§7. रैखिक स्थानों के उदाहरण

रैखिक शैल भी कहा जाता है उपस्थान उत्पन्न हुआ एक्स. सामान्यतः निरूपित किया जाता है। यह भी कहा जाता है कि रैखिक शैल फैला हुआगुच्छा एक्स .

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रैखिक शैल- सदिश समष्टि E के समुच्चय वाले सभी उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन M। इसके अलावा, Mnaz। ए. एम. आई. वोइत्सेखोव्स्की द्वारा निर्मित एक उप-स्थान भी... गणितीय विश्वकोश

रैखिक शैल वैक्टर

रैखिक शैल वैक्टर- सभी संभावित गुणांक (α1, …, αn) के साथ इन वैक्टर ∑αiаi के रैखिक संयोजनों का एक सेट … आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

रैखिक शैल वैक्टर- सभी संभावित गुणांकों (?1, …, ?n) के साथ इन वैक्टरों के रैखिक संयोजनों का एक सेट। विषय अर्थशास्त्र EN रैखिक पतवार…

लीनियर अलजेब्रा- गणितीय अनुशासन, बीजगणित का एक खंड, जिसमें विशेष रूप से, रैखिक समीकरणों, आव्यूहों और निर्धारकों का सिद्धांत, साथ ही वेक्टर (रैखिक) रिक्त स्थान का सिद्धांत शामिल है। रैखिक संबंध "रूप का संबंध: a1x1 + a2x2 + … +… … तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

रैखिक निर्भरता- “प्रपत्र का संबंध: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, जहां a1, a2, …, an संख्याएं हैं, जिनमें से कम से कम एक गैर-शून्य है; x1, x2, ..., xn कुछ गणितीय वस्तुएं हैं जिनके लिए अतिरिक्त संक्रियाएं परिभाषित हैं... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

शंख- रैखिक खोल देखें... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

रैखिक निर्भरता

रैखिक संयोजन- रैखिक स्थान, या सदिश स्थान, रैखिक बीजगणित के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य है। सामग्री 1 परिभाषा 2 सरलतम गुण 3 संबंधित परिभाषाएँ और गुण ... विकिपीडिया

रैखिक समूहएक निश्चित पिंड K के ऊपर परिमित आयाम n के सदिश समष्टि V के रैखिक परिवर्तनों का एक समूह है। अंतरिक्ष V में एक आधार का चयन, पिंड K के ऊपर डिग्री n के गैर-पतित वर्ग आव्यूहों के एक समूह के रूप में रैखिक समूह का एहसास कराता है। इस प्रकार, एक समरूपता स्थापित होती है... गणितीय विश्वकोश

पुस्तकें

• लीनियर अलजेब्रा। मुक्त स्रोत शिक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक और कार्यशाला 1471 UAH में खरीदें (केवल यूक्रेन)
• लीनियर अलजेब्रा। अकादमिक स्नातक की डिग्री के लिए पाठ्यपुस्तक और कार्यशाला, क्रेमर एन.एस.. इस पाठ्यपुस्तक में कई नई अवधारणाएं और अतिरिक्त प्रश्न शामिल हैं, जैसे मैट्रिक्स का मानदंड, आधार को पूरक करने की विधि, रैखिक स्थानों की समरूपता, रैखिक उप-स्थान, रैखिक ...

मान लीजिए सदिश समष्टि से सदिशों की एक प्रणाली है वीमैदान के ऊपर पी.

परिभाषा 2:रैखिक खोल एलप्रणाली एप्रणाली के सदिशों के सभी रैखिक संयोजनों का समुच्चय है ए. पद का नाम एल(ए).

इसे किन्हीं दो प्रणालियों के लिए दिखाया जा सकता है एऔर बी,

एके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया गया बीअगर और केवल अगर । (1)

एसमकक्ष बीतब और केवल जब एल(ए)=एल(बी). (2)

प्रमाण पिछली संपत्ति से मिलता है

3 सदिशों की किसी भी प्रणाली का रैखिक विस्तार अंतरिक्ष का एक उपस्थान है वी.

सबूत

कोई भी दो सदिश और से लीजिए एल(ए), से सदिशों में निम्नलिखित विस्तार हैं ए: . आइए मानदंड की शर्तों 1) और 2) की व्यवहार्यता की जाँच करें:

चूँकि यह सिस्टम वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है ए.

चूँकि यह सिस्टम वैक्टर का एक रैखिक संयोजन भी है ए.

