सभी अभिन्नों की तालिका. बुनियादी एकीकरण के तरीके

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। अभिन्नों की तालिका. सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन समाकलन। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। एकीकरण नियम.

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न। उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

यदि x एक स्वतंत्र चर है, तो:

लघुगणक के गुण. लघुगणक के लिए मूल सूत्र. दशमलव (एलजी) और प्राकृतिक लघुगणक (एलएन)।

प्राकृतिक लघुगणक ln (आधार e का लघुगणक = 2.718281828459045...) ln(e)=1; एलएन(1)=0

टेलर श्रृंखला. किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला विस्तार।

इससे पता चलता है कि बहुमत व्यावहारिक रूप से सामना करना पड़ागणितीय कार्यों को किसी निश्चित बिंदु के आसपास किसी भी सटीकता के साथ बढ़ते क्रम में एक चर की शक्तियों वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बिंदु x=1 के आसपास:

श्रृंखला का उपयोग करते समय कहा जाता है टेलर की पंक्तियाँबीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय कार्यों वाले मिश्रित कार्यों को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। श्रृंखला का उपयोग करके, आप अक्सर जल्दी से भेदभाव और एकीकरण कर सकते हैं।

बिंदु a के पड़ोस में टेलर श्रृंखला के निम्नलिखित रूप हैं:

1) , जहां f(x) एक फ़ंक्शन है जिसमें x = a पर सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं। आर एन - टेलर श्रृंखला में शेष पद अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

2)

श्रृंखला का k-वें गुणांक (x k पर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3) टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला मैकलॉरिन (=मैकलारेन) श्रृंखला है (विस्तार बिंदु a=0 के आसपास होता है)

a=0 पर

श्रृंखला के सदस्यों का निर्धारण सूत्र द्वारा किया जाता है

टेलर श्रृंखला का उपयोग करने की शर्तें।

1. फ़ंक्शन f(x) को अंतराल (-R;R) पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके लिए टेलर (मैकलॉरिन (=मैकलारेन)) सूत्र में शेष पद फ़ंक्शन निर्दिष्ट अंतराल (-R;R) पर k →∞ के रूप में शून्य हो जाता है।

2. यह आवश्यक है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए डेरिवेटिव उस बिंदु पर मौजूद हों जिसके आसपास हम टेलर श्रृंखला का निर्माण करने जा रहे हैं।

टेलर श्रृंखला के गुण.

यदि f एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है, तो इसकी टेलर श्रृंखला f की परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर a के कुछ पड़ोस में f में परिवर्तित हो जाती है।

ऐसे अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न कार्य हैं जिनकी टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन साथ ही ए के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए:

टेलर श्रृंखला का उपयोग बहुपदों द्वारा किसी फ़ंक्शन के सन्निकटन में किया जाता है (अनुमान एक वैज्ञानिक विधि है जिसमें कुछ वस्तुओं को दूसरों के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है, एक अर्थ में या मूल के करीब, लेकिन सरल)। विशेष रूप से, रैखिककरण ((रैखिक से - रैखिक), बंद गैर-रेखीय प्रणालियों के अनुमानित प्रतिनिधित्व के तरीकों में से एक, जिसमें एक गैर-रेखीय प्रणाली के अध्ययन को एक रैखिक प्रणाली के विश्लेषण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, कुछ अर्थों में मूल के बराबर .) टेलर श्रृंखला में विस्तार करके और पहले क्रम से ऊपर के सभी पदों को काटकर समीकरण बनते हैं।

इस प्रकार, लगभग किसी भी फ़ंक्शन को दी गई सटीकता के साथ बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=मैकलारेन, टेलर बिंदु 0 के आसपास) और टेलर बिंदु 1 के आसपास। टेलर और मैकलारेन श्रृंखला में मुख्य कार्यों के विस्तार की पहली शर्तें।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=बिंदु 0 के आसपास मैकलेरन, टेलर)

बिंदु 1 के आसपास कुछ सामान्य टेलर श्रृंखला विस्तार के उदाहरण

प्रतिअवकलन फलन और अनिश्चित समाकलन

तथ्य 1. एकीकरण विभेदीकरण की विपरीत क्रिया है, अर्थात्, इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करना। इस प्रकार कार्य बहाल हो गया एफ(एक्स) कहा जाता है antiderivativeसमारोह के लिए एफ(एक्स).

