किसी भौतिक बिंदु के संवेग को बदलने का प्रमेय एक परिणाम है। एक बिंदु और एक प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय

किसी भौतिक बिंदु को बल के प्रभाव में गति करने दें एफ. चलती प्रणाली के सापेक्ष इस बिंदु की गति को निर्धारित करना आवश्यक है ऑक्सीज़(किसी भौतिक बिंदु की जटिल गति देखें), जो एक स्थिर प्रणाली के संबंध में ज्ञात तरीके से चलती है हे 1 एक्स 1 य 1 जेड 1 .

एक स्थिर प्रणाली में गतिशीलता का बुनियादी समीकरण

आइए कोरिओलिस प्रमेय का उपयोग करके एक बिंदु का पूर्ण त्वरण लिखें

कहाँ ए पेट- पूर्ण त्वरण;

ए रिले– सापेक्ष त्वरण;

ए गली- पोर्टेबल त्वरण;

ए मुख्य– कोरिओलिस त्वरण.

आइए (25) को ध्यान में रखते हुए (26) को फिर से लिखें

आइए हम संकेतन का परिचय दें
- पोर्टेबल जड़ता बल,
- कोरिओलिस जड़त्वीय बल. तब समीकरण (27) का रूप लेता है

सापेक्ष गति का अध्ययन करने के लिए गतिशीलता का मूल समीकरण (28) उसी तरह लिखा जाता है जैसे निरपेक्ष गति के लिए, किसी बिंदु पर कार्य करने वाले बलों में केवल जड़ता के स्थानांतरण और कोरिओलिस बलों को जोड़ा जाना चाहिए।

किसी भौतिक बिंदु की गतिशीलता पर सामान्य प्रमेय

कई समस्याओं को हल करते समय, आप न्यूटन के दूसरे नियम के आधार पर प्राप्त पूर्व-निर्मित रिक्त स्थान का उपयोग कर सकते हैं। इस अनुभाग में ऐसी समस्या समाधान विधियों को संयोजित किया गया है।

किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

आइए हम निम्नलिखित गतिशील विशेषताओं का परिचय दें:

1. किसी भौतिक बिंदु का संवेग– सदिश राशि एक बिंदु के द्रव्यमान और उसके वेग सदिश के गुणनफल के बराबर होती है

. (29)

2. बल आवेग

बल का प्राथमिक आवेग- वेक्टर मात्रा बल वेक्टर और प्रारंभिक समय अंतराल के उत्पाद के बराबर

(30).

तब पूर्ण आवेग

. (31)

पर एफ= स्थिरांक हमें मिलता है एस=फुट.

किसी सीमित अवधि के लिए कुल आवेग की गणना केवल दो मामलों में की जा सकती है, जब किसी बिंदु पर कार्य करने वाला बल स्थिर हो या समय पर निर्भर हो। अन्य मामलों में, बल को समय के फलन के रूप में व्यक्त करना आवश्यक है।

आवेग (29) और गति (30) के आयामों की समानता हमें उनके बीच एक मात्रात्मक संबंध स्थापित करने की अनुमति देती है।

आइए एक मनमाना बल की कार्रवाई के तहत एक भौतिक बिंदु एम की गति पर विचार करें एफएक मनमाना प्रक्षेपवक्र के साथ.

के बारे में यूडी:
. (32)

हम (32) में चरों को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं

. (33)

परिणामस्वरूप, (31) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

. (34)

समीकरण (34) निम्नलिखित प्रमेय को व्यक्त करता है।

प्रमेय: किसी निश्चित समयावधि में किसी भौतिक बिंदु के संवेग में परिवर्तन उसी समय अंतराल में उस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के आवेग के बराबर होता है।

समस्याओं को हल करते समय, समीकरण (34) को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए

इस प्रमेय का उपयोग तब सुविधाजनक होता है जब दी गई और अज्ञात मात्राओं के बीच किसी बिंदु का द्रव्यमान, उसकी प्रारंभिक और अंतिम गति, बल और गति का समय होता है।

किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

एम
किसी भौतिक बिंदु के संवेग का क्षणकेंद्र के सापेक्ष बिंदु और कंधे की गति के मापांक के उत्पाद के बराबर है, अर्थात। वेग वेक्टर के साथ मेल खाने वाली रेखा से केंद्र तक की सबसे छोटी दूरी (लंबवत)।

, (36)

. (37)

बल के क्षण (कारण) और गति के क्षण (प्रभाव) के बीच संबंध निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया है।

मान लीजिए किसी दिए गए द्रव्यमान का बिंदु M है एमबल के प्रभाव में चलता है एफ.