आइए अब मैट्रिक्स पर विचार करें। मैट्रिक्स पंक्तियों का रैखिक विस्तार एमैट्रिक्स का पंक्ति स्थान कहा जाता है और निरूपित किया जाता है एलआर(ए). मैट्रिक्स स्तंभों का रैखिक विस्तार एको कॉलम स्पेस कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है एलसी(ए). कृपया ध्यान दें कि जब मैट्रिक्स की पंक्ति और स्तंभ स्थान एविभिन्न अंकगणितीय स्थानों के उपस्थान हैं पी एनऔर बजेक्रमश। कथन (2) का उपयोग करके, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुँच सकते हैं:

प्रमेय 3:यदि प्राथमिक परिवर्तनों की श्रृंखला द्वारा एक मैट्रिक्स दूसरे से प्राप्त किया जाता है, तो ऐसे मैट्रिक्स की पंक्ति रिक्त स्थान मेल खाती है।

उप-स्थानों का योग और प्रतिच्छेदन

होने देना एलऔर एम- अंतरिक्ष के दो उपस्थान आर.

मात्रा एल+एमसदिशों का समुच्चय कहलाता है x+y , कहाँ एक्स ∈एलऔर य ∈एम. जाहिर है, सदिशों का कोई भी रैखिक संयोजन एल+एमअंतर्गत आता है एल+एम, इस तरह एल+एमअंतरिक्ष का एक उपस्थान है आर(अंतरिक्ष के साथ मेल खा सकता है आर).

पार करके एल∩एमउपस्थान एलऔर एमसदिशों का समूह है जो एक साथ उप-स्थानों से संबंधित होता है एलऔर एम(केवल शून्य वेक्टर शामिल हो सकता है)।

प्रमेय 6.1. मनमाना उपस्थानों के आयामों का योग एलऔर एमपरिमित-आयामी रैखिक स्थान आरइन उप-स्थानों के योग के आयाम और इन उप-स्थानों के प्रतिच्छेदन के आयाम के बराबर:

मंद L+मंद M=मंद(L+M)+मंद(L∩M).

सबूत। चलो निरूपित करें एफ=एल+एमऔर G=L∩M. होने देना जी जी-आयामी उपस्थान. आइए इसमें एक आधार चुनें. क्योंकि जी⊂एलऔर जी⊂एम, इसलिए आधार जीआधार में जोड़ा जा सकता है एलऔर आधार तक एम. चलो उपस्थान का आधार एलऔर उपस्थान का आधार दें एम. आइए दिखाते हैं कि वेक्टर

(6.1)आधार का निर्माण करें एफ=एल+एम. सदिशों (6.1) को अंतरिक्ष का आधार बनाने के लिए एफउन्हें रैखिक रूप से स्वतंत्र और अंतरिक्ष का कोई भी सदिश होना चाहिए एफसदिशों के रैखिक संयोजन (6.1) द्वारा दर्शाया जा सकता है।

आइए हम सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता (6.1) सिद्ध करें। मान लीजिए अंतरिक्ष का शून्य सदिश है एफकुछ गुणांकों के साथ सदिशों (6.1) के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया गया है:

(6.3) का बाईं ओर उप-स्थान वेक्टर है एल, और दाईं ओर उप-स्थान वेक्टर है एम. इसलिए वेक्टर

(6.4)उपस्थान से संबंधित है G=L∩M. दूसरी ओर, वेक्टर वी उपस्थान के आधार सदिशों के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है जी:

(6.5) समीकरण (6.4) और (6.5) से हमारे पास है:

लेकिन सदिश उप-स्थान का आधार हैं एम, इसलिए वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और . तब (6.2) रूप लेगा:

उपस्थान के आधार की रैखिक स्वतंत्रता के कारण एलहमारे पास है:

चूँकि समीकरण (6.2) में सभी गुणांक शून्य निकले, तो सदिश

रैखिक रूप से स्वतंत्र। लेकिन कोई भी वेक्टर जेड से एफ(उपस्थानों के योग की परिभाषा के अनुसार) को योग द्वारा दर्शाया जा सकता है x+y , कहाँ एक्स ∈ एल,य ∈ एम. इसकी बारी में एक्स सदिश a के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया गया है य - सदिशों का रैखिक संयोजन। इसलिए, सदिश (6.10) उपसमष्टि की उत्पत्ति करते हैं एफ. हमने पाया कि सदिश (6.10) एक आधार बनाते हैं एफ=एल+एम.

उपअंतरिक्ष आधारों का अध्ययन एलऔर एमऔर उपस्थान आधार एफ=एल+एम(6.10), हमारे पास है: मंद L=g+l, मंद M=g+m, मंद (L+M)=g+l+m. इस तरह:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

उप-स्थानों का प्रत्यक्ष योग

परिभाषा 6.2. अंतरिक्ष एफउप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग का प्रतिनिधित्व करता है एलऔर एम, यदि प्रत्येक वेक्टर एक्स अंतरिक्ष एफकेवल योग के रूप में दर्शाया जा सकता है x=y+z , कहाँ य ∈L और जेड ∈एम.

