Matrice, operacije na matricama. inverzna matrica

1. godina, viša matematika, studiranje matrice i osnovne radnje na njima. Ovdje sistematiziramo osnovne operacije koje se mogu izvoditi s matricama. Gdje započeti upoznavanje s matricama? Naravno, od najjednostavnijih stvari - definicija, osnovnih pojmova i jednostavnih operacija. Uvjeravamo vas da će matrice razumjeti svi koji im posvete barem malo vremena!

Definicija matrice

Matrica je pravokutna tablica elemenata. Pa, jednostavno rečeno - tablica brojeva.

Obično se matrice označavaju velikim latiničnim slovima. Na primjer, matrica A , matrica B i tako dalje. Matrice mogu biti različitih veličina: pravokutne, kvadratne, a postoje i redne i stupčaste matrice koje se nazivaju vektori. Veličina matrice određena je brojem redaka i stupaca. Na primjer, napišimo pravokutnu matricu veličine m na n , Gdje m – broj linija, i n – broj stupaca.

Predmeti za koje i=j (a11, a22, .. ) čine glavnu dijagonalu matrice i nazivaju se dijagonalama.

Što možete učiniti s matricama? Zbrajanje/oduzimanje, pomnožiti s brojem, umnožiti među sobom, transponirati. Sada o svim ovim osnovnim operacijama na matricama po redu.

Operacije zbrajanja i oduzimanja matrica

Odmah vas upozoravamo da možete dodavati samo matrice iste veličine. Rezultat će biti matrica iste veličine. Zbrajanje (ili oduzimanje) matrica je jednostavno - samo trebate dodati njihove odgovarajuće elemente . Navedimo primjer. Izvršimo zbrajanje dviju matrica A i B veličine dva puta dva.

Oduzimanje se izvodi po analogiji, samo sa suprotnim predznakom.

Bilo koja matrica se može pomnožiti proizvoljnim brojem. Uraditi ovo, morate svaki njegov element pomnožiti s ovim brojem. Na primjer, pomnožimo matricu A iz prvog primjera s brojem 5:

Operacija množenja matrica

Ne mogu se sve matrice međusobno množiti. Na primjer, imamo dvije matrice - A i B. One se mogu međusobno množiti samo ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B. U ovom slučaju svaki element rezultirajuće matrice, koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu, bit će jednak zbroju proizvoda odgovarajućih elemenata u i-tom retku prvog faktora i j-tom stupcu faktora drugi. Da bismo razumjeli ovaj algoritam, zapišimo kako se množe dvije kvadratne matrice:

I primjer s realnim brojevima. Pomnožimo matrice:

Transponiranje matrice

Transpozicija matrice je operacija u kojoj se odgovarajući redovi i stupci mijenjaju. Na primjer, transponirajmo matricu A iz prvog primjera:

Matrična determinanta

Determinanta, ili determinanta, jedan je od osnovnih pojmova linearne algebre. Nekad su ljudi smislili linearne jednadžbe, a nakon njih morali su smisliti determinantu. Na kraju, na vama je da se nosite sa svime ovime, dakle, posljednji guranje!

Determinanta je numerička karakteristika kvadratne matrice koja je potrebna za rješavanje mnogih problema.
Za izračun determinante najjednostavnije kvadratne matrice potrebno je izračunati razliku umnožaka elemenata glavne i sporedne dijagonale.

Determinanta matrice prvog reda, koja se sastoji od jednog elementa, jednaka je ovom elementu.

Što ako je matrica tri puta tri? Ovo je teže, ali možete to riješiti.

Za takvu matricu vrijednost determinante jednaka je zbroju umnožaka elemenata glavne dijagonale i umnožaka elemenata koji leže na trokutima s licem paralelnim s glavnom dijagonalom, iz čega je umnožak oduzimaju se elementi sekundarne dijagonale i umnožak elemenata koji leže na trokutima s licem paralelne sekundarne dijagonale.

Srećom, u praksi je rijetko potrebno izračunati determinante matrica velikih veličina.