,
,

, (38)

. (39)

आइए (39) के अवकलज की गणना करें

. (40)

(40) और (38) को मिलाने पर, हम अंततः प्राप्त करते हैं

. (41)

समीकरण (41) निम्नलिखित प्रमेय को व्यक्त करता है।

प्रमेय: किसी केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग वेक्टर का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

समस्याओं को हल करते समय, समीकरण (41) को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए

समीकरण (42) में, गति और बल के क्षणों की गणना निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष की जाती है।

(41) से यह अनुसरण करता है कोणीय गति के संरक्षण का नियम (केप्लर का नियम)।

यदि किसी केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु पर लगने वाले बल का क्षण शून्य है, तो इस केंद्र के सापेक्ष बिंदु का कोणीय संवेग अपना परिमाण और दिशा बनाए रखता है।

अगर
, वह
.

प्रमेय और संरक्षण कानून का उपयोग वक्रीय गति से जुड़ी समस्याओं में किया जाता है, खासकर केंद्रीय बलों की कार्रवाई के तहत।

प्रमेय में चर्चा की गई प्रणाली किसी भी निकाय से बनी कोई भी यांत्रिक प्रणाली हो सकती है।

प्रमेय का कथन

एक यांत्रिक प्रणाली की गति (आवेग) की मात्रा प्रणाली में शामिल सभी निकायों की गति (आवेग) की मात्रा के योग के बराबर होती है। सिस्टम के निकायों पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का आवेग सिस्टम के निकायों पर कार्य करने वाली सभी बाहरी शक्तियों के आवेगों का योग है।

( किग्रा मी/से)

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय बताता है

एक निश्चित अवधि में सिस्टम की गति में परिवर्तन उसी अवधि में सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतों के आवेग के बराबर होता है।

किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम

यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य है, तो सिस्टम की गति (संवेग) की मात्रा एक स्थिर मात्रा है।

, हम प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति विभेदक रूप में प्राप्त करते हैं:

कुछ और के बीच मनमाने ढंग से ली गई समय अवधि में परिणामी समानता के दोनों पक्षों को एकीकृत करने के बाद, हम प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति अभिन्न रूप में प्राप्त करते हैं:

संवेग संरक्षण का नियम (संवेग संरक्षण का नियम) बताता है कि सिस्टम के सभी निकायों के आवेगों का वेक्टर योग एक स्थिर मान है यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है।

(संवेग का क्षण m 2 kg s −1)

केंद्र के सापेक्ष कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय

किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

डीके 0 /डीटी = एम 0 (एफ ) .

एक अक्ष के सापेक्ष कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय

किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष इस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

डीके एक्स /डीटी = एम एक्स (एफ ); डीके य /डीटी = एम य (एफ ); डीके जेड /डीटी = एम जेड (एफ ) .

एक भौतिक बिंदु पर विचार करें एम द्रव्यमान एम , बल के प्रभाव में चल रहा है एफ (चित्र 3.1)। आइए लिखें और कोणीय गति (गतिज गति) के वेक्टर का निर्माण करें एम केंद्र के सापेक्ष 0 भौतिक बिंदु हे :

आइए हम कोणीय गति (गतिज क्षण) के लिए अभिव्यक्ति को अलग करें क 0) समय के अनुसार:

क्योंकि डॉ. /डीटी = वी , फिर वेक्टर उत्पाद वी ⊗ एम ⋅ वी (संरेख सदिश वी और एम ⋅ वी ) शून्य के बराबर है. एक ही समय में डी(एम ⋅ वी) /डीटी = एफ किसी भौतिक बिंदु के संवेग पर प्रमेय के अनुसार। अत: हमें वह प्राप्त होता है

डीके 0 /डीटी = आर ⊗एफ , (3.3)

कहाँ आर ⊗एफ = एम 0 (एफ ) – वेक्टर-बल का क्षण एफ एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष हे . वेक्टर क 0 ⊥ समतल ( आर , एम ⊗वी ), और वेक्टर एम 0 (एफ ) ⊥ विमान ( आर ,एफ ), आखिरकार हमारे पास है

डीके 0 /डीटी = एम 0 (एफ ) . (3.4)