प्रत्यक्ष राशि का संकेत दिया गया है एल⊕एम. उनका कहना है कि अगर एफ=एल⊕एम, वह एफअपने उपस्थानों के प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है एलऔर एम.

प्रमेय 6.2. के लिए एन-आयामी स्थान आरउप-स्थानों का प्रत्यक्ष योग था एलऔर एम, यह चौराहे के लिए पर्याप्त है एलऔर एमइसमें केवल शून्य तत्व शामिल था और आयाम R उप-स्थानों के आयामों के योग के बराबर था एलऔर एम.

सबूत। आइए हम उपसमष्टि L में कुछ आधार चुनें और उपसमष्टि M में कुछ आधार चुनें। आइए हम इसे सिद्ध करें

(6.11) अंतरिक्ष का आधार है आर. प्रमेय की शर्तों के अनुसार, अंतरिक्ष का आयाम आर एनउप-स्थानों के योग के बराबर एलऔर एम (n=l+m). यह तत्वों की रैखिक स्वतंत्रता (6.11) को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। मान लीजिए अंतरिक्ष का शून्य सदिश है आरकुछ गुणांकों के साथ सदिशों (6.11) के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया गया है:

(6.13) चूँकि (6.13) का बायाँ भाग उपसमष्टि का एक सदिश है एल, और दाईं ओर उप-स्थान वेक्टर है एमऔर एल∩एम=0 , वह

(6.14) लेकिन सदिश उपसमष्टि के आधार हैं एलऔर एमक्रमश। इसलिए वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। तब

(6.15) यह स्थापित किया गया कि (6.12) केवल शर्त (6.15) के तहत मान्य है, और यह वैक्टर (6.11) की रैखिक स्वतंत्रता को साबित करता है। इसलिए वे एक आधार बनाते हैं आर.

चलो x∈R. आइए इसे आधार (6.11) के अनुसार विस्तारित करें:

(6.16) (6.16) से हमारे पास है:

(6.18) (6.17) और (6.18) से यह इस प्रकार है कि कोई भी सदिश आरसदिशों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स 1 ∈एलऔर एक्स 2 ∈एम. यह साबित करना बाकी है कि यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है। मान लीजिए, प्रतिनिधित्व (6.17) के अलावा, निम्नलिखित प्रतिनिधित्व भी है:

(6.19) (6.17) में से (6.19) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

(6.20) चूंकि, और एल∩एम=0 , फिर और . इसलिए और. ■

उप-स्थानों के योग के आयाम पर प्रमेय 8.4. यदि और एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान के उप-स्थान हैं, तो उप-स्थानों के योग का आयाम उनके प्रतिच्छेदन के आयाम के बिना उनके आयामों के योग के बराबर है ( ग्रासमैन का सूत्र):

वास्तव में, आइए चौराहे का आधार बनें। आइए हम इसे उपसमष्टि के आधार तक सदिशों के एक क्रमबद्ध सेट और उपसमष्टि के आधार तक सदिशों के एक क्रमबद्ध समुच्चय के साथ पूरक करें। ऐसा जोड़ प्रमेय 8.2 द्वारा संभव है। आइए सदिशों के इन तीन सेटों से सदिशों का एक क्रमबद्ध सेट बनाएं। आइए हम दिखाएं कि ये वेक्टर अंतरिक्ष के जनरेटर हैं। दरअसल, इस स्थान के किसी भी वेक्टर को एक क्रमबद्ध सेट से वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है

इस तरह, । आइए हम साबित करें कि जनरेटर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इसलिए वे अंतरिक्ष का आधार हैं। वास्तव में, आइए इन सदिशों का एक रैखिक संयोजन बनाएं और इसे शून्य सदिश के बराबर करें:। इस विस्तार के सभी गुणांक शून्य हैं: एक द्विरेखीय रूप वाले वेक्टर स्थान के उप-स्थान प्रत्येक वेक्टर के लिए सभी वेक्टर ऑर्थोगोनल का सेट होते हैं। यह समुच्चय एक सदिश उपसमष्टि है, जिसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है।

लेख में रैखिक बीजगणित की मूल बातों का वर्णन किया गया है: रैखिक स्थान, इसके गुण, आधार की अवधारणा, अंतरिक्ष के आयाम, रैखिक पतवार, रैखिक स्थानों के बीच संबंध और मैट्रिक्स की रैंक।

