किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग। मुख्य वेक्टर शरीर पर लागू सभी बलों का वेक्टर योग है

एक चक्र।

सी) परवलय।

डी) प्रक्षेपवक्र कोई भी हो सकता है।

ई) सीधा।

2. यदि पिंडों को वायुहीन स्थान द्वारा अलग किया जाता है, तो उनके बीच ऊष्मा का स्थानांतरण संभव है

ए) तापीय चालकता और संवहन।

बी) विकिरण.

सी) तापीय चालकता।

डी) संवहन और विकिरण।

ई) संवहन.

3. इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रॉन में विद्युत आवेश होता है

ए) इलेक्ट्रॉन - नकारात्मक, न्यूट्रॉन - सकारात्मक।

बी) इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रॉन - नकारात्मक।

सी) इलेक्ट्रॉन - सकारात्मक, न्यूट्रॉन - नकारात्मक।

डी) इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रॉन - सकारात्मक।

ई) इलेक्ट्रॉन - नकारात्मक, न्यूट्रॉन - कोई चार्ज नहीं है।

4. 4V पर रेटेड प्रकाश बल्ब के साथ 3 मिनट तक 250 J के बराबर कार्य करने के लिए आवश्यक धारा बराबर है

5. एक सहज परिवर्तन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित रेडियोधर्मी क्षय के परिणामस्वरूप हीलियम परमाणु का नाभिक परमाणु नाभिक से बाहर निकल गया

ए) गामा विकिरण।

बी) दो-प्रोटॉन क्षय।

सी) अल्फा क्षय।

डी) प्रोटॉन क्षय।

ई) बीटा क्षय।

6. आकाशीय गोले पर एक बिंदु, जिसे कर्क राशि के समान चिह्न द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, एक बिंदु है

ए) ग्रहों की परेड

बी) वसंत विषुव

सी) शरद विषुव

डी) ग्रीष्म संक्रांति

ई) शीतकालीन संक्रांति

7. एक ट्रक की गति को समीकरण x1= - 270 + 12t द्वारा वर्णित किया गया है, और उसी राजमार्ग के किनारे एक पैदल यात्री की गति को समीकरण x2= - 1.5t द्वारा वर्णित किया गया है। मुलाकात का समय है

8. यदि किसी पिंड को 9 मीटर/सेकेंड की गति से ऊपर की ओर फेंका जाए, तो यह (g = 10 मीटर/सेकेंड2) में अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगा।

9. 4 N के बराबर एक स्थिर बल के प्रभाव में, 8 किलोग्राम द्रव्यमान वाला एक पिंड गति करेगा

ए) 0.5 मीटर/सेकेंड2 के त्वरण के साथ समान रूप से त्वरित

बी) 2 मीटर/सेकेंड2 के त्वरण के साथ समान रूप से त्वरित

C) 32 m/s2 के त्वरण के साथ समान रूप से त्वरित

डी) समान रूप से 0.5 मीटर/सेकेंड की गति से

ई) समान रूप से 2 मीटर/सेकेंड की गति से

10. ट्रॉलीबस ट्रैक्शन मोटर की शक्ति 86 किलोवाट है। जो कार्य इंजन 2 घंटे में कर सकता है

ए) 619200 केजे।

सी) 14400 केजे।

ई) 17200 केजे।

11. विरूपण होने पर प्रत्यास्थ रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा 4 गुना बढ़ जाती है

ए) नहीं बदलेगा.

बी) 4 गुना कम हो जाएगा।

C) 16 गुना बढ़ जाएगी.

D) 4 गुना बढ़ जाएगी.