समीकरण (3.4) केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग (कोणीय संवेग) में परिवर्तन के बारे में प्रमेय व्यक्त करता है: किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

कार्तीय निर्देशांक के अक्षों पर समानता (3.4) प्रक्षेपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

डीके एक्स /डीटी = एम एक्स (एफ ); डीके य /डीटी = एम य (एफ ); डीके जेड /डीटी = एम जेड (एफ ) . (3.5)

समानताएं (3.5) अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के कोणीय गति (गतिज गति) में परिवर्तन के बारे में प्रमेय व्यक्त करती हैं: किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु के संवेग क्षण (गतिज क्षण) का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष इस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है।

आइए प्रमेय (3.4) और (3.5) से निम्नलिखित परिणामों पर विचार करें।

परिणाम 1.उस मामले पर विचार करें जब बल एफ संपूर्ण गति के दौरान बिंदु स्थिर केंद्र से होकर गुजरता है हे (केंद्रीय बल का मामला), यानी कब एम 0 (एफ ) = 0. फिर प्रमेय (3.4) से यह निष्कर्ष निकलता है कि क 0 = कॉन्स्ट ,

वे। केंद्रीय बल के मामले में, इस बल के केंद्र के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग (गतिज क्षण) परिमाण और दिशा में स्थिर रहता है (चित्र 3.2)।

चित्र 3.2

हालत से क 0 = कॉन्स्ट इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी गतिमान बिंदु का प्रक्षेप पथ एक समतल वक्र होता है, जिसका तल इस बल के केंद्र से होकर गुजरता है।

परिणाम 2.होने देना एम जेड (एफ ) = 0, यानी बल अक्ष को पार करता है जेड या उसके समानांतर. इस मामले में, जैसा कि तीसरे समीकरण (3.5) से देखा जा सकता है, क जेड = कॉन्स्ट ,

वे। यदि किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी बिंदु पर लगने वाले बल का आघूर्ण सदैव शून्य हो, तो इस अक्ष के सापेक्ष बिंदु का कोणीय संवेग (गतिज आघूर्ण) स्थिर रहता है।

संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय का प्रमाण

मान लीजिए कि सिस्टम में द्रव्यमान और त्वरण वाले भौतिक बिंदु शामिल हैं। हम सिस्टम के निकायों पर कार्य करने वाले सभी बलों को दो प्रकारों में विभाजित करते हैं:

बाहरी ताकतें उन निकायों से कार्य करने वाली ताकतें हैं जो विचाराधीन प्रणाली में शामिल नहीं हैं। संख्या के साथ किसी भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का परिणाम मैंचलो निरूपित करें

आंतरिक बल वे बल हैं जिनके साथ सिस्टम के निकाय स्वयं एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। वह बल जिसके साथ संख्या वाले बिंदु पर मैंसंख्या वाला बिंदु वैध है क, हम निरूपित करेंगे , और प्रभाव की शक्ति मैंवें बिंदु पर कवां बिंदु - . जाहिर है, जब, तब

प्रस्तुत संकेतन का उपयोग करते हुए, हम फॉर्म में विचाराधीन प्रत्येक भौतिक बिंदु के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखते हैं

ध्यान में रख कर और न्यूटन के दूसरे नियम के सभी समीकरणों का योग करने पर, हम पाते हैं:

अभिव्यक्ति प्रणाली में कार्यरत सभी आंतरिक बलों के योग का प्रतिनिधित्व करती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, इस योग में, प्रत्येक बल एक बल से मेल खाता है, इसलिए, यह धारण करता है चूँकि संपूर्ण योग में ऐसे जोड़े शामिल हैं, इसलिए योग स्वयं शून्य है। इस प्रकार, हम लिख सकते हैं

सिस्टम की गति के लिए संकेतन का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

बाह्य शक्तियों के संवेग में परिवर्तन को ध्यान में रखकर , हम सिस्टम की गति में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति को विभेदक रूप में प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, प्राप्त अंतिम समीकरणों में से प्रत्येक हमें यह बताने की अनुमति देता है: सिस्टम की गति में परिवर्तन केवल बाहरी ताकतों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप होता है, और आंतरिक ताकतें इस मूल्य पर कोई प्रभाव नहीं डाल सकती हैं।