रैखिक स्थान

गुच्छा एलबुलाया रैखिक स्थान,यदि इसके सभी तत्वों के लिए दो तत्वों को जोड़ने और एक तत्व को एक संख्या से गुणा करने की प्रक्रिया संतोषजनक है मैंसमूह वेइल के अभिगृहीत. रैखिक स्थान के तत्वों को कहा जाता है वैक्टर. यह एक संपूर्ण परिभाषा है; अधिक संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि एक रैखिक स्थान तत्वों का एक समूह है जिसके लिए दो तत्वों को जोड़ने और एक तत्व को एक संख्या से गुणा करने की संक्रिया परिभाषित की जाती है।

वेइल के अभिगृहीत.

हरमन वेइलसुझाव दिया कि ज्यामिति में हमारे पास दो प्रकार की वस्तुएँ हैं ( वैक्टर और अंक), जिसके गुणों का वर्णन निम्नलिखित सिद्धांतों द्वारा किया गया है, जिसने अनुभाग का आधार बनाया लीनियर अलजेब्रा. अभिगृहीतों को 3 समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है।

समूह I

1. किसी भी सदिश x और y के लिए समानता x+y=y+x संतुष्ट है;
2. किसी भी वैक्टर x, y और z के लिए समानता x+(y+z)=(x+y)+z संतुष्ट है;
3. एक सदिश o ऐसा है कि किसी भी सदिश x के लिए समानता x+o=x है;
4. किसी भी वेक्टर के लिए एक्सएक सदिश (-x) ऐसा है कि x+(-x)=o;
5. किसी भी वेक्टर के लिए एक्ससमानता 1x=x रखती है;
6. किसी भी वेक्टर के लिए एक्सऔर परऔर कोई भी संख्या λ समानता λ( एक्स+पर)=λ एक्स+λ पर;
7. किसी भी वेक्टर के लिए एक्सऔर कोई भी संख्या λ और μ समानता रखती है (λ+μ) एक्स=λ एक्स+μ एक्स;
8. किसी भी वेक्टर के लिए एक्सऔर कोई भी संख्या λ और μ समानता λ(μ एक्स)=(λμ) एक्स;

समूह II

समूह I अवधारणा को परिभाषित करता है सदिशों का रैखिक संयोजन, रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता।इससे हमें दो और सिद्धांत तैयार करने की अनुमति मिलती है:

1. n रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं;
2. कोई भी (n+1) वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

प्लैनिमेट्री के लिए n=2, स्टीरियोमेट्री के लिए n=3.

समूह III

यह समूह मानता है कि एक अदिश गुणन ऑपरेशन है जो वैक्टर की एक जोड़ी निर्दिष्ट करता है एक्सऔर परसंख्या ( एक्स, वाई). जिसमें:

1. किसी भी वेक्टर के लिए एक्सऔर परसमानता रखती है ( एक्स, वाई)=(वाई, एक्स);
2. किसी भी वेक्टर के लिए एक्स , परऔर जेडसमानता रखती है ( एक्स+वाई,जेड)=(एक्स,जेड)+(वाई,जेड);
3. किसी भी वेक्टर के लिए एक्सऔर परऔर कोई भी संख्या λ समानता (λ एक्स, वाई)=λ( एक्स, वाई);
4. किसी भी सदिश x के लिए असमानता कायम रहती है ( एक्स, एक्स)≥0, और ( एक्स, एक्स)=0 यदि और केवल यदि एक्स=0.

रैखिक स्थान के गुण

रैखिक स्थान के अधिकांश गुण वेइल के सिद्धांतों पर आधारित हैं:

1. वेक्टर हे, जिसके अस्तित्व की गारंटी Axiom 3 द्वारा दी गई है, एक अनोखे तरीके से निर्धारित किया जाता है;
2. वेक्टर (- एक्स), जिसके अस्तित्व की गारंटी Axiom 4 द्वारा दी गई है, एक अनोखे तरीके से निर्धारित किया जाता है;
3. किन्हीं दो सदिशों के लिए एऔर बीअंतरिक्ष से संबंधित एल, केवल एक वेक्टर है एक्स, अंतरिक्ष से भी संबंधित एल, जो समीकरण का एक समाधान है ए+एक्स=बीऔर वेक्टर अंतर कहा जाता है बी ० ए.

परिभाषा।सबसेट एल'रैखिक स्थान एलबुलाया रैखिक उपस्थानअंतरिक्ष एल, यदि यह स्वयं एक रैखिक स्थान है जिसमें सदिशों का योग और एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे कि एल.