ई) 16 गुना कम हो जाएगा।

12. m1 = 5 g और m2 = 25 g द्रव्यमान वाली गेंदें υ1 = 8 m/s और υ2 = 4 m/s की गति से एक दूसरे की ओर बढ़ती हैं। एक बेलोचदार प्रभाव के बाद, गेंद m1 की गति बराबर होती है (समन्वय अक्ष की दिशा पहले पिंड की गति की दिशा से मेल खाती है)

13. यांत्रिक कंपन के साथ

ए) केवल स्थितिज ऊर्जा स्थिर है

बी) स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा दोनों स्थिर हैं

C) केवल गतिज ऊर्जा स्थिर है

डी) केवल कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर है

ई) अवधि के पहले भाग में ऊर्जा स्थिर रहती है

14. यदि टिन गलनांक पर है, तो 4 किग्रा को पिघलाने के लिए (J/kg) के बराबर ऊष्मा की आवश्यकता होगी।

15. 0.2 N/C तीव्रता का एक विद्युत क्षेत्र 2 C के आवेश पर बल के साथ कार्य करता है

16. आवृत्ति बढ़ने पर विद्युत चुम्बकीय तरंगों का सही क्रम स्थापित करें

1) रेडियो तरंगें, 2) दृश्य प्रकाश, 3) एक्स-रे, 4) अवरक्त विकिरण, 5) पराबैंगनी विकिरण

ए) 4, 1, 5, 2, 3

बी) 5, 4, 1, 2, 3

सी) 3, 4, 5, 1, 2

डी) 2, 1, 5, 3, 4

ई) 1, 4, 2, 5, 3

17. एक छात्र कैंची के हैंडल पर 40 N का बल लगाकर शीट धातु को काटता है, कैंची की धुरी से बल के अनुप्रयोग बिंदु की दूरी 35 सेमी है। शीट धातु को काटने के लिए आवश्यक बल 2.5 सेमी है

18. हाइड्रोलिक प्रेस के छोटे पिस्टन का क्षेत्रफल 4 सेमी2 है, और बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल 0.01 मी2 है। बड़े पिस्टन पर दबाव बल छोटे पिस्टन पर दबाव बल से अधिक होता है

बी) 0.0025 बार

ई) 0.04 बार

19. 200 Pa के स्थिर दबाव पर फैलती हुई एक गैस ने 1000 J कार्य किया। यदि गैस ने प्रारंभ में 1.5 m का आयतन ग्रहण किया, तो गैस का नया आयतन बराबर है

20. वस्तु से प्रतिबिम्ब की दूरी वस्तु से लेंस की दूरी से 3 गुना अधिक होती है। यह एक लेंस है...

ए) उभयलिंगी

बी फ्लाट

ग) संग्रह करना

डी) बिखराव

ई) फ्लैट-अवतल

एक दूसरे पर पिंडों की यांत्रिक क्रिया सदैव उनकी अंतःक्रिया होती है।

यदि शरीर 1 शरीर 2 पर कार्य करता है, तो शरीर 2 आवश्यक रूप से शरीर 1 पर कार्य करता है।

उदाहरण के लिए,इलेक्ट्रिक लोकोमोटिव के ड्राइविंग पहियों पर रेल से स्थैतिक घर्षण बल कार्य करते हैं, जो इलेक्ट्रिक लोकोमोटिव की गति की ओर निर्देशित होते हैं। इन बलों का योग विद्युत लोकोमोटिव का कर्षण बल है। बदले में, ड्राइव पहिये विपरीत दिशा में निर्देशित स्थैतिक घर्षण बलों द्वारा रेल पर कार्य करते हैं.

न्यूटन ने अपनी पुस्तक में यांत्रिक अंतःक्रिया का मात्रात्मक विवरण दिया था गतिकी का तीसरा नियम.

भौतिक बिंदुओं के लिए यह कानून तैयार किया गया है इसलिए:

दो भौतिक बिंदु एक-दूसरे पर परिमाण में समान बल के साथ कार्य करते हैं और इन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं(चित्र 2.4):
.

तीसरा नियम सदैव सत्य नहीं होता।

प्रदर्शन किया कठोरता से

संपर्क बातचीत के मामले में,

एक दूसरे से कुछ दूरी पर आराम कर रहे पिंडों की परस्पर क्रिया के दौरान।

आइए हम एक व्यक्तिगत भौतिक बिंदु की गतिशीलता से मिलकर एक यांत्रिक प्रणाली की गतिशीलता की ओर बढ़ें भौतिक बिंदु.

