Kako odrediti jesu li vektori linearno ovisni ili neovisni. Linearna ovisnost vektora

Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U dvorani su kolica s čokoladama, a svaki posjetitelj danas će dobiti slatki par - analitičku geometriju s linearnom algebrom. Ovaj će se članak dotaknuti dva dijela više matematike odjednom i vidjet ćemo kako oni koegzistiraju u jednom omotu. Odmorite se, pojedite Twix! ...prokletstvo, kakva hrpa gluposti. Iako, dobro, neću bodovati, na kraju krajeva, treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna ovisnost vektora, linearna vektorska neovisnost, baza vektora i drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, nego, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept “vektora” sa stajališta linearne algebre nije uvijek “običan” vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao na Gismeteo: temperatura odnosno atmosferski tlak. Primjer je, naravno, netočan s gledišta svojstava vektorskog prostora, ali ipak nitko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću vas zamarati teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumjeti definicije i teoremi. Novi pojmovi (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza itd.) odnose se na sve vektore s algebarskog gledišta, ali bit će navedeni geometrijski primjeri. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i jasno. Osim problema analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipične probleme algebre. Da biste svladali gradivo, preporučljivo je upoznati se s lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna ovisnost i neovisnost ravninskih vektora.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Razmotrimo ravninu vašeg računalnog stola (samo stol, noćni ormarić, pod, strop, što god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite ravninsku osnovu. Grubo govoreći, ploča stola ima duljinu i širinu, pa je intuitivno da će za konstrukciju baze biti potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štoviše, na vašem. Molim mjesto lijevi kažiprst na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sada mjesto desni mali prst na rubu stola na isti način – tako da bude usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješi se, super izgledaš! Što možemo reći o vektorima? Vektori podataka kolinearni, što znači linearni izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je neki broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u razredu. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo množenja vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravninu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad poprijeko sama pravac, a ravnina ima duljinu i širinu.

Takvi se vektori nazivaju linearno ovisna.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama i izrazima nema kvadrata, kuba, drugih potencija, logaritama, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stupanj) izrazi i ovisnosti.

Dva vektora u ravnini linearno ovisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da postoji bilo koji kut između njih osim 0 ili 180 stupnjeva. Dva vektora u ravninilinearni Ne ovisni ako i samo ako nisu kolinearni. Dakle, osnova je dobivena. Ne treba se sramiti što je baza ispala "iskrivljena" neokomitim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije pogodan samo kut od 90 stupnjeva, a ne samo jedinični vektori jednake duljine

Bilo koje ravninski vektor jedini način proširuje se prema osnovi:
, gdje su realni brojevi. Brojevi se nazivaju vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Također se kaže da vektorpredstavljen kao linearna kombinacija bazni vektori. Odnosno, izraz se zove vektorska dekompozicijapo osnovi ili linearna kombinacija bazni vektori.

Na primjer, možemo reći da je vektor dekomponiran duž ortonormirane baze ravnine, ili možemo reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Idemo formulirati definicija osnove formalno: Osnova aviona naziva se par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravninski vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna točka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redoslijedom. Baze – to su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke umjesto malog prsta desne ruke.

Osnovu smo smislili, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na stolu računala. Zašto nije dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju cijelom ravninom. Dakle, kako dodijeliti koordinate onim malim prljavim mrljama na stolu preostalim od divljeg vikenda? Potrebno je polazište. A takav orijentir je svima poznata točka - ishodište koordinata. Razumimo koordinatni sustav:

Počet ću od “školskog” sustava. Već na uvodnom satu Vektori za lutke Naglasio sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormirane baze. Evo standardne slike:

Kada govore o pravokutni koordinatni sustav, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati "pravokutni koordinatni sustav" i vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osima poznatim iz 5.-6. razreda i kako crtati točke na ravnini.

S druge strane, čini se da se pravokutni koordinatni sustav može u potpunosti definirati u terminima ortonormirane baze. I to je gotovo istina. Formulacija je sljedeća:

podrijetlo, I ortonormalan osnova je postavljena Kartezijev pravokutni ravninski koordinatni sustav . Odnosno, pravokutni koordinatni sustav definitivno definirana je jednom točkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima se često (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne osi.

Mislim da svi razumiju da se koristi točka (ishodište) i ortonormirana baza BILO KOJA TOČKA na ravnini i BILO KOJI VEKTOR na ravnini mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, “u avionu se sve može nabrojati”.