परिभाषा 1. कार्य एफ(एक्स एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, यदि सभी मानों के लिए एक्सइस अंतराल से समानता कायम रहती है एफ "(एक्स)=एफ(एक्स), यानी, यह फ़ंक्शन एफ(एक्स) प्रतिअवकलन फलन का व्युत्पन्न है एफ(एक्स). .

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ(एक्स) = पाप एक्स फ़ंक्शन का एक प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स संपूर्ण संख्या रेखा पर, चूँकि x के किसी भी मान के लिए (पाप एक्स)" = (क्योंकि एक्स) .

परिभाषा 2. किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग एफ(एक्स) इसके सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय है. इस मामले में, संकेतन का उपयोग किया जाता है

∫

एफ(एक्स)डीएक्स

संकेत कहाँ है ∫ अभिन्न चिन्ह, फलन कहा जाता है एफ(एक्स) - इंटीग्रैंड फ़ंक्शन, और एफ(एक्स)डीएक्स -एकात्म अभिव्यक्ति.

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) - के लिए कुछ प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स) , वह

∫

एफ(एक्स)डीएक्स = एफ(एक्स) +सी

कहाँ सी - मनमाना स्थिरांक (स्थिर)।

किसी फलन के प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चित समाकलन के रूप में समझने के लिए निम्नलिखित सादृश्य उपयुक्त है। वहाँ एक दरवाज़ा (पारंपरिक लकड़ी का दरवाज़ा) हो। इसका कार्य "दरवाजा बनना" है। दरवाजा किससे बना है? लकड़ी का बना हुआ। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन "टू बी ए डोर" के इंटीग्रैंड के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट, यानी, इसका अनिश्चित अभिन्न अंग, फ़ंक्शन "टू बी ए ट्री + सी" है, जहां सी एक स्थिरांक है, जो इस संदर्भ में हो सकता है उदाहरण के लिए, पेड़ के प्रकार को निरूपित करें। जिस प्रकार एक दरवाजा कुछ उपकरणों का उपयोग करके लकड़ी से बनाया जाता है, उसी प्रकार एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का उपयोग करके "बनाया" जाता है व्युत्पन्न का अध्ययन करते समय हमने जो सूत्र सीखे .

फिर सामान्य वस्तुओं और उनके संगत प्रतिअवकलजों के कार्यों की तालिका ("एक दरवाजा होना" - "एक पेड़ होना", "एक चम्मच होना" - "धातु होना", आदि) मूल की तालिका के समान है अनिश्चितकालीन समाकलन, जो नीचे दिया जाएगा। अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका सामान्य कार्यों को उन प्रतिअवकलजों के संकेत के साथ सूचीबद्ध करती है जिनसे ये कार्य "बने" होते हैं। अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की समस्याओं के एक भाग में, ऐसे समाकलन दिए गए हैं जिन्हें बिना अधिक प्रयास के सीधे एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात अनिश्चितकालीन समाकलन की तालिका का उपयोग करके। अधिक जटिल समस्याओं में, इंटीग्रैंड को पहले रूपांतरित किया जाना चाहिए ताकि टेबल इंटीग्रल्स का उपयोग किया जा सके।

