निर्धारकों और आव्यूहों के सिद्धांत के तत्व। सार: मैट्रिक्स और निर्धारक का सिद्धांत

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निर्धारक सिद्धांत के तत्व

निर्धारक संख्याओं की एक वर्गाकार तालिका के रूप में लिखी गई एक संख्या है, जिसकी गणना कुछ नियमों के अनुसार की जाती है।

उदाहरण के लिए, प्रत्येक तालिका (1.1) में समान संख्या में पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं और एक संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसके गणना नियमों पर नीचे चर्चा की जाएगी।

पंक्तियों और स्तंभों की संख्या निर्धारक का क्रम निर्धारित करती है। इस प्रकार, सारणिक 1.1a) तीसरे क्रम का है, सारणिक 1.1b) दूसरे क्रम का है, 1.1c) पहले क्रम का है। जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रथम-क्रम निर्धारक संख्या ही है।

तालिका के किनारों पर सीधे ऊर्ध्वाधर कोष्ठक निर्धारक के चिह्न और प्रतीक हैं। क्या सारणिक को ग्रीक वर्णमाला के बड़े अक्षर से दर्शाया गया है? (डेल्टा)।

सामान्य रूप में, nवाँ क्रम निर्धारक इस प्रकार लिखा जाता है:

प्रत्येक तत्व ए आईजेनिर्धारक के दो सूचकांक हैं: पहला सूचकांक मैंपंक्ति संख्या को इंगित करता है, दूसरा जे- उस स्तंभ की संख्या जिसके चौराहे पर तत्व स्थित है। तो निर्धारक 1.1a) तत्वों के लिए ए 11 , ए 22 , ए 23 , ए 32 क्रमशः 2, 5, 4, 3 के बराबर हैं।

दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद को घटाकर द्वितीयक विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करने के लिए, "त्रिकोण विधि" और सारस विधि का उपयोग किया जाता है। लेकिन आमतौर पर व्यवहार में, तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करने के लिए, प्रभावी आदेश में कमी की तथाकथित विधि का उपयोग किया जाता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

त्रिकोण विधि

इस पद्धति का उपयोग करके निर्धारक की गणना करते समय, इसके ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। चित्र में. 1.1 और 1.2, तीसरे क्रम के निर्धारक के तत्वों को योजनाबद्ध रूप से बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया है।

चावल। 1.1 चित्र. 1.2

निर्धारक की गणना करते समय, सीधी रेखाओं से जुड़े तत्वों का उत्पाद चित्र में दिए गए आरेख का अनुसरण करता है। 1.1, धन चिह्न के साथ लें, और चित्र में दिए गए आरेख के अनुसार जुड़े हुए तत्वों का गुणनफल लें। 1.2, ऋण चिह्न के साथ लें। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, गणना के लिए प्रयुक्त सूत्र रूप लेता है:

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करें।

सारस विधि

इसे लागू करने के लिए, आपको निर्धारक के दाईं ओर पहले दो कॉलम निर्दिष्ट करने होंगे, मुख्य विकर्ण पर और उसके समानांतर रेखाओं पर स्थित तत्वों के उत्पादों की रचना करनी होगी, और उन्हें प्लस चिह्न के साथ लेना होगा। फिर पार्श्व विकर्ण पर और उसके समानांतर ऋण चिह्न के साथ स्थित तत्वों के उत्पादों की रचना करें।

सारस विधि का उपयोग करके निर्धारक की गणना करने की योजना।

सारस विधि का उपयोग करके उदाहरण 1.2 में दिए गए निर्धारक की गणना करें।

निर्धारक तत्व का लघु और बीजगणितीय पूरक

नाबालिग एम आईजेतत्व ए आईजेनिर्धारक कहा जाता है ( एन-1)-निर्धारक से प्राप्त वां क्रम एन-वें क्रम को पार करके मैं-वीं पंक्ति और जेवां स्तंभ (अर्थात उस पंक्ति और स्तंभ को काट कर, जिसके चौराहे पर तत्व स्थित है ए आईजे).

तत्वों का लघुत्तम ज्ञात कीजिए ए 23 और ए 34 चौथे क्रम का निर्धारक.

तत्व ए 23 दूसरी पंक्ति और तीसरे कॉलम में है। इस उदाहरण में ए 23 =4. इस तत्व के चौराहे पर दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ को पार करते हुए (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज बिंदीदार रेखाओं द्वारा पद्धतिगत उद्देश्यों के लिए दिखाया गया है), हम इस तत्व का लघु एम 23 प्राप्त करते हैं। यह पहले से ही तीसरा क्रम निर्धारक होगा।

अवयस्कों की गणना करते समय, एक पंक्ति और स्तंभ को काटने का कार्य मानसिक रूप से किया जाता है। ऐसा करने पर हमें प्राप्त होता है

बीजगणितीय पूरक ए आईजेतत्व ए आईजेसिद्ध एनवां क्रम इस तत्व का लघु है, जिसे चिह्न (-1) के साथ लिया गया है मैं + जे, कहाँ मैं+ जे- पंक्ति और स्तंभ संख्याओं का योग जिससे तत्व संबंधित है ए आईजे. वे। एक-प्राथमिकता ए आईजे=(-1) मैं + जेएम आईजे

यह स्पष्ट है कि यदि राशि मैं+ जे- तो फिर संख्या सम है ए आईजे=एम आईजे, अगर मैं+ जे- तो फिर संख्या विषम है ए आईजे= - एम आईजे.

सारणिक के लिए, तत्वों के बीजगणितीय पूरक खोजें ए 23 और ए 31 .

तत्व के लिए ए 23 मैं=2, जे=3 और मैं+ जेअतः =5 एक विषम संख्या है

तत्व के लिए ए 31 मैं=3, जे=1 और मैं+ जे=4 एक सम संख्या है, जिसका अर्थ है

निर्धारकों के गुण

1. यदि सारणिक में किन्हीं दो समानांतर पंक्तियों (दो पंक्तियों या दो स्तंभों) की अदला-बदली की जाती है, तो सारणिक का चिह्न विपरीत दिशा में बदल जाता है

2 समानांतर कॉलम (पहला और दूसरा) स्वैप करें।

2 समानांतर रेखाएँ (पहली और तीसरी) स्वैप करें।

2. किसी भी पंक्ति (पंक्ति या स्तंभ) के तत्वों का सामान्य गुणनखंड निर्धारक चिन्ह से निकाला जा सकता है।

किसी सारणिक के गुण शून्य के बराबर होते हैं

3. यदि किसी सारणिक में किसी निश्चित श्रृंखला के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो ऐसा सारणिक शून्य के बराबर होता है।

4. यदि किसी सारणिक में किसी श्रृंखला के तत्व समानांतर श्रृंखला के तत्वों के समानुपाती होते हैं, तो सारणिक शून्य के बराबर होता है।

निर्धारक की अपरिवर्तनशीलता (अपरिवर्तनीयता) के गुण।

5. यदि सारणिक में पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली कर दी जाए, तो सारणिक नहीं बदलेगा।

6. यदि किसी समानांतर श्रृंखला के तत्वों को पहले एक निश्चित संख्या से गुणा करके किसी भी श्रृंखला के तत्वों में जोड़ा जाए तो निर्धारक नहीं बदलेगा।

तथाकथित प्रभावी ऑर्डर कटौती विधि का उपयोग करके निर्धारकों की गणना में संपत्ति 6 ​​का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस विधि को लागू करते समय एक पंक्ति (एक पंक्ति या स्तंभ) में एक को छोड़कर सभी तत्वों को शून्य पर लाना आवश्यक है। सारणिक का एक गैर-शून्य तत्व शून्य के बराबर होगा यदि इसे समान परिमाण लेकिन विपरीत चिह्न वाली संख्या में जोड़ा जाए।

आइए एक उदाहरण से दिखाएं कि यह कैसे किया जाता है।

गुण 2 और 6 का उपयोग करते हुए, सारणिक को ऐसे सारणिक में घटाएँ जिसमें किसी भी पंक्ति में दो शून्य हों।

संपत्ति 2 का उपयोग करते हुए, हम पहली पंक्ति से 2, दूसरी पंक्ति से 4 और तीसरी पंक्ति से 2 को सामान्य गुणनखंडों के रूप में हटाकर निर्धारक को सरल बनाते हैं।

क्योंकि तत्व ए 22 शून्य के बराबर है, तो समस्या को हल करने के लिए दूसरी पंक्ति या दूसरे कॉलम में किसी भी तत्व को शून्य तक कम करना पर्याप्त है। इसे करने बहुत सारे तरीके हैं।

उदाहरण के लिए, आइए तत्व को लें ए 21 =2 से शून्य. ऐसा करने के लिए, संपत्ति 6 ​​के आधार पर, पूरे तीसरे कॉलम को (-2) से गुणा करें और इसे पहले में जोड़ें। इस ऑपरेशन को करने के बाद, हमें मिलता है

किसी तत्व को शून्य करना संभव है ए 12 =2, तो हमें दूसरे कॉलम में शून्य के बराबर दो तत्व मिलेंगे। ऐसा करने के लिए, आपको तीसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करना होगा और परिणामी मानों को पहली पंक्ति में जोड़ना होगा

किसी भी आदेश के निर्धारक की गणना

किसी भी क्रम के निर्धारक की गणना करने का नियम लाप्लास प्रमेय पर आधारित है।

लाप्लास का प्रमेय

निर्धारक किसी भी पंक्ति (पंक्ति या स्तंभ) के तत्वों के उनके बीजगणितीय पूरकों के जोड़ीवार उत्पादों के योग के बराबर है।

इस प्रमेय के अनुसार, सारणिक की गणना किसी पंक्ति या किसी स्तंभ के तत्वों पर विघटित करके की जा सकती है।

सामान्य तौर पर, nवें क्रम निर्धारक का विस्तार और गणना निम्नलिखित तरीकों से की जा सकती है:

लाप्लास के प्रमेय का उपयोग करके निर्धारक की गणना तीसरी पंक्ति के तत्वों और पहले कॉलम के तत्वों में विघटित करके करें।

हम सारणिक को तीसरी पंक्ति के साथ विस्तारित करके गणना करते हैं

आइए सारणिक को पहले कॉलम में विस्तारित करके उसकी गणना करें

प्रभावी ऑर्डर कटौती विधि

लाप्लास के प्रमेय का उपयोग करके निर्धारक की गणना करने की जटिलता काफी कम होगी यदि इसके विस्तार में एक पंक्ति या स्तंभ में केवल एक पद है। ऐसा विस्तार तब प्राप्त होगा जब पंक्ति (या स्तंभ) में जिसके साथ निर्धारक का विस्तार होता है, एक को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं। सारणिक के तत्वों को "शून्य" करने की विधि पर पहले चर्चा की गई थी।