Trebaju li koordinatni vektori biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu duljinu različitu od nule. Razmotrimo točku i dva ortogonalna vektora proizvoljne duljine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Ishodište koordinata s vektorima definirano je koordinatnom mrežom, a svaka točka na ravnini, svaki vektor ima svoje koordinate u zadanoj bazi. Na primjer, ili. Očita je neugodnost što koordinatni vektori općenito imaju različite duljine osim jedinice. Ako su duljine jednake jedinici, tada se dobiva uobičajena ortonormirana baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i dolje u afinim bazama ravnine i prostora, razmatraju se jedinice duž osi UVJETNA. Na primjer, jedna jedinica duž x-osi sadrži 4 cm, a jedna jedinica duž ordinatne osi sadrži 2 cm. Ovaj podatak je dovoljan da, ako je potrebno, pretvorimo "nestandardne" koordinate u "naše uobičajene centimetre".

A drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno, je mora li kut između baznih vektora biti jednak 90 stupnjeva? Ne! Kao što definicija kaže, bazni vektori moraju biti samo nekolinearni. Prema tome, kut može biti bilo što osim 0 i 180 stupnjeva.

Točka na ravnini tzv podrijetlo, I nekolinearni vektori, , set afini ravninski koordinatni sustav :

Ponekad se takav koordinatni sustav naziva kosi sustav. Kao primjer, crtež prikazuje točke i vektore:

Kao što razumijete, afini koordinatni sustav još je manje prikladan; formule za duljine vektora i segmenata, o kojima smo raspravljali u drugom dijelu lekcije, u njemu ne rade Vektori za lutke, mnoge ukusne formule povezane s skalarni produkt vektora. Ali vrijede pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u ovoj relaciji, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sustava Kartezijev pravokutni sustav. Zato je najčešće moraš vidjeti, draga moja. ...Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima kosi kut (ili neki drugi, npr. polarni) koordinatni sustav. I humanoidima bi se mogli svidjeti takvi sustavi =)

Prijeđimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za opći afini slučaj. Ovdje nema ništa komplicirano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravninskih vektora?

Tipična stvar. Da bi dva ravninska vektora bili kolinearni, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne U biti, ovo je pojedinačna koordinata očitog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Čine li vektori bazu? ?

Riješenje:
a) Utvrdimo postoji li za vektore koeficijent proporcionalnosti, tako da su zadovoljene jednakosti:

Definitivno ću vam ispričati o "bezobraznoj" verziji primjene ovog pravila, koja u praksi prilično dobro funkcionira. Ideja je odmah napraviti omjer i vidjeti je li točan:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

Da skratimo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos se može postaviti obrnuto; ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju dolazi do jednakosti . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Provjeravamo kolinearnost vektora . Kreirajmo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , iz druge jednadžbe slijedi da je , što znači sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Napravimo proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, što znači da su ti vektori linearno neovisni i čine bazu.

Obično ovu opciju recenzenti ne odbijaju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Kao ovo: . Ili ovako: . Ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporcije? (zaista, ne možete dijeliti s nulom). Iz tog sam razloga pojednostavljeno rješenje nazvao "špak".

Odgovor: a), b) oblik.

Mali kreativni primjer za vlastito rješenje:

Primjer 2

Pri kojoj su vrijednosti parametra vektori hoće li biti kolinearni?

U otopini uzorka parametar se nalazi kroz udio.

Postoji elegantan algebarski način provjere kolinearnosti vektora. Sistematizirajmo naše znanje i dodajmo ga kao petu točku:

Za dva vektora u ravnini sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora je različita od nule.

Odnosno, sljedeće suprotne tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine bazu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata tih vektora jednaka je nuli.

Zaista se nadam da ste do sada već razumjeli sve pojmove i izjave s kojima ste se susreli.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva vektora u ravnini su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:. Da biste primijenili ovu značajku, naravno, morate biti u mogućnosti pronaći odrednice.

Odlučimo se Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinantu koju čine koordinate vektora :
, što znači da su ti vektori kolinearni.

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, što znači da su vektori linearno neovisni i čine bazu.

Odgovor: a), b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelnost segmenata i ravnih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe za izradom crteža u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Prisjetimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Četverokut čije su suprotne stranice u parovima paralelne naziva se.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor (“po školi” – jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je jasno formalizirati odluku, dogovorom. Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora:
, što znači da su ti vektori kolinearni, i .

Zaključak: Nasuprotne stranice četverokuta su paralelne u parovima, što znači da je on po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i različitih figura:

Primjer 4

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut trapez.