के लिए -सिस्टम के उस भौतिक बिंदु पर, न्यूटन के दूसरे नियम (2.5) के अनुसार, हमारे पास है:

. (2.6)

यहाँ और - द्रव्यमान और गति -वह भौतिक बिंदु, - इस पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों का योग।

एक यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाली शक्तियों को बाहरी और आंतरिक में विभाजित किया गया है। बाहरी ताक़तें अन्य, बाहरी निकायों से एक यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करें।

आंतरिक शक्तियाँ सिस्टम के बिंदुओं के बीच ही कार्य करें.

फिर जबरदस्ती अभिव्यक्ति में (2.6) को बाहरी और आंतरिक बलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

, (2.7)

कहाँ
– सभी बाहरी ताकतों के कार्य करने का परिणाम -सिस्टम का वह बिंदु; - आंतरिक बल इस बिंदु पर ओर से कार्य करता है वां.

आइए अभिव्यक्ति (2.7) को (2.6) में प्रतिस्थापित करें:

, (2.8)

सभी के लिए लिखे गए समीकरणों (2.8) के बाएँ और दाएँ पक्षों का योग सिस्टम के भौतिक बिंदु, हम प्राप्त करते हैं

. (2.9)

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, अंतःक्रिया बल -वह और -सिस्टम के बिंदु परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं
.

इसलिए, समीकरण (2.9) में सभी आंतरिक बलों का योग शून्य के बराबर है:

. (2.10)

निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का सदिश योग कहलाता है बाहरी ताकतों का मुख्य वेक्टर

. (2.11)

अभिव्यक्ति (2.9) में योग और विभेदन के संचालन को उलटने और परिणाम (2.10) और (2.11) को ध्यान में रखते हुए, साथ ही यांत्रिक प्रणाली (2.3) की गति की परिभाषा, हम प्राप्त करते हैं

- एक कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति की गतिशीलता के लिए बुनियादी समीकरण।

यह समीकरण व्यक्त करता है किसी यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन का नियम: एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग का समय व्युत्पन्न प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर है।

2.6. द्रव्यमान का केंद्र और उसकी गति का नियम.

सेंटर ऑफ मासकिसी यांत्रिक प्रणाली का (जड़त्व) कहलाता है डॉट , जिसका त्रिज्या वेक्टर पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के लिए उनके त्रिज्या वैक्टर द्वारा सिस्टम के सभी भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों के योग के अनुपात के बराबर है:

(2.12)

कहाँ और - द्रव्यमान और त्रिज्या वेक्टर -वह भौतिक बिंदु, -इन बिंदुओं की कुल संख्या,
–सिस्टम का कुल द्रव्यमान.

यदि त्रिज्या सदिश द्रव्यमान के केंद्र से खींचे जाते हैं , वह
.

इस प्रकार, द्रव्यमान का केंद्र एक ज्यामितीय बिंदु है , जिसके लिए इस बिंदु से खींचे गए त्रिज्या वैक्टर द्वारा एक यांत्रिक प्रणाली बनाने वाले सभी भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों का योग शून्य के बराबर है।

सिस्टम में द्रव्यमान के निरंतर वितरण के मामले में (विस्तारित पिंड के मामले में), सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र का त्रिज्या वेक्टर है:

,

कहाँ आर– सिस्टम के एक छोटे तत्व का त्रिज्या वेक्टर, जिसका द्रव्यमान बराबर हैडी.एम, सिस्टम के सभी तत्वों पर एकीकरण किया जाता है, अर्थात। पूरे द्रव्यमान में एम।

समय के संबंध में विभेदक सूत्र (2.12) प्राप्त होता है

के लिए अभिव्यक्ति द्रव्यमान वेग का केंद्र:

द्रव्यमान गति का केंद्रकिसी यांत्रिक प्रणाली का मान इस प्रणाली के संवेग और उसके द्रव्यमान के अनुपात के बराबर होता है।

तब सिस्टम का आवेगयह उसके द्रव्यमान और द्रव्यमान केंद्र की गति के गुणनफल के बराबर है:

.

