीकरण से हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और इस प्रकार गॉस विधि का उलटा पूरा करते हैं।

उत्तर:

एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ।

सामान्य तौर पर, सिस्टम p के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से मेल नहीं खाती है:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन समीकरणों की प्रणालियों पर भी लागू होता है जिनका मुख्य मैट्रिक्स वर्ग और एकवचन है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी अनुकूलता स्थापित करना आवश्यक है। इस प्रश्न का उत्तर कि SLAE कब संगत है और कब असंगत है क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय:
n अज्ञात (p, n के बराबर हो सकता है) के साथ p समीकरणों की एक प्रणाली के सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, अर्थात , रैंक(ए)=रैंक(टी)।

आइए, एक उदाहरण के रूप में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता निर्धारित करने के लिए क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली है समाधान।

समाधान।

. आइए अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न. आइए इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नजर डालें:

चूँकि तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है।

बदले में, विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, क्योंकि अवयस्क तीसरे क्रम का है

शून्य से भिन्न.

इस प्रकार, रंग(ए), इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

उत्तर:

सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

इसलिए, हमने क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके एक प्रणाली की असंगतता स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन यदि किसी SLAE की अनुकूलता स्थापित हो जाए तो उसका समाधान कैसे खोजा जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा और मैट्रिक्स की रैंक के बारे में एक प्रमेय की आवश्यकता है।

शून्य से भिन्न, मैट्रिक्स ए के उच्चतम क्रम के लघु को कहा जाता है बुनियादी.

आधार लघु की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका क्रम मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए कई आधार लघु हो सकते हैं; हमेशा एक आधार लघु होता है;

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

निम्नलिखित दूसरे क्रम के अवयस्क बुनियादी हैं, क्योंकि वे गैर-शून्य हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय.

यदि क्रम p बटा n के मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर है, तो मैट्रिक्स के सभी पंक्ति (और स्तंभ) तत्व जो चुने हुए आधार को छोटा नहीं बनाते हैं, उन्हें संबंधित पंक्ति (और स्तंभ) बनाने वाले तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है आधार गौण.

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या बताता है?

यदि, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, हमने सिस्टम की अनुकूलता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के किसी भी आधार को चुनते हैं (इसका क्रम r के बराबर है), और सिस्टम से सभी समीकरणों को बाहर कर देते हैं। चयनित आधार को गौण न बनाएं। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल समीकरण के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

परिणामस्वरूप, सिस्टम के अनावश्यक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और इसका एकमात्र समाधान क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है, क्योंकि अवयस्क दूसरे क्रम का है शून्य से भिन्न. विस्तारित मैट्रिक्स रैंक यह भी दो के बराबर है, क्योंकि केवल तीसरे क्रम का लघु शून्य है

और ऊपर माना गया दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न है। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली की अनुकूलता का दावा कर सकते हैं, क्योंकि रैंक (ए) = रैंक (टी) = 2।

एक आधार के रूप में हम नाबालिग लेते हैं . यह पहले और दूसरे समीकरण के गुणांकों से बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण आधार माइनर के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए हम इसे मैट्रिक्स की रैंक पर प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर कर देते हैं:


इस प्रकार हमने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:


उत्तर:

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2.

यदि परिणामी SLAE में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से कम है, तो समीकरणों के बाईं ओर हम आधार बनाने वाले पदों को छोड़ देते हैं, और शेष शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं विपरीत चिह्न वाले सिस्टम के समीकरण।

समीकरणों के बाईं ओर शेष अज्ञात चर (उनमें से r) कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (वहाँ n - r टुकड़े हैं) जो दाहिनी ओर हैं, कहलाते हैं मुक्त.

अब हम मानते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाना मान ले सकते हैं, जबकि आर मुख्य अज्ञात चर एक अनूठे तरीके से मुक्त अज्ञात चर के माध्यम से व्यक्त किए जाएंगे। उनकी अभिव्यक्ति क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि का उपयोग करके परिणामी SLAE को हल करके पाई जा सकती है।

आइए इसे एक उदाहरण से देखें.

उदाहरण।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

समाधान।

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें अवयस्कों को सीमांकित करने की विधि द्वारा। आइए 1 1 = 1 को पहले क्रम के गैर-शून्य लघु के रूप में लें। आइए इस लघु की सीमा से लगे दूसरे क्रम के गैर-शून्य लघु की खोज शुरू करें:


इस प्रकार हमने दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य लघु पाया। आइए तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमा वाले लघु की खोज शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, यानी सिस्टम सुसंगत है।

हम तीसरे क्रम के पाए गए गैर-शून्य लघु को आधार के रूप में लेते हैं।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो आधार बनाते हैं:


हम आधार में शामिल पदों को सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर मामूली छोड़ देते हैं, और बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


आइए मुक्त अज्ञात चर x 2 और x 5 को मनमाना मान दें, अर्थात हम स्वीकार करते हैं , मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेगा


आइए हम क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करें:


इस तरह, ।

अपने उत्तर में मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

उत्तर:

मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं.