प्रभावी ऑर्डर कटौती विधि का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें।

क्योंकि तीसरे क्रम का निर्धारक, फिर हम सारणिक के किन्हीं 2 तत्वों को "शून्य" करते हैं। इस उद्देश्य के लिए दूसरा कॉलम लेना सुविधाजनक है, जिसका तत्व ए 22 = - 1. तत्त्व के क्रम में ए 21 शून्य के बराबर था, पहला कॉलम दूसरे में जोड़ा जाना चाहिए। तत्व के लिए क्रम में ए 23 शून्य के बराबर था, आपको दूसरे कॉलम को 2 से गुणा करना होगा और इसे तीसरे में जोड़ना होगा। इन ऑपरेशनों को करने के बाद, दिया गया सारणिक सारणिक में परिवर्तित हो जाता है

अब हम इस सारणिक को दूसरी पंक्ति के साथ विस्तारित करते हैं

निर्धारक की गणनाइसे त्रिकोणीय आकार में काट लें

एक सारणिक जिसके मुख्य विकर्ण के ऊपर या नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, त्रिकोणीय सारणिक कहलाता है। इस मामले में, निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

सारणिक को उसके गुणों के आधार पर त्रिकोणीय रूप में कम करना हमेशा संभव होता है।

एक निर्धारक दिया गया है. इसे त्रिकोणीय आकार में छोटा करें और गणना करें।

आइए, उदाहरण के लिए, मुख्य विकर्ण के ऊपर स्थित सभी तत्वों को "शून्य करें"। ऐसा करने के लिए, आपको तीन ऑपरेशन करने होंगे: पहला ऑपरेशन - आखिरी के साथ पहली पंक्ति जोड़ें, हमें मिलता है ए 13 = 0. दूसरा ऑपरेशन - अंतिम पंक्ति को (-2) से गुणा करने और दूसरे के साथ जोड़ने पर, हमें मिलता है ए 23 = 0. इन परिचालनों का क्रमिक निष्पादन नीचे दिखाया गया है।

किसी तत्व को रीसेट करने के लिए ए 12 पहली और दूसरी पंक्तियाँ जोड़ें

मैट्रिक्स सिद्धांत के तत्व

मैट्रिक्स संख्याओं या किसी अन्य तत्व से युक्त एक तालिका है एमलाइनें और एनकॉलम.

मैट्रिक्स का सामान्य दृश्य

मैट्रिक्स, निर्धारक की तरह, दोहरे सूचकांक से सुसज्जित तत्व हैं। सूचकांकों का अर्थ निर्धारकों के समान ही है।

यदि सारणिक किसी संख्या के बराबर है, तो मैट्रिक्स किसी अन्य सरल वस्तु के बराबर नहीं है।

मैट्रिक्स के किनारों पर कोष्ठक इसके चिह्न या प्रतीक हैं (लेकिन सीधे कोष्ठक नहीं जो निर्धारक को दर्शाते हैं)। संक्षिप्तता के लिए, मैट्रिक्स को बड़े अक्षरों में दर्शाया गया है ए, बी, सीवगैरह।

एक मैट्रिक्स का आकार उसकी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से निर्धारित होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है - ए एम एन.

उदाहरण के लिए, आकार 23 के एक संख्यात्मक मैट्रिक्स का रूप है, आकार 31 का रूप है, आकार 14 का रूप है, आदि।

एक मैट्रिक्स जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, वर्ग कहलाती है। इस मामले में, जहां तक ​​निर्धारकों का सवाल है, हम मैट्रिक्स के क्रम के बारे में बात करते हैं।

उदाहरण के लिए, तीसरे क्रम के संख्यात्मक मैट्रिक्स का रूप होता है

मैट्रिक्स के प्रकार

एक पंक्ति से युक्त मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है

एक कॉलम से युक्त मैट्रिक्स को कॉलम मैट्रिक्स कहा जाता है

मैट्रिक्स को वर्ग कहा जाता है एन-वाँ क्रम यदि इसकी पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर है और के बराबर है एन.

उदाहरण के लिए, तीसरे क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स।

एक विकर्ण मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं। मुख्य विकर्ण वह विकर्ण है जो ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक चलता है।

उदाहरण के लिए, एक तीसरे क्रम का विकर्ण मैट्रिक्स।

एक विकर्ण मैट्रिक्स, जिसके सभी तत्व एक के बराबर होते हैं, पहचान कहलाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है इया नंबर 1

शून्य मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के ऊपर स्थित सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

उदाहरण के लिए

ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स

निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स

यदि मैट्रिक्स में एपंक्तियों को स्तंभों से बदलें, हमें एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स मिलता है, जिसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है ए*.

उदाहरण के लिए, एक मैट्रिक्स दिया गया है,

इसके संबंध में मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ किया गया ए*

वर्ग मैट्रिक्स एएक निर्धारक है, जिसे det द्वारा दर्शाया जाता है ए(det "निर्धारक" के लिए एक संक्षिप्त फ्रांसीसी शब्द है)।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के लिए ए

हम इसका निर्धारक लिखते हैं

मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ सभी ऑपरेशन वही हैं जो पहले चर्चा की गई थी।

एक मैट्रिक्स जिसका सारणिक शून्य के बराबर होता है उसे विशेष, या पतित, या एकवचन कहा जाता है। एक मैट्रिक्स जिसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, उसे गैर-एकवचन या गैर-एकवचन कहा जाता है।

संघ या संलग्न मैट्रिक्स.

यदि किसी दिए गए वर्ग मैट्रिक्स के लिए एइसके सभी तत्वों के बीजगणितीय पूरक निर्धारित करें और फिर उन्हें स्थानांतरित करें, फिर इस प्रकार प्राप्त मैट्रिक्स को मैट्रिक्स से संबद्ध या आसन्न कहा जाएगा एऔर प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है ए

एक मैट्रिक्स खोजने के लिए ए.

मैट्रिक्स के निर्धारक को संकलित करना ए

हम सूत्र का उपयोग करके सारणिक के सभी तत्वों के बीजगणितीय पूरक निर्धारित करते हैं

परिणामी बीजगणितीय पूरकों को स्थानांतरित करके, हम संबद्ध या सहायक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं एकिसी दिए गए मैट्रिक्स के संबंध में ए.

मैट्रिक्स पर कार्रवाई

मैट्रिक्स समानता

दो आव्यूह एऔर मेंसमान माना जाता है यदि:

क) उन दोनों का आकार समान है;

बी) इन आव्यूहों के संगत अवयव एक दूसरे के बराबर हैं। संगत तत्व समान सूचकांक वाले तत्व हैं।

आव्यूहों का जोड़ और घटाव

आप केवल समान आयाम के आव्यूहों को जोड़ और घटा सकते हैं। दो आव्यूहों का योग (अंतर)। एऔर मेंएक तीसरा मैट्रिक्स होगा साथ, जिसके तत्व साथ आईजेसंबंधित मैट्रिक्स तत्वों के योग (अंतर) के बराबर एऔर में. परिभाषा के अनुसार, मैट्रिक्स तत्व साथनियम के अनुसार हैं.

उदाहरण के लिए, यदि

आव्यूहों के योग (अंतर) की अवधारणा आव्यूहों की किसी भी सीमित संख्या तक फैली हुई है। इस मामले में, आव्यूहों का योग निम्नलिखित कानूनों का पालन करता है:

ए) क्रमविनिमेय ए + बी = बी + ए;

बी) साहचर्य साथ + (ए + बी) = (बी + सी)+ ए.

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना.

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उस संख्या से गुणा करना होगा।

परिणाम। सभी मैट्रिक्स तत्वों का सामान्य कारक मैट्रिक्स चिह्न से निकाला जा सकता है।

उदाहरण के लिए, ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मैट्रिक्स को जोड़ने, घटाने और किसी संख्या से मैट्रिक्स को गुणा करने की क्रियाएं संख्याओं पर होने वाली क्रियाओं के समान हैं। मैट्रिक्स गुणन एक विशिष्ट ऑपरेशन है।

दो आव्यूहों का गुणनफल.

सभी आव्यूहों को गुणा नहीं किया जा सकता. दो आव्यूहों का गुणनफल एऔर मेंसूचीबद्ध क्रम में ए मेंकेवल तभी संभव है जब प्रथम कारक के स्तंभों की संख्या हो एदूसरे कारक की पंक्तियों की संख्या के बराबर में.

उदाहरण के लिए, ।

मैट्रिक्स का आकार ए 33, मैट्रिक्स आकार में 23. काम ए मेंअसंभव, काम में एशायद।

दो मैट्रिक्स ए और बी का उत्पाद तीसरा मैट्रिक्स सी है, जिसका तत्व सी आईजे पहले कारक की आई-वीं पंक्ति और दूसरे के जे-वें कॉलम के तत्वों के जोड़ीदार उत्पादों के योग के बराबर है। कारक।

यह दिखाया गया कि इस मामले में मैट्रिक्स का उत्पाद संभव है में ए

दो आव्यूहों के गुणनफल के अस्तित्व के नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि सामान्य स्थिति में दो आव्यूहों का गुणनफल क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं करता है, अर्थात्। ए में? में ए. यदि किसी विशेष मामले में ऐसा हो जाता है ए बी = बी ए,तो ऐसे मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तनीय या क्रमविनिमेय कहा जाता है।

मैट्रिक्स बीजगणित में, सामान्य बीजगणित के विपरीत, दो मैट्रिक्स का उत्पाद शून्य मैट्रिक्स हो सकता है, भले ही कोई भी कारक मैट्रिक्स शून्य न हो।

उदाहरण के लिए, आइए आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात करें ए में, अगर

आप अनेक आव्यूहों को गुणा कर सकते हैं. यदि आप आव्यूहों को गुणा कर सकते हैं ए, मेंऔर इन आव्यूहों के गुणनफल को आव्यूह से गुणा किया जा सकता है साथ, तो उत्पाद की रचना करना संभव है ( ए में) साथऔर ए(में साथ). इस मामले में, गुणन के संबंध में संयोजन नियम होता है ( ए में) साथ = ए(में साथ).

उलटा मैट्रिक्स

यदि दो आव्यूह एऔर मेंसमान आकार, और उनका उत्पाद ए मेंपहचान मैट्रिक्स E है, तो मैट्रिक्स B को A का व्युत्क्रम कहा जाता है और निरूपित किया जाता है ए -1 , अर्थात। ए ए -1 = ई.