Za strožu formulaciju dokaza, bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je jednostavno zapamtiti kako izgleda.

Ovo je zadatak koji morate riješiti sami. Potpuno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako preselimo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost prostornih vektora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva prostorna vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Utvrdite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

A) ;
b)
V)

Riješenje:
a) Provjerimo postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" je formalizirano provjerom udjela. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

Odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su točke za samostalnu odluku. Isprobajte ga na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora preko determinante trećeg reda; ova metoda je obrađena u članku Vektorski produkt vektora.

Slično kao u ravninskom slučaju, razmatrani alati mogu se koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i ravnih linija.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora u trodimenzionalnom prostoru.
Prostorna baza i afini koordinatni sustav

Mnogi uzorci koje smo ispitali u avionu vrijedit će za svemir. Pokušao sam minimizirati teorijske bilješke, budući da je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučam da pažljivo pročitate uvod jer će se pojaviti novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto ravnine računalnog stola, istražujemo trodimenzionalni prostor. Prvo, stvorimo njegovu osnovu. Netko je sada unutra, netko vani, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će za konstrukciju baze biti potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, gledaju u različitim smjerovima, imaju različite duljine i imaju različite kutove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, nema potrebe to demonstrirati učiteljima, koliko god vrtili prstima, ali od definicija se ne može pobjeći =)

Zatim, postavimo si važno pitanje: čine li bilo koja tri vektora osnovu trodimenzionalnog prostora? Molimo vas da s tri prsta čvrsto pritisnete gornji dio računala. Što se dogodilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od dimenzija - visinu. Takvi vektori su komplanarni i, sasvim je očito da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu biti u paralelnim ravninama (samo nemojte to raditi prstima, to je radio samo Salvador Dali =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarni, ako postoji ravnina s kojom su paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravnina ne postoji, vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora uvijek su linearno ovisna, odnosno linearno se izražavaju jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislimo da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu samo koplanarni, oni mogu biti i kolinearni, zatim se bilo koji vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako npr. vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala u prethodnom odjeljku).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora uvijek su linearno neovisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očito, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti u određenom redoslijedu, i bilo koji vektor prostora jedini način se razlaže preko zadane baze, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi

Dopustite mi da vas podsjetim da također možemo reći da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija bazni vektori.

Pojam koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za ravninski slučaj; dovoljna je jedna točka i bilo koja tri linearno neovisna vektora:

podrijetlo, I nekoplanarni vektori, uzeti u određenom redoslijedu, set afini koordinatni sustav trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruirani koordinatni sustav omogućuje nam definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sustavu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava, kao što svi pretpostavljaju, jest pravokutni prostorni koordinatni sustav:

Točka u prostoru tzv podrijetlo, I ortonormalan osnova je postavljena Kartezijev pravokutni prostorni koordinatni sustav . Poznata slika:

Prije nego što prijeđemo na praktične zadatke, ponovno sistematizirajmo informacije:

Za tri prostorna vektora sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu koplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, različita je od nule.

Mislim da su suprotne izjave razumljive.

Linearna ovisnost/neovisnost prostornih vektora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (točka 5). Preostali praktični zadaci bit će naglašeno algebarskog karaktera. Vrijeme je da objesite geometrijsku palicu i zamahnete bejzbolskom palicom linearne algebre:

Tri vektora prostora su komplanarne ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli: .

Želio bih vam skrenuti pozornost na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već i u redovima (vrijednost determinante se zbog toga neće promijeniti - pogledajte svojstva determinanti). Ali puno je bolje u stupcima, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su pomalo zaboravili metode izračunavanja determinanti, ili ih možda uopće ne razumiju, preporučujem jednu od svojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite čine li sljedeći vektori osnovu trodimenzionalnog prostora:

Riješenje: Zapravo se cijelo rješenje svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajmo determinantu sastavljenu od vektorskih koordinata (determinanta se otkriva u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno neovisni (ne koplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovor: ovi vektori čine bazu

b) Ovo je točka za neovisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj će vrijednosti parametra vektori biti komplanarni?

Riješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata tih vektora jednaka nuli:

U biti, trebate riješiti jednadžbu s determinantom. Obrušavamo se na nule kao zmajevi na jerboe - najbolje je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i svodimo stvar na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Odgovor: na

Ovdje je lako provjeriti; da biste to učinili, trebate zamijeniti dobivenu vrijednost u izvornu determinantu i uvjeriti se da , otvarajući ga ponovno.