परिभाषा। रैखिक खोल एल(X1, x2, x3, …, xk) वैक्टर X1, x2, x3,और एक्सकेइन सदिशों के सभी रैखिक संयोजनों का समुच्चय कहा जाता है। रैखिक कोश के बारे में हम ऐसा कह सकते हैं

-रैखिक पतवार एक रैखिक उपस्थान है;

- रैखिक पतवार वेक्टर युक्त न्यूनतम रैखिक उपस्थान है X1, x2, x3,और एक्सके.

परिभाषा।एक रैखिक स्थान को एन-आयामी कहा जाता है यदि यह वेइल स्वयंसिद्ध प्रणाली के समूह II को संतुष्ट करता है। संख्या n को कहा जाता है आयामरैखिक स्थान और लिखें dimL=n.

आधार- कोई भी आदेशित प्रणाली एनअंतरिक्ष के रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश। आधार का अर्थ यह है कि आधार बनाने वाले सदिशों का उपयोग अंतरिक्ष में किसी भी सदिश का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

प्रमेय.अंतरिक्ष एल में कोई भी एन रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर एक आधार बनाते हैं।

समरूपता.

परिभाषा। रैखिक स्थान एलऔर एल'आइसोमोर्फिक कहलाते हैं यदि उनके तत्वों के बीच ऐसा एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सके x↔x', क्या:

1. अगर x↔x', y↔y', वह x+y↔x'+y';
2. अगर x↔x', फिर λ x↔λ एक्स'।

इस पत्राचार को ही कहा जाता है समाकृतिकता. समरूपता हमें निम्नलिखित कथन देने की अनुमति देती है:

• यदि दो स्थान समरूपी हैं, तो उनके आयाम समान हैं;
• एक ही क्षेत्र और एक ही आयाम पर कोई भी दो रैखिक स्थान समरूपी होते हैं।

1. बहुपदों का समुच्चय पी एन (एक्स) डिग्री अधिक नहीं एन.

2. गुच्छा एन-अवधि अनुक्रम (पद-दर-अवधि जोड़ और एक अदिश द्वारा गुणन के साथ)।

3 . बहुत सारी सुविधाएँ सी [ ए , बी ] निरंतर [ ए, बी] और एक अदिश द्वारा बिंदुवार जोड़ और गुणा के साथ।

4. [पर निर्दिष्ट कई कार्य ए, बी] और किसी निश्चित आंतरिक बिंदु पर लुप्त हो जाना सी: एफ (सी) = 0 और एक अदिश द्वारा जोड़ और गुणा की बिंदुवार संक्रियाओं के साथ।

5. यदि R+ सेट करें एक्स ⊕ य  एक्स  य, ⊙एक्स एक्स  .

§8. उपस्थान की परिभाषा

सेट होने दो डब्ल्यूरैखिक स्थान का एक उपसमुच्चय है वी (डब्ल्यू  वी) और ऐसा कि

ए)  एक्स, यडब्ल्यू  एक्स ⊕ यडब्ल्यू;

बी)  एक्सडब्ल्यू,    ⊙ एक्सडब्ल्यू.

यहां जोड़ और गुणा की क्रियाएं अंतरिक्ष की तरह ही हैं वी(उन्हें अंतरिक्ष प्रेरित कहा जाता है वी).

इतने सारे डब्ल्यूअंतरिक्ष का उपस्थान कहा जाता है वी.

7  . उपस्पेस डब्ल्यूस्वयं अंतरिक्ष है.

◀ इसे सिद्ध करने के लिए तटस्थ तत्त्व तथा उसके विपरीत के अस्तित्व को सिद्ध करना ही पर्याप्त है। समानताएं 0⊙ एक्स=  और (-1)⊙ एक्स = –एक्सजो आवश्यक है उसे सिद्ध करो।

एक उपस्थान जिसमें केवल एक तटस्थ तत्व () होता है और एक उपस्थान जो अंतरिक्ष से मेल खाता है वी, अंतरिक्ष के तुच्छ उपस्थान कहलाते हैं वी.

§9. सदिशों का रैखिक संयोजन. वेक्टर प्रणाली का रैखिक विस्तार

वैक्टर चलो इ 1 ,इ 2 , …इ एन वीऔर  1,  2 , …  एन .

वेक्टर एक्स =  1 इ 1 +  2 इ 2 + … +  एन इ एन = रैखिक कहा जाता हैवैक्टर का संयोजन इ 1 , इ 2 , … , इ एनगुणांक के साथ  1,  2 , …  एन .

यदि एक रैखिक संयोजन में सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, तो रैखिक संयोजन बुलायामामूली।

सदिशों के सभी संभावित रैखिक संयोजनों का समुच्चय
रैखिक पतवार कहा जाता हैवैक्टर की यह प्रणाली और निरूपित है:

ℒ(इ 1 , इ 2 , …, इ एन) = ℒ
.