उलटा मैट्रिक्स ए -1 यूनियन मैट्रिक्स के अनुपात के बराबर एमैट्रिक्स के निर्धारक के लिए ए

इससे यह स्पष्ट है कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए ए -1 यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स का पता चले ए? 0, यानी, ताकि मैट्रिक्स एगैर पतित था.

एक मैट्रिक्स खोजने के लिए ए -1 .

मैट्रिक्स के निर्धारक का मान निर्धारित करना ए

क्योंकि डेट ए? 0, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। उदाहरण 2.1 में. किसी दिए गए निर्धारक के लिए संबद्ध मैट्रिक्स पाया गया था

ए-प्राथमिकता

मैट्रिक्स रैंक

कई गणितीय और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने और अध्ययन करने के लिए, मैट्रिक्स रैंक की अवधारणा महत्वपूर्ण है।

मैट्रिक्स पर विचार करें एआकार एम एन

मैट्रिक्स में यादृच्छिक रूप से चयन करें एकलाइनें और ककॉलम. चयनित पंक्तियों और स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर स्थित तत्व एक वर्ग मैट्रिक्स बनाते हैं क-उस आदेश का. इस मैट्रिक्स के निर्धारक को लघु कहा जाता है क-मैट्रिक्स ए का क्रम चुनें कलाइनें और कस्तंभों का उपयोग अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप अलग-अलग छोटे परिणाम प्राप्त होते हैं क-उस आदेश का. प्रथम क्रम के अवयस्क स्वयं तत्व हैं। जाहिर है, अवयस्कों का सबसे बड़ा संभावित क्रम सबसे छोटी संख्याओं के बराबर है एमऔर एन. विभिन्न कोटि के गठित अवयस्कों में वे भी होंगे जो शून्य के बराबर होंगे और शून्य के बराबर नहीं होंगे।

अशून्य मैट्रिक्स अवयस्कों का उच्चतम क्रम एमैट्रिक्स की रैंक कहलाती है.

मैट्रिक्स रैंक एरैंक द्वारा दर्शाया गया एया आर( ए).

यदि मैट्रिक्स रैंक एके बराबर होती है आर, तो इसका मतलब है कि मैट्रिक्स में ऑर्डर का गैर-शून्य माइनर है आर, लेकिन प्रत्येक लघु इससे भी बड़े क्रम का है आरशून्य के बराबर.

मैट्रिक्स रैंक की परिभाषा से यह निम्नानुसार है:

ए) मैट्रिक्स रैंक ए एम एनअपने आकारों में से छोटे से अधिक नहीं है, अर्थात्। आर(ए) ? मिनट(एम, एन);

बी) आर(ए) = 0 यदि और केवल यदि मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, यानी। ए = 0;

ग) एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एन-वाँ क्रम आर(ए) = एन, यदि मैट्रिक्स गैर-एकवचन है।

आइए बॉर्डरिंग माइनर्स की विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने का एक उदाहरण देखें। इसका सार मैट्रिक्स के अवयस्कों की क्रमिक रूप से गणना करने और उच्चतम क्रम के गैर-शून्य अवयस्क को खोजने में निहित है।

मैट्रिक्स की रैंक की गणना करें.

मैट्रिक्स के लिए ए 3 4 आर(ए) ? न्यूनतम (3,4) = 3। आइए जांचें कि क्या मैट्रिक्स की रैंक 3 के बराबर है; ऐसा करने के लिए, हम सभी तीसरे क्रम के नाबालिगों की गणना करते हैं (उनमें से केवल 4 हैं, वे एक को हटाकर प्राप्त किए जाते हैं) मैट्रिक्स के कॉलमों में से)।

चूँकि सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य हैं, आर(ए) ? 2. चूँकि, उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम का शून्य लघु है

वह आर(ए) = 2.

मैट्रिक्स का कोई भी गैर-शून्य लघु जिसका क्रम उसकी रैंक के बराबर होता है, इस मैट्रिक्स का आधार लघु कहलाता है।

एक मैट्रिक्स में एक से अधिक आधार छोटे, लेकिन कई हो सकते हैं। हालाँकि, सभी आधार अवयस्कों के आदेश समान हैं और मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हैं।

वे पंक्तियाँ और स्तंभ जो एक आधार लघु बनाते हैं, आधार कहलाते हैं।

मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति (स्तंभ) आधार पंक्तियों (स्तंभों) का एक रैखिक संयोजन है।

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दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारक।

संख्याएँ m और n कहलाती हैं DIMENSIONS matrices.

मैट्रिक्स कहा जाता है वर्ग, यदि एम = एन. इस मामले में संख्या n को कहा जाता है क्रम मेंवर्ग मैट्रिक्स.

प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स को एक संख्या से जोड़ा जा सकता है जो मैट्रिक्स के सभी तत्वों का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। इस संख्या को निर्धारक कहा जाता है।

द्वितीय क्रम निर्धारकदूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों का उपयोग करके निम्नानुसार प्राप्त की गई एक संख्या है:।

इस मामले में, मैट्रिक्स के तथाकथित मुख्य विकर्ण (ऊपरी बाएं से निचले दाएं कोने तक जाने वाले) पर स्थित तत्वों के उत्पाद से, दूसरे, या माध्यमिक, विकर्ण पर स्थित तत्वों का उत्पाद घटाया जाता है .

तृतीय क्रम निर्धारकएक संख्या है जो तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों का उपयोग करके निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

टिप्पणी। इस सूत्र को याद रखना आसान बनाने के लिए, आप तथाकथित क्रैमर (त्रिकोण) नियम का उपयोग कर सकते हैं। यह इस प्रकार है: वे तत्व जिनके उत्पाद "+" चिह्न के साथ निर्धारक में शामिल हैं, उन्हें निम्नानुसार व्यवस्थित किया गया है:

मुख्य विकर्ण के प्रति सममित, दो त्रिभुज बनाना। वे तत्व जिनके उत्पाद "-" चिह्न के साथ निर्धारक में शामिल हैं, द्वितीयक विकर्ण के सापेक्ष समान तरीके से स्थित हैं:

14. वें क्रम के निर्धारक. (उच्च क्रम निर्धारक)

निर्धारक एनमैट्रिक्स के अनुरूप वां क्रम नहीं,नंबर कहा जाता है:

निर्धारकों की गणना के लिए बुनियादी तरीके:

1) ऑर्डर कटौती विधि निर्धारक संबंध पर आधारित है: (1)

कहाँ वें तत्व का बीजगणितीय पूरक कहलाता है। नाबालिगवें तत्व को निर्धारक कहा जाता है एन-1आदेश, मूल निर्धारक से हटाकर प्राप्त किया गया मैं-वह पंक्ति और जेवां स्तंभ.

संबंध (1) को सारणिक का विस्तार कहा जाता है मैं-वह पंक्ति. इसी प्रकार, हम एक कॉलम के साथ सारणिक का विस्तार लिख सकते हैं:

प्रमेय:किसी भी वर्ग मैट्रिक्स के लिए समानता कायम है ,

क्रोनकर प्रतीक कहाँ और है

2) त्रिकोणीय आकार में कटौती की विधि निर्धारकों की सातवीं संपत्ति के आधार पर।

उदाहरण: निर्धारक की गणना करें: पहली पंक्ति को अन्य सभी से घटाएँ।

3) पुनरावृत्ति संबंध विधि किसी दिए गए निर्धारक को उसी प्रकार के, लेकिन निचले क्रम के निर्धारक के माध्यम से व्यक्त करने की अनुमति देता है।

क्रमपरिवर्तन, व्युत्क्रमण।

संख्याओं की कोई भी व्यवस्था 1, 2, ..., एनकिसी विशिष्ट क्रम में, बुलाया गया विपर्यय से एनअक्षर (संख्याएँ)।

क्रमपरिवर्तन का सामान्य दृश्य: .

उनमें से कोई भी क्रमपरिवर्तन में दो बार नहीं होता है।

क्रमपरिवर्तन कहा जाता है यहां तक ​​की , यदि इसके तत्व सम संख्या में व्युत्क्रम बनाते हैं, और विषम अन्यथा।

क्रमपरिवर्तन में संख्याएँ k और p हैं उलटा (विकार), यदि k > p, लेकिन इस क्रमपरिवर्तन में k, p से पहले आता है।

क्रमपरिवर्तन के तीन गुण.

संपत्ति 1:विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या ( के बराबर है, पढ़ता है: " एनफैक्टोरियल")।

सबूत।क्रमपरिवर्तनों की संख्या उन तरीकों की संख्या से मेल खाती है जिनमें विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की रचना की जा सकती है। क्रमपरिवर्तन की रचना करते समय जे 1 आप 1, 2, ..., में से कोई भी संख्या ले सकते हैं एन, क्या दिया एनअवसर। अगर जे 1 पहले से ही चयनित है, तो जैसे जे 2 आप बचे हुए में से एक ले सकते हैं एन- 1 नंबर, और आपके द्वारा चुने जा सकने वाले तरीकों की संख्या जे 1 और जे 2 बराबर होंगे, आदि। क्रमपरिवर्तन में अंतिम संख्या को केवल एक ही तरीके से चुना जा सकता है, जो देता है तरीके, और इसलिए क्रमपरिवर्तन।

संपत्ति 2:प्रत्येक स्थानान्तरण क्रमपरिवर्तन की समता को बदल देता है।

सबूत।मामला एक।ट्रांसपोज़्ड संख्याएँ एक दूसरे के बगल में क्रमपरिवर्तन में हैं, अर्थात। ऐसा लग रहा है (..., क,पी, ...), यहां दीर्घवृत्त (...) उन संख्याओं को चिह्नित करता है जो स्थानान्तरण के दौरान अपने स्थान पर बने रहते हैं। ट्रांसपोज़िशन इसे फॉर्म के क्रमपरिवर्तन में बदल देता है (..., पी, क,...). इन क्रमपरिवर्तनों में, प्रत्येक संख्या क,आरसंख्याओं को यथास्थान रखते हुए समान व्युत्क्रमण करता है। यदि संख्याएँ कऔर पीपहले से व्युत्क्रम संकलित नहीं किए गए हैं (अर्थात क < आर), फिर नए क्रमपरिवर्तन में एक और व्युत्क्रम दिखाई देगा और व्युत्क्रमों की संख्या एक से बढ़ जाएगी; अगर कऔर आरएक व्युत्क्रम का गठन किया, तो स्थानांतरण के बाद व्युत्क्रमों की संख्या एक से कम हो जाएगी। किसी भी स्थिति में, क्रमपरिवर्तन की समता बदल जाती है।