Zaključno, razmotrit ćemo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u tečaj linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje svoju temu:

Dokažite da 3 vektora čine bazu trodimenzionalnog prostora
te nađi koordinate 4. vektora u ovoj bazi

Primjer 8

Zadani su vektori. Pokažite da vektori čine bazu u trodimenzionalnom prostoru i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Riješenje: Prvo, pozabavimo se stanjem. Po uvjetu su zadana četiri vektora koji, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je ta osnova, nas ne zanima. Zanimljiva je sljedeća stvar: tri vektora mogu činiti novu osnovu. I prva faza se u potpunosti podudara s rješenjem primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori doista linearno neovisni:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora:

, što znači da su vektori linearno neovisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate Obavezno Zapiši u stupce odrednica, a ne u nizovima. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.

Vektorski sustav naziva se linearno ovisna, ako postoje brojevi među kojima je barem jedan različit od nule, tako da vrijedi jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ako je ova jednakost zadovoljena samo u slučaju kada su svi , tada se sustav vektora naziva linearno neovisni.

Teorema. Vektorski sustav će linearno ovisna ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih.

Primjer 1. Polinom je linearna kombinacija polinoma https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi čine linearno neovisan sustav, jer polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primjer 2. Matrični sustav, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno neovisan, jer je linearna kombinacija jednaka nulta matrica samo u slučaju kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno ovisan.

Riješenje.

Napravimo linearnu kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" visina=" 22">.

Izjednačavanjem istih koordinata jednakih vektora dobivamo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Napokon dobivamo

I

Sustav ima jedinstveno trivijalno rješenje, pa je linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli samo u slučaju kada su svi koeficijenti jednaki nuli. Stoga je ovaj sustav vektora linearno neovisan.

Primjer 4. Vektori su linearno neovisni. Kakvi će biti vektorski sustavi?

a).;

b).?

Riješenje.

a). Napravimo linearnu kombinaciju i izjednačimo je s nulom

Koristeći svojstva operacija s vektorima u linearnom prostoru, prepisujemo posljednju jednakost u obliku

Budući da su vektori linearno neovisni, koeficijenti pri moraju biti jednaki nuli, tj..gif" width="12" height="23 src=">

Rezultirajući sustav jednadžbi ima jedinstveno trivijalno rješenje .

Od jednakosti (*) izvršava se samo kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno neovisno;

b). Napravimo jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Primjenom sličnog razmišljanja dobivamo

Rješavanjem sustava jednadžbi Gaussovom metodom dobivamo

ili

Potonji sustav ima beskonačan broj rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dakle, postoji ne- nulti skup koeficijenata za koje vrijedi jednakost (**) . Stoga sustav vektora – linearno ovisni.

Primjer 5 Sustav vektora je linearno neovisan, a sustav vektora je linearno ovisan..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

U jednakosti (***) . Doista, pri , sustav bi bio linearno ovisan.

Iz relacije (***) dobivamo ili Označimo .

Dobivamo

Zadaci za samostalno rješavanje (u nastavi)

1. Sustav koji sadrži nulti vektor je linearno ovisan.

2. Sustav koji se sastoji od jednog vektora A, linearno je ovisan ako i samo ako, a=0.

3. Sustav koji se sastoji od dva vektora linearno je ovisan ako i samo ako su vektori proporcionalni (to jest, jedan od njih se dobiva iz drugog množenjem s brojem).

4. Ako linearno ovisnom sustavu dodate vektor, dobit ćete linearno ovisan sustav.

5. Ako se vektor ukloni iz linearno neovisnog sustava, tada je rezultirajući sustav vektora linearno neovisan.

6. Ako sustav S je linearno neovisan, ali postaje linearno ovisan kada se doda vektor b, zatim vektor b linearno izražen kroz vektore sustava S.

c). Sustav matrica , , u prostoru matrica drugog reda.

10. Neka sustav vektora a,b,c vektorski prostor je linearno neovisan. Dokažite linearnu neovisnost sljedećih vektorskih sustava:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– proizvoljan broj

c).a+b, a+c, b+c.

11. Neka a,b,c– tri vektora na ravnini iz kojih se može sastaviti trokut. Hoće li ti vektori biti linearno ovisni?

12. Zadana su dva vektora a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pronađite još dva četverodimenzionalna vektora a3 ia4 tako da sustav a1,a2,a3,a4 bio linearno nezavisan .

U ovom ćemo članku pokriti:

• što su kolinearni vektori;
• koji su uvjeti kolinearnosti vektora;
• koja svojstva kolinearnih vektora postoje;
• kolika je linearna ovisnost kolinearnih vektora.

