एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय। संचलन की मात्रा

§1. सिस्टम गति (सिस्टम आवेग)

गति की मात्रा (शरीर का आवेग) - किसी पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर वेक्टर भौतिक मात्रा:

आवेग (गति की मात्रा) किसी पिंड या पिंड प्रणाली की गति की सबसे बुनियादी विशेषताओं में से एक है।

आइए लिखते हैं II उस त्वरण को देखते हुए न्यूटन का नियम एक अलग रूप में हैतो इसलिए

किसी बल का गुणनफल और उसकी क्रिया का समय पिंड के संवेग में वृद्धि के बराबर होता है:

कहाँ- बल का एक आवेग, जो दर्शाता है कि बल का परिणाम न केवल उसके मूल्य पर निर्भर करता है, बल्कि उसकी कार्रवाई की अवधि पर भी निर्भर करता है।

निकाय की गति (आवेग) की मात्रा सदिश राशि कहलाएगी , सिस्टम के सभी बिंदुओं की गति (आवेगों) की मात्रा के ज्यामितीय योग (मुख्य वेक्टर) के बराबर (अंक 2):

ड्राइंग से यह स्पष्ट है कि, सिस्टम के बिंदुओं के वेगों के मूल्यों की परवाह किए बिना (जब तक कि ये वेग समानांतर न हों), वेक्टरसदिशों से निर्मित बहुभुज होने पर कोई भी मान ले सकता है और यहां तक ​​कि शून्य के बराबर भी हो सकता है, बंद होगा। इसलिए, आकार मेंसिस्टम की गति की प्रकृति का पूरी तरह से आकलन करना असंभव है।

अंक 2।सिस्टम संचलन मात्रा

§2. संवेग में परिवर्तन के बारे में प्रमेय

मान लीजिए कि m द्रव्यमान के एक पिंड पर एक निश्चित अल्प अवधि के लिए एक बल कार्य करता है, इस बल के प्रभाव में, पिंड की गति में परिवर्तन होता है नतीजतन, समय के दौरान Δt शरीर त्वरण के साथ चला गया:

गतिकी के मूल नियम से(न्यूटन का दूसरा नियम) इस प्रकार है:

§3. संवेग संरक्षण का नियम (संवेग संरक्षण का नियम)

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय से, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं:

1) मान लीजिए किसी बंद प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का योग शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण से.यह इस प्रकार है कि Q = = कॉन्स्ट. इस प्रकार, यदि किसी बंद प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का योग शून्य के बराबर है, तो प्रणाली का संवेग (संवेग) वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर होगा।

2) मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतें ऐसी हैं कि किसी अक्ष पर उनके प्रक्षेपण का योग (उदाहरण के लिए) के बारे में एक्स ) शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण से.इस मामले में यह इस प्रकार हैQx= कॉन्स्ट. इस प्रकार, यदि किसी अक्ष पर सभी कार्यरत बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर प्रणाली की गति (संवेग) की मात्रा का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

ये परिणाम व्यक्त करते हैं प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम:एक बंद प्रणाली बनाने वाले निकायों के बीच किसी भी प्रकार की बातचीत के लिए, इस प्रणाली की कुल गति का वेक्टर हर समय स्थिर रहता है।

उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते।

किसी पृथक प्रणाली के कुल संवेग के संरक्षण का नियम प्रकृति का एक सार्वभौमिक नियम है। अधिक सामान्य स्थिति में, जब सिस्टम बंद नहीं होता है, सेइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ओपन-लूप सिस्टम की कुल गति स्थिर नहीं रहती है। प्रति इकाई समय में इसका परिवर्तन सभी बाह्य बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

क) पीछे हटने या पीछे हटने की घटना। यदि हम राइफल और गोली को एक प्रणाली मानते हैं, तो शॉट के दौरान पाउडर गैसों का दबाव एक आंतरिक बल होगा। यह बल प्रणाली की कुल गति को नहीं बदल सकता। लेकिन चूंकि पाउडर गैसें, गोली पर कार्य करते हुए, उसे आगे की दिशा में एक निश्चित मात्रा में गति प्रदान करती हैं, उन्हें एक साथ राइफल को विपरीत दिशा में समान मात्रा में गति प्रदान करनी चाहिए। इससे राइफल पीछे की ओर चली जाएगी, यानी। तथाकथित वापसी. इसी तरह की घटना बंदूक से फायरिंग (रोलबैक) करते समय होती है।