संक्षेप।

सामान्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता निर्धारित करते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर नहीं है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, तो हम एक आधार माइनर का चयन करते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चयनित आधार माइनर के निर्माण में भाग नहीं लेते हैं।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो SLAE के पास एक अद्वितीय समाधान है, जिसे हमें ज्ञात किसी भी विधि द्वारा पाया जा सकता है।

यदि आधार लघु का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर हम मुख्य अज्ञात चर के साथ शर्तों को छोड़ देते हैं, शेष शर्तों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और मनमाना मान देते हैं मुक्त अज्ञात चर। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि का उपयोग करके मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस विधि का उपयोग किसी भी प्रकार के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को पहले अनुकूलता के लिए परीक्षण किए बिना हल करने के लिए किया जा सकता है। अज्ञात चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया SLAE की अनुकूलता और असंगति दोनों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो उसे ढूंढना संभव बनाती है।

कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से, गाऊसी पद्धति बेहतर है।

सामान्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि लेख में इसका विस्तृत विवरण और विश्लेषण किए गए उदाहरण देखें।

समाधानों की मौलिक प्रणाली के सदिशों का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के लिए एक सामान्य समाधान लिखना।

इस अनुभाग में हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक साथ सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के बारे में बात करेंगे जिनके समाधानों की संख्या अनंत है।

आइए सबसे पहले सजातीय प्रणालियों से निपटें।

समाधान की मौलिक प्रणाली n अज्ञात चर के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के (n - r) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का एक संग्रह है, जहां r प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों को X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, 1) द्वारा, तो इस सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को मनमाने ढंग से निरंतर गुणांक सी 1, सी 2, ..., सी (एन-आर) के साथ समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाउ) की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान शब्द का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र मूल SLAE के सभी संभावित समाधान निर्दिष्ट करता है, दूसरे शब्दों में, मनमाना स्थिरांक C 1, C 2, ..., C (n-r) के मानों के किसी भी सेट को लेते हुए, सूत्र का उपयोग करके हम करेंगे मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक प्राप्त करें।

इस प्रकार, यदि हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली पाते हैं, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं।

आइए हम एक सजातीय SLAE के समाधान की एक मौलिक प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया दिखाएं।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के आधार माइनर का चयन करते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं और मुक्त अज्ञात चर वाले सभी शब्दों को विपरीत संकेतों के साथ सिस्टम समीकरणों के दाहिने तरफ स्थानांतरित करते हैं। आइए मुक्त अज्ञात चर को 1,0,0,...,0 मान दें और किसी भी तरह से रैखिक समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करके मुख्य अज्ञात की गणना करें, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि का उपयोग करके। इसका परिणाम X (1) होगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0,…,0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। और इसी तरह। यदि हम मुक्त अज्ञात चरों को 0.0,…,0.1 मान निर्दिष्ट करते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) प्राप्त होता है। इस प्रकार, एक सजातीय SLAE के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसके सामान्य समाधान को फॉर्म में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को फॉर्म में दर्शाया जाता है, जहां संबंधित सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान होता है, और मूल अमानवीय SLAE का विशेष समाधान होता है, जिसे हम मुक्त अज्ञात मान देकर प्राप्त करते हैं। ​0,0,…,0 और मुख्य अज्ञात के मानों की गणना करना।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण।

समाधानों की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर होती है। आइए सीमांत अवयस्कों की विधि का उपयोग करके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। पहले क्रम के गैर-शून्य लघु के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का तत्व 1 1 = 9 लेते हैं। आइए दूसरे क्रम का सीमावर्ती गैर-शून्य लघु खोजें:

शून्य से भिन्न दूसरे क्रम का एक अवयस्क पाया गया है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों के बारे में जानें:

सभी तीसरे क्रम के सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, इसलिए, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है। चलो ले लो । स्पष्टता के लिए, आइए सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान दें जो इसे बनाते हैं:

मूल SLAE का तीसरा समीकरण आधार नाबालिग के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए, इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम मुख्य अज्ञात वाले पदों को समीकरणों के दाईं ओर छोड़ देते हैं, और मुक्त अज्ञात वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूल प्रणाली में दो समाधान शामिल हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर हैं, और इसके आधार नाबालिग का क्रम दो के बराबर है। X (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को x 2 = 1, x 4 = 0 मान देते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
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