8  . ℒ(इ 1 , इ 2 , …, इ एन

◀ एक अदिश द्वारा जोड़ और गुणा की संक्रियाओं की शुद्धता इस तथ्य से पता चलती है कि ℒ( इ 1 , इ 2 , …, इ एन) सभी संभावित रैखिक संयोजनों का एक सेट है। तटस्थ तत्व एक तुच्छ रैखिक संयोजन है। तत्व के लिए एक्स=
विपरीत तत्व है - एक्स =
. जिन सिद्धांतों को संक्रियाओं को पूरा करना चाहिए वे भी संतुष्ट हैं। इस प्रकार,ℒ( इ 1 , इ 2 , …, इ एन) एक रैखिक स्थान है.

किसी भी रैखिक स्थान में, सामान्य स्थिति में, अन्य रैखिक स्थानों (उपस्थानों) की अनंत संख्या होती है - रैखिक गोले

भविष्य में, हम निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास करेंगे:

विभिन्न सदिश प्रणालियों के रैखिक कोश कब एक ही सदिश से बने होते हैं (अर्थात् संपाती)?

2) समान रैखिक विस्तार को परिभाषित करने वाले वैक्टरों की न्यूनतम संख्या क्या है?

3) क्या मूल स्थान सदिशों की किसी प्रणाली का एक रैखिक विस्तार है?

§10. पूर्ण वेक्टर सिस्टम

यदि अंतरिक्ष में वीसदिशों का एक सीमित समूह है
तो क्या,ℒ
 वी, फिर वैक्टर की प्रणाली
में एक संपूर्ण सिस्टम कहा जाता है वी, और अंतरिक्ष को परिमित-आयामी कहा जाता है। इस प्रकार, सदिशों की प्रणाली इ 1 , इ 2 , …, इ एन वीपूर्ण रूप से कहा जाता है वीप्रणाली, यानी अगर

एक्सवी   1 ,  2 , …  एन ऐसा कि एक्स =  1 इ 1 +  2 इ 2 + … +  एन इ एन .

यदि अंतरिक्ष में वीकोई परिमित पूर्ण प्रणाली नहीं है (और एक पूर्ण प्रणाली हमेशा मौजूद रहती है - उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष के सभी वैक्टरों का सेट वी), फिर स्थान वीअनंत-आयामी कहा जाता है.

9  . अगर
में पूर्ण वीवैक्टर की प्रणाली और य वी, वह ( इ 1 , इ 2 , …, इ एन , य) भी एक संपूर्ण प्रणाली है।

◀ रैखिक संयोजनों में पहले गुणांक य 0 के बराबर लें.

आइए से सदिशों की एक प्रणाली बनें। रैखिक खोल वेक्टर सिस्टमकिसी दिए गए सिस्टम के वैक्टर के सभी रैखिक संयोजनों का सेट है, यानी।

एक रैखिक कोश के गुण: यदि , फिर के लिए और .

रैखिक शेल में रैखिक संक्रियाओं (किसी संख्या द्वारा जोड़ और गुणा की संक्रिया) के संबंध में बंद होने का गुण होता है।

किसी स्थान का वह उपसमुच्चय जिसमें संख्याओं द्वारा जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के संबंध में बंद होने का गुण होता है, कहलाता हैअंतरिक्ष का रैखिक उपस्थान .

सदिशों की एक प्रणाली का रैखिक कोश अंतरिक्ष का एक रैखिक उपस्थान है।

सदिशों की प्रणाली को आधार कहा जाता है ,अगर

किसी भी वेक्टर को आधार वेक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

2. सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

लेम्मा वेक्टर विस्तार गुणांक आधार के अनुसार विशिष्ट रूप से निर्धारित किये जाते हैं।

वेक्टर , वेक्टर विस्तार गुणांक से बना है आधार के अनुसार सदिश का निर्देशांक सदिश कहलाता है आधार में .

पद का नाम . यह प्रविष्टि इस बात पर जोर देती है कि वेक्टर के निर्देशांक आधार पर निर्भर करते हैं।

रैखिक स्थान

परिभाषाएं

मनमाना प्रकृति के तत्वों का एक सेट दिया जाए। इस सेट के तत्वों के लिए दो संक्रियाओं को परिभाषित करें: जोड़ और किसी से गुणा असली संख्या: , और सेट बंद किया हुआइन कार्यों के संबंध में: . इन संक्रियाओं को सिद्धांतों का पालन करने दें:

3. के गुण के साथ एक शून्य सदिश है;

4. प्रत्येक के लिए संपत्ति के साथ एक व्युत्क्रम वेक्टर है;

6. के लिए , ;

7. के लिए , ;

फिर ऐसे सेट को कहा जाता है रैखिक (वेक्टर) स्थान, इसके तत्वों को कहा जाता है वैक्टर, और - संख्याओं से उनके अंतर पर जोर देने के लिए - बाद वाले को कहा जाता है अदिश 1) . केवल एक शून्य सदिश से युक्त स्थान कहलाता है मामूली .