Kolinearni vektori su vektori koji su paralelni s jednim pravcem ili leže na jednom pravcu.

Primjer 1

Uvjeti kolinearnosti vektora

Dva vektora su kolinearna ako je ispunjen bilo koji od sljedećih uvjeta:

• stanje 1 . Vektori a i b su kolinearni ako postoji broj λ takav da je a = λ b;
• stanje 2 . Vektori a i b su kolinearni s jednakim omjerima koordinata:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• stanje 3 . Vektori a i b su kolinearni ako su umnožak i nulti vektor jednaki:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Napomena 1

Uvjet 2 nije primjenjivo ako je jedna od koordinata vektora nula.

Napomena 2

Uvjet 3 odnosi se samo na one vektore koji su navedeni u prostoru.

Primjeri problema proučavanja kolinearnosti vektora

Ispitujemo kolinearnost vektora a = (1; 3) i b = (2; 1).

Kako riješiti?

U ovom slučaju potrebno je koristiti 2. uvjet kolinearnosti. Za zadane vektore to izgleda ovako:

Jednakost je lažna. Iz ovoga možemo zaključiti da vektori a i b nisu kolinearni.

Odgovor : a | | b

Primjer 2

Koja vrijednost m vektora a = (1; 2) i b = (- 1; m) je potrebna da bi vektori bili kolinearni?

Kako riješiti?

Koristeći drugi uvjet kolinearnosti, vektori će biti kolinearni ako su im koordinate proporcionalne:

Ovo pokazuje da je m = - 2.

Odgovor: m = - 2 .

Kriteriji linearne ovisnosti i linearne neovisnosti vektorskih sustava

Sustav vektora u vektorskom prostoru linearno je ovisan samo ako se jedan od vektora sustava može izraziti preko preostalih vektora tog sustava.

Dokaz

Neka je sustav e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno ovisan. Napišimo linearnu kombinaciju ovog sustava jednaku nultom vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

u kojoj barem jedan od koeficijenata kombinacije nije jednak nuli.

Neka je a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Obje strane jednakosti dijelimo s koeficijentom koji nije nula:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označimo:

A k-1 a m, gdje je m ∈ 1, 2, . . . , k - 1 , k + 1 , n

U ovom slučaju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ili e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Slijedi da se jedan od vektora sustava izražava kroz sve ostale vektore sustava. Što je trebalo dokazati (itd.).

Adekvatnost

Neka je jedan od vektora linearno izražen kroz sve ostale vektore sustava:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Pomaknemo vektor e k na desnu stranu ove jednakosti:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kako je koeficijent vektora e k jednak - 1 ≠ 0, dobivamo netrivijalni prikaz nule sustavom vektora e 1, e 2, . . . , e n , a to pak znači da je ovaj sustav vektora linearno ovisan. Što je trebalo dokazati (itd.).

Posljedica:

• Sustav vektora je linearno neovisan kada se niti jedan od njegovih vektora ne može izraziti preko svih ostalih vektora sustava.
• Sustav vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno ovisan.

Svojstva linearno zavisnih vektora

1. Za 2- i 3-dimenzionalne vektore ispunjen je sljedeći uvjet: dva linearno ovisna vektora su kolinearna. Dva kolinearna vektora su linearno ovisna.
2. Za 3-dimenzionalne vektore zadovoljen je sljedeći uvjet: tri linearno ovisna vektora su koplanarna. (3 koplanarna vektora su linearno ovisna).
3. Za n-dimenzionalne vektore zadovoljen je sljedeći uvjet: n + 1 vektora uvijek je linearno ovisno.

Primjeri rješavanja zadataka koji uključuju linearnu ovisnost ili linearnu neovisnost vektora

Provjerimo linearnu neovisnost vektora a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

Riješenje. Vektori su linearno ovisni jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 4

Provjerimo linearnu neovisnost vektora a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Riješenje. Nalazimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija biti jednaka nultom vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorsku jednadžbu zapisujemo u linearnom obliku:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ovaj sustav rješavamo Gaussovom metodom:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. retka oduzimamo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. reda oduzimamo 2., u 3. dodajemo 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rješenja proizlazi da sustav ima više rješenja. To znači da postoji različita od nule kombinacija vrijednosti takvih brojeva x 1, x 2, x 3 za koje je linearna kombinacija a, b, c jednaka nultom vektoru. Stoga su vektori a, b, c linearno ovisna. ​​​​​​​

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka L je proizvoljan linearni prostor, a ja Î L,- njegovi elementi (vektori).