संपत्ति 3:जब पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो निर्धारक संकेत बदल देता है।

17. निर्धारकों के गुण: एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के निर्धारक, निर्धारक में पंक्तियों की अदला-बदली, समान पंक्तियों वाले मैट्रिक्स के निर्धारक।

संपत्ति 1.स्थानांतरण के दौरान निर्धारक नहीं बदलता है, अर्थात।

सबूत।

टिप्पणी। निर्धारकों के निम्नलिखित गुण केवल स्ट्रिंग्स के लिए तैयार किए जाएंगे। इसके अलावा, संपत्ति 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि स्तंभों में समान गुण होंगे।

संपत्ति 6. किसी सारणिक की दो पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, इसे -1 से गुणा किया जाता है।

सबूत।

संपत्ति 4.दो समान तारों वाला निर्धारक 0 है:

सबूत:

18. सारणिक के गुण: एक स्ट्रिंग के अनुदिश सारणिक का विस्तार।

नाबालिगकिसी निर्धारक का तत्व किसी दिए गए तत्व से उस पंक्ति और स्तंभ को काटकर प्राप्त किया गया निर्धारक होता है जिसमें चयनित तत्व दिखाई देता है।

पदनाम: निर्धारक का चयनित तत्व, उसका गौण।

उदाहरण। के लिए

बीजगणितीय पूरकनिर्धारक के तत्व को इसका लघु कहा जाता है यदि इस तत्व के सूचकांकों का योग i+j एक सम संख्या है, या यदि i+j विषम है तो लघु के विपरीत संख्या है, अर्थात।

आइए तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - तथाकथित पंक्ति या स्तंभ विस्तार। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करते हैं:

प्रमेय:सारणिक इसकी किसी भी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों और उनके बीजगणितीय पूरकों के उत्पादों के योग के बराबर है, अर्थात: जहां मैं=1,2,3.

सबूत।

आइए हम सारणिक की पहली पंक्ति के लिए प्रमेय को सिद्ध करें, क्योंकि किसी भी अन्य पंक्ति या स्तंभ के लिए कोई समान तर्क कर सकता है और समान परिणाम प्राप्त कर सकता है।

आइए पहली पंक्ति के तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक खोजें:

आप परिभाषा 1.5 का उपयोग करके पाई गई समानता के बाएं और दाएं पक्षों के मूल्यों की तुलना करके इस संपत्ति को स्वयं साबित कर सकते हैं।

माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 45.

मास्को शहर.

10वीं कक्षा "बी" गोरोखोव एवगेनी का छात्र

कोर्सवर्क (ड्राफ्ट)।

मैट्रिक्स और निर्धारक के सिद्धांत का परिचय .

1996

1. मैट्रिक्स।

1.1 मैट्रिक्स की अवधारणा।

आव्यूह संख्याओं की एक आयताकार तालिका है जिसमें एक निश्चित मात्रा होती है एम पंक्तियाँ और एक निश्चित संख्या एन कॉलम. नंबर एम और एन कहा जाता है आदेश matrices. अगर एम = एन , मैट्रिक्स को वर्ग कहा जाता है, और संख्या एम = एन - उसकी क्रम में .

1.2 मैट्रिसेस पर बुनियादी संचालन।

आव्यूहों पर बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएं एक आव्यूह को एक संख्या से गुणा करना, आव्यूहों को जोड़ना और गुणा करना है।

आइए मैट्रिक्स पर बुनियादी संचालन को परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ें।

मैट्रिक्स जोड़ : दो आव्यूहों का योग, उदाहरण के लिए: ए और बी , पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या, दूसरे शब्दों में, समान क्रम एम और एन मैट्रिक्स सी कहा जाता है = ( साथ आईजे )( मैं = 1, 2, …एम; जे = 1, 2, …एन) वही आदेश एम और एन , तत्व सीज जो बराबर हैं.

सीज = ऐज + बिज (आई = 1, 2, …, एम; जे = 1, 2, …, एन) ( 1.2 )

दो आव्यूहों के योग को दर्शाने के लिए अंकन का उपयोग किया जाता है सी = ए + बी. योग आव्यूहों की संक्रिया को उनका कहा जाता है जोड़ना

तो परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

+ =

=

आव्यूहों के योग की परिभाषा से, या अधिक सटीक रूप से सूत्र से ( 1.2 ) यह तुरंत इस प्रकार है कि आव्यूहों को जोड़ने की प्रक्रिया में वास्तविक संख्याओं को जोड़ने की प्रक्रिया के समान गुण होते हैं, अर्थात्:

क्रमचयी गुणधर्म: ए + बी = बी + ए

संपत्ति का संयोजन: (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)

ये गुण दो या दो से अधिक मैट्रिक्स जोड़ते समय मैट्रिक्स शब्दों के क्रम के बारे में चिंता न करना संभव बनाते हैं।

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना :

मैट्रिक्स उत्पाद एक वास्तविक संख्या के लिए मैट्रिक्स कहा जाता है सी = (सीआईजे) (आई = 1, 2, …, एम; जे = 1, 2, …, एन) , जिसके तत्व समान हैं

सीज = ऐज (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)। ( 1.3 )

मैट्रिक्स और संख्या के उत्पाद को दर्शाने के लिए, नोटेशन का उपयोग किया जाता है सी= ए या सी=ए . किसी मैट्रिक्स के उत्पाद को किसी संख्या से बनाने की प्रक्रिया को मैट्रिक्स को इस संख्या से गुणा करना कहा जाता है।

सीधे सूत्र से ( 1.3 ) यह स्पष्ट है कि किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने पर निम्नलिखित गुण होते हैं:

आव्यूहों के योग के संबंध में वितरणात्मक संपत्ति:

( ए + बी) = ए+ बी

एक संख्यात्मक कारक के संबंध में साहचर्य संपत्ति:

( ) ए= ( ए)

संख्याओं के योग के संबंध में वितरणात्मक संपत्ति:

( + ) ए= ए + ए .

टिप्पणी : दो आव्यूहों का अंतर ए और बी समान आदेशों के लिए ऐसे मैट्रिक्स को कॉल करना स्वाभाविक है सी समान आदेशों का, जो मैट्रिक्स के साथ योग में है बी मैट्रिक्स देता है ए . दो मैट्रिक्स के बीच अंतर को दर्शाने के लिए, एक प्राकृतिक संकेतन का उपयोग किया जाता है: सी = ए - बी.

मैट्रिक्स गुणन :

मैट्रिक्स उत्पाद ए = (एआईजे) (आई = 1, 2, …, एम; जे = 1, 2, …, एन) , क्रमशः समान ऑर्डर होना एम और एन , प्रति मैट्रिक्स बी = (बिज) (आई = 1, 2, …, एन;

जे = 1, 2,…, पी) , क्रमशः समान ऑर्डर होना एन और पी , को मैट्रिक्स कहा जाता है सी= (साथ ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , जिसके क्रम संगत रूप से बराबर हों एम और पी , और तत्व सीज , सूत्र द्वारा परिभाषित

सीज = (आई = 1, 2, …, एम; जे = 1, 2, …, पी) ( 1.4 )

मैट्रिक्स के उत्पाद को निरूपित करने के लिए ए मैट्रिक्स के लिए बी रिकॉर्डिंग का उपयोग करें

सी=एबी . मैट्रिक्स उत्पाद बनाने का संचालन ए मैट्रिक्स के लिए बी बुलाया गुणा ये मैट्रिक्स. उपरोक्त परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है आव्यूह ए किसी भी मैट्रिक्स से गुणा नहीं किया जा सकता बी : यह आवश्यक है कि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या ए था के बराबर होती है मैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या बी . दोनों कार्यों के क्रम में अब और बी ० ए। न केवल परिभाषित थे, बल्कि उनका क्रम भी समान था, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दोनों आव्यूह ए और बी एक ही क्रम के वर्ग आव्यूह थे।

सूत्र ( 1.4 ) मैट्रिक्स तत्वों की रचना के लिए एक नियम है सी ,

जो मैट्रिक्स का उत्पाद है ए मैट्रिक्स के लिए बी . यह नियम मौखिक रूप से तैयार किया जा सकता है: तत्व सीज , चौराहे पर खड़ा हूं मैं वें पंक्ति और जे- वें मैट्रिक्स कॉलम सी=एबी , बराबर है संगत तत्वों के जोड़ीवार उत्पादों का योग मैं वें पंक्ति मैट्रिक्स ए और जे- वें मैट्रिक्स कॉलम बी . इस नियम के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, हम दूसरे क्रम के वर्ग आव्यूहों को गुणा करने का सूत्र प्रस्तुत करते हैं

=

सूत्र से ( 1.4 ) मैट्रिक्स उत्पाद के निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं: ए मैट्रिक्स के लिए बी :

संबंधी संपत्ति: ( एबी) सी = ए(बीसी);

आव्यूहों के योग के संबंध में वितरणात्मक संपत्ति:

(ए + बी) सी = एसी + बीसी या ए (बी + सी) = एबी + एसी।

केवल समान क्रम के वर्ग आव्यूहों के लिए आव्यूहों के उत्पाद की क्रमपरिवर्तन संपत्ति का प्रश्न उठाना समझ में आता है। प्राथमिक उदाहरण यह दर्शाते हैं एक ही क्रम के दो वर्ग आव्यूहों के उत्पादों में, आम तौर पर, रूपान्तरण गुण नहीं होता है। वास्तव में, अगर हम डालते हैं

ए= , बी = , वह एबी = , ए बीए =

वही मैट्रिक्स जिनके लिए उत्पाद में कम्यूटेशन गुण होता है, आमतौर पर कहलाते हैं आवागमन.

वर्ग आव्यूहों के बीच, हम तथाकथित के वर्ग पर प्रकाश डालते हैं विकर्ण आव्यूह, जिनमें से प्रत्येक के मुख्य विकर्ण के बाहर स्थित तत्व शून्य के बराबर हैं। मुख्य विकर्ण पर मेल खाने वाले तत्वों वाले सभी विकर्ण आव्यूहों में, दो आव्यूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इनमें से पहला मैट्रिक्स तब प्राप्त होता है जब मुख्य विकर्ण के सभी तत्व एक के बराबर होते हैं, जिसे पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है एन- इ . दूसरा मैट्रिक्स शून्य के बराबर सभी तत्वों के साथ प्राप्त होता है और इसे शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है एन- क्रम और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है हे . आइए मान लें कि एक मनमाना मैट्रिक्स है ए , तब

एई=ईए=ए , एओ=ओए=ओ .