तथ्य 2. किसी फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव के रूप में पुनर्स्थापित करते समय, हमें एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) को ध्यान में रखना चाहिए सी, और 1 से अनंत तक विभिन्न स्थिरांकों के साथ प्रतिअवकलजों की सूची न लिखने के लिए, आपको एक मनमाना स्थिरांक के साथ प्रतिअवकलजों का एक सेट लिखना होगा सी, उदाहरण के लिए, इस तरह: 5 एक्स³+सी. अतः, प्रतिअवकलन की अभिव्यक्ति में एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) शामिल है, क्योंकि प्रतिअवकलन एक फलन हो सकता है, उदाहरण के लिए, 5 एक्स³+4 या 5 एक्स³+3 और जब विभेदित किया जाता है, 4 या 3, या कोई अन्य स्थिरांक शून्य हो जाता है।

आइए एकीकरण समस्या प्रस्तुत करें: इस फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) ऐसा फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्नके बराबर एफ(एक्स).

उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन का समुच्चय ज्ञात कीजिए

समाधान। इस फ़ंक्शन के लिए, प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है

समारोह एफ(एक्स) को फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है एफ(एक्स), यदि व्युत्पन्न एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स), या, जो एक ही चीज़ है, अंतर एफ(एक्स) बराबर है एफ(एक्स) डीएक्स, अर्थात।

(2)

इसलिए, फलन, फलन का प्रतिअवकलन है। हालाँकि, यह इसका एकमात्र प्रतिव्युत्पन्न नहीं है। वे कार्य भी करते हैं

कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक. इसे विभेदन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि किसी फ़ंक्शन के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो उसके लिए अनंत संख्या में प्रतिअवकलन होते हैं जो एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। किसी फ़ंक्शन के लिए सभी प्रतिअवकलज उपरोक्त रूप में लिखे गए हैं। यह निम्नलिखित प्रमेय से अनुसरण करता है।

प्रमेय (तथ्य 2 का औपचारिक विवरण)।अगर एफ(एक्स) - फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, फिर इसके लिए कोई अन्य प्रतिअवकलन एफ(एक्स) उसी अंतराल पर फॉर्म में दर्शाया जा सकता है एफ(एक्स) + सी, कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.

अगले उदाहरण में, हम अभिन्नों की तालिका की ओर मुड़ते हैं, जो अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के बाद पैराग्राफ 3 में दी जाएगी। ऐसा हम पूरी तालिका को पढ़ने से पहले करते हैं ताकि उपरोक्त का सार स्पष्ट हो जाए। और तालिका और गुणों के बाद, हम एकीकरण के दौरान उनका संपूर्ण उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2.प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय खोजें:

समाधान। हम प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय पाते हैं जिनसे ये फलन "बनते" हैं। अभिन्नों की तालिका से सूत्रों का उल्लेख करते समय, अभी के लिए बस यह स्वीकार करें कि वहाँ ऐसे सूत्र हैं, और हम अनिश्चित अभिन्नों की तालिका का थोड़ा और आगे अध्ययन करेंगे।

1) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (7) लागू करना एन= 3, हमें प्राप्त होता है

2) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (10) का उपयोग करना एन= 1/3, हमारे पास है

3) चूंकि

फिर सूत्र (7) के अनुसार एन= -1/4 हम पाते हैं

यह फ़ंक्शन स्वयं नहीं है जो अभिन्न चिह्न के नीचे लिखा गया है एफ, और अंतर द्वारा इसका उत्पाद डीएक्स. यह मुख्य रूप से यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि किस चर द्वारा प्रतिअवकलन की मांग की जाती है। उदाहरण के लिए,

, ;

यहां दोनों मामलों में इंटीग्रैंड बराबर है, लेकिन विचार किए गए मामलों में इसके अनिश्चित इंटीग्रल अलग-अलग हो जाते हैं। पहले मामले में, इस फ़ंक्शन को वेरिएबल का एक फ़ंक्शन माना जाता है एक्स, और दूसरे में - के एक कार्य के रूप में जेड .

