Linearna ovisnost i neovisnost. Linearna ovisnost i neovisnost, svojstva, proučavanje sustava vektora za linearnu ovisnost, primjeri i rješenja Teorem linearne neovisnosti

Lema 1 : Ako je u matrici veličine n n barem jedan redak (stupac) nula, tada su redci (stupci) matrice linearno ovisni.

Dokaz: Neka onda prvi red bude nula

Gdje a 10. To je ono što se tražilo.

Definicija: Naziva se matrica čiji su elementi koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli trokutasti:

i ij = 0, i>j.

Lema 2: Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu elemenata glavne dijagonale.

Dokaz je lako izvesti indukcijom na dimenziju matrice.

Teorema o linearnoj neovisnosti vektora.

A)Nužnost: linearno ovisna D=0 .

Dokaz: Neka budu linearno ovisni, j=,

to jest, postoji j, nisu svi jednaki nuli, j= ,Što a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – stupci matrice A. Neka npr. a n¹0.

Imamo a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Zamijenimo zadnji stupac matrice A na

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Prema gore dokazanom svojstvu determinante (neće se promijeniti ako se bilo kojem stupcu u matrici doda još jedan stupac, pomnožen s brojem), determinanta nove matrice jednaka je determinanti matrice originalni. Ali u novoj matrici jedan stupac je nula, što znači da, proširujući determinantu preko ovog stupca, dobivamo D=0, Q.E.D.

b)Adekvatnost: Matrica veličina n ns linearno nezavisnim redovima Uvijek se može svesti na trokutasti oblik pomoću transformacija koje ne mijenjaju apsolutnu vrijednost determinante. Štoviše, iz neovisnosti redaka izvorne matrice slijedi da je njezina determinanta jednaka nuli.

1. Ako se u matrici veličina n n s elementom linearno nezavisnih redaka a 11 jednaka je nuli, tada stupac čiji je element a 1 j ¹ 0. Prema lemi 1 takav element postoji. Determinanta transformirane matrice može se razlikovati od determinante izvorne matrice samo predznakom.

2. Iz redaka s brojevima i>1 oduzmite prvi redak pomnožen s razlomkom a i 1 /a 11. Štoviše, u prvom stupcu redaka s brojevima i>1 dobit ćete nula elemenata.

3. Počnimo računati determinantu rezultirajuće matrice dekompozicijom preko prvog stupca. Kako su svi elementi u njoj osim prvog jednaki nuli,

D novo = a 11 novih (-1) 1+1 D 11 novih,

Gdje d 11 novo je determinanta matrice manje veličine.

Zatim, da izračunamo determinantu D 11 ponavljajte korake 1, 2, 3 dok se zadnja determinanta ne pokaže kao determinanta matrice veličine 1 1. Budući da korak 1 mijenja samo predznak determinante matrice koja se transformira, a korak 2 uopće ne mijenja vrijednost determinante, tada ćemo, do predznaka, u konačnici dobiti determinantu izvorne matrice. U ovom slučaju, budući da je zbog linearne neovisnosti redaka izvorne matrice korak 1 uvijek zadovoljen, svi elementi glavne dijagonale će se pokazati nejednakima nuli. Dakle, konačna determinanta, prema opisanom algoritmu, jednaka je umnošku nenula elemenata na glavnoj dijagonali. Dakle, determinanta izvorne matrice nije jednaka nuli. Q.E.D.

Dodatak 2

Slijedi nekoliko kriterija za linearnu ovisnost i, sukladno tome, linearnu neovisnost vektorskih sustava.

Teorema. (Potreban i dovoljan uvjet za linearnu ovisnost vektora.)

Sustav vektora je ovisan ako i samo ako je jedan od vektora sustava linearno izražen kroz ostale vektore tog sustava.