कुछ और के बीच मनमाने ढंग से लिए गए समय अंतराल पर परिणामी समानता के दोनों पक्षों को एकीकृत करने के बाद, हम सिस्टम की गति में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति को अभिन्न रूप में प्राप्त करते हैं:

समय के क्षणों में प्रणाली की गति की मात्रा के मान क्रमशः कहां और हैं, और समय की अवधि में बाहरी ताकतों का आवेग है। पहले जो कहा गया था और प्रस्तुत किए गए नोटेशन के अनुसार,

एक भौतिक बिंदु के लिए, गतिशीलता के मूल नियम को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

बाईं ओर इस संबंध के दोनों पक्षों को त्रिज्या सदिश (चित्र 3.9) द्वारा सदिश रूप से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(3.32)

इस सूत्र के दाईं ओर हमारे पास बिंदु O के सापेक्ष बल का क्षण है। हम एक वेक्टर उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र को लागू करके बाईं ओर को बदलते हैं।

लेकिन समानांतर सदिशों के सदिश गुणनफल के रूप में। इसके बाद हमें मिलता है

(3.33)

किसी भी केंद्र के सापेक्ष किसी बिंदु के संवेग के क्षण के समय के संबंध में पहला व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बल के क्षण के बराबर होता है।

चित्र 3.12

; ;

दिए गए इनपुट डेटा के लिए, सिस्टम का कोणीय संवेग

किसी प्रणाली के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय।हम परिणामी बाहरी और आंतरिक बलों को सिस्टम के प्रत्येक बिंदु पर लागू करते हैं। सिस्टम के प्रत्येक बिंदु के लिए, आप कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय लागू कर सकते हैं, उदाहरण के लिए फॉर्म (3.33) में

सिस्टम के सभी बिंदुओं का योग करने और यह ध्यान में रखने पर कि डेरिवेटिव का योग योग के व्युत्पन्न के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं

सिस्टम के गतिज क्षण और बाहरी और आंतरिक बलों के गुणों का निर्धारण करके

इसलिए, परिणामी संबंध को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

किसी भी बिंदु के सापेक्ष किसी प्रणाली के कोणीय संवेग का पहली बार व्युत्पन्न उसी बिंदु के सापेक्ष प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के प्रमुख क्षण के बराबर होता है।

3.3.5. बल का कार्य

1) किसी बल का प्रारंभिक कार्य बल के अदिश गुणनफल और बल के अनुप्रयोग बिंदु के वेक्टर के अंतर त्रिज्या के बराबर होता है (चित्र 3.13)

चित्र 3.13

अभिव्यक्ति (3.36) को निम्नलिखित समकक्ष रूपों में भी लिखा जा सकता है

बल के अनुप्रयोग बिंदु के वेग की दिशा पर बल का प्रक्षेपण कहां है।

2) अंतिम विस्थापन पर बल का कार्य

बल के प्रारंभिक कार्य को एकीकृत करते हुए, हम बिंदु A से बिंदु B तक अंतिम विस्थापन पर बल के कार्य के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ प्राप्त करते हैं

3) निरंतर बल का कार्य

यदि बल स्थिर है, तो (3.38) से यह अनुसरण करता है

एक स्थिर बल का कार्य प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल बल के अनुप्रयोग बिंदु के विस्थापन वेक्टर पर निर्भर करता है।

4) भार बल का कार्य

भार बल के लिए (चित्र 3.14) और (3.39) से हम प्राप्त करते हैं

चित्र 3.14

यदि गति बिंदु B से बिंदु A की ओर होती है, तो

सामान्य रूप में

"+" चिन्ह बल अनुप्रयोग बिंदु की नीचे की ओर गति को दर्शाता है, "-" चिन्ह - ऊपर की ओर।

4)लोचदार बल का कार्य

मान लीजिए स्प्रिंग की धुरी को x अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया गया है (चित्र 3.15), और स्प्रिंग का सिरा बिंदु 1 से बिंदु 2 तक चला जाता है, फिर (3.38) से हम प्राप्त करते हैं

यदि स्प्रिंग कठोरता है साथ, तो फिर

ए (3.41)

यदि स्प्रिंग का सिरा बिंदु 0 से बिंदु 1 पर जाता है, तो इस अभिव्यक्ति में हम प्रतिस्थापित करते हैं, तो लोचदार बल का कार्य रूप लेगा

(3.42)

वसंत का बढ़ाव कहां है.

चित्र 3.15

5) घूमते हुए पिंड पर लगाए गए बल का कार्य। पल का काम.