यदि अभिगृहीतों 6 - 8 में हम जटिल अदिशों द्वारा गुणन की अनुमति देते हैं, तो ऐसे रैखिक स्थान को कहा जाता है विस्तृत. अपने तर्क को सरल बनाने के लिए, निम्नलिखित में हम केवल वास्तविक स्थानों पर विचार करेंगे।

एक रैखिक स्थान जोड़ के संचालन के संबंध में एक समूह है, और एक एबेलियन समूह है।

शून्य वेक्टर की विशिष्टता और वेक्टर के व्युत्क्रम वेक्टर की विशिष्टता आसानी से सिद्ध होती है: , इसे आमतौर पर निर्दिष्ट किया जाता है .

एक रैखिक स्थान का एक उपसमुच्चय जो स्वयं एक रैखिक स्थान है (अर्थात्, सदिशों के योग और एक मनमाना अदिश द्वारा गुणन के तहत बंद) को कहा जाता है रैखिक उपस्थानअंतरिक्ष। तुच्छ उपस्थानएक रैखिक स्थान को स्वयं और एक शून्य वेक्टर से युक्त स्थान कहा जाता है।

उदाहरण।वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिकों का स्थान

समानता द्वारा परिभाषित संचालन:

ज्यामितीय व्याख्या स्पष्ट है: अंतरिक्ष में एक वेक्टर, मूल से "बंधा हुआ", इसके अंत के निर्देशांक में निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह आंकड़ा अंतरिक्ष का एक विशिष्ट उपस्थान भी दिखाता है: मूल बिंदु से गुजरने वाला एक विमान। अधिक सटीक रूप से, तत्व वेक्टर होते हैं जिनकी उत्पत्ति मूल बिंदु पर होती है और विमान में बिंदुओं पर समाप्त होती है। सदिशों के योग और उनके फैलाव 2) के संबंध में ऐसे समुच्चय की बंदता स्पष्ट है।

इस ज्यामितीय व्याख्या के आधार पर, एक मनमाना रैखिक स्थान के एक वेक्टर के बारे में अक्सर बात की जाती है अंतरिक्ष में बिंदु. कभी-कभी इस बिंदु को "वेक्टर का अंत" कहा जाता है। साहचर्य धारणा की सुविधा के अलावा, इन शब्दों को कोई औपचारिक अर्थ नहीं दिया गया है: "वेक्टर के अंत" की अवधारणा रैखिक अंतरिक्ष के स्वयंसिद्ध में अनुपस्थित है।

उदाहरण।उसी उदाहरण के आधार पर, हम वेक्टर स्पेस की एक अलग व्याख्या दे सकते हैं (वैसे, "वेक्टर" 3 शब्द के मूल में अंतर्निहित) - यह अंतरिक्ष में बिंदुओं के "शिफ्ट्स" के एक सेट को परिभाषित करता है। ये बदलाव - या किसी स्थानिक आकृति के समानांतर अनुवाद - को समतल के समानांतर चुना जाता है।

सामान्यतया, वेक्टर की अवधारणा की ऐसी व्याख्याओं के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। इसके भौतिक अर्थ को आकर्षित करने का प्रयास - एक वस्तु के रूप में जो है आकारऔर दिशा- सख्त गणितज्ञों से उचित फटकार का कारण बनें। वेक्टर स्पेस के एक तत्व के रूप में वेक्टर की परिभाषा इस प्रकरण की बहुत याद दिलाती है सेपुलचामीस्टैनिस्लाव लेम की प्रसिद्ध विज्ञान कथा कहानी से (यहां देखें)। आइए औपचारिकता में न उलझें, बल्कि इस अस्पष्ट वस्तु को उसकी विशिष्ट अभिव्यक्तियों में खोजें।

उदाहरण।एक प्राकृतिक सामान्यीकरण स्थान है: पंक्ति या स्तंभ वेक्टर स्थान . किसी उप-स्थान को निर्दिष्ट करने का एक तरीका बाधाओं का एक सेट निर्दिष्ट करना है।

उदाहरण।रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान का सेट:

अंतरिक्ष का एक रैखिक उपस्थान बनाता है। वास्तव में, यदि

तो, सिस्टम का समाधान

किसी के लिए भी यही समाधान. अगर

तो फिर, सिस्टम का एक और समाधान

यह उसका निर्णय भी होगा.