Dokaz. Nužnost. Neka je sustav linearno ovisan. Tada, po definiciji, predstavlja nulti vektor netrivijalno, tj. postoji netrivijalna kombinacija ovog sustava vektora jednaka nultom vektoru:

gdje barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka , .

Podijelimo obje strane prethodne jednakosti s ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožimo s:

Označimo: , gdje je .

oni. jedan od vektora sustava se linearno izražava kroz ostale vektore tog sustava itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sustava linearno izražen preko ostalih vektora tog sustava:

Pomaknimo vektor udesno od ove jednakosti:

Kako je koeficijent vektora jednak , onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sustavom vektora, što znači da je taj sustav vektora linearno ovisan, itd.

Teorem je dokazan.

Posljedica.

1. Sustav vektora u vektorskom prostoru je linearno neovisan ako i samo ako nijedan od vektora sustava nije linearno izražen preko drugih vektora tog sustava.

2. Sustav vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno ovisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sustav linearno neovisan. Pretpostavimo suprotno i postoji vektor sustava koji je linearno izražen kroz ostale vektore tog sustava. Tada je sustav prema teoremu linearno ovisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka niti jedan od vektora sustava nije izražen kroz druge. Pretpostavimo suprotno. Neka je sustav linearno ovisan, ali tada iz teorema proizlazi da postoji vektor sustava koji se linearno izražava kroz ostale vektore tog sustava, pa opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sustav sadrži nulti vektor. Pretpostavimo sa sigurnošću da je vektor :. Tada je jednakost očita

oni. jedan od vektora sustava linearno se izražava kroz ostale vektore ovog sustava. Iz teorema slijedi da je takav sustav vektora linearno ovisan itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati izravno iz linearno ovisnog sustava vektora.

Budući da je sljedeća jednakost očita

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sustav linearno ovisan.

2b) Neka sustav ima dva jednaka vektora. Neka za . Tada je jednakost očita

Oni. prvi vektor se linearno izražava kroz ostale vektore istog sustava. Iz teorema slijedi da je ovaj sustav linearno ovisan itd.

Slično prethodnoj, ova tvrdnja se može dokazati direktno definicijom linearno ovisnog sustava. Tada ovaj sustav netrivijalno predstavlja nulti vektor

odakle slijedi linearna ovisnost sustava.

Teorem je dokazan.

Posljedica. Sustav koji se sastoji od jednog vektora je linearno neovisan ako i samo ako je taj vektor različit od nule.

Neka L – linearni prostor nad poljem R . Neka A1, a2, …, an (*) konačni sustav vektora iz L . Vektor U = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) se zove Linearna kombinacija vektora ( *), ili kažu da je to vektor U linearno izražen kroz sustav vektora (*).

Definicija 14. Sustav vektora (*) naziva se Linearno ovisan , ako i samo ako postoji skup koeficijenata a1, a2, … različit od nule, takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se zove sustav (*). Linearno nezavisan.

Svojstva linearne ovisnosti i neovisnosti.

10. Ako sustav vektora sadrži nulti vektor, tada je on linearno ovisan.

Doista, ako je u sustavu (*) vektor A1 = 0, To je 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Ako sustav vektora sadrži dva proporcionalna vektora, tada je on linearno ovisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Konačni sustav vektora (*) za n ³ 2 je linearno ovisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija preostalih vektora tog sustava.

Þ Neka je (*) linearno ovisan. Zatim postoji različit od nule skup koeficijenata a1, a2, …, an, za koji je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + mlrd A N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + mlrd A N= 0 , tj. (*) je linearno ovisan.

Komentar. Pomoću posljednjeg svojstva možemo definirati linearnu ovisnost i neovisnost beskonačnog sustava vektora.

Definicija 15. Vektorski sustav A1, a2, …, an , … (**) Zove se Linearno ovisan, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. Inače se poziva sustav (**). Linearno nezavisan.

40. Konačni sustav vektora je linearno neovisan ako i samo ako se nijedan od njegovih vektora ne može linearno izraziti preko njegovih preostalih vektora.