बी) प्रोपेलर (प्रोपेलर) का संचालन। प्रोपेलर प्रोपेलर की धुरी के साथ हवा (या पानी) के एक निश्चित द्रव्यमान को गति प्रदान करता है, इस द्रव्यमान को वापस फेंक देता है। यदि हम फेंके गए द्रव्यमान और विमान (या जहाज) को एक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो प्रोपेलर और पर्यावरण के बीच आंतरिक के रूप में बातचीत की ताकतें, इस प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकती हैं। इसलिए, जब हवा (पानी) का एक द्रव्यमान वापस फेंका जाता है, तो विमान (या जहाज) को एक समान आगे की गति प्राप्त होती है, जैसे कि विचाराधीन प्रणाली की गति की कुल मात्रा शून्य के बराबर रहेगी, क्योंकि यह पहले शून्य थी आंदोलन शुरू हुआ.

एक समान प्रभाव चप्पुओं या पैडल पहियों की क्रिया से प्राप्त होता है।

ग) जेट प्रणोदन। एक रॉकेट में, ईंधन के गैसीय दहन उत्पादों को रॉकेट की पूंछ में एक छेद (जेट इंजन नोजल से) से उच्च गति से बाहर निकाला जाता है। इस मामले में कार्य करने वाले दबाव बल आंतरिक बल होंगे, और वे रॉकेट प्रणाली - ईंधन दहन उत्पादों की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते हैं। लेकिन चूँकि बाहर निकलने वाली गैसों की गति एक निश्चित मात्रा में पीछे की ओर निर्देशित होती है, इसलिए रॉकेट को आगे की ओर भी इसी प्रकार की गति प्राप्त होती है।

स्व-परीक्षण प्रश्न:

किसी प्रणाली के संवेग में परिवर्तन के बारे में प्रमेय कैसे तैयार किया जाता है?

किसी यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय की गणितीय अभिव्यक्ति विभेदक और अभिन्न रूप में लिखिए।

किस स्थिति में यांत्रिक प्रणाली का संवेग नहीं बदलता है?

समय की एक सीमित अवधि में परिवर्तनशील बल का आवेग कैसे निर्धारित किया जाता है? बल आवेग की विशेषता क्या है?

निर्देशांक अक्षों पर स्थिर और परिवर्तनशील बल आवेगों के प्रक्षेपण क्या हैं?

परिणामी का आवेग क्या है?

एक वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमने वाले बिंदु का संवेग कैसे बदलता है?

एक यांत्रिक प्रणाली की गति क्या है?

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली एक निश्चित धुरी के चारों ओर घूमने वाले फ्लाईव्हील की गति क्या है?

किसी यांत्रिक प्रणाली का संवेग किन परिस्थितियों में नहीं बदलता है? किन परिस्थितियों में एक निश्चित अक्ष पर इसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है?

गोली चलाने पर बंदूक पीछे क्यों घूम जाती है?

क्या आंतरिक बल किसी प्रणाली की गति या उसके किसी हिस्से की गति को बदल सकते हैं?

रॉकेट की मुक्त गति की गति कौन से कारक निर्धारित करते हैं?

क्या रॉकेट की अंतिम गति ईंधन के दहन के समय पर निर्भर करती है?