सूत्रों में से पहला सूत्र पहचान मैट्रिक्स की विशेष भूमिका को दर्शाता है इ , संख्या द्वारा निभाई गई भूमिका के समान 1 वास्तविक संख्याओं को गुणा करते समय. जहाँ तक शून्य मैट्रिक्स की विशेष भूमिका का प्रश्न है के बारे में , तो यह न केवल सूत्रों के दूसरे से, बल्कि प्राथमिक सत्यापन योग्य समानता से भी प्रकट होता है: ए+ओ=ओ+ए=ए . शून्य मैट्रिक्स की अवधारणा को वर्ग मैट्रिक्स के लिए पेश नहीं किया जा सकता है।

2. निर्धारक.

2.1 निर्धारक की अवधारणा.

सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि निर्धारक केवल वर्ग प्रकार के आव्यूहों के लिए मौजूद होते हैं, क्योंकि अन्य प्रकार के आव्यूहों के लिए कोई निर्धारक नहीं होते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के सिद्धांत और कुछ अन्य मुद्दों में, अवधारणा का उपयोग करना सुविधाजनक है सिद्ध , या सिद्ध .

2.2 निर्धारकों की गणना।

मैट्रिक्स के रूप में लिखी गई किन्हीं चार संख्याओं पर विचार करें दो पंक्तियों में और प्रत्येक दो कॉलम , सिद्ध या सिद्ध , इस तालिका की संख्याओं से बनी संख्या है AD-ई.पू. , इस प्रकार दर्शाया गया है: . ऐसे निर्धारक को कहा जाता है द्वितीय क्रम निर्धारक चूँकि इसे संकलित करने के लिए दो पंक्तियों और दो स्तंभों की एक तालिका ली गई थी। वे संख्याएँ जो सारणिक बनाती हैं, कहलाती हैं तत्वों ; साथ ही वे कहते हैं कि तत्व ए और डी पूरा करना मुख्य विकर्ण निर्धारक, और तत्व बी और सी उसका पार्श्व विकर्ण . यह देखा जा सकता है कि सारणिक अपने मुख्य और द्वितीयक विकर्णों पर स्थित तत्वों के जोड़े के उत्पादों के अंतर के बराबर है। तीसरे और किसी अन्य क्रम का निर्धारक लगभग समान है, अर्थात्: मान लीजिए कि हमारे पास एक वर्ग मैट्रिक्स है . निम्नलिखित मैट्रिक्स का निर्धारक निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपको एक निश्चित क्रम याद है तो इसकी गणना काफी आसानी से की जाती है। एक सकारात्मक चिह्न के साथ मुख्य विकर्ण और तत्वों से बने त्रिकोण होते हैं, जिनकी एक भुजा मुख्य विकर्ण के समानांतर होती है, इस मामले में ये त्रिकोण हैं a12a23a31 , a13a21a32 .

भुजा के विकर्ण और उसके समांतर त्रिभुजों में ऋणात्मक चिन्ह होता है, अर्थात्। a11a23a32, a12a21a33 . इस प्रकार किसी भी क्रम के निर्धारक ज्ञात किये जा सकते हैं। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब यह विधि काफी जटिल हो जाती है, उदाहरण के लिए, जब मैट्रिक्स में बहुत सारे तत्व होते हैं, और निर्धारक की गणना करने के लिए आपको बहुत समय और ध्यान खर्च करने की आवश्यकता होती है।

निर्धारक की गणना करने का एक आसान तरीका है एन- ओह आदेश, कहां एन 2 . आइए किसी भी तत्व को गौण कहने पर सहमत हों ऐज मैट्रिक्स एन- मैट्रिक्स के अनुरूप प्रथम-क्रम निर्धारक जो हटाने के परिणामस्वरूप मैट्रिक्स से प्राप्त होता है मैं वें पंक्ति और जे- वां स्तंभ (वह पंक्ति और वह स्तंभ जिसके प्रतिच्छेदन पर एक तत्व है ऐज ). तत्व गौण ऐज हम प्रतीक द्वारा निरूपित करेंगे . इस नोटेशन में, ऊपरी सूचकांक पंक्ति संख्या को दर्शाता है, निचला सूचकांक स्तंभ संख्या को और बार ऊपर को दर्शाता है एम इसका मतलब है कि निर्दिष्ट पंक्ति और स्तंभ को काट दिया गया है। आदेश का निर्धारक एन , मैट्रिक्स के अनुरूप, हम संख्या को बराबर कहते हैं और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है .

प्रमेय 1.1 लाइन नंबर जो भी हो मैं ( मैं =1, 2…, एन) , निर्धारक के लिए एन- परिमाण का प्रथम क्रम सूत्र मान्य है

= डेट ए =

बुलाया मैं- वें पंक्ति . हम इस बात पर जोर देते हैं कि इस सूत्र में वह घातांक जिस पर संख्या बढ़ाई गई है (-1) उस पंक्ति और स्तंभ संख्याओं के योग के बराबर है जिसके चौराहे पर तत्व स्थित है ऐज .

प्रमेय 1.2 कॉलम नंबर जो भी हो जे ( जे =1, 2…, एन) , निर्धारक के लिए एन वें क्रम का सूत्र मान्य है

= डेट ए =

बुलाया इस निर्धारक का विस्तार जे- वां स्तंभ .

2.3 निर्धारकों के मूल गुण।

निर्धारकों में ऐसे गुण भी होते हैं जो उनकी गणना करने के कार्य को आसान बनाते हैं। तो, नीचे हम कई गुण स्थापित करते हैं जो एक मनमाना निर्धारक के पास होते हैं एन -वाँ क्रम.

1 . पंक्ति-स्तंभ समानता गुण . स्थानांतरण किसी भी मैट्रिक्स या निर्धारक का एक ऑपरेशन है जिसके परिणामस्वरूप पंक्तियों और स्तंभों को उनके क्रम को संरक्षित करते हुए स्वैप किया जाता है। मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन के परिणामस्वरूप ए परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स कहा जाता है, जिसे मैट्रिक्स के संबंध में ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है ए और प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है ए .

निर्धारक की पहली संपत्ति निम्नानुसार तैयार की गई है: स्थानांतरण के दौरान, निर्धारक का मूल्य संरक्षित है, यानी। = .

2 . दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करते समय एंटीसिममेट्री गुण . जब दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) की अदला-बदली की जाती है, तो निर्धारक अपना निरपेक्ष मान बनाए रखता है, लेकिन चिह्न को विपरीत में बदल देता है। दूसरे क्रम के निर्धारक के लिए, इस संपत्ति को प्राथमिक तरीके से सत्यापित किया जा सकता है (दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना के सूत्र से यह तुरंत पता चलता है कि निर्धारक केवल संकेत में भिन्न होते हैं)।

3 . निर्धारक की रैखिक संपत्ति. हम कहेंगे कि कुछ स्ट्रिंग ( ए) अन्य दो तारों का एक रैखिक संयोजन है ( बी और सी ) गुणांक के साथ और . रैखिक संपत्ति को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: यदि निर्धारक में एन -वाँ क्रम कुछ मैं -वीं पंक्ति गुणांकों वाली दो पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है और , वह = + , कहाँ

– निर्धारक जो है मैं -वीं पंक्ति रैखिक संयोजन की दो पंक्तियों में से एक के बराबर है, और अन्य सभी पंक्तियाँ समान हैं , ए - एक निर्धारक जो है मैं- i स्ट्रिंग दो स्ट्रिंग्स में से दूसरी स्ट्रिंग के बराबर है, और अन्य सभी स्ट्रिंग्स समान हैं .

ये तीन गुण निर्धारक के मुख्य गुण हैं, जो उसकी प्रकृति को प्रकट करते हैं। निम्नलिखित पाँच गुण हैं तार्किक परिणाम तीन मुख्य गुण.

परिणाम 1. दो समान पंक्तियों (या स्तंभों) वाला एक निर्धारक शून्य के बराबर है।

परिणाम 2. किसी सारणिक की किसी पंक्ति (या किसी स्तंभ) के सभी तत्वों को किसी संख्या से गुणा करना ए इस संख्या से सारणिक को गुणा करने के बराबर है ए . दूसरे शब्दों में, किसी सारणिक की एक निश्चित पंक्ति (या कुछ स्तंभ) के सभी तत्वों का सामान्य गुणनखंड इस सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है।

परिणाम 3. यदि एक निश्चित पंक्ति (या कुछ स्तंभ) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर है।

परिणाम 4. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) के तत्व आनुपातिक हैं, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

परिणाम 5. यदि सारणिक की एक निश्चित पंक्ति (या कुछ स्तंभ) के तत्वों में हम किसी अन्य पंक्ति (दूसरे स्तंभ) के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं, तो एक मनमाना कारक द्वारा गुणा किया जाता है , तो निर्धारक का मान नहीं बदलता है। परिणाम 5, रैखिक संपत्ति की तरह, एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण की अनुमति देता है, जिसे मैं स्ट्रिंग्स के लिए दूंगा: यदि एक निर्धारक की एक निश्चित पंक्ति के तत्वों में हम एक स्ट्रिंग के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं जो कई अन्य पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है इस निर्धारक का (किसी भी गुणांक के साथ), तो निर्धारक का मान नहीं बदलेगा। निर्धारकों की ठोस गणना में उपफल 5 का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

3. रैखिक समीकरणों की प्रणाली.

3.1 बुनियादी परिभाषाएँ।

…….

3.2 रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की अनुकूलता के लिए शर्त।

…….

3.3 क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

यह ज्ञात है कि मैट्रिक्स का उपयोग करके हम समीकरणों की विभिन्न प्रणालियों को हल कर सकते हैं, और ये प्रणालियाँ किसी भी आकार की हो सकती हैं और इनमें कई संख्या में चर हो सकते हैं। कुछ व्युत्पत्तियों और सूत्रों के साथ, समीकरणों की विशाल प्रणालियों को हल करना काफी तेज़ और आसान हो जाता है।

विशेष रूप से, मैं क्रैमर और गॉस विधियों का वर्णन करूंगा। सबसे आसान तरीका क्रैमर विधि है (मेरे लिए), या जैसा कि इसे क्रैमर फॉर्मूला भी कहा जाता है। तो, मान लीजिए कि हमारे पास समीकरणों की कुछ प्रणाली है . मुख्य निर्धारक, जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, चरों के गुणांकों से बना एक मैट्रिक्स है। वे कॉलम क्रम में भी दिखाई देते हैं, यानी पहले कॉलम में वे गुणांक होते हैं जो यहां पाए जाते हैं एक्स , दूसरे कॉलम में य , और इसी तरह। यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि निम्नलिखित चरणों में हम एक चर के लिए गुणांक के प्रत्येक कॉलम को समीकरण उत्तरों के एक कॉलम से बदल देंगे। इसलिए, जैसा कि मैंने कहा, हम पहले वेरिएबल के कॉलम को उत्तर कॉलम से बदलते हैं, फिर दूसरे पर, निश्चित रूप से यह सब इस पर निर्भर करता है कि हमें कितने वेरिएबल खोजने की आवश्यकता है।

1 = , 2 = , 3 = .