50. Ako je sustav vektora linearno neovisan, tada je i svaki njegov podsustav također linearno neovisan.

60. Ako je neki podsustav danog sustava vektora linearno ovisan, onda je i cijeli sustav linearno ovisan.

Neka su dana dva sustava vektora A1, a2, …, an , … (16) i V1, V2, …, Vs, … (17). Ako se svaki vektor sustava (16) može prikazati kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sustava (17), tada se kaže da je sustav (17) linearno izražen kroz sustav (16).

Definicija 16. Dva vektorska sustava nazivaju se Ekvivalent , ako se svaki od njih linearno izrazi kroz drugi.

Teorem 9 (osnovni teorem linearne ovisnosti).

Neka bude – dva konačna sustava vektora iz L . Ako je prvi sustav linearno neovisan i linearno izražen kroz drugi, tada N£s.

Dokaz. Hajdemo to pretvarati N> S. Prema uvjetima teorema

spojnica Budući da je broj jednadžbi veći od broja nepoznanica, sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Stoga ima vrijednost različitu od nule X10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti bit će istinita jednakost (18), što je u suprotnosti s činjenicom da je sustav vektora linearno neovisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. Stoga, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sustava vektora konačna i linearno neovisna, tada sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Vektorski sustav naziva se Maksimalni linearno neovisni sustav vektora Linearni prostor L , ako je linearno neovisan, ali kada mu se doda bilo koji vektor iz L , koji nije uključen u ovaj sustav, postaje linearno ovisan.

Teorem 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno neovisna sustava vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz slijedi iz činjenice da su svaka dva maksimalna linearno neovisna sustava vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da svaki linearno neovisan sustav prostornih vektora L može se proširiti na maksimalan linearno nezavisan sustav vektora u ovom prostoru.

Primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora svaki sustav koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno neovisan.

2. U skupu svih koplanarnih geometrijskih vektora svaka dva nekolinearna vektora čine najveći linearno neovisan sustav.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora svaki sustav od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno neovisan.

4. U skupu svih polinoma stupnjevi nisu viši od N S realnim (kompleksnim) koeficijentima sustav polinoma 1, x, x2, … , xn Maksimalno je linearno neovisan.

5. U skupu svih polinoma s realnim (kompleksnim) koeficijentima primjeri maksimalnog linearno neovisnog sustava su

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Skup dimenzijskih matrica M´ N je linearni prostor (provjerite ovo). Primjer maksimalnog linearno nezavisnog sustava u ovom prostoru je matrični sustav E11= , E12 =, …, EMn = .

Neka je dan sustav vektora C1, c2, …, usp (*). Podsustav vektora iz (*) naziva se Maksimalno linearno neovisan Podsustav Sustavi ( *) , ako je linearno neovisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sustava, postaje linearno ovisan. Ako je sustav (*) konačan, tada svaki njegov maksimalni linearno neovisni podsustav sadrži isti broj vektora. (Dokažite sami). Naziva se broj vektora u maksimalnom linearno neovisnom podsustavu sustava (*). Rang Ovaj sustav. Očito, ekvivalentni sustavi vektora imaju iste rangove.

Teorem 1. (O linearnoj neovisnosti ortogonalnih vektora). Neka je tada sustav vektora linearno neovisan.

Napravimo linearnu kombinaciju ∑λ i x i =0 i razmotrimo skalarni produkt (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, ali ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Definicija 1. Vektorski sustavili (e i ,e j)=δ ij - Kroneckerov simbol, naziva se ortonormalnim (ONS).

Definicija 2. Za proizvoljan element x proizvoljnog beskonačnodimenzionalnog euklidskog prostora i proizvoljnog ortonormiranog sustava elemenata, Fourierov niz elementa x nad sustavom naziva se formalno sastavljena beskonačna suma (niz) oblika , u kojem se realni brojevi λ i nazivaju Fourierovim koeficijentima elementa x u sustavu, gdje je λ i =(x,e i).