चित्र में. चित्र 3.16 एक घूमता हुआ पिंड दिखाता है जिस पर एक मनमाना बल लगाया जाता है। घूर्णन के दौरान इस बल के अनुप्रयोग का बिंदु एक वृत्त में घूमता है।

को मिलाकर एनभौतिक बिंदु. आइए इस प्रणाली से एक निश्चित बिंदु का चयन करें एम जेद्रव्यमान के साथ एम जे. जैसा कि ज्ञात है, बाहरी और आंतरिक बल इस बिंदु पर कार्य करते हैं।

आइए इसे बिंदु पर लागू करें एम जेसभी आंतरिक शक्तियों का परिणाम एफ जे मैंऔर सभी बाहरी ताकतों का परिणाम एफ जे ई(चित्र 2.2)। किसी चयनित सामग्री बिंदु के लिए एम जे(एक स्वतंत्र बिंदु के रूप में) हम संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय को अंतर रूप (2.3) में लिखते हैं:

आइए हम यांत्रिक प्रणाली के सभी बिंदुओं के लिए समान समीकरण लिखें (जे=1,2,3,…,एन).

चित्र 2.2

आइए इसे टुकड़े-टुकड़े करके सब कुछ जोड़ें एनसमीकरण:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

यहाँ ∑m j ×V j =Q- यांत्रिक प्रणाली की गति की मात्रा;
∑F j e = R e- यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाली सभी बाहरी शक्तियों का मुख्य वेक्टर;
∑F j i = R i =0– सिस्टम के आंतरिक बलों का मुख्य वेक्टर (आंतरिक बलों की संपत्ति के अनुसार, यह शून्य के बराबर है)।

अंत में, यांत्रिक प्रणाली के लिए हम प्राप्त करते हैं

डीक्यू/डीटी = आर ई. (2.11)

अभिव्यक्ति (2.11) एक यांत्रिक प्रणाली की गति में अंतर रूप में परिवर्तन के बारे में एक प्रमेय है (वेक्टर अभिव्यक्ति में): किसी यांत्रिक प्रणाली के संवेग वेक्टर का समय व्युत्पन्न प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर होता है.

कार्टेशियन समन्वय अक्षों पर वेक्टर समानता (2.11) को प्रक्षेपित करते हुए, हम समन्वय (स्केलर) अभिव्यक्ति में एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

वे। किसी अक्ष पर एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग के प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न इस यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है.

समानता के दोनों पक्षों (2.12) को गुणा करने पर डीटी, हम प्रमेय को दूसरे विभेदक रूप में प्राप्त करते हैं:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

वे। एक यांत्रिक प्रणाली का अंतर संवेग प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर (प्राथमिक आवेगों का योग) के प्राथमिक आवेग के बराबर है.

समय के भीतर समानता (2.13) को एकीकृत करना 0 से बदल जाता है टी, हम अंतिम (अभिन्न) रूप में (वेक्टर अभिव्यक्ति में) एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन के बारे में एक प्रमेय प्राप्त करते हैं:

क्यू - क्यू 0 = एस इ,

वे। समय की एक सीमित अवधि में एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन उसी अवधि के दौरान सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के कुल आवेग (कुल आवेगों का योग) के बराबर होता है।.

वेक्टर समानता (2.14) को कार्टेशियन समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपित करते हुए, हम अनुमानों में प्रमेय के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं (एक अदिश अभिव्यक्ति में):

वे। समय की एक सीमित अवधि में किसी भी अक्ष पर एक यांत्रिक प्रणाली की गति के प्रक्षेपण में परिवर्तन सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर (कुल आवेगों का योग) के कुल आवेग के एक ही अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर होता है उसी अवधि के दौरान यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करना.

निम्नलिखित परिणाम सुविचारित प्रमेय (2.11) - (2.15) से निकलते हैं:

1. अगर आर ई = ∑एफ जे ई = 0, वह क्यू = स्थिरांक- हमारे पास एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग के वेक्टर के संरक्षण का नियम है: यदि मुख्य वेक्टर दोबाराकिसी यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का मान शून्य के बराबर है, तो इस प्रणाली का संवेग वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर रहता है और इसके प्रारंभिक मूल्य के बराबर होता है प्र0, अर्थात। क्यू = क्यू 0.
2. अगर आर एक्स ई = ∑एक्स जे ई =0 (आर ई ≠ 0), वह क्यू एक्स = स्थिरांक- हमारे पास एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग के अक्ष पर प्रक्षेपण के संरक्षण का नियम है: यदि किसी यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बलों के मुख्य वेक्टर का किसी अक्ष पर प्रक्षेपण शून्य है, तो उसी अक्ष पर प्रक्षेपण शून्य है इस प्रणाली के संवेग का वेक्टर एक स्थिर मान होगा और इस अक्ष पर संवेग के प्रारंभिक वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर होगा, अर्थात। क्यू एक्स = क्यू 0x.