इस अभिव्यक्ति को एक कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति की गतिशीलता के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

(2.13)

- एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु के रूप में चलता है, जिसका द्रव्यमान पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है और जिस पर सिस्टम पर लागू बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर बल कार्य करता है।

समीकरण (2.13) से पता चलता है कि सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र की गति को बदलने के लिए, यह आवश्यक है कि सिस्टम पर एक बाहरी बल कार्य करे। सिस्टम के हिस्सों के बीच परस्पर क्रिया की आंतरिक ताकतें इन हिस्सों की गति में परिवर्तन का कारण बन सकती हैं, लेकिन सिस्टम की कुल गति और इसके द्रव्यमान केंद्र की गति को प्रभावित नहीं कर सकती हैं।

यदि यांत्रिक प्रणाली बंद है, तो
और द्रव्यमान के केंद्र की गति समय के साथ नहीं बदलती है।

इस प्रकार, एक बंद प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र या तो आराम की स्थिति में है या जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष स्थिर गति से चल रहा है। इसका मतलब यह है कि एक संदर्भ प्रणाली को द्रव्यमान के केंद्र से जोड़ा जा सकता है, और यह प्रणाली जड़त्वीय होगी।

जब एक पिंड पर एक साथ कई बल लागू होते हैं, तो पिंड त्वरण के साथ चलना शुरू कर देता है, जो कि प्रत्येक बल के अलग-अलग प्रभाव के तहत उत्पन्न होने वाले त्वरण का वेक्टर योग है। वेक्टर जोड़ का नियम किसी पिंड पर कार्य करने वाले बलों पर लागू होता है और एक बिंदु पर लागू होता है।

परिभाषा 1

किसी पिंड पर एक साथ कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग बल है परिणामी, जो बलों के सदिश योग के नियम द्वारा निर्धारित होता है:

आर → = एफ 1 → + एफ 2 → + एफ 3 → +। . . + एफ एन → = ∑ आई = 1 एन एफ आई →।

परिणामी बल किसी पिंड पर उसी प्रकार कार्य करता है जिस प्रकार उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का योग होता है।

2 बलों को जोड़ने के लिए उपयोग करें नियम चतुर्भुज(चित्र 1)।

चित्र 1 । समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार 2 बलों का योग

आइए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके परिणामी बल के मापांक के लिए सूत्र प्राप्त करें:

आर → = एफ 1 → 2 + एफ 2 → 2 + 2 एफ 1 → 2 एफ 2 → 2 कॉस α

परिभाषा 3

यदि 2 से अधिक बल जोड़ना आवश्यक हो तो उपयोग करें बहुभुज नियम: अंत से
पहले बल को दूसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर बनाना होगा; दूसरे बल के अंत से तीसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर खींचना आवश्यक है, आदि।

चित्र 2। बहुभुज नियम का उपयोग करके बलों का योग

बलों के अनुप्रयोग के बिंदु से अंतिम बल के अंत तक खींचा गया अंतिम वेक्टर परिणामी बल के परिमाण और दिशा के बराबर होता है। चित्र 2 स्पष्ट रूप से 4 बलों से परिणामी बलों को खोजने का एक उदाहरण दिखाता है: एफ 1 →, एफ 2 →, एफ 3 →, एफ 4 →। इसके अलावा, संक्षेपित सदिशों का एक ही तल में होना आवश्यक नहीं है।

किसी भौतिक बिंदु पर लगने वाले बल का परिणाम केवल उसके मापांक और दिशा पर निर्भर करेगा। एक ठोस शरीर के कुछ निश्चित आयाम होते हैं। इसलिए, समान परिमाण और दिशाओं वाले बल अनुप्रयोग के बिंदु के आधार पर एक कठोर शरीर के विभिन्न आंदोलनों का कारण बनते हैं।

परिभाषा 4

बल की क्रिया की रेखाबल वेक्टर से गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है।

चित्र तीन। शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू बलों का योग

यदि बल शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू होते हैं और एक दूसरे के समानांतर कार्य नहीं करते हैं, तो परिणामी बलों की कार्रवाई की रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर लागू होता है (चित्रा) 3 ). एक बिंदु संतुलन में होगा यदि उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का वेक्टर योग 0 के बराबर है: ∑ i = 1 n F i → = 0 →। इस स्थिति में, किसी भी समन्वय अक्ष पर इन बलों के प्रक्षेपण का योग भी 0 के बराबर है।