किसी फ़ंक्शन के अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को उस फ़ंक्शन को एकीकृत करना कहा जाता है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

मान लीजिए हमें एक वक्र खोजने की आवश्यकता है y=F(x)और हम पहले से ही जानते हैं कि इसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा एक दिया हुआ फलन है एफ(एक्स)इस बिंदु का भुज.

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, वक्र के किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा y=F(x)व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर एफ"(x). इसलिए हमें ऐसा कोई फ़ंक्शन ढूंढने की आवश्यकता है एफ(एक्स), जिसके लिए एफ"(एक्स)=एफ(एक्स). कार्य में आवश्यक फ़ंक्शन एफ(एक्स)का प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स). समस्या की स्थितियाँ एक वक्र से नहीं, बल्कि वक्रों के एक परिवार से संतुष्ट होती हैं। y=F(x)- इनमें से एक वक्र, और कोई अन्य वक्र अक्ष के अनुदिश समानांतर अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ओए.

आइए के प्रतिअवकलन फलन के ग्राफ़ को कॉल करें एफ(एक्स)अभिन्न वक्र. अगर एफ"(एक्स)=एफ(एक्स), फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=F(x)एक अभिन्न वक्र है.

तथ्य 3. अनिश्चितकालीन अभिन्न को ज्यामितीय रूप से सभी अभिन्न वक्रों के परिवार द्वारा दर्शाया जाता है , जैसा कि नीचे चित्र में है। निर्देशांक की उत्पत्ति से प्रत्येक वक्र की दूरी एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक द्वारा निर्धारित की जाती है सी.

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

तथ्य 4. प्रमेय 1. अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है, और इसका अंतर समाकलन के बराबर है।

तथ्य 5. प्रमेय 2. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग एफ(एक्स) फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) एक स्थिर अवधि तक , अर्थात।

(3)

प्रमेय 1 और 2 दर्शाते हैं कि विभेदीकरण और एकीकरण परस्पर विपरीत संक्रियाएँ हैं।

तथ्य 6. प्रमेय 3. समाकलन में स्थिर कारक को अनिश्चितकालीन समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है , अर्थात।

गणितीय विश्लेषण में एकीकरण मुख्य कार्यों में से एक है। ज्ञात प्रतिअवकलजों की तालिकाएँ उपयोगी हो सकती हैं, लेकिन अब, कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के आगमन के बाद, वे अपना महत्व खो रहे हैं। नीचे सबसे आम आदिमों की एक सूची दी गई है।

बुनियादी अभिन्नों की तालिका

एक और, कॉम्पैक्ट विकल्प

त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की तालिका

तर्कसंगत कार्यों से

अतार्किक कार्यों से

पारलौकिक कार्यों का अभिन्न अंग

"सी" एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक है, जो किसी भी बिंदु पर अभिन्न का मान ज्ञात होने पर निर्धारित होता है। प्रत्येक फ़ंक्शन में अनंत संख्या में एंटीडेरिवेटिव होते हैं।

अधिकांश स्कूली बच्चों और विद्यार्थियों को समाकलन की गणना करने में समस्या होती है। इस पेज में शामिल है अभिन्न तालिकाएँत्रिकोणमितीय, तर्कसंगत, अपरिमेय और पारलौकिक कार्यों से जो समाधान में मदद करेंगे। डेरिवेटिव की एक तालिका भी आपकी सहायता करेगी।

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>>एकीकरण के तरीके

बुनियादी एकीकरण के तरीके

अभिन्न, निश्चित और अनिश्चित अभिन्न की परिभाषा, अभिन्नों की तालिका, न्यूटन-लीबनिज सूत्र, भागों द्वारा एकीकरण, अभिन्नों की गणना के उदाहरण।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

किसी दिए गए अंतराल X में अवकलनीय फ़ंक्शन F(x) को कहा जाता है फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न f(x), या f(x) का अभिन्न अंग, यदि प्रत्येक x ∈X के लिए निम्नलिखित समानता है:

एफ " (एक्स) = एफ(एक्स)। (8.1)