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संक्षिप्त समीक्षा

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भौतिक बिंदुओं की यांत्रिक प्रणालीया पिंड उनका एक ऐसा संग्रह है जिसमें प्रत्येक बिंदु (या पिंड) की स्थिति और गति दूसरों की स्थिति और गति पर निर्भर करती है।
एक भौतिक शरीर को भौतिक बिंदुओं (कणों) की एक प्रणाली के रूप में माना जाता है जो इस शरीर का निर्माण करते हैं।
बाहरी ताकतों द्वारावे बल हैं जो किसी यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं या निकायों पर उन बिंदुओं या निकायों से कार्य करते हैं जो इस प्रणाली से संबंधित नहीं हैं।
आंतरिक शक्तियों द्वारा, वे बल हैं जो किसी यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं या निकायों पर उसी प्रणाली के बिंदुओं या निकायों से कार्य करते हैं, अर्थात। जिसके साथ किसी दिए गए सिस्टम के बिंदु या निकाय एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं।
सिस्टम की बाहरी और आंतरिक ताकतें, बदले में, सक्रिय और प्रतिक्रियाशील हो सकती हैं
सिस्टम का वजनएक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में सिस्टम के सभी बिंदुओं या निकायों के द्रव्यमान के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसके लिए शरीर के किसी भी कण का वजन उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है। इसलिए, किसी पिंड में द्रव्यमान का वितरण उसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र - ज्यामितीय बिंदु की स्थिति से निर्धारित किया जा सकता है साथ, जिसके निर्देशांक को यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र या जड़ता का केंद्र कहा जाता है
एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय: एक यांत्रिक प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र एक भौतिक बिंदु के रूप में चलता है जिसका द्रव्यमान प्रणाली के द्रव्यमान के बराबर होता है, और जिस पर प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बल लागू होते हैं
निष्कर्ष:

1. एक यांत्रिक प्रणाली या कठोर पिंड को उसकी गति की प्रकृति के आधार पर एक भौतिक बिंदु माना जा सकता है, न कि उसके आकार पर।
2. द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय द्वारा आंतरिक बलों को ध्यान में नहीं रखा जाता है।
3. द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय एक यांत्रिक प्रणाली की घूर्णी गति की विशेषता नहीं बताता है, बल्कि केवल अनुवादात्मक गति की विशेषता बताता है

निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति के संरक्षण पर नियम:
1. यदि बाहरी बलों (मुख्य वेक्टर) का योग लगातार शून्य के बराबर है, तो यांत्रिक प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र आराम पर है या समान रूप से और सीधा चलता है।
2. यदि किसी अक्ष पर सभी बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र के वेग का उसी अक्ष पर प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

संवेग परिवर्तन पर प्रमेय.

किसी भौतिक बिंदु की गति की मात्राऔर एक सदिश राशि है जो एक बिंदु के द्रव्यमान और उसके वेग सदिश के गुणनफल के बराबर है।
संवेग के माप की इकाई (किलो मी/सेकेंड) है।
यांत्रिक प्रणाली गति- सिस्टम के सभी बिंदुओं के संवेग के ज्यामितीय योग (प्रधान वेक्टर) के बराबर एक वेक्टर मात्रा या सिस्टम का संवेग पूरे सिस्टम के द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र की गति के उत्पाद के बराबर है
जब कोई पिंड (या निकाय) इस प्रकार गति करता है कि उसका द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है, तो पिंड की गति की मात्रा शून्य के बराबर होती है (उदाहरण के लिए, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर पिंड का घूमना जो उसके द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है) शरीर)।
यदि पिंड की गति जटिल है, तो यह द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमते समय गति के घूर्णी भाग की विशेषता नहीं बताएगी। अर्थात्, गति की मात्रा केवल सिस्टम की अनुवादात्मक गति (द्रव्यमान के केंद्र सहित) की विशेषता बताती है।
आवेग बलसमय की एक निश्चित अवधि में किसी बल की कार्रवाई का वर्णन करता है।
समय की एक सीमित अवधि के लिए बल आवेग को संबंधित प्राथमिक आवेगों के अभिन्न योग के रूप में परिभाषित किया गया है
किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय:
(विभेदक रूप में): किसी भौतिक बिंदु के संवेग का समय के साथ व्युत्पन्न बिंदुओं पर कार्य करने वाले बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है
(अभिन्न रूप में): एक निश्चित अवधि में संवेग में परिवर्तन उसी अवधि में एक बिंदु पर लागू बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय
(विभेदक रूप में): सिस्टम की गति का समय व्युत्पन्न सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है।
(अभिन्न रूप में): एक निश्चित अवधि में प्रणाली की गति में परिवर्तन उसी अवधि में बाहरी बलों की प्रणाली पर कार्य करने वाले आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।
प्रमेय स्पष्ट रूप से अज्ञात आंतरिक शक्तियों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है।
किसी यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय और द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय एक ही प्रमेय के दो अलग-अलग रूप हैं।
किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम.

1. यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति का वेक्टर दिशा और परिमाण में स्थिर होगा।
2. यदि किसी मनमाना अक्ष पर सभी कार्यरत बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर संवेग का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

संरक्षण कानूनों से संकेत मिलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते हैं।

1. एक यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों का वर्गीकरण
2. आंतरिक शक्तियों के गुण
3. सिस्टम मास. सेंटर ऑफ मास
4. एक यांत्रिक प्रणाली की गति के विभेदक समीकरण
5. एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय
6. किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति के संरक्षण पर कानून
7. संवेग परिवर्तन प्रमेय
8. किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम

भाषा: रूसी, यूक्रेनी

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स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण. सामग्री का चयन, अनुमेय तनाव की गणना, संपर्क और झुकने की ताकत की गणना की गई है।

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उदाहरण में, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाए गए, एक खतरनाक खंड पाया गया और एक आई-बीम का चयन किया गया। समस्या ने विभेदक निर्भरता का उपयोग करके आरेखों के निर्माण का विश्लेषण किया और बीम के विभिन्न क्रॉस सेक्शन का तुलनात्मक विश्लेषण किया।

शाफ्ट मरोड़ समस्या को हल करने का एक उदाहरण
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कार्य निर्दिष्ट अनुमेय तनाव पर स्टील रॉड की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, अनुदैर्ध्य बलों, सामान्य तनाव और विस्थापन के आरेख बनाए जाते हैं। छड़ के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

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किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

गति के दिए गए समीकरणों का उपयोग करके एक बिंदु की गति और त्वरण का निर्धारण करना
गति के दिए गए समीकरणों का उपयोग करके किसी बिंदु की गति और त्वरण निर्धारित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण

समतल-समानांतर गति के दौरान किसी कठोर पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण
समतल-समानांतर गति के दौरान किसी कठोर पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण को निर्धारित करने के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण

सिस्टम की गति की मात्रासिस्टम के सभी भौतिक बिंदुओं की गति की मात्राओं का ज्यामितीय योग ज्ञात करें

(70) के भौतिक अर्थ को स्पष्ट करने के लिए, आइए हम (64) के व्युत्पन्न की गणना करें

. (71)

(70) और (71) को एक साथ हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

. (72)

इस प्रकार, किसी यांत्रिक प्रणाली के संवेग का सदिश प्रणाली के द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र की गति के गुणनफल द्वारा निर्धारित होता है.

आइए (72) के अवकलज की गणना करें

. (73)

(73) और (67) को एक साथ हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

. (74)

समीकरण (74) निम्नलिखित प्रमेय को व्यक्त करता है।

प्रमेय: सिस्टम के संवेग वेक्टर का समय व्युत्पन्न सिस्टम के सभी बाहरी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

समस्याओं को हल करते समय, समीकरण (74) को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए:

. (75)

(74) और (75) के विश्लेषण से निम्नलिखित निम्नानुसार है: किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम: यदि निकाय के सभी बलों का योग शून्य है, तो इसका संवेग वेक्टर अपना परिमाण और दिशा बरकरार रखता है।

अगर
, वह
,क्यू = कॉन्स्ट . (76)

किसी विशेष मामले में, यह नियम किसी एक निर्देशांक अक्ष के अनुदिश पूरा किया जा सकता है।

अगर
, वह, क्यू जेड = कॉन्स्ट. (77)

उन मामलों में गति में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करना उचित है जहां सिस्टम में तरल और गैसीय निकाय शामिल हैं।

एक यांत्रिक प्रणाली के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय

गति की मात्रा केवल गति के अनुवादात्मक घटक को दर्शाती है। किसी पिंड की घूर्णी गति को चिह्नित करने के लिए, किसी दिए गए केंद्र (गतिज क्षण) के सापेक्ष प्रणाली के मुख्य कोणीय गति की अवधारणा पेश की गई है।

सिस्टम का गतिज क्षणकिसी दिए गए केंद्र के सापेक्ष उसी केंद्र के सापेक्ष उसके सभी बिंदुओं की गति की मात्राओं के क्षणों का ज्यामितीय योग होता है

. (78)

निर्देशांक अक्षों पर (22) प्रक्षेपित करके, हम निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष गतिज क्षण के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं

. (79)