बलों का दो घटकों में विघटन- यह एक बल का 2 से प्रतिस्थापन है, जो एक ही बिंदु पर लगाया जाता है और शरीर पर इस एक बल के समान प्रभाव उत्पन्न करता है। बलों का अपघटन, जोड़ की तरह, समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा किया जाता है।

एक बिंदु पर लगाए गए और एक दूसरे से कोण पर कार्य करने वाले एक बल (जिसका मापांक और दिशा दी गई है) को 2 में विघटित करने की समस्या का निम्नलिखित मामलों में एक अनूठा समाधान होता है जब निम्नलिखित ज्ञात होते हैं:

• 2 घटक बलों की दिशाएँ;
• घटक बलों में से एक का मॉड्यूल और दिशा;
• 2 घटक बलों के मॉड्यूल।

बल F को F के साथ एक ही तल में स्थित 2 घटकों में विघटित करना आवश्यक है और सीधी रेखाओं a और b के साथ निर्देशित किया गया है (चित्र 4 ). फिर यह वेक्टर F के अंत से सीधी रेखाओं a और b के समानांतर 2 सीधी रेखाएँ खींचने के लिए पर्याप्त है। खंड एफ ए और खंड एफ बी आवश्यक बलों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चित्र 4. दिशाओं में बल वेक्टर का अपघटन

उदाहरण 2

इस समस्या का दूसरा संस्करण दिए गए बल वैक्टर और दूसरे प्रक्षेपण (चित्रा 5 ए) का उपयोग करके बल वेक्टर के प्रक्षेपणों में से एक को ढूंढना है।

चित्र 5. दिए गए सदिशों से बल सदिश का प्रक्षेपण ज्ञात करना

समस्या के दूसरे संस्करण में, विकर्ण और एक भुजा के साथ एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करना आवश्यक है, जैसा कि प्लैनिमेट्री में होता है। चित्र 5 बी ऐसे समांतर चतुर्भुज को दर्शाता है और वांछित घटक एफ 2 → बल एफ → को इंगित करता है।

तो, दूसरा समाधान: बल में - F 1 → (चित्र 5 c) के बराबर बल जोड़ें। परिणामस्वरूप, हमें वांछित बल F → प्राप्त होता है।

उदाहरण 3

तीन बल एफ 1 → = 1 एन; एफ 2 → = 2 एन; F 3 → = 3 N को एक बिंदु पर लगाया जाता है, एक ही तल में होते हैं (चित्र 6 a) और क्षैतिज α = 0 ° के साथ कोण बनाते हैं; β = 60°; γ = 30° क्रमशः। परिणामी बल ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

चित्र 6. दिए गए सदिशों से परिणामी बल ज्ञात करना

आइए परस्पर लंबवत अक्ष O X और O Y बनाएं ताकि O आइए समन्वय अक्षों पर इन बलों का प्रक्षेपण करें (चित्र 6 बी)। प्रक्षेपण F 2 y और F 2 x नकारात्मक हैं। निर्देशांक अक्ष O

इसी प्रकार, ओ वाई अक्ष पर प्रक्षेपण के लिए: - एफ 2 पाप β + एफ 3 पाप γ = एफ वाई = 3 - 2 3 2 ≈ - 0.2 एन।

हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके परिणामी का मापांक निर्धारित करते हैं:

एफ = एफ एक्स 2 + एफ वाई 2 = 0.36 + 0.04 ≈ 0.64 एन।

हम परिणामी और अक्ष के बीच के कोण का उपयोग करके परिणामी की दिशा ज्ञात करते हैं (चित्र 6 सी):

टी जी φ = एफ वाई एफ एक्स = 3 - 2 3 4 - 3 3 ≈ 0.4.