Komentar. (Naravno, postavlja se pitanje konvergencije ovog niza. Kako bismo proučili ovo pitanje, fiksiramo proizvoljni broj n i otkrijemo što razlikuje n-tu parcijalnu sumu Fourierovog niza od bilo koje druge linearne kombinacije prvih n elemenata ortonormiranog sustava.)

Teorem 2. Za bilo koji fiksni broj n, među svim zbrojevima oblika, n-ti djelomični zbroj Fourierovog reda elementa ima najmanje odstupanje od elementa x prema normi zadanog euklidskog prostora

Uzimajući u obzir ortonormiranost sustava i definiciju Fourierovog koeficijenta, možemo napisati

Minimum ovog izraza postiže se pri c i =λ i, jer u ovom slučaju nenegativan prvi zbroj na desnoj strani uvijek ispada, a preostali članovi ne ovise o c i.

Primjer. Razmotrimo trigonometrijski sustav

u prostoru svih Riemannovih integrabilnih funkcija f(x) na segmentu [-π,π]. Lako je provjeriti da je ovo ONS, a onda Fourierov red funkcije f(x) ima oblik gdje je .

Komentar. (Trigonometrijski Fourierov red obično se piše u obliku Zatim )

Proizvoljni ONS u beskonačnodimenzionalnom euklidskom prostoru bez dodatnih pretpostavki, općenito govoreći, nije osnova tog prostora. Na intuitivnoj razini, bez davanja strogih definicija, opisat ćemo bit stvari. U proizvoljnom beskonačnodimenzionalnom euklidskom prostoru E, razmotrite ONS, gdje je (e i ,e j)=δ ij Kroneckerov simbol. Neka je M potprostor euklidskog prostora, a k=M ⊥ potprostor ortogonalno na M tako da je euklidski prostor E=M+M ⊥ . Projekcija vektora x∈E na potprostor M je vektor ∈M, gdje je

Tražit ćemo one vrijednosti koeficijenata ekspanzije α k za koje je rezidual (kvadrat reziduala) h 2 =||x-|| 2 će biti minimum:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Jasno je da će ovaj izraz imati minimalnu vrijednost pri α k =0, što je trivijalno, i pri α k =(x,e k). Tada je ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Odavde dobivamo Besselovu nejednakost ∑α k 2 ||x|| 2. Pri ρ=0 ortonormirani sustav vektora (ONS) naziva se potpuni ortonormirani sustav u Steklovljevom smislu (PONS). Odavde možemo dobiti Steklov-Parsevalovu jednakost ∑α k 2 =||x|| 2 - “Pitagorin teorem” za beskonačnodimenzionalne euklidske prostore koji su potpuni u smislu Steklova. Sada bi bilo potrebno dokazati da je za bilo koji vektor u prostoru jedinstveno predstavljen u obliku Fourierovog niza koji mu konvergira, potrebno i dovoljno da vrijedi Steklov-Parsevalova jednakost. Sustav vektora pic=""> ONB tvori sustav vektora Razmotrite parcijalni zbroj niza Zatim poput repa konvergentnog niza. Dakle, sustav vektora je PONS i tvori ONB.

Primjer. Trigonometrijski sustav

u prostoru svih Riemann-integrabilnih funkcija f(x) na segmentu [-π,π] je PONS i tvori ONB.

Funkcije se nazivaju linearno nezavisan, Ako

(dopuštena je samo trivijalna linearna kombinacija funkcija koja je identički jednaka nuli). Za razliku od linearne neovisnosti vektora, ovdje je linearna kombinacija identična nuli, a ne jednakost. To je razumljivo, budući da jednakost linearne kombinacije s nulom mora biti zadovoljena za bilo koju vrijednost argumenta.