Ovdje smo pogledali osnovne operacije na matricama. Naravno, u stvarnom životu možda nikada nećete naići ni na naznaku matričnog sustava jednadžbi, ili, naprotiv, možete naići na puno složenije slučajeve kada stvarno morate napucati glavu. Za takve slučajeve postoje stručni studentski servisi. Zatražite pomoć, dobijte kvalitetno i detaljno rješenje, uživajte u akademskom uspjehu i slobodnom vremenu.

Predavanje 1. “Matrice i osnovne operacije na njima. Odrednice

Definicija. Matrica veličina m n, Gdje m- broj linija, n- broj stupaca, koji se zove tablica brojeva poredanih određenim redoslijedom. Ti se brojevi nazivaju elementima matrice. Položaj svakog elementa jednoznačno je određen brojem retka i stupca na čijem se sjecištu nalazi. Označeni su elementi matricea i J, Gdje ja- broj retka, i j- broj stupca.

A =

Osnovne operacije na matricama.

Matrica se može sastojati od jednog reda ili jednog stupca. Općenito govoreći, matrica se čak može sastojati od jednog elementa.

Definicija. Ako je broj stupaca matrice jednak broju redova (m=n), tada se matrica naziva kvadrat.

Definicija. Matrični prikaz:

= E ,

nazvao Matrica identiteta.

Definicija. Ako a mn = a nm , tada se poziva matrica simetričan.

Primjer.
- simetrična matrica

Definicija. Kvadratna matrica forme
nazvao dijagonala matrica.

Zbrajanje i oduzimanje matrica svodi se na odgovarajuće operacije nad njihovim elementima. Najvažnije svojstvo ovih operacija je da one definiran samo za matrice iste veličine. Dakle, moguće je definirati operacije zbrajanja i oduzimanja matrice:

Definicija. Zbroj (razlika) matrice je matrica čiji su elementi, redom, zbroj (razlika) elemenata izvornih matrica.

c ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Operacija množenje (dijeljenje) matrica bilo koje veličine proizvoljnim brojem svodi se na množenje (dijeljenje) svakog elementa matrice tim brojem.

 (A+B) =  A   B A( ) =  A   A

Primjer. Date su matrice A =
; B=
, pronađite 2A + B.

2A =
, 2A + B =
.

Operacija množenja matrica.

Definicija: Posao matrice je matrica čiji se elementi mogu izračunati pomoću sljedećih formula:

A B = C;
.

Iz gornje definicije jasno je da je operacija množenja matrica definirana samo za matrice broj stupaca prvog od kojih je jednak broju redaka drugog.

Svojstva operacije množenja matrice.

1) Množenje matricenije komutativno , tj. AB  VA čak i ako su definirana oba proizvoda. Međutim, ako je za bilo koju matricu zadovoljena relacija AB = BA, tada se takve matrice nazivajupromjenljiv.

Najtipičniji primjer je matrica koja komutira s bilo kojom drugom matricom iste veličine.

Samo kvadratne matrice istog reda mogu biti permutabilne.

A E = E A = A

Očito, za bilo koju matricu vrijedi sljedeće svojstvo:

A O = O; O A = O,

gdje je O – nula matrica.

2) Operacija množenja matrica asocijativni, oni. ako su definirani umnošci AB i (AB)C, tada su definirani BC i A(BC) i vrijedi jednakost:

(AB)C=A(BC).

3) Operacija množenja matrica distributivni u odnosu na sabiranje, tj. ako izrazi A(B+C) i (A+B)C imaju smisla, tada prema tome:

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC.

4) Ako je definiran umnožak AB, tada za bilo koji broj točan je sljedeći omjer:

(AB) = ( A) B = A( B).

5) Ako je definiran umnožak AB, definiran je i umnožak B T A T i vrijedi jednakost:

(AB) T = B T A T, gdje je

indeks T označava transponirano matrica.

6) Primijetimo također da je za bilo koju kvadratnu matricu det (AB) = detA detB.

Što se dogodilo o tome će biti riječi u nastavku.

Definicija . Matrica B se zove transponirano matrica A, i prijelaz iz A u B transpozicija, ako su elementi svakog retka matrice A napisani istim redoslijedom u stupcima matrice B.

A =
; B = A T =
;

drugim riječima, b ji = a ij .