उदाहरण 4

ब्रैकेट के बिंदु B पर एक बल F = 1 kN लगाया जाता है और इसे लंबवत नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है (चित्र 7 a)। ब्रैकेट छड़ों की दिशा में इस बल के घटकों को खोजना आवश्यक है। सभी आवश्यक डेटा चित्र में दिखाया गया है।

समाधान

चित्र 7. ब्रैकेट छड़ों की दिशाओं में बल F के घटकों का पता लगाना

दिया गया:

एफ = 1 के एन = 1000 एन

मान लीजिए कि छड़ों को बिंदु A और C पर दीवार पर कस दिया गया है। चित्र 7 b में बल F → के अपघटन को दिशाओं A B और B C के अनुदिश घटकों में दर्शाया गया है। यहाँ से यह स्पष्ट है कि

एफ 1 → = एफ टी जी β ≈ 577 एन;

एफ 2 → = एफ कॉस β ≈ 1155 एन।

उत्तर:एफ 1 → = 557 एन; एफ 2 → = 1155 एन.

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

जब एक पिंड पर कई बल एक साथ कार्य करते हैं, तो पिंड त्वरण के साथ चलता है, जो कि प्रत्येक बल की अलग-अलग कार्रवाई के तहत उत्पन्न होने वाले त्वरण का सदिश योग है। किसी पिंड पर कार्य करने वाले और एक बिंदु पर लागू होने वाले बलों को वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार जोड़ा जाता है।

किसी पिंड पर एक साथ कार्य करने वाले सभी बलों के वेक्टर योग को परिणामी बल कहा जाता है और इसे बलों के वेक्टर योग के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow(F))_1+(\overrightarrow(F)) _2+(\overrightarrow(F)) _3+\dots +(\overrightarrow(F))_n=\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)$.

परिणामी बल का किसी पिंड पर उतना ही प्रभाव पड़ता है जितना उस पर लागू सभी बलों के योग का।

दो बलों को जोड़ने के लिए, समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग किया जाता है (चित्र 1):

चित्र 1. समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार दो बलों का योग

इस मामले में, हम कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके दो बलों के योग का मापांक पाते हैं:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\sqrt((\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2+(\left|(\overrightarrow(F))_2\right |)^2+2(\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2(\left|(\overrightarrow(F))_2\right|)^2(cos \alpha \ ))\ ]

यदि आपको एक बिंदु पर लागू दो से अधिक बल जोड़ने की आवश्यकता है, तो बहुभुज नियम का उपयोग करें: ~ पहले बल के अंत से दूसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर बनाएं; दूसरे बल के अंत से - तीसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर, और इसी तरह।

चित्र 2. बहुभुज नियम के अनुसार बलों का योग

बलों के अनुप्रयोग के बिंदु से अंतिम बल के अंत तक खींचा गया समापन वेक्टर परिणामी के परिमाण और दिशा के बराबर होता है। चित्र 2 में इस नियम को चार बलों का परिणाम ज्ञात करने के उदाहरण द्वारा दर्शाया गया है $(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2,(\overrightarrow(F))_3,(\overrightarrow (एफ) )_4$। ध्यान दें कि जोड़े जा रहे सदिश आवश्यक रूप से एक ही तल के नहीं हैं।

किसी भौतिक बिंदु पर लगने वाले बल का परिणाम केवल उसके मापांक और दिशा पर निर्भर करता है। एक ठोस शरीर के कुछ निश्चित आयाम होते हैं। इसलिए, समान परिमाण और दिशा की ताकतें अनुप्रयोग के बिंदु के आधार पर एक कठोर शरीर के विभिन्न आंदोलनों का कारण बनती हैं। बल सदिश से गुजरने वाली सीधी रेखा को बल की क्रिया की रेखा कहा जाता है।

चित्र 3. शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू बलों का योग

यदि बल शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू होते हैं और एक दूसरे के समानांतर कार्य नहीं करते हैं, तो परिणामी बलों की कार्रवाई की रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर लागू होता है (चित्र 3)।

एक बिंदु संतुलन में है यदि उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है: $\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)=\overrightarrow(0)$. इस स्थिति में, किसी भी समन्वय अक्ष पर इन बलों के प्रक्षेपण का योग भी शून्य है।

एक ही बिंदु पर लगाए गए एक बल के स्थान पर दो बल लगाना और शरीर पर इस एक बल के समान प्रभाव उत्पन्न करना, बलों का विघटन कहलाता है। समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, बलों का अपघटन किया जाता है, साथ ही उनका योग भी किया जाता है।