किसी दिए गए फलन के लिए सभी प्रतिअवकलन ज्ञात करना उसका कहलाता है एकीकरण। अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्यकिसी दिए गए अंतराल पर f(x) X फ़ंक्शन f(x) के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का सेट है; पद का नाम -

यदि F(x) फ़ंक्शन f(x) के लिए कुछ प्रतिअवकलन है, तो ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

अभिन्नों की तालिका

सीधे परिभाषा से हमें अनिश्चितकालीन अभिन्न के मुख्य गुण और सारणीबद्ध अभिन्न की एक सूची प्राप्त होती है:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

सारणीबद्ध अभिन्नों की सूची

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (एम ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - पाप x + C

7. = आर्कटैन x + C

8. = आर्क्सिन x + C

10. = - सीटीजी एक्स + सी

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

कई कार्यों को एकीकृत करने के लिए, चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें या प्रतिस्थापन,आपको इंटीग्रल को सारणीबद्ध रूप में कम करने की अनुमति देता है।

यदि फलन f(z) [α,β] पर सतत है, तो फलन z =g(x) का एक सतत अवकलज है और α ≤ g(x) ≤ β, तो

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

इसके अलावा, दाईं ओर एकीकरण के बाद, प्रतिस्थापन z=g(x) किया जाना चाहिए।

इसे सिद्ध करने के लिए, मूल अभिन्न को इस रूप में लिखना पर्याप्त है:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

उदाहरण के लिए:

1)

2) .

भागों द्वारा एकीकरण की विधि

मान लीजिए u = f(x) और v = g(x) ऐसे फलन हैं जिनमें सततता है। फिर कार्य के अनुसार

d(uv))= udv + vdu या udv = d(uv) - vdu.

अभिव्यक्ति d(uv) के लिए, प्रतिअवकलन स्पष्ट रूप से uv होगा, इसलिए सूत्र मानता है:

∫ यूडीवी = यूवी - ∫ वीडीयू (8.4.)

यह सूत्र नियम को व्यक्त करता है भागों द्वारा एकीकरण. यह अभिव्यक्ति udv=uv"dx के एकीकरण को अभिव्यक्ति vdu=vu"dx के एकीकरण की ओर ले जाता है।

उदाहरण के लिए, आप ∫xcosx dx खोजना चाहते हैं। आइए हम u = x, dv = cosxdx रखें, इसलिए du=dx, v=sinx। तब

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x पाप x - ∫sin x dx = x पाप x + cosx + C.

भागों द्वारा एकीकरण के नियम का दायरा चरों के प्रतिस्थापन की तुलना में अधिक सीमित है। लेकिन अभिन्नों के पूरे वर्ग हैं, उदाहरण के लिए,

∫x k ln m xdx, ∫x k synbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax और अन्य, जिनकी गणना भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके सटीक रूप से की जाती है।

समाकलन परिभाषित करें

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा इस प्रकार प्रस्तुत की गई है। मान लीजिए कि एक फलन f(x) को एक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। आइए हम खंड को [ए,बी] में विभाजित करें एनबिंदुओं के अनुसार भाग ए= एक्स 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ एक्स आई =एक्स आई - एक्स आई-1. f(ξ i)Δ x i के रूप का योग कहा जाता है अभिन्न योग, और λ = maxΔx i → 0 पर इसकी सीमा, यदि यह मौजूद है और परिमित है, कहलाती है समाकलन परिभाषित करेंफ़ंक्शन f(x) का एपहले बीऔर निर्दिष्ट है:

F(ξ i)Δx i (8.5).

इस मामले में फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अंतराल पर अभिन्न, संख्या ए और बी कहा जाता है अभिन्न की निचली और ऊपरी सीमाएँ.

निम्नलिखित गुण एक निश्चित अभिन्न के लिए सत्य हैं:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

अंतिम संपत्ति कहलाती है माध्य मान प्रमेय.