Kao posljedicu prethodnog svojstva (5), možemo napisati da je:

(ABC ) T = C T B T A T ,

uz uvjet da je definiran umnožak matrica ABC.

Primjer. Date su matrice A =
, B = , C =
i broj = 2. Nađi A T B+  C.

A T =
; A T B =
 =
=
;

C =
; A T B+  C =
+
=
.

Primjer. Nađite umnožak matrica A = i B =
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Primjer. Nađite umnožak matrica A=
, B =

AB =

=
=
.

Odrednice(odrednice).

Definicija. Determinanta kvadratna matrica A=
je broj koji se može izračunati iz elemenata matrice pomoću formule:

det A =
, gdje je (1)

M 1 do– determinanta matrice dobivena iz izvorne brisanjem prvog retka i k-tog stupca. Treba napomenuti da determinante imaju samo kvadratne matrice, tj. matrice u kojima je broj redaka jednak broju stupaca.

F Formula (1) omogućuje izračunavanje determinante matrice iz prvog retka; također vrijedi formula za izračunavanje determinante iz prvog stupca:

det A =
(2)

Općenito govoreći, determinanta se može izračunati iz bilo kojeg retka ili stupca matrice, tj. formula je točna:

detA =
, i = 1,2,…,n. (3)

Očito, različite matrice mogu imati iste determinante.

Determinanta matrice identiteta je 1.

Za navedenu matricu A poziva se broj M 1k dodatni manji element matrice a 1 k . Dakle, možemo zaključiti da svaki element matrice ima svoj dodatni minor. Dodatni minori postoje samo u kvadratnim matricama.

Definicija. Dodatni manji proizvoljnog elementa kvadratne matrice a ij jednaka je determinanti matrice dobivene iz izvorne brisanjem i-tog retka i j-tog stupca.

Svojstvo1. Važno svojstvo determinanti je sljedeći odnos:

det A = det A T;

Vlasništvo 2. det (A B) = detalj A detalj B.

Svojstvo 3. det (AB) = detA detB

Svojstvo 4. Ako zamijenite bilo koja dva retka (ili stupca) u kvadratnoj matrici, determinanta matrice će promijeniti predznak bez promjene apsolutne vrijednosti.

Svojstvo 5. Kada pomnožite stupac (ili redak) matrice s brojem, njezina determinanta se množi s tim brojem.

Svojstvo 6. Ako su u matrici A redovi ili stupci linearno ovisni, tada je njezina determinanta jednaka nuli.

Definicija: Stupci (retci) matrice nazivaju se linearno ovisna, ako postoji njihova linearna kombinacija jednaka nuli koja ima netrivijalna (ne-nula) rješenja.

Svojstvo 7. Ako matrica sadrži nulti stupac ili nulti redak, tada je njezina determinanta nula. (Ova izjava je očita, jer se determinanta može precizno izračunati prema nultom retku ili stupcu.)

Svojstvo 8. Determinanta matrice neće se promijeniti ako se elementi drugog retka (stupca) dodaju (oduzmu) elementima jednog od njezinih reda (stupaca), pomnože s bilo kojim brojem koji nije jednak nuli.

Svojstvo 9. Ako je sljedeća relacija istinita za elemente bilo kojeg retka ili stupca matrice:d = d 1  d 2 , e = e 1  e 2 , f = det (AB).

1. metoda: det A = 4 – 6 = -2; det. B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2. metoda: AB =
, det (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Ovaj priručnik pomoći će vam da naučite kako to izvesti operacije s matricama: zbrajanje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverzne matrice. Sav materijal predstavljen je u jednostavnom i pristupačnom obliku, dani su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi akcije s matricama. Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>.

Pokušat ću minimizirati teorijske izračune, ponegdje su moguća objašnjenja "na prste" i korištenje neznanstvenih pojmova. Ljubitelji čvrste teorije, molimo da se ne upuštate u kritiku, naša je zadaća naučiti izvoditi operacije s matricama.

Za SUPER BRZU pripremu na temu (tko “gori”) postoji intenzivni pdf tečaj Matrica, determinanta i test!