फिर आपको निर्धारक खोजने की जरूरत है प्रणाली के निर्धारक .

3.4 गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

…….

4. व्युत्क्रम मैट्रिक्स।

4.1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा।

4.2 व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना।

ग्रंथ सूची.

वी. ए. इलिन, ई. जी. पॉज़्न्याक "रैखिक बीजगणित"

2. जी. डी. किम, ई. वी. शिकिन "रैखिक बीजगणित में प्राथमिक परिवर्तन"

विषय 1. मैट्रिक्स और मैट्रिक्स निर्धारक

हम क्या सीखते हैं:

रैखिक बीजगणित की मूल अवधारणाएँ: मैट्रिक्स, निर्धारक।

हम क्या सीखेंगे:

मैट्रिक्स पर संचालन निष्पादित करें;

दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों के साथ गणना करें।

विषय 1.1. मैट्रिक्स की अवधारणा. मैट्रिक्स पर कार्रवाई

∆ आव्यूह एक आयताकार तालिका है जिसमें कुछ गणितीय वस्तुओं से भरी पंक्तियाँ और स्तंभ हैं।

मैट्रिक्स को बड़े लैटिन अक्षरों में दर्शाया गया है, तालिका स्वयं कोष्ठक में संलग्न है (कम अक्सर वर्ग या अन्य आकृतियों में)।

तत्वों ए आईजेबुलाया मैट्रिक्स तत्व . पहला सूचकांक मैं- पंक्ति संख्या, दूसराजे- कॉलम नंबर. प्रायः तत्व संख्याएँ होते हैं।

प्रविष्टि "मैट्रिक्स" एआकार है एम× एन» इसका मतलब है कि हम एक मैट्रिक्स के बारे में बात कर रहे हैंएमलाइनें और एनकॉलम.

अगर एम = 1, ए एन > 1, तो मैट्रिक्स हैमैट्रिक्स - पंक्ति . अगर एम > 1, ए एन = 1, तो मैट्रिक्स हैमैट्रिक्स - स्तंभ .

एक मैट्रिक्स जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से मेल खाती है (एम= एन), बुलाया वर्ग .

.

तत्वों ए 11 , ए 22 ,…, ए एन वर्ग मैट्रिक्सए (आकार एन× एन) रूप मुख्य विकर्ण , तत्व ए 1 एन , ए 2 एन -1 ,…, ए एन 1 - पार्श्व विकर्ण .

मैट्रिक्स में
तत्व 5; 7 मुख्य विकर्ण बनाते हैं, तत्व -5; 8 - पार्श्व विकर्ण.

मैट्रिसेस ए और बी कहा जाता है बराबर (ए= बी), यदि उनका आकार समान है और उनके तत्व समान स्थिति में मेल खाते हैं, अर्थात।ए आईजे = बी आईजे .

शिनाख्त सांचा एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के तत्व एक के बराबर होते हैं, और शेष तत्व शून्य के बराबर होते हैं। पहचान मैट्रिक्स को आमतौर पर ई द्वारा दर्शाया जाता है।

आव्यूह पक्षांतरित आकार के मैट्रिक्स ए के लिएएम× एन, को मैट्रिक्स ए कहा जाता हैटी आकार एन× एम, मैट्रिक्स ए से प्राप्त किया जाता है, यदि इसकी पंक्तियों को स्तंभों में लिखा जाता है, और इसके स्तंभों को पंक्तियों में लिखा जाता है।

आव्यूहों पर अंकगणितीय संक्रियाएँ।

ढूँढ़ने के लिए आव्यूहों का योग ए और बी समान आयाम के, समान सूचकांकों (समान स्थानों पर खड़े) वाले तत्वों को जोड़ना आवश्यक है:

.

मैट्रिक्स जोड़ क्रमविनिमेय है, अर्थात A + B = B + A.

ढूँढ़ने के लिए मैट्रिक्स अंतर ए और बी समान आयाम के, समान सूचकांक वाले तत्वों का अंतर ज्ञात करना आवश्यक है:

.

को गुणा मैट्रिक्स एप्रति संख्या क, मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को इस संख्या से गुणा करना आवश्यक है:

.

काम मैट्रिक्स अब केवल मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया जा सकता हैए आकार एम× एन और बी आकार एन× पी, अर्थात। मैट्रिक्स कॉलम की संख्याए मैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिएमें. जिसमें ए· बी= सी, आव्यूह सीआकार है एम× पी, और उसका तत्व सी आईजे एक अदिश उत्पाद के रूप में पाया जाता हैमैंवांमैट्रिक्स पंक्तियाँ एपर जेवां मैट्रिक्स कॉलमबी: ( मैं=1,2,…, एम; जे=1,2,…, पी).

!! दरअसल हर पंक्ति की जरूरत हैमैट्रिक्स ए (बाईं ओर खड़े होकर) प्रत्येक मैट्रिक्स कॉलम द्वारा अदिश रूप से गुणा करें बी (दाहिनी ओर खड़ा है).

अर्थात् आव्यूहों का गुणनफल क्रमविनिमेय नहीं हैА·В ≠ В·А . ▲

☺ सैद्धांतिक सामग्री को समेकित करने के लिए उदाहरणों का विश्लेषण करना आवश्यक है।

उदाहरण 1. आव्यूहों का आकार निर्धारित करना।

उदाहरण 2. मैट्रिक्स तत्वों की परिभाषा.

मैट्रिक्स तत्व में ए 11 = 2, ए 12 = 5, ए 13 = 3.

मैट्रिक्स तत्व में ए 21 = 2, ए 13 = 0.

उदाहरण 3: मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन करना।

,

उदाहरण 4. मैट्रिक्स पर संचालन करना।

खोजो 2 ए- बी, अगर , .

समाधान। .

उदाहरण 5. आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए और .

समाधान। मैट्रिक्स का आकारए – 3 × 2 , मैट्रिक्स में – 2 × 2 . इसलिए उत्पादए·बी आप इसे पा सकते हैं। हम पाते हैं:

काम वी.एपाया नहीं जा सकता.

उदाहरण 6. खोजें ए 3 यदि ए =
.

समाधान। ए 2 = ·=
=
,

ए 3 = ·=
=
.

उदाहरण 6. खोजें 2 ए 2 + 3 ए + 5 इपर
,
.

समाधान। ,

,
,

,
.

कार्यों को पूरा करना है

1. तालिका भरें.

2. मैट्रिसेस पर ऑपरेशन निष्पादित करें
और
:

3. मैट्रिक्स गुणन करें:

4. ट्रांसपोज़ मैट्रिसेस:

? 1. मैट्रिक्स क्या है?

2. किसी मैट्रिक्स को रैखिक बीजगणित के अन्य तत्वों से कैसे अलग करें?

3. मैट्रिक्स का आकार कैसे निर्धारित करें? यह क्यों आवश्यक है?

4. प्रविष्टि का क्या अर्थ है? ए आईजे ?

5. निम्नलिखित अवधारणाओं का स्पष्टीकरण दें: मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण, द्वितीयक विकर्ण।

6. मैट्रिसेस पर कौन से ऑपरेशन किए जा सकते हैं?

7. मैट्रिक्स गुणन ऑपरेशन का सार बताएं?

8. क्या किसी आव्यूह को गुणा किया जा सकता है? क्यों?

विषय 1.2. दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारक : एम उनकी गणना के तरीके

∆ यदि A एक वर्ग आव्यूह है एन-वाँ क्रम, तो हम इसके साथ एक संख्या को जोड़ सकते हैं जिसे कहा जाता है सिद्ध नौवाँ क्रमऔर |ए| द्वारा निरूपित किया जाता है। अर्थात्, सारणिक को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाता है, लेकिन कोष्ठक के बजाय यह सीधे कोष्ठक में संलग्न होता है।

!! कभी-कभी निर्धारकों को अंग्रेजी तरीके से निर्धारक कहा जाता है, अर्थात = डेट ए.

प्रथम क्रम निर्धारक (आकार के मैट्रिक्स ए का निर्धारक1 × 1 ) वह तत्व है जिसमें मैट्रिक्स ए शामिल है, यानी.

द्वितीय क्रम निर्धारक (मैट्रिक्स निर्धारकएक आकार 2 × 2 ) एक संख्या है जिसे नियम का उपयोग करके पाया जा सकता है:

(मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर तत्वों का उत्पाद घटा द्वितीयक विकर्ण पर तत्वों का उत्पाद)।

तीसरा क्रम निर्धारक (मैट्रिक्स निर्धारकएक आकार 3 × 3 ) एक संख्या है जिसे "त्रिकोण" नियम का उपयोग करके पाया जा सकता है:

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आप एक सरल नियम का उपयोग कर सकते हैं - दिशाओं का नियम (समानांतर रेखाएं)।

दिशा नियम : साथ निर्धारक के अधिकार को पहले दो स्तंभों में जोड़ा जाता है, मुख्य विकर्ण और उसके समानांतर विकर्णों पर तत्वों के उत्पादों को प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है; और द्वितीयक विकर्ण और उसके समानांतर विकर्णों के तत्वों का गुणनफल ऋण चिह्न के साथ होता है।

!! निर्धारकों की गणना करने के लिए, आप उनके गुणों का उपयोग कर सकते हैं, जो किसी भी क्रम के निर्धारकों के लिए मान्य हैं।

निर्धारकों के गुण:

1° . मैट्रिक्स ए का निर्धारक ट्रांसपोज़िशन के दौरान नहीं बदलता है, यानी। |ए| = |एटी |. यह गुण पंक्तियों और स्तंभों की समानता को दर्शाता है।

2° . दो पंक्तियों (दो स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करते समय, निर्धारक अपना पिछला मान बरकरार रखता है, लेकिन चिह्न उलट जाता है।

4° . यदि किसी पंक्ति या स्तंभ में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उसे निर्धारक चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

परिणाम 4.1. यदि किसी सारणिक की किसी श्रृंखला के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो सारणिक भी शून्य के बराबर है।

परिणाम 4.2. यदि किसी सारणिक की किसी श्रृंखला के तत्व उसके समानांतर किसी श्रृंखला के संगत तत्वों के समानुपाती होते हैं, तो सारणिक शून्य के बराबर होता है।▲

☺ निर्धारकों की गणना के लिए नियमों का विश्लेषण करना आवश्यक है।

उदाहरण 1: गणनादूसरे क्रम के निर्धारक,
.