सिस्टम के लिए कई समाधान क्यों हैं? विजातीय समीकरण एक रैखिक उपसमष्टि नहीं बनाते?

उदाहरण।आगे सामान्यीकरण करते हुए, हम "अनंत" स्ट्रिंग्स या के स्थान पर विचार कर सकते हैं दृश्यों , आमतौर पर गणितीय विश्लेषण का उद्देश्य - अनुक्रमों और श्रृंखलाओं पर विचार करते समय। आप रेखाओं (अनुक्रमों) को "दोनों दिशाओं में अनंत" मान सकते हैं - इनका उपयोग सिग्नल सिद्धांत में किया जाता है।

उदाहरण।मैट्रिक्स जोड़ और वास्तविक संख्याओं द्वारा गुणा के संचालन के साथ वास्तविक तत्वों के साथ -मैट्रिसेस का सेट एक रैखिक स्थान बनाता है।

वर्गाकार क्रम वाले आव्यूहों के स्थान में, दो उप-स्थानों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: सममित आव्यूहों का उप-स्थान और तिरछा-सममित आव्यूहों का उप-स्थान। इसके अलावा, उप-स्थान प्रत्येक सेट का निर्माण करते हैं: ऊपरी त्रिकोणीय, निचला त्रिकोणीय आइडिगोनल मैट्रिक्स।

उदाहरण।एक चर डिग्री वाले बहुपदों का एक सेट, जो बहुपदों को जोड़ने और एक संख्या से गुणा करने की सामान्य संक्रियाओं के साथ (जहां कोई भी सेट है) के गुणांकों के बिल्कुल बराबर है। नहीं बनता रैखिक स्थान. क्यों? - क्योंकि यह जोड़ के अंतर्गत बंद नहीं है: बहुपदों का योग वें डिग्री का बहुपद नहीं होगा। लेकिन यहाँ घात के बहुत सारे बहुपद हैं उच्चतर नहीं

रैखिक अंतरिक्ष रूप; केवल इस सेट में हमें एक समान रूप से शून्य बहुपद 4) भी जोड़ना होगा। स्पष्ट उपस्थान हैं। इसके अलावा, उप-स्थान सम का समुच्चय और अधिक से अधिक घात वाले विषम बहुपदों का समुच्चय होगा। सभी संभावित बहुपदों का समुच्चय (डिग्री पर प्रतिबंध के बिना) भी एक रैखिक स्थान बनाता है।

उदाहरण।पिछले मामले का एक सामान्यीकरण अधिकतम से गुणांक के साथ डिग्री के कई चर के बहुपदों का स्थान होगा। उदाहरण के लिए, रैखिक बहुपदों का समुच्चय

एक रैखिक स्थान बनाता है। घात के सजातीय बहुपदों (रूपों) का समुच्चय (इस समुच्चय में एक समरूप शून्य बहुपद जोड़ने के साथ) भी एक रैखिक स्थान है।

उपरोक्त परिभाषा के संदर्भ में, पूर्णांक घटकों के साथ स्ट्रिंग का सेट

द्वारा घटकवार जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के संबंध में विचार किया गया पूर्णांकों अदिश एक रैखिक स्थान नहीं है. हालाँकि, सभी अभिगृहीत 1 - 8 संतुष्ट होंगे यदि हम केवल पूर्णांक अदिशों द्वारा गुणन की अनुमति देते हैं। इस खंड में हम इस वस्तु पर ध्यान केंद्रित नहीं करेंगे, लेकिन यह असतत गणित में काफी उपयोगी है, उदाहरण के लिए ☞ कोडिंग सिद्धांत में। यहां परिमित क्षेत्रों पर रैखिक स्थानों को ☞ माना जाता है।

चर वें क्रम के सममित आव्यूहों के स्थान के समरूपी हैं। समरूपता एक पत्राचार द्वारा स्थापित की जाती है, जिसे हम मामले के लिए स्पष्ट करेंगे:

समरूपता की अवधारणा को बीजगणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होने वाली वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए पेश किया गया है, लेकिन संचालन के "समान" गुणों के साथ, एक नमूने के उदाहरण का उपयोग करके, उस पर परिणाम तैयार करना जिसे बाद में सस्ते में दोहराया जा सकता है। हमें कौन सा रैखिक स्थान "नमूने के रूप में" लेना चाहिए? - अगले पैराग्राफ का अंत देखें