Definicija 3.3.1. Izraz , Gdje , - proizvoljni realni brojevi, koji se nazivaju linearna kombinacija vektori a 1 , a 2 ,…, a n.

Ako vektor R = , onda to kažu R razloženo na vektore a 1 , a 2 ,…, a n.

Definicija 3.3.2. Linearna kombinacija vektora naziva se netrivijalan, ako među brojevima postoji barem jedan različit od nule. Inače se zove linearna kombinacija trivijalno.

Definicija 3.3.3 . Vektori a 1 , a 2 ,…, a n nazivaju se linearno ovisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija takva da

= 0 .

Definicija 3.3.4. Vektori a 1 ,a 2 ,…, a n nazivaju se linearno nezavisnima ako je jednakost = 0 moguća je samo u slučaju kada su svi brojevi l 1, l 2,…, l n su istovremeno jednaki nuli.

Imajte na umu da se svaki element a 1 koji nije nula može smatrati linearno neovisnim sustavom, budući da je jednakost l a 1 = 0 moguće samo ako l= 0.

Teorem 3.3.1. Potreban i dovoljan uvjet za linearnu ovisnost a 1 , a 2 ,…, a n je mogućnost rastavljanja barem jednog od tih elemenata na ostatak.

Dokaz. Nužnost. Neka su elementi a 1 , a 2 ,…, a n linearno ovisna. To znači da = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, l n različit od nule. Neka za sigurnost l 1 ¹ 0. Zatim

tj. element a 1 se rastavlja na elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adekvatnost. Neka je element a 1 rastavljen na elemente a 2 , a 3 , …, a n, tj. a 1 = . Zatim = 0 , dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija vektora a 1 , a 2 ,…, a n, jednako 0 , pa su linearno ovisni .

Teorem 3.3.2. Ako je barem jedan od elemenata a 1 , a 2 ,…, a n nula, onda su ti vektori linearno ovisni.

Dokaz . Neka a n= 0 , zatim = 0 , što znači linearna ovisnost ovih elemenata.

Teorem 3.3.3. Ako među n vektora bilo koji p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dokaz. Neka, radi određenosti, elementi a 1 , a 2 ,…, a str linearno ovisna. To znači da postoji netrivijalna linearna kombinacija takva da = 0 . Navedena jednakost bit će sačuvana ako element dodamo u oba njegova dijela. Zatim + = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, lp različit od nule. Dakle, vektori a 1 , a 2 ,…, a n su linearno ovisni.

Korolar 3.3.1. Ako je n elemenata linearno neovisno, tada je bilo koje k od njih linearno neovisno (k< n).

Teorem 3.3.4. Ako vektori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 su linearno neovisni, a elementi a 1 , a 2 ,…, a n- 1,a n su linearno ovisni, zatim vektor a n se može proširiti u vektore a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Dokaz. Budući da je prema uvjetu a 1 , a 2 ,…,a n- 1,a n su linearno ovisni, tada postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija = 0 , i (inače će vektori a 1 , a 2 ,…, a ispasti linearno ovisni n- 1). Ali onda vektor

Q.E.D.

Drugim riječima, linearna ovisnost skupine vektora znači da među njima postoji vektor koji se može prikazati linearnom kombinacijom drugih vektora u toj skupini.

Recimo. Zatim

Stoga vektor x linearno ovisan o vektorima ove grupe.

Vektori x, g, ..., z nazivaju se linearnim nezavisni vektori, ako iz jednakosti (0) slijedi da

α=β= ...= γ=0.

To jest, skupine vektora su linearno neovisne ako nijedan vektor ne može biti predstavljen linearnom kombinacijom drugih vektora u ovoj skupini.

Određivanje linearne ovisnosti vektora

Neka je zadano m vektora niza reda n:

Napravivši Gaussovu iznimku, matricu (2) reduciramo na gornji trokutasti oblik. Elementi posljednjeg stupca mijenjaju se samo kada se redovi preurede. Nakon m koraka eliminacije dobivamo:

Gdje ja 1 , ja 2 , ..., ja m - indeksi reda dobiveni mogućom permutacijom redaka. Uzimajući u obzir dobivene retke iz indeksa retka, isključujemo one koji odgovaraju vektoru nultog reda. Preostale linije tvore linearno neovisne vektore. Imajte na umu da prilikom sastavljanja matrice (2), mijenjanjem niza vektora retka, možete dobiti još jednu grupu linearno neovisnih vektora. Ali podprostor koji tvore obje ove grupe vektora se podudara.