अक्षों के सापेक्ष शरीर का गतिज क्षणइस अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण और शरीर के कोणीय वेग के उत्पाद के बराबर

. (80)

(80) से यह निष्कर्ष निकलता है कि गतिज क्षण गति के केवल घूर्णी घटक को दर्शाता है।

किसी बल की घूर्णी क्रिया की एक विशेषता घूर्णन अक्ष के सापेक्ष उसका क्षण है।

कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय घूर्णी गति की विशेषता और इस गति का कारण बनने वाले बल के बीच संबंध स्थापित करता है।

प्रमेय: किसी केंद्र के सापेक्ष सिस्टम के कोणीय गति के वेक्टर का समय व्युत्पन्न सिस्टम के सापेक्ष सभी बाहरी बलों के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर हैवही केंद्र

. (81)

इंजीनियरिंग समस्याओं (81) को हल करते समय, समन्वय अक्षों पर डिज़ाइन करना आवश्यक है

(81) और (82) के उनके विश्लेषण से पता चलता है कोणीय गति के संरक्षण का नियम: यदि केंद्र (या अक्ष) के सापेक्ष सभी बाहरी बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर है, तो इस केंद्र (या अक्ष) के सापेक्ष प्रणाली का गतिज क्षण अपनी परिमाण और दिशा को बरकरार रखता है।

,

या

प्रणाली के आंतरिक बलों की कार्रवाई से गतिज क्षण को नहीं बदला जा सकता है, लेकिन इन बलों के कारण जड़ता के क्षण और इसलिए कोणीय वेग को बदलना संभव है।

उसी तरह जैसे एक भौतिक बिंदु के लिए, हम विभिन्न रूपों में सिस्टम के लिए गति में परिवर्तन पर एक प्रमेय प्राप्त करेंगे।

आइए समीकरण को रूपांतरित करें (एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय)

इस अनुसार:

;

परिणामी समीकरण एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन के बारे में प्रमेय को विभेदक रूप में व्यक्त करता है: समय के संबंध में एक यांत्रिक प्रणाली की गति का व्युत्पन्न प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर है .

कार्तीय निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण में:

; ; .

समय के साथ अंतिम समीकरणों के दोनों पक्षों के अभिन्नों को लेते हुए, हम एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन के बारे में एक प्रमेय को अभिन्न रूप में प्राप्त करते हैं: एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन मुख्य वेक्टर की गति के बराबर होता है सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतें .

.

या कार्तीय निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण में:

; ; .

प्रमेय से परिणाम (संवेग के संरक्षण के नियम)

संवेग के संरक्षण का नियम बाहरी बलों की प्रणाली की विशेषताओं के आधार पर किसी प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय के विशेष मामलों के रूप में प्राप्त किया जाता है। आंतरिक बल कोई भी हो सकते हैं, क्योंकि वे गति में परिवर्तन को प्रभावित नहीं करते हैं।

दो संभावित मामले हैं:

1. यदि सिस्टम पर लागू सभी बाहरी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति की मात्रा परिमाण और दिशा में स्थिर है

2. यदि किसी समन्वय अक्ष और/या और/या पर बाह्य बलों के मुख्य वेक्टर का प्रक्षेपण शून्य के बराबर है, तो इन्हीं अक्षों पर संवेग का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है, अर्थात। और/या और/या क्रमशः।

एक भौतिक बिंदु के लिए और एक भौतिक बिंदु के लिए समान प्रविष्टियाँ की जा सकती हैं।

कार्य. एक बंदूक से जिसका द्रव्यमान एम, द्रव्यमान का एक प्रक्षेप्य क्षैतिज दिशा में उड़ता है एमगति के साथ वी. गति खोजें वीगोलीबारी के बाद बंदूकें.

समाधान. यांत्रिक हथियार-प्रक्षेप्य प्रणाली पर कार्य करने वाली सभी बाहरी ताकतें ऊर्ध्वाधर हैं। इसका मतलब है, सिस्टम की गति में परिवर्तन पर प्रमेय के परिणाम के आधार पर, हमारे पास है:।

फायरिंग से पहले यांत्रिक प्रणाली की गति की मात्रा:

शॉट के बाद यांत्रिक प्रणाली की गति की मात्रा:

.