समाधान।

माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 45.

मास्को शहर.

10वीं कक्षा "बी" गोरोखोव एवगेनी का छात्र

कोर्सवर्क (ड्राफ्ट)।

मैट्रिक्स और निर्धारक के सिद्धांत का परिचय .

1. मैट्रिसेस................................................... ....................................................... ............... ................................... ...................... ......

1.1 मैट्रिक्स की अवधारणा...................................................... ................................................... ............ ...................................

1.2 मैट्रिसेस पर बुनियादी संचालन................................................... ....... ................................................... .............. .

2. निर्धारक................................................... ....................................................... ............... ................................... ........

2.1 निर्धारक की अवधारणा...................................................... ........ ....................................................... .............. .................................

2.2 निर्धारकों की गणना................................................. ................................................... ............ ...............

2.3 निर्धारकों के मूल गुण……………………………… ....... ................................................... ..............

3. रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ....................................... ........ ....................................................... .............. .

3.1 बुनियादी परिभाषाएँ.................................................. .... ....................................................... .........................................

3.2 रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए संगति की स्थिति.................................................. .......... ...............

3.3 क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना...................................... ........... .........

3.4 गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना................................................. ............ ...........

4. व्युत्क्रम मैट्रिक्स................................................... ................................................... ............ ...................................

4.1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा................................................... ....... ................................................... .........................................

4.2 व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना...................................................... ........ ....................................................... .............. ........

ग्रंथ सूची................................................. . .................................................. ......................................

आव्यूह संख्याओं की एक आयताकार तालिका है जिसमें एक निश्चित मात्रा होती है एम पंक्तियाँ और एक निश्चित संख्या एन कॉलम. नंबर एम और एन कहा जाता है आदेश matrices. अगर एम = एन , मैट्रिक्स को वर्ग कहा जाता है, और संख्या एम = एन -- उसकी क्रम में .

आव्यूहों पर बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएं एक आव्यूह को एक संख्या से गुणा करना, आव्यूहों को जोड़ना और गुणा करना है।

आइए मैट्रिक्स पर बुनियादी संचालन को परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ें।

मैट्रिक्स जोड़: दो आव्यूहों का योग, उदाहरण के लिए: ए और बी , पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या, दूसरे शब्दों में, समान क्रम एम और एन मैट्रिक्स सी कहा जाता है = ( साथ आईजे )( मैं = 1, 2, …एम; जे = 1, 2, …एन) वही आदेश एम और एन , तत्व सीज जो बराबर हैं.

सीज = ऐज + बिज (आई = 1, 2, …, एम; जे = 1, 2, …, एन) (1.2 )

दो आव्यूहों के योग को दर्शाने के लिए अंकन का उपयोग किया जाता है सी = ए + बी. योग आव्यूहों की संक्रिया को उनका कहा जाता है जोड़ना

तो परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

+ =

=

आव्यूहों के योग की परिभाषा से, या अधिक सटीक रूप से सूत्र से ( 1.2 ) यह तुरंत इस प्रकार है कि आव्यूहों को जोड़ने की प्रक्रिया में वास्तविक संख्याओं को जोड़ने की प्रक्रिया के समान गुण होते हैं, अर्थात्:

1) क्रमचयी गुणधर्म: ए + बी = बी + ए

2) संपत्ति का संयोजन: (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)

ये गुण दो या दो से अधिक मैट्रिक्स जोड़ते समय मैट्रिक्स शब्दों के क्रम के बारे में चिंता न करना संभव बनाते हैं।

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना :

मैट्रिक्स उत्पाद किसी वास्तविक संख्या को मैट्रिक्स कहा जाता है सी = (सीआईजे) (आई = 1, 2, …, एम; जे = 1, 2, …, एन) , जिसके तत्व समान हैं

सीज = ऐज (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)। (1.3 )

मैट्रिक्स और संख्या के उत्पाद को दर्शाने के लिए, नोटेशन का उपयोग किया जाता है सी= ए या सी=ए . किसी मैट्रिक्स के उत्पाद को किसी संख्या से बनाने की प्रक्रिया को मैट्रिक्स को इस संख्या से गुणा करना कहा जाता है।

सीधे सूत्र से ( 1.3 ) यह स्पष्ट है कि किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने पर निम्नलिखित गुण होते हैं:

1) आव्यूहों के योग के संबंध में वितरणात्मक संपत्ति:

( ए + बी) = ए+ बी

2) एक संख्यात्मक कारक के संबंध में साहचर्य संपत्ति:

() ए= ( ए)

3) संख्याओं के योग के संबंध में वितरणात्मक संपत्ति:

( + ) ए= ए + ए .

टिप्पणी :दो आव्यूहों का अंतर ए और बी समान आदेशों के लिए ऐसे मैट्रिक्स को कॉल करना स्वाभाविक है सी समान आदेशों का, जो मैट्रिक्स के साथ योग में है बी मैट्रिक्स देता है ए . दो मैट्रिक्स के बीच अंतर को दर्शाने के लिए, एक प्राकृतिक संकेतन का उपयोग किया जाता है: सी = ए - बी.

मैट्रिक्स गुणन :

मैट्रिक्स उत्पाद ए = (एआईजे) (आई = 1, 2, …, एम; जे = 1, 2, …, एन) , क्रमशः समान ऑर्डर होना एम और एन , प्रति मैट्रिक्स बी = (बिज) (आई = 1, 2, …, एन;

जे = 1, 2,…, पी) , क्रमशः समान ऑर्डर होना एन और पी , को मैट्रिक्स कहा जाता है सी= (साथ ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , जिसके क्रम संगत रूप से बराबर हों एम और पी , और तत्व सीज , सूत्र द्वारा परिभाषित

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

मैट्रिक्स के उत्पाद को निरूपित करने के लिए ए मैट्रिक्स के लिए बी रिकॉर्डिंग का उपयोग करें

सी=एबी . मैट्रिक्स उत्पाद बनाने का संचालन ए मैट्रिक्स के लिए बी बुलाया गुणाये मैट्रिक्स. उपरोक्त परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है आव्यूह ए किसी भी मैट्रिक्स से गुणा नहीं किया जा सकता बी : यह आवश्यक है कि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या ए था के बराबर होती हैमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या बी . दोनों कार्यों के क्रम में अब और बी ० ए। न केवल परिभाषित थे, बल्कि उनका क्रम भी समान था, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दोनों आव्यूह ए और बी एक ही क्रम के वर्ग आव्यूह थे।

सूत्र ( 1.4 ) मैट्रिक्स तत्वों की रचना के लिए एक नियम है सी ,

जो मैट्रिक्स का उत्पाद है ए मैट्रिक्स के लिए बी . यह नियम मौखिक रूप से तैयार किया जा सकता है: तत्व सीज , चौराहे पर खड़ा हूं मैं वें पंक्ति और जे- वें मैट्रिक्स कॉलम सी=एबी , बराबर है संगत तत्वों के जोड़ीवार उत्पादों का योग मैं वें पंक्ति मैट्रिक्स ए और जे- वें मैट्रिक्स कॉलम बी . इस नियम के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, हम दूसरे क्रम के वर्ग आव्यूहों को गुणा करने का सूत्र प्रस्तुत करते हैं

सूत्र से ( 1.4 ) मैट्रिक्स उत्पाद के निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं: ए मैट्रिक्स के लिए बी :

1) संबंधी संपत्ति: ( एबी) सी = ए(बीसी);

2) आव्यूहों के योग के संबंध में वितरणात्मक संपत्ति:

(ए + बी) सी = एसी + बीसी या ए (बी + सी) = एबी + एसी।

केवल समान क्रम के वर्ग आव्यूहों के लिए आव्यूहों के गुणनफल के क्रमपरिवर्तन गुण का प्रश्न उठाना तर्कसंगत है। प्रारंभिक उदाहरणों से पता चलता है कि एक ही क्रम के दो वर्ग आव्यूहों के गुणनफल में, आम तौर पर, रूपान्तरण गुण नहीं होता है। वास्तव में, अगर हम डालते हैं

ए = , बी = , वह एबी = , ए बीए =

वही मैट्रिक्स जिनके लिए उत्पाद में कम्यूटेशन गुण होता है, आमतौर पर कहलाते हैं आवागमन.

वर्ग आव्यूहों के बीच, हम तथाकथित के वर्ग पर प्रकाश डालते हैं विकर्णआव्यूह, जिनमें से प्रत्येक के मुख्य विकर्ण के बाहर स्थित तत्व शून्य के बराबर हैं। मुख्य विकर्ण पर मेल खाने वाले तत्वों वाले सभी विकर्ण आव्यूहों में, दो आव्यूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इनमें से पहला मैट्रिक्स तब प्राप्त होता है जब मुख्य विकर्ण के सभी तत्व एक के बराबर होते हैं, जिसे पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है एन- इ . दूसरा मैट्रिक्स शून्य के बराबर सभी तत्वों के साथ प्राप्त होता है और इसे शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है एन- क्रम और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है हे . आइए मान लें कि एक मनमाना मैट्रिक्स है ए , तब

एई=ईए=ए , एओ=ओए=ओ .

सूत्रों में से पहला पहचान मैट्रिक्स की विशेष भूमिका को दर्शाता है इ, संख्या द्वारा निभाई गई भूमिका के समान 1 वास्तविक संख्याओं को गुणा करते समय. जहाँ तक शून्य मैट्रिक्स की विशेष भूमिका का प्रश्न है के बारे में, तो यह न केवल सूत्रों के दूसरे से, बल्कि प्राथमिक सत्यापन योग्य समानता से भी प्रकट होता है: ए+ओ=ओ+ए=ए . शून्य मैट्रिक्स की अवधारणा को वर्ग मैट्रिक्स के लिए पेश नहीं किया जा सकता है।

सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि निर्धारक केवल वर्ग प्रकार के आव्यूहों के लिए मौजूद होते हैं, क्योंकि अन्य प्रकार के आव्यूहों के लिए कोई निर्धारक नहीं होते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के सिद्धांत और कुछ अन्य मुद्दों में, अवधारणा का उपयोग करना सुविधाजनक है सिद्ध, या सिद्ध .