Matrica je pravokutna tablica nekih elementi. Kao elementi razmatrat ćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT je pojam. Poželjno je zapamtiti pojam, često će se pojavljivati, nije slučajnost da sam ga istaknuo podebljanim fontom.

Oznaka: matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Primjer: Razmotrite matricu dva puta tri:

Ova se matrica sastoji od šest elementi:

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora ni o kakvom oduzimanju:

To je samo tablica (skup) brojeva!

Također ćemo se složiti nemojte preuređivati brojevima, osim ako nije drugačije navedeno u obrazloženjima. Svaki broj ima svoje mjesto i ne može se miješati!

Predmetna matrica ima dva reda:

i tri stupca:

STANDARD: kada govorimo o veličinama matrica, onda isprva navedite broj redaka, a tek onda broj stupaca. Upravo smo rastavili matricu dva po tri.

Ako je broj redaka i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat, Na primjer: – matrica tri puta tri.

Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se i takve matrice nazivaju vektori.

Zapravo, koncept matrice poznajemo još od škole; razmotrimo, na primjer, točku s koordinatama "x" i "y": . U suštini, koordinate točke zapisuju se u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je bitan redoslijed brojeva: i su dvije potpuno različite točke na ravnini.

Sada prijeđimo na učenje operacije s matricama:

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu).

Vratimo se našoj matrici . Kao što ste vjerojatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno s gledišta izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je napisati toliko minusa, a jednostavno izgleda ružno u dizajnu.

Pomaknimo minus izvan matrice, mijenjajući predznak SVAKOG elementa matrice:

Na nuli, kao što razumijete, znak se ne mijenja; nula je također nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Unesimo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOM elementu matrice:

Pa ispalo je puno ljepše. I što je najvažnije, bit će LAKŠE izvoditi bilo kakve radnje s matricom. Jer postoji takav matematički narodni znak: što više minusa, to više zabune i grešaka.

2) Čin drugi. Množenje matrice brojem.

Primjer:

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu s brojem, trebate svaki element matrice pomnožen zadanim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Još jedan koristan primjer:

– množenje matrice razlomkom

Prvo pogledajmo što učiniti NEMA POTREBE:

NEMA POTREBE upisivati ​​razlomak u matricu, prvo, to samo komplicira daljnje radnje s matricom, a drugo, otežava učitelju provjeru rješenja (pogotovo ako – konačni odgovor zadatka).

I pogotovo, NEMA POTREBE svaki element matrice podijelite s minus sedam:

Iz članka Matematika za glupane ili odakle početi, sjećamo se da u višoj matematici na sve moguće načine pokušavaju izbjeći decimalne razlomke sa zarezima.

Jedina stvar je po mogućnostiŠto učiniti u ovom primjeru je dodati minus matrici:

Ali ako samo SVI elementi matrice su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

Primjer:

U ovom slučaju možete MORAM pomnožite sve elemente matrice s jer su svi brojevi matrice djeljivi s 2 bez traga.

Napomena: u teoriji visokoškolske matematike ne postoji pojam “podjela”. Umjesto da kažete "ovo podijeljeno s tim", uvijek možete reći "ovo pomnoženo s razlomkom". Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.

3) Čin treći. Transponiranje matrice.

Da biste transponirali matricu, morate upisati njezine retke u stupce transponirane matrice.

Primjer:

Transponirati matricu

Ovdje postoji samo jedan redak i prema pravilu ga treba napisati u stupcu:

– transponirana matrica.

Transponirana matrica obično je označena superskriptom ili primenom u gornjem desnom kutu.

Primjer korak po korak:

Transponirati matricu

Prvo prepisujemo prvi redak u prvi stupac:

Zatim prepisujemo drugi redak u drugi stupac:

I na kraju, prepisujemo treći redak u treći stupac:

Spreman. Grubo rečeno, transponiranje znači okretanje matrice na stranu.

4) Čin četvrti. Zbroj (razlika) matrica.

Zbroj matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SASVITI. Za zbrajanje (oduzimanje) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je dana matrica dva puta dva, tada se može dodati samo matricom dva puta dva i nijednom drugom!