Funkcije se nazivaju linearno ovisan, ako postoji skup konstanti različit od nule (nisu sve konstante jednake nuli) takav da (postoji netrivijalna linearna kombinacija funkcija identično jednaka nuli).

Teorema.Da bi funkcije bile linearno ovisne, potrebno je i dovoljno da je bilo koja od njih linearno izražena kroz druge (predstavljene kao njihova linearna kombinacija).

Dokažite ovaj teorem sami; dokazuje se na isti način kao i sličan teorem o linearnoj ovisnosti vektora.

Odrednica Vronskog.

Wronskijeva determinanta za funkcije uvodi se kao determinanta čiji su stupci derivacije tih funkcija od nulte (same funkcije) do n-1. reda.

.

Teorema. Ako funkcije onda su linearno ovisni

Dokaz. Budući da funkcije su linearno ovisni, onda je bilo koji od njih linearno izražen kroz ostale, na primjer,

Identitet se može razlikovati, dakle

Tada se prvi stupac determinante Wronskog linearno izražava kroz ostale stupce, pa je determinanta Wronskog identički jednaka nuli.

Teorema.Da bi rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda bila linearno ovisna, potrebno je i dovoljno da.

Dokaz. Nužnost proizlazi iz prethodnog teorema.

Adekvatnost. Popravimo neke točke. Budući da su stupci determinante izračunati u ovoj točki linearno ovisni vektori.

, da su odnosi zadovoljeni

Budući da je linearna kombinacija rješenja linearne homogene jednadžbe njezino rješenje, možemo uvesti rješenje oblika

Linearna kombinacija rješenja s istim koeficijentima.

Imajte na umu da ovo rješenje zadovoljava nula početnih uvjeta; to proizlazi iz gore napisanog sustava jednadžbi. Ali trivijalno rješenje linearne homogene jednadžbe također zadovoljava iste nulte početne uvjete. Dakle, iz Cauchyjeva teorema slijedi da je uvedeno rješenje identično jednako trivijalnom, dakle,

stoga su rješenja linearno ovisna.

Posljedica.Ako determinanta Wronskog, izgrađena na rješenjima linearne homogene jednadžbe, nestane barem u jednoj točki, tada je identički jednaka nuli.

Dokaz. Ako je , tada su rješenja linearno ovisna, dakle, .

Teorema.1. Za linearnu ovisnost rješenja potrebno je i dovoljno(ili ).

2. Za linearnu neovisnost rješenja potrebno je i dovoljno.

Dokaz. Prva izjava slijedi iz gore dokazanog teorema i korolara. Druga tvrdnja može se lako dokazati kontradikcijom.

Neka su rješenja linearno neovisna. Ako je , tada su rješenja linearno ovisna. Kontradikcija. Stoga, .

Neka . Ako su rješenja linearno ovisna, tada , dakle, kontradikcija. Stoga su rješenja linearno neovisna.

Posljedica.Ispadanje Wronskijeve determinante u barem jednoj točki je kriterij za linearnu ovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Razlika između Wronskijeve determinante i nule je kriterij za linearnu neovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Teorema.Dimenzija prostora rješenja linearne homogene jednadžbe n-tog reda jednaka je n.

Dokaz.

a) Pokažimo da postoji n linearno neovisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda. Razmotrimo rješenja , koji zadovoljava sljedeće početne uvjete:

...........................................................

Takva rješenja postoje. Doista, prema Cauchyjevom teoremu, kroz točku prolazi kroz jednu integralnu krivulju — rješenje. Kroz točku rješenje prolazi kroz točku

- rješenje, kroz točku - riješenje .

Ova rješenja su linearno neovisna, jer .

b) Pokažimo da je svako rješenje linearne homogene jednadžbe linearno izraženo kroz ta rješenja (njihova je linearna kombinacija).

Razmotrimo dva rješenja. Jedan - proizvoljno rješenje s početnim uvjetima . Pošten omjer