एक बिंदु पर लगाए गए और एक दूसरे से कोण पर कार्य करने वाले एक बल (जिसका मापांक और दिशा ज्ञात है) को दो भागों में विघटित करने की समस्या का निम्नलिखित मामलों में एक अनूठा समाधान है, यदि ज्ञात हो:

1. बलों के दोनों घटकों की दिशाएँ;
2. घटक बलों में से एक का मॉड्यूल और दिशा;
3. बलों के दोनों घटकों के मॉड्यूल।

उदाहरण के लिए, हम बल $F$ को F के साथ एक ही तल में स्थित और सीधी रेखाओं a और b के अनुदिश निर्देशित दो घटकों में विघटित करना चाहते हैं (चित्र 4)। ऐसा करने के लिए, F का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर के अंत से a और b के समानांतर दो रेखाएँ खींचना पर्याप्त है। खंड $F_A$ और $F_B$ आवश्यक बलों को दर्शाएंगे।

चित्र 4. दिशाओं के अनुसार बल वेक्टर का अपघटन

इस समस्या का एक अन्य संस्करण बल वेक्टर और दूसरे प्रक्षेपण को देखते हुए बल वेक्टर के प्रक्षेपणों में से एक को ढूंढना है। (चित्र 5 ए)।

चित्र 5. दिए गए वैक्टर का उपयोग करके बल वेक्टर का प्रक्षेपण ढूँढना

समस्या विकर्ण और प्लैनिमेट्री से ज्ञात पक्षों में से एक के साथ एक समांतर चतुर्भुज के निर्माण में आती है। चित्र 5 बी में इस तरह के एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण किया गया है और बल $(\overrightarrow(F))$ का आवश्यक घटक $(\overrightarrow(F))_2$ दर्शाया गया है।

दूसरा समाधान बल में - $(\overrightarrow(F))_1$ के बराबर बल जोड़ना है (चित्र 5c)। परिणामस्वरूप, हमें वांछित बल $(\overrightarrow(F))_2$ प्राप्त होता है।

तीन बल~$(\overrightarrow(F))_1=1\ N;;\ (\overrightarrow(F))_2=2\ N;;\ (\overrightarrow(F))_3=3\ N$ एक पर लागू बिंदु, एक ही तल में लेट जाएं (चित्र 6 a) और क्षैतिज $\alpha =0()^\circ ;;\beta =60()^\circ ;;\gamma =30()^ के साथ कोण बनाएं~ \सर्कल $क्रमशः। इन बलों का परिणाम ज्ञात कीजिए।

आइए हम दो परस्पर लंबवत अक्ष OX और OY बनाएं ताकि OX अक्ष क्षैतिज के साथ संपाती हो जिसके अनुदिश बल $(\overrightarrow(F))_1$ निर्देशित हो। आइए इन बलों को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करें (चित्र 6 बी)। अनुमान $F_(2y)$ और $F_(2x)$ नकारात्मक हैं। OX अक्ष पर बलों के प्रक्षेपण का योग परिणामी के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है: $F_1+F_2(cos \beta \ )-F_3(cos \gamma \ )=F_x=\frac(4-3 \sqrt(3))(2)\ लगभग -0.6\ H$. इसी प्रकार, ओए अक्ष पर प्रक्षेपण के लिए: $-F_2(sin \beta \ )+F_3(sin \gamma =F_y=\ )\frac(3-2\sqrt(3))(2)\लगभग -0.2\ H $ . परिणाम का मापांक पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है: $F=\sqrt(F^2_x+F^2_y)=\sqrt(0.36+0.04)\लगभग 0.64\ Н$. परिणाम की दिशा परिणाम और अक्ष के बीच के कोण का उपयोग करके निर्धारित की जाती है (चित्र 6 c): $tg\varphi =\frac(F_y)(F_x)=\ \frac(3-2\sqrt(3)) (4-3\sqrt (3))\लगभग 0.4$

बल $F = 1kH$ ब्रैकेट के बिंदु B पर लगाया जाता है और लंबवत नीचे की ओर निर्देशित होता है (चित्र 7a)। ब्रैकेट छड़ों की दिशाओं में इस बल के घटकों का पता लगाएं। आवश्यक डेटा चित्र में दिखाया गया है।

एफ = 1 केएन = 1000एन

$(\mathbf \beta )$ = $30^(\circ)$

$(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2$ - ?