Primjer:

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

Primjer:

Nađi razliku matrice ,

Kako lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zabunite? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji visokoškolske matematike ne postoji koncept “oduzimanja”. Umjesto da kažete "oduzmi ovo od ovoga", uvijek možete reći "dodaj negativan broj ovome". Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj zbrajanja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje se matrice mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila matricom potrebno je tako da broj stupaca matrice bude jednak broju redaka matrice.

Primjer:
Je li moguće pomnožiti matricu s matricom?

To znači da se podaci matrice mogu umnožiti.

Ali ako se matrice preslože, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Stoga množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke s trikom, kada se od učenika traži množenje matrica čije je množenje očito nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množenje matrica na oba načina.
Na primjer, za matrice, a moguće je i množenje i množenje

DEFINICIJA MATRICE. VRSTE MATRICA

Matrica veličine m× n naziva skup m·n brojevi raspoređeni u pravokutnu tablicu od m linije i n stupci. Ova se tablica obično nalazi u zagradama. Na primjer, matrica može izgledati ovako:

Radi sažetosti, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, A ili U.

Općenito, matrica veličine m× n napiši to ovako

.

Brojevi koji čine matricu nazivaju se elementi matrice. Prikladno je osigurati elemente matrice s dva indeksa a ij: Prvi označava broj retka, a drugi označava broj stupca. Na primjer, a 23– element se nalazi u 2. redu, 3. stupcu.

Ako matrica ima isti broj redaka kao i broj stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a naziva se broj njegovih redaka ili stupaca u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen redoslijed je 3, a četvrta matrica je njen redoslijed 1.

Matrica u kojoj broj redaka nije jednak broju stupaca naziva se pravokutan. U primjerima ovo je prva matrica i treća.

Postoje i matrice koje imaju samo jedan red ili jedan stupac.

Poziva se matrica sa samo jednim retkom matrica – redak(ili niz), i matricu sa samo jednim stupcem matrica – stupac.

Matrica čiji su svi elementi nula naziva se ništavan i označava se s (0) ili jednostavno 0. Na primjer,

.

Glavna dijagonala kvadratne matrice nazivamo dijagonalom koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta.

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trokutasti matrica.

.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici naziva se singl matrica i označava se slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

DJELOVANJA NA MATRICAMA

Jednakost matrice. Dvije matrice A I B kaže se da su jednaki ako imaju isti broj redaka i stupaca i njihovi odgovarajući elementi su jednaki a ij = b ij. Pa ako I , To A=B, Ako a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 I a 22 = b 22.

Transponirati. Promotrimo proizvoljnu matricu A iz m linije i n stupci. Može se povezati sa sljedećom matricom B iz n linije i m stupaca, u kojima je svaki redak stupac matrice A s istim brojem (stoga je svaki stupac redak matrice A s istim brojem). Pa ako , To .

Ova matrica B nazvao transponirano matrica A, i prijelaz iz A Do B transpozicija.

Dakle, transpozicija je zamjena uloga redaka i stupaca matrice. Matrica transponirana u matricu A, obično označeno A T.

Komunikacija između matrice A a njegovo transponiranje može se napisati u obliku .

Na primjer. Nađi matricu transponiranu zadane.

Zbrajanje matrice. Neka matrice A I B sastoje se od istog broja redaka i istog broja stupaca, tj. imati iste veličine. Zatim kako bi se dodale matrice A I B potrebni za elemente matrice A dodati elemente matrice B stojeći na istim mjestima. Dakle, zbroj dviju matrica A I B nazvana matrica C, što je određeno pravilom, npr.

Primjeri. Nađi zbroj matrica:

Lako je provjeriti da zbrajanje matrica poštuje sljedeće zakone: komutativni A+B=B+A i asocijativne ( A+B)+C=A+(B+C).

Množenje matrice brojem. Za množenje matrice A po broju k svaki element matrice je potreban A pomnožite s ovim brojem. Dakle, proizvod matrice A po broju k postoji nova matrica, koja je određena pravilom ili .

Za bilo koje brojeve a I b i matrice A I B vrijede sljedeće jednakosti:

Primjeri.