किसी सामग्री प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय के विभेदक रूप का सातत्य यांत्रिकी में महत्वपूर्ण और दिलचस्प अनुप्रयोग है। (2.11) से हम यूलर का प्रमेय प्राप्त कर सकते हैं।

बल के प्रभाव में किसी भौतिक बिंदु की गति का विभेदक समीकरण एफनिम्नलिखित वेक्टर रूप में दर्शाया जा सकता है:

चूंकि एक बिंदु का द्रव्यमान एमको स्थिरांक के रूप में स्वीकार किया जाता है, तो इसे व्युत्पन्न चिह्न के अंतर्गत दर्ज किया जा सकता है। तब

सूत्र (1) एक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय को विभेदक रूप में व्यक्त करता है: किसी बिंदु के संवेग के समय के संबंध में पहला व्युत्पन्न बिंदु पर कार्य करने वाले बल के बराबर होता है.

समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपणों में (1) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

यदि दोनों पक्षों को (1) से गुणा किया जाए डीटी, तो हमें उसी प्रमेय का दूसरा रूप मिलता है - विभेदक रूप में संवेग प्रमेय:

वे। किसी बिंदु के संवेग का अंतर उस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के प्राथमिक आवेग के बराबर होता है।

(2) के दोनों भागों को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(2) के दोनों भागों को शून्य से टी (चित्र 1) तक एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

इस वक्त बिंदु की गति कहां है टी; - गति पर टी = 0;

एस- समय के साथ बल का आवेग टी.

(3) रूप में एक अभिव्यक्ति को अक्सर परिमित (या अभिन्न) रूप में संवेग प्रमेय कहा जाता है: किसी भी समयावधि में किसी बिंदु के संवेग में परिवर्तन उसी समयावधि में बल के आवेग के बराबर होता है।

समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण में, इस प्रमेय को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

किसी भौतिक बिंदु के लिए, किसी भी रूप में गति में परिवर्तन पर प्रमेय अनिवार्य रूप से किसी बिंदु की गति के अंतर समीकरणों से अलग नहीं है।

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय

निकाय की गति की मात्रा सदिश राशि कहलाएगी क्यू, सिस्टम के सभी बिंदुओं की गति की मात्रा के ज्यामितीय योग (मुख्य वेक्टर) के बराबर।

से मिलकर बनी एक प्रणाली पर विचार करें एन भौतिक बिंदु. आइए हम इस प्रणाली के लिए गति के विभेदक समीकरण बनाएं और उन्हें पद दर पद जोड़ें। तब हमें मिलता है:

आंतरिक बलों के गुण के कारण अंतिम योग शून्य के बराबर है। अलावा,

अंततः हम पाते हैं:

समीकरण (4) प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय को विभेदक रूप में व्यक्त करता है: सिस्टम की गति का समय व्युत्पन्न सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

आइए प्रमेय के लिए एक और अभिव्यक्ति खोजें। फिलहाल आने दो टी= सिस्टम की गति की मात्रा 0 है प्र0, और समय के क्षण में टी 1बराबर हो जाता है प्रश्न 1.फिर, समानता के दोनों पक्षों (4) को गुणा करें डीटीऔर एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:

या जहां:

(एस- बल आवेग)

चूँकि दाहिनी ओर का अभिन्न अंग बाहरी ताकतों का आवेग देता है,

समीकरण (5) प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय को अभिन्न रूप में व्यक्त करता है: एक निश्चित अवधि में सिस्टम की गति में परिवर्तन उसी अवधि में सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के आवेगों के योग के बराबर होता है।

निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपणों में हमारे पास होगा:

संवेग संरक्षण का नियम

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय से, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं:

1. मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (4) से यह पता चलता है कि इस मामले में क्यू = स्थिरांक.

इस प्रकार, यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति का वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर होगा।

2. 01 मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतें ऐसी हैं कि कुछ अक्ष (उदाहरण के लिए ऑक्स) पर उनके प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (4`) से यह इस मामले में निम्नानुसार है क्यू = स्थिरांक.

इस प्रकार, यदि किसी अक्ष पर कार्यरत सभी बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर सिस्टम की गति की मात्रा का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

ये परिणाम व्यक्त करते हैं किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम.उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

· रोल की वापसी के बारे में घटना. यदि हम राइफल और गोली को एक प्रणाली मानते हैं, तो शॉट के दौरान पाउडर गैसों का दबाव एक आंतरिक बल होगा। यह बल प्रणाली की कुल गति को नहीं बदल सकता। लेकिन चूंकि पाउडर गैसें, गोली पर कार्य करते हुए, उसे आगे की दिशा में एक निश्चित मात्रा में गति प्रदान करती हैं, उन्हें एक साथ राइफल को विपरीत दिशा में समान मात्रा में गति प्रदान करनी चाहिए। इससे राइफल पीछे की ओर चली जाएगी, यानी। तथाकथित वापसी. इसी तरह की घटना बंदूक से फायरिंग (रोलबैक) करते समय होती है।

· प्रोपेलर (प्रोपेलर) का संचालन। प्रोपेलर प्रोपेलर की धुरी के साथ हवा (या पानी) के एक निश्चित द्रव्यमान को गति प्रदान करता है, इस द्रव्यमान को वापस फेंकता है। यदि हम फेंके गए द्रव्यमान और विमान (या जहाज) को एक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो प्रोपेलर और पर्यावरण के बीच बातचीत की ताकतें, आंतरिक के रूप में, इस प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकती हैं। इसलिए, जब हवा (पानी) का एक द्रव्यमान वापस फेंका जाता है, तो विमान (या जहाज) को एक समान आगे की गति प्राप्त होती है, जैसे कि विचाराधीन प्रणाली की गति की कुल मात्रा शून्य के बराबर रहती है, क्योंकि आंदोलन शुरू होने से पहले यह शून्य थी .

एक समान प्रभाव चप्पुओं या पैडल पहियों की क्रिया से प्राप्त होता है।

· आर ई सी टी आई वी ई प्रोपल्शन। एक रॉकेट (रॉकेट) में, ईंधन दहन के गैसीय उत्पादों को रॉकेट की पूंछ में छेद से (जेट इंजन नोजल से) उच्च गति से बाहर निकाला जाता है। इस मामले में कार्य करने वाले दबाव बल आंतरिक बल होंगे और वे रॉकेट-पाउडर गैस प्रणाली की कुल गति को नहीं बदल सकते हैं। लेकिन चूँकि बाहर निकलने वाली गैसों की गति एक निश्चित मात्रा में पीछे की ओर निर्देशित होती है, इसलिए रॉकेट को आगे की गति के अनुरूप गति प्राप्त होती है।

एक अक्ष के बारे में क्षणों का प्रमेय.

द्रव्यमान के भौतिक बिंदु पर विचार करें एम, बल के प्रभाव में चल रहा है एफ. आइए इसके लिए सदिशों के क्षण के बीच संबंध खोजें एमवीऔर एफकुछ निश्चित Z अक्ष के सापेक्ष।

एम जेड (एफ) = एक्सएफ - वाईएफ (7)

इसी प्रकार मूल्य के लिए एम(एमवी), यदि बाहर निकाला जाए एमकोष्ठक से बाहर हो जायेंगे

एम जेड (एमवी) = एम(एक्सवी - वाईवी)(7`)

इस समानता के दोनों पक्षों से समय के संबंध में व्युत्पन्नों को लेने पर, हम पाते हैं

परिणामी अभिव्यक्ति के दाईं ओर, पहला कोष्ठक 0 के बराबर है, क्योंकि dx/dt=V और dу/dt = V, सूत्र (7) के अनुसार दूसरा कोष्ठक बराबर है

एमजेड(एफ), चूँकि गतिकी के मूल नियम के अनुसार:

अंततः हमारे पास (8) होगा

परिणामी समीकरण अक्ष के बारे में क्षणों के प्रमेय को व्यक्त करता है: किसी भी अक्ष के सापेक्ष किसी बिंदु के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष कार्यशील बल के क्षण के बराबर होता है।एक समान प्रमेय किसी भी केंद्र O के बारे में क्षणों के लिए लागू होता है।