मान लीजिए कि छड़ों को बिंदु A और C पर दीवार से जोड़ा गया है। बल $(\overrightarrow(F))$ का दिशाओं AB और BC के अनुदिश घटकों में अपघटन चित्र 7b में दिखाया गया है। इससे पता चलता है कि $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|=Ftg\beta \approx 577\ H;\ \ $

\[\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F(cos \beta \ )\लगभग 1155\ H. \]

उत्तर: $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|$=577 N; $\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=1155\ Н$

न्यूटन के पहले नियम के अनुसार, जड़त्वीय संदर्भ तंत्र में, एक पिंड अपनी गति तभी बदल सकता है जब अन्य पिंड उस पर कार्य करें। एक दूसरे पर पिंडों की पारस्परिक क्रिया को बल () जैसी भौतिक मात्रा का उपयोग करके मात्रात्मक रूप से व्यक्त किया जाता है। एक बल किसी पिंड की गति को परिमाण और दिशा दोनों में बदल सकता है। बल एक सदिश राशि है; इसका एक मापांक (परिमाण) और एक दिशा है। परिणामी बल की दिशा उस पिंड के त्वरण वेक्टर की दिशा निर्धारित करती है जिस पर विचाराधीन बल कार्य करता है।

मूल नियम जिसके द्वारा परिणामी बल की दिशा और परिमाण निर्धारित किया जाता है, न्यूटन का दूसरा नियम है:

जहाँ m उस पिंड का द्रव्यमान है जिस पर बल कार्य करता है; - वह त्वरण जो बल संबंधित पिंड को प्रदान करता है। न्यूटन के दूसरे नियम का सार यह है कि किसी पिंड पर कार्य करने वाली ताकतें पिंड की गति में परिवर्तन को निर्धारित करती हैं, न कि केवल उसकी गति को। यह याद रखना चाहिए कि न्यूटन का दूसरा नियम जड़त्वीय संदर्भ तंत्र के लिए काम करता है।

यदि किसी पिंड पर कई बल कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त क्रिया परिणामी बल की विशेषता होती है। आइए मान लें कि कई बल एक साथ शरीर पर कार्य करते हैं, और शरीर त्वरण के वेक्टर योग के बराबर त्वरण के साथ चलता है जो प्रत्येक बल के प्रभाव में अलग-अलग दिखाई देगा। शरीर पर कार्य करने वाले और एक बिंदु पर लागू होने वाले बलों को वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार जोड़ा जाना चाहिए। एक समय में किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों के सदिश योग को परिणामी बल कहा जाता है ():

जब एक पिंड पर कई बल कार्य करते हैं, तो न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार लिखा जाता है:

यदि शरीर पर लागू बलों का पारस्परिक मुआवजा हो तो शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों का परिणाम शून्य के बराबर हो सकता है। इस स्थिति में, शरीर स्थिर गति से चलता है या आराम की स्थिति में होता है।

किसी चित्र में किसी पिंड पर कार्य करने वाले बलों को चित्रित करते समय, पिंड की समान रूप से त्वरित गति के मामले में, त्वरण के साथ निर्देशित परिणामी बल को विपरीत दिशा में निर्देशित बल (बलों का योग) से अधिक लंबा चित्रित किया जाना चाहिए। एकसमान गति (या विश्राम) की स्थिति में, विपरीत दिशाओं में निर्देशित बलों के सदिशों का परिमाण समान होता है।

परिणामी बल को खोजने के लिए, आपको चित्र में उन सभी बलों को चित्रित करना चाहिए जिन्हें शरीर पर कार्य करने वाली समस्या में ध्यान में रखा जाना चाहिए। बलों को सदिश योग के नियमों के अनुसार जोड़ा जाना चाहिए।

"परिणामी बल" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2