आइए पंक्तियों में दो के मैट्रिक्स के रूप में लिखी गई किन्हीं चार संख्याओं पर विचार करें दो कॉलम , सिद्ध या सिद्ध, इस तालिका की संख्याओं से बनी संख्या है AD-ई.पू. , इस प्रकार दर्शाया गया है: .ऐसे निर्धारक को कहा जाता है द्वितीय क्रम निर्धारकचूँकि इसे संकलित करने के लिए दो पंक्तियों और दो स्तंभों की एक तालिका ली गई थी। वे संख्याएँ जो सारणिक बनाती हैं, कहलाती हैं तत्वों; साथ ही वे कहते हैं कि तत्व ए और डी पूरा करना मुख्य विकर्णनिर्धारक, और तत्व बी और सी उसका पार्श्व विकर्ण. यह देखा जा सकता है कि सारणिक अपने मुख्य और द्वितीयक विकर्णों पर स्थित तत्वों के जोड़े के उत्पादों के अंतर के बराबर है। तीसरे और किसी अन्य क्रम का निर्धारक लगभग समान है, अर्थात्: मान लीजिए कि हमारे पास एक वर्ग मैट्रिक्स है . निम्नलिखित मैट्रिक्स का निर्धारक निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपको एक निश्चित क्रम याद है तो इसकी गणना काफी आसानी से की जाती है। एक सकारात्मक चिह्न के साथ मुख्य विकर्ण और तत्वों से बने त्रिकोण होते हैं, जिनकी एक भुजा मुख्य विकर्ण के समानांतर होती है, इस मामले में ये त्रिकोण हैं a12a23a31, a13a21a32 .

भुजा के विकर्ण और उसके समांतर त्रिभुजों में ऋणात्मक चिन्ह होता है, अर्थात्। a11a23a32, a12a21a33 . इस प्रकार किसी भी क्रम के निर्धारक ज्ञात किये जा सकते हैं। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब यह विधि काफी जटिल हो जाती है, उदाहरण के लिए, जब मैट्रिक्स में बहुत सारे तत्व होते हैं, और निर्धारक की गणना करने के लिए आपको बहुत समय और ध्यान खर्च करने की आवश्यकता होती है।

निर्धारक की गणना करने का एक आसान तरीका है एन- ओह आदेश, कहां एन 2 . आइए किसी भी तत्व को गौण कहने पर सहमत हों ऐज मैट्रिक्स एन- मैट्रिक्स के अनुरूप प्रथम-क्रम निर्धारक जो हटाने के परिणामस्वरूप मैट्रिक्स से प्राप्त होता है मैं वें पंक्ति और जे- वां स्तंभ (वह पंक्ति और वह स्तंभ जिसके प्रतिच्छेदन पर एक तत्व है ऐज ). तत्व गौण ऐज चिन्ह द्वारा दर्शाया जायेगा। इस नोटेशन में, ऊपरी सूचकांक पंक्ति संख्या को दर्शाता है, निचला सूचकांक स्तंभ संख्या को और बार ऊपर को दर्शाता है एम इसका मतलब है कि निर्दिष्ट पंक्ति और स्तंभ को काट दिया गया है। आदेश का निर्धारक एन , मैट्रिक्स के अनुरूप, हम संख्या को बराबर कहते हैं और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है .

प्रमेय 1.1 लाइन नंबर जो भी हो मैं ( मैं =1, 2…, एन) , निर्धारक के लिए एन- परिमाण का प्रथम क्रम सूत्र मान्य है

= डेट ए =

बुलाया मैं- वें पंक्ति . हम इस बात पर जोर देते हैं कि इस सूत्र में वह घातांक जिस पर संख्या बढ़ाई गई है (-1) उस पंक्ति और स्तंभ संख्याओं के योग के बराबर है जिसके चौराहे पर तत्व स्थित है ऐज .

प्रमेय 1.2 कॉलम नंबर जो भी हो जे ( जे =1, 2…, एन) , निर्धारक के लिए एन वें क्रम का सूत्र मान्य है

= डेट ए =

बुलाया इस निर्धारक का विस्तार जे- वां स्तंभ .

निर्धारकों में ऐसे गुण भी होते हैं जो उनकी गणना करने के कार्य को आसान बनाते हैं। तो, नीचे हम कई गुण स्थापित करते हैं जो एक मनमाना निर्धारक के पास होते हैं एन -वाँ क्रम.

1. पंक्ति-स्तंभ समानता गुण . स्थानांतरणकिसी भी मैट्रिक्स या निर्धारक का एक ऑपरेशन है जिसके परिणामस्वरूप पंक्तियों और स्तंभों को उनके क्रम को संरक्षित करते हुए स्वैप किया जाता है। मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन के परिणामस्वरूप ए परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स कहा जाता है, जिसे मैट्रिक्स के संबंध में ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है ए और प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है ए .

निर्धारक की पहली संपत्ति निम्नानुसार तैयार की जाती है: ट्रांसपोज़िंग करते समय, निर्धारक का मान संरक्षित होता है, यानी।

2. दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करते समय एंटीसिममेट्री गुण. जब दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) की अदला-बदली की जाती है, तो निर्धारक अपना निरपेक्ष मान बनाए रखता है, लेकिन चिह्न को विपरीत में बदल देता है। दूसरे क्रम के निर्धारक के लिए, इस संपत्ति को प्राथमिक तरीके से सत्यापित किया जा सकता है (दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना के सूत्र से यह तुरंत पता चलता है कि निर्धारक केवल संकेत में भिन्न होते हैं)।

3. निर्धारक की रैखिक संपत्ति। हम कहेंगे कि कुछ स्ट्रिंग ( ए) अन्य दो तारों का एक रैखिक संयोजन है ( बी और सी ) गुणांक के साथ और . रैखिक संपत्ति को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: यदि निर्धारक में एन कुछ आदेश मैं वीं पंक्ति गुणांक और के साथ दो पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है = + , कहाँ

- एक निर्धारक जो है मैं -वीं पंक्ति रैखिक संयोजन की दो पंक्तियों में से एक के बराबर है, और अन्य सभी पंक्तियाँ समान हैं , a जिसके लिए निर्धारक है मैं- i स्ट्रिंग दो स्ट्रिंग्स में से दूसरी स्ट्रिंग के बराबर है, और अन्य सभी स्ट्रिंग्स समान हैं।

ये तीन गुण निर्धारक के मुख्य गुण हैं, जो उसकी प्रकृति को प्रकट करते हैं। निम्नलिखित पाँच गुण हैं तार्किक परिणामतीन मुख्य गुण.

परिणाम 1. दो समान पंक्तियों (या स्तंभों) वाला एक निर्धारक शून्य के बराबर है।

परिणाम 2. किसी सारणिक की किसी पंक्ति (या किसी स्तंभ) के सभी तत्वों को किसी संख्या से गुणा करना ए इस संख्या से सारणिक को गुणा करने के बराबर है ए . दूसरे शब्दों में, किसी सारणिक की एक निश्चित पंक्ति (या कुछ स्तंभ) के सभी तत्वों का सामान्य गुणनखंड इस सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है।

परिणाम 3. यदि एक निश्चित पंक्ति (या कुछ स्तंभ) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर है।

परिणाम 4. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) के तत्व आनुपातिक हैं, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

परिणाम 5. यदि किसी सारणिक की एक निश्चित पंक्ति (या कुछ स्तंभ) के तत्वों में हम किसी अन्य पंक्ति (दूसरे स्तंभ) के संगत तत्वों को एक मनमाना कारक से गुणा करके जोड़ते हैं, तो सारणिक का मान नहीं बदलता है। परिणाम 5, रैखिक संपत्ति की तरह, एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण की अनुमति देता है, जिसे मैं स्ट्रिंग्स के लिए दूंगा: यदि एक निर्धारक की एक निश्चित पंक्ति के तत्वों में हम एक स्ट्रिंग के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं जो कई अन्य पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है इस निर्धारक का (किसी भी गुणांक के साथ), तो निर्धारक का मान नहीं बदलेगा। निर्धारकों की ठोस गणना में उपफल 5 का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह ज्ञात है कि मैट्रिक्स का उपयोग करके हम समीकरणों की विभिन्न प्रणालियों को हल कर सकते हैं, और ये प्रणालियाँ किसी भी आकार की हो सकती हैं और इनमें कई संख्या में चर हो सकते हैं। कुछ व्युत्पत्तियों और सूत्रों के साथ, समीकरणों की विशाल प्रणालियों को हल करना काफी तेज़ और आसान हो जाता है।

विशेष रूप से, मैं क्रैमर और गॉस विधियों का वर्णन करूंगा। सबसे आसान तरीका क्रैमर विधि है (मेरे लिए), या जैसा कि इसे क्रैमर फॉर्मूला भी कहा जाता है। तो, मान लीजिए कि हमारे पास समीकरणों की कुछ प्रणाली है

, इस प्रणाली को मैट्रिक्स के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: ए= , जहां समीकरणों के उत्तर अंतिम कॉलम में होंगे। अब हम एक मौलिक निर्धारक की अवधारणा का परिचय देंगे; इस मामले में यह इस तरह दिखेगा:

= . मुख्य निर्धारक, जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, चरों के गुणांकों से बना एक मैट्रिक्स है। वे कॉलम क्रम में भी दिखाई देते हैं, यानी पहले कॉलम में वे गुणांक होते हैं जो यहां पाए जाते हैं एक्स , दूसरे कॉलम में य , और इसी तरह। यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि निम्नलिखित चरणों में हम एक चर के लिए गुणांक के प्रत्येक कॉलम को समीकरण उत्तरों के एक कॉलम से बदल देंगे। इसलिए, जैसा कि मैंने कहा, हम पहले वेरिएबल के कॉलम को उत्तर कॉलम से बदलते हैं, फिर दूसरे पर, निश्चित रूप से यह सब इस पर निर्भर करता है कि हमें कितने वेरिएबल खोजने की आवश्यकता है।

1 = , 2 = , 3 = .

फिर आपको निर्धारक 1 खोजने की आवश्यकता है, 2, 3. आप पहले से ही जानते हैं कि तीसरे क्रम के निर्धारक को कैसे खोजना है। ए यहीं पर हम क्रैमर का नियम लागू करते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

x1 = , x2 = , x3 = – इस मामले के लिए, लेकिन सामान्य तौर पर यह इस तरह दिखता है: एक्स मैं = . अज्ञात के गुणांकों से बने निर्धारक को कहा जाता है प्रणाली के निर्धारक .

1. वी. ए. इलिन, ई. जी. पॉज़्न्याक "रैखिक बीजगणित"

2. जी. डी. किम, ई. वी. शिकिन "रैखिक बीजगणित में प्राथमिक परिवर्तन"