Množenje matrice. Ova se operacija odvija prema posebnom zakonu. Prije svega, napominjemo da veličine matrica faktora moraju biti dosljedne. Možete množiti samo one matrice u kojima se broj stupaca prve matrice podudara s brojem redaka druge matrice (tj. duljina prvog retka jednaka je visini drugog stupca). Posao matrice A nije matrica B nazvana nova matrica C=AB, čiji su elementi sastavljeni na sljedeći način:

Tako, na primjer, da bi se dobio proizvod (tj. u matrici C) element koji se nalazi u 1. retku i 3. stupcu od 13, trebate uzeti 1. red u 1. matrici, 3. stupac u 2., a zatim pomnožiti elemente retka s odgovarajućim elementima stupca i zbrojiti dobivene umnoške. I ostali elementi matrice umnoška dobivaju se pomoću sličnog umnoška redaka prve matrice i stupaca druge matrice.

Općenito, ako pomnožimo matricu A = (a ij) veličina m× n na matricu B = (b ij) veličina n× str, tada dobivamo matricu C veličina m× str, čiji se elementi izračunavaju na sljedeći način: element c ij se dobiva kao rezultat produkta elemenata ja red matrice A na odgovarajuće elemente j stupac matrice B i njihove dopune.

Iz ovog pravila slijedi da uvijek možete pomnožiti dvije kvadratne matrice istog reda, a kao rezultat dobivamo kvadratnu matricu istog reda. Konkretno, kvadratna matrica uvijek se može pomnožiti sama sa sobom, tj. kvadrat.

Drugi važan slučaj je množenje matrice retka matricom stupca, a širina prvog mora biti jednaka visini drugog, što rezultira matricom prvog reda (tj. jednim elementom). Stvarno,

.

Primjeri.

Dakle, ovi jednostavni primjeri pokazuju da matrice, općenito govoreći, ne komutiraju jedna s drugom, tj. A∙B ≠ B∙A . Stoga, kada množite matrice, morate pažljivo pratiti redoslijed faktora.

Može se provjeriti da se množenje matrica pokorava asocijativnim i distributivnim zakonima, tj. (AB)C=A(BC) I (A+B)C=AC+BC.

To je također lako provjeriti kod množenja kvadratne matrice A na matricu identiteta E istog reda opet dobivamo matricu A, i AE=EA=A.

Može se primijetiti sljedeća zanimljiva činjenica. Kao što znate, umnožak 2 broja različita od nule nije jednak 0. Za matrice to možda nije slučaj, tj. umnožak 2 različite matrice može biti jednak nultoj matrici.

Na primjer, Ako , To

.

POJAM DETERMINANTI

Neka je dana matrica drugog reda - kvadratna matrica koja se sastoji od dva retka i dva stupca .

Odrednica drugog reda koji odgovara zadanoj matrici je broj dobiven na sljedeći način: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Odrednica je označena simbolom .

Dakle, da biste pronašli determinantu drugog reda, trebate oduzeti umnožak elemenata duž druge dijagonale od umnoška elemenata glavne dijagonale.

Primjeri. Izračunajte determinante drugog reda.

Slično, možemo razmotriti matricu trećeg reda i njezinu odgovarajuću determinantu.

Odrednica trećeg reda, koji odgovara danoj kvadratnoj matrici trećeg reda, je broj označen i dobiven na sljedeći način:

.

Dakle, ova formula daje proširenje determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda a 11, a 12, a 13 a izračun determinante trećeg reda svodi na izračun determinanti drugog reda.

Primjeri. Izračunajte determinantu trećeg reda.

Slično možemo uvesti pojmove determinanti četvrtine, petice itd. poredaka, snižavajući njihov poredak proširivanjem na elemente 1. reda, pri čemu se izmjenjuju predznaci “+” i “–” pojmova.

Dakle, za razliku od matrice, koja je tablica brojeva, determinanta je broj koji je na određeni način dodijeljen matrici.

Matrica dimenzija je pravokutna tablica koja se sastoji od elemenata smještenih u m linije i n stupci.

Elementi matrice (prvi indeks ja− broj retka, drugi indeks j− broj stupca) mogu biti brojevi, funkcije i sl. Matrice se označavaju velikim slovima latinice.