मान लीजिए f(x) निरंतर है। फिर इस खंड पर एक अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है

∫f(x)dx = F(x) + C

और होता है न्यूटन-लीबनिज सूत्र, निश्चित अभिन्न को अनिश्चितकालीन अभिन्न से जोड़ना:

एफ(बी) - एफ(ए)। (8.6)

ज्यामितीय व्याख्या: निश्चित अभिन्न अंग ऊपर से वक्र y=f(x), सीधी रेखाओं x = a और x = b और अक्ष के एक खंड से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार का क्षेत्र है बैल.

अनुचित अभिन्न अंग

अनंत सीमाओं वाले समाकलन तथा असंतत (अनबाउंड) कार्यों के समाकलन कहलाते हैं तुम्हारा अपना नहीं. प्रथम प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग -ये एक अनंत अंतराल पर अभिन्न अंग हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(8.7)

यदि यह सीमा अस्तित्व में है और परिमित है, तो इसे कहा जाता है f(x) का अभिसारी अनुचित समाकलनअंतराल पर [a,+ ∞), और फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अनंत अंतराल पर समाकलनीय[ए,+ ∞). अन्यथा अभिन्न कहा जाता है अस्तित्व में नहीं है या भिन्न है.

अंतराल (-∞,b] और (-∞, + ∞) पर अनुचित समाकलन को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

आइए हम एक असीमित फलन के समाकलन की अवधारणा को परिभाषित करें। यदि f(x) सभी मानों के लिए सतत है एक्सखंड, बिंदु c को छोड़कर, जिस पर f(x) में अनंत असंततता है दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न अंगएफ(एक्स) ए से लेकर बी तकराशि कहलाती है:

यदि ये सीमाएँ अस्तित्व में हैं और सीमित हैं। पद का नाम:

अभिन्न गणना के उदाहरण

उदाहरण 3.30.∫dx/(x+2) की गणना करें.

समाधान।आइए हम t = x+2 को निरूपित करें, फिर dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + सी = एलएन|एक्स+2| +सी.

उदाहरण 3.31. ∫ tgxdx ज्ञात कीजिए।

समाधान।∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. मान लीजिए t=cosx, तो ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + सी = -ln|cosx|+C.

समाधान।

उदाहरण3.33. खोजो ।

समाधान। =

.

उदाहरण3.34 . ∫arctgxdx खोजें।

समाधान। आइए भागों द्वारा एकीकृत करें। आइए हम u=arctgx, dv=dx को निरूपित करें। फिर du = dx/(x 2 +1), v=x, जहां से ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; क्योंकि
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

उदाहरण3.35 . ∫lnxdx की गणना करें.

समाधान।भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. फिर ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

उदाहरण3.36 . ∫e x synxdx की गणना करें।

समाधान।आइए हम u = e x, dv = synxdx, फिर du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x synxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx निरूपित करें। हम अभिन्न ∫e x cosxdx को भागों द्वारा भी एकीकृत करते हैं: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx। हमारे पास है:
∫ ई एक्स कॉसएक्सडीएक्स = ई एक्स सिनएक्स - ∫ ई एक्स सिनएक्सडीएक्स। हमने संबंध ∫e x synxdx = - e x cosx + e x synx - ∫ e x synxdx प्राप्त किया, जिससे 2∫e x synx dx = - e x cosx + e x synx + C.

उदाहरण 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x की गणना करें।

समाधान।चूँकि dx/x = dlnx, तो J= ∫cos(lnx)d(lnx)। एलएनएक्स को टी के माध्यम से प्रतिस्थापित करने पर, हम तालिका अभिन्न जे = ∫ लागतडीटी = सिंट + सी = पाप (एलएनएक्स) + सी पर पहुंचते हैं।

उदाहरण 3.38 . जे = की गणना करें।

समाधान।यह मानते हुए कि = d(lnx), हम lnx = t प्रतिस्थापित करते हैं। फिर जे = .