भावों के दाएँ पक्ष की बराबरी करने पर, हमें वह प्राप्त होता है

.

परिणामी सूत्र में "-" चिह्न इंगित करता है कि फायरिंग के बाद बंदूक अक्ष के विपरीत दिशा में वापस लुढ़क जाएगी बैल.

उदाहरण 2. घनत्व वाले तरल की एक धारा क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र F वाले पाइप से V गति से बहती है और एक कोण पर एक ऊर्ध्वाधर दीवार से टकराती है। दीवार पर द्रव का दबाव निर्धारित करें।

समाधान। आइए हम द्रव्यमान के साथ तरल की मात्रा के अभिन्न रूप में गति में परिवर्तन पर प्रमेय लागू करें एमसमय के साथ किसी दीवार से टकराना टी.

मेश्चर्स्की समीकरण

(परिवर्तनशील द्रव्यमान के पिंड की गतिशीलता का मूल समीकरण)

आधुनिक तकनीक में, ऐसे मामले सामने आते हैं जब किसी बिंदु और प्रणाली का द्रव्यमान गति के दौरान स्थिर नहीं रहता है, बल्कि बदल जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष रॉकेटों की उड़ान के दौरान, दहन उत्पादों और रॉकेट के व्यक्तिगत अनावश्यक हिस्सों की अस्वीकृति के कारण, द्रव्यमान में परिवर्तन कुल प्रारंभिक मूल्य का 90-95% तक पहुंच जाता है। लेकिन न केवल अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी परिवर्तनशील द्रव्यमान गति की गतिशीलता का एक उदाहरण हो सकती है। कपड़ा उद्योग में, मशीनों और मशीनों की आधुनिक परिचालन गति पर विभिन्न स्पिंडल, बॉबिन, रोल के द्रव्यमान में महत्वपूर्ण परिवर्तन होते हैं।

आइए परिवर्तनीय द्रव्यमान वाले किसी पिंड की स्थानांतरीय गति के उदाहरण का उपयोग करके द्रव्यमान में परिवर्तन से जुड़ी मुख्य विशेषताओं पर विचार करें। गतिकी के मूल नियम को परिवर्तनशील द्रव्यमान वाले पिंड पर सीधे लागू नहीं किया जा सकता है। इसलिए, हम सिस्टम की गति में परिवर्तन पर प्रमेय को लागू करते हुए, परिवर्तनशील द्रव्यमान के एक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण प्राप्त करते हैं।

माना कि बिंदु का द्रव्यमान है एम+डीएमगति से चलता है. फिर द्रव्यमान वाला एक निश्चित कण बिंदु से अलग हो जाता है डी.एमगति से चल रहा है.

कण निकलने से पहले पिंड की गति की मात्रा:

एक निकाय की गति की मात्रा जिसमें एक पिंड और उसके अलग होने के बाद एक अलग कण शामिल है:

फिर गति में परिवर्तन:

प्रणाली की गति में परिवर्तन के बारे में प्रमेय के आधार पर:

आइए हम मात्रा को निरूपित करें - कण का सापेक्ष वेग:

चलो निरूपित करें

आकार आरप्रतिक्रियाशील बल कहलाता है। प्रतिक्रियाशील बल नोजल से गैस के निष्कासन के कारण उत्पन्न इंजन का जोर है।

अंततः हम पाते हैं

-

यह सूत्र परिवर्तनशील द्रव्यमान (मेश्चर्स्की सूत्र) के पिंड की गतिशीलता के मूल समीकरण को व्यक्त करता है। अंतिम सूत्र से यह पता चलता है कि चर द्रव्यमान वाले बिंदु की गति के अंतर समीकरणों का रूप स्थिर द्रव्यमान वाले बिंदु के समान होता है, द्रव्यमान में परिवर्तन के कारण बिंदु पर लगाए गए अतिरिक्त प्रतिक्रियाशील बल को छोड़कर।

परिवर्तनशील द्रव्यमान वाले पिंड की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण इंगित करता है कि इस पिंड का त्वरण न केवल बाहरी ताकतों के कारण बनता है, बल्कि प्रतिक्रियाशील बल के कारण भी होता है।

प्रतिक्रियाशील बल एक ऐसा बल है जो गोली चलाने वाले व्यक्ति द्वारा महसूस किया जाता है - पिस्तौल से गोली चलाते समय, यह हाथ से महसूस होता है; राइफल से गोली चलाते समय कंधे से इसका आभास होता है।

त्सोल्कोवस्की का पहला सूत्र (एकल-चरण रॉकेट के लिए)

मान लीजिए कि परिवर्तनशील द्रव्यमान का एक बिंदु या रॉकेट केवल एक प्रतिक्रियाशील बल के प्रभाव में एक सीधी रेखा में चलता है। चूँकि कई आधुनिक जेट इंजनों के लिए , इंजन डिज़ाइन (इंजन थ्रस्ट) द्वारा अनुमत अधिकतम प्रतिक्रियाशील बल कहाँ है; - पृथ्वी की सतह पर स्थित इंजन पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल। वे। उपरोक्त हमें मेश्करस्की समीकरण में घटक की उपेक्षा करने और आगे के विश्लेषण के लिए इस समीकरण को स्वीकार करने की अनुमति देता है:

आइए निरूपित करें:

ईंधन आरक्षित (तरल जेट इंजन के लिए - रॉकेट का शुष्क द्रव्यमान (सभी ईंधन जलने के बाद इसका शेष द्रव्यमान);

रॉकेट से अलग हुए कणों का द्रव्यमान; से भिन्न, एक परिवर्तनशील मान माना जाता है।

आइए हम परिवर्तनशील द्रव्यमान वाले एक बिंदु की सीधीरेखीय गति का समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखें:

.

चूँकि रॉकेट के परिवर्तनशील द्रव्यमान को निर्धारित करने का सूत्र है

इसलिए, एक बिंदु की गति के समीकरण दोनों पक्षों के अभिन्न अंग लेने पर हमें प्राप्त होता है

कहाँ - विशेषता गति- यह वह गति है जो एक रॉकेट रॉकेट से सभी कण निकलने के बाद जोर के प्रभाव में प्राप्त करता है (तरल जेट इंजन के लिए - सभी ईंधन जलने के बाद)।

अभिन्न चिह्न के बाहर रखा गया है (जो उच्च गणित से ज्ञात औसत मूल्य प्रमेय के आधार पर किया जा सकता है) रॉकेट से निकाले गए कणों की औसत गति है।

और यांत्रिक प्रणाली

किसी भौतिक बिंदु का संवेग यांत्रिक गति का एक सदिश माप है, जो बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर होता है। SI प्रणाली में संवेग मापने की इकाई है
. एक यांत्रिक प्रणाली की गति की मात्रा प्रणाली को बनाने वाले सभी भौतिक बिंदुओं की गति की मात्रा के योग के बराबर होती है:

. (5.2)

आइए परिणामी सूत्र को रूपांतरित करें

.

सूत्र के अनुसार (4.2)
, इसीलिए

.

इस प्रकार, एक यांत्रिक प्रणाली की गति उसके द्रव्यमान और द्रव्यमान के केंद्र की गति के उत्पाद के बराबर होती है:

. (5.3)

चूँकि किसी प्रणाली की गति की मात्रा उसके केवल एक बिंदु (द्रव्यमान का केंद्र) की गति से निर्धारित होती है, इसलिए यह प्रणाली की गति का पूर्ण लक्षण नहीं हो सकता है। दरअसल, सिस्टम के किसी भी आंदोलन के लिए, जब इसका द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है, तो सिस्टम की गति शून्य होती है। उदाहरण के लिए, यह तब होता है जब एक कठोर पिंड अपने द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली एक निश्चित धुरी के चारों ओर घूमता है।

आइए एक संदर्भ प्रणाली का परिचय दें Cxyz, इसकी उत्पत्ति यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र में होती है साथऔर जड़त्व प्रणाली के सापेक्ष अनुवादात्मक रूप से आगे बढ़ रहा है
(चित्र 5.1)। फिर प्रत्येक बिंदु की गति
इसे जटिल माना जा सकता है: अक्षों के साथ पोर्टेबल गति Cxyzऔर इन अक्षों के सापेक्ष गति। कुल्हाड़ियों की प्रगतिशील गति के कारण Cxyzप्रत्येक बिंदु की पोर्टेबल गति प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति के बराबर है, और सिस्टम की गति की मात्रा, सूत्र (5.3) द्वारा निर्धारित, केवल इसकी अनुवादात्मक पोर्टेबल गति की विशेषता है।

5.3. आवेग बल

समय की एक निश्चित अवधि में किसी बल की कार्रवाई को चिह्नित करने के लिए, एक मात्रा कहलाती है बल का आवेग . किसी बल का प्राथमिक आवेग किसी बल की कार्रवाई का एक सदिश माप है, जो उसकी कार्रवाई के प्रारंभिक समय अंतराल द्वारा बल के उत्पाद के बराबर होता है:

. (5.4)

बल आवेग की SI इकाई है
, अर्थात। बल आवेग और संवेग के आयाम समान हैं।

समय की एक सीमित अवधि में बलपूर्वक आवेग
प्राथमिक संवेग के एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है:

. (5.5)

एक स्थिर बल का आवेग बल के उत्पाद और उसकी कार्रवाई के समय के बराबर होता है:

. (5.6)

सामान्य तौर पर, बल आवेग को समन्वय अक्षों पर इसके प्रक्षेपणों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

. (5.7)

5.4. संवेग परिवर्तन प्रमेय

भौतिक बिंदु

गतिकी के मूल समीकरण (1.2) में, किसी भौतिक बिंदु का द्रव्यमान एक स्थिर मात्रा, उसका त्वरण है
, जो इस समीकरण को इस रूप में लिखना संभव बनाता है:

. (5.8)

परिणामी संबंध हमें सूत्रबद्ध करने की अनुमति देता है किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय विभेदक रूप में: किसी भौतिक बिंदु के संवेग का समय व्युत्पन्न उस बिंदु पर कार्य करने वाले बलों के ज्यामितीय योग (मुख्य वेक्टर) के बराबर होता है.

अब हमें इस प्रमेय का पूर्णांक रूप प्राप्त होता है। सम्बन्ध (5.8) से यह निष्कर्ष निकलता है

.

आइए समानता के दोनों पक्षों को समय के क्षणों के अनुरूप सीमाओं के भीतर एकीकृत करें और ,

. (5.9)

दाहिनी ओर के इंटीग्रल बिंदु पर कार्यरत बलों के आवेगों का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए बाईं ओर के इंटीग्रल के बाद हमें मिलता है

. (5.10)

इस प्रकार यह सिद्ध है किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय अभिन्न रूप में: किसी निश्चित समयावधि में किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन उसी समयावधि में उस बिंदु पर कार्य करने वाले बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।.

वेक्टर समीकरण (5.10) निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपणों में तीन समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाता है:

;

; (5.11)

.

उदाहरण 1। पिंड क्षितिज के साथ एक कोण α बनाते हुए एक झुके हुए विमान के साथ अनुवादिक रूप से चलता है। समय के आरंभिक क्षण में इसकी गति थी , एक झुके हुए तल के अनुदिश ऊपर की ओर निर्देशित (चित्र 5.2)।

यदि घर्षण का गुणांक बराबर है तो कितने समय के बाद शरीर की गति शून्य के बराबर हो जाती है? एफ ?

आइए हम अनुवादात्मक रूप से गतिमान पिंड को एक भौतिक बिंदु के रूप में लें और उस पर कार्य करने वाली शक्तियों पर विचार करें। यह गुरुत्वाकर्षण है
, सामान्य समतल प्रतिक्रिया और घर्षण बल . चलो धुरी को निर्देशित करें एक्सऊपर की ओर झुके हुए तल के अनुदिश और निकाय का पहला समीकरण लिखें (5.11)

जहां गति की मात्राओं के प्रक्षेपण हैं, और स्थिर बलों के आवेगों के प्रक्षेपण हैं
,और बलों के अनुमानों और गति के समय के उत्पादों के बराबर हैं:

चूँकि पिंड का त्वरण झुके हुए तल के अनुदिश निर्देशित होता है, अक्ष पर प्रक्षेपणों का योग यशरीर पर कार्य करने वाले सभी बल शून्य के बराबर हैं:
, जिससे यह अनुसरण होता है
. आइए घर्षण बल ज्ञात करें

और समीकरण (5.12) से हम प्राप्त करते हैं

जहां से हम शरीर की गति का समय निर्धारित करते हैं

.