Matrica se zove kvadrat, ako ima isti broj redaka kao i broj stupaca ( m = n). U ovom slučaju broj n naziva se red matrice, a sama matrica se naziva matrica n-ti red.

Elementi s istim indeksima oblik glavna dijagonala kvadratna matrica i elementi (tj. koji imaju zbroj indeksa jednak n+1) − bočna dijagonala.

Singl matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1, a ostali elementi jednaki 0. Označava se slovom E.

Nula matrica− je matrica čiji su svi elementi jednaki 0. Nulta matrica može biti bilo koje veličine.

Na broj linearne operacije na matricama odnositi se:

1) zbrajanje matrice;

2) množenje matrica brojem.

Operacija zbrajanja matrica definirana je samo za matrice iste dimenzije.

Zbroj dviju matrica A I U nazvana matrica S, čiji su svi elementi jednaki zbroju odgovarajućih elemenata matrice A I U:

.

Matrix proizvod A po broju k nazvana matrica U, čiji su svi elementi jednaki odgovarajućim elementima ove matrice A, pomnoženo s brojem k:

Operacija množenje matrice uvodi se za matrice koje zadovoljavaju uvjet: broj stupaca prve matrice jednak je broju redaka druge.

Matrix proizvod A dimenzije na matricu U dimenzija naziva se matrica S dimenzije, element ja-th line i jčiji je th stupac jednak zbroju umnožaka elemenata ja red matrice A na odgovarajuće elemente j stupac matrice U:

Umnožak matrica (za razliku od umnoška realnih brojeva) ne poštuje komutativni zakon, tj. općenito A U U A.

1.2. Odrednice. Svojstva determinanti

Pojam determinante uvodi se samo za kvadratne matrice.

Determinanta matrice 2. reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu

.

Determinanta matrice 3. reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu:

Prvi od članova sa znakom "+" je proizvod elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice (). Preostala dva sadrže elemente smještene na vrhovima trokuta s bazom paralelnom s glavnom dijagonalom (i). Znak "-" uključuje umnoške elemenata sekundarne dijagonale () i elemenata koji tvore trokute s bazama paralelnim s tom dijagonalom (i).

Ovo pravilo za izračunavanje determinante 3. reda naziva se pravilo trokuta (ili Sarrusovo pravilo).

Svojstva determinanti Pogledajmo primjer determinanti 3. reda.

1. Prilikom zamjene svih redaka determinante stupcima s istim brojevima kao i retci, determinanta ne mijenja svoju vrijednost, tj. redovi i stupci determinante su jednaki

.

2. Kad se dva retka (stupca) preslože, determinanta mijenja predznak.

3. Ako su svi elementi određenog retka (stupca) nule, tada je determinanta 0.

4. Zajednički faktor svih elemenata retka (stupca) može se izbaciti iz predznaka determinante.

5. Determinanta koja sadrži dva identična retka (stupca) jednaka je 0.

6. Determinanta koja sadrži dva proporcionalna retka (stupca) jednaka je nuli.

7. Ako svaki element određenog stupca (reda) determinante predstavlja zbroj dvaju članova, tada je determinanta jednaka zbroju dviju determinanti, od kojih jedna sadrži prve članove u istom stupcu (retku), a druga sadrži drugu. Ostali elementi obiju odrednica su isti. Tako,

.

8. Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog stupca (reda) dodaju elementima bilo kojeg od njegovih stupaca (redova), pomnoženim s istim brojem.

Sljedeće svojstvo determinante povezano je s pojmovima minora i algebarskog komplementa.

Minor element determinante je determinanta dobivena iz zadane precrtavanjem retka i stupca u čijem se sjecištu taj element nalazi.

Na primjer, sporedni element determinante naziva se determinanta.

Algebarski komplement element determinante naziva se njegov minor pomnožen sa, gdje ja− broj retka, j− broj stupca na čijem se sjecištu element nalazi. Obično se označava algebarski komplement. Za element determinante 3. reda, algebarski komplement

9. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg retka (stupca) s njihovim odgovarajućim algebarskim komplementima.

Na primjer, determinanta se može proširiti na elemente prvog retka

,

ili drugi stupac

Za njihov izračun koriste se